含参二次函数最值问题探讨

2024-05-18

含参二次函数最值问题探讨（共6篇）

含参二次函数最值问题探讨篇1

《二次函数最值问题》的教学反思

大河镇件，设所获利润为y元，则y＝（x-2.5）［500+200(13.5-x)］，这样，一个二元二次方程就列出，这也为后面学习二次函数与一元二次方程的关系奠定了基础，针对上述分析，把所列方程整理后，并得到y＝－200x2＋3700x-8000，这里再利用二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的解析式中a、b、c的大小来确定问题的最值。把问题转化怎样求这个函数的最值问题。

b4acbb4acb根据a>0时，当x=－，y最小＝；a<0时，当x＝－,y最大＝

2a4a2a4a的公式求出最大利润。

例2是面积的最值问题（下节课讲解）

教学反馈：讲得丝丝入扣，大部分学生能听懂，但课后的练习却“不会做”。反思一：本节课在讲解的过程中，不敢花过多的时间让学生争辩交流，生怕时间不够，完成了不教学内容，只能按照自己首先设计好的意图引领学生去完成就行了。实际上，这节课以牺牲学生学习的主动性为代价，让学生被动地接受，去听讲，体现不了学生是学习的主人这一关键环节。

反思二：数学教学的目标不仅是让学生学到一些知识，更重要的是让学生学会运用知识去解决现实问题，让学生“从问题的背景出发，建立数学模型”的基本流程，如例题中，可让学生从“列方程→转化为二次函数解析式→

b4acb当x＝－时，y最大（小）＝→解决问题”，让学生在实践中发现数2a4a学，掌握数学。

反思三：教学应当促进学生成为学习的主人，离开了学生积极主动学习，老师讲得再好，学生也难以接受，或者是听懂了，但不会做题的现象。传统的教学“五环节”模式已成为过去，新的课程标准需要我们用新的理念对传统的教学模式、教学方法等进行改革，让学生成为课堂的主角。

含参二次函数最值问题探讨篇2

二次函数的最值问题是每年高考的一个重要内容, 它渗透在高中整个过程的许多环节里.学生已知道, 给定一个二次函数, 如果二次项的系数为正, 其图象开口向上, 函数有最小值, 没有最大值;反之, 函数有最大值, 没有最小值;最值是在抛物线的顶点取得的, 学生考虑的自变量取值范围是全体实数.而有些二次函数仅需要我们求出在某个给定的闭区间内的最大值或最小值, 在初中的基础上有了提高.在函数的教学中, 非常注重的数形结合的思想, 如果能将函数图象的特点 (关于对称轴对称) 与函数的性质 (对称轴左右两侧具有相反的单调性) 有机的联系起来, 学生会更容易掌握有关的解题技巧.

二次函数在闭区间上的最值受制于对称轴与区间的相对位置关系, 常见题型可分为三个类型: (1) 轴定区间定; (2) 轴定区间动; (3) 轴动区间定的最值问题, 要考察区间与对称轴的相对位置关系, 分类讨论常成为解题的通法.

一、轴定区间定

例1 已知函数f (x) =ax2+2ax+1 (a≠0) 在区间[-3, 2]上有最大值4, 求实数a的值.

解:将函数配方得f (x) =a (x+1) 2+1-a, 其对称轴x=-1, 开口方向不确定, 因为对称轴-1∈[-3, 2], 当开口向下即a<0时 (图1) , 最大值在对称轴处取得即f (x) max=f (-1) =1-a=4,

所以a=-3满足a<0.当开口向上即

a>0时 (图2) , 最大值不可能在对称轴处取得, 而是在离对称轴较远的右端点x=2处取得, 即f (x) max=f (2) =8a+1=4, 所以 $a = \frac{3}{8}$ 满足a>0.

综上所述:a=-3或 $a = \frac{3}{8} .$

二、轴定区间动

例2 求函数f (x) =x2-2x+3在区间[t, t+1]上最大值和最小值.

解:将二次函数配方得:f (x) = (x-1) 2+2, 其图像开口向上, 对称轴方程为x=1, 对称轴与区间的位置关系不确定.

1.先研究最大值:

因为开口向上的函数最大值不可能取在对称轴处, 而是在离对称轴较远的端点处取最大值, 所以①当对称轴大于区间中点 (左端点t离对称轴远) 时 (图3) , 即 $t + \frac{1}{2} < 1 (t < \frac{1}{2})$ 时, 函数在x=t处最大值, 即f (x) max=f (t) =t2-2t+3;

②当对称轴小于区间中点 (右端点t+1离对称轴远) 时 (图4) , 即 $t + \frac{1}{2} \geq 1 (t \geq \frac{1}{2})$ 时, 函数在右端点x=t+1处取最大值, 即f (x) max=f (t+1) =t2+2.

2.接下来讨论最大值

(1) 当对称轴在区间右侧时即t+1<1

(t<0) 时 (图5) , 函数在该区间上单调递减, 在右端点x=t+1时取最小值, 即

f (x) min=f (t+1) =t2+2;

(2) 当对称轴在区间内时即t≤1≤t+1 (0≤t≤1) 时 (图6) , 函数在对称轴处取得最小值, 即f (x) min=f (1) =2;

(3) 当对称轴在区间左侧时即t>1时 (图7) , 函数在此区间上单调递增, 即在左端点x=t处取得最小值即

f (x) min=f (t) =t2-2t+3.

综上所述:

$f (x)_{\min} = {\begin{cases} t^{2} + 2, t < 0 \\ 2, 0 \leq t \leq 1 \\ t^{2} - 2 t + 3, t > 1 \end{cases}, f (x)_{\max} = {\begin{cases} t^{2} - 2 t + 3, t < \frac{1}{2} \\ t^{2} + 2, t \geq \frac{1}{2} \end{cases}$

3.轴动区间定

例3 求f (x) =-x2-2ax+1在区间[-1, 2]上的最小值和最大值.

解:将二次函数配方得f (x) =- (x+a) 2+1+a2, 其图像开口向下, 对称轴方程为x=-a, 与区间[-1, 2]的位置关系不确定.按上例题的分析方法可得本题的解法

(1) 先研究最大值:①当对称轴在区间左侧时即-a<-1 (a>1) 时, 函数在此区间上单调递减, 在左端点x=-1处取最大值, 即f (x) max=f (-1) =2a;②当对称轴在区间内时即-1≤-a≤2 (-2≤a≤1) 时, 函数在对称轴处取最大值, 即f (x) max=f (-a) =a2+1;③当对称轴在区间右侧时即-a>2 (a<-2) 时, 函数在此区间上单调递增, 在右端点x=2处取最大值, 即f (x) max=f (2) =-3-4a.

(2) 接下来讨论最小值:当开口向下时函数最小值不可能取在对称轴处, 而是在离对称轴较远的端点处取最小值, ①当对称轴大于区间中点 (即左端点-1离对称轴远) 时, 即 $- a \geq \frac{1}{2} (a \leq - \frac{1}{2})$ 时, 函数在x=-1处取最小值, 即f (x) max=f (-1) =2a;

②当对称轴小于区间中点 (即右端点2离对称轴远) 时, 即 $- a < \frac{1}{2} (a > - \frac{1}{2})$ 时, 函数在x=2处取最小值, 即f (x) min=f (2) =-3-4a.

$\begin{array}{l} 综上所述 ∶ f (x)_{\max} = {\begin{cases} 2 a, a > 1 \\ a^{2} + 1, - 2 \leq a \leq 1 \\ - 3 - 4 a, a < - 2 \end{cases} \\ f (x)_{\min} = {\begin{cases} 2 a, a \leq - \frac{1}{2} \\ - 3 - 4 a, a > - \frac{1}{2} \end{cases} \end{array}$

观察前两题的解法, 我们不难理解为什么要这样讨论, 当然是数形结合, 由图像所得.但为什么最值有时候分两种情况讨论, 而有时候又分三种情况讨论呢?什么时候分两种情况讨论, 什么时候又分三种情况讨论呢?

这些问题其实仔细思考就很容易解决.不难观察:二次函数在闭区间上的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到.第二个例题中, 这个二次函数是开口向上的, 在闭区间上, 它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到, 有三种可能, 所以分三种情况讨论;而它的最大值不可能是二次函数的顶点, 只可能是闭区间的两个端点, 哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到, 当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论.根据这个理解, 不难解释第二个例题为什么这样讨论.

通过总结得出这样的结论:开口向上求最小值 (开口向下求最大值) 分对称轴在区间的左、内、右三种情况讨论 ;开口向上求最大值 (开口向下求最小值) 分区间中点与左右端点的远近 (区间中点与对称轴的大小) 两种情况讨论.

“二次函数在闭区间上的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到” .这个结论是解决这类问题的根本, 我们在解决这类问题时, 其实有意识或无意识都在利用这个结论.有时有意识的利用这个结论, 可能会使某些复杂的问题更容易的解决.

比如:已知二次函数f (x) =ax2+ (2a-1) x+1在区间 $[- \frac{3}{2}, 2]$ 上的最大值3, 求实数a的值.

这是一个逆向最值问题, 若从求最值入手, 需分a>0与a<0两大类五种情形讨论, 过程繁琐不堪.若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到, 因此先计算这些点的函数值, 再检验其真假, 过程就简明多了.

具体解法为:

(1) 令 $f (- \frac{2 a - 1}{2 a}) = 3$ , 得 $a = - \frac{1}{2}$

此时抛物线开口向下, 对称轴方程为x=-2, 且 $- 2 \notin [- \frac{3}{2}, 2]$ , 故 $- \frac{1}{2}$ 不合题意;

(2) 令f (2) =3, 得 $a = \frac{1}{2}$ 此时抛物线开口向上, 闭区间的右端点距离对称轴较远, 故 $\frac{1}{2}$ 符合题意;

(3) 若 $f (- \frac{3}{2}) = 3$ , 得 $a = - \frac{2}{3}$ 此时抛物线开口向下, 闭区间的右端点距离对称轴较远, 故 $a = - \frac{2}{3}$ 符合题意.

综上, $a = \frac{1}{2}$ 或 $a = - \frac{2}{3}$

总之, 在解决二次函数在闭区间上的最值时, 利用“二次函数在闭区间上的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到”这个结论, 可以使我们的讨论方向更明了、解法更简洁.读者可以结合下面的一道练习题对上述方法加以巩固, 练习:已知 $\frac{(x - 1)^{2}}{4} - y^{2} = a^{2} (a > 0)$ , 且当x≥1+2a时, p= (x-4) 2+y2的最小值为1, 求参数a的值.

(答案:a=2或 $a = \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

含参二次函数最值问题探讨篇3

首先我们要了解在不含参数的情况下二次函数y=a*x2+b*x+c是如何求最值的：

情况一：在整个定义域上求最值

方法：配方为y=a*（x-h）2+k再求最值直接利用二次函数的顶点坐标是（-b/2a，（4ac-b2）/4a）.

情况二：在指定区间上求最值

方法：step1判断二次函数的对称轴是否在该区间内；

step2如果二次函数的对称轴不在该区间内，则区间的端点值代入二次函数式即可求出最值；如果二次函数的对称轴在该区间内，则利用情况一中的方法求出最大（小）值；

step3再分别计算端点的函数值，进行比较后再确定最小（大）值，或比较出距离对称轴最远的端点值，其函数值就是最小（大）值。

二次函数中常数为参数时对二次函数最值的判断与计算都十分容易，在下文也不做讨论.含参数的二次函数求最值问题可分为三类：“动轴定区间”、“定轴动区间”以及“动轴动区间”.

第一类：“动轴定区间”类问题又可分为三种：

第1种：二次项系数为参数y=t*x2+b*x+c；第2种：二次项系数与一次项系数同为参数y=t*x2+t*x+c；第3种：一次项系数为参数y=a*x2+t*x+c.其中t是参数，a、b、c均为常数.

方法：对于第1第2种情况要先对二次项系数的正负进行分类再按照不含参的二次函数讨论在指定区间上求最值的方法进行讨论；第3种情况可以直接按照不含参的二次函数讨论在指定区间上求最值的方法进行讨论.

例1：求y=a*x2+2*x-3在区间[-1，3]上的最值.其中a是参数

解：先求出对称轴为x=-1/a，顶点坐标为（-1/a，-3-1/a），端点值-1，3的函数值分别为a-5，9*a+3.

（1）a>0，（i）二次函数的对称轴在该区间的左侧，-1/a<-1，即03，与a>0矛盾，这样的a不存在，故不讨论此类情况；（iii）二次函数的对称轴在该区间内，-1≤-1/a≤3，即a≥1，最小值为-3-1/a，端点函数值经过比较后，最大值为9*a+3.

（2）a<0，（i）二次函数的对称轴在该区间的左侧，-1/a<-1，与a<0矛盾，这样的a不存在，故不讨论此类情况；（ii）二次函数的对称轴在该区间的右侧，-1/a>3，即-1/3

综上所述，a≥1，最小值为-3-1/a，最大值为9*a+3；0

例1变式：求y=a*x2+2*a*x-3在区间[-3，3]上的最值.其中a是参数。

显然本题中的对称轴是定下来的，但是二次项系数为参数还是要进行分类讨论，函数图像开口向上时，最小值是x=-1代入所得的函数值，最大值可通过端点值比较得到；函数图像开口向下时，最大值是x=-1代入所得的函数值，最大值可通过端点值的比较得到.详细解答不在此赘述，请读者自行思考解答。

第二类：“定轴动区间”类问题：

方法：分两类讨论（a）区间在对称轴的左侧（右侧），即左端点的值大于-b/2a（右端点的值小于-b/2a），则直接代入端点值计算其函数值即可求得最值；（b）对称轴在区间内，则最大（小）值即为函数在定义域上所取得的最大（小）值，最小（大）值则可以通过直接代入两个端点值后所得的函数值比较得到。

例2：求y=x2+2*x-3在区间[a，a+3]上的最值.其中a是参数。

解：先求出对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1，4），端点值a，a+3的函数值分别为a2+2*a-3，a2+8*a+12。

（i）二次函数的对称轴在该区间的左侧，-1

综上所述，-1

例2变式：求y=x2+2*x-3在区间[a，2*a]上的最值.其中a是参数。

要先确定区间是有意义的，就要使a<2*a，即a>0，再类似例题中的方法去讨论解答。在此不做详细解答，请读者自行思考解答.

第三类：“动轴动区间”类问题：

解决这类问题的总体思路就是综合前两类问题的解决方法。

方法：如果二次项系数含参数，先对二次项系数的正负进行讨论，再利用第二类“定轴动区间”问题的解决方法进行讨论；如果二次项系数不含参数，则直接利用第二类“定轴动区间”问题的解决方法进行讨论。

本类问题的解答则是综合上述两类问题的解答方法进行解答，故而在此只举出一道例题供读者思考。

《二次函数最值问题》教学设计篇4

1、知识与技能通过实际问题与二次函数关系的探究，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值(或最小值)问题的方法。

2、过程与方法通过对实际问题的研究，体会数学知识的现实意义。进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题。渗透转化及分类的数学思想方法。

3、情感态度价值观(1)通过巧妙的教学设计，激发学生的学习兴趣，让学生感受数学的美感。(2)在知识教学中体会数学知识的应用价值。本节课的教学重点是探究利用二次函数的最大值(或最小值)解决实际问题的方法，教学难点是如何将实际问题转化为二次函数的问题。

二、学情分析在解决函数的实际问题时，要善于从实际问题的情境中抽象出数学模型，使实际问题转化为数学问题。通过数学方法解决问题。学生刚刚学习了二次函数的概念、图象及性质，因此，只要教师能为学生搭建一个有梯次的研究型学习的平台，学生完全有可能由对具体事例的自主分析，建立数学模型，如再经教师巧妙引领，势必会激发学生对学习的兴趣，从而体会学习的快乐。

三、实验研究：作为一线教师，应该灵活地处理和使用教材。充分发挥教师自己的智慧，把学生置于教学的出发点和核心地位，应学生而动，应情境而变，课堂才能焕发勃勃生机，课堂上才能显现真正的活力。因此我对教材进行了重新开发，从学生熟悉的生活情境出发，与学生生活背景有密切相关的学习素材来构建学生学习的内容体系。把握好以下两方面内容：(一)、利用二次函数解决实际问题的易错点：①题意不清，信息处理不当。②选用哪种函数模型解题，判断不清。③忽视取值范围的确定，忽视图象的正确画法。④将实际问题转化为数学问题，对学生要求较高，一般学生不易达到。(二)、解决问题的突破点：①反复读题，理解清楚题意，对模糊的信息要反复比较。②加强对实际问题的分析，加强对几何关系的探求，提高自己的分析能力。③注意实际问题对自变量取值范围的影响，进而对函数图象的影响。④注意检验，养成良好的解题习惯。因此我由课本的一个问题转化为两个实际问题入手通过创设情境，层层设问，启发学生自主学习。

四、教学过程问题与情境师生活动设计意图

一、创设情境引入课题问题1：用60米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔,怎样围可使小兔的活动范围较大?教师提出问题，教师引导学生先考虑：(1)若矩形的长为10米，它的面积为多少?(2)若矩形的长分别为15米、20米、30米时，它的面积分别为多少?(3)从上两问同学们发现了什么?关注学生是否发现两个变量，是否发现矩形的长的取值范围。学生积极思考，回答问题。通过矩形面积的探究，激发学生学习兴趣。

二、分析问题解决问题问题2你能找到篱笆围成的矩形的最大面积吗?教师引导学生分析与矩形面积有关的量，参与学生讨论。学生思考后回答。解：设矩形的长为x 米，则宽为(30-x)米，如果将面积记为y平方米，那么变量y与x之间的函数关系式为：y=-x2+30x(0画出此函数的图象如图当x=-30/2(-1)=15时，Y有最大值：-302/4(-1)=225答：当矩形的边长都是15米时，小兔的活动范围最大是225平方米。通过运用函数模型让学生体会数学的实际价值。二次函数在几何方面的应用特别广泛，要注意自变的取值范围的确定同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分。让学生在合作学习中共同解决问题，培养学生的合作精神。

三、归纳总结问题3 由矩形面积问题，你有什么收获?反思：实际问题中，二次函数的最大值(或最小值)一定在抛物线的顶点取得吗?师生共同归纳：可利用顶点坐标求实际问题中的最大值(或最小值)。利用函数的极值，解决实际问题，本节课所用的方法是配方法、图象法.所用的思想方法：从特殊到一般的思想方法.引导学生反思，得出答案：不一定.要注意自变量的取值范围.养成良好的学习习惯。

四、运用新知拓展练习问题4: 青岛2007中考题某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元.市场调查发现，在一段时间内，销售量w(千克)随销售单价x(元/千克)的变化而变化，具体关系式为：w=-2x+240.设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y(元)，解答下列问题：(1)求y与x的关系式;(2)当x取何值时，y的值最大?(3)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元?教师展示问题，学生分组讨论，如何利用函数模型解决问题。师生板书解：⑴ y=(x-50)w=(x-50)(-2x+240)=-2x2+340x-12000，y与x的关系式为：y=-2x2+340x-12000.⑵ y=-2x2+340x-12000=-2(x-85)2+2450，当x=85时，y的值最大.⑶ 当y=2250时，可得方程-2(x-85)2 +2450=2250.解这个方程，得 x1=75，x2=95.根据题意，x2=95不合题意应舍去.当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元.通过层层设问，引导学生不断思考，积极探索。让学生感受到数学的应用价值。

五、课堂反馈

1、已知直角三角形两直角边的和等于8，两直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大面积是多少?学生自主分析：先求出面积与直角边之间的函数关系，在利用二次函数的顶点坐标求出面积的最大值.解：设直角三角形得一直角边为x，则，另一边长为8-x;设其面积为S.S= x(8-x)(0配方得 S=-(x2-8x)=-(x-4)2+8此函数的图象如图26-1-11.当x=4时，S最大=8.及两直角边长都为4时，此直角三角形的面积最大，最大面积为8.教师注意学生图象的画法，学生能结合图象找出最大值.六、课堂小结布置作业

1、归纳小结

2、作业;习题26.1 第9、10题教师引导学生谈本节课的收获，学生积极思考，发表自己的见解。总结归纳学习内容，培养全面分析问题的好习惯。培养学生归纳问题的能力。实验反思：新课程理念下开放式教学，是根据学生个性发展的需求而进行的教学，为使课堂充满生趣，充满孜孜不倦的探索。要掌握学生课堂参与度的因素：

1、提供学生积极、主动、参与学习活动的机会。

2、使课堂充满求知欲(问题意识)和表现欲(参与意识)，好奇求知的欢乐和自我表现的愿望是推动课堂教学发展的永恒内在动力。

含参二次函数最值问题探讨篇5

二次函数yax2bxc(a0)是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础。在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当a0时，函数在bb4acb2x处取得最小值，无最大值；当a0时，函数在x处取得最大值2a2a4a4acb2，无最小值。4a本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问题。同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用。

【例1】当2x2时，求函数yx22x3的最大值和最小值。

分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值。

【例2】当1x2时，求函数yx2x1的最大值和最小值。

【例3】当x0时，求函数yx(2x)的取值范围。

【例4】当txt1时，求函数y125xx的最小值(其中t为常数)。22分析：由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置。

【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m1623x,30x54。

(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式；(2)若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

含参二次函数最值问题探讨篇6

如图①,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(),中间的这条直线在内部的部分的长度叫△ABC的“铅垂高”().我们可得出一种计算三角形面积的新方法:,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.【例题1】如图②,已知抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点.(1)

求抛物线对应的函数解析式;

(2)

若点M为第三象限内抛物线上一动点,其横坐标为,的面积为,求关于的函数解析式,并求出的最大值.【变式训练1-1】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．

（1）求点，点和点的坐标；

（2）在抛物线的对称轴上有一动点，求的值最小时的点的坐标；

（3）若点是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积的最大值．

【拓展总结】若抛物线上y1＝ax2+bx+c，它与y轴交于C（0，4），与x轴交于A（﹣1，0）、B（k，0），P是抛物线上B、C之间的一点．

（1）当k＝4时，求抛物线的方程，并求出当△BPC面积最大时的P的横坐标；

（2）当a＝1时，求抛物线的方程及B的坐标，并求当△BPC面积最大时P的横坐标；

（3）根据（1）、（2）推断P的横坐标与B的横坐标有何关系？

【练习】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD．

（1）求该抛物线的解析式；