函数最值问题解法

2024-05-29

函数最值问题解法（共10篇）

函数最值问题解法篇1

在中学数学中,函数最值问题占据重要位置. 它不仅在最优化问题中有着广泛的应用,而且在训练学生思维方面也具有举足轻重的地位. 此类问题不但知识面分布广,综合性强,且题型杂,解法灵活多变. 下面结合题型介绍部分函数最值问题的基本解法.

一、换元法

解令t =y/x,则y = tx,带入已知等式得

二、配方法

三、不等式法

四、判别式法

五、图解法

则函数y的最大值可看作在x轴上一点P (x,0),使点P到A( 2,2) 的距离与到B (- 1,1) 的距离之差最大( 如图) ,

六、复数法

七、参数法

例7已知x≥0,y≥0,2x + y≤6,x + 2y≤6,求函数w = 2x + 3y的最大值.

因此,当t = 6,s = 6时,wmax= 10,此时x = 2,y = 2.

综上所述,尽管求函数最直达方法多种多样,有的非常巧妙,但它们都有其自身的局限性,我们在使用的过程中, 不仅要注意与题型符合的条件,还要注重灵活运用.

函数最值问题解法篇2

雷州市第一中学徐晓冬

一、知识要点

对于函数fxax2bxca0，当a0时，fx在区间R上有最值，值域为。当a0时，fx在区间R上有最值，值域为。

二、典例讲解

例

1、已知函数fxx2x2，（1）、若x2,0，求函数fx的最大值和最小值。（2）、若x1,1，求函数fx的最大值和最小值。（3）、若x0,1，求函数fx的最大值和最小值。

例

2、已知函数fxx2x2，xt,t1，求函数fx的最小值。

变式

1、已知函数fxx2x2，xt,t1，求函数fx的最大值。

点评：本题属于二次函数在动区间上的最值问题，由于二次函数的对称轴是固定的，区间是变动的，属于“轴定区间动”，由于图象开口向上，所以求最小值1要根据对称轴x与区间t,t1的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端2点取得时，只须比较ft与ft1的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况.例

3、已知函数fxx22mx2，x1,2，求函数fx的最小值和最大值。

例

4、已知函数fxmx2x2，x1,2，求函数fx的最小值和最大值。点评：二次函数最值与抛物线开口方向，对称轴位置，闭区间三个要素有关。求最值常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值。

三、练习

1、已知函数fxx26x8，x∈[1，a]的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是______________。

2、已知二次函数fxx22ax1a在区间[0,1]上有最大值为2，求实数a的值．

3、已知函数y4x24axa22a在区间0,2上有最小值3，求a的值。

4、若fx12a2acosx2sin2x的最小值为ga。（1）、求ga的表达表；（2）、求能使ga

5、已知fx43ax22xaaR，求f(x)在[0,1]上的最大值．

高中数学最值问题解法探讨篇3

[关键词]最值问题函数不等式几何

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）140037

在高三复习中，学生经常为一些最值问题而头疼，掌握的情况也不够理想.本文通过对一道典型的例题的多解探析及拓展，以期培养学生思维的灵活性.

题目：已知a，b均为正数，且满足1a+2b=14

，求a+b+a2+b2的最小值.

分析：将目标函数适当转化是求解最值问题的基本策略.根据该问题的已知条件和目标函数的特点，求a+b+a2+b2的最小值有如下的方法.

方法一：将目标函数线性化，运用均值不等式求最值

将a2+b2转化为一次形式的途径有很多，这里使用不等式“a2+b2≥asinθ+bcosθ（a>0，b>0）”来线性化，该不等式简证如下.

证明：若asinθ+bcosθ <0，不等式显然成立.

当asinθ+bcosθ≥0时，a2+b2≥asinθ+bcosθ

（a2+b2）2≥（asinθ+bcosθ）2（1-sin2θ）a2-2absinθcosθ+（1-cos2θ）b2≥0 a2cos2θ-

2absinθcosθ+b2sin2θ≥0（acosθ-bsinθ）2≥0，而（acosθ-bsinθ）2≥0显然成立，所以a2+b2≥asinθ+bcosθ①成立（当且仅当acosθ=bsinθ时取等号），综上，不等式成立.

因此，a+b+a2+b2≥a+b+asinθ+bcosθ=（1+sinθ）a+（1+cosθ）b.（当且仅当acosθ=bsinθ时取等号）

由已知1a+2b=14，可得4a+8b=1.

∴（1+sinθ）a+（1+cosθ）b=（4a+8b）[（1+sinθ）a+（1+cosθ）b]=4（1+sinθ）+8（1+cosθ）+4（1+cosθ）ba+8（1+sinθ）ab

≥4（1+sinθ）+8（1+cosθ）+8（1+cosθ）（1+sinθ）②（当且仅当4（1+cosθ）ba=8（1+sinθ）ab时取等号）.

根据不等式①，acosθ=bsinθba=cosθsinθ=1tanθ=

1-tan2θ22tanθ2.

根据不等式②，

4（1+cosθ）ba=

8（1+sinθ）abb2a2=

2（1+sinθ）1+cosθ

=2（sinθ2+cosθ2）22cos2θ2

（1+tanθ2）2ba=1+tanθ2（a>0，b>0）.

由以上两式可得：1+tanθ2=1-tan2θ22tanθ2

，解得tanθ2=13.

所以ba=1+tanθ2=1+13=43，再结合已知条件4a+8b=1，可求得a=10，b=403.

将a=10，b=403代入a+b+a2+b2，求得最小值为40.

方法二：将目标函数齐次化，构造函数求最值

a+b+a2+b2=（a+b）2-（a2+b2）2（a+b）-a2+b2

=2aba+b-a2+b2.

由已知1a+2b=14

得：4b+8a=ab.

将ab=4b+8a代入2aba+b-a2+b2得：

a+b+a2+b2=

8b+16aa+b-a2+b2=

8ba+161+ba

-1+（ba）2

令x=ba，构造函数f（x）=

8x+161+x-1+x2（x>0）

便可解决.

f′（x）=-81+x2+16x-8（1+x-1+x2）2·1+x2.

令f′（x）=0-81+x2+16x-8=0，解得：x=43或x=0（舍去）.

f（x）在（0，+∞）上有唯一的极值点x=43，且为极

域皆相邻，是特殊区域，先选一种颜色把区域1染好，共4种选法;第二步，其他区域又转变成用3种颜色染5块区域的问题，共种（3-1）5+（-1）5×（3-1）=30.由分步原理可知共有4×30=120种方法.

图5

2. 将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有多少？

分析：与第1题的方法相同.先染P再染其他的点.共5×[（4-1）4+（-1）4×（4-1）]=420种.

3. 用5种不同的颜色给图6中标①②③④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？

图6

分析：先给①号区域涂色，有5种方法，再给②号涂色，有4种方法，接着给③号涂色，有3种方法.由于④号与①、②不相邻，所以有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5×4×3×4=240种.

图7

四、辨析应用

某伞厂生产的品牌“太阳伞”伞蓬都由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞蓬八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞至多有多少种？

分析：本题不能运用上述公式来解决，运用公式时一定要注意判断准确.把八个区域分别标上1、2、3、4、5、6、7、8八个号码，则用七种颜色对1、2、3、4、6、7、8七个区域涂色（因5号与1号同色）有7！种方法，又由于1号与5号，2号与6号，3号与7号，4号与8号是对称的.学过旋转后可知，5、6、7、8、1、2、3、4与1、2、3、4、5、6、7、8是重合的，所以每种染色方法重复了两次，因此这种图案的伞至多有7！2=2520种.

二元函数最值问题的常见解法篇4

对于二元函数求最值,我们通常借助消元或换元将二元函数转化为一元函数,然后再求一元函数的最值,但这时特别要注意自变量的取值范围.

1.消元转化

当一个变量可以用另一个变量表示时,可以消掉一个变量,转化为只含有一个变量的最值问题.

例1已知x2+2y2=2x,求x2+y2的最值.

所以,x2+y2的最大值为4,最小值为0.

这种方法在含有两个变量的三角函数求最值、范围问题中使用较多.

如:△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角

(Ⅰ)证明:(Ⅱ)求sin A+sin C的取值范围.第(Ⅰ)略.

第(Ⅱ)中首先要将角C用角A表示,然后就转化为只含有角A的三角函数最值问题.

由此可得sin A+sin C的取值范围是

2.换元转化

例2已知:x2+y2=1,求z=3x+4y的最小值

解析:由于满足x2+y2=1的点均在以原点为圆心的单位圆上,所以可利用三角代换,进而将求3x+4y的最值问题转化为三角函数的最值问题.

解:设x=cosθ,y=sinθ,则z=3cosθ+4sinθ=5sin(θ+α)≥-5,

所以z=3cosθ+4sinθ的最小值为-5.

注:此题也可以用后面介绍的数形结合的方法解决.

二、利用基本不等式

例3(2013年天津高考数学改编)(1)设a+b=2,a>0,b>0,求的最小值.

此问题不能直接用基本不等式,可以采用常数代换的方法再利用基本不等式求解;

当且仅当b=2a时,等号成立,所以最小值是

(2)已知x>0,y>0,且x+2y+xy=30,求xy的最大值.

此问题既可以转化为一元函数求解,也可以直接利用基本不等式将题目中的等式转化为关于xy的不等式,再求解.

利用基本不等式求两个变量的最值,在三角函数问题中也常用,如:△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=bcos C+csin B.

(1)求B;(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.(2013·课标Ⅱ,17)

对于(1)B=π/4;略.

对于(2)△ABC的面积

当建立a,c关系后就可以利用基本不等式了

因此△ABC面积的最大值为

三、数形结合

例4已知求(1)z=x+2y的最大和最小值;(2)的取值范围;(3)z=x2+y2的最大和最小值.

当两个变量的约束条件构成了平面区域时或有几何背景,就可以借助z的几何意义,用数形结合的方法解决,解略.

四、判别式法

当题中所给的变量x,y的关系f(x,y)=0,不能消元法、换元法、基本不等式解决时,可以将所求函数设为z,用z和x表示y,然后将y代入f(x,y)=0中,得到关于x的方程,再利用判别式求出z的范围,从而达到求最值的目的.

例5在ΔABC中,∠B=60°,,求AB+2BC的最大值(2011年新课标高考16)

以上几种方法是高中阶段求解二元函数最值的常用方法,在解决问题的过程中充分体现了高中数学的基本思想,即转化的思想和方程消元思想.二元函数最值不仅是函数部分的重要内容,在三角、数列、圆锥曲线等问题中也常常涉及到,近几年高考频频出现,所以掌握二元函数最值的求法是十分必要的.

摘要：二元函数最值问题是函数知识的综合应用,在近几年高考中屡次出现,由于综合性强,求解方法灵活多样,所以也成为高中数学难点之一,另外函数最值的求解也会影响到涉及与范围有关的数学题的求解,因此为能更好地解决这类问题,下面介绍一些常见的解法,供参考.

二次函数最值问题-解析版篇5

1、当2x2时，求函数yx22x3的最大值和最小值．

分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值．

解：作出函数的图象．当x1时，ymin4，当x2时，ymax5．

2、当1x2时，求函数yx2x1的最大值和最小值．

解：作出函数的图象．当x1时，ymin1，当x2时，ymax5．

由上述两例可以看到，二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．

根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：

3、当x0时，求函数yx(2x)的取值范围．

解：作出函数yx(2x)x22x在x0内的图象．可以看出：当x1时，ymin1，无最大值．所以，当x0时，函数的取值范围是y1．

4、当txt1时，求函数y125xx的最小值(其中t为常数)． 22分析：由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．解：函数y125xx的对称轴为x1．画出其草图． 22125tt； 22(1)当对称轴在所给范围左侧．即t1时：当xt时，ymin(2)当对称轴在所给范围之间．即t1t10t1时：

125113； 22(3)当对称轴在所给范围右侧．即t11t0时：当x1时，ymin1

当xt1时，ymin

151(t1)2(t1)t23． 222122t3,t0综上所述：y3,0t1

15t2t,t12

25、为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z（元）会相应降低且Z与x之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．

（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？

（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益Z与政府补贴款额x之间的函数关系式；

（3）要使该商场销售彩电的总收益w（元）最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益w的最大值．

分析：（1）政府未出台补贴措施前，商场销售彩电台数为800台，每台彩电的收益为200元；（2）利用两个图像中提供的点的坐标求各自的解析式；（3）商场销售彩电的总收益＝商场销售彩电台数×每台家电的收益，将（2）中的关系式代入得到二次函数，再求二次函数的最大值.解：（1）该商场销售家电的总收益为800200160000（元）；

（2）依题意可设yk1x800，Zk2x200，有400k18001200，200k2200160，解得11k11，k2．所以yx800，Zx200．

55（3）WyZ(x800)11x200(x100)2162000，政府应将每台补贴款额x定为100元，55总收益有最大值，其最大值为162000元．

一道根式函数最值的解法探究篇6

这是一道含有两个根式的函数的最值问题,本文对其解法作一些探究.

解法1:f(x)的定义域为[5,8].

点评:上述解法利用导数求函数的最值,自然流畅,信手拈来,一气呵成.导数是求函数最值最有力的工具之一.

点评:上述解法是通过把两个根式换元,转化为二元变量线性最值问题,再利用线性规划知识进行求解.注意在引入两个变量对根式换元时,最好使两个变量的动点的轨迹为圆的一部分.

点评:若双重根式函数定义域为[a,b],则可利用三角换元,令,实现去根号的目的,并且换元之后转化为三角函数的最值问题求解.

点评:解法5是把含两个根式的函数通过代数换元,构造成一个已知向量与一个动向量的数量积,并且把动向量的起点置于原点,根据终点的轨迹及向量数量积的几何意义通过图形确定最大投影,从而求得原函数的最大值.

点评:上述解法是通过构造动点到定直线的距离的形式,利用数形结合的方法找动点到定直线的最大距离,由此解决了原函数的最大值问题.本解法与解法2有异曲同工之妙.

区间上二次函数最值的解法篇7

一、顶点、区间都确定

【例1】已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 x \tan θ - 1 ‚ x \in [- 1, \sqrt{3}]$ , 其中 $θ \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , 当 $θ = - \frac{π}{6}$ 时, 求函数f (x) 的最大值与最小值.

解:当 $θ = - \frac{π}{6}$ 时,

$\begin{array}{l} f (x) = x^{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} x - 1 \\ = (x - \frac{\sqrt{3}}{3})^{2} - \frac{4}{3}, x \in [- 1, \sqrt{3}] ‚ \end{array}$

其对称轴为 $x = \frac{\sqrt{3}}{3} \in [- 1, \sqrt{3}]$ ,

$\begin{array}{l} 所以 f (x)_{\max} = f (- 1) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \\ f (x)_{\min} = f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{4}{3} . \end{array}$

二、顶点变动, 区间固定

若所给区间是确定的, 但其顶点是变动的, 则可以分下列几种情况讨论:顶点横坐标在给定区间内变化;顶点横坐标在给定区间外变化.

【例2】已知函数f (x) =-x2+2ax+ (1+a) 在区间[0, 1]上有最大值2, 求实数a的值.

解法1:根据顶点横坐标在区间内, 或在区间外进行讨论.

(1) 当a≥1时, f (x) 在[0, 1]上是增函数, 所以

f (x) max=f (1) =a,

由已知得a=2;

(2) 当0<a<1时,

f (x) =- (x-a) 2+a2-a+1在x=a处有最大值a2-a+1, 由已知得

a2-a+1=2,

解得 $a = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \in / (0, 1)$ , 故舍去;

(3) 当a≤0时, f (x) 在[0, 1]上是减函数,

所以f (x) max=f (0) =1-a,

由已知得1-a=2, 所以a=-1.

综上, a=2或a=-1.

解法2:因为二次函数最大值可能在抛物线的顶点或区间的端点处,

所以函数f (x) =- (x-a) 2+a2-a+1的最大值只能在x1=0, x2=1或x0=a处取得.

(1) 令f (0) =2, 得a=-1,

此时x0=-1, f (x) 在[0, 1]上是减函数,

所以a=-1时取得最大值2;

(2) 令f (1) =2, 得a=2, 此时x0=2, f (x) 在[0, 1]上是增函数,

所以a=2时取得最大值2;

(3) 令f (a) =2, 得 $a = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ , 要f (x) 使x=a在处取得最大值, 必须a∈[0, 1], 经检验, $a = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ 都不适合.

综上a=2或a=-1.

三、顶点固定, 区间变动

若所给区间是变化的, 而对称轴位置是确定的, 此时应讨论区间中的参数:变动区间包含对称轴横坐标;变动区间中不包含对称轴横坐标.

四、顶点、区间都变动

函数最值问题解法篇8

1 配方法

配方法就是将问题看成是某个变量的二次式, 并请其配成一个完全平方与一常量代数和的形式, 以达到发现或研究问题性质目的的方法。若算术平方根里面的函数解析式是二次函数或可以写成二次函数型的形式, 此时用配方法求其最值往往是行之有效的。

例1: 设x∈R+, 求函数的最小值。

解:2, 当x = 1时, f ( x) = 2, 所以f ( x) 的最小值为2。

评注: 因为算术平方根里面的函数被配成2个平方及常数的代数和的形式, 所以要特别注意这个最值能否取到, 也就是等号能否成立, 比如若配成如下形式:, 则与最值1相应的x值无法找到, 无疑是错误的。

2 换元法

换元法主要是把题目中出现多次的一个复杂的部分看作一个整体, 通过换元, 把复杂的目标函数变形为较简单的函数形式, 或将不易求得最值的函数形式化为易求得最值的形式。对无理型函数, 涉及到的换元主要有代数换元和三角换元这两种方式。凡是形如的函数, 均可利用换元法, 将一个无理代数式向一元二次函数方向转化, 而对于求解含有等结构或者可化为这种结构的函数的最值, 三角代换不失为一种好方法。学过高等数学的人都知道, 求定积分有一种重要方法叫作第二类换元法, 处理办法和思想与之有异曲同工之妙。换元法是求无理型函数最值最引人注目、最具有代表性的方法, 因为无理式向有理式转化, 是一条体现化归思想的基本原则, 操作起来最程序化, 符合人的思维习惯。

评注: 运用三角代换应注意三点: 1换元前后的等价性即限制参数角θ的取值范围, 确保化简的函数在该范围内的符号是唯一的; 2适当选择三角函数的公式和性质, 如正、余弦函数的有界性等; 3将函数化为y = Asin ( ωx + φ) 或y =Acos ( ωx + φ) 的形式后, 需仔细分析ωx + φ的范围, 然后结合有界性和函数图象 ( 或单位圆) 确定其最值。

3 不等式法

不等式与函数的最值问题有着密切的联系, 利用不等式取等号, 就可得到一个最值问题的解, 而许多不等式又可解释为最值问题的解。如均值不等式、柯西不等式等重要不等式, 均可以广泛地应用于求函数的最值, 并且其取等号条件就是取得最值条件。

4 单调性法

若函数在整个区间是单调的, 则该函数在区间端点上取得最大值或最小值, 即若f ( x) 在[a, b]上是增函数, 则f ( x) 在[a, b]上的最大值为f ( b) , 最小值为f ( a) ; 若f ( x) 在[a, b]上是减函数, 则f ( x) 在[a, b]上的最大值为f ( a) , 最小值为f ( b) 。若函数在整个区间上不是单调的, 则先求出函数的单调区间, 再求每个单调区间上函数的最值, 从而可以得到整个区间上的最值。

评注: 本题的函数可看成两个函数的和, 而这两个函数在定义域内的单调性是一致的, 利用“单调性一致的两个函数的和仍具有相同单调性”这一性质求出各个单调区间上的最小值, 再比较得出结论。

5 判别式法

对于无理型函数, 两边平方化为关于x的实系数二次函数, 然后用判别式Δ0, 得出y的取值范围, 进而确定y的最值。需要注意的是, 两边平方若不是等价变形, 平方之后函数的定义域和值域可能被扩大, 从而Δ判别时容易发生错误, 所以一般说来, 无理型函数用Δ法, 要格外慎重。

6 构造法

根据欲求最值的函数的特征, 构造反映函数关系的几何图形, 然后借助于其几何意义可较容易求得最值。

评注: 分析函数解析式的结构特征, 把问题转化为几何问题, 利用函数所表示的几何意义来求解这类问题, 往往能化繁为简, 出奇制胜。

以上粗浅总结了求无理型函数最值问题的几种主要方法。事实上, 对于其他类型函数的最值问题, 这些方法同样适用, 是常用方法。在求函数最值的问题中, 求解往往存有多种方法, 这就需要深入对这些方法的理解和应用, 加强一题多解的训练, 以促进发散性思维能力的发展, 提高解题的水平和能力。

摘要：无理型函数最值类型的题目常常存有多解, 是训练学生发散思维的极好素材。文章对其常用解法进行梳理总结, 希望可以帮助学生拓宽知识视野, 拓展解题思路, 促进发散性思维能力的发展。

椭圆最值问题的解法篇9

例 (2009年山东理科试卷第22题) 设椭圆 (a>b>0) 过两点, O为坐标原点.

(1) 求椭圆E的方程;

(2) 是否存在圆心在原点的圆, 使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B, 且?若存在, 写出该圆的方程, 并求AB的取值范围;若不存在, 说明理由.

解: (1) .

(2) 方法1假设满足题意的圆存在, 其方程为x2+y2=R 2 (0

因为直线AB与圆相切, 所以

所以存在圆满足题意.

当切线AB的斜率不存在时, 设x=m, 则

由x1x2+y1y2=0得.

综上, 存在圆满足题意.

当切线AB的斜率存在时,

由切线斜率k∈R, 所以由均值不等式得

即.

当切线AB的斜率不存在时, 易得.

所以.

点评:本题利用“分子常数化”的方法求弦长|AB|的取值范围, 显然比高考提供的参考解法要简单得多.

“分子常数化”的关键是使分子与分母的最高项的系数相同, 要领是把分子化成常数.本题求弦长|AB|时提出4, 使分子里的k4的系数与分母里k4的系数相同, 把分子配凑成 (2k2+1) 2+k2, 即含有与分母一样的完全平方式 (2k2+1) 2, 则分离出常数1, 再进一步把分子化成常数, 之后直接利用均值不等式巧获其解.

方法二以O为极点, Ox轴为极轴建立极坐标, 则椭圆E的极坐标方程为

假设存在满足题意的圆, 设点A (ρ1, α) , B (ρ2, β) , 则

由, 知, 则

如图1, 圆的半径为OD, D为切点, 则

故存在圆满足题意.

由, 得.

从而得|AB|的取值范围是.

点评:原标准答案在求圆的方程时, 要分AB的斜率存在, 不存在, 分类求解.在将直线方程与椭圆方程联立, 用韦达定理, 弦长公式的套路时, 运算量颇大;特别是求|AB|的范围时, 所用方法不易想到.而本文的解法, 转化为极坐标中的问题, 巧用ρ的几何意义, 简化了运算.涉及到圆锥曲线上的点到其中心 (或抛物线的顶点) 距离的问题, 用极坐标方法来处理, 可优化解题.如人教版教科书选修4—4P156题, 十分典型.

变式1已知F1、F2是椭圆的两个焦点, O为坐标原点, 一直线l:y=kx+b与以F1F2为直径、O为圆心的圆相切, 并与椭圆交于不同两点A、B.

(1) 求b与k的关系;

(2) 若, 求直线l的方程;

(3) 当, 且时, 求△AOB面积的取值范围.

变式2已知椭圆C: (a>b>0) 的离心率为, 短轴一个端点到右焦点的距离为.

(1) 求椭圆C的方程;

(2) 设直线l与椭圆C交于A、B两点, 坐标原点O到直线l的距离为, 求△AOB面积的最大值.

变式3已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2, 过F1的直线交椭圆于B、D两点, 过F2的直线交椭圆于A、C两点, 且AC⊥BD, 垂足为P.

(1) 设P (x0, y0) , 证明;

(2) 求四边形ABCD的面积的最小值.

参考答案:

1. (1) b2=k2+1 (k≠0) ;