重要函数（精选5篇）
重要函数 篇1
我今天讲的重要函数是高等数学里常见的三个特殊函数——符号函数、取整函数、绝对值函数之一:绝对值函数
首先我们将函数做一下处理:其图像很简单, 如下
从图形来看, 这个函数比较特殊, 它是一、三象限角分线的一部分, 图形关于原点对称, 是一个偶函数, 在上单调递减, 在上单调递增。
在讲函数在一点处的左右极限核函数在该点处极限的关系的时候, 这个函数是一个很好的参考例题, 因为我们讲左右极限时通常举两个例子来对比, 其中之一就是绝对值函数
接下来我们研究一下该函数在零点处的极限问题:
另一个对照例题一般也是分段函数, 常用的类似下面例题:
二者的区别在于绝对值函数在零点处的左右极限都存在并且相等, 对照例题在零点处的左右极限虽存在但不相等, 所以绝对值函数在零点出有极限且等于0, 对照例题在零点处的极限不存在。
极限问题解决后我们可以研究该函数的连续性和间断点的问题时又会引入绝对值函数:
从而得到在零点处连续。同时我们任然可以用刚才的对照例题研究其在零点处的连续性问题。
由于。显然函数在该点处左右极限都存在, 所以属于第一类间断点, 又左右极限虽存在但不相等, 所以进一步细化为零点为第一类间断点中的跳跃间断点。
有了极限这个工具我们可以进入微分学的研究, 即进一步研究函数的可导性, 此时我们仍然可以列举该例题来研究连续和可导之间的关系。
首先我们可以由定义推出:函数在一点处可导必定在该点处连续, 推导如下:
分析如下:
从而得到在零点处不可导, 而我们已知该函数在零点处连续, 从而可得, 连续不一定可导的结论。
综上, 通过极限、连续、可导将我们的重要函数——绝对值函数的价值体现得淋漓尽致。所以我们在教学的过程中不仅要备好每一堂课, 而且要善于和学生一起总结、归纳, 这样将有助于我们的教学相长, 何乐而不为呢!
重要函数 篇2
关键词：初高中数学；二次函数；基础
众所周知，函数是贯穿于整个数学教学过程中的内容，是培养学生数学素养的重要组成部分。而且，二次函数是初三阶段的主要内容，也是中考中不可缺少的内容；又是高一阶段的必修内容，是学生进行其他知识学习的基础。因此，本文就对如何从二次函数的相关知识入手来做好初高中数学教学的衔接工作进行论述，以为高效数学课堂的顺利进行打下坚实的基础。
一、为什么要用二次函数做衔接的桥梁
二次函数是初三阶段的主要内容，也是高一阶段最初接触的内容，所以，这就成为保护学生学习兴趣的关键点，也就成为提高学生高中数学课堂参与度的重要内容。再者，二次函数所要学习的内容为：定义、定义表达式、图象、单调性、最值、奇偶性等相关的知识，而初中阶段大部分内容已经学过，只是高中阶段对每项都进行了深入。所以，用“二次函数”作为连接初高中数学教学的桥梁是非常恰当的。
正所谓万事开头难，良好的开端是成功的一半。对于教学来说也是一样，对于高一阶段的学生来说，如果刚开始就让学生学习全新的知识，比如，后面的指数函数、对数函数或者是将双曲线的相关知识放在这个位置，学生就会心存畏惧，就会对这些相对初中阶段复杂的知识产生恐惧，进而逐步失去学习的兴趣。而二次函数放在这些知识前面学习，不仅符合学生的认知规律，而且也能让学生以饱满的信心走进课堂，进而为保护学生长久的学习兴趣打下坚实的基础。
总之，以二次函数作为桥梁来衔接初高中数学的教学是正确的选择，也是端正学生的学习态度，提高学生高中数学课堂参与度的重要方面。所以，在新课程改革下，教师要借助二次函数来进行衔接工作，以为高中数学教学质量的提高做好保障工作。
二、如何借二次函数做好初高中数学的衔接
1.从图象上做好衔接工作
图象是二次函数教学中的重要内容之一，所以，在实际教学过程中，我们要有意识地从图象入手来做好二次函数的衔接工作，以帮助学生理解函数单调性以及最值的相关内容。因此，在高中数学衔接工作中，我们要充分发挥二次函数图象的特点，来帮助学生理解相关的数学知识，进而也为高效数学课堂的顺利实现打下基础。因此，在教学时，我首先向学生展示了最简单的y=x2的图象，引导学生自己动手画出来，然后引导学生思考：y轴左边的x值与y值之间的关系，y轴右边x值与y值之间的关系，并在学生思考得出结论之后，顺势将二次函数的单调性引入课堂，即：y轴左边y值随着x值的增大而减少，y轴右边y值随着x值的增大而增大。之后，再引导学生对其他的函数的图象进行分析，以帮助学生正确理解函数的单调性。这样的衔接不仅符合学生的认知规律，而且对帮助学生理解函数单调性的概念也有着密切的联系，同时对提高本节课的学习质量也起着非常重要的作用。
2.从应用上做好衔接工作
借助二次函数的相关知识解决问题在初高中数学考试中已经涉及，只不过二次函数的应用题对初中生来说是难点，对高中生来说是基本知识。所以，这也就成为我们借助二次函数进行初高中数学衔接的点。比如，某汽车租赁公司的月收益y元与每辆车的月租金x元之间的关系为y=-+162x-21000，那么，每辆车的月租金多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？虽然初高中二次函数在应用上题的难度不同，但考查点是相同的，目的就是让学生找到对应的关系之后，对函数进行最值的求解。当然，在高中数学习题中，有时限制比较多，会考虑定义域的问题。所以，在教学时，我们要做好这方面的衔接工作，以帮助学生在高中学习时找到熟悉感，进而能自主地投入到课堂活动中，同时，也为高效课堂的实现做好保障工作。
作为新时期的数学教师，我们要从思想上清楚，二次函数作为衔接点的重要性，这样才能从二次函数的相关知识中找到衔接的方面，才能确保高效数学课堂的顺利构建。但是，在整个衔接的过程中我们还要注意学生主体性的发挥，要有意识地给学生搭建自主学习的平台，引导学生自主去发现初高中二次函数知识的异同点，这样才能真正提高学生的知识应用能力，进而确保学生在高效数学课堂中获得良好的发展。
参考文献：
[1]彭兴健.以二次函数为切入点做好初高中数学衔接教学[J].数学教学通讯，2009（36）
[2]黄秋芬.如何做好初高中二次函数的衔接教学[J].新课程学习：下旬，2014（7）.
关于周期函数的几个重要性质 篇3
近几年的高考中函数性质是考查的重点内容之一, 而对周期函数的考查则是与其他性质结合起来考查的.这一类题目的解决有较大难度.为克服这一困难, 下面给出周期函数的几个重要性质, 希望能给同学们解题带来帮助.
性质1 设 f (x) 是定义在R上的函数, 且关于直线x=a及x=b (a≠b) 对称, 则函数f (x) 是以2b-2a为周期的函数.
特别地, 当 f (x) 是定义在R上的偶函数, 且图象关于直线 x=a (a≠0) 对称, 则函数 f (x) 是以2a 为周期的周期函数.
证明:因为 f (x) 的图象关于直线 x=a 和直线 x=b 对称, 所以
f (2a-x) =f (x) ,
f (2b-x) =f (x) .
所以 f (2b-2a+x)
=f[2b- (2a-x) ]
=f (2a-x) =f (x) .
可见 f (x) 是R上的周期函数, 且2b-2a 是它的一个周期.
例1 定义在R上的函数 y=f (x) , 它的图象既关于直线 x=1对称, 又关于直线 x=3对称, 又知当 x∈[-1, 1]时, f (x) =2x-x2, 对于整数 k, 记Ik=[4k-1, 4k+3] (k∈Z) , 求 f (x) 在Ik上的表达式.
解:因为 y=f (x) 的图象既关于直线 x=1对称, 又关于直线 x=3对称, 所以
f (x) =f (2-x) ,
f (x) =f (6-x) .
根据性质1, 得 y=f (x) 是周期函数, 且4是周期.
当1≤x≤3时, 有-1≤2-x≤1, 则
f (x) =f (2-x)
=2 (2-x) - (2-x) 2
=-x2+2x.
所以当-1≤x≤3时,
f (x) =-x2+2x.
当 x∈[4k-1, 4k+3]时, x-4k∈[-1, 3], 则
f (x) =f (x-4k)
=- (x-4k) 2+2 (x-4k)
=-x2+2 (1+4k) x-8k (1+2k) .
所以当 x∈Ik 时,
f (x) =-x2+2 (1+4k) x-8k (1+2k) .
性质2 定义在R上的函数f (x) 的图象关于点P (a, 0) 对称, 也关于直线x=b对称 (b≠a) , 则f (x) 是R上的周期函数, 且4b-4a是f (x) 的一个周期.
特别地, 定义在R上的奇函数 f (x) 的图象关于直线 x=a 对称, 则 f (x) 是周期函数, 4a 是其一个周期.
证明:因为 f (x) 的图象关于点P (a, 0) 对称,
所以 f (x) =-f (2a-x) .
又因为 f (x) 的图象关于直线 x=b 对称,
所以 f (2b-x) =f (x) .
所以 f (4b-4a+x)
=f[2b- (4a-2b-x) ]
=f (4a-2b-x)
=f[2a- (2b-2a+x) ]
=-f[2b-2a+x]
=-f[2b- (2a-x) ]
=-f (2a-x)
=f (x) .
所以 f (x) 是R上的周期函数, 且4b-4a 是 f (x) 的一个周期.
例2 f (x) 满足 f (x) =-f (6-x) , f (x) =f (2-x) , 若 f (a) =-f (2008) , a∈[5, 9], 且 f (x) 在[5, 9]上单调, 求 a 的值.
解:因为 f (x) =-f (6-x) , 所以 f (x) 的图象关于点 (3, 0) 对称.
因为 f (x) =f (2-x) , 所以 f (x) 的图象关于直线 x=1对称.
据性质2, 8是 f (x) 的一个周期,
所以 f (2008) =f (0) .
又 f (a) =-f (2008) ,
所以 f (a) =-f (0) .
又 f (x) =-f (6-x) ,
所以 f (0) =-f (6) ,
所以 f (a) =f (6) .
又 f (x) 在[5, 9]上单调, 所以 a=6.
性质3 若定义在R上的函数f (x) 的图象关于点 (a, 0) 和 (b, 0) (a≠b) 对称, 则函数f (x) 是周期函数, 且2 (a-b) 是它的一个周期.
证明:因为 f (x) 的图象关于点 (a, 0) 和 (b, 0) (a≠b) 对称, 所以
f (2a-x) =-f (x) ,
f (2b-x) =-f (x) .
这样, f[2 (a-b) +x]=f[2a- (2b-x) ]
=-f (2b-x)
=-[-f (x) ]
=f (x) ,
所以 f (x) 是周期函数, 且2 (a-b) 是它的一个周期.
例3 如果 (-3, 0) 与 (2, 0) 均为 y=f (x) (x∈R) 图象的对称中心, 且 f (1) =0, 则 f (11) 的值为 ( )
(A) -11 (B) 0 (C) 1 (D) 11
分析:根据性质3, 得 y=f (x) (x∈R) 是周期函数, 且周期为10.
故 f (11) =f (10+1) =f (1) =0.
所以选 (B) .
性质4 定义在R上的函数f (x) 若对于定义域内的任一自变量x都有f (x+a) =-f (x) , 或
证明:因为
所以 y=f (x) 是以 2a 为周期的周期函数.
同理可证出另两个.
例4 定义在R上的函数 y=f (x) 满足 f (x+2) +f (x) =0, 求证 y=f (x) 是周期函数.
证明:由 f (x+2) +f (x) =0,
有 f (x+2) =-f (x) .
这样, f (x+2+2) =-f (x+2) =f (x) .
所以 y=f (x) 是以4为周期的周期函数.
练习:
1.若 f (x) 是R上的偶函数, 且 f (1-x) =f (x+1) , 当 x∈[-1, 0) 时, f (x) =log0.5 (-x) , 则 f (2007) =.
(答案:0)
2.已知 f (x) 是R上的奇函数, 且
(答案:0)
3.定义在R上的偶函数 f (x) , 其图象关于直线 x=2对称, 当 x∈ (-2, 2) 时, f (x) =x2+1, 则 x∈ (-6, -2) 时, f (x) =.
(答案:f (x) =x2+8x+17)
4.设 f (x) 是定义在R上的奇函数, 图象关于直线 x=1对称, 求证:f (x) 是以4为周期的函数.
甘肃省高台县第一中学
重要函数 篇4
高中数学第三册(选修II)第127页中，通过观察二次函数切线斜率的正负，即函数导数的正负与函数的单调性的关系，得到如下结论：
一般的，设函数y=f (x) 在某区间内可导，如果f′ (x) >0，则f (x) 为增函数;如果f′ (x) <0，则f (x) 为减函数;如果恒有f′ (x) =0，则f (x) 为常数。
上述结论表明，导函数在某区间上的正负，反映原函数在该区间上的单调性。用同样的方法，考察所学函数 (如y=f (x) =x3) 的导函数在某区间上的单调性与原函数凹凸性的关系，还可以得到另一个非常实用的重要结论：
一般的，设函数y=f (x) 在某区间内可导，如果f′ (x) 为增函数，则f (x) 为下凹函数;如果f′ (x) 为减函数，则f (x) 为上凸函数;如果f′ (x) 恒为常数，则f (x) 为直线型函数。
也就是说，导函数(变化率)在某区间上的单调性，反映原函数在该区间上函数图像的凹凸性。
二、结论的应用
题型一：由变化率的增减性确定凹凸性
例1： (2008全国)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是 (%%) 。
解析：当汽车经过启动、加速行驶时，s随时间t的变化率递增，所以图像下凹;当汽车匀速行驶时，变化率为正常数，所以函数递增且图像为线段;当汽车减速行驶之后停车时，变化率递减，所以图像上凸。故答案选A。
例2： (2006重庆) 如图1所示，单位圆中AB的长为x, f (x) 表示AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y=f (x) 的图像是 (%%) 。
解析：由已知，y随x变化时，变化率先增后减，所以y=f (x) 的图像先下凹后上凸，故答案选D。
题型二：由导函数的单调性确定凹凸性
例3： (2008福建) 已知函数y=f (x) ，y=g (x) 的导函数的图像如图2，那么y=f (x) ，y=g (x) 的图像可能是 (%%) 。
解析：因为y=f′ (x) 为减函数，y=g′ (x) 为增函数，所以y=f (x) 的图像上凸，y=g (x) 的图像下凹，排除A, C;又因为y=f′ (x) 与y=g′ (x) 的图像交于x0处，所以y=f (x) 与y=g (x) 的图像在x0处的切线平行，排除B。故答案选D。
例4： (2006江西模拟) f′ (x) 是f (x) 的导数，f′ (x) 的图像如图3所示，则f (x) 的图像可能是 (%%) 。
解析：由f′ (x) 的图像可知，f′ (x) 在区间 (a, b) 上先增后减，所以f (x) 的图像先下凹后上凸。故答案选D。
重要函数 篇5
对于中国消费函数模型而言, 由不同消费假说可以构造不同形式的消费函数, 但中国的特殊的国情及时代本身的发展可能导致这些假说的局部不适用性。很多国内外学者做了有关中国城镇居民消费的研究, 但对消费函数的选择或改进上考虑较少, 也不太成熟。本文针对几种不同的消费假设通过实证分析来说明对于函数设定的预先的周密考虑的重要性。数据采用的是中国城镇居民实际收入与实际消费数据, 样本区间是1978年至2010年, 数据来源是中国统计年鉴。用ct、ct-1代表当期消费与滞后一期居民消费实际支出, 用yt、yt-1代表当期实际城镇居民收入与前一期实际城镇居民收入。消费函数若写成, 并将之取成线性模型, 则有一般形式:。在凯恩斯收入理论中;弗里德曼持久收入理论建议过去各期实际收入的加权和表示持久收入因此有;预期理论中有;相对收入理论中;生命周期理论中为。中国城镇居民实际消费与实际收入均二阶差分后平稳, 而且Johansen检验表明存在一个协整关系, 因此不存在虚假回归的问题。采用Eviews6.0软件, 估计得到以下结果:
对残差进行White异方差检验发现存在异方差, 而且DW=0.89表明存在自相关。我们能采用GLS等方法进行估计进而一定程度的去消除自相关性和异方差的影响, 但函数的不正确设定是出现自相关、异方差的重要原因, 应该先检验模型的设定是否正确。现在使用Ramsey Reset检验, 在1%水平上拒绝函数设定正确的假设。错误的原因是可能遗漏了重要的解释变量。模型二:
可以看到收入滞后一期系数不显著, 使用LM检验发现存在序列相关。说明函数设定仍然有误。
经过上述的检验后发现, 对残差进行White异方差检验发现不存在异方差, 使用LM检验发现也不存在序列相关, 这个改进后的对数形式模型各项检验均通过。现在我们尝试使用Ramsey Reset检验, 在98%的水平上接受函数设定正确的假设。
经过上述的分析, 我们看到在现有的经济情形下, 预期假说消费函数对于中国城镇居民消费是较适用的。
由于违背函数正确设定假设与其他违背其他经典假定产生的后果的表现形式一样, 都会导致系数不显著、符号错误、序列相关或异方差等问题, 所以我们在使用计量模型时更应该首要地去考虑函数设定是否恰当。否则, 后面得到的结论及进行的结果分析将是站不住脚的。我们在选择函数形式时, 要依靠经济理论去选择, 依靠经济形势去判断, 这样最初的形式才不会有大的偏差。多数情况下, 我们需添加动态因素, 也就是函数中加入合适的滞后项、滞后期, 当然这需要经济理论方面的理由, 常用的理由是经济惯性、对新息过渡反映、或需要进行动态预测。只有正确的模型, 才能避免后面所做的工作不是“无用功”。
摘要：本文讨论了计量经济模型设定中易产生的两种错误, 及这两种错误带来的后果。并应用1978—2009年数据实证以我国城镇居民消费函数为例分析了中国居民消费函数设定的选择, 进一步说明了函数正确设定的重要性。
关键词：函数设定,Ramsey Reset检验,中国居民消费
参考文献
[1]威廉H.格林.经济计量分析[M].北京:中国社会科学出版社, 2004.
[2]吴易风.从西方经济理论和政策看我国需求不足问题[J].宏观经济研究, 2003 (2) .
[3]国家信息中心经济预测部宏观政策动向课题组.以小城镇建设作为刺激农村消费突破口:七省市农村消费状况调查报告[N].中国证券报, 2009-08-19.