辅助函数

辅助函数（共8篇）

辅助函数 篇1

摘要：本文辅助函数构造法是数学学习的一个较为常用的方法。通过应用构造法解决一些数学分析中的问题, 向大学生介绍了构造辅助函数这一基本数学思想。本文通过实例就此问题进行归纳, 总结出利用函数的图象、形态、微分方程及综合分析等方法来构造辅助函数。

关键词：辅助函数,构造法,创建方法

在中学时, 我们就已经接触了构造辅助函数法, 并使用它去解决某些问题。构造辅助函数法体现了一种数学基本思想, 一种解题技巧。用构造辅助函数法解题, 能达到直观形象, 简洁明快的效果。构造辅助函数法的使用, 需要以我们已有的知识作为基础, 要求我们充分展开联想, 灵活运用所学知识。

构造辅助函数法这一思想在我们现在学的数学分析中运用十分普遍, 我们运用它来证明某些定理不等式, 进行某些计算, 将一些复杂的问题简单的解决了。下面我们来看看用构造辅助法解决的一些具体的问题。

1 几何直观法证明中值定理

定理1 (拉格朗日中值定理) 若函数f (x) 满足:

(ⅰ) f在闭区间[a, b]上连续;

(ⅱ) f在开区间 (a, b) 内可导;

则在 (a, b) 内至少存在一点ξ, 使得:

证明:分析:从几何图形上看是很明显的, 已知ξ为点P (ξ, f (ξ) ) 处切线的斜率, 又知.

为AB两点的斜率, 故我们可知要证即为f (x) 中至少有一点的切线与端点斜率平行。对于常数函数f′ (x) =0在 (a, b) 处处成立, 这时定理的结论很明显是成立的。

考虑一般情况, f (a) ≠f (b) 。此时, 作辅助函数:

由连续函数性质及导数运算法则, 可知φ (x) 在[a, b]连续, 在 (a, b) 可导, 并且:

这就是说φ (X) 满足上面的各种情形, 因此在 (a, b) 内至少有一点ξ, 使:

这正是所要证明的定理。

同理, 对于平行于AB且过原点的直线CD的函数 , 函数φ2 (x) =f (x) -y2 (x) 也满足罗尔定理的条件, 故φ2 (x) 也可用作证明本题的辅助函数。

另外, 设曲线上任一点p (x, f (x) ) , 则ΔPAB的面积为:

当x=a或x=b时, φ3 (a) =φ3 (b) 故φ3 (x) 也可用作辅助函数证明本题。

2 利用函数的形态构造辅助函数法

主要适用于不等式命题的证明和有关方程实数根的讨论。

2.1 证明不等式

证: (1) 分析:这是我们中学时就遇到过的一个不等式, 当时我们很难给出其证明, 现在通过构造辅助函数, 运用所学的凸函数知识给出简单的证明。如下:

构造辅助函数g (x) =-ln (x)

所以, g (x) 为凸函数

故不等式得证。

(2) 分析:观察题目结构, 发现不等式左右两边有特点, 于是我们

构造辅助函数

所以f (x) 严格增。考虑到

于是得证。

(3) 分析:先导入函数 , 则x>0时t>0, 要证明原不等式成立, 即要证明:

为此, 构造辅助函数

于是, 原命题成立

方法归纳:用单调性分析证明函数不等式可通过移项将不等式化为大于0 (或小于0) 的形式来构造辅助函数, 但应注意以下几点:

1) 为使求导后的函数f′ (x) 较简单, 有时对原不等式作适当变形;

2) 有时需多次求导;

3) 在证明含有两个变量的不等式时, 可以把其中的一个当作变量, 而另一个当作常数, 使问题化为一个变量的函数不等式的证明。

我们再来看看下面例子:

例设b>a>e, 证明ab>ba。

分析:所给不等式为幂指数形式, 可先两边取对数

由于b>a>e

所以ab>ba等价于blna>alnb

考察F (x) =xlna-alnx

若x>a>e时, 能推知F (x) 单调增加, 则命题得证。

证:令F (x) =xlna-xlnb (x>0)

当x>a>e时, 有lna>lne=1, 而 , 因此F′ (x) >0, 即当x>a>e时, 单调增加, 又F (a) =0, 所以当x>a>e时, 必有blna>alnb

即:xlna>alnx故当b>a>e时, 必有blna>alnb

2.2 讨论方程的实根

构造辅助函数———变限定积分, 利用微分中值定理或闭区间上连续函数性质等各种方法讨论方程的实根。

证明:由所要证的等式构造辅助函数———变限积分函数

故F (0) =0, F (1) =0且F (x) 连续、可导, 所以由罗尔定理知, 存在一点ξ∈ (0, 1) 使得F′ (ξ) =f (1-ξ) +f (ξ) =0。

3 运用构造辅助函数法解决极值问题

有许多极值问题, 受到不同条件的限制, 这就要求我们解决有条件下的极值问题。于是我们想有没有什么办法能将条件和表达式联系起来, 达到一步求极值?拉格朗日乘数法就可以解决这个问题, 实质是构造出一辅助函数。

即拉格朗日乘数法;

其中f (x1, ∧, xn) 为所求表达式, 覫k (x1, ∧, xn) 为条件表达式。

例1要设计一个容量为V的长方形开口水箱, 试问长、宽、高等于多少时其表面积最少?

设水箱长、宽、高分别为x, y, z, 则表面积为:

分析:此题涉及变量较少, 条件较为简单, 可以用消元法化为无条件极值问题, 但若对于多个条件的复杂情况, 消元法恐怕是无法达到其效果。而通过上面所介绍的构造辅助函数即拉格朗日乘数法, 则即能解决简单的情况, 又能很好的解决复杂问题。

解:作辅助函数F (x, y, z, λ) =2 (xz+yz) +xy+λ (xyz-V)

对F求偏导数, 并令它们等于0:

解:作拉格朗日函数

因为f (x, y, z) 在第一卦限的球面上连续, 且在其边界上, x, y, z分别为零。故f在边界上趋于负无穷, 即f的最大值只能在球面内部取到, 点 为惟一可能的最大值点, 最大值为:

4 小结

用构造辅助函数法解题, 关键是如何去构造辅助函数, 而这个辅助函数能使问题简化, 对我们掌握的知识的灵活性比较高, “冰冻三迟非一日之寒”。也就是说还是要靠我们平时的积累。一般来说我们可以从三个方面来思考:

1) 数形结合思想, 象中值定理的证明过程中, 我们根据其几何意义构造一个切线方程, 问题得到解决。

2) 观察题目中函数结构, 象上面例题中出现过的构造辅助函数讨论方程的根中, 就是根据面积关系函数的结构, 构造辅助函数的。构造合理的辅助函数才能使问题简化, 才能达到我们借助辅助函数解题的意义。

3) 逆向思维象中值定理的证明中, 我们可以从要证明的想起, 从结果中的隐性条件, 结合已知函数结构构造辅助函数, 我们想要证明:

便想到构造一个辅助函数使其求导为0。结果我们构造辅助函数:

我们比较 (1) 和 (2) , 很明显他们的结构有很多相似的地方。

参考文献

[1]陈传璋, 等.数学分析 (上、下册) [M].高等教育出版社, 2001, 1.

[2]湖南师范学院数学系分析教研组[M].数学分析习题解答.

[3]赵显曾, 等.数学分析的方法与解题[M].陕西师范大学出版社, 2005, 9.

[4]邵剑, 等.大学数学考研专题复习[M].浙江大学:科学出版社, 2001, 7.

[5]龚冬保, 等.高等数学典型题解法、技巧、注释[M].西安交通大学出版社, 1996.

[6]同济大学数学教研室.高等数学上、下册 (第四版) [M].北京:高等教育出版社, 1996.

[7]李远东, 刘庆珍.高等数学的基本理论与方法[M].重庆:重庆大学出版社, 1995.

[8]薛嘉庆.高等数学题库精编[M].沈阳:东北大学出版社, 2000.

信息技术辅助函数与方程的学习 篇2

关键词：信息技术；函数与方程；数学思维

信息技术在不断发展，它改变着我们的生活，也改变着学生的认知方式。在学生的不同认知层次情况下，如何应用信息技术帮助学生学习？本文试以函数与方程教学中的案例加以说明。

《普通高中数学课程标准》要求：“高中数学课程应提倡实现信息技术与课程内容的有机整合（如，把算法融入数学课程的各个相关部分），整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质。高中数学课程应提倡利用信息技术呈现以往教学中难以呈现的课程内容，在保证笔算训练的前提下，尽可能使用科学型计算器、计算机软件、互联网以及各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。”“应注意鼓励学生运用现代教育技术学习、探索和解决问题。例如，利用计算器、计算机画出指数函数、对数函数等的图象，探索、比较它们的变化规律，研究函数的性质，求方程的近似解等。”

高中数学，尤其是函数，强调“数以形而直观，形因数而入微”，利用信息技术可以直观、准确地显示函数图象以及多个函数图象的交点，能动态展示函数图象变化的规律。

一、理论

数学学习是学生在教师的组织和引导下，以数学教材为中介，学生主动掌握数学知识、发展数学能力、形成良好个性心理品质的认识与发展相统一的过程，是一种特殊的认识过程。学习效果与教学内容的选择、呈现方式、学生的基础等有密切的关系。高中学生在学习初等函数时，通常是教师精确作图，学生观察分析，学生对函数的图象形成表象，在大脑中形成自己对这个图象的观念并形成记忆，然后通过语言与文字表述这个函数的图象特征，进而对这个函数形成代数抽象，还能对其中的参数分类探究。学生常见问题有：概念理解不深入，记忆有误差，培养数学思维难见

成效。

在实践中，我发现用信息技术工具可以解决这些问题。在使用信息技术工具呈现出精确图象或运动图象后，教师还应设置问题，引导学生理解并分析函数图象，并内化为对概念的理解。学生利用信息技术工具可以自主准确作图，分析对比函数图象，深入认识函数概念，发展辩证思维能力。在这个过程中，教师应发挥主导作用，用信息技术辅助课堂教学。在当前的考试中不能使用图形计算器，但函数图象、数形结合又是高中数学分析思路与解题的重要工具，因此，教师在使用信息技术工具讲解完后，应与学生共同分析，在没有信息技术工具时，如何解决这些问题，从而让信息技术工具真正起到辅助作用。正如全国中小学计算机教育研究中心主任苗逢春博士所说：“如果没有教师引导学生围绕学习目标一步步展开深刻思考，则信息技术整合就失去了灵魂，功能强大的信息技术就只是可供教师换取一两声喝彩的花拳绣腿和表演道具。”

二、用途

1.加深概念理解

奥苏贝尔在“学与教”理论中提出“有意义学习”的理论，要求将有潜在意义的学习材料同学生已有的认知结构联系起来。数学概念通常是准确的定义，学生作为初学者，种种因素使学生难以准确理解定义，更难主动掌握数学知识。教师可以借助信息技术工具，创建认知情境，以精确的作图、动态的图象变化吸引学生主动探究，同时可以直观感知的图象能帮助学生归纳并掌握数学

知识。

在学习指数函数的图象与性质时，可以作出函数y=ax的图象，并改变底数a的数值形成图象的动态变化，学生通过观察底数a的大小变化和图象的变化，可以发现底数a>1和0

在课堂中，可以用几何画板实现图象的动态变化。用线段的长度度量底数a的大小，通过拉动线段的端点改变线段长度，从而改变a的大小，实现图象的连续变化。这个课件也可以作为数学实验让学生自主操作、自主探究。类似的，在学习对数函数、幂函数时也可以用信息技术呈现图象的变化，由学生自主归纳函数的图象与性质。

传统教学手段由于以静态为主，单个图象的精确作图可以以“列表描点连线”完成，要想看到图象的变化情况，须作出多个图象，这不仅耗费时间较多，所作的图象也未必精确，而且在同一坐标系下的多个图象也容易相互干扰。静态图象需要学生想象才能“连续变化”，不是直观感知。所以信息技术工具作出的函数图象连续变化是黑板上作图无法替代的。信息技术作图能弥补手工作图的不足，增强直觉，如果学生能动手操作，就能强化学生动手操作时的直觉体验。函数图象从静态到动态，学生从观察动态图象到对比分析，从眼见到脑想，促进思维发展。这种利用信息技术自我探究的学习方式和效果是传统教学手段达不到的。

强调信息技术作图带来的好处，并非“列表描点连线”的作图方法不重要。通过上述课程的学习或探究，学生认识了指数图象的变化规律。在解题时，学生能取点（-1，■）、（0，1）、（1，a）做出较准确的指数函数图象。所以，信息技术精确作图能加深对概念的理解，这一点体现在解题时较准确作图上。

2.纠正认识误区

学生对函数图形的认识，较多是记忆其大致形状和趋势，容易形成对图形的认识误区，在解题时草图画不准确，容易导致错误。纠正作图中的错误就要用计算机软件精确作图，能帮助学生重新形成对函数图象的正确认识。

例1：求函数f（x）=x2，-1≤x≤1f（x-2），1

学生的习惯是画出函数f（x）的图象后，随手画出函数y=lgx的图象。教师讲解时要用计算机画出精确图形，学生对比后发现自己的认识误区，再探究怎样画出函数y=lgx的较准确的草图，

学生联想到课堂上发现的函数y=logax过定点（1，0）和（a，1），所以可以用定点（1，0）和（10，1）画出函数y=lgx的较准确的草图。这个过程能让学生纠正认识误区，重新内化为对函数图象的理解，学生的思维从感性上升到理性，为培养学生推理论证的意识和能力奠定基础。

3.培养数学思维

分类思想是数学思维的重要方面，分类讨论对学生是思维发展上的难点。函数是培养分类谈论思维的良好载体。在函数中，参数的改变将引起图象的变化，导致两个图象的交点个数或一个函数的零点个数的变化。信息技术在动态图形的作图上有优势，通过观察图象變化，能发现上述变化。

例2：求y=ax与y=logax的图象的交点个数

学生通常只能画出交点个数为0个、1个、2个的图形，得不到更多结果。通过几何画板作图，随着参数a的变化能得到上述结论，还可以得到三个交点的情形，图形激发了学生探究的热情，师生一起分类讨论交点个数。

需要强调的是，信息技术可以帮助学生发现问题，只有当学生深入探究问题，找到分类标准后，才能提升思维品质。其实，数学思维的过程就是不断提出问题和解决问题的过程。因此信息技术可以辅助培养数学思维。

4.应用数学思想

在目前高考中，函数与导数成为检测学生综合应用数学知识的重头戏，学生要具备深厚的数学基础和分析能力，尤其要熟练应用数形结合的思想，构建函数并应用图象解决问题。

以图形技术为核心的信息技术，能使复杂的函数问题转化为直观、形象、动态的感性情景，降低了学生理解数学的难度，但需要根据不同的教学内容、不同层次学生的学习特点，灵活选用合适的信息技术工具。教师把信息技术和数学教学的学科特点结合起来，揭示数学概念的形成与发展，揭示数学思维的形成与实质，揭示数学思想的内涵与应用，帮助处于不同认知层次的学生更好地体会数学、理解数学，使数学课堂教学收到事半功倍的效果。

参考文献：

[1]德里斯科尔.学习心理学：面向教学的取向[M].王小明，译.华东师范大学出版社，2008.

几类中值定理辅助函数构造方法 篇3

构造辅助函数的方法很多, 构造出的辅助函数也可以有各种形式, 本文从分析与证明微积分中几个典型例子来说明如何构造辅助函数的集中常见方法.

一、所证结论仅与ξ相关

1.原函数法

利用微分中值定理求介值或零点问题时, 要证明的结论是某一个函数的导函数的零点, 因此可通过不定积分求出原函数作为辅助函数, 其步骤:

①将欲证结论中的ξ换成x;

②通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式 (或称之为易积分形式) ;

③用观察法或积分法求出原函数 (即不含导数符号的式子) ;

④移项使等式一边为0, 则另一边即为所求辅助函数.

例1 若f (x) , g (x) 在[a, b]上可导, 且g (x) ≠0, 则存在一个ξ∈ (a, b) 使undefined

分析 将结论中的ξ换成x, 则有

f (a) g′ (x) +g (b) f′ (x) =f (x) g′ (x) +g (x) f′ (x) .

f (a) g′ (x) +g (b) f′ (x) =[f (x) g (x) ]′.

对等式两边积分, 令c=0, 得

f (a) g (x) +g (b) f (x) =[f (x) g (x) ].

即可确定辅助函数F (x) =f (x) g (x) -f (a) g (x) -g (b) f (x) , 由题设条件知F (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 可导, F (a) =-g (b) f (a) , F (b) =-f (a) g (b) .

因此F (a) =F (b) , 则满足洛尔定理的条件:一个ξ∈ (a, b) , 使得F′ (ξ) =0, 即

undefined

2.一阶线性齐次方程解法的变形法对于所证式为

f′+pf=0型 (其中p为常数或x的函数) 可引进u (x) =e∫pdx, 则构造出辅助函数F (x) =fe∫pdx

例2 设f (x) 在[a, b]有连续导数, 又存在c∈ (a, b) 使得f′ (c) =0.求证:存在ξ∈ (a, b) 使得undefined

undefined

则变形为f′+pf=0型, 引进函数undefined,

令c=0, 则可确定辅助函数undefined

证明undefined, 由题设条件可知F (x) 在[a, b]连续在 (a, b) 可导, 又存在c∈ (a, b) , 使undefined, 则f (c) =f (a) , 可知满足洛尔定理条件存在ξ∈ (a, c) 使F′ (ξ) =0, 即undefined, 即得证.

二、所证式与区间端点函数值有关的微分中值命题

1.把结论中由区间端点函数值构成的部分分离出来并改写成柯西中值定理或拉格朗日的结论中相应的标准往往就找到了解决问题的钥匙

例3 设0

undefined

分析 先整理一下欲证的式子, undefined, 发现ex1f (x2) -ex2f (x1) 是交叉的, 变换一下分子分母同除以undefined, 于是这个式子一下变得没有悬念了.

证明 令undefined, 则F (x) , G (x) 在[a, b]上满足柯西中值定理, 则至少存在一点ξ∈ (x1, x2) 使得

undefined

把F′ (ξ) , G′ (ξ) 代入 (1) , 即得

undefined

2.常数k值法

此法适用于常数已分离出的命题.

构造辅助函数的步骤:

①令常数部分为k;

②恒等变形, 使等式一端为a及f (a) 构成的代数式, 另一端为b及f (b) 构成的代数式;

③分析关于端点表达式是否为对称式或轮换对称式, 若是只要把端点a改成x, 相应的函数值f (a) 改成f (x) , 则换变量后的端点表达式就是所求的辅助函数F (x) .

例4 设f″ (x) 在[a, b]上存在, a

分析undefined, 这是关于端点a, b, c的轮换对称式 (即 (a, b, c) → (b, c, a) 式子不变) , 令b=x (也令c=x或a=x) , 是得F (x) = (x-c) f (a) + (a-x) f (c) + (c-a) f (x) -k (a-x) (a-c) (x-c) .

证明 显然F (x) 在[a, c], (c, b) 上满足洛尔定理, 是分别存在ξ1∈ (a, c) , ξ2∈ (c, b) 使得F′ (ξ1) =F′ (ξ2) =0, 又F′ (x) =f (a) -f (c) + (c-a) f′ (x) +k (a-x) (x-c) -k (a-x) (a-c) , F″ (x) = (c-a) f″ (x) +2k (a-c) , 由题设及以上的证明可知, F′ (x) 在[ξ1, ξ2]上满足洛尔定理, 故在 (ξ1, ξ2) 内存在一个点ξ, ξ∈ (ξ1, ξ2) ⊂ (a, b) , 使得F″ (ξ) =0, 即undefined.即命题得证.

3.欲证结论同时出现在

(a, b) 内至少存在ξ, η, ξ≠η满足某种关系式的命题这类命题的证明, 其中一个函数f (x) 已给出, 另一个函数g (x) , 只要将欲证结论中的η表达式稍加整理便可看出, 证明方法:两次中值定理

例5 设a>0, f (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内可导, 且f′ (x) ≠0, 求证:存在ξ, η∈ (a, b) , 使undefined

分析 待求的式子有ξ, η两个, 先固定一个譬如ξ, 问题归结为undefined, 即2xf′ (ξ) = (b+a) f′ (x) 在 (a, b) 中存在解x=η, 对方程两边关于x积分∫ba2xf′ (ξ) dx= (b+a) ∫baf′ (x) dx, 则f′ (ξ) (b2-a2) = (b+a) [f (b) -f (a) ], 即undefined, 只要找到undefined与undefined的关系就行了.

证明 根据拉格朗日中值定理在 (a, b) 中存在ξ, 使undefined, 再由柯西中值定理存在ξ∈ (a, b) 使得undefined

本文归纳总结了三种情形微分中值定理构造辅助函数的方法和一般规律, 构造辅助函数没有什么万能的方法, 它是一种创造性的思维过程, 具有较大的灵活性, 运用基本的数学思想, 经过认真观察, 深入思考构造出辅助函数是解题关键.

摘要：本文给出三类中值定理辅助函数构造方法.

关键词：中值定理,辅助函数,构造方法

参考文献

[1]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社, 1993.

[2]陈传璋, 金福临, 朱学炎, 欧阳兴中.数学分析[M].北京:高等教育出版社, 1988.

构造辅助函数在高等数学中的应用 篇4

一、通过对所构造辅助函数的研究, 讨论方程根的情况

构造辅助函数用零点定理证明: 若题设中仅有抽象函数连续的条件, 或所给的方程是具体方程, 此时应考虑用零点定理.构造辅助函数的方法是:通过移项, 把方程的一端化为零, 另一端即为所要构造的辅助函数 (若结论是含有x的等式, 则把ξ换成x) .

例1:试证方程x=asinx+b (a>0, b>0) 至少有一个正根, 并且它不超过a+b.

分析:构造一个辅助函数f (x) =x-asinx-b, 对其在[0, a+b]上使用零点定理.

证明:设f (x) =x-asin-b, 显然f (x) =x-asinx-b在[0, a+b]上连续, 且f (0) =-b<0, f (a+b) =a[1-sin (a+b) ]≥0.

当sin (a+b) ]=1时, f (a+b) =0, 则a+b就是方程的一个根.

当sin (a+b]<1时, f (a+b) =a[1-sin (a+b) ]>0, 此时f (0) 与f (a+b) 异号 , 故由零点定理知 , 在 (0, a+b) 内至少存在一个点ξ, 使得f (ξ) =0即ξ=asinξ+b.

故方程x=asinx+b (a>0, b>0) 至少有一个根ξ, ξ∈ (0, a+b) .

综上所述, 方程x=asinx+b (a>0, b>0) 至少有一个正根, 并且它不超过a+b.

对于具体的方程或含n的等式, 若构造的函数经验证不符合零点定理, 即用零点定理证明失效时, 则改用罗尔定理.此时, 需寻找该函数的原函数f (x) 作为所构造的辅助函数.

例2:证明:若, 则至少存在x0∈ (0, 1) , 使得

分析:问题仅在于构造一个辅助函数, 对其在 [0, 1]上使用罗尔定理.

证明:设, 显然f (0) =f (1) =0;且f (x) 在 [0, 1]上连续 , (0, 1) 上可导 , 由罗尔定理知 , 至少存在x0∈ (0, 1) , 使得

二、通过对所构造辅助函数的研究, 讨论中间值的存在性

例3:设b>a>0, 证明存在ξ∈ (a, b) 使得blna-alnb= (b-a) (lnξ-1) .

分析:要证中间值的存在性, 显然要用中值定理.关键是要构造怎样的一个辅助函数, 对其应用中值定理.

三、通过对所构造辅助函数的导数讨论, 证明恒等式或者不等式

例4证明:设n为正整数, 求证:.

分析:由于, 因此可以在区间上 [n, n+1]对lnx应用拉格朗日中值定理 , 再利用中值间的性质进行证明.

利用辅助函数证明有关命题时, 关键是认真分析, 巧妙构造适当辅助函数, 而恰当地辅助函数要根据命题的结论的具体形式及有联系的定理构造.当然, 构造辅助函数解题的技巧性还有很多方面, 有待我们进一步探索和总结.

参考文献

[1]陈传章等编.数学分析上册 (第2版) .北京:高等教育出版社, 1983, 7.

[2]华东师范大学数学系编.数学分析上册 (第3版) .北京:高等教育出版社, 2001, 6.

[3]四川大学数学学院高等数学教研室编.高等数学第一册 (第4版) .北京:高等教育出版社, 2009, 12.

[4]闫晓红等编.数学分析全程导学及习题全解 (上) .北京:中国时代经济出版社, 2006, 2.

辅助函数 篇5

导数只是反映函数在一点附近的局部特性,但要应用导数来了解函数在区间上的整体性态,还需借助微分学基本定理——中值定理,而拉格朗日定理是中值定理的核心。因此,探讨一下证明拉格朗日定理中辅助函数的构造方法是十分必要的。

拉格朗日中值定理:

若函数f(x)在[a,b]让连续,在(a,b)内可导,则至少存在一点§∈(a,b),使:

我们经常用的是BN.斯未尔诺夫构造辅助函数的方法:

则F(x)满足罗尔中值定理:在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(a)=F(b),于是存在一点ξ∈(a,b),使得拉格朗日中值定理就很简单地证明了。

从几何意义知道,辅助函数y=F(x)是曲线y=f(x)和直线之差,而这直线通过原点且与曲线y=f(x)在[a,b]上两端点的连线平行,从而使得F(x)满足罗尔中值定理的要求。

可见F(x)只要取曲线y=f(x)与平行于割线AB的任一直线的差,均能满足罗尔定理的条件。因此,通常除取过原点的直线以外,还可取下列直线:

a.过A,B两点的割线:或

b.过点(a,0)的直线:

c.过点(b,0)的直线:

于是就得到下列辅助函数:

(4)

对于(3)(4),其实也就是过点a或点b作直线与AB平行,用引进函数的方法可以得到。

根据上述几何手段,可以引进一般形式的辅助函数。过平面上一点(x0,y0)作直线与AB平行,其方可用:表示。

亦可证明F(x)满足罗尔定理条件。

另外,我们还有三种方法证明拉格朗日中值定理。

a.设曲线y=f(x)在[a,b]上的端点为A(a,f(a))、B(b,f(b)),因为f(a)≠f(b),所以AB与X轴不平行.如果将坐标系旋转,使新坐标系中横轴与AB平行,则在新坐标系下A.B的纵坐标当然就相等。为此,引用旋转变换公式:

则y'=-xsinθ+f(×)cosθ

取Φ(x)=-xsinθ+(x)cosθ

令Φ(a)=Φ(b)

得

当取旋转角时,

因为f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,所以φ(x)满足罗尔定理,则:

b.设s(x)为由(a,f(a)),(b.f(b)),(x,f(x))三点组成的三角形面积易见f(x)在[a.b]上连续,在(a,b)内可导,且s(a)=s(b)=0.所以由罗尔中值定理知:在(a,b)内至少存在一点ξ,使得s'(ξ)=0

故:f(b)-f(a)=f'(ξ)·(b-a)

即:

c.设f(x),g(x),h(x)在[a,b]内可导,设

则F(x)满足罗尔中值定理,有:

令g(x)=x,h(x)=1,则由(2)知,有:f(b)-f(a)=f'(ξ)·(b-a).拉格朗日定理得证。

摘要：是对拉格朗日中值定理的证明过程中辅助函数的构造。

关键词：拉格朗日中值定理,导数,辅助函数,构造

参考文献

[1]华东师范大学数学学系，数学分析[M]．北京：高等教育出版社，1991．

辅助函数 篇6

2016年各地高考数学试题,也有多道题需要用辅助角公式解答,该公式是李善兰先生提出的一种高等三角函数公式,公式形式为:

公式推导过程如下:

该公式也可以用余弦来表示(针对b>0的情况),

若正弦和余弦的系数都是负数,不妨写成f(x)=-asinx-bcosx,

以上就是辅助角公式的推导,从这个推导过程来看,辅助角公式不止一种情况和一种形式,根据sinx和cosx前的系数a,b的正负可以选择将该函数转化为只含正弦或余弦的函数,上面的推导可以总结为三种情况:

看完这些推导和总结,对于数学较好的同学,掌握辅助角公式在不同系数情况下的使用可能是没有问题的,但是稍有不慎,或者掌握不牢靠都可能会出错.从实际教学情况来看,我的学生也是掌握得不尽人意,每次使用时他们都需要去看记的笔记,该公式也并不是课本出现的必记公式,在实际应用中我们可以将多种情况全部用一个公式去代替,让它变得简单易用,这个公式我是这样表示的:

辅助函数 篇7

教学简录:

第一部分:探究参数a

在几何画板中绘制函数的图像(图1)。将二次项系数a设计成可以调节的参数,当参数a变化时,生成抛物线y=ax2的动画(图2)。

学生填写实验报告1:参数a对图像y=ax2的影响。

当a>0时,请作出的图像,顶点,对称轴:_,随着系数a的增大,图像形状如何变化?

当a<0时,请作出的图像,顶点——,对称轴——随着系数a的增大,图像形状如何变化?

第二部分:探究参数k

在几何画板中绘制三条抛物线t(x)=x2+5,r(x)=x2+2,s(x)=x2-2,优美的组合极像火箭的流线造型(图3)。将常数项k设计成参数,拖动顶点A在y轴上自由移动,对比观察:顶点A的纵坐标与参数k(图4)。

学生填写实验报告2:参数k对y=x2+k图像的影响。

当k>0时,请作出y=1/2x2+6、y=1/2x2+4、y=1/2x2+2的图像,顶点———。对称轴————,随着系数k的增大,请比较各个图像间的形状,比较各个图像间的位置。

当k<0时,请作出y=1/2x2-2、y=1/2x2-4、y=1/2x2-62的图像,顶点——,对称轴——一,随着系数k的增大,请比较各个图像间的形状,比较各个图像间的位置。

第三部分:探究参数h

在几何画板中绘制抛物线s(x)=(x+5)2,q(x)=x2,r(x)=(x-2)2,抛物线像彩色的喷泉并排在x轴上(图5)。将h设计成参数,拖动顶点A在x轴上自由移动,对比观察:顶点A的横坐标与参数h(图6)。

学生填写实验报告3:参数h对y=(x-h)2图像的影响。

当h>0时,请作出y=1/2(x-7)2、y=1/2(x-5)2、y=1/2(x-3)2的图像,顶点——,对称轴——一,随着系数k的增大,请比较各个图像间的形状,比较各个图像间的位置。

当h<0时,请作出y=1/2(x+3)2、y=1/2(x+5)2、y=1/2(x+7)2的图像,顶点____,对称轴——一,随着系数k的增大,请比较各个图像间的形状,比较各个图像间的位置。

第四部分:综合探究参数a、h、k

在几何画板中绘制抛物线q(x)=2(x+2)2+3,r(x)=10(x一3)2一5,h(x)=(x一5)2一5(图7)。将二次项系数a、h、k设计成参数,随意拖动顶点A,使抛物线y=a(x-h)2+k在坐标系任意位置停留。对比观察:顶点A的坐标与参数h、k(图8)。

学生填写实验报告4:综合讨论参数a、h、k对图像的影响。

请作出的图像顶点____对称轴____请比较各个图像间的形状,比较各个图像间的位置。

请作出以y=-(x-7) 2-2、y=—(x+7)2-2、y=-(x-7)2+2、y=一(x+7)2+2的图像,顶点——,对称轴一—,请比较各个图像间的形状,比较各个图像间的位置。

辅助函数 篇8

一、等角型

等角型即在二次函数综合题中要我们找一个或几个以动点为顶点的角等于已知角的情况.在圆中有许多与“等角”相关的定理或结论, 如“同弧 (或等弧) 所对的圆心角相等、圆周角相等”等, 那么在一个圆周上找一个角等于已知圆周角就变得非常容易.

例1 (2013福州质检第22题) 如图1, 已知在抛物线y = ax2 + bx + c (a≠0) 与x轴交于A (1, 0) , B (4, 0) 两点, 与y轴交于C (0, 2) , 连接AC, BC.

(1) 求抛物线的解析式;

(2) BC的垂直平分线交抛物线于D, E两点, 求直线DE的解析式;

(3) 若点P在抛物线的对称轴上 , 且∠CPB = ∠CAB, 求出所有满足条件的P点坐标.

解析 (1) 根据题意易得抛物线的解析式为.

(2) 由题意可得直线DE的解析式为y = 2x - 3.

(3) 分析:①本题中出现条件∠CPB=∠CAB, 这两个角的两边都分别经过B, C两点, 联想到“同弧 (或等弧) 所对的圆周角相等”, 因此只要作出△ABC的外接圆, 它与对称轴在直线BC下方的交点即所要求的一个点P (记为P1) ;②由①的思路, 要想在直线BC上方确定点P, 可以在直线BC上方找一点F使得∠CFB=∠CAB, 再作出△FCB的外接圆, 它与对称轴在直线BC上方的交点即所要求的一个点P (记为P2) .

①由第 (2) 题得直线DE为线段BC的垂直平分线, 而抛物线的对称轴 (直线x =5/2) 为线段AB的垂直平分线 , 设直线DE与抛物线的对称轴交于点M, 可求点M坐标为 (5/2, 2) , 则点M是△ABC外接圆圆心.以点M为圆心、MC长为半径作⊙M (如图2) , ⊙M与抛物线对称轴在直线BC下方的交点为P1, 可得MP1= MC =5/2, 所以点P1坐标为 (5/2, -1/2) ;

②如图2, 分别过点B, C作AC和AB的平行线相交于点F, 易得点F坐标为 (3, 2) , 线段CF的中垂线为直线x =3/2, 它与AB相交于点N, 可求点N坐标为 (3/2, 0) , 则点N为△BCF的外接圆圆心.⊙N与抛物线对称轴在直线BC上方的交点为P2, 可得NP2= NB =5/2, 设抛物线对称轴与x轴交于点H, NH=1. 在Rt△NHP2中, , 所以点P2的坐标为.

综上所述, 当点P的坐标为 (5/2, -1/2) 和时, ∠CPB = ∠CAB.

点评第 (3) 小题中点P的位置难以确定, 且条件∠CPB=∠CAB难以利用.题中条件和结论看似与圆无关, 但是通过构造三角形的外接圆, 条件∠CPB = ∠CAB变得形象, 并得以完美利用, 通过性质“同弧 (或等弧) 所对的圆周角相等”可方便的确定点P的位置, 再利用同一圆中半径相等求出点P的坐标.在这类角相等中有一个很明显的特征, 就是这两个角可以作为两个三角形的内角, 且满足两个条件:①这两个角所对的边是同一条边;②这两个角在这条边的同一侧.此时两个角的两个顶点和这条边的两个端点满足“四点共圆”, 且两个角作为圆周角所对的弧是同一条弧.

二、直角型

直角型即在二次函数综合题中找一个动点为顶点的角是直角的情况.此时, 利用圆周角定理得推论:“直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.”可轻易确定角所在的位置.

例2 (2013台州中考第23题) 如图4, 已知直线l:与y轴交于点A, 抛物线经过点A, 其顶点为B, 另一抛物线的顶点为D, 两抛物线相交于点C.

(1) 求点B的坐标, 并说明点D在直线l上的理由;

(2) 设交点C的横坐标为m.

①交点C的纵坐标可以表示为:____ 或 ____, 由此进一步探究m关于h的函数关系式;

②如图5, 若∠ACD = 90°, 求m的值.

解析 (1) 易求点A坐标 (0, 2) ;k = 1;点B坐标为 (1, 1) .把x = h代入y = -x + 2, 得y = 2 -h, 所以点D在直线l上.

(2) ①交点C的纵坐标可以表示为 (m - 1) 2+ 1或 (m h) 2- h + 2, 则可得m =1/2h.

②本题用常规解法需构造如图6所示的“K”字图形, 此辅助线较难想到, 需要学生对此类图形的性质非常熟悉, 且计算也较复杂. 当看到条件∠ACD =90°时, 联想到圆中有“直径所对的圆周角是直角, 90°的圆周角所对的弦是直径”的性质.作△ACD的外接圆⊙M (如图7) , 则圆心M是线段AD的中点, 且MA = MC = MD. 又得点A坐标 (0, 2) , 点C、点D坐标都与m有关 (由h > 1, 得m >1/2) , 那么由MA = MC可得关于m的方程, 可解m. 解法如下:点D坐标为 (h, 2 - h) , 而h = 2m, 则点D坐标可表示为 (2m, 2-2m) , 点M坐标为 (m, 2-m) .可得m.点C坐标为 (m, m2- 2m + 2) , 可得得由得或m = 0 (舍去) .

点评二次函数题中使用“辅助圆”解直角型的题目常见有已知两个点的坐标 (A和B) , 点C是一个在抛物线动点或其他直线上的一个动点, 使∠ACB = 90°, 求点C的坐标.这类题目可以作以AB为直径的“辅助圆”与动点所在线的交点即点C的位置, 然后可通过勾股定理或利用半径相等列方程求出点C的坐标, 这样做的好处是不容易漏求.本题中虽然点A和点D的位置不固定, 但是它们的坐标都可以用m表示, 而点C的坐标也可以用m表示, 故可用半径相等列方程求出m的值.和其他解法相比, 利用“辅助圆”更加地直观, 让“数”与“形”更加完美地结合.

三、最大角型

最大角型即在二次函数综合题中找一个以动点为顶点的角最大.在圆中圆外角、圆内角和圆周角具有“在同圆中, 同弧所对的圆周角小于圆内角, 同弧所对的圆周角大于圆外角”的结论, 可以来确定最大角的位置.

例3 (2013宁波江北区模拟第26题) 在平面直角坐标系中, O是坐标原点, 直角梯形AOCD的顶点A的坐标为, 点D的坐标为, 点C在x轴的正半轴上, 过点O且以点D为顶点的抛物线经过点C, 点P为CD的中点.

(1) 求抛物线的解析式及点P的坐标;

(2) 在y轴右侧的抛物线上是否存在点Q, 使以Q为圆心的圆同时与y轴、直线OP相切.若存在, 请求出满足条件的点Q的坐标;若不存在, 请说明理由;

(3) 点M为线段OP上一动点 (不与O点重合) , 过点O, M, D的圆与y轴的正半轴交于点N. 求证:OM + ON为定值.

(4) 在y轴上找一点H, 使∠PHD最大, 试求出点H的坐标.

解析 (1) 易得抛物线解析式为以及点C坐标 (2, 0) , 则点P坐标为

(2) (3) 略.

(4) 题中D, P两点固定, 点H在y轴上移动, 要求找到点H, 使得∠PHD最大.联想到在圆中角有“同一条弧所对的圆周角大于圆外角, 小于圆内角”的性质, 其中具有角的大小关系, 所以作过D, P两点且与y轴相切的圆, 记为⊙S (如图8) , 当点H在切点位置时, ∠PHD最大.此时有MH⊥y轴, 设点S坐标为 (m, n) , 则SH = m;根据勾股定理可得;, 由 HS = SD = SP, 可解得, 因为, 所以, 所以点H坐标为

点评初中数学中与角的最值相关的结论很少, 而圆中恰好涉及 (同一条弧所对的圆周角大于圆外角, 小于圆内角) .作过D, P两点的圆与y轴相切, 当点H为切点时∠PHD为所对的圆周角; 当点H不在切点时, ∠PHD为所对的圆外角, 所以当点H为切点时∠PHD最大.此题可用“辅助圆”来解题的关键还有点P和点D是固定, 这给作“辅助圆”提供可操作性.剩下的解题方式和之前几个例题解法类似, 利用半径相等列方程 (组) 求出点H的坐标.