高三函数零点教学设计

高三函数零点教学设计（共7篇）

高三函数零点教学设计 篇1

一、【教案背景】

1、课题：函数的零点

2、教材版本：苏教版数学必修

（一）第二章2.5.1函数的零点

3、课时：1课时

二、【教学分析】 教材内容分析：

本节课的主要内容有函数零点的概念、函数零点存在性判定。

函数的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程f（x）=0的实数根，从函数的图形表示看,函数的零点就是函数f(x)与x轴交点的横坐标.函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的联系在一起。

本节是函数应用的第一课，因此教学时应当站在函数应用的高度，从函数与其他知识的联系的角度来引入较为适宜。教学目标：

1、知识与技能

（1）能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。

（2）了解函数零点与相应方程的根的联系，掌握零点存在的判定条件。

2、过程与方法

（1）通过观察例题的图象，发现函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法。

（2）渗透算法思想，运用算法解决问题，为后面系统学习算法做准备。

3、情感、态度与价值观

在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，培养学生在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．体验数学内在美,激发学习热情,培养学生创新意识和科学精神。教学重点： 零点的概念及零点存在性判定。

教学难点： 探究判断函数的零点个数和所在区间的方法。教学方法：

问题是课堂教学的灵魂，以问题为主线贯穿始终；以学生为主体，以教师为主导，以能力发展为目标，精心设计引导性问题，从学生的认识规律出发进行启发式教学，利用课件，动画等引导学生对问题的思考，运用学生自主学习、小组合作探究的教学方式。

三、【教学过程】

（一）、问题情境

（1）画出二次函数的图象,并写出图象与x轴交点的横坐标。

说明：通过学生熟悉的二次函数图象入手，让学生体会二次函数图象与x轴交点的数值与方程根的对应关系，方程的实数根就是的函数值为0时自变量x的值,建立初步的数形结合数学思想。（课件展示函数图象）

（2）画出二次函数、与的图象,并写出图象与x轴交点的横坐标。

说明：通过两小题让学生认识到当二次函数的图象在x轴上方时，与之对应的方程无解，当二次函数的图象恰好与x轴相交时，与之对应的方程有相等的实数根，建立初步的函数与方程数学思想。

提出二次函数零点的概念（我们把使二次函数的值为0的实数x称为二次函数的零点）。

（二）、合作探究

探究二次函数的零点、二次函数的图象与一元二次方程的实数根之间的关系？

Δ>0 Δ=0 Δ<0

方程根的的图象的零点

说明：小组合作探究，由学生回答，教师对答案给予鼓励性的评价。通过完成以上问题,让学生体会从具体到一般函数图象与x轴交点与相应方程根的关系。如果学生有困难，教师可作一下点拨,结合二次函数的图象,推广到一般函数零点的定义。板书课题:函数的零点

（三）、意义建构

函数的零点概念：我们把使函数的值为0的实数称为函数的零点（zeropoint）。

注：（1）零点不是点。

等价关系

函数y=f(x)的零点

方程f(x)=0实数根（数）

函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标（形）

有了上述的关系，就可用函数的观点看待方程，方程的根即函数的零点，可以把解方程的问题互化为思考函数图象与x轴的交点问题。这正是函数与方程思想的基础。

说明：通过对概念的陈述，让学生了解函数零点的概念及性质，对函数零点的概念有了完整的认识，达到质的飞跃。

（四）、数学运用

例1：求下列函数的零点,并画出下列函数的简图。①

② ③ ④

⑤

（师用展示台展示学生的作图，指出优缺点）

说明：求函数零点，体现函数与方程互相转化的思想。本题的五个小题都简单，主要考察学生零点概念的掌握情况，题目包含了我们从初中到目前已经学过的常见函数，目的让学生通过及时练习加强对函数零点的的认识。

通过画简图，了解图象的变化形式，要注意体现零点性质的应用。为下面学习根的存在条件奠定基础。

例2 求证：二次函数有两个不同的零点。

说明：可让学生充分讨论例2的解法，发展学生的发散性思维，第一，从数的角度，将函数问题转化方程问题，体现“函数与方程”思想.第二，从形的角度，图象与x轴有两个不同的交点。几何画板演示画图象过程，引导学生观察当函数图象穿过x轴时，图象就与x轴产生了交点，图象穿过x轴这是一种几何现象，那么如何用代数形式来描述呢？用屏幕显示刺函数图象，多次播放抛物线穿过x轴的画面。板书证明过程

证明：设,则 f(1)=－2<0。

因为它的图象是一条开口向上的抛物线（不间断），这表明此图象一定穿过x轴，所以函数的图象与x轴有两个不同的交点。因此，二次函数有两个不同的零点。

从上面的解答知道，此函数有两个零点是。

问题（1）你能说明此函数在哪个区间[a，b]上存在零点（）吗？ 问题（2）如何判断一个函数在区间（a，b）上是否存在零点？

让学生自己思考、发言得到的结论，教师整理后得到函数零点的存在性判定。

如果函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，且，则函数在区间内有零点。

教师给出这个结论，组织学生对下面问题进行讨论。通过讨论认识问题的本质，升华对零点存在性判定的理解。

（1）若f(a)·f(b)<0,函数y＝f(x)在区间(a,b)上就存在零点吗？

（2）若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内会是只有一个零点么?

（3）若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在区间(a,b)内就一定没有零点么？

（4）在什么条件下，函数y＝f(x)在区间(a,b)上可存在唯一零点？

（5）如果是二次函数y＝f(x)的零点，且，那么f(a)·f(b)<0一定成立吗？

为了帮助大家更好体会该结论，我们把它设计成流程图。

说明：设置成流程图，既直观、清晰，又为学生将来学习算法奠定基础。算法的特殊表示符号，学生不知道，师生共同完成即可。

例3．求证：函数在区间(－2，－1)上存在零点．

说明: 学生完成过程中，教师巡视，展台展示优秀作品及步骤有问题者，达到纠正错误及解题规范化。

（五）、归纳总结

说明:这个环节,学生主动总结本节课学到的知识,将本节课所讲的知识点系统整理，为后面的函数零点的应用奠定基础。

（六）、反馈练习

(1)函数f(x)＝2x2－5x＋2的零点是

；

(2)二次函数y＝2x2＋px＋15的一个零点是－3，则另一个零点是

；(3)若函数f(x)＝x2－2ax＋a没有零点，则实数a的取值范围；

(4)已知函数f(x)的图象是不间断的，有如下的x,f(x)对应值表：

那么函数在区间[1，6]上的零点至少有

个；(5)在二次函数中，ac<0,则其零点的个数为

；

说明:本环节用时5分钟,考完后小组互换,立即批改.发现问题立即纠正,再通过课后作业加以巩固.对做的好的及时给予表扬。

（七）、作业布置

1、完成苏教版必修1第76页练习1、2。

2、①有2个零点;②3个零点;③4个零点.四、【板书设计】

屏幕

函数的零点

一、函数零点的定义：我们把使函数的值为0的实数称为函数的零点（零点不是点）.二、方程的根与函数零点之间的等价关系

函数y=f(x)有零点

方程f(x)=0有实数根（数）

函数y=f(x)的图象与x轴有交点（形）零点存在性判定

例1

例2

五、【教学反思】

前苏联数学家斯托利亚说过:“积极的教学应是数学活动(思维活动)的教学，而不是数学活动的结束—数学知识的教学。”反思“函数的零点”的课堂教学，本人觉得类似这样的数学概念、原理的教学，教学设计应特别重视“过程性”，教学过程应特别强调“参与性”，要让学生“参与”到教学过程中去.唯有学生的过程参与，才能较好地激发其主动性，确立其主体地位.吸引学生“参与”，关键招数之一是对教材进行“问题化”处理，用问题去引领学生探究。学生“参与”到教学过程中来，就是要参与知识建构、参与思维训练、参与方法提炼。

本课中，围绕教学目标知识生成的过程，设计了若干问题，以问题为中心，以学生为主体，让他们亲身经历，体验函数的零点知识的建构过程，函数零点存在性结论的探求，体现了本节课设计的基本理念:过程性、问题性和主体性。

高三函数零点教学设计 篇2

听过许多市、县级的新课程示范课与观摩课, 从教师的教学理念、教学方式, 到学生的合作交流、自主探索, 无不给人全新的感受.但新课程增加的新内容, 也给教师带来了新的挑战, 需要我们一起去探讨与思辨.比如, 必修模块数学1“函数的零点”教学中, 就多次听到授课教师言必称“零点不是点”.那么, 函数的零点真的不是点吗?本文想就此谈点肤浅的认识, 与同仁商榷.

1.什么是函数的零点

苏教版普通高中课程标准实验教科书《数学1 (必修) 》中的定义是:一般地, 我们把使函数y=f (x) 的值为0的实数x称为函数y=f (x) 的零点.因此, 函数y=f (x) 的零点就是方程f (x) =0的实数根.从图像上看, 函数y=f (x) 的零点, 就是它的图像与x轴交点的横坐标.

人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学1 (必修) 》中的定义是:对于函数y=f (x) , 我们把f (x) =0的实数x叫做函数y=f (x) 的零点.这样, 函数y=f (x) 的零点就是方程f (x) =0的实数根, 也就是函数y=f (x) 的图像与x轴的交点的横坐标.

在定义中, 函数的零点有两个层面的描述.一是从数上讲, 函数的零点是一个实数, 是对应方程的根;二是从形上看, 函数的零点只是一个点的横坐标.这也许就是“零点不是点”的重要依据吧.现在我们自然会有这样的疑问:函数的零点为什么只是定义为实数x的值, 而不定义为真正意义上的点 (x, 0) 实际上, 要解开函数零点的疑团, 还需要从理解函数的概念开始.

什么是函数?函数并不是一个解析表达式, 也不是列表或图像, 而是一种元素间的对应关系.函数的本质就是这两个变量之间的相互依赖关系, 它反映的是一个运动、发展、变化的过程.解析式、列表与图像只是描述两个变量之间函数关系的三种重要表示方法.首先, 函数与函数图像是两个不同的概念.我们可以说“函数y=f (x) 的图像经过点 (x0, 0) ”, 但不能说“函数y=f (x) 经过点 (x0, 0) ”.因此, 将 (x0, 0) 称为函数的零点是不合适的.而由函数y=f (x) 的图像经过点 (x0, 0) , 我们可以说f (x0) =0, 即x0是使函数y=f (x) 的值为零的点.其次, 研究函数就是要研究两个变量间的这种依赖关系, 即在自变量x的运动变化过程中, 因变量y会有谁与之相对应.也就是说我们是通过x的变化去研究函数的变化.比如, 函数的单调性是研究自变量x变大时, 函数值y是否也变大;函数的奇偶性是研究自变量x互为相反数时, 函数值y是否也互为相反数.同样, 函数的零点就是研究自变量x取何值时, 才有函数值为零.这就是函数零点的定义的必要性与合理性.

2.零点真的不是点吗

诚然, 在函数零点的教学中使用“零点不是点”进行教学提醒, 是学生容易接受的, 并能帮助学生较好地理解函数零点的概念, 借此强化认知冲突, 不至于与上位概念“点”产生混淆.实践证明, 教学效果也是明显的.但作为数学教师, 我们又必须清醒地认识到:“零点不是点”的说法是欠妥的.

实际上, “零点不是点”的错误认识是由上位概念“点”的理解缺失造成的.在“零点不是点”中, 我们错把“点”理解为直角坐标平面内的一个有序实数对 (x, y) .正如定义中所言, “函数y=f (x) 的零点, 就是它的图像与x轴交点的横坐标”, 言外之意, 即交点 (x0, 0) 是点, 而其横坐标x0不是点.事实上, 点是空间中只有位置、没有大小的图形 (这里仅限欧氏几何.在点集拓扑中, 点是一个拓扑空间中的集合的元素) , 点作为最简单的几何概念, 是几何图形的最基本的组成部分.但点可以与数或数对按照一定的法则建立一一对应的关系, 用数或数对可以表示相应的点, 使点具有数的意义.例如, 点A (x, y) 就是在二维欧氏空间内用有序数对 (x, y) 表示的一个点.同样, 在三维空间里, 可以用有序数对 (x, y, z) 表示一个点.退一步, 在一维空间里我们是用实数x与点一一对应的, 每一个实数x就是数轴上的一个点.因此, 实数与数轴上的点是可以统一起来认识的, 或者说它们是同一对象的两种表现形式.而函数的零点正是实数x的值, 函数的性质也正是通过自变量x在x轴上的变化来分析的.从数学本质上看, 直角坐标系中x轴就是一条数轴, 所以“零点是点”和“零点是实数”并不矛盾, 它们只是从“形”和“数”两个角度对函数零点概念的不同刻画, 两者是和谐的.再比如, 导数中的极值点定义, 也是相似的情况.

综上所述, 函数的零点不是一个核心概念 (这部分教材内容的核心概念是函数) .在实际教学中, 只要让学生能从形和数两个方面对它有基本的了解即可, 不需要过分强调“函数的零点不是点而是数”, 不要在一些细枝末节上过分纠缠, 而应把教学的重点放在函数与方程的联系上.

参考文献

[1]人民教育出版社课程教材研究所, 中学数学课程教材研究开发中心编.普通高中课程标准实验教科书.数学1 (必修) [M].北京:人民教育出版社, 2004.

高三函数零点教学设计 篇3

巴里坤县第三中学教师 李晓莹

本节是在学习了前两章函数性质的基础上，利用函数的图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与对应方程的根的关系以及掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法；为下节“二分法求方程的近似解”和后续学习的算法提供基础。因此本节内容具有承上启下的作用，非常重要。表面上看，这一内容的教学并不困难，但要让学生真正理解，在教学设计和难点突破上需要下足够的功夫，教学过程中还需要妥善处理其中的一些问题。所以，我在教法上，以问题为纽带，用问题引出内容，激发学生积极主动地进行探索；同时向学生渗透数学思想方法；渗透问题意识，培养学生发现问题、解决问题的能力以及采用“提出问题——引导探究——得出结论——讲练结合”的教与学模式。本节课借助多媒体手段创设问题情境，指导学生研究式学习和体验式学习．如，函数零点与方程根之间的联系是这节课的一个重点，为了突破这一重点，在教学中利用多媒体教学，调动了学生学习的积极性，准确、直观、易于学生理解，符合学生的认知特点，调动了学生主动参与教学的积极性，使他们进行自主探究与合作交流，亲身体验知识的形成过程，变静态教学为动态教学。

一、新课的引入

本堂课是用对实际问题的探讨来引入函数的零点，通过这样一个问题激发学生的学习兴趣，由直观过渡到抽象，更符合学生的认知过程，在评课的时候，这一点也获得了听课老师的一致好评。再复习巩固一元一次方程和一元二次方程的解法，由学生已掌握的知识入手，创设熟悉环境，引导进入本课状态。接着让学生在原有二次函数的认知基础上，使其知识得到自然的发生发展。理解了像二次函数这样简单的函数的零点，再来理解其他复杂的函数的零点就会容易一些。围绕怎样判断所给方程是否有实根来提出问题，并且，利用了教材中的方程提出了下列问题：方程x2－2x－3＝0是否有实根？你是怎样判断的？结果，大家对如何解一元二次方程早就熟练了，快速解决了问题。由此看来，这堂课一开始引入熟悉的例子，最能激发学生的学习积极性，并让其认识到学习函数的零点的必要性。

二、重难点的突破

零点存在性定理是本节课的难点和重点，教学设计的好坏直接关系到学生对本节课的学习效果。因此，从“一个函数是否有零点，就是看它的图象与x轴是否有交点。那么，我们又如何判定一个函数的图象与x轴是否有交点呢？”的提问入手，引出零点存在条件的探究。给出6个问题：问题 1、2是学生熟悉的一元一次方程和一元二次方程求根，问题3、4是方程的根和函数图象与x轴的交点之间有何联系与区别，问题5、6上升到抽象连续函数y=f(x)在区间（a,b）内一定有零点的条件。引导学生一边画草图，一边思考，总结规律：函数图象穿过x轴时，图象就与x轴产生了交点。要判断函数f(x)在（a，b）内是否有零点（教材对于函数f(x)在（a，b）内有零点，只研究函数f(x)的图象穿过x轴的情况），应该先观察函数f(x)的图象在（a，b）内是否与x轴有交点，再证明是否有f(a)f(b)<0。从课后了解到，学生都以为只要观察到图象与x轴是否有交点，就可以判断函数f(x)在（a，b）内是否有零点，教学却没有对证明的必要性展开讨论。忽略了在研究函数f(x)在（a，b）内有几个零点时，应该先观察函数f(x)的图象在（a，b）内有几个交点，再进行证明。所以，在课后向学生提出如何判断函数f(x)在（a，b）内有几个零点时，就有学生认为，只需看函数f(x)的图象在（a，b）内有几个交点即可。这样看来，教师有必要引导学生认识证明的必要性。我们也可以作出一些特殊函数在不同区间范围的图象，让学生通过观察对比得到认识。这6个问题设计精巧，层层递进，引发了学生积极思考、探索与交流，将教学推向高潮。如此寻求函数零点存在的条件，符合学生的认知规律：从简单到复杂，从具体到抽象，让学生在具体的例题中概括出共同的本质特征，得出一般性的结论，使学生思维发生碰撞，既弄懂了问题又使数学方法得到提升。

三、教学内容结构，突出思想方法

首先要通过把握教材内容结构来设计教学框架，然后根据教学框架来考虑需要突出的思想方法。本节课按照下列主线来展开教学：

（一）如何引导学生将复杂的问题简单化，并学会从已有认知结构出发由特殊到一般地思考问题。

教材设置函数的零点这一内容的目的，就是为了体现函数的应用，为用二分法求方程的近似解奠定基础。所以，教学一开始就从学生熟悉的知识点入手，用方程的求解出发展开讨论，然后引导学生体会其中的思想方法。例当学生陷入困境时，再逐步提出下面的问题进行引导：

1．当遇到一个复杂的问题，我们一般应该怎么办？

以此来引导学生将复杂的问题简单化，寻找类似的简单问题的解决方法。2．以前我们如何判断一个方程是否有实根，这对研究这个方程是否有帮助？

以此来引导学生从已有认知结构出发，将解决简单方程的方法迁移到不能求解的方程中去，学会从特殊到一般的思维方法。

3．除了用判别式可以判断一元二次方程根的情况，还有其他的方法吗？

以此来引导学生建立方程与函数的联系，渗透函数与方程的思想方法，并培养其从不同角度思考问题的习惯。

（二）怎样突出数形结合的思想方法

数形结合的思想方法几乎贯穿于“基本初等函数”一章的始终，学生通过前面的学习，已基本形成数形结合的思想方法，所以本节教学以培养学生主动运用数形结合的思想方法去分析问题为目的。在建立方程的根与函数的零点的关系时，函数图象起到了关键的桥梁作用，充分体现了它与方程的根以及函数零点之间的数形结合的关系。由学生作出函数图象，让学生回答方程的根与函数图象和x轴的交点有何关系，然后学生自己总结出方程的根、函数图象和x轴的交点、函数的零点之间的关系。这样的教学，在一定程度上也能体现数形结合的思想方法。在这种能够体现思想方法的关键地方，教师要舍得花时间，要让学生由方程自觉地联想到相应的函数，主动地建立方程的根与函数图象间的关系，提升数形结合思想方法的层次，增强函数应用的意识。

（三）如何从直观到抽象

教材是通过由直观到抽象的过程，才得到判断函数f(x)在（a，b）内有零点的一种条件。如何让学生从直观自然地到抽象，有下面几个教学难点需要处理：

1．如何引导学生用f(a)f(b)<0来说明函数f(x)在（a，b）内有零点？

教材是先从函数图象出发，让学生通过观察函数f(x)的图象在（a，b）内是否与x轴有交点，来认识函数f(x)在（a，b）内是否有零点。这是一个直观认识的过程，对学生来说并不困难。然后再让学生认识，f(a)f(b)<0则函数f(x)的图象在（a，b）内与x轴有交点。不过，这却是一个由直观到抽象的飞跃，对学生来说是有困难的。教学的关键在于，如何引导学生由函数f(x)的图象穿过x轴在（a，b）的部分，联想到f(a)f(b)<0。

2．如何引导学生判断函数f(x)在（a，b）内的零点个数？

（1）要判断函数f(x)在（a，b）内的零点个数，可先观察函数f(x)的图象在（a，b）内与x轴有几个交点，再进行证明。

当观察到函数f(x)的图象在（a，b）内与x轴的交点个数后，可以在（a，b）内分别选取每个交点周围的一个区间，然后说明函数分别在各个区间只有一个零点。这样，就将判断函数f(x)在（a，b）内的零点个数转化为判断函数在各个区间内分别只有一个零点。由于f(a)f(b)<0只能说明函数f(x)在（a，b）内有零点，而不能说明f(x)在（a，b）内有几个零点，这就要求函数在每个交点周围所选取的区间上的图象在直观上要单调，并且要证明函数f(x)在该区间上单调。

（2）要证明函数在某个区间内只有一个零点需要一个循序渐进的过程

证明函数在某个区间内只有一个零点，是一个从图象的直观到抽象的代数证明的理性思维过程。从学生现有的知识积累来看，目前教学应立足从图象直观来认识，对于易于用函数单调性定义证明函数单调性的函数，可要求学生进行代数证明。待学生学习了函数的导数之后，再统一要求学生对所有的函数都进行代数证明。所以，学生对这一问题的认识有一个循序渐进的过程，教师对这一问题的教学需要分阶段提出不同层次的要求，关键是把握好教学的度。

本课的实际教学中还存在着不足: 1.在探究新知识时试图给学生讲授一点关于方程的解的数学史知识，但时间问题，最终舍弃了；

2.想自在的调控课堂而不尽得。我所期望的课堂是学生既自主又合作，既数学又生活的。这需要对数学史与知识点较透彻的理解，这需要语言表达的精确，这些都是我的不足。3.在课件制作方面还是存在不足，水平不够高，有待提高。4.在板书方面，板块意识有了，也算工整，但是字迹不够美观。

本节课零点的引入部分可以简化改进，使之更趋合理，零点存在性定理引入部分略显生硬，应该有更艺术的方式。高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任。具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位。函数与方程相联系的观点的建立，函数应用的意识的初步树立，应该是本节课必须承载的重要任务。在这一任务的达成度方面，本课还需更突出。另外，课堂上教师怎样引导学生也是值得我深思的一个问题，还有少讲多引方面也是我今后教学中努力的方向。

《方程的根与函数的零点》教学反思

巴里坤县第三中学教师

高三函数零点教学设计 篇4

山西省汾阳中学

刘彩凤

一、内容和内容解析

内容：方程解法史话，方程的根与函数的零点

方程的求解在数学史上经历了很长时间，约公元50-100年编成的《九章算术》给出了一次方程和二次方程和正系数三次方程的求根方法；11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法；13世纪，南宋数学家秦九绍给出了求任意次代数方程的正根的解法，国外数学家对方程的求解也有很多研究，数学史上，人们曾经希望得到五次以上代数方程的公式解，但最后被十九世纪挪威的数学家阿贝尔证明了五次及五次以上的一般方程没有公式解。

方程的根是使方程f(x)=0左右两边相等的x的值，函数的零点是使f(x)=0的x,函数y=f(x)的图像和x轴交点的横坐标是y=f(x)中纵坐标y=0时x的取值,所以他们三者实质上是同一个值，只是在不同的环境中不同的称呼而已，其中体现了数形结合的思想：方程的根与函数图像的结合；转化与化归的思想：求方程的根转化为研究函数的图像与性质，利用求方程的根研究函数的图像与性质；函数与方程的思想。其中方程的根，函数的零点，函数y=f(x)的图像和x轴交点的横坐标的关系是核心，零点是连接函数与方程的结点。

本节对“方程的根与函数零点”的认识，是从初中一次、二次函数与其相应的方程关系的具体学习，过渡到了高中一般方程与其相应函数关系的抽象研究,其学习的平台是学生已经掌握了函数的概念、函数的性质以及基本初等函数等相关知识.对本节课的研究，不仅为“用二分法求方程的近似解” 这一“函数的应用”做好准备，而且揭示了方程与函数之间的本质联系，这种联系正是中学数学重要的思想方法之一——“函数与方程思想”的理论基础，起到了承前起后的作用。

方程的根与函数零点的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法，这就是加强数形结合，由具体到抽象，由特殊到一般。首先在初中一元二次方程与一元二次函数学习的基础上，通过一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图像与x轴的交点的横坐标之间的关系的观察，分析，归纳，发现方程的根与函数零点的关系，推广到一般情形，进一步用数学语言刻画函数零点的概念并应用，从而掌握求函数零点的方法。本课的教学重点是

体会函数零点与相应方程根的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识。掌握求函数零点的方法。

二、目标和目标解析

1．能够结合具体方程（如二次方程），说明方程的根、相应函数图象与轴的交点横坐标以及相应函数零点的关系.从中体会由特殊到一般、由局部到整体的认知规律，提升学生的抽象和概括能力。

2．能利用函数图象判断某些函数的零点个数，能顺利将一个方程求解问题转化为一个函数零点问题。从中领会数形结合、化归等数学思想.三、教学问题诊断分析

本节课的学习障碍是零点概念的认识，本课在必修1中的最后一章内容，学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质，图像已经有了一个比较系统的认识与理解。特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习中已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，初步具备了学习所需的函数与方程的思想能力所以零点的概念从一元二次方程与其相应的一元二次函数出发，在分析了众多图像的基础上，由图像与x轴的位置得到一个形象的概念，不仅可以较容易的建立起它们之间的关系，而且一元二次方程的根的情况具有代表性，这样由具体到一般很自然地使问题得到推广。

在高一学生的动手，动脑能力，以及观察，归纳能力都不很全面的基础上，本节课的学习会遇到较多的困难，所以在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，尽可能提供学生动手实践的机会,让学生从亲身体验中掌握知识与方法；环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望，将学生置于主动参与的地位，必要时教师适当的引导和帮助。基于上述分析，确定本课时的教学难点：

发现函数y=f(x)零点与相应方程f(x)=0根的关系。四．教学支持条件分析 为了有效实现教学目标，借助计算机或计算器来参与运算，通过多媒体课件演示提高课堂效率加大容量容量大就好吗？教学中的辩证法要掌握好。，提高生动性，提高学习兴趣。计算机（几何画板软件），计算器，展台 五．教学过程设计

（一）引言

在高次代数方程解的探索历程中，不少伟人作出了杰出的贡献：

1：花拉子米(约780～约850)给出了一次方程和二次方程的一般解法。

2：数学家方台纳的故事1535年，在意大利有一条轰动一时的新闻：数学家奥罗挑战数学家方台纳，奥罗给方台纳出了30道题，求解x3+5x=10，x3+7x=14 x3+11x=20，„„；诸如方程x3+Mx=N，M，N是正整数，比赛时间为20天，方台纳埋头苦干，终于在最后一天解决了这个问题。

3：阿贝尔(1802～1829)证明了五次以上一般方程没有求根公式。..................................................................方程的求解经历了相当漫长的岁月，让我们来感受数学探索的魅力吧！

（设计意图：不仅使学生知道五次以上一般方程，含指数对数的超越方程无求根公式，用方程的思想不能求根，要借函数的思想把方程问题转化为函数问题。从而明白为什么要学本节内容。而且使学生了解所学新内容的背景，体会人类在认识和发展数学的过程中体现出来的探索和进取精神及所能达到的崇高境界，增强探索精神，培养创新意识。）

（二）创设情景，引入课题

问题1：方程lnx＋2x－6＝0是否有实根？为什么？（学生独立思考）（设计意图：从学生用已学方法不能求解的方程出发展开讨论，诱导学生发现用函数思想解决方程问题非常必要，进一步引发学生思考方程与函数到底有怎样的联系？）预设的回答：学生发生认知冲突，陷入困境。此时教师再逐步提出下面的问题进行引导：

1．当遇到一个复杂的问题，我们一般应该怎么办？

以此来引导学生将复杂的问题简单化，寻找类似的简单问题的解决方法。2．以前我们如何判断一个方程是否有实根，这对研究这个方程是否有帮助？

以此来引导学生从已有认知结构出发，将解决简单方程的方法迁移到不能求解的方程中去，学会从特殊到一般的思维方法。

3．除了用判别式可以判断一元二次方程根的情况，还有其他的方法吗？ 以此来引导学生建立方程与函数的联系，渗透函数与方程的思想方法，并培养其从不同角度思考问题的习惯。教师讲解：把求方程的根转化为两个函数的交点问题，即：转化为函数y =lnx与函数y=-2x+6的交点问题，也就是我们可以用函数的思想解决方程问题，那么方程与函数到底有怎样的联系呢？下面我们从熟悉的二次函数来研究。

问题2：填写下表，并探究一元二次方程的实数根与其相应的二次函数的图象与x轴交点的横坐标的关系。（学生独立完成）

方程

x2－2x－3=0 x2－2x+1=0 x2－2x+3=0

函数

y= x2－2x－3 y= x2－2x+1 y= x2－2x+3

函 数 的 图 像 / / /

方程的实数根 x1=－1,x2=3 x1=x2=1 无实根

图像与轴的交点(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点

（设计意图：引导学生从熟悉的，具体的二次函数入手，对函数图像与方程的根的关系有初步的认识，从简单入手顺应学生的认知结构,调动学生的知识储备，为理解函数零点，了解函数零点与方程根的联系作准备。）

预设的回答：学生填表并得出结论：方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标，方程的解的个数和函数的图象与x轴的交点个数是一样的。

问题3： 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠ 0)的根与相应的一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠ 0)的图象与x轴交点的横坐标关系，上述结论是否仍然成立？其判别式(＝b2－4ac.（类比）(＝b2－4ac ax2＋bx＋c＝0(a≠ 0)的根

y＝ax2＋bx＋c(a≠ 0)的图象与x轴交点(>0 两个不相等的实数根x1、x2(x1,0),(x2,0)(=0 两个相等的实数根x1 =x2(x1,0)

(<0 无实根 无交点

（设计意图：由具体的一元二次方程和一元二次函数到一般的一元二次方程与一元二次函数，设置学生的最近思维发展区，既利于学生掌握知识又利于学生抽象思维能力的形成。）预设的回答：学生填表，并交流归纳：如果一元二次方程没有实数根，相应的二次函数图像与x轴就没有交点；如果一元二次方程有实数根，它的实数根就是相应的二次函数图像与x轴的交点的横坐标，方程的解的个数和函数的图象与x轴的交点个数是一样的。

（三）归纳推广，形成概念

问题4：对于一般的函数（高次函数，指对数函数等）与方程是否也有上述的结论成立呢？（类比）（设计意图：遵循由特殊到一般的认识规律，由具体的二次方程和二次函数到一般的二次方程和二次函数，再到一般的方程，函数，使学生感受函数零点概念的来龙去脉，体验自主发现的过程，体现了“化归”和“数形结合”的数学思想。）（活动方式：教师通过几何画板作出以下函数的图像：

（1）f(x)=-x３-３x＋５=0

（2）f(x)=lnx+2x-6

（3）f(x)=-ex-4x

学生观察图像归纳总结。）

（教师提示：由一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠ 0)抽象出方程f(x)=0，由一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠ 0)抽象出函数y=f(x)。）

预设的回答：学生归纳：方程f(x)=0的实数根就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。方程f(x)=0的解的个数和函数y=f(x)的图象与x轴的交点个数是一样的。教师给出函数零点定义：

对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。追问：函数的零点是一个点吗？函数的零点在方程中如何体现？在函数的图像中又如何体现？试论述三者之间的关系？（师生共同讨论归纳）

（设计意图：理解零点概念，领会其实质，培养学生的观察和归纳能力，并体现等价转换思想。）

小结：函数的零点不是一个点，而是一个数，函数零点，方程的根，函数图像与x轴交点的横坐标它们三者实质上是同一个值，只是在不同的环境中不同的称呼而已，并引导学生得出零点的三个重要的等价关系： 方程f(x)=0有实数根

/函数y=f(x)的图像与X轴有交点

/ 函数y=f(x)有零点

给出零点概念后，教师向学生指出：借助方程可以研究相应函数的性质，反之借助函数也可以研究方程根的情况。可以揭示其中蕴含的数学思想。

（四）初步应用，自主练习

问题4：一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a> 0)的零点的情况怎样？ 填下列表格。（学生完成）(＝b2－4ac 方程的根 函数的图像 图象与x轴交点 函数的零点

(>0

(=0

(<0

（设计意图：让学生对二次函数零点概念产生直观，完整的认识，深化零点概念，进而了解求方程的根就是确定函数零点这一本质。）活动过程：

师：引导学生利用函数零点的意义，探索二次函数零点的情况。

生：根据函数零点的意义，探索研究二次函数的图像和性质，独立完成对二次函数零点情况的分析，并进行交流，总结概括形成结论。

问题5：分别指出问题2，问题3中涉及到的函数的零点。

（设计意图：让学生对二次函数零点概念产生直观，完整的认识，深化零点概念，进而了解求方程的根就是确定函数零点这一本质。）

预设的回答：学生学生容易把函数的零点写成点的形式。

问题6：1：求下列函数的零点.（独立思考）(1)f(x)=2x-3

(2)f(x)=Lnx-1

(3)f(x)=

（4）f(x)=2x+x（设计意图：

将求函数的零点拓展到二次函数以外的其他基本函数中去不仅巩固函数零点的定义，而且可以使学生从错误中加深对零点定义的理解。）预设的回答：学生容易把函数的零点写成点的形式。2：利用函数图象判断各方程有没有根,有几个根。（独立思考）(1)-x2+3x+5=0

⑵2x(x-2)=-3

⑶x2=4x-⑷5x2+2x=3x2+5

(5)x3-x=3

(6)（设计意图：培养学生对知识的转化应用能力。）预设的回答：学生可能会直接解方程求解。

此时教师提示：要用函数的观点解决方程的问题，注意对知识的转化。

问题6：如何求函数y=f(x)的零点？（小组讨论形式）（设计意图：进一步理解零点概念，领会其实质，体现“化归”和“数形结合”的数学思想。）（活动方式：先由学生做答，教师收集整理，挑选其中合理的成份，之后再在学生回答的基础上引导学生得出结论。）

预设的回答：学生想不到从哪些角度归纳。

教师启发性讲解：注意零点概念，以及三个重要的等价关系，从数与形的角度思考。教师小结：求函数y=f(x)的零点的方法：（1）（代数法）求方程f(x)=0有实数根；（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。

（五）反思小结，培养能力 问题6：：通过本节课的学习你有哪些收获？可以从知识，数学思想，经验等方面谈谈。（设计意图：充分发挥学生的自主性，培养学生地归纳概括能力，归纳整理本节所学的知识和重要思想方法，优化学生的认知结构。）预设的回答：

知识方面：函数零点概念，函数y=f(x)零点与相应方程f(x)=0根的关系，求函数y=f(x)的零点的方法。

数学思想：数形结合，类比，化归等数学思想。

经验：今天所学的知识源于已有的知识经验，所以在学习过程中要注意知识间的联系。

（六）目标检测设计

练习1：求下列函数的零点

（1）y= x2－5x+6；

（2）y= 2x－1（3）y=lg(x-1)

（4）

练习2: 函数y=x2-5x+6的零点是（）

A（3，0），（2，0）；B x=2；

C x=3

D 2和3．

练习2：由下列函数的图像，回答函数有零点吗？有几个零点？// 练习3: 已知f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m-1的一个零点是1，求m的值．

（设计意图：对新知识的理解需要一个不断深化完善的过程，通过练习，进行数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和作用，同时反应教学效果，便于教师在教学中查漏补缺。）

（七）布置作业，分层落实

1．若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，求

loga25 + b2 2．请判断方程lnx=x2-4x+3的零点个数.（要求简单说明，并画出必要的图象）3．思考：函数f(x)= – x3 – 3x+5的零点所在的大致区间为（）（设计意图：分层教学，让学生既能体会到学数学的成功感，又能恰当的提高学生的兴趣。）

（八）后记――一点感想

方程的根与函数的零点是高中课程标准新增的内容，表面上看，这一内容的教学并不困难，但要让学生能够真正理解，教学还需要妥善处理其中的一些问题。

一、首先要让学生认识到学习函数的零点的必要性 教材是利用一元二次方程的例子来引入函数的零点。这样处理，主要是想让学生在原有二次函数的认知基础上，使其知识得到自然的发生发展。理解了像二次函数这样简单的函数的零点，再来理解其他复杂的函数的零点就会容易一些。但在教学时发现，当提问“方程x2－2x－3＝0是否有实根？你是怎样判断的？”时，学生的反应都很平淡，对这个问题都不感兴趣，因为他们对如何解一元二次方程早就熟练了，因此没必要再问这么简单的问题。由此看来，这堂课一开始就应该让学生认识到学习函数的零点的必要性。最好是选择学生用已学方法不能求解的方程的例子，这样才能激发学生的学习积极性，并让其认识到学习函数的零点的必要性。例如，可以把教材后面的例子先提出来，让学生思考：

方程lnx＋2x－6＝0是否有实根？为什么？

在学生对上述问题一筹莫展时，再回到一元二次方程上，引导学生利用函数的图象和性质来研究方程的根。这堂课的头开好了，整堂课就活了。

二、教学要把握内容结构，突出思想方法

教师首先要通过把握教材内容结构来设计教学框架，然后根据教学框架来考虑需要突出的思想方法。本节课可以按照下列主线来展开教学：

?

（一）如何引导学生将复杂的问题简单化，并学会从已有认知结构出发由特殊到一般地思考问题

教材设置函数的零点这一内容的目的，就是为了体现函数的应用，为用二分法求方程的近似解奠定基础。所以，教学一开始就应该从学生用已学方法不能求解的方程出发展开讨论，然后引导学生体会其中的思想方法。例如，可以像前面一样先提出：方程lnx＋2x－6＝0是否有实根？为什么？当学生陷入困境时，教师再逐步提出下面的问题进行引导： 1．当遇到一个复杂的问题，我们一般应该怎么办？

以此来引导学生将复杂的问题简单化，寻找类似的简单问题的解决方法。2．以前我们如何判断一个方程是否有实根，这对研究这个方程是否有帮助？

以此来引导学生从已有认知结构出发，将解决简单方程的方法迁移到不能求解的方程中去，学会从特殊到一般的思维方法。

3．除了用判别式可以判断一元二次方程根的情况，还有其他的方法吗？ 以此来引导学生建立方程与函数的联系，渗透函数与方程的思想方法，并培养其从不同角度思考问题的习惯。

（二）怎样突出数形结合的思想方法

高三函数零点教学设计 篇5

一、本课数学内容的本质、地位、作用分析

普通高中课标教材必修1共安排了三章内容，第一章是《集合与函数的概念》，第二章是《基本初等函数(Ⅰ)》，第三章是《函数的应用》。第三章编排了两块内容，第一部分是函数与方程，第二部分是函数模型及其应用。本节课方程的根与函数的零点，正是在这种建立和运用函数模型的大背景下展开的。本节课的主要教学内容是函数零点的定义和函数零点存在的判定依据，这两者显然是为下节“用二分法求方程近似解”这一“函数的应用”服务的，同时也为后续学习的算法埋下伏笔。由此可见，它起着承上启下的作用，与整章、整册综合成一个整体，学好本节意义重大。

函数在数学中占据着不可替代的核心地位，根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机地联系在一起。方程本身就是函数的一部分，用函数的观点来研究方程，就是将局部放入整体中研究，进而对整体和局部都有一个更深层次的理解，并学会用联系的观点解决问题，为后面函数与不等式和数列等其他知识的联系奠定基础。

二、教学目标分析

本节内容包含三大知识点：

一、函数零点的定义;

二、方程的根与函数零点的等价关系;

三、零点存在性定理。

结合本节课引入三大知识点的方法，设定本节课的知识与技能目标如下：

1.结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义;

2.结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系;

3.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法.

本节课是学生在学习了函数的性质，具备了初步的数形结合知识的基础上，通过对特殊函数图象的分析进行展开的，是培养学生“化归与转化思想”，“数形结合思想”，“函数与方程思想”的优质载体。

结合本节课教学主线的设计，设定本节课的过程与方法目标如下：

1.通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决棘手问题方法的习惯;

2.通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识;

3.通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法;

4.通过对函数与方程思想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能力。

由于本节课将以教师引导，学生探究为主体形式，故设定本节课的情感、态度与价值观目标如下：

1.让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值;

2.培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯。

3.使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感。

三、教学问题诊断

学生具备的认知基础：

1.基本初等函数的图象和性质;

2.一元二次方程的根和相应函数图象与x轴的联系;

3.将数与形相结合转化的意识。

学生欠缺的实际能力：

1.主动应用数形结合思想解决问题的意识还不强;

2.将未知问题已知化，将复杂问题简单化的化归意识淡薄;

3.从直观到抽象的概括总结能力还不够;

4.概念的内涵与外延的探究意识有待提高。

对本节课的教学，教材是利用一组一元二次方程和二次函数的关系来引入函数零点的.。这样处理，主要是想让学生在原有二次函数的认知基础上，使其知识得到自然的发生发展。理解了像二次函数这样简单的函数零点，再来理解其他复杂的函数零点就会容易一些。但学生对如何解一元二次方程以及二次函数的图象早就熟练了，这样的引入过程使学生感到平淡，激发不起他们的兴趣，他们对零点的理解也只会浮于表面，也无法使其体会引入函数零点的必要性，理解不了方程根存在的本质原因是零点的存在。

教材是通过由直观到抽象的过程，才得到判断函数y=f(x)在(a，b)内有零点的一种条件的，如果不能有效地对该过程进行引导，容易出现学生被动接受，盲目记忆的结果，而丧失了对学生应用数学思想方法的意识进行培养的机会。

教材中零点存在性定理只表述了存在零点的条件，但对存在零点的个数并未多做说明，这就要求教师对该定理的内涵和外延要有清晰的把握，引导学生探究出只存在一个零点的条件，否则学生对定理的内容很容易心存疑虑。

四、本节课的教法特点以及预期效果分析

本节课教法的几大特点总结如下：

1.以问题为主线贯穿始终;

2.精心设置引导性的语言放手让学生探究;

3.注重在引导学生探究问题解法的过程中渗透数学思想;

4.在探究过程中引入新知识点，在引入新知识点后适时归纳总结，进行探究阶段性成果的应用。

由于所设置的主线问题具有很高的探究价值，所以预期学生热情会很高，积极性调动起来，那整节课才能活起来;

由于为了更好地组织学生探究所设置的引导性语言，重在去挖掘学生内心真实的想法和他们最真实体会到的困难，所以通过学生活动会更多地暴露他们在基础知识掌握方面的缺憾，免不了要随时纠正对过往知识的错误理解;

因为在探究过程中不断渗透数学思想，学生对亲身经历的解题方法就会有更深的体会，主动应用数学思想的意识在上升，对于主线问题也应该可以迎刃而解;

“零点坐标法”求解函数零点 篇6

函数零点的性质原是大学的内容, 由于学生在求解函数零点时往往无从下手. 以原来的教学方法似乎不能达到新课程的要求, 希望能寻找更好的解决办法. 通过对大学函数的学习和研究, 结合新课程改革的教学思想发现: 高中解高次不等式会用到零点的性质, 那么令不等式等于0, 解出零点, 再用数轴画出示意图, 根据图像就可以得出答案[2]. 受此启发, 利用“函数零点”解出函数的零点个数, 在直角坐标系中标出零点, 根据最值, 画出示意图, 判断函数零点的情况, 简称“零点坐标法”, 似乎是一种新的求解函数零点的方法[3]. 不难看出函数零点体现了函数与方程的思想, 由于与高等数学相衔接, 利用函数零点解决函数问题已成为高考命题的一个热点.

例1 求证y = 2x+ lg ( x + 1) - 2 在 ( 0, 2) 有且仅有一个零点.

解: 令f ( x) = 2x+ lg ( x + 1) - 2, 因为f ( 0) = - 1 < 0, f ( 2) = 2 + lg3 > 0,

则f (0) f (2) <0, 只需证明该函数在 (0, 2) 内单调性即可

即f ( x1) < f ( x2) , 则f ( x) = 2x+ lg ( x + 1) - 2 在 ( 0, 2) 单增,

所以y = 2x+ lg ( x + 1) - 2 在 ( 0, 2) 有且仅有一个零点.

说明: 此例利用零点存在定理和单调性证明函数存在唯一零点, 如果函数存在多个零点, 此解法就比较繁琐.

例2 试求函数y = ( x2- 1) 2- | x2- 1 | + k的零点个数.

解法1: 函数零点等价于方程 ( x2- 1) 2- | x2- 1 | + k = 0 的根

令t = | x2- 1 | , k = - t2+ t.

利用复合函数函数单调性画出图3.

解法2:令f (x) = (x2-1) 2-|x2-1|, 则F (x) =f (x) +k.

则将空间分为6 个区间, 在各区间中代入一点可画出法一示意图, 则显然F ( x) = 0 可能有2 个零点, 5 个零点, 8 个零点.

说明: ( 1) 使用常规的换元法解此题思路繁琐, 计算量大, 易出错. ( 2) 用函数零点解题就简单方便, 只需求出函数的零点和最值, 然后画出示意图根据图像即可判断函数零点的个数, 此方法是否可以推广求多项式函数的零点个数?

例3 求f ( x) = ax2+ bx的零点.

说明: 此方法可以判断二次多项式的零点个数, 那么这样是否就可以求三次多项式的零点个数呢?

例4求y=ax3+bx2+cx+d (a≠0) 的零点?

解:f (x) =ax3+bx2+cx=x (ax2+bx+c=0.

代入f ( x) = ax3+ bx2+ cx求出其最大值和最小值为k1和k2.

画出示意图4.

当d > - k2或d < - k1时, y =ax3+ bx2+ cx + d只有一个零点;

当- k1< d < - k2时, y = ax3+bx2+ cx + d只有三个零点.

说明: 此例通过设f ( x) = 0, 将三次多项式降次为二次, 再利用二次多项式求零点的个数的方法来求一般三次多项式的零点个数.那么, 我们是否可以通过这样来求四次多项式、五次多项式……的零点个数呢? 由上面的例子可以总结用“零点坐标法”求一般多项式的零点时, 通过降次, 求零点, 最值, 循环使用上面的步骤, 则可求解y = anxn+ an - 1xn - 1+ … + a1x + a0的零点个数.

摘要：“零点坐标法”, 是一种新的求解函数零点的方法, 函数零点体现了函数与方程的思想, 本文对高中数学中利用“零点坐标法”求解函数零点的题目的示范, 浅析此法在题目中的应用.

关键词：零点坐标法,函数,求解

参考文献

[1]阳志长.分析探讨, 零点突破[J].中学数学, 2012 (12) :32-34.

[2]赵霞.函数零点问题探讨[J].理科考试研究:高中版, 2015, 22 (5) :10-11.

高三函数零点教学设计 篇7

黑龙江省大庆实验中学董雁飞

课题：3.1.1方程的根与函数的零点

教材： 普通高中课程标准实验教科书数学必修

1（人民教育出版社A版）第三章函数的应用

【环节一：揭示意义，明确目标】揭示本章意义，指明课节目标

教师活动：用屏幕显示第三章函数的应用

3.1.1方程的根与函数的零点

教师活动：这节课我们来学习第三章函数的应用。通过第二章的学习，我们已经认识了指数

函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数的图象和性质，而这一章我们就要运

用函数思想，建立函数模型，去解决现实生活中的一些简单问题。为此，我们还

要做一些基本的知识储备。方程的根，我们在初中已经学习过了，而我们在初中

研究的“方程的根”只是侧重“数”的一面来研究，那么，我们这节课就主要从

“形”的角度去研究“方程的根与函数零点的关系”。

教师活动：板书标题（方程的根与函数的零点）。

【环节二：巧设疑云，轻松渗透】设置问题情境，渗透数学思想

教师活动：请同学们思考这个问题。用屏幕显示判断下列方程是否有实根，有几个实根？

（1）x2x30；（2）lnx2x60.学生活动：回答，思考解法。

教师活动：第二个方程我们不会解怎么办？你是如何思考的？有什么想法？我们可以考虑将

复杂问题简单化，将未知问题已知化，通过对第一个问题的研究，进而来解决第二个问题。对于第一个问题大家都习惯性地用代数的方法去解决，我们应该打破

思维定势，走出自己给自己画定的牢笼！这样我们先把所依赖的拐杖丢掉，假如

第一个方程你不会解，也不会应用判别式，你要怎样判断其实根个数呢？

学生活动：思考作答。

教师活动：用屏幕显示函数yx22x3的图象。

学生活动：观察图像，思考作答。

教师活动：我们来认真地对比一下。用屏幕显示表格，让学生填写x2x30的实数根

和函数图象与x轴的交点。

学生活动：得到方程的实数根应该是函数图象与x轴交点的横坐标的结论。

教师活动：我们就把使方程成立的实数x称做函数的零点．

2【环节三：形成概念，升华认知】引入零点定义，确认等价关系

教师活动：这是我们本节课的第一个知识点。板书（一、函数零点的定义：对于函数y=f(x),使方程f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点）。

教师活动：我可不可以这样认为，零点就是使函数值为0的点？

学生活动：对比定义，思考作答。

教师活动：结合函数零点的定义和我们刚才的探究过程，你认为方程的根与函数的零点究竟

是什么关系？

学生活动：思考作答。

教师活动：这是我们本节课的第二个知识点。板书（方程的根与函数零点的等价关系）。教师活动：检验一下看大家是否真正理解了这种关系。如果已知函数y=f(x)有零点，你怎

样理解它？

学生活动：思考作答。

教师活动：对于函数y=f(x)有零点，从“数”的角度理解，就是方程f(x)=0有实根，从“形”的角度理解，就是图象与x轴有交点。从我们刚才的探究过程中，我们知道，方

程f(x)=0有实根和图象与x轴有交点也是等价的关系。所以函数零点实际上是

方程f(x)=0有实根和图象与x轴有交点的一个统一体。

在屏幕上显示：函数y=f(x)有零点



方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点

教师活动：下面就检验一下大家的实际应用能力。

【环节四：应用思想，小试牛刀】数学思想应用，基础知识强化

教师活动：用屏幕显示求下列函数的零点.(x4)(x1),x41(1)y3x;(2)ylog2x;(3)y;(4)y.x(x4)(x6),x

4学生活动：由四位同学分别回答他们确定零点的方法。画图象时要求用语言描述4个图象的画法；

教师活动：根据学生的描述，在黑板上作出图象（在接下来探究零点存在性定理时，图象会

成为同学们思考问题的很好的参考）。

教师活动：我们已经学习了函数零点的定义，还学习了方程的根与函数零点的等价关系，在这些知识的探究发现中，我们也有了一些收获，那我们回过头来看看能不能解决

lnx2x60的根的存在性问题？

学生活动：可受到化归思想的启发应用数形结合进行求解。

教师活动：用屏幕显示学生所论述的解题过程。这种解法充分运用了我们前面的解题思想，将未知问题转化成已知问题，将一个图象不会画的函数转化成了两个图象都会画的函数，利用两个函数图象的交点解决实根存在性问题。看来我们的探究过程是

非常有价值的。

教师活动：如果不转化，这个问题就真的解决不了么？现在最棘手的问题是y=lnx2x6的图象不会画，那我们能不能不画图象就判断出零点的存在呢？

【环节五：探究新知，思形想数】探究图象本质，数形转化解疑

教师活动：我们看到，当函数图象穿过x轴时，图象就与x轴产生了交点，图象穿过x轴这

是一种几何现象，那么如何用代数形式来描述呢？用屏幕显示yx22x3的函数图象，多次播放抛物线穿过x轴的画面。

学生活动：通过观察图象，得出函数零点的左右两侧函数值异号的结论.教师活动：好！我们明确一下这个结论，函数y=f(x)具备什么条件时，能在区间（a,b）上

存在零点？

学生活动：得出f(a)·f(b)<0的结论。

教师活动：若f(a)·f(b)<0,函数y＝f(x)在区间(a,b)上就存在零点吗？

学生活动：可从黑板上的图象中受到启发，得出只有在[a,b]上连续不断的函数，在满足

f(a)·f(b)<0的条件时，才会存在零点的结论。

【环节六：归纳定理，深刻理解】初识定理表象，深入理解实质

教师活动：其实同学们无形之中已经说出了我们数学中的一个重要定理，那就是零点存在性

定理。这是我们本节课的第三个知识点。板书（三、零点存在性定理）。

教师活动：用屏幕显示函数零点存在性定理：

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点．

即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根．

教师活动：这个定理比较长，找个同学给大家读一下，让大家更好地体会定理的内容。学生活动：读出定理。

教师活动：大家注意到了么，定理中，开始时是在闭区间[a,b]上连续，结果推出时却是在开区间（a,b）上存在零点。你怎样理解这种差异？

学生活动：思考作答。

教师活动：虽然我们已经得到了零点存在性定理，但同学们真的那么坦然么？结合黑板上的图象，再结合定理的叙述形式，你对定理的内容可有疑问？

学生活动：通过观察黑板上的板书图象，大致说出以下问题：

1.若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内

会是只有一个零点么?

2.若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在区间(a,b)内

就一定没有零点么？

3.在什么条件下，函数y＝f(x)在区间(a,b)上可存在唯一零点？

教师活动：那我们就来解决一下这些问题。

学生活动：通过黑板上的图象举出反例，得出结论。

1.若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则只能确定f(x)在区间

(a,b)内有零点，有几个不一定。

2.若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在区间(a,b)内

也可能有零点。

3.在零点存在性定理的条件下，如果函数再具有单调性,函数y＝f(x)在区间(a,b)

上可存在唯一零点。

【环节七：应用所学，答疑解惑】把握理论实质，解决初始问题

教师活动：现在我们不用画出图象也能判断函数零点是否存在，存在几个了。那解决

lnx2x60的根的存在性问题应该是游刃有余了。

用屏幕显示判断下列方程是否有实根，有几个实根？（2）lnx2x60

学生活动：通过对零点存在性的探究和理解，表述该问题的解法。

【环节八：归纳总结，梳理提升】总结基础知识，提升解题意识

教师活动：本节课的知识点已经在黑板上呈现出来了，但最重要的，也是贯穿本节课始终，起到灵魂作用的却是三大数学思想，即化归与转化的数学思想,数形结合的数学

思想,函数与方程的数学思想.数学思想才是数学的灵魂所在，也是数学的魅力所

在，对我们解决问题起着绝对的指导作用。愿我们每个同学在今后的学习中体味、感悟、应用、升华！

【环节九：理论内化，巩固升华】整理思想方法，灵活应用解题

21.函数f(x)=x(x-16)的零点为()

Ａ.(0,0),(4,0)Ｂ.0,4Ｃ.(–4,0),(0,0),(4,0)Ｄ.–4,0,4

2.已知函数f(x)是定义域为Ｒ的奇函数，且f(x)在(0,)上有一个零点，则f(x)的零点个数为()

Ａ.３Ｂ.２Ｃ.１Ｄ.不确定

3.已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：

那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（）个

A.5个B.4个C.3个D.2个

34.函数f(x)= – x – 3x + 5的零点所在的大致区间为（）

A.(– 2，0)B.(1，2)C.(0，1)D.(0，0.5)

【环节十：布置作业，举一反三】延伸课堂思维，增强应用意识