函数最值的求法

2024-10-29

函数最值的求法（共8篇）

函数最值的求法篇1

高等数学、数学分析教材中都介绍了闭区间上连续函数最值的求法，本文在此基础上给出开区间连续函数最值的判定和求法：

定理：设函数f(x)在开区间(a,b)内连续，在(a,b)内的所有驻点和不可导的点x1,x2,…xn为有限个，且，那么函数f(x)在(a,b)内必有最大值f(xi)或最小值f(xj);

反之，如果m ax{f(x1),f(x2)，…，f(xn)}m in{A,B}，那么函数f(x)在(a,b)内没有最大值或最小值。

证明：因为x1,x2，…，xn为函数f(x)在(a,b)内所有驻点和不可导的点，所以f(x)在(a,x1),(x1,x2)，……，(xn-1,xn),,(xn-1,b)各区间上导数不变号，所以函数f(x)在(a,x1],[x1,,x2]，……，[xn-1,xn],[xn-1,b)各区间上分别是单调的，所以函数f(x)若有最大值和最小值必在x1,x2，…xn点取得。

因此，当f(xi)=m ax{f(x1),f(x2)，…f(xn)}叟m ax{A,B}时，函数f(x)有最大值f(xj);当f(xj)=m in{f(x1),f(x2)，…，f(xn)}燮m in{A,B}时，函数f(x)有最小值f(xj);当m ax{f(x1),f(x2)，…，f(xn)}m in{A,B}时，函数f(x)在(a,b)内没有最小值。

例求函数f(x)=e-0.01x在[0，+∞)内的最大值和最小值。

解：f'(x)=e-0.01x+xe-0.01x(-0.01)=e-0.01x(1-0.01x)，令f'(x)=0得驻点x=100。因为驻点、闭端点的函数值与开端点的极限值比较最小，所以f(x)在[0,+∞)内的最大值为

本题中将[0，+∞)改为(0，+∞)，则f(x)在(0,+∞)内的最大值为f

函数最值的求法篇2

2013年4月22日下午，赴陈经纶中学听张辉老师执教高一数学“三角函数最值求法”习题课。感受颇深，很受启发。觉得张老师采用的是教师引领学生探究式教学，学生参与度高，是一堂培养学生思维能力的成功的习题课。

课堂以求函数最值为主线，选择三个典型的例子作为题材很恰当，虽然还有其他最值形式，但都可以练习的方式渗透、训练。

好的方面不多说，主要有以下两点看法：

1．从课堂引入的问题“求三角函数最值有哪些方法？”

从学生回答看来，学生对这样的问题不好回答，其实，老师想要学生说的东西有些就不是一个方法，似乎是一个“目标模式”。因此，如果把提问调整为“就自己的亲历过的学习、练习、阅读等，谁能说出一些求三角函数最值的目标模式，说多少都可以，其他同学也可以补充。”，我想学生就可以回答的比较具体，虽不一定说得全面，参与的同学多了，典型的目标模式是一定能收集到的。另外，教师这么问，是不是也意味着本节课要讲的方法只是一个综述呢，还是除了学生熟悉的方法，老师还有新方法传授？

2．关于例2，张老师引领学生“完成解答”之后，我觉得她有点急于揭示解法之错误。由于2cos2xcos2y2，而学生跟着老师走过来的解法得到最大值是5，这明显存在有“认知冲突”。因此，如果这时张老师放手让学生交流做“合作交流，题后反思”，学生应该很快发现错误，形成“冲突”之后更有利于学生“求真欲望”，继续放手让学生找到可能出错之处，再让学生合作修复。我觉得对陈经纶中学的学生来说，这些做法在课堂上是可以完成的，哪怕是把例3留作作业也好。这样处理可以使得教师掌控的时间缩短，给学生留下整理反思的时间，教师也能够赢得“小结学生感受收获”的时间。

以上写出了我自己的所思所想。每个做课教师都是下过很大功夫的，通常是几易其稿，最后实施教学。我们听课者通常中午没有休息，听课的时候真的比较困，如果课堂上没有抑制住疲劳，尤其是对课堂索然乏味的时候，既使在评课的时候，也还是很疲劳，精力得不到回复，大脑不听使唤。在这种状态下，教师评课积极性不高是可以理解的。所以，我倡议同仁们，加入到听课后评课中来，以期大家智慧共享，改善我们的课堂教学。

清华附中朝阳学校王慧兴

浅析函数最值的七种初等求法篇3

一、配方法

配方法在求函数值及值域中应用较为广泛，且比较容易掌握，是求函数最值的基本方法．操作要点是：把函数表达式的一部分或整体配成二次函数y=a(x+m)2+n(a≠0）的形式，再利用二次函数的性质求出最值．

【例1】求函数的最值．

解：函数定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）．

评注：利用配方法求最值时，一定要注意考查变量的取值范围，此题若不注意就会得出错误答案ymin=-8.

二、基本不等式法

利用基本不等式求函数最值时要同时满足三个条件：一正、二定、三相等，即

(1)a1、a2∈R+;(2)a1+a2（或a1a2）为定值：

(3)a1=a2能成立．．

上面的基本不等式定理可推广到n(n>1,n∈N）个正数的情形．

评注：在变形过程中，配凑技巧是解题的关键，要紧紧围绕基本不等式取得最值的三个条件进行配凑．缺一不可．如例2中，把a变成（a-b)+b是为了得到常数3．例3中把x-3变形成-（3-x）是为了使3-x>0，而把x+5变形成是为了使（3-x)(3-x）能与2x+10凑成常数．在配凑过程中，不要忽略取等号的条件，否则容易出错．例如这样的变形：就没有取等号的条件．

三、判别式法

此法适合能把函数关系式y=f(x）转化为关于x的二次方程φ1(y)x2+φ2(y)x+φ3(y)=0（其中φ1(y）≠0）的类型，因为x的值是实数，即该方程有实根，那么由判别式Δ≥0，便可能求出函数y的最值．

【例4】求函数的最大值和最小值．

解：函数定义域为R，由题设可得

评注：有时函数y=f(x）的定义域不是R，那么Δ≥0只是关于x的二次方程有实数解的必要条件，这时求出的y值不一定是函数y=f(x）的最值，需要进一步检验．若求出的y值在函数值域内，则此y值才是最值；或者求出与y值对应的x值（在方程中求），求出的x值至少有一个在定义域内，则此y值才是最值．

四、函数单调性法

如果能够判断函数在某区间[a,b]上是单调增函数，则由单调函数的性质易求得区间[a,b]上函数的最值．

【例5】设f(x）是奇函数，对任意x∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y），当x>0时，f(x)<0，且f(1)=-2，求f(x）在区间[-3,3]上的最值．

分析：审题后，猜测函数f(x）可能具有单调性．

解：设-3≤x1≤x2≤3，则x2-x1>0,

∵f(x）是奇函数，

且恒有f(x+y)=f(x)+f(y),

∴f(x）在[-3,3]上是减函数．

五、数形结合法

数形结合法是一种重要的解题方法，其核心就是利用函数的几何意义把函数的最值问题转化为几何问题来解决．此法直观性较强，易于理解，有一定的灵活性，且常有化难为易的神奇效果．

分析：可看作是原点A(1,0）与点P(x,y）的距离，即u=|AP|，而P点是直线3x-4y-8=0上的动点，所以|AP|的最小值就是点A到直线3x-4y-8=0的距离，也就是u的最小值．

【例7】如果实数x、y满足方程，求u=x-y的最大值和最小值．

分析：如右图，方程的曲线是上半圆，而-u就是平行直线系y=x-u的纵截距，x、y满足方程就是直线与半圆有公共点，这样由几何意义知

评注：由数形结合法求最值时，两点间的距离、点到直线的距离、直线的斜率、截距等是常用的几何意义．

六、消元法

在求多元函数最值的条件中，若能由条件中的多元关系解出某些变量，则可考虑通过代入消元法，把多元函数问题转化为一元函数来解决，以达到简化的目的．

【例8】已知x2+2y2=3x，求u=2x2+y2-x的最大值．

将(1)代入u=2x2+y2-x化为一元函数，再用配方法即可求解．

评析：应注意通过条件找到所保留的元的取值范围．

七、换元法

换元变换是一种重要的数学变换，在数学中有着广泛的应用．正确而灵活地运用换元法可使问题化繁为简，化难为易．

评注：换元的方法多、灵活性强，换元的目的是化难为易、化陌生为熟悉．在变换过程中，既要注意等价，又要注意取值范围．三角代换是常用的换元方法，如例7就可用三角换元法（令x=cosθ（0≤θ≤π），则y=sinθ，代入函数式即可求出最值．）

函数最大值和最小值求法较多，方法灵活多变，除以上几种常见的初等求法外，导数法亦是目前高中数学常用的方法，这里不再赘述．对一个具体题目往往有多种解法，而优选解法是能否顺利解答的关键．在平时应多练、多思、多总结归纳，力求对这些重要方法融会贯通、灵活选用．要强调的是无论用哪种方法解题都要特别留意函数的定义域．

参考文献

[1]黄兆全.最值问题中的几类典型错误例析[J].中学生理科应试,1996(1).

[2]刘桦.谈运用数形结合法解题的误区[J].中学数学(苏州),1995(9).

函数值域(最值)的几种求法篇4

一、观察法求函数值域

观察法适用于较简单的函数, 从解析式观察, 利用如|x|≥0, x2≥0, 等, 直接得出它的值域.

例1:求函数y=-2x+5, x[-1, 2]的值域.

解:将函数配方得y= (x-1) +4, x[-1, 2], 由二次函数的性质可知:当x=1时, y=4;当x=-1时, y=8, 故函数的值域是[4, 8].

二、配方法求函数值域

求二次函数或可化为二次函数形式的函数的值域, 可使用该方法, 同时也要注意闭区间内的值域.

例2:求y=x2-x+1的值域.

于是y-x2-x+1的值域为[3/4, +∞) .

例3:求函数y=x2-4x+6 (x∈[1, 5) ) 的值域.

解:配方得y= (x-2) 2+2, 又x∈[1, 5) , 结合图像可知函数的值域是[2, 11) .

三、分离常数法或利用原函数的反函数求函数值域

此种方法一般适用于求分式类型的函数的值域, 在求解过程中往往是结合反比例函数的图像和图像平移的有关知识求出值域.

例4:求函数的值域.

解:分离常数, 得

由x2+1≥1, 得, 即有-1≤y<2.

所以函数的值域是[-1, 2) .

例5:求函数的值域.

解:由得, 因为y-2≠0, 所以y≠2.

于是此函数的值域为{y|y∈R且y≠2}.

当然此题也可利用分离常数法求值域, 读者可以试一试.

四、换元法求函数值

换元法适用于一些带有根式的函数的值域的求解, 通过换元将无理函数转化为有理函数达到解题的目的.举例如下:

例6:求函数的值域.

解:设, 则 (t≥0) ,

又t≥0, 得y≥1/2.

所以函数的值域是

例7:求的值域.

解:令 (t≥0) , 则3x=t2+1,

所以

当t=0时, y有最小值3.

于是的值域为[3, +∞) .

五、数形结合法求函数值域 (最值)

此种方法是利用函数所表示的几何意义, 借助图像的直观性求函数的值域, 如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解决此类问题的关键.

例8:若实数x, y满足不等式组则x+y的最大值为 ()

本题主要考查了平面区域的二元一次不等式组, 以及简单的转化思想和数形结合的思想, 画出不等式组表示的平面区域, 再利用图像求x+y的最大值.

令z=x+y, 则y=-x+z, z表示过可行域内点斜率为-1的直线在y轴上的截距.由图可知当向上平移l0使它过点A (4, 5) 时, zmax=9.

其方法是 (1) 画可行域时:“直线定界、特殊点定域”. (2) 寻找目标函数的最值时, 应先指明它的几何意义, 这样才能找到相应的最值.

例9:求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.

解:将原函数的解析式中的绝对值去掉, 得作出图像 (如图) , 显然y≥3.所以函数的值域是[3, +∞) .

六、利用函数的单调性求函数的值域

例10:某商场销售某种商品的经验表明, 该商品每日的销售量y (单位:千克) 与销售价格x (单位:元/千克) 满足关系式, 其中3<x<6, a为常数, 已知销售价格为5元/千克时, 每日可售出该商品11千克.

(Ⅰ) 求a的值;

(Ⅱ) 若该商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格x的值, 使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

解: (Ⅰ) 因为x=5时y=11, 所以

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知该商品每日的销售量, 所以商场每日销售该商品所获得的利润:

函数f (x) 在 (3, 4) 上递增, 在 (4, 6) 上递减, 所以当x=4时, 函数f (x) 取得最大值42.

答:当销售价格x=4时, 商场每日销售该商品所获得的利润最大, 最大值为42.

求函数值域的方法除了以上介绍的几种之外, 还有很多, 比如:基本不等式法, 利用导数法, 判别式法等.在求解函数值域的过程中, 同学们应该认真审题, 寻找迅速求解的一种方法.它所涉及的知识面广, 方法灵活多样, 在高考中经常出现, 占有一定的地位, 若方法运用适当, 就能起到简化运算过程, 避繁就简, 事半功倍的作用.各种题目难易程度相差很大, 方法灵活多样, 要做到迅速寻求最佳求解方法, 必须吃透课本上的例题, 熟练数学基本概念, 全面系统掌握基本知识和基本技能.

总之, 数学学习重在掌握思考方法、思维方式, 要想掌握好数学, 平时学习中应善于观察、总结, 并做到举一反三.

参考文献

函数最值的应用篇5

关键词：函数,最值,求法,应用

函数是初等数学中的一个重要内容, 而函数的最值问题又是函数应用体现比较好的一个方面, 它涉及知识多, 综合性较强, 方法灵活, 不但在几何、三角等数学方面有较多的应用, 而且在科学研究, 生产, 生活中也会经常遇到, 本文主要就来研究函数最值的应用。

1 函数的定义

设在变化过程中, 有两个自变量x, y, 如果对于x在某一个范围内的每一个确定的值, y都有唯一确定的值与其对应, 那么就称y是x的函数, x叫做自变量。我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域, 和自变量x对应的y的值叫做函数值。函数值的集合叫做函数的值域。

2 函数f (x) 在[a, b]上的最大 (小) 值的求法

找出函数f (x) 在[a, b]上的一切极值; (2) 将这些极值与函数在区间[a, b]的端点值f (a) , f (b) 比较, 选出其中最大 (小) 的一个值就是函数f (x) 在[a, b]上的最大 (小) 值。

3 函数最值的应用

函数最值的应用主要研究如何利用函数思想解决生产实践中的实践问题。首先要求有较宽的知识面, 能读懂题意, 然后对问题进行分析, 灵活运用所学过的数学知识, 建立“量”与“量”之间的函数关系, 把实际问题转化为函数问题, 通过对函数问题的解决达到解决实际问题的目的。

对实际问题主要采取函数建模的方法, 所谓函数建模, 指即用数学的眼光看问题, 用思想方法、知识解决实际问题的过程是函数思想的深刻体现。数学建模的过程可概括如下:

下面举例说明应用的广泛性。

(1) 在自然科学中的应用

在这类问题中, 一般借助建立数学模型, 构造函数, 然后通过求函数的最大值和最小值得到解答, 从而解决实际问题, 下面从几个问题进行分析说明它的适用性。

a.与物理学科相关的应用

例1在测量某物理量的过程中, 因仪器和观察的误差, 使得几次测量分别得到a1, a2, …an共n个数据, 我们规定所测量物理量的“最佳近似值”, a是这样一个量, 与其他近似值比较, a与各数据的差的平方和最小;依次规定, 从a1, a2, …an推出的a为多少?

分析本题首先要理解题意, 并能将文字语言转化为数学符号语言来表示, 同时要熟悉利用函数模型求有关最值, 从而得到题目解答。

解这个问题求使:

根据二次函数y=ax2+bx+ca=0的性质, a>0, 图像开口向上, 顶点的纵坐标即是函数的最小值.

根据顶点坐标公式

当时, 函数f (a) 取得最小值, 即当a是这n个数据的算术平均值时, a与各数据的差的平方和最小。

b.在实际生活中的应用

例2某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元, 每生产一台仪器需增加投入100元, 已知收益满足函数

其中x是仪器的月生产量

⑴将利润表示成月生产量的函数.

⑵当月产量为何值时, 公司所获利润最大?最大利润为多少元? (总收益=总成本+利润)

分析利润=总收益-总成本

由于R (x) 是分段函数, 所以f (x) 也要分段求出, 然后分别求出f (x) 在各段中的最大值, 最小值.通过比较就能求出f (x) 的最大值.

解⑴设月生产量x台, 则总成本为20000+100x, 从而

∴当x=300时, f (x) 有最大值25000.

当x>400时, f (x) =60000-100x是减函数, f (x) <60000-100×400<25000.

当x=300时, f (x) 的最大值为25000.

答:每月生产300台机器时, 最大利润为25000元。

(2) 利用最大值、最小值为条件, 可以讨论函数中的相关系数

例3若, 在[-3, 2]上f (x) max=4, 求m.

分析此类题目中的参数有各种可能的取值情况, 在讨论的时候, 要注意考虑到各种情况, 不能遗漏。

若m<0, 图形开口向下, f (x) 在顶点取得最大值,

则

若m>0, 图形开口向上, 图形关于x=-1对称.

(3) 利用函数最大值、最小值作为条件, 可以反过来确定二次函数的解析式

二次函数的表达式有三种, 一般式, 顶点式, 双根式, 要善于灵活的根据所给二次函数的性质, 恰当选择表达式, 并使用待定系数法求解.

例4已知二次函数f (x) 满足f (2) =-1, f (-1) =-1, 且f (x) 的最大值是8, 试确定此二次函数.

解法一、利用二次函数一般形式

∴所求二次函为y=-4x2+4x+7

解法二、利用二次函数顶点式

解法三、利用双根式

由已知:f (x) +1=0的两根为x1=2, x2=-1,

故可知f (x) +1=a (x-2) (x+1) 即f (x) =ax2-ax-2a-1.

∴所求函数解析式为.

小结:利用已知条件求二次函数解析式, 最常用方法是待定系数法, 但可根据相同的条件选用适当的形式求f (x) .⑴已知三个点坐标时, 宜用一般式;⑵已知抛物线的顶点或与对称轴有关或与最大、最小值有关时, 常用顶点坐标;⑶若已知抛物线与轴有两个交点, 且横坐标已知时, 选用双根式, 求更方便.

本文主要介绍了函数最值在自然科学包括物理学、实际生活、生产及函数解析式方面的简单应用。我们发现函数的最值是一个非常具有探讨性的问题, 它的应用非常广泛, 研究函数的最值, 不仅对我们研究函数及数学本身有着比较好的作用, 而且对我们解决实际问题有着更深远的意义

参考文献

[1]沈文选.数学建模.湖南师范大学出版社.

谈三角函数的最值求法篇6

在数学教学中三角函数是学习章程中独立的一章, 也是在历年的考试中重要的考点之一, 要想把三角函数学好, 首先必须要对之前所学的三角公式灵活运用, 能快速的看出需要变形的恒等。三角函数的最值运算是结合了许多数学知识和运算方法, 所以在解题的过程中很可能会因为变形错误、问题理解错误等诸多问题而最后影响了运算结果。所以在学习三角函数最值的时候, 同学们应有针对性的学习, 对教学的重点、难点提前预习, 理解渗透三角函数的应用公式, 学习的时候注意听老师的思维方法和解题步骤, 这样会对学习三角函数最值有很大的帮助。

在求最值的问题的时候首先要了解求什么类型的最值, 其中三角函数的的最值是利用三角函数性质来解决, 如果是求一般的最值问题, 现在普遍运用的方法一种是利用函数的单调性, 另一种是利用导数, 在学习三角函数之前可以把曾经做过的有关最值问题进行细致总结, 分析题目中所给出的几个方向, 方向的选择是通过读题, 如果出现多套思路, 只要灵活运用所学到的数学方法去处理问题就行。

1 求三角函数最值的方法

求三角函数最值的方法有很多, 其中最常用的有配方法、反求法、分离常数法、辅助角法、换元法、不等式法等方法, 但是在学习三角函数最值的时候, 如果让学生学习如此多的方法, 会使他们造成公式混乱更加难以理解学习的内容, 学到最后连最基本的方法都没有掌握, 出现“丢西瓜捡芝麻”的情况。所以在学习三角函数最值的时候, 重点掌握三种方法, 它们是所有方法当中最基本也是最常用的, 有配方法、反求法、辅助角法, 其中反求法的应用范围与分离常数法是异曲同工之妙, 它们都要在掌握变形的是同时又需要灵活运用, 这种方法通俗易懂、化繁为简, 但是分离常数法不能像反求法一样作为重点学习。

在对运算公式和方法融会贯通之后, 就要运用实例来测试自己的学习成果, 但不是所有的例题都能反映出学习效果, 要做有特点的例题, 因为这种例题能够很好的反映和体现三角函数最值的求法和变形, 还能通过这种例题反映出在做题过程中应注意的细节问题和容易出错的地方, 通过做题更深入的了解这三种运算三角函数最值的方法。三角函数最值的学习还是要通过老师得讲解和同学的实际运算相结合, 因为三角函数最值的方法是固定的, 只有在老师讲解完学生理解之后才能自己独立做练习题, 只有充分发挥这三种方法, 并多加练习, 才能提高三角函数最值的学习效率。

2 三角函数最值的解题思路

如果是属于三角函数方向的题目, 在解题思路上不应该出现不容易把握的状况, 那么在三角变换这个方向上, 三角题目的解题方向有的同学在学习过程中把握不好, 其中有很多原因, 比如在答题时看到题目, 套用一个公式写上去, 答完之后发现所用的公式不对, 然后重新再换一个公式答题。总是这样的反复套用, 就显得思路混乱, 对公式的掌握程度不够, 往往有的时候, 第一次考虑一个公式往上一用, 题目解的很顺, 就会认为已经对三角函数掌握的很好, 但是当下一次依然运用这个公式的时候, 问题没有解开, 然后又选择第二个甚至第三个公式, 依旧解不开, 于是会对心里就会产生影响, 这是学生在学习三角变换中很常见的现象。主要原因就是因为三角函数的公式很多, 变换的形式多变, 这就好像走到了十字路口, 然后站在中间, 接下来还有许多条路, 但是我们只需要选择最短最快的一条路, 而我们站在路中间看不清楚, 这跟解答三角函数最值问题是相似的, 所以就要求在解答三角函数最值的时候对已知条件仔细研究, 准确分析, 根据具体的题目, 考虑是先从和角公式还是差角公式着手, 然后在分析两角之间存在的必然关系, 函数与函数的关联, 题目分析准确之后掌握好解题方向, 把应该用到的公式结合起来, 按照解题步骤一步一步的解答。只有按照以上方法进行分析三角函数最值才是合理的、准确的。

2.1 给角求值

三角函数中最值问题应熟练掌握三角函数中的套用公式、和角公式、差角公式、倍角公式, 还要具有逆向思维的头脑, 将非特殊角转化为特殊角例如:30°、60°、90°, 写明求值的过程, 然后进行解析, 总体来讲就是先将角度转换在利用切割化弦运算依次是化为特殊角最后是约去部分, 解决这类问题的关键就是特殊角转换, 然后约去非特殊角。

2.2 给值求值

给值求值这种三角函数求值法的运算过程中, 经常会遇到同角之间的运算关系和推论方法, 给值求值的关键就在于利用已经给出的条件与要求得的值之间角的运算, 对于已知条件和未知条件之间进行转换或者是变形, 达到求解的目的。

3 三角函数问题中常见错误分析

三角函数作为数学章程中独立的一部分, 它的特点鲜明, 其中需要熟悉掌握的公式比较多, 需要灵活的变换公式, 往往一道问题会有多个答案出现的情况, 所以导致了在解题的过程中会因为思维混乱而陷入误区, 但还是因题而异。

3.1 定义域

三角函数中的恒等之间变换必须要使三角函数是有意义的, 在区间内的任意角范围不能改变的情况下, 对于切角和割角的定义域范围就显得尤为重要, 要仔细分析研究切割角两类函数, 否则很容易造成运算失误, 最终导致答案错误。

3.2 单调性

三角函数运算过程中会给出一部分已知条件, 利用已知条件去求某一项, 这个时候很多人在答题时经常性的忽略单调性, 如果是在某一区间上的角, 这样就会使答案增加。

4 三角函数求值域的类型

在解决三角函数的时候, 还有可能会遇到求值域的问题, 在解决值域问题的时候, 一定要熟练运用三角之间的代换, 看到题目的时候不要急于解答, 要先仔细观察, 分析研究给出的已知条件, 大多情况下都是利用数形结合的运算技巧。

例如:f (x) =asinx+b, 这种函数我们可以把它看作是定义中的某个函数, 那么这种函数的最值就是[f (x) ]max=+b;[f (x) ]min=+b

4.1 双曲线型

例如:f (x) , 这样的函数就可以把它看作是双曲线函数在某个区间上的图形, 函数值有可能在双曲线的一支上, 也有可能函数值分别在双曲线的两支上。

4.2 抛物线型

例如:f (x) =asin2x+bsinx+c (a≠0) , 这样的函数可以把它看成是抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 在x (-1, 1) 时的函数值范围, 当这个函数值在一定区间下, 达到一个最值, 而另一个最值, 在另一个区间, 如果函数是在某个区间上单调, 那么它的最值应该是在两端点处。

结论

综上所述, 三角函数在惯例考试中是经常出现的数学题目, 通常试卷中除了考察和角公式、差角公式、倍角公式以及半角公式等三角函数之间的关系, 还有三角函数的恒等变形的灵活运用程度。三角函数覆盖了丰富的数学公式, 复杂的运算步骤, 需要注意的是在学习三角函数的时候, 必须要准确的牢记三角函数所有公式, 熟练的使用变换方法, 根据不同的问题思维要灵活, 把所学到的公式融会贯通, 这样就会顺利的解决问题

摘要：三角函数是数学学习中最常见的概念, 在整个数学学习中也是最重要的组成部分, 三角函数的公式复杂多变, 需要解题人员具有扎实的学习基础和对公式灵活运用的头脑, 此外, 三角函数的内容具有抽象性、综合性、技巧性, 这样增加了理解难度和学生对于知识的掌握程度, 本文通过举例说明介绍了三角函数最值求法中常见错误和解题技巧。

关键词：三角函数,最值,题解

参考文献

[1]李玉萍.用数形结合的思想求函数的极值[J].数学教学研究, 2004, (1) .

[2]沈红霞.用均值不等式求最值, 变不可能为可能[J].数学教学, 2005, (10) 30-31.

函数最值的求法篇7

一、函数单调性法

【解析】先求定义域为 (-∞, 0) ∪[4, +∞) 两个根号内的函数在 (-∞, 0]上都为减函数, 所以y≥2, 在[4, +∞) 上都为增函数, 所以所以函数值域为[2, +∞) .

点评:函数求值域高考中首选单调性, 一般的我们要从函数形式求导数或直接求单调性而去求解值域。

【变式1】已知g (θ) =5θ-10sinθ, θ∈ (0, π) , 试求当角q的余弦值为何值时, 函数取最小值?

二、配方法

【例2】 (2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学 (理) 试题 (含答案) ) , 的最大值为 () 。

点评:配方法一般用于二次函数形式的值域求解问题, 配方看定义域而去求解值域。

【变式2】如果函数f (x) = (x-1) 2+1定义在区间[t, t+1]上, 求f (x) 的最小值。

【解析】函数图象的对称轴为x=1,

(1) 当t+1<1, 即t<0时, f (x) min=f (t+1) =t2+1;

(2) 当t>1时, f (x) min=f (t) =t2-2t+2;

(3) 当t≤1≤t+1即0≤t≤1时, f (x) min=f (1) =1。

三、分离常数法

答案: (-1, 1]。

点评:分离常数法一般用于分子分母一二次等的分式求值域问题, 注意定义域, 一般利用均制定里或对勾函数、函数单调性解之。

四、换元法

答案:[1, +∞) 。

【解析】

点评:换元法一般将无理式转化为有理式, 或能整体代换的函数求值域问题, 然后用学过的求值域方法求解。

一类无理函数最值的推广篇8

文[1]给出了函数 $f (x) = λ_{1} \sqrt{x - a} + λ_{2} \sqrt{b - x} (λ_{1} ＞ 0 ‚ λ_{2} ＞ 0 ‚ a ＜ b)$ 的最值, 本文将给出这个问题的推广, 为此先建立如下:

引理1 对于任意正数ai, bi (i=1, 2, …, n, n≥2) , 则有

$\begin{array}{l} \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \dots a_{n}} + \sqrt[n]{b_{1} b_{2} \dots b_{n}} \\ \leq \sqrt[n]{(a_{1} + b_{1}) (a_{2} + b_{2}) \dots (a_{n} + b_{n})} . \end{array}$

其中等号当且仅当ai=λbi (i=1, 2, …, n) 时成立.

证明由均值不等式, 得

所以

$\begin{array}{l} \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \dots a_{n}} + \sqrt[n]{b_{1} b_{2} \dots b_{n}} \\ \leq \sqrt[n]{(a_{1} + b_{1}) (a_{2} + b_{2}) \dots (a_{n} + b_{n})} ‚ \end{array}$

其中等号成立条件是:

即 ai=λbi (i=1, 2, …, n) .

引理2 已知n, k∈N+且n>k, a, b≥0, 则有

(ak+bk) n≥ (an+bn) k.

等号当且仅当a, b中至少有一个为零时成立.

定理1 已知n∈N+且n≥2, λ1>0, λ2>0, a<b, a≤x≤b, 函数

$f (x) = λ_{1} \sqrt[n]{x - a} + λ_{2} \sqrt[n]{b - x}$ ,

当 $x = \frac{b λ_{1}^{\frac{n}{n - 1}} + a λ_{2}^{\frac{n}{n - 1}}}{λ_{1}^{\frac{n}{n - 1}} + λ_{2}^{\frac{n}{n - 1}}}$ 时,

$\begin{array}{l} [f (x)]_{\max} = \sqrt[n]{(b - a) (λ_{1}^{\frac{n}{n - 1}} + λ_{2}^{\frac{n}{n - 1}})^{n - 1}} . \\ [f (x)]_{\min} = \min [f (a) ‚ f (b)] . \end{array}$