计算极限的方法与技巧

2024-07-22

计算极限的方法与技巧（精选8篇）

计算极限的方法与技巧篇1

摘要：文章研究求解重极限的方法与技巧, 首先指出可以利用求一元函数的极限的一些方法求解重极限, 然后给出把二元函数转化为一元函数再求极限的方法与极坐标变换法, 最后阐述用重极限的ε-δ定义求解重极限的方法以及求解重极限过程的一些技巧。

关键词：二元函数,重极限,极坐标变换

(一) 引言

极限理论是一条链条, 贯穿于《数学分析》课程的始终。无论是函数的连续性与导数, 还是正常积分与反常积分, 抑或是级数的敛散性, 都是紧紧地锁在极限理论的链条上, 由极限的形式定义出来。而这些内容, 正是《数学分析》的核心。要掌握好其核心内容, 必须从极限出发, 深刻而准确地理解它们的概念、掌握它们的概念。只有这样, 学生才能正确地掌握这门知识, 运用这门知识与技能。因此, 在教学中, 掌握好求解重极限的方法至关重要。本文即从二元函数的重极限出发, 研究求解重极限的方法与技巧。

(二) 主要结果

1. 利用求一元函数的极限的方法与重极限的性质求重极限, 其中包括有理化的方法、迫敛性定理、有界量乘以无穷小量是无穷小量以及四则运算法则、初等函数的连续性等方法。如果函数中含有根式的和或者根式的差而且不能使用四则;运算法则求极限, 那么可以优先选择有理化的方法求极限。如果函数或者函数的绝对值比较容易放缩, 那么可以优先选择迫敛性定理求极限。如果函数中有一个因式是无穷小量, 不妨想一下有界量乘以无穷小量是无穷小量。总之, 可以根据函数的特点优先选择适当的方法来进行求解。但是, 切忌不可使用求一元函数极限的洛必塔法则、泰勒公式、等价无穷小代换等方法求二元函数的重极限 (参见文献[2]) 。

分析观察例1中函数, 不难发现当 (x, y) → (0, 0) 时, (x+y) 是无穷小量, 而是有界量, 所以可以选择有界量乘以无穷小量仍然是无穷小量来求其极限。

解由于

且∀ (x, y) , 有, 所以

分析观察例2中函数, 不难发现无论是分子还是分母都很容易放缩, 于是可以试着用迫敛性定理求解重极限。

解由于

且, 所以

2. 先把二元函数转化为一元函数, 再求其极限, 这适合于函数中出现自变量的地方都是以同一种形式出现的情形。

3. 使用极坐标变换求解重极限。如果 (x, y) → (0, 0) 而且函数中出现x2+y2, 可选择极坐标变换求极限。令x=rcosθ, y=rsinθ, 考察, 若此极限存在而且是与θ无关的常数, 那么

解令x=rcosθ, y=rsinθ, 由于

所以原式=0。

4. 利用重极限的ε-δ定义求解重极限。重极限存在的情况下, 先求出曲线沿特殊路径的极限或者求出一个累次极限A, 然后用定义证明该函数的重极限是A。这种方法适合于不容易从上述方法中寻找出求解重极限的适当方法的情形。

解首先

下面用重极限的ε-δ定义证明。因为

关于重极限的自变量变化的过程, 我们遇到的更多是 (x, y) → (0, 0) 的情形, 于是久而久之对 (x, y) → (0, 0) 的重极限的求解比较顺手, 而对 (x, y) → (x0, y0) ≠ (0, 0) 的重极限的求解比较陌生。其实, 当重极限的自变量变化的过程是 (x, y) → (x0, y0) ≠ (0, 0) 时, 作变量替换s=x-x0, t=y-y0, 就把自变量的变化过程转变成 (s, t) → (0, 0) , 那么重极限也相应的转化为下面的形式

从而重极限的求解变得更加顺手。

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社, 2001.

[2]张贵文, 汪明凡.关于多元函数的极限[J].长春:数学学习, 1983, (1) :3-4.

[3]阎家灏.用极坐标变换确定二重极限的技巧及实例[J].兰州工业高等专科学校学报, 2006, 12 (4) :53-38.

计算极限的方法与技巧篇2

一、极限定义、运算法则和一些结果

1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：lim0，当|q|1时b0(a,b为常数且a0)；lim(3x1)5；limqn；

x2nann不存在，当|q|1时等等

（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。

2．极限运算法则

定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有

（1）lim[f(x)g(x)]AB

（2）limf(x)g(x)AB

（3）limf(x)A,(此时需B0成立)g(x)B

说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。3．两个重要极限（1）limsinx

1x0x1x（2）

(11)xe

lim(1x)e ； limxxx0说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。

12x例如：limsin3x1，lim(12x)x0x03x3e，lim(1)e；等等。

xxx

34．等价无穷小

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3 当x0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：

x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1x)～ex1。

说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时（g(x)0），仍有上面的等价

关系成立，例如：当x0时，定理4 如果函数

e3x1 ～ 3x ；ln(1x2)～ x2。

f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是xx0时的无穷小，且f(x)～f1(x)，g(x)～ 1 g1(x)，则当limxx0f1(x)f1(x)f(x)存在时，lim也存在且等于f(x)lim，即

xxxx00g(x)g1(x)g1(x)xx0limf1(x)f(x)lim=。

g(x)xx0g1(x)5．洛比达法则

定理5 假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数f(x)和g(x)满足：（1）f(x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大；

（2）f(x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0；

（3）limf(x)存在（或是无穷大）； g(x)f(x)f(x)f(x)f(x)

则极限lim也一定存在，且等于lim，即lim=lim。

g(x)g(x)g(x)g(x)说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“

0”型或“”型；条件0（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。

6．连续性

定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x0是函数f(x)的定义去间内的一点，则有limxx0f(x)f(x0)。

7．极限存在准则

定理7（准则1）单调有界数列必有极限。

定理8（准则2）已知{xn},{yn},{zn}为三个数列，且满足：（1）ynxnzn,(n1,2,3,)

n

（2）limyna，limzna

nn

则极限limxn一定存在，且极限值也是a，即limxnna。

二、求极限方法举例

1．用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例1 limx13x12

x1(3x1)2223x33lim。解：原式=limx1(x1)(3x12)x1(x1)(3x12)4注：本题也可以用洛比达法则。

例2 limn(n2n1)

nn[(n2)(n1)]分子分母同除以解：原式=limnn2n1(1)n3n例3 lim

n2n3n上下同除以3nnlimn31211nn3。2解：原式1()n1lim31。n2n()132．利用函数的连续性（定理6）求极限例4 limx2ex21x

12x解：因为x02是函数f(x)xe的一个连续点，所以

原式=2e4e。123．利用两个重要极限求极限例5 lim1cosx

x03x2xx2sin22lim21lim解：原式=x0x0x26。3x212()22sin2注：本题也可以用洛比达法则。例6 2xlim(13sinx)

x016sinx3sinxx13sinx6sinxx解：原式=lim(13sinx)x0lim[(13sinx)x0]e6。

例7 lim(nn2n)n1解：原式=lim(1n3)n1n13n3n1lim[(1n3)n1n13]3nn1e3。

4．利用定理2求极限

2例8 limxsinx01 x解：原式=0（定理2的结果）。

5．利用等价无穷小代换（定理4）求极限

例9 limx0xln(13x)2

arctan(x)2

2解：x0时，ln1(3x)～3x，arctaxn)(～x， 原式=limx0x3x3。x2exesinx例10 lim

x0xsinxesinx(exsinx1)esinx(xsinx)lim1。解：原式=limx0x0xsinxxsinx注：下面的解法是错误的：

(ex1)(esinx1)xsinxlim1。

原式=limx0x0xsinxxsinx

正如下面例题解法错误一样：

tanxsinxxxlimlim0。33x0x0xx例11 1tan(xsin)x limx0sinx22xsin解：当x0时，2111是无穷小，tan(x2sin)与x2sin等价，xxx1xsin1xlimxsin0。

所以，原式=lim（最后一步用到定理2）

x0x0xx6．利用洛比达法则求极限

说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。

例12 limx01cosx（例4）

3x2sinx1。（最后一步用到了重要极限）

x06x6解：原式=limcos例13 xlimx12 x14 解：原式=limx12sinx2。12例14 limx0xsinx x31cosxsinx1lim。=（连续用洛比达法则，最后用重要极限）2x0x06x63x解：原式=lim例15 limsinxxcosx 2x0xsinx原式lim解：sinxxcosxcosx(cosxxsinx)limx0x0x2x3x2 xsinx1limx033x2例18 11lim[] x0xln(1x)11lim[]0。解：错误解法：原式=x0xx

正确解法：

原式limln(1x)xln(1x)xlimx0xln(1x)xxx01 1x1lim1xlim。x0x02x2x(1x)2x2sinx

3xcosx12cosx0”型，但用洛比达法则后得到：lim，此极限

x3sinx0应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。例19 limx解：易见：该极限是“不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：

2sinx1x原式=lim（分子、分母同时除以x）=（利用定理1和定理2）

xcosx33x17．利用极限存在准则求极限例20 已知x1xn 2,xn12xn,(n1,2,)，求limnn解：易证：数列{xn}单调递增，且有界（0

xn存在，设 limxna。

n对已知的递推公式

xn12xn两边求极限，得：

a2a，解得：a2或a1（不合题意，舍去）。所以 limxn2。

n1n1nnn22n例21 lim(1n21211nn2)

1nn2解：易见：n12n22nn12

因为 limnnnn21，limnnn11221

1nn2所以由准则2得：lim(n1n12n2)1。

极限的若干计算方法篇3

解:写出exsinx在x=0处的三阶泰勒公式

因此

例2:求

解:

例3:求极限

二、利用定积分求某些和式的极限

例4:求极限

解:把和式变形，提出因子

它是函数在区间[0, 1]上的一个积分和，即

解:因为

所以

类似地

由夹逼准则，知

三、利用递推数列求极限

例7:设数列xn满足

解:先设将方程两边取极限，得即a2=2。因为以下证xn是收敛的。为证xn的单调有界性，我们考察xn与的关系，由已知不等式所以xn单调下降有下界

四、利用函数极限求数列极限

例8:求

五、利用Stoltz公式求极限

例9:

例10:

解:令xn=15+35+…+ (2n-1) 5, yn=25+45+…+ (2n) 5，故{yn}单调上升趋于+∞，

例11:已知x1∈ (0, 1) 且xn+1=xn (1-xn) (n=1, 2, 3，…) ，求

解:由x1∈ (0, 1) 及x2=x1 (1-x1) ，知x2∈ (0, 1) ，xn∈ (0, 1) (n=1, 2, 3，…) ，则所以数列{xn}单调递减且有下界，所以nli→m∞xn存在极限.令nli→m∞xn=a，在xn+1=xn (1-xn) 的两边取n→∞时的极限，得a=a (1-a) ，所以a=0，即nli→m∞xn=0，又因为

六、利用级数收敛的必要条件求极限

例12:

例13:求

解:因为

故正项级数

例15:求极限

摘要：极限是数学分析中的一个基本而重要的概念, 极限的计算方法多种多样。介绍了利用泰勒公式求未定式的极限, 利用定积分求某些和式的极限, 利用递推数列求极限, 利用Stoltz公式求极限, 利用级数收敛的必要条件求极限, 以及利用函数极限求数列极限的几种不同方法, 并通过实例给出了一些计算技巧, 针对不同的题型采用不同的计算方法, 为极限的计算带来了方便。

关键词：极限,函数,数列

参考文献

[1]赵显曾.高等微积分[M].北京:高等教育出版社, 1991.

[2]周述岐.微积分基本原理[M].北京:中国人民大学出版社, 1983.

[3]同济大学数学系.微积分[M].北京:高等教育出版社, 1999.

计算极限的方法与技巧篇4

关键词：一元函数,极限,计算方法

一元函数极限是高职高等数学中一个非常重要和基础的概念, 是高职生进入大学后所要学习的第一个新的数学概念。随着高职高等数学教材的改革, 关于一元函数极限的定义越来越简化, 所以如果学生要从本质上来理解极限的定义及计算, 则有一定的难度。但结合现代高职教育的目的, 高职高数的学习, 并不是要求学生掌握严谨的数学定义, 而是让学生能体会数学的思维方式, 以及作为工具在本专业上的应用。所以对于一元函数极限的教学, 重点是让学生能够运用适当的方法来计算一元函数的极限。本文结合自己多年的教学经验, 对一元函数极限的计算方法进行了归纳总结, 详细介绍了如何求解一元函数的极限。

2.直接计算型 (利用初等函数的连续性)

3.型

对于型而言, 结合所求极限的形式, 通常可用约分法、有理化法, 或者利用洛必达法则转换成第1、2种类型, 随后再求解。

例2求极限

分析:由于函数中的分子分母均可因式分解, 故可将其因式分解后求解。

分析:由于函数里出现了根号, 根据一般的计算方法, 可将其有理化后求解。

分析, 对于此种类型而言, 显然无法用例2、例3的方法来求解, 此时可利用洛必达法则来求解。

对于型而言, 一般可分为有理分式和利用洛必达法则求解两类。具体如下:

若所求的函数为有理分式, 即分子分母都为多项时, 可以用以下结论求解:

分析, 由于此类极限不是多项式, 故可用洛必达法则求解。

解:

5.重要极限型

对于重要极限, 重点是利用它们的形式, 即:

以上主要是针对单一函数形式极限的求解方法, 对于复杂的函数形式, 可以结合极限的四则运算或者是通过适当的变形转化成上述的极限类型, 然后再求解。总之, 虽然求一元函数极限的方法有很多, 但只要在极限计算过程中, 不断归纳、总结, 就能在解题时找到适当的方法, 顺利求出。

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析:第四版.上册[M].北京:高等教育出版社, 2010.

[2]同济大学数学系.高等数学:第六版.上册[M].北京:高等教育出版社, 2007.

定积分的计算方法与技巧篇5

定积分被广泛应用在社会实践和自然科学中, 如利用定积分求平面图形的面积﹑旋转体的体积﹑旋转曲面的面积﹑平面曲线的弧长等都被看成是定积分的计算问题. 定积分是微积分学的重要内容, 是研究科学技术和实际问题极其重要的数学工具, 但定积分的计算方法与技巧尤为丰富, 因而让学生学习好定积分的计算非常重要.

定积分的计算方法有很多种:定义法﹑牛顿-莱布尼茨公式法﹑换元积分法﹑分部积分法等, 针对不同的题型选择适合的定积分计算方法.本文针对每种积分类型的特点, 通过例题给出恰当的解法, 便于学生理解与掌握, 使学生避开了题海战术, 开拓了解题思路, 从而提高学生定积分的计算能力.

二、计算定积分的一些基本方法

1.牛顿-莱布尼茨公式法 (又称微积分基本公式) :若函数f (x) 在[a, b] 上连续, 且存在一个原函数F (x) , 则有f (x) 在[a, b]上可积, 即.

例1:计算定积分

通过例1可以看出, 牛顿-莱布尼茨公式法形式简单, 便于求解, 被视为求定积分最常用的方法.

2.换元积分法:假设函数f (x) 在[a, b]上连续, 函数x=φ (t) 满足条件:

(1) φ (α) =a, φ (β) =b,

(2) φ (t) 在[α, β] ( 或[β, α]) 上具有连续导数, 且其值在区间[a, b]内, 则有

例2:计算定积分

解:设, 则, x=0时t=1, x=2时,

注1:形如的定积分, 通常做变量代换进行计算.

注2:进行换元计算时, 要整体换元, 也就是说当用x=φ (t) 进行换元时, 积分区间也相应发生改变, x的积分区间要换为t的积分区间, 同时dx也换成与变量t有关的形式.

例3:计算定积分

解:设x=asint, 则dx=acostdt, 且x=0时t=0, x=a时, 将题中的x整体都换成和变量t有关的式子.

(1) 凑微分: 形如的定积分, 通常将凑成, 再做变量代换cx+d=t.

例4:计算定积分

(2) 对称区间上的定积分计算

设f (x) 在关于原点对称的区间[-a, a]上连续, 则有

(1) 若f (x) 为偶函数, 则有;

(2) 若f (x) 为奇函数, 则有

例5:计算定积分

解:由题可知, 积分区间[-1, 1]关于原点对称, 设, 易知f (x) 为偶函数, 由 (1) 知

3.分部积分法:设u (x) , v (x) 在区间[a, b]上有连续的导函数, u′ (x) , v′ (x) , 则有 (uv) ′=u′v+uv′, 故

例6:计算定积分

技巧:利用分部积分法计算的关键在于:是将哪一个函数先放入微分号, 如果选择错误就会得不出结果, 那么如何选择正确的解法成为关键.根据多年的解题经验, 我们总结出在选择上遵循以下这一规则“反对幂指三”, 即两个函数作比较排名在后的优先进入微分号.

例7:计算定积分

分析:x为指数函数, cosx为三角函数, 根据规则“反对幂指三”可知, 三角函数cosx排在指数函数x之后, 所以cosx优先进入微分号.

注:当两个函数中, 其中一个为指数函数ex时, 则将ex优先放入微分号.

例8:计算定积分

三、结语

定积分是微积分学的一个重要内容, 定积分的计算题型更是千变万化, 为了更好地计算的定积分, 避免题海战术, 本文对定积分的计算方法与技巧进行了归纳总结, 有助于学生计算思路的扩展, 促进了实际问题的快速求解.

摘要：本文针对每种积分类型的特点, 通过例题给出恰当的解法, 便于学生理解与掌握, 使学生避开了题海战术, 开拓了解题思路, 从而提高学生定积分的计算能力.

关键词：定积分,原函数,连续

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学 (第六版) [M].北京:高等教育出版社, 2007.

[2]华东师范大学数学系.数学分析 (第三版) [M].北京:高等教育出版社, 2006.

第二重要极限的几种计算方法篇6

这里的e是无理数,值为2.71828182845……

一、赋值法

……

二、借助一个不等式来求极限值

文[1]和文[2]中已经给出了很多极限存在性的证明,此处不再给出证明.

……

三、利用计算软件Mathmatica证明[3]

输出:e.

由上面的近似计算可知,函数的极限值约等于2.71828.

参考文献

[1]叶青华.一个重要极限的几种证明方法及应用[J].数学学习与研究,2013(1):122-124.

[2]寇静.关于数e/第二重要极限的几种证明方法[J].科技信息,2007(34):140-141.

高等数学中函数极限计算方法篇7

一、利用左、右极限求极限

左、右极限常用来求分段函数在分段点处的极限, 需要注意的是左、右极限也可以用来求含有绝对值表达式的函数的极限。

二、利用极限运算法则求极限

定理已知limf (x) , limg (x) 都存在, 极限值分别为A, B, 则

注意极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件, 当条件不满足时, 常常要对函数进行恒等变形或化简。常用的方法有分式的约分或通分、分式有理化、三角函数的恒等变形等。

三、利用两个重要极限求极限

不仅要能够运用这两个重要极限本身, 还应注意运用它们的变形形式:

四、利用无穷小求极限

定理无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小。

定理当x→0时, 下列函数都是无穷小且相互等价, 即有:

需要注意当上面每个函数中的自变量x换成g (x) 时 (g (x) →0) , 上面的价关系成立。

解:∵x→0时, 1n (1+3x) ~3x, arctan (x2) ~x2,

注:下面的解法是错误的:

要注意对于分子或分母中的两个无穷小之差不能直接用等价无穷小代换。

五、利用连续性求极限

定理一切连续函数在其定义去间内的点处都连续, 即如果x0是函数f (x) 的定义去间内的一点, 则有

注意利用连续函数求极限时, 对于复合函数f (u) 在u=a处连续, 且则

六、利用导数的定义求极限

七、利用洛比达法则求极限

洛比达法则:当自变量x趋近于某一定值 (或无穷大) 时, f (x) 和g (x) 满足:

1) f (x) 和g (x) 的极限都是0或都是无穷大;

2) f (x) 和g (x) 都可导, 且g (x) 的导数不为0;

用该法则求极限时, 应注意条件是否满足, 只要有一条不满足, 洛比达法则就不能应用。特别要注意条件1) 是否满足, 即验证所求极限是否为“”型或“”型;条件2) 一般都满足, 而条件3) 则在求导完毕后可以知道是否满足。洛比达法则可以连续使用, 但每次使用之前都需要注意条件, 且将极限中非零的乘积因式求极限后提出, 这样可以使计算简化。

正确解法:

解:该极限是“”型, 但用洛比达法则后:, 此极限不存在, 而原来极限却是存在的。正确做法如下:

由此可以看出, 求极限方法灵活多样, 要想熟练掌握各种方法, 必须多做练习, 在练习中体会。这对于掌握极限的运算是非常有帮助的。

参考文献

[1]姚允龙.数学分析[M].上海:复旦大学出版社, 2002.

[2]同济大学应用数学系.高等数学 (第五版, 上册) [M].北京:高等教育出版社, 2005.

[3]田大增.极限计算中应注意的几个问题[J].河北大学成人教育学院学报, 2006.