几何定义（精选4篇）
几何定义 篇1
引言
一门学科中的基础概念、基本定义和原理是其理论体系的基石，是该理论中不可再分的“知识元素”．理论的知识体系和定理就是这种知识元素搭建的“结构”．而平行及平行线的定义就是欧氏几何理论中的“知识元素”．
在欧氏几何中定义“在同一平面内，两条直线永不相交即为平行”，这是平行线的定义．这一定义在欧氏几何理论体系中具有公理的地位，其正确性毋庸置疑也无需争辩．
但真的是这样吗?
在同一平面上的两条直线，何为“永不相交”?永远有两层含义:时间上的无尽未来和空间上的遥不可及．空间是一种客观存在，即无法探知，而时间上的未来却是客观的未定存在，而根据无穷的概念，我们需要无尽的时间才能趋向无限的空间．因此，“永远”相对于我们的认识，是一个完全无知的玄秘，使我们对具象的认识走入了形而上的范畴．
就此而言，传统的平行线的定义存在不经意的瑜瑕，而有欠定义所应具有的严谨和明晰．作为平行线的判定，更是不具有操作的应用性．
下面，本文基于上述认识，利用平行的几何特征，建立“平行”的概念．
1．新定义的表述
首先，讨论同一平面内两条直线的关系．
引理:同一平面内两条直线，不相交即平行(包括重合)反之亦然．
如图1所示，在平面直角坐标系Oxy中，不失一般性，设直线l1与x轴重合，即l1:y=0;直线l2:y=ax+b，其中，a和b为常数，且a为无穷小．由此可见，在有限范围内，自直线l2上一点做一垂线与l1相交，两交点间的距离为b;而当x趋于无穷远时，例如在如上所述两交点间的长度为2+b.
由于a为无穷小，直线l1与l2将在处相交，即两直线在无穷远处相交．同时，根据两条直线平行的性质，两条直线间的距离相等，而通过上述分析可以看出，直线l1与l2间的距离不等，因此，两条直线不平行．
同一平面内的两条直线只可能存在两种相对位置:相交或者平行，没有第三种位置存在，也不可能既相交又平行．而上述讨论说明，两条直线即使在无穷远处相交，也不符合平行的特征．
平行线的性质，如两条平行线间的距离相等;两条直线平行，同位角相等;等等，是两条直线平行的充要条件，但作为平行线的定义，缺乏对“平行”本原的直接说明和体现．因此用作平行线的定义也是不妥的．
本文讨论平行线的定义，不是否定平行的基本属性，传统欧氏几何中所证明的平行的基本性质是两条直线平行的必然结果，而不是本质特征．因此，对平行本质属性的讨论就更加必要，对平行线的定义应准确贴合平行的“本原”．
如前所述，平行是欧氏几何理论体系的知识元素之一，如力学中的质量概念和电学中电荷的概念一样，无法用自身理论的其他知识去解析和规界．但客观存在是可以认识的，人的感知本身就是平行这类知识元素的内涵．
基于这样的认识基础，根据本文上述引理，同一平面内的两条直线，平行和相交是相向而相对的，引入相交定理:同一平面内的两条直线l1与l2，如图2所示，A为l1上任意一点，B为l2上任意一点，AB两点的连线长为l0;同时，C为l1上除A以外的任意一点，以C为圆心，l0为半径做一半圆，如果A点距离C点足够近，则该半圆与直线l2至少有一个交点，如点D，使得点C和D的距离CD=l0.
当点A与C足够远时，上述半圆与直线l2无交点．
满足上述条件，则直线l1与l2相交．
以本文引理为前提，基于上述“相交定理”，进一步引入
平行定理:同一平面内的两条直线l1与l2，如图3所示，A为l1上任意一点，B为l2上任意一点，AB两点的连线长为l0;同时，C为l1上除A以外的任意一点，以C为圆心，l0为半径做一半圆，无论A点距离C点多近或者多远，该半圆与直线l2至少有一个交点，如点D，使得点C和D的距离CD=l0.
满足上述条件，则直线l1与l2平行．
当该半圆与直线l2相切时，l0为两条平行线间的距离，AB连线垂直于两条平行线．
上述“平行定理”既描述了平行的基本属性，也可以作为平行线的定义，更重要的是，与传统欧氏几何理论对平行线的定义相参照，由上述平行定理所定义的平行线将原传统定义所涉及的“无限远”的概念(即“永不相交”)，改为在有限尺度范围内的认知，同时，容纳了原定义中无限远的内涵(C点的任意性)．
文所阐述的平行定理对平行线的描述具有清晰的几何具象，完全符合对平行概念的认知．
2．对平行线推论的证明
由平行线性质可以得出许多推论，这里我们只证明以下两个:1三条直线间平行关系的传递性;2过直线外一点，只能做一条直线与已知直线平行．
证明:参看见图4，已知直线l1∥l2,l2∥l3，求证:l1∥l3.
在直线l1上任选一点A，在直线l2上任选一点B，连接AB并延长与直线l3相交于点C，可知AB=s1,BC=s2.
若直线l1与l3不平行，不妨设二者在图4左侧相交，则可在图4右侧l1上距点A足够远处选一点D，根据本文的“平行定理”，在l2上必有一点E，使得DE=AB=s1;同理，在l3上必有一点F，使得EF=BC=s2;连接DF，可知DF<(s1+s2)，参看图4.
同时，若直线l1与l3不平行，根据本文“相交定理”，以在l1上距点A足够远的D点为圆心，以s1+s2为半径做圆，则该圆与l3无交点，在l3上不存在点F，使得DF<(s1+s2)!与前面的分析相矛盾．
因此，如直线l1∥l2,l2∥l3，根据本文引理，则必有l1∥l3.
证明:参看见图5，已知直线l1和l1外一点O，直线l2和l3过O点，且l1∥l2,l1∥l3，求证:直线l2和l3重合．
根据前述平行传递性可知:l2∥l3.
在直线l1上存在任意点H，以及任意非点H的点A，根据本文“平行定理”，在直线l2上存在点E，在直线l3上存在点F，使得AE=AF=HO.
参看图5，易想见如O点远离直线l1且保持HO长短不变，则当O点移动到远离直线l1的某个位置时，HO为l1的垂线，同理，此时AE和AF分别为从直线l2和l3向l1做的垂线，且由于AE=AF=HO，则点E和F必重合．
由于两点决定一条直线，直线l2和l3有点O和E两个公用点，则前述两直线必重合，即过直线外一点，只能做一条直线与已知直线平行．
3．结论
关于两条直线平行的定义，即同一平面内的两条直线永不相交，则这两条直线平行，是欧氏几何的基本定理之一，反映了两条直线平行的本质内涵，但该定义的描述将人类在有限空间的认识，泛化到无限空间，而变得无法感知．
定义，特别是有公理地位的基本概念的定义，必须清晰严谨，而理论的体系也正是建立在这种知识元素的基础上．因此，基本概念的定义具有极其重要的作用，定义的精细周延直接影响人们对理论的理解．
本文以对“平行”的直接感知为基础，以几何的方式描述了平行的概念，将平行的传统定义中“永不相交”的无限范畴，代之以“足够远”的具象认识，来建立平行的几何描述，并以同一平面内两条直线“相交-平行”的相对关系为参照，从而将原定义中的“无限”融合在有限范畴的认知中，构建了平行和平行线的概念，使“平行”更凸显出其几何的本原．
摘要：平行的定义是几何学中最基本的定义之一,但这一定义将人类在有限限度内的认知泛化在无穷域中,使得定义本身的明晰性和严谨性受到损害.本文以新的视角剖析平行概念的本原,从而给出更具有几何内涵的平行线新定义.
关键词：平行,定义,相交,无穷,距离
新定义几何题的理解与应用 篇2
1. 试题
(2011·南京27题) 如图 (1) , P为△ABC内一点, 连接PA、PB、PC, 在△PAB、△PBC和△PAC中, 如果存在一个三角形与△ABC相似, 那么就称P为△ABC的自相似点。
(1) 如图 (2) , 已知Rt△ABC中, ∠ACB=90°, ∠ABC>∠A, CD是AB上的中线, 过点B作BE丄CD, 垂足为E.试说明E是△ABC的自相似点;
(2) 在△ABC中, ∠A<∠B<∠C.
(1) 如图 (3) , 利用尺规作出△ABC的自相似点P (写出作法并保留作图痕迹) ; (2) 若△ABC的内心P是该三角形的自相似点, 求该三角形三个内角的度数。
2. 解答
解: (1) 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, CD是AB上的中线, ∴CD=21AB, ∴CD=BD, ∴∠BCE=∠ABC,
∵BE⊥CD, ∴∠BEC=90°, ∴∠BEC=∠ACB,
∴△BCE∽△ACB, ∴E是△ABC的自相似点;
(2) (1) 如图所示, 做法: (1) 在∠ABC内, 作∠CBD=∠A; (2) 在∠ACB内, 作∠BCE=∠ABC, BD交CE于点P, 则P为△ABC的自相似点;
(2) ∵P是△ABC的内心, ∴∠ABC, , ∵∠PBC=∠A,
∠B C P=∠A B C=2∠P B C=2∠A,
∠ACB=2∠BCP=4∠A, ∴∠A+2∠A+4∠A=180°,
3. 探究
(1) 考点分析
考点:相似三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线;三角形的内切圆与内心;作图—复杂作图。
专题:作图题;几何综合题。
分析: (1) 根据已知条件得出∠BEC=∠ACB, 以及∠BCE=∠ABC, 得出△BCE∽△ACB, 即可得出结论;
(2) (1) 根据作一角等于已知角即可得出△ABC的自相似点; (2) 根据∠PBC=∠A, ∠BCP=∠ABC=2∠PBC=2∠A, ∠ACB=2∠BCP=4∠A, 即可得出各内角的度数。
(2) 再认识
这是一道源于课本三角形相似概念的新概念题, 它的设问由易到难, 层层深入, 对学生信息迁移能力、理解能力、面对新知识的自我学习能力进行了很好地考查, 与《新课程标准》要求相符合, 是一道优秀试题。
本题首先给出了一个新概念——自相似点, 要求学生认识和理解这个概念的特征属性, 然后通过三个问题反复体验, 类比体验自相似点的基本内涵, 应用自相似点的性质解决问题。考查学生对该概念的理解程度。
(3) 反思
最近几年, 中考新定义几何题越来越多, 如北京“等对角线四边形”, “等对边四边形”, 南京“筝形”, 常州“相似图形接近度问题”。为此, 在教师的引导、启发、点拨下, 学生数学学习都有初步的经历和直接获取经验方法的过程, 然后有一个独立思考的体验的过程。这一过程是消化汲取的过程, 不同学生的差距较大, 加强对这个过程的考查有助于提高考试的效度, 这对于教学和试题编制都有借鉴作用。
几何定义 篇3
从以上定义可知, 只要给出一个定点、一条定直线和离心率e的值, 就可以确定相应的圆锥曲线.那么, 怎么由一个定点、一条定直线和离心率e的值画出圆锥曲线并能方便地演示给学生看呢?利用《几何画板》这个工具就能很好地实现这个目的, 现介绍如下.
打开几何画板5.03迷你增强版, 点击编辑按钮→点参数选项→选择角度为弧度, 精确度调为十万分之一;画一直线标签为“定直线 (准线) ”, 在直线右方取一点F并标签为“定点 (焦点) ”.
取点A、B, 标记B为中心, 让点A关于B旋转180°得A′, 构造线段AA′, 在线段AA′上取点C;度量点C、A间的距离及点C、A′间的距离, 计算|CA|与|CA′|的比值, 标签为离心率e, 左右滑动点C可以调节离心率e的大小, 将点C的标签改为“左右滑动此点调节离心率”, 隐藏点A、B、A′, 隐藏距离|CA|与|CA′|的度量值, 度量点F到直线l的距离并标签为p (抛物线的焦半径, 对于椭圆和双曲线, 它的值等于
几何定义 篇4
一、创设情境, 注重概念的形成过程
要形成概念, 需要寻找它生存的现实土壤, 需要设计活动让学生亲身感知问题, 也需要学生积极地开展思考, 从现实情境中去发现数学. 许多数学概念都是从现实生活中抽象出来的. 讲清它们的来源, 既不会让学生感到抽象, 而且有利于形成活跃的学习氛围.
案例 “图形的相似”这一概念的教学, 展现知识的形成过程如下: (1) 生活中形状相同的图形的例子, 如汽车和它的模型, 同一底片洗出的不同尺寸的照片, 排版印刷时用不同字号排出的相同文字, 让学生观察这些图片有何共同特征. (2) 引导学生抽象概括图形的相似概念. (3) 在此基础上理解相似的本质特征是形状相同. (4) 图形的相似与图形的全等有什么关系? (5) 动态通过放大或缩小一些图形, 指出相似是一种变换, 可以把一个图形放大或缩小.
反思教师在讲解概念时, 多一些对概念的形成过程的关注, 可以更好地揭示概念的本质属性, 使学生对理解概念具备一些思想基础, 同时也培养了学生从具体到抽象的思维方法.
二、变式比较, 掌握图形的本质属性
几何概念的教学离不开几何图形, 学生学习几何离不开对图形的观察, 几何图形是学生进行思维的载体. 学生的观察能力, 直接影响学生的数学思维能力, 进而影响学生的数学认知能力. 当教师结合图形给出几何概念时, 可以让学生跟着画一画, 量一量, 比一比, 从直观上识别几何图形, 在此基础上要想获得图形的本质属性, 进而与其他几何图形相区分, 教师在教学中还要充分利用变式图形, 通过变化图形的非本质属性, 以使学生掌握图形的本质属性.
案例在:“圆周角”教学中, 教师可运用变式图形使学生掌握圆周角的本质属性, 理解圆周角的概念. 如图1 可分三种情况:一是圆心在角的内部, 二是圆心在角的外部, 三是圆心在角的边上. 也为接下来得出圆周角定理的证明作伏笔.与此同时提供如图2 的两个反例, 这两个反例只满足概念的一个条件:如图2 (1) 顶点在圆上, 但角的一边没有与圆相交;如图2 (2) 角的两边与圆相交, 但顶点不在圆上. 从而可使学生对概念的内涵与外延有正确的理解.
反思在几何概念的教学时, 恰当运用变式, 能使学生的思维不受定式的束缚, 从而实现学生思维方向的灵活转换, 使思维呈发散状态, 也使学生获得的概念更加精确、稳定和易于迁移.
三、思维的教学, 提高学生的几何认知能力
“ 数学是思维的体操”, “ 数学教学的核心是思维的教学”, 几何概念的教学应关注学生的思维体验, 给学生留出一定的思维的时间和空间.
案例 “图形的旋转”教学中, 旋转中心、旋转角度、旋转方向是图形的旋转“三要素”, 是这一概念的本质特征, 如何让学生认识到这一点呢? 可以让学生进行如下活动并思考:拿起学习用具中的一个含300 的三角板, (1) 让它绕直角顶点旋转600, 得到的结果怎样? (旋转方向不确定, 得到两个不同位置的图形) (2) 让它分别绕直角顶点和另一个顶点逆时针旋转600, 得到的结果一样吗? (旋转中心不同, 得到的图形位置不同) (3) 让它绕直角顶点逆时针旋转, 得到的图形有多少个? (旋转角度不确定, 结果有无数个) (4) 要使旋转后的图形唯一确定, 必须给定什么条件? (旋转中心、旋转方向和旋转角度都给定) 通过这个活动, 让学生体会缺少三要素中的任何一个都不能唯一确定一个图形的旋转, 从而让学生理解“图形的旋转”这一概念的内涵.
反思学生初接触新的几何图形时, 他们的思维层次都会从低到高演变, 教师应评估学生的几何思维水平, 给学生提供探索和运用的机会, 让学生获得在每一个阶段应有的学习经验, 发展对概念及性质的理解, 从而不断提高学生几何思维的层次, 进而提高学生的几何认知能力.
四、系统的教学, 培养学生的整体观、全局观
数学是一个系统, 任何一个数学概念都存在于一定的系统之中, 并与其他有关概念有着联系与区别. 因此教师在进行概念的教学时, 要注意引导学生及时将新概念纳入相应的概念系统, 置知识于系统中, 着眼于知识间的联系和规律, 这样做有利于学生概念系统的形成, 也有利于学生认知系统结构的形成.
案例以平行四边形为例, 可以按如下过程展开:定义———表示———性质———判定———特例———应用. 上述过程具有普适性, 既适用四边形的研究, 也适用新定义几何图形 (如2014 年台州数学中考卷中的等角六边形) 的研究, 体现了系统思维方式的结构性. 数学教学中, 只要紧紧抓住这一结构, 再通过横向或纵向的类比与联系, 引导学生去认识把握具体数学对象的要素和功能的关系, 就能给学生建立起研究数学对象的结构, 并形成完整的认识.
反思在几何概念的教学中, 教师有意识的对学生进行系统的教学, 可以培养学生的整体观、全局观, 进而使学生掌握更具普遍意义的思想方法, 并逐步提高学习的质量和效率.
总之, 初中数学几何概念教学的最终目的不仅仅是使学生掌握概念本身, 而应努力通过揭示概念的形成、发展和应用的过程, 培养学生的辩证唯物主义观念, 完善学生的认知结构, 发展学生的思维能力. 反思我们的教学, 大多轻视基本概念的教学, 而迷恋题海战术, 以获得正确答案为目的, 很少给学生对自己的思维活动过程进行反思的时间和机会, 更不用说对问题的引申、 一般化和对数学思想方法的概括了. 其结果是数学学习的“高投入、低产出”, 师生双方都负担沉重.因此, 在几何概念的教学中, 教师要从重视知识结论转向重视知识的形成过程, 根据教材提供的线索, 创设教学情境, 开展相应的活动, 让学生展示相应的数学思维过程, 多留给学生探究的空间和时间, 让学生经历数学知识的探索、发现和形成过程, 感悟数学思想, 帮助学生积累基本思想、基本活动经验, 进而为学生今后的学习与应用奠定坚实的基础.
参考文献
[1]章建跃.如何实现“思维的教学”——以“平面图形的旋转”的教学为例[J].中学数学教学参考:中旬, 2015 (4) 10-12.
[2]刘海涛.几何教学提高学生思维层次的思考与实践[J].中学数学教学参考:中旬, 2014 (10) 21-23.
[3]王瑞华.回归本真提升能力[J].中学数学教学参考:中旬, 2014 (10) 41-43.