案例 零点定理的教学设计

案例 零点定理的教学设计（精选7篇）

案例 零点定理的教学设计 篇1

过程与方法是这样体现的！

一、开放的情境更易于引导学生做数学

根据高中学生的认知水平，开发利用教材的探索性内涵，创造性地使用教材，设计了能启发学生思维的“温度连续变化”情境，引导学生得出本节课的重要结论：零点附近两侧的图象特征及代数特征（函数值异号）。这一片段的课堂教学实录如下：

问题1 图1是某地从0点到12点的气温变化图，假设气温是连续变化的，请将图形补充成完整的函数图象。这段时间内，是否一定有某时刻的气温为0度？为什么？

师：在补充图象的时候请考虑：图象与x轴是否一定相交。师：有哪位同学得到与x轴不相交的图象吗？（所有同学都摇头表示不能画出）师：困难在哪？为什么画不出？

生丁：因为气温的变化连续不断，而且有两个已知的温度是一正一负。师：很好，因为这两个原因使得图象与x轴一定相交。那么，交点可能会在哪儿？

生众：0到12之间。

师：气温变化图其实也是一个函数的图象，它与x轴的交点就是函数的零点，这样我们已经发现了函数存在零点的一种判断方法。

师：函数存在零点的关键是什么？

生众：函数图象是连续不断的；一个点在x轴下方，一个点在x轴上方。

从上述过程可见，通过 “问答”式这种形式引导学生进行探究，实践证明效果较好。但对高中学生来说，数学学习是一个充满价值判断的过程，最有效的是有引导又不受干扰的思考，属于学生自己的独立思考。美国数学家哈尔莫斯指出：“学习数学的唯一方法是做数学”，我们认为：让学生以研究者的身份通过动手做来解决这一问题，先做后说，也许效果会更好。鉴于此，我们对这一教学片段重新进行了设计，把如下的修改问题作为学生深度思考的一个源题：

问题2 图1是某地从0点到12点的气温变化图，假设气温是连续变化的，请用二种不同的方法将图形补充成完整的函数图象。这段时间内，是否一定有某时刻的气温为0度？为什么？

在课外活动中将印有这个题目的纸张发给学生，要求学生通过研究设计出二种不同的连结方法。

上述的图形连接问题起点低，直观性强，简单而内涵丰富，且结论开放，符合高中学生喜欢动手的特点，适合不同层次学生进行探究。并在动态生成中很自然地“更新”了学习方式：让学生从“听”数学的学习方式，改变成在教师的指导下“做”数学，研究数学。

二、“预设”与“生成”结合的课堂更精彩

原问题给学生一个图，学生会用最方便直接的方法进行连接（一条直线段），在转换了情境问题后，一次就给学生二个相同的图形，要求进行不同的连接，设计第二个图的连接有的学生会面临困难，教师适时提示：“请大家再试着画画看”，“独立思考几分钟”，以更好地激发学生的探究欲，在尝试画图和反复的思索中，—种、两种、三种„„没有预设的连接方法接踵而至，学生在画图过程中，不拘一格大胆思考，使课堂出现“生成”的精彩。学生是聪明的，无穷的遐想和个性化理解给不同的学生带来了不同的收获（下面仅列举一部分成果，课堂上用实物投影展示）。

1．让学生在表述结果中进行数学交流

教师先从连接线的几何和数量特性着手，引领学生进行课堂交流。学生画出的图形是五花八门的：

(1)用线段连接（如图2、3等）。

(2)用曲线段连接，学生给出了很多连接方法，如图4、5、6、7等都是学生给出的。

学生画出的图形为课堂教学提供了丰富的资源，其中包括在区间(a，b)内有单一零点的函数是单调的、不单调的、有多个交点的等。而且也还有因为没有注意到条件要求而画错的图形（如图5），这有利于纠正部分学生对函数概念理解的偏差。

实践证明，每一个学生都希望自己是一个发现者、研究者和探索者。学生从这一问题的研究出发，放飞想象，上述这道教师眼里简单的画图题，仅仅在几分钟里，学生通过观察、猜想、尝试，就探索出了这么多种不同的画法，有助于加深对本节课所学知识的理解，为后续学习积累大量的素材，逐步学会思考。

2．课堂研究中的动态生成是灵动的教学资源

构建动态生成的课堂必须把学生置于教学的出发点和核心地位，让学生充分地开展自主学习，课堂才能焕发出勃勃生机，呈现出一道优美、流动的风景线，才能使课堂真正为学生的发展服务。在课堂上要及时合理地捕捉学生研究得到的动态生成，让它多一些真实的美丽，多一些有效的精彩。

（1）学生画出的图形，蕴含着丰富的教学资源。从图象与x轴交点（即零点）的个数看，可以构造出任意有限个零点的连接图。那么，是否存在有无限个零点的连接图？有的学生经过思考后提出：将线段设置为与x轴重合，如图8，其图象是不间断的，显然该函数的零点为一个区间，有无限多个。

给学生几分钟的思考时间，给学生“灵机一动”、“茅塞顿开”的机会，就可能出现“柳暗花明”“出人意料”的结果，进而极大地激发学生的探究欲望，并充分享受发现的喜悦。

（2）从这些图形零点附近图象的代数特征看，可分成四种情形：函数值异号（+－；－+）；函数值同号（++；－－），这样可把学生引向本节课的重要结论的研究。

（3）前面学生研究出的连接图，还可用来协助解决二节观摩课中提出的一系列问题，加深学生对本课内容的理解，如：

问题1 若问题2 若，函数，函数

在区间在区间

上一定没有零点吗？ 上只有一个零点吗？ 内有且只有一个零点？ 问题3 能否增加条件，使得函数在区间是否一定有f(a)f(b)<0? 问题4 若在区间[a，b]上图象连续不断的函数f(x)在[a，b]上有一个零点，问题5 若在区间[a，b]上图象连续不断的函数f(x)满足f(a)f(b)<0，则函数f(x)在(a，b)上零点个数一定是有限个吗? 老师在教学中的做法是：（在《几何画板》直接展示函数的图象，不给出函数解析式，如图9。引导学生改变区间的端点，通过观察，验证问题1、2。

师：所以零点存在性定理可以判断当条件满足时，函数在区间内一定有零点，但不能确定零点的个数。

师：能否增加条件，使得函数在区间生众：单调性。

师：具体说，可以增加这样的条件：函数在区间这里我们利用图7就能回答这几个问题。

这样的生成，让平淡的课堂变得趣味无穷，让平常的课堂情节变得迭宕起伏，不仅将学生在画图过程中动态生成的信息转化为有效的教学资源，并在动态中促

内为单调函数。

内有且只有一个零点？ 使学习内容不断生成，知识不断建构并得到内化，使数学教学成为激情与智慧综合的生成过程的课堂教学。

古今中外凡有重大成就的人，在其攀登科学高峰的征途中，都会给思考留有一定时间。据说爱因斯坦狭义相对论的建立，经过了“十年的沉思”。他说：“学习知识要善于思考、思考、再思考，我就是靠这个学习方法成为科学家的。”许多教师在课堂教学中，由于没有抓住教学内容的核心，往往堆积了大量细枝末节问题，教师讲得多，给学生思考的时间少，甚至不给学生思考机会，导致学生思维能力得不到培养。因此，教学设计时应给学生预留更多的思考时间和空间。学习的效果最终取决于学生是否真正参与到学习活动中，是否积极主动地思考。如果学生能学会思考和研究，这比什么目标都有意义。

（浙江省衢州市教研室 李世杰）

（摘录自人民教育出版社网站：精彩的生成来自学生的自主研究）

案例 零点定理的教学设计 篇2

一、教学过程

1. 设置情境

利用投影展示:一条河的两岸平行, 河宽d=1 km, 因上游突发洪水, 在洪峰到来之前, 急需将码头A处囤积的重要物资及人员用船转运到正对岸的码头B处或其下游1 km的码头C处.已知船在静水中的速度|v1|=5 km/h, 水流速度|v2|=3 km/h.

2. 提出问题

师:为了确定转运方案, 请同学们设身处地地考虑一下有关的问题, 将各自的问题经小组 (前后4人为一小组) 汇总整理后交给我.

待各小组将题纸交给老师后, 老师筛选几张有代表性的题纸通过投影向全班展示, 经大家归纳整理后得到5个问题: (1) 船应开往B处还是C处? (2) 船从A开到B, C分别需要多少时间? (3) 船从A到B, C的距离分别是多少? (4) 船从A到B, C时的 (5) 船应向什么方向开, 才能保证沿直线到达B, C?

师:大家讨论一下, 应该怎样解决上述问题?

大家经过讨论达成如下共识:要回答问题 (1) , 需要解决问题 (2) , 要解决问题 (2) , 需要先解决问题 (3) 和 (4) , 问题 (3) 用直角三角形知识可解, 所以重点是解决问题 (4) , 问题 (4) 与问题 (5) 是两个相关问题, 因此, 解决上述问题的关键是解决问题 (4) 和 (5) .

师:请同学们根据平行四边形法则, 先在练习本上作出与问题对应的示意图, 明确已知什么, 要求什么, 怎样求解.

生:船从A开往B的情况, 根据平行四边形的性质及解直角三角形的知识, 可求得船在河水中的速度大小|v|及v1与v2的夹角θ.

生:船从A开往C的情况, |AD|=|v1|=5, |DE|=|AF|=|v2|=3, 易求得∠AED=∠EAF=45°, 还需求θ及v.我不知道怎样解这两个问题, 因为以前从未解过类似的问题.

师:请大家想一下, 这两个问题的数学实质是什么?

部分学生:在三角形中, 已知两边和其中一边的对角, 求另一边的对角和第三边.

师:请大家讨论一下, 如何解决这两个问题?

生:在已知条件下, 若能知道三角形中两条边与其对角这4个元素之间的数量关系, 则可以解决上述问题, 求出另一边的对角.

生:如果另一边的对角已经求出, 那么第三个角也能够求出.只要能知道三角形中两条边与其对角这4个元素的数量关系, 则第三边也可求出.

生:在已知条件下, 如果能知道三角形中三条边和一个角这4个元素之间的数量关系, 也能求出第三边和另一边的对角.

师:同学们的设想很好, 只要能知道三角形中两边与它们的对角间的数量关系, 或者三条边与一个角间的数量关系, 则两个问题都能够顺利解决.下面我们先来解答问题:三角形中, 任意两边与其对角之间有怎样的数量关系?

3. 解决问题

师:请同学们想一想, 我们以前遇到这种一般问题时, 是怎样处理的?

众学生:先从特殊事例入手, 寻求答案或发现解法.直角三角形是三角形的特例, 可以先在直角三角形中试探一下.

师:请各小组研究“在Rt△ABC中, 任意两边及其对角这4个元素间有什么关系”?

多数小组很快得出结论:a=b=c.

sin Asin Bsin C

师:a=b=c在非Rt△ABC中是否成立?

sin Asin Bsin C

众学生:不一定, 可以先用具体例子检验.若有一个不成立, 则否定结论;若都成立, 则说明这个结论很可能成立, 再想办法进行严格的证明.

师:这是个好主意.请每个小组任意作出一个非Rt△ABC, 用量角器和刻度尺量出各边的长和各角的大小, 用计算器作为计算工具, 具体检验一下, 然后报告检验结果.

几分钟后, 多数小组报告结论成立, 只有一个小组因测量和计算误差, 得出否定的结论.教师在引导学生找出失误的原因后指出:此关系式在任意△ABC中都能成立, 请大家先考虑一下证明思路.

生:想法将问题转化成直角三角形中的问题进行解决.

生:因为要证明的是一个等式, 所以应先找到一个可以作为证明基础的等量关系.

师:在三角形中有哪些可以作为证明基础的等量关系呢?

学生七嘴八舌地说出一些等量关系, 经讨论后确定如下一些与直角三角形有关的等量关系可能有利用价值: (1) 三角形的面积不变. (2) 三角形同一边上的高不变. (3) 三角形外接圆直径不变.

师:据我所知, 从AC+CB=AB出发, 也能证得结论, 请大家讨论一下.

生:要想办法将向量关系转化成数量关系.

生:利用向量的数量积运算可将向量关系转化成数量关系.

生:还要想办法将有三个项的关系式转化成两个项的关系式.

生:因为两个垂直向量的数量积为0, 可考虑选一个与三个向量中的一个向量 (如向量AC) 垂直的向量与向量等式的两边分别作数量积.

师:同学们通过自己的努力, 发现并证明了正弦定理.正弦定理揭示了三角形中任意两边与其对角的关系, 请大家留意身边的事例, 正弦定理能够解决哪些问题.

二、教学总结

余弦定理教学案例分析 篇3

作者： 王兵 发布日期：2007-11-1

摘要]： 辩证唯物主义认识论、现代数学观和建构主义教学观与学习观指导下的“情境.问题.反思.应用”教学实验，旨在培养学的数学问题意识，养成从数学的角度发现和提出问题、形成独立思考的习惯，提高学生解决数学问题的能力，增强学生的创新意和实践能力。创设数学情境是前提，提出问题是重点，解决问题是核心，应用数学知识是目的，因此所设情境要符合学生的“最发展区”。“余弦定理”具有一定广泛的应用价值，教学中我们从实际需要出发创设情境。

关键词]： 余弦定理；解三角形；数学情境、教学设计、教学背景

近几年教学实践中我们发现这样的怪现象：绝大多数学生认为数学很重要，但很难；学得很苦、太抽象、太枯燥，要不是升学，们才不会去理会，况且将来用数学的机会很少；许多学生完全依赖于教师的讲解，不会自学，不敢提问题，也不知如何提问题。说明了学生一是不会学数学，二是对数学有恐惧感，没有信心，这样的心态怎能对数学有所创新呢？即使有所创新那与学生们所代价也不成比例，其间扼杀了他们太多的快乐和个性特长。建构主义提倡情境式教学，认为多数学习应与具体情境有关，只有在决与现实世界相关联的问题中，所建构的知识才将更丰富、更有效和易于迁移。我们在 2003级进行了“创设数学情境与提出数问题”教学实验，通过一段时间的教学实验，多数同学已能适应这种学习方式，平时能主动思考，敢于提出自己关心的问题和想，从过去被动的接受知识逐步过渡到主动探究、索取知识，增强了学习数学的兴趣。、教材分析

余弦定理”是全日制普通高级中学教科书（试验修订本 ?必修）数学第一册（下）的第五章第九节的主要内容之一，是解决有关三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。本节课是正弦定理、余弦定理”教学的第二节课，其主要任务是引入并证明余弦定理，在课型上属于“定理教学课”。布鲁纳指出，学生是被动的、消极的知识的接受者，而是主动的、积极的知识的探究者。教师的作用是创设学生能够独立探究的情境，引导学生去考，参与知识获得的过程。因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。、设计思路

构主义强调，学生并不是空着脑袋走进教室的。在日常生活中，在以往的学习中，他们已经形成了丰富的经验，小到身边的衣食行，大到宇宙、星体的运行，从自然现象到社会生活，他们几乎都有一些自己的看法。而且，有些问题即使他们还没有接触过，有现成的经验，但当问题一旦呈现在面前时，他们往往也可以基于相关的经验，依靠他们的认知能力，形成对问题的某种解释。且，这种解释并不都是胡乱猜测，而是从他们的经验背景出发而推出的合乎逻辑的假设。所以，教学不能无视学生的这些经验，起炉灶，从外部装进新知识，而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的识经验。

此我们根据“情境--问题”教学模式，沿着“设置情境--提出问题--解决问题--反思应用”这条主线，把从情境中探索和提出数问题作为教学的出发点，以“问题”为红线组织教学，形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境--问题”学习链，学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、验数学的过程。根据上述精神，做出了如下设计：①创设一个现实问题情境作为提出问题的背景；②启发、引导学生提出自己关的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决问题时需要使用余弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解三角形的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质，引伸成一般的数学问题：已知角形的两条边和他们的夹角，求第三边。③为了解决提出的问题，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验，通过边BC的垂线得到两个直角三角形，然后利用勾股定理和锐角三角函数得出余弦定理的表达式，进而引导学生进行严格的逻辑证明。

；二是如何将向量关系转化成数量关系。④由明时，关键在于启发、引导学生明确以下两点：一是证明的起点

生独立使用已证明的结论去解决中所提出的问题。、教学过程、设置情境

动卸货汽车的车箱采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆 BC的长度（如下图），已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B与箱支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC的长为1.40m，计算BC的长（保留三个有效数字）。、提出问题

：大家想一想，能否把这个实际问题抽象为数学问题？（数学建模），在三角形 ABC，已知AB＝1.95m,AC＝1.40m，∠BAC＝60°＋6°20′＝66°20′，求BC的长。

：能用正弦定理求解吗？为什么？

能。正弦定理主要解决：已知三角形的两边与一边的对角，求另一边的对角；已知三角形的两角与一边，求角的对边。

：这个问题的实质是什么？

三角形中，已知两边和它们的夹角，求第三边。（一般化）三角形 ABC，知AC＝b，BC＝a，角C，求AB。、解决问题

：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？

从特殊图形入手，寻求答案或发现解法。（特殊化）

以先在直角三角形中试探一下。

角三角形中 c 2 =a 2 +b 2（勾股定理角C为直角）斜三角形ABC中（如图3），过A作BC边上的高AD，将斜三角形转化为直三角形。（联想构造）

：垂足 D一定在边BC上吗？

一定，当角 C为钝角时，点D在BC的延长线上。

分类讨论，培养学生从不同的角度研究问题）

锐角三角形 ABC中，过A作AD垂直BC交BC于D，在直角三角形ADB中，AB 2 ＝AD 2 ＋BD 2，在直角三角形ADC中，AD＝ACsinC, ＝ACcosC 即AD＝bsinC, CD＝bcosC BD＝BC-CD,即BD＝a-bcosC

c 2 =(bsinC)2 +(a-bcosC)2 2 sin 2 C+a 2-2abcosC+b 2 cos 2 C 2 +b 2-2abcosC 理 a 2 =b 2 +c 2-2bccosA 2 =a 2 +c 2-2accosB 钝角三角形 ABC中，不妨设角C为钝角，过A作AD垂直BC交BC的延长线于D，直角三角形 ADB中，AB 2 ＝AD 2 ＋BD 2，在直角三角形ADC中，AD＝ACsin（π-C）,CD＝ACcos（π-C），即AD＝bsinC, CD-bcos C，又BD＝BC＋CD,即BD＝a-bcosC

c 2 =(bsinC)2 +(a-bcosC)2 2 sin 2 C+a 2-2abcosC+b 2 cos 2 C 2 +b 2-2abcosC 理 a 2 =b 2 +c 2-2bccosA 2 =a 2 +c 2-2accosB 理可证 a 2 =b 2 +c 2-2bccosA 2 =a 2 +c 2-2accosB ：大家回想一下，在证明过程易出错的地方是什么？、反思应用

：同学们通过自己的努力，发现并证明了余弦定理。余弦定理揭示了三角形中任意两边与夹角的关系，请大家考虑一下，余弦定能够解决哪些问题？

三求一，即已知三角形的两边和它们的夹角，可求另一边；已知三角形的三条边，求角。

弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

：请同学们用余弦定理解决本节课开始时的问题。（请一位同学将他的解题过程写在黑板上）

：由余弦定理，得

＝AB 2 ＋AC 2-2AB.ACcosA 1.952＋1.402-2×1.95×1.40cos66°20′

3.571 BC≈1.89(m)：顶杆 BC约长1.89m。

：大家回想一想，三角形中有六个元素，三条边及三个角，知道其中任意三个元素，是否能求出另外的三个元素？

能，已知的三个元素中，至少要有一个边。

：解三角形时，何时用正弦定理？何时用余弦定理？

知三角形的两边与一边的对角或两角与一角的对边，解三角形时，利用正弦定理；已知三角形的两边和它们的夹角或三条边，解角形时，利用余弦定理。

固练习：课本第 131页练习1⑵、2⑵、3⑵、4⑵、教学反思

课中，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实，为今后的定理教学”提供了一些有用的借鉴。

设数学情境是“情境.问题.反思.应用”教学的基础环节，教师必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素行综合考虑，对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情境。

应用需要出发，创设认知冲突型数学情境，是创设情境的常用方法之一。“余弦定理”具有广泛的应用价值，故本课中从应用需出发创设了教学中所使用的数学情境。该情境源于教材第五章 5.10解三角形应用举例的例1。实践说明，这种将教材中的例题、题作为素材改造加工成情境，是创设情境的一条有效途径。只要教师能对教材进行深入、细致、全面的研究，便不难发现教材中不少可用的素材。

情境.问题.反思.应用”教学模式主张以问题为“红线”组织教学活动，以学生作为提出问题的主体，如何引导学生提出问题是学成败的关键，教学实验表明，学生能否提出数学问题，不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因素的影响，还受其所的环境、教师对提问的态度等外在因素的制约。因此，教师不仅要注重创设适宜的数学情境（不仅具有丰富的内涵，而且还具有问题”的诱导性、启发性和探索性），而且要真正转变对学生提问的态度，提高引导水平，一方面要鼓励学生大胆地提出问题，一方面要妥善处理学生提出的问题。关注学生学习的结果，更关注学生学习的过程；关注学生数学学习的水平，更关注学生在数活动中所表现出来的情感与态度；关注是否给学生创设了一种情境，使学生亲身经历了数学活动过程．把“质疑提问”，培养学

案例 零点定理的教学设计 篇4

教案设计

八年级(上)5.2《勾股定理》

（2）探究：

你能用下面的图验证勾股定理吗？试一试。

学生经过讨论给出证明。

教师给予充分的肯定，并补充

【百度文库】美国总统的一种证明方法：

延伸阅读

【百度文库】勾股定理的十六种证明方法：

（三）勾股定理的应用：

1、例题学习：如图5—2，从电线杆OA的顶端A点，扯

一根钢丝绳固定在地面上的B点，这根钢

丝绳的长度是多少？

学生练习，写出过程。

2、趣题欣赏：明朝程大位的著作《算法統宗》裏有一道“蕩秋千”的趣題，是用詩歌的形式的：

平地秋千未起，踏板一尺離地；

送行二步與人齊，五尺人高曾記。

仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉；

案例 零点定理的教学设计 篇5

本节内容有函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理.函数零点是研究当函数的值为零时，相应的自变量的取值，反映在函数图象上，也就是函数图象与轴的交点横坐标.由于函数的值为零亦即，其本身已是方程的形式，因而函数的零点必然与方程有着不可分割的联系，事实上，若方程有解，则函数存在零点，且方程的根就是相应函数的零点，也是函数图象与轴的交点横坐标.顺理成章的，方程的求解问题，可以转化为求函数零点的问题.这是函数与方程关系认识的第一步.零点存在性定理，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件.如果函数在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且满足f(a)f(b)0，则函数在区间(a,b)内至少有一个零点，但零点的个数，需结合函数的单调性等性质进行判断.定理的逆命题不成立.方程的根与函数零点的研究方法，符合从特殊到一般的认识规律，从特殊的、具体的二次函数入手，建立二次函数的零点与相应二次方程的联系，然后将其推广到一般的、抽象的函数与相应方程的情形;零点存在性的研究，也同样采用了类似的方法，同时还使用了数形结合思想及转化与化归思想.方程的根与函数零点的关系研究，不仅为用二分法求方程的近似解的学习做好准备，而且揭示了方程与函数之间的本质联系，这种联系正是中学数学重要思想方法函数与方程思想的理论基础.可见，函数零点概念在中学数学中具有核心地位.本节的教学重点是，方程的根与函数零点的关系、函数零点存在性定理.二.目标和目标解析

通过本课教学，要求学生：理解并掌握方程的根与相应函数零点的关系，在此基础上，学会将求方程的根的问题转化为求相应函数零点的问题;理解零点存在性定理，并能初步确定具体函数存在零点的区间.1.能够结合具体方程(如二次方程)，说明方程的根、相应函数图象与轴的交点横坐标以及相应函数零点的关系;

2.正确理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用;知道定理只是函数存在零点的一个充分条件;了解函数零点只能不止一个;

3.能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数;

4.能顺利将一个方程求解问题转化为一个函数零点问题，写出与方程对应的函数;并会判断存在零点的区间(可使用计算器).三.教学问题诊断分析

学生已有的认知基础是，初中学习过二次函数图象和二次方程，并且解过当函数值为0时，求相应自变量的值的问题，初步认识到二次方程与二次函数的联系，对二次函数图象与轴是否相交，也有一些直观的认识与体会.在高中阶段，已经学习了函数概念与性质，掌握了部分基本初等函数的图象与性质.教学的重点是方程的根与函数零点的关系及零点存在性定理的深入理解与应用.以二次方程及相应的二次函数为例，引入函数零点的概念，说明方程的根与函数零点的关系，学生并不会觉得困难.学生学习的难点是准确理解零点存在性定理，并针对具体函数(或方程)，能求出存在零点(或根)的区间.教学过程中，通过引导学生通过探究，发现方程的根与函数零点的关系;而零点存在性定理的教学，则应引导学生观察函数图象与轴的交点的情况，来研究函数零点的情况，通过研究：①函数图象不连续;②;③，函数在区间上不单调;④，函数在区间上单调，等各种情况，加深学生对零点存在性定理的理解.四.教学支持条件分析

本节教学目标的实现，需要借助计算机或者计算器，一方面是绘制函数图象，通过观察图象加深方程的根、函数零点以及同时函数图象与轴的交点的关系;另一方面，判断零点所在区间过程中，一些函数值的计算也必须借助计算机或计算器.五.教学过程设计

1.方程的根与相应函数图象的关系

复习总结一元二次方程与相应函数与轴的交点及其坐标的关系：

一元二次方程根的个数

图象与轴交点个数

图象与轴交点坐标

意图：回顾二次函数图象与轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备.问题

一、上述结论对其他函数成立吗?为什么?

在《几何画板》下展示如下函数的图象：、、、、，比较函数图象与轴的交点和相应方程的根的关系。

函数的图象与轴交点，即当，该方程有几个根，的图象与轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标.意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数。

2.函数零点概念

对于函数，把使的实数叫做函数的零点.说明：函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值.3.方程的根与函数零点的关系

方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，从而有些方程问题可以转化为函数问题来求解，同样，函数问题有时也可转化为方程问题.这正是函数与方程思想的基础.4.零点存在性定理 问题

二、观察图象(气温变化图)片段，根据该图象片段，将其补充成完整函数图象，并问：是否有某时刻的温度为0℃?为什么?(假设气温是连续变化的)

意图：通过类比得出零点存在性定理.给出零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点.即存在，使得，这个c也就是方程的根.问题

三、不是连续函数结论还成立吗?请举例说明。

在《几何画板》下结合函数的图象说明。

问题

四、若，函数在区间在上一定没有零点吗?

问题

五、若，函数在区间在上只有一个零点吗?可能有几个?

问题

六、时，增加什么条件可确定函数在区间在上只有一个零点?

在《几何画板》下结合函数的图象说明问题四、五、六。

意图：通过四个问题使学生准确理解零点存在性定理.5.例题：求函数的零点的个数.问题

七、能否确定一个区间，使函数在该区间内有零点.问题

八、该函数有几个零点?为什么?

意图：通过例题分析，学会用零点存在性定理确定零点存在区间，并且结合函数性质，判断零点个数的方法.六.目标检测设计

1.已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表，则函数在哪几个区间内有零点?为什么?

x

2 3 4 6 10

f(x)20-5.5-2 6

2.函数在区间[-5，6]上是否存在零点?若存在，有几个?

3.利用函数图象判断下列方程有几个根

(1)

(2)

4.指出下列函数零点所在的大致区间

(1)

(2)

最后，师生共同小结(略)

案例 零点定理的教学设计 篇6

在全国高等学校教学研究中心组织的“科学思维、科学方法在高校数学课程教学创新中的应用与实践”活动的背景下, 内蒙古科技大学投百万巨资启动了一项具有应用型大学特色的理科教学基地建设工程, 高等数学作为大学数学基础课程的重要课程之一当然在建设之列.在建设过程中发现, 数学证明的教学内容、体系与方法的改革不仅是争议最多而且也是难度最大的问题之一.

从培养创新人才的目标看, 在数学证明教学过程中既要给出命题的真假依据, 又要启发学生更深刻地理解命题, 还要导致发现.这就需要突破传统教学中对数学证明的观念, 创造数学证明教学的高附加值, 即文化价值和思维价值.因此, 证明教学的目标是训练和培养学生的逻辑和非逻辑的思维能力.为了实现这一目标, 在科学思维、科学方法的精神指导下, 在已有的教学成果基础上, 对微分中值定理一元与多元情形进行一体化的教学设计, 探究一种以教学过程和内容建设为核心的教学模式.

二、Rolle分项

(1) 在有界闭区域D上连续;

则在D内至少有一点ξ, 使得gradf (ξ) =0.

只需简单地把定理中的函数拆分为两个函数的差, 即F (x) =f (x) -g (x) , 就得到下面的推论:

(1) 在有界闭区域D上连续;

推论1的几何意义是:两片连续光滑的曲面, 只要能够上下平移使其边界重合, 那么在D内至少存在一点使两片曲面上对应的点处有平行的切平面.

(2) 在线段]x1, x2[内具有连续偏导数;

(3) f (x1) =f (x2) ,

则在]x1, x2[内至少有一点ξ, 使得gradf (ξ) T[x2-x1]=0.

同理可由推论1得到:

(2) 在线段]x1, x2[内具有连续偏导数;

则在]x1, x2[内至少有一点ξ, 使得

三、方案设计

根据推论3, 可进行如下教学设计.

1.启发学生发现Lagrange中值定理

在推论3中, 取g (x) =cTx+d, 则结论变为在]x1, x2[内至少有一点ξ, 使得

2.启发学生发现Cauchy中值定理

由推论3知, 在]x1, x2[内至少有一点ξ, 使得

四、结语

上述教学模式的创新点是把微分中值定理一元与多元情形进行一体化的教学设计.期望效果是:不仅使学生对微分中值定理的学科结构和本质属性有更深刻的理解, 而且能够提高学习效率、扩展学生视野、拓宽应用领域[5].进行这样的尝试, 确实有其教育价值和现实意义.

摘要：数学证明教学的内容、体系与方法对培养创新人才具有重要作用.在科学思维、科学方法的指导下, 按照培养创新人才的目标要求, 在已有的教学成果基础上, 对微分中值定理一元与多元情形进行一体化的教学设计, 探究一种以教学过程和内容建设为核心的教育教学新模式.

关键词：教学模式,数学证明,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理

参考文献

[1]王申怀.数学证明的教育价值[J].课程·教材·教法, 2000 (5) :24-26.

[2]熊惠民, 虞莉娟.从数学证明的二重性看其教育价值[J].数学教育学报, 2007, 16 (1) :17-20.

[3]同济大学数学系.高等数学 (第六版) 上册[M].北京:高等教育出版社, 2007:128-133.

[4][苏]卡尔塔谢夫, 罗吉斯特维斯基.数学分析[M].曹之江, 倪星堂, 译.呼和浩特:内蒙古大学出版社, 1991:123-123.

方程的根与函数的零点教学反思 篇7

方程的根与函数的零点教学反思

通过本节课的教学实践，我感觉学生对方程和函数之间的关系有了进一步的理解，通过对具体函数与方程之间关系的分析到对一般函数和方程之间关系的分析，使学生真正理解了方程的根、函数的图像与轴交点的横坐标和函数的零点是一个值在不同环境下的不同称呼，更使学生能够利用不同的方法判断函数的零点。通过生活实例让学生自主探究出函数零点存在的判定条件，突破本节课的难点，并能利用存在定理判断函数在区间是否有零点及零售的个数，体现出数学与生活的紧密联系，是自然的。这样基本达到本节课的教学目标，学生在自己思考或讨论或探究问题的过程中基本能得到正确的结果，对问题的解决能力有所提高。

存在的问题是，本节课因为教学容量过大，时间过紧，结束部分处理的比较仓促；在学生探究讨论部分，教师干预过多，留给学生思考的空间及时间稍显不足；在板书环节由于对黑板的不适应导致板书不够美观，感到很遗憾。