函数问题

函数问题（精选12篇）

函数问题 篇1

有些函数问题, 虽说给出了具体的函数表达式, 但往往由于所给的函断表达式是由若干个基本初等函数所合成的, 因而呈现在我们面前的却是具体函数下的抽象问题, 对高中生来说的确难以解决.如果我们能有效地利用函数的有关性质, 那么所涉及的问题将会获得比较完满的解答.

例1 已知函数f (x) =sin x+5x, x∈ (-1, 1) , 且有f (1-a) +f (1-a2) <0, 求a的取值范围.

分析 本题中f (x) 的表达式在这里实质上只起到了帮助我们分析问题的一个切入点, 因为本题的实质是利用函数的单调性去脱去“f”记号, 进而得出关于“a”的不等式 (或不等式组) , 很显然f (x) 在x∈ (-1, 1) 上是奇函数和单调增函数, 由此得

$\{\begin{array}{l}-1＜1-a＜1‚\\ -1＜1-a{}^2＜1‚\\ 1-a＜a{}^2-1.\end{array}$

解得$1＜a＜\sqrt{2}.$

在这里, f (x) 的表达式是由两个具体函数y=sin x及y=5x通过“加”法而合成的, 虽说这两个具体的函数都是我们所熟知的, 但它们“加”起来之后却是我们所陌生的.于是, 从研究函数的性质入手就显得较为自然了.其实, 本题中f (x) 的表达式还可以有如下的一些形式:f (x) =4sin x+2x, x∈ (-1, 1) , f (x) =5sin x+x, x∈ (-1, 1) , 等等.

例2 (2000年全国高考试题) 函数y=-x cos x的部分图像是 ( ) .

分析 本题所给的函数解析式是由y=-x及y=cos x通过“乘”法而合成的, 并不要求画出函数y=-x cos x的图像 (其实也很难画出) , 只需由解析式研究它的图像的有关性质即可, 不难判断所给函数是奇函数, 那么它的图像必关于原点对称, 这样便可以把A, C选项排除.当自变量x取比零稍大的数值时, y<0, 于是可将B项排除而选D项.本题是从数形结合的角度来考查研究函数的一般方法, 在这里, 函数y=-x cos x的解析式实质上只是研究函数性质的一个载体, 如果我们将其表示成:y=-3x cos x, y=-x cos 2x, y=-x2sin x, 等等, 也具有相应的功能.

例3 函数f (x) 的部分图像如图1所示, 则函数f (x) 的解析式可以是 () .

分析 本题为“看图说话”, f (x) 的部分图像是我们所不熟悉的, 而题目提供的4个选择支是由我们所熟悉的一些基本的初等函数通过基本的“加”“乘”等运算而合成的, 合成后的函数图像是我们所陌生的, 因而, 其问题是抽象的, 所以必须从所给的“图”中“读”出函数f (x) 是所给定义域 (其定义域中应包含0元素) 上的奇函数, 从而可排除B和D两个选择支, 再由$f\left(\frac{\text{π}}{2}\right)=0$ (或其它零点) 进而又排除A, 故选C.在这里答案当然也可以是其它形如f (x) =2xcos x等形式.

例4 设定义域为R的函数

$f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{|x-1|}(x\ne 1)‚\\ 1(x=1)‚\end{array}$

若关于x的方程f2 (x) +bf (x) +c=0有3个不同的实数解x1, x2, x3, 则x${}_1^2$+x${}_2^2$+x${}_3^2$等于 ( ) .

$(\text{A})5(\text{B})\frac{2b{}^2+2}{b{}^2}(\text{C})13(\text{D})\frac{3c{}^2+2}{c{}^2}$

分析 本题的函数图像是熟悉的 (即将函数

$f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{|x|}(x\ne 1)‚\\ 1(x=1)\end{array}$

的图像向右平移1个单位而得到, 如图2所示) , 所给方程f2 (x) +bf (x) +c=0 (*) 是不确定的, 因而涉及的问题是抽象的.本题的关键在于正确地“读懂”题意, 即正确理解“关于x的方程 (*) 有3个不同的实数解”的真正含义, 由题意及函数图像的对称性可知关于f (x) 的一元二次方程 (*) 有且只有1个正根f (x) =1, 进而可知关于x的方程f2 (x) +bf (x) +c=0有3个不同的实数解分别是0, 1, 2, 所以x${}_1^2$+x${}_2^2$+x${}_3^2$=5, 故选A.

变式 设定义域为R的函数

$f(x)=\{\begin{array}{l}\lg |x-1|(x\ne 1)‚\\ 1(x=1)‚\end{array}$

若关于x的方程f2 (x) +bf (x) +c=0有3个不同的实数解x1, x2, x3, 则x1+x2+x3等于___.

例5 已知函数f (x) =x·sin x的图像是图3, 4中的一个, 请你选择后再根据图像作出下面的判断:若$x{}_1‚x{}_2\in \left(-\frac{\text{π}}{2}‚\frac{\text{π}}{2}\right)$且f (x1) <f (x2) , 则 ( ) .

(A) x1>x2 (B) x1+x2>0

(C) x1<x2 (D) x${}_1^2$<x${}_2^2$

分析 本题的函数是由我们所熟知的正比例函数与正弦函数相“乘”而合成的, 但其图像却是我们所陌生的, 因而所涉及的问题是抽象的.题目首先要求我们根据所给的图像去选择一个作为函数f (x) =x·sin x的图像, 然后去判断相关的问题, 那么, 如何去“选择”呢?应根据函数f (x) =x·sin x的性质来选择.很显然, 该函数是R上的偶函数, 其图像关于y轴对称, 从而其图像是图4, 故当$x{}_1‚x{}_2\in \left(-\frac{\text{π}}{2}‚\frac{\text{π}}{2}\right)$时, 根据函数是偶函数得:f (x1) <f (x2) ⇔f (|x1|) <f (|x2|) .又易知f (x) =x·sin x在$\left[0‚\frac{\text{π}}{2}\right]$上为增函数, 所以原不等式等价于|x1|<|x2|⇔x${}_1^2$<x${}_2^2$, 从而选D.

本题很容易得到如下一些变式题:

变式1 已知函数f (x) =x·sin x, 若A, B是锐角三角形的两个内角, 则 ( ) .

(A) f (-sin A) >f (-sin B)

(B) f (cos A) >f (cos B)

(C) f (-cos A) >f (-sin B)

(D) f (cos A) <f (sin B)

变式2 已知函数f (x) =x, g (x) 是定义在R上的偶函数, 当x>0时, g (x) =ln x, 则函数y=

f (x) ·g (x) 的大致图像为 ( ) .

例6 函数$f(x)=\frac{\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\text{π}}{4}\right)+2x{}^2+x}{2x{}^2+\cos x}$的最大值为M, 最小值为m, 则M+m=___.

分析 本题的函数形式比较复杂, 需作整体变形:$f(x)-1=\frac{\sin x+x}{2x{}^2+\cos x}$.令$g(x)=f(x)-1=\frac{\sin x+x}{2x{}^2+\cos x}$, 由函数f (x) 的最大值为M, 最小值为m, 可知g (x) 亦有最大值为M-1和最小值为m-1, 易知g (x) 为奇函数, 于是 (M-1) + (m-1) =0, 进而M+m=2.

以上几例说明利用函数的性质去解决具体函数下的抽象问题, 可以让我们收到意想不到的效果.

函数问题 篇2

小明准备将平时的零用钱节约一些储存起来，他已存有50元，从现在起每个月存12元。

（1）试写出小明的存款数与从现在开始的月份数之间的函数关系式。（2）小明的同学小张以前没有存过零用钱，听到小明在存零用钱，表示从现在起每个月存18元，争取超过小明。半年后小张的存款数是多少？能否超过小明？至少几个月后小张的存款数超过小明？ 解：（1）设小明的存款数y,从现在开始的月份数x y=50+12x(2)半年后小张的存款数是18*6=108元,小明的存款数=50+12*6=110元

还没有超过小明

函数问题 篇3

例1若关于x的方程x+1-x=m有两个不等的实根，求实数m的取值范围.

解析本题的常规解法是换元法.令t=x+1≥0，从而x=t2-1，转化为一元二次方程t2-t-1+m=0有两个不等的非负根问题.

如果将方程变形为x+1=m+x，令f(x)=x+1，g(x)=x+m.图1

分别作出f(x)=x+1(x≥-1)与g(x)=x+m(x≥-m)的图象.

如图1，g(x)表示以（-m,0）为端点、位于x轴上方的动射线，而f(x)的图象则由幂函数y=x的图象向左平移一个单位得到.

从图中可以看出，当-m=-1,即m=1时,射线与曲线恰有两交点.

当射线与曲线相切，即方程x+1=m+x只有一个解时，由x2+(2m-1)x+m2-1=0的判别式Δ=(2m-1)2-4(m2-1)=0,解得m=54.

结合图形，得：1≤m＜54.

例2设a为常数,试讨论方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实根的个数.

解析本题的常规解法是将方程等价变形为：(x-1)(3-x)=a-x，x-1＞0,3-x＞0,a-x＞0,

然后用二次方程的相关知识解决.

如果此时能够联系函数的图象，则解决过程会相当简捷！

原方程等价于：-x2+5x-3=a,1＜x＜3,x＜a,

图2

令f(x)=-x2+5x-3(1＜x＜3)，g(x)=a,如图2，分别画出这两个函数的图象，动直线y=a与曲线y=-x2+5x-3(1＜x＜3)交点的个数对应方程解的个数.

从图中可以看出，当a≤1或a＞134时，两者无交点，即方程没有实根；当a=134或1＜a≤3时,方程只有一个实根；当3＜a＜134时，方程有两个实根.

思考为什么不直接考虑利用函数f(x)=(x-1)(3-x)=-x2+4x-3(1＜x＜3)与函数g(x)=a-x(x＜a)的位置关系来求解？

由此思考，我们会发现：在用图象法解题时，既要注意问题转化的等价性，也要考虑作图的可行性和简洁性.

例3若方程4x+(k-2)2x+2k-1=0的两根中，一根小于0，另一根在0和1之间，求k的取值范围.

解析换元，令2x=t，t＞0.问题转化为关于t的一元二次方程t2+(k-2)t+2k-1=0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，这样就把方程根的分布问题转化为函数的零点问题.

如图3所示，函数f(t)=t2+(k-2)t+2k-1的图象开口向上，零点t1∈(0，1)，t2∈（1，2），所以

f(0)＞0,f(1)＜0,f(2)＞0,

图3

即2k-1＞0，1+(k-2)+2k-1＜0，4+2(k-2)+2k-1＞0，

解得12＜k＜23.

例4判断函数f(x)=log2x+x2-2x-1的零点的个数.

解析本题很多同学会考虑直接用二分法来解，但在解题过程中发现存在两个难点：① 二分法只能够解决零点的存在性问题，却不能很好地说明零点的个数，进一步解决还需要利用函数的单调性，而本题中函数的单调性不是很明确；② 用二分法时，对区间（a,b）的端点值难以选定，故解题方向不是很明确.

因此，我们可以换一个角度，转化为借助图象研究方程log2x=-x2+2x+1的根的个数问题.

图4

令f(x)=log2x,g(x)=-x2+2x+1=-(x-1)2+2,如图4，分别作出它们的图象，从图中可以看出，两者只有一个交点，即方程log2x=-x2+2x+1只有一个解.

例5已知f(x)=(x+1)|x+1|-x-m，若函数f（x）有三个不同的零点，求实数m的取值范围.

解析本题中的函数比较复杂，乍看有无从下手的感觉.不妨将问题转化为求关于x的方程(x+1)|x-1|=x+m有三个不同的实数解时实数m的取值范围,利用函数的图象来帮助思考.

图5

设g(x)=(x+1)|x-1|=x2-1,x≥1,1-x2,x＜1,

分别画出函数y=g（x）的图象与y=x+m的图象（如图5）.

于是，问题转化为求当直线y=x+m与曲线y=g(x)有三个不同的公共点时在y轴上的截距m的取值范围，即求动直线y=x+m从过点（1，0）到与y=1-x2(x＜1)有一个交点时，在y轴上的截距m的取值范围.

由y=1-x2,y=x+m,得x2+x+m-1=0,所以Δ=1-4（m-1）=5-4m=0,即m=54.又直线y=x+m过点（1，0）时m=-1，故实数m的取值范围是-1＜m＜54.

通过以上几个例子我们可以体会到，用图象法研究方程根和函数零点的状况，其本质是一种数形结合思想，是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过对图形的认识、数形的转化，使复杂问题简单化，抽象问题具体化.

巩 固 练 习

1. 方程lgx+x=3的解所在区间为()

A. (0，1)B. (1，2) 

C. (2，3)D. (3，+∞)

2. 函数f(x)=12x-lnx的零点的个数是()

A. 0B. 1 C. 2D. 3

3. 已知关于x的方程x2-(2m-8)x+m2-16=0的两个实根x1,x2满足x1＜32＜x2，则实数m的取值范围是______.

4. 当k取何值时，方程|x2-4x+3|=kx有三个实数根？

函数问题 篇4

关键词：函数,反函数,定义域

我们知道, 只有定义域和值域一一映射的函数才有反函数.原函数的定义域、值域分别是它的反函数的值域、定义域;同时函数y=f (x) 与其反函数y=f-1 (x) 的图像关于直线y=x对称.也就是说f (a) =bf-1 (b) =a.在解决有关问题时, 充分利用这些性质, 将会使问题迎刃而解.

1. 求函数的反函数

分析由函数解析式可知, 当x≥0时, y≥0;当x<0时, y<0.由原函数和反函数关系可知:在x<0时, y<0, 则根号前面要有负号, 故可排除A, B两项, 再比较C, D, 易得答案为C.

2. 求函数的值 (值域)

例2已知函数f (x) =4x-2x+1, 求f-1 (0) .

分析要求f-1 (0) , 只要求f (x) =0时自变量x的值.

解令f (x) =0, 得4x-2x+1=0.

∴2x (2x-2) =0.∴2x=2或2x=0 (舍) .

故f-1 (0) =1.

点评求反函数的函数值可以转化为求与之对应的原函数的自变量之值, 反之亦然.

例3求函数的值域.

分析由于原函数的值域就是其反函数的定义域, 因此可以通过求出函数的反函数的定义域来解决.

解由, 得y (x+3) =2x-1,

因此 (y-2) x=-3y-1.∴x=

由于y-2≠0, 即y≠2,

所以原函数的值域是{y|y≠2}.

点评形如的函数都可以用反函数法求它的值域.

分析可以把x2用y来表示, 利用x2≥0这一特点来解.

所以原函数的值域是{y|0

例5若函数f-1 (x) 为函数f (x) =lg (x+1) 的反函数, 则f-1 (x) 的值域为.

分析常规方法是先求出f (x) 的反函数f-1 (x) =10x-1, 再求得f-1 (x) 的值域.若利用f-1 (x) 的值域即为f (x) 的定义域这一性质, 即可得f-1 (x) 的值域为 (-1, +∞) .

3. 求函数的解析式

例6若函数f (2x-1) =x+1, 求f-1 (x) 的解析式.分析利用f (a) =bf-1 (b) =a这一性质使问题简化.解因为f (2x-1) =x+1, 所以f-1 (x+1) =2x-1.令t=x+1, 则x=t-1, 代入上式可得

例7已知函数与其反函数的图像都经过点 (-2, 1) , 求此函数的解析式.

分析由函数得点 (-2, 1) 和 (1, -2) 都在原函数的图像上, 由此可想到利用待定系数法求函数的解析式.

解由题意得

4. 求函数与其反函数图像的交点

例8求函数的图像与其反函数图像的交点.

分析用常规方法先求反函数, 再联立方程组求解比较麻烦.用原函数图像与其反函数的图像关于直线y=x对称这一性质求解较易, 只要原函数与其反函数不是同一函数, 它们的交点必在直线y=x上.

抽象函数问题的分类解析 篇5

【摘 要】抽象函数的定义域、值域问题，单调性、奇偶性、周期性、对称性问题，反函数问题抽象函数，是指没有给出具体的函数解析式或图象， 只给出函数满足的一部分性质或运算法的函数。由于这类函数属于初等函数和高等函数的衔接点，它具有抽象性、综合性和技巧性等特点，是中学数学中的一个难点，学生对解决抽象函数问题困难较大。因为抽象，学生感觉到看不见摸不着，接受困难。但是这类问题既能全面地考查学生对函数概念和性质的理解以及代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力。对于发展学生的思维能力。尤其是抽象思维能力，培养学生的创新意识，渗透数学思想方法，提高学生的数学素质，起着非常重要的.作用，所以备受各地模考、高考的青睐。有关抽象函数的问题很多。而纵观近几年的高考中，对解决抽象函数问题有逐年增加数量的趋势，体现了高考加大理性思维能力考查的命题思想。为此，把握高考中常考的抽象函数问题，理解和掌握以下一些解题方法，将有助于抽象函数问题的顺利解决。抽象函数题在数学试题中经常出现，但在教材中却没有单独的章节，笔者把收集到的试题加以整理分类，并编成练习题，以近几年高考中常考的抽象函数问题为例进行归类解析，共同研究。

透析高考中分段函数问题 篇6

高考；函数；值域

1.函数求值问题

一般将具体函数或与抽象函数结合，通过考查对数、指数的运算形成的函数求值问题。

例1（2010.湖北）

已知函数f（x）=则f（f（））=（）

解析：本题是具体函数求值问题，分清各段上自变量取值范围，从内到外代入相应解析式即可

∵f（ ）=log3 =-2∴f（f（ ））=f（-2）=2-2= 1/4

例2（2009山东）

定义在R上的函数f（x）=

则f（2009）的值为（）A.-1B.0C.1D.2

解析：本题将对数函数与递推函数相结合，利用周期性体现从特殊到一般的归纳推理，综合考查分析问题解决问题的能力。x＞0时，通过计算x=1，2，3……的值（或通过推理）得到x取整数时周期是6， f（2009）=f（5）=1

2.方程问题

已知函数值求自变量X或其它参数的值的问题，一般通过解方程而得到。

例3（2010陕西）

已知函数f（x）=

若f[f（0）] =4a 则a=

解析：解决本题关键是分清各段上函数值的范围由f（0）=2 则f[f（0）]=f（2）=4+2a=4a得 a=2

例4（2010福建）

已知函数f（x）=

零点个数为（）A.3B.2C.1D.0

解析或

得x=-3或x=100故选B

3.不等式问题

将分段函数与不等式结合，考查函数单调性及解不等式知识，体现分类讨论思想。

例5（2010天津）

已知f（x）= 若f（a）＞f（-a）

则实数a的取值范围是（）

A.（-1.0） （0.1） B.（ -∞.-1） （1.+ ∞）

C.（-1.0） （1.+ ∞）D.（-∞.-1） （0.1）

解析：f（a）＞f（-a）=＞

或=＞a＞1或 -1＜a＜0 故选C

例6（2010 江苏）

已知f（x）=

则满足不等式f（1-x2）＞f（2x）的x的取值范围是____

解析：因x＞0时f（x）为增函数,

由得-1＜x＜ -1

4.求值域问题

分段函数的值域是各段值域的并集，一般可借助于图像来解决。

例7（2010天津）

设g（x）=x2-2，f（x）=

则f（x）的值域是（）

A.[-0） （1.+∞）B.[0 +∞)

C.[- ,+∞) D.[- .0] [2.+∞)

解析：本题可求出f（x）=

画出图像

由图像可知 其值域为[- .0] [2+∞）

解抽象函数问题 篇7

例1 ( 2009年高考四川卷理科第12题) 已知函数f ( x) 是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数, 且对任意的实数x都有xf ( x + 1) = ( 1 + x) f ( x) , 则f ( f (5/ 2) ) 的值是 ( )

( A) 0 ( B) 1 /2 ( C) 1 ( D) 5/ 2

二、函数与方程 ——— 抽象函数永恒的主题

例2 ( 2005年复旦大学自主招生数学试题第一大题第9题) 定义在R上的函数f ( x) ( x≠1) 满足f ( x) +2f ( (x + 2002) / ( x - 1) ) = 4015 - x, 则f ( 2004) =_______ .

三、奇偶性、单调性 ——— 不可忽视的常规性质

例3 ( 2008高考辽宁卷理科第12题) 设f ( x) 是连续的偶函数, 且当x > 0时f ( x) 是单调函数, 则满足的所有x之和为 ( )

( A) - 3 ( B) 3 ( C) - 8 ( D) 8

例4 ( 2008年高考重庆卷理科第6题) 若定义在R上的 (函数f ( x) 满足: x1, x2∈R, 有f ( x1+ x2) = f ( x1) + f ( x2) + 1, 则下列说法一定正确的是 ()

( A) f ( x) 为奇函数 ( B) f ( x) 为偶函数

( C) f ( x) + 1为奇函数 ( D) f ( x) + 1为偶函数

解: ( C) . 设g ( x) = f ( x) + 1, 得g ( x1+ x2) = g ( x1) + g ( x2) , 可得g ( x) 即f ( x) + 1为奇函数.

四、对称性 ——— 以形养数的典型范例

例5 ( 2007年复旦大学自主招生考试试题) 设函数y = f ( x) 对一切实数x均满足f ( 2 + x) = f ( 2 - x) , 且方程f ( x) = 0恰好有7个不同的实根, 则这7个不同的实根的和为 ()

( A) 0 ( B) 10 ( C) 12 ( D) 14

解: ( D) . 得曲线y = f ( x) 关于直线x = 2对称, 所以方程f ( x) = 0的恰好有7个不同实根中一个是2, 另外6个两两之和是4, 所以所有根之和是14.

例6 ( 2008年复旦大学自主招生考试试题第72题) 设f ( x) 的定义域是全体实数, 且f ( x) 的图象关于直线x = a和x = b对称, 其中a < b, 则f ( x) 是 ()

( A) 一个以b - a为周期的周期函数

( B) 一个以2b - 2a为周期的周期函数

( C) 一个非周期函数 ( D) 以上均不对

解: ( B) . 得f ( x) = f ( 2a - x) , f ( x) = f ( 2b - x) , 所以f ( 2a - x) = f ( 2b - x) 即f ( 2b - 2a + x) = f ( x) .

注: 对于定义域是R的函数y = f ( x) , 有以下结论成立:

( 1) 若曲线y = f ( x) 有两条不同的对称轴x = a, x = b, 则函数y = f ( x) 是周期函数且有一个周期是2 ( a - b) .

( 2) 若曲线y = f ( x) 有两个不同的对称中心 ( a, c) , ( b, c) , 则函数y = f ( x) 是周期函数且有一个周期是2 ( a - b) .

( 3) 若曲线y = f ( x) 有一个对称中心 ( a, c) 和一条对称轴x = b ( a≠b) , 则函数y = f ( x) 是周期函数且有一个周期是4 ( a - b) .

( 可类比正弦函数的性质来记忆上述结论)

五、周期性———“重复造就完美”

例7 ( 2007年复旦大学自主招生考试试题第86题) 设f ( x) 是定义在实数集上的周期为2的周期函数, 且是偶函数. 已知当x∈[2, 3]时, f ( x) = - x, 则当x∈[-2, 0]时, f ( x) = ( )

( A) - 3 +| x + 1 | ( B) 2 -| x + 1 |

( C) 3 -| x + 1 | ( D) 2 +| x + 1 |

解: ( A) . 当 x ∈[- 2, - 1]时, f ( x) = f ( x + 4) = - x - 4. 当 x ∈ [- 1, 0]时, f ( x) = f ( - x) = f ( - x + 2) = x - 2.

由此可得答案.

例8 ( 2006年武汉大学自主招生考试试题) 已知f ( x) 是定义在R上的偶函数, 并满足f ( x + 2) = -1/f (x) ; 当2≤x≤3时, f ( x) = x, 则 f ( 5. 5) = ()

( A) 5. 5 ( B) - 5. 5 ( C) - 2. 5 ( D) 2. 5

解: ( D) . 得f ( x + 4) = -1/ f ( x+2) = f ( x) , 所以f ( 5. 5) = f ( - 2. 5) = f ( 2. 5) = 2. 5.

例9 ( 2010年高考重庆卷理科第15题) 已知函数f ( x) 满足: f ( 1) =1/4, 4f ( x) f ( y) = f ( x + y) + f ( x - y) ( x, y∈R) , 则 f ( 2010) =_____.

解法1: 1/2 . 取x = 1, y = 0得f ( 0) =1/2.

再取x = n, y = 1, 得f ( n) = f ( n + 1) + f ( n - 1) , 同理f ( n + 1) = f ( n + 2) + f ( n) , 得f ( n + 2) = - f ( n - 1) , 所以数列{ f ( n) } 是以6为周期的周期数列, 得f ( 2010) = f ( 0) = 1/2.

函数问题 篇8

函数的性质有很多,常见性质有奇偶性、单调性、周期性和对称性。奇偶性和单调性课本介绍的比较多,这里不在说明。对于抽象函数问题补充以下的对称性和周期性对解题有很大的帮助,运用得好就能达快速解题。

1.对称性:若函数f(x)对定义域内的一切x都有f(a+x)=f(b-x)(其中a、b为常数),则y=f(x)的图象关于直线对称。特殊的有f(a+x)=f(ax)(或f(x)=f(2a-x))则对称轴为x=a。

例1函数f(x)在x∈(0,2)上是增函数,且y=f(x+2)是偶函数,则下列结论正确的是().

分析:y=f(x+2)是偶函数,∴f(x+2)=f(-x+2),∴对称轴为x=2∴函数y=f(x)在x∈(0,4)之间的图象大致可为上图∴根据图象可得正确答案为B.

2.周期性(1):若函数f(x)对定义域内的一切x都有f(x)=-f(x-a)则函数y=f(x)的周期为2∣a丨。(证明:f(x)=-f(x+a)=-[-f(x+a+a)]=f(x+2a)∴周期T=2∣a∣)

例2 (设函数f(x)是定义在R上的奇函数,并且f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时有f(x)=x,则f(3.5)=______。

分析:由结论得函数f(x)的周期T=2,∴f(3.5)=f(3.5-4)=f(-0.5)=-f(0.5)=0.5

周期性(2):若函数f(x)在定义域内为偶函数且满足f(a+x)=f(a-x)(或f(x)=f(2a-x))则函数y=f(x)的周期为2∣d∣。(证明:f(x)=f(-x)=f(2a+x)∴周期T=2∣a∣))

例3函数f(x)是定义在R上的偶函数,对任意的f∈R,有关系f(1+x)=f(1-x),又当x∈[-1,0)时有,求f(2π)的值。

分析:由题意可知函数f(x)的对称轴为x=1,函数周期T=2,∴f(2π)=f(-2π)f(6-2π),-1<6-2π<0∴。

周期性(3):若函数f(x)在定义域内为奇函数且满足f(a+x)=f(a-x)(或f(x)=f(2a-x))则函数y=f(x)的周期为4丨a∣。(证明:f(x)=-f(-x)=-f(2a+x)=-[-f(2a+2a+x)]=f(4a+x)∴周期T=4∣a∣))

例4 (05天津高考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=______。

分析:由f(x)是定义在R上的奇函数有f(0)=0,∴,又由上面结论有函数f(x)的周期。故原式=f(1)+f(0)+f(1)+f(0)+f(1)=0。

由此可见,我们抓住抽象函数的奇偶性和对称性,进而可以推导出周期性,对我们解题起了很大的作用。结合以上方法,来解决这两年高考中出现的抽象函数求值问题:

(2008四川延考卷11)设函数y=f(x)(xeR)的图象关于直线x=0及直线x=1对称,且x∈[0,1]时,f(x)=x2,则

分析1:由赋值法得

分析2:关于直线x=0,即为偶函数,关于直线x=1对称,则T=4,故有

(2008四川卷11)设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x+2)=13,若f(1)=2,则f(99)=()

(A)13 (B)2 (C)(D)

分析1:由赋值法得f(x)=2,,,观察规律得。

分析2:由f(x)·f(x+2)=13记为①,得f(x+2)f(x+4)=13记为②,则①/②得f(x)=f(x+4),故有周期T=4,所以。

(2009山东卷10)定义在R上的函数f(x)满足,则f(2009)的值为()

(A)-1 (B) 0 (C)1 (D) 2

分析1:由赋值法得f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=-1,f(2)=-1,f(3)=0,f(4)=1,f(5)=1,f(6)=0观察得出周期T=6,f(2009)=f(6*334+5)=f(5)=1。

分析2:由x>0时,f(x)=f(x-1)-f(x-2)记为①,得f(x+1)=f(x)-f(x-1)记为②,则①+②有f(x+1)=-f(x-2),所以有f(x)=-f(x-3),即得f(x)=f(x-6)

所以得周期T=6,f(2009)=f(6*334+5)=f(5)=1

用函数解数列问题 篇9

一、从函数角度看数列

例1.数列{an}满足求{an}的最大项与最小项.

分析:通过有限项找规律, 方法不完备.利用函数的图象, 结合数列特殊性, 问题较简单.

知当时函数单减.而{an}中n∈N*, 所以a9为最小项, a10为最大项.

二、函数与等差数列的前n项和

例2.等差数列{an}中, Sn为其前n项和, S100=10, S10=100, 求S110.

分析:方法一:利用求和公式需求首项, 公差并反复用求和公式, 较繁.而注意等差数列的前n项和是关于n的二次函数并不含常数项.令Sn=an2+bn, 待定a与b后, 顺利得解.

解:令Sn=an2+bn, 则

方法二:又是关于n的一次函数, 利用一次函数性质解决更简单.

所以S110=-110.

三、具体函数与数列综合题

例3.已知f (n) =S2n+1-Sn+1试确定m的值的范围, 使对一切大于1的正整数n, 不等式

分析:使不等式恒成立, 可联想函数中恒成立问题, 利用函数单调性, 求函数最值, 即a>b恒成立, 则a的最小值大于b, 将问题转为求a的最小值, 这时可用a的单调性进一步得其最小值.此题中数列f (n) 是特殊函数, 故可将f (n+1) -f (n) 与0比较, 得f (n) 单调性.这是数列单调性特殊性.

四、函数与数列特殊性结合

例4.数列{an}为递增数列, 对任意有an=n2+λn恒成立.求实数λ的取值范围.

分析:方法一:考查数列与二次函数, 将二次函数性质与数列特殊性结合, 要重视数列的特殊性.方法二:用类似函数单调性的方法, 注意后一项与前一项关系, 利用an+1>an对任意n∈N*恒成立, 将问题转为函数恒成立问题.

方法二:数列{an}为递增数列, 所以an+1>an对一切自然数n恒成立,

即an+1-an=[ (n+1) 2+λ (n+1) ]- (n2+λ·n) =2n+1+λ>0恒成立,

所以λ>-2n-1.

因为n∈N*, 所以-2n-1的最大值-3,

抽象函数问题解决举例 篇10

一、直接利用给出函数的对称性求解

例1已知函数f (x) 满足条件:, 则f (x) =.

分析由于难以判断f (x) 是何种类型函数, 故不可先设出f (x) 的表达式, 但如果把条件中的x换成, 即得, 把f (x) , 作为一个整量, 实际上得到了这两个量的方程组.

解用代换条件方程中的x, 得, 把它与原条件式联立, 即得

点评充分抓住已知条件式的结构特征, 运用x, 的对称性求解.

二、赋值法求解

此类题解法依据是:如果一个函数关系式中的变量对某个范围内的一切都成立, 则该范围内的某些特殊值必成立, 结合题设条件的结构特点, 给变量适当取值, 从而使问题简单化、具体化, 最终获解.

例2已知f (0) =1, f (a-b) =f (a) -b (2a-b+1) , 求f (x) .

解令a=0, 则f (-b) =f (0) -b (-b+1) =b2-b+1,

再令-b=x, 即得f (x) =x2+x+1.

三、利用函数的性质求解

1. 利用函数的单调性

例3已知函数f (x) 的定义域是 (0, +∞) , x>1时, f (x) >0, 且f (xy) =f (x) +f (y) .

(1) 求f (1) ;

(2) 证明f (x) 在定义域上是增函数;

(3) 如果, 求满足不等式的x的取值范围.

分析因为对于任意x, y∈ (0, +∞) 都有f (xy) =f (x) +f (y) , 故 (1) 可用赋值法解决.

对于 (2) 要证明f (x) 是单调增函数, 用定义证明, x1>x2时, f (x1) >f (x2) , 应充分应用x>1时, f (x) >0这一条件来构造.

对于 (3) , 欲化去函数符号“f”须应用单调性, 故应把不等式两端变形为f (x1) >f (x2) 的形式, 关键利用已知条件把2化为函数值的形式.

解 (1) 令x=y=1, 得f (1) =2f (1) , 故f (1) =0.

任取x1, x2∈ (0, +∞) , 且x1

所以f (x) 在 (0, +∞) 上是增函数.

在f (xy) =f (x) +f (y) 中, 令x=y=3, 得

f (9) =f (3) +f (3) =2.

又, 故所给不等式可化为

f (x) +f (x-2) ≥f (9) , 即f[x (x-2) ]≥f (9) ,

因此, x的取值范围是

2. 利用函数的奇偶性

例4设函数f (x) 的定义域为R, 对于任意的实数x, y都有f (x+y) =f (x) +f (y) , 又当x>0时, f (x) <0且f (2) =-1试问函数f (x) 在区间[-6, 6]上是否存在最大值与最小值?若存在, 求出最大值, 最小值、若不存在, 请说明理由.

分析因为对于任意x, y∈ (-∞, +∞) 都有f (x+y) =f (x) +f (y) , 故可用赋值法解决函数的奇偶性, 又对于条件“当x>0时, f (x) <0”可解决函数的单调性.

解 (1) 令x=y=0, 得f (0) =2f (0) , 故f (0) =0.

令y=-x, 得f (x-x) =f (x) +f (-x) =f (0) =0.

所以f (-x) =-f (x) , 即f (x) 是奇函数.

设x1, x2∈R, 且x1

因x2-x1>0, 由f (x2-x1) <0,

故f (x2)

最小值为f (6) =f (4) +f (2) =3f (2) =-3,

最大值为f (-6) =-f (6) =3.

例析函数问题的相互转化 篇11

例题 已知函数f(x)=ax2-4x+a-3在区间［0,1］上的最大值是M，最小值是m，若Mm＜0，求实数a的取值范围.

解析 一般地，根据题意直接求出最大值和最小值，再由Mm＜0得出M为正，m为负，从而确定实数a的取值范围.但在求最值时要对函数是否为二次函数加以讨论；当函数为二次函数时，还要讨论抛物线的开口方向及对称轴位置.

（1） a=0时，f(x)=-4x-3，在区间［0,1］上单调递减，所以M=f(0)=-3＜0，m=f(1)=-7＜0，这与Mm＜0矛盾，不符合题意.

（2） a≠0时，f(x)=ax-2a2+a2-3a-4a.

① a＜0时，2a＜0，故函数f(x)在区间［0,1］上单调递减.所以M=f(0)=a-3，m=f(1)=2a-7.

又a＜0，所以Mm=(a-3)(2a-7)＞0，不符合题意.

② 0＜a＜2时，2a＞1，函数f(x)在区间［0,1］上单调递减，故M=f(0)=a-3＜0,m=f(1)=2a-7＜0,于是Mm＞0,也与题意不符.

③ a≥2时，0＜2a≤1，函数f(x)在区间［0,1］上先单调递减后单调递增（在0,2a上递减，在2a，1上递增）.

所以最大值只能是f(0)或f(1)，

由f(0)＞0知a＞3，由f(1)＞0知a＞72.即由M＞0可得a＞3.

最小值m=a2-3a-4a＜0,解得2≤a＜4.

所以3＜a＜4.

综上可得，当Mm＜0时，a的取值范围是(3,4).

思考 Mm＜0，即最大值为正，最小值为负.结合函数的图象，可知函数f(x)在区间[0,1]上与x轴应有交点，也就是方程f(x)=0在区间[0,1]上有解（且不是相等实根），故本题可以转化为函数的零点问题来解.

又解 依题意，方程f(x)=0在区间[0,1]上有解（不是相等实根）.

（1） a=0时，f(x)=0即-4x-3=0，在区间[0,1]上无解，不符合题意.

（2） a≠0时，

① f(x)=0在区间[0,1]上恰有一解（不含相等实根）.

若f(0)f(1)＜0，即(a-3)(2a-7)＜0，则3＜a＜72；

若f(1)=0，即a=72，此时f(x)=12(7x-1)(x-1)，有两解，矛盾；

若f(0)=0，即a=3，此时f(x)=x(3x-4)，也有两解，也不符合题意.

② f(x)=0在区间[0,1]上有两解，抛物线的对称轴必在区间[0,1]内，即0＜2a＜1，故a＞2.同时还要满足条件：f(0)＞0，f(1)＞0，Δ＞0，即a＞3，a＞72，-1＜a＜4，所以72＜a＜4.

综上可得，当Mm＜0时，a的取值范围是(3,4).

再思考 若将方程f(x)=0变成ax2+a=4x+3，则问题又可转化为讨论动曲线y=ax2+a与定直线y=4x+3在[0,1]上的交点情况.但作出y=ax2+a的图象并不是一件轻松的事，参数a是如何影响函数y=ax2+a图象形状的，难以入微.为此，将参数a转移到等式右边（a≠0时），即有x2+1=4ax+34，问题转化为研究定曲线y=x2+1与动直线y=4ax+34在[0,1]上的交点情形（不含相切），方便了许多.

再解 依题意，方程f(x)=0在区间[0,1]上有解（且不是相等实根）.

（1） a=0时，f(x)=0即-4x-3=0，在区间[0,1]上无解，不符合题意.

（2） a≠0时，由f(x)=0，可得ax2+a=4x+3，即x2+1=4ax+34.

作出函数y=x2+1及y=kx+34的图象，如右图所示，可知当1＜k＜43，即1＜4a＜43，也就是3＜a＜4时符合题意.

综上可得，当Mm＜0时，a的取值范围是(3,4).

说明 1. 本题中的a∈(3,4)是Mm＜0的充要条件；

2. 本题由2007年广东省高考数学卷的第20题改编，原题如下：已知a是实数，函数f(x)=2ax2+2x-3-a，如果函数y=f(x)在区间［-1,1］上有零点，求a的取值范围.（答案是a≥1或a≤-3+72）

有关分段函数的问题 篇12

一、分段函数的值域问题

分段函数的值域就是各段函数值取值范围的并集.

综上所述, 可得值域为 (0, +∞) .

其图像为

二、分段函数的求值问题

分段函数求值时要注意每一段中的自变量x的取值范围.

例2 (2010年陕西卷) 已知函数, 若 (f (0) ) =4a, 则实数a等于 () .

解∵f (0) =20+1=2.

∴f (f (0) ) =f (2) =22+2a=4+2a.

由f (f (0) ) =4a, 得4+2a=4a, ∴a=2.故选C.

三、分段函数的不等式问题

分段函数的不等式问题要充分利用分段函数的单调性.

例3 (2010年江苏卷) 已知函数, 则满足不等式f (1-x2) >f (2x) 的x的取值范围是________.

解函数图像如图所示.

由f (1-x2) >f (2x) , 可得

解得0≤x<2-1或-1

即不等式f (1-x2) >f (2x) 的解集为.

四、分段函数的反函数问题

分段函数的反函数问题要注意求出的反函数在每一段中自变量的取值范围就是原函数在该段中函数值的取值范围.

解当x∈ (0, 1]时, 由y=x2-1, 得x=y+1.又, ∴-1

当x∈[-1, 0) 时, 由y=x2, 得又0

五、分段函数的奇偶性问题

分段函数的奇偶性问题要注意在每一段上都必须验证奇偶性的条件.

例5判断函数的奇偶性.

解函数的定义域为 (-∞, 0) ∪ (0, +∞) , 关于原点对称.

当x<0时, -x>0, 则

当x>0时, -x<0, 则

综上所述, f (-x) =f (x) , ∴f (x) 为偶函数.

六、分段函数的单调性问题

分段函数的单调性问题一定要注意分界点.

例6已知函数, x≥1是R的减函数, 则实数a的取值范围是_________.

七、分段函数的连续性问题

分段函数的连续性问题主要是在分界点处的连续.

例7 (2009年四川卷) 已知函数x<2在点x=2处连续, 则常数a的值是 () .

即4=a+1.∴a=3.故选B.

八、分段函数的零点个数问题

分段函数零点个数问题主要是求出每一段的零点个数.

例8 (2010年福建卷) 函数的零点个数为 () .

解令f (x) =0, 则

当x≤0时, x2+2x-3=0, 得x=-3或x=1 (舍去) ;

当x>0时, -2+lnx=0, 得x=e2.