分类讨论的思考

分类讨论的思考（共12篇）

分类讨论的思考 篇1

1 概述

分类讨论就是当问题所给的对象不能进行统一研究时, 需要根据问题的条件和结论所涉及到的概念、定理、公式、性质以及运算的需要, 图形的位置等进行科学合理的分类, 然后对每一类分别研究, 得出每一类的结论, 最后结合各类的结果, 得到整个问题的解答。由此可见, 分类讨论思想本质上是一种“逻辑划分思想”, 即把所要研究的数学对象划分成若干不同的情形, 然后再分类进行研究和求解的一种数学思想。同时它也是一种重要的化难为易, 化繁为简的解题策略和方法, 体现了先“化整为零”, 进而“各个击破”, 然后“积零为整”的思想。所以有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性, 能训练人思维的条理性和概括性, 在高考试题中占有重要的位置, 也是近几年来高考重点考查的热点问题之一在复习备考中要注重理解和掌握分类的原则, 方法, 技巧, 简化讨论的策略。

1.1 引起分类讨论的主要原因

由数学概念而引起的分类讨论:如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角、定比分点公式、两条异面直线所成的角等。

由数学运算要求而引起的分类讨论:如除法运算中除数不为零, 偶次方根为非负数, 对数运算中真数与底数的要求, 指数运算中底数的要求, 不等式中两边同乘以一个正数、负数, 三角函数的定义域, 异面直线上两点间的距离公式等;由函数的性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论;由图形的不确定性而引起的分类讨论;由参数的变化而引起的分类讨论:如某些含有参数的问题, 由于参数的取值不同会导致所得的结果不同, 或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等;其他根据实际问题具体分析而引起的分类讨论。

1.2 解分类讨论问题的方法步骤

明确分类讨论的对象, 确定对象的全体;确定分类标准, 正确进行合理的分类 (分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级) ;逐类进行讨论:即对各类问题详细讨论, 逐步解决;归纳小结, 总结出结论。

1.3 分类原则

施行分类的集合的全域必须是确定的;每一次分类的标准必须是统一的;分类必须是完整的, 不出现遗漏;各子集域必须是互斥的, 不出现重复;如需多项分类, 必须逐级进行, 不得越级。

1.4 分类讨论的类型

问题中含有需讨论的变量或参数时, 要进行分类讨论;问题中的条件是分类给出的, 要进行分类讨论;解题过程不能统一叙述的, 必须进行分类讨论;有关几何问题中, 几何元素的形状、位置的变化, 需要分类讨论。

1.5 简化分类讨论的策略

正难则反;独立参数;变更主元;数形结合等。

2 分类讨论类型的分述

2.1 对变量或参数的分类讨论

题设中含有变量或参数, 这些变量或参数取不同值会导致不同解法或结果

【例1】已知椭圆C的中心为直角坐标系x Oy的原点, 焦点在s轴上, 它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.

(Ⅰ) 求椭圆C的方程;

(Ⅱ) 若P为椭圆C上的动点, M为过P且垂直于x轴的直线上的点, 求点M的轨迹方程, 并说明轨迹是什么曲线。

所以点M的轨迹方程为轨迹是两条平行于x轴的线段。

当时, 点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足的部分。

当时, 点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足的部分;

当时, 点M的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆;

点评:对分类复杂的参数讨论题, 必须科学的选定分类标准, 使分类有条不紊, 解答自然流畅.本题在求出轨迹方程之后, 在判定为何曲线时, 因参数引起了分类讨论:一些问题中的数学表达式中因含有会导致不同结论的参数, 从而需对参数分情况讨论, 求得问题的结果。关于圆锥曲线各种形状的讨论题, 主要抓住方程的特征进行分类。

2.2 对题设给出的条件的分类讨论

题设中所给出的条件或者运用的定理性质、公式等, 若是分类给出的则要对问题进行分类讨论

【例2】已知a>0, 且a≠1函数f (x) =loga (1-ax) 。

(I) 求函数f (x) 的定义域, 并判断f (x) 的单调性;

(III) a=e (e为自然对数的底) 时, 设h (x) = (1-ef (x) ) (x2-m+1) , 若函数h (x) 的极值存在, 求实数m的取值范围以及函数h (x) 的极值。

解: (Ⅰ) 由题意知1-ax>0

当0<a<1时, x∈ (0, +∞) 因为ax-1<0, ax>0, 故f' (x) <0, 所以 (fx) 是减函数

当a>1时, x∈ (0, +∞) 因为ax-1<0, ax>0, 故f' (x) >0, 所以 (fx) 是增函数。

(Ⅱ) 因为f (n) =loga (1-an) 所以af (n) =1-an

由函数定义域知1-an>0, 因为n是正整数, 故0<a<1。

令h' (x) =0, 即x2-m+1=0, 由题意应有△叟0, m叟0当m=0时h' (x) =0有实根x=-1, 在x=-1点左右两侧均有h' (x) >0故无极值

当x变化时, h' (x) 、h (x) 的变化情况如下表所示:

综上所述, m∈ (0, +∞) 时, 函数h (x) 有极值;

点评:需0<a<1对1<a及变量参数取不同值分类讨论求解;

2.3 解题过程中的分类讨论

解题过程发生分支或无法统一运算时, 需对解题过程进行分类讨论

【例3】设等比数列{an}的公比为q, 前n项和Sn>0 (n=1, 2, …) .

(1) 求q的取值范围;

(2) 设记{bn}的前n项和为Tn, 试比较Sn与Tn的大小。

【解析】 (1) 因为{an}是等比数列, Sn>0, 可得a1=S1>0, q≠0,

当q=1时, Sn=na1>0;

解 (1) 式得q>1;解 (2) 式, 由于n可为奇数、可为偶数;故-1<q<1.

综上, q的取值范围是 (-1, 0) ∪ (0, +∞) .

又因为Sn>0, 且-1<q<0或q>0, 所以

点评:本题的两问都需要进行分类讨论求解, 其分类的对象主要是等比数列的公比.数列是高考必考内容之一, 数列中有两种分类讨论问题是常见的, 但又很容易被学生忽视而做错。 (1) 对公比q的分类讨论:等比数列前几项和公式是分类给出的, 所以在解这类问题时, 如果q是可以变化的量, 就要以q为标准进行分类讨论。 (2) 对项数n的分类讨论:已知数列的前n项和求数列的通项时, 对n=1与n≥2要分别予以研究;

点评:在几何中同样一个题设条件下, 研究对象可能会有多种不同的位置关系, 如四面体ABCD中, AB=CD=2与CD所成的角为60°, E, F分别AB, CD是中点, 则EF的长度为2姨3或1, 需分两种情况;特别是多元素位置研究时应从最基本位置研究起, 进行分类讨论, 若涉及多点与多面位置关系时, 常以同侧, 异侧来分类, 而涉及多条直线时常以共面, 异面来分类.在备考过程中, 要认真分析研究几何元素的各种位置关系, 形成自己的思维模式。

3 小结

分类讨论是每年高考必考的内容, 其求解的思路直接依赖于分类讨论思想, 无论是理解数学概念, 学习数学公式、定理.还是利用数学方法解数学题, 都必须掌握好分类讨论的思想方法, 同时要有优化分类讨论的意识, 可通过正难则、反等价转化、独立参数、变更主元、合理运算、数形结合等途径来简化讨论, 复习备考中针对分类讨论数学思想让考生做有意的训练, 提高其思维的条理性和概括性, 提高分析问题和解决问题的能力

摘要：根据条件和结论进行科学合理的分类, 复习备考中针对此数学思想根据不同类型注意理解和掌握。

关键词：分类讨论,数学思想,高考,变量或参数

参考文献

[1]《三维设计·高考总复习》光明日报出版社

[2]《新高考5年真题汇编 (理科数学) 》新疆青少年出版社

[3]《步步高·专题复习》延边人民出版社

分类讨论的思考 篇2

摘 要：在中学数学教学中，分类讨论的重要性十分突出。要提高学生对分类讨论的重视，弄清楚引起分类的原因、明确分类讨论的标准、遵循分类讨论的步骤、掌握分类讨论的方法。分类讨论是解决数学问题的一种策略，也是训练学生思维方法、培养思维能力的重要手段。

关键词：分类讨论；重合面积；例题

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2017）29-0041-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.29.022

数学学科十分重视不同解题思路和方法的探究和运用，根据不同题目的类型，采取最为合适的解题方法，同时探究其他解题思路，这有助于学生发散性思维的培养。分类讨论思想在初中数学教学中的应用就验证了这一种教学思路的渗透。

翻阅苏州各市区近几年一模卷和苏州市中考卷，发现那些开放性、探索性较强的试题往往会作为压轴题，而学生往往失分严重，究其原因，是由于考生逻辑推理能力不强，分类讨论思想缺失，或者解题不严密所致，因此训练这方面能力是非常必要的。

一、确立分?讨论思想的重要性

分类讨论是指在解决数学问题的过程中，根据问题中所出现的多种情况和可能性，分别进行研究的一种常用的数学思想方法。

分类讨论思想一旦以压轴题的形式出现，就会让学生无从入手。因此中考复习要到位，分类讨论这方面问题，必须在平时课上就加以铺垫，化整为零，让学生经常可以感受到分类思想，不要到临考前才临阵磨枪。

二、如何进行分类讨论的教学

分类情况可分为：数学概念的内涵需要分类讨论；问题中的条件需要分类讨论； 问题中的变量需要分类讨论；形状、位置的变化需要分类讨论。

教师必须能全面、熟练地掌握初中数学教材中的所有概念、性质、定理。只有这样，在教学的过程中教师才能更好地运用自己所掌握的东西，使学生对分类讨论思想有系统、全面的理解，让学生能掌握直至熟练运用分类讨论思想。

代数型分类讨论，如绝对值化简，方程根的个数，函数图像性质，二次函数最值等；几何型分类讨论，如求等腰三角形第三边，直角三角形的第三边，相似三角形的分类讨论等；以上问题通过例题、课后作业，可以有效解决，让学生轻松上手。但是综合起来以后，学生有时就很难理解，下面具体来谈一下，如何有效地让学生学会计算“几何重合面积”的方法。

对于几何类型的分类讨论，在课堂教学中，要训练学生，让他们画出几何图形，特别是训练读题画图，在做作业乃至考试的时候，涉及几何的题目，如果原题没有配图，一定要培养他们画图的习惯，对图形有很好的感觉，会对分类讨论有着最直接的帮助。课堂上，教师也应该经常在学生面前画图，并介绍如何利用直尺、圆规等工具，把几何图形画得尽量准确，不要为了省事，总放些课件，把很好的训练机会白白浪费掉。训练寻找题中的特殊角度、坐标、特殊的边的比值等。有时解题的关键就是这些容易疏忽的条件。运动的图形，必须从起点开始画，要学会画出分类情况的临界状况，这是求自变量取值范围的关键，这种过度图形都是很特殊的位置，对于计算是很有帮助的。

例1：已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，-12）两点，且对称轴为直线x=4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B.（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；

（2）如图1，在直线y=-2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；

（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N.将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN.在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒.问S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由。

分析：

（1）利用对称轴，可求出B坐标，用A、B、C坐标求抛物线解析式。

（2）关键要判断一组平行的对边是什么，因此先求出直线PB的解析式，可知与直线y=-2x的k相等，所以直线PB//OD，所以只需OP=BD，用勾股定理列出OP和BD，解方程，最后检验是不是只有一组对边平行，当x=2时，OD=PB，此时四边形OPBD为平行四边形，舍去。

（3）做这小题时，有一条运动的直线，经过自己动手探索，发现△PMN翻折后，有两种情况，如图3、4，即重合部分是三角形或者是四边形。

有的学生画不出图，寸步难行，有的学生只会画出图，至于如何计算，无从下手。教师要先鼓励学生根据原图画出翻折图像，这样的全等图形，相信只要去尝试，可以临摹出一模一样的翻折图形，如果成功的话，接着可以让全班同学一起参与画出不一样的图像，并且一起分析这些“不同的图像”的相同之处，从运动的起点到终点，整个运动过程可总结出有两种重合部分的图像。下面要讨论出这两种情况的分界点，也就是重合部分是三角形的最后时刻，通过刚才画图的过程，可知点P翻折后正好落在x轴上。

分析完后，进入计算阶段，这条运动的直线，是以M为主体，画出的与x轴平行的直线，由速度可得PM=t，下面又是学生碰到的难题，其实，题中包含着很多的特殊三角形（特殊三角形包括等腰直角三角形、含30°的直角三角形，或者边的比值是定值的也算是特殊三角形），这是要告诫学生，必须根据条件，去探索题中是否有特殊三角形，经过（1）（2）题的计算，图3、4中可以得出△POD，△POG是等腰直角三角形，△PDB中BD：PD=1：2的直角三角形。因为相似，可知△PMH是等腰直角三角形，△PHN的直角边也是1：2，用t可以表示MN、PH，面积也就迎刃而解了。

这道题的分类思想根据画图得出，因此，让学生从图像变化的起点出发，寻找临界状态，进而画出动起来后的不同形式，再经过分析完善分类，最后进行计算。计算过程一定要利用已知条件，寻找特殊图像。几乎所有类似的题目，都有可以利用的图形。

三、学生如何掌握分类讨论的思想

正确的分类必须是周全的，既不重复，也不遗漏。分类讨论的原则：分类中的每一部分是相互独立的；一次分类按一个分类标准；分类讨论应该逐级进行。

分类的基本步骤为：明确分类主体；按条件合理展开分类；根据类型逐项进行讨论；归纳分类结果得出答案。通过平时课内和课后对画图的训练、压轴题中给出的点坐标、特殊三角形的寻找，通过从动点起止状态的分析的训练，学生可以逐渐掌握几何重合面积的解决方法。

四、教师要把主动权还给学生

学生之所以对分类讨论问题惧怕，无非是因为不知道什么题目要进行分类讨论，或分类不完全、漏解，只要突破这两个难点，学生以后碰到此类问题，就会迎刃而解了。在课堂教学中，教师要把主动权还给学生，要产生真切的师生互动，使讨论具有实效。这样，在课堂上学生始终处于不断发现问题、解决问题的过程中。学生一旦尝到努力探索的成就感，久而久之，就会更加喜欢学习，愿意学习。

参考文献：

分类讨论的时机与场合 篇3

例1 函数y=elnx-x-1的图象大致是

解析： y=elnx-x-1=x-x+1，x≥1；-1+x，02-1=1，所以y>1在x∈（0，1）上恒成立.综上可知选D.

例1是高考常见的绝对值复合函数问题，我们要对自变量进行分类讨论，去掉绝对值号才能进行求解.

从例1可以看出，解题中如果碰到不确定因素的困扰而做不下去了，往往就是要分类讨论的时候了.

分类讨论的常见场合

（1） 概念、公式和定理本身就包含分类情形的场合

同绝对值一样，有些数学概念、公式和定理本身就包含了分类的情形，比如：等比数列的前n项和公式要按q=1与q≠1分类；函数单调性的定义是按函数值变化与自变量变化是否一致分类；指数函数、对数函数的定义和性质按底数进行分类；直线的点斜式方程按斜率存在不存在分类；圆锥曲线方程按焦点所在位置分类，等等.

遇到概念、公式和定理是分类定义的场合，一定要注意明确条件，合理进行分类讨论.

（2） 字母参数不确定的场合

以字母或参数为载体，使数学问题模糊化，是高考中考查分类讨论数学思想最常见的命题方式.

例2 [2013年高考数学浙江卷（文科）第21题] 已知a∈R，函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax，若a>1，求f（x）在闭区间[0，2a]上的最小值.

解析： f′（x）=6x2-6（a+1）x+6a=6[x2-（a+1）x+a]=6（x-1）（x-a）.

①当a>1时，2a=2a>2，所以当x∈（0，1）∪（a，2a）时， f′（x）=6（x-1）（x-a）>0，函数 f（x）递增；当x∈（1，a）时，f′（x）<0，函数f（x）递减.所以f（x）min=min{f（a），f（0）}.

因为f（a）-f（0）=3a2-a3=a2（3-a），所以当13时，f（a）

②当a<-1时，2a=-2a>2，所以当x∈（0，1）时， f′（x）<0，函数 f（x）递减；当x∈（1，-2a）时， f′（x）>0，函数 f（x）递增.所以f（x）min=f（1）=3a-1.

综上所述：当a<-1时，f（x）min=3a-1；当13时，f（x）min=a2（3-a）.

点评： 首先，例2中的字母变量a影响了函数f（x）的单调性；其次，当a>1时，a又影响了f（a）与f（0）的大小比较，因而需要进行两次分类讨论.

（3） 图形位置变化的场合

在几何问题中，有些图形的位置是变化的、不确定的，如果不作全面考虑分类讨论，往往会遗漏致错.

例3 点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆O的距离与到定点A的距离相等的点P的轨迹不可能是

（A） 圆 （B） 椭圆

（C） 双曲线的一支 （D） 直线

解析： 定点A与圆O的位置关系不确定，所以需进行分类讨论.

如图1所示，当点A在圆外时，联结圆心O与点P，线段OP交圆O于点M，由题意可知PA=PM，PO-PA=PO-PM=r （r为圆O的半径）且r

如图2所示，当点A在圆周上时，点P的轨迹只能为射线OA.

如图3所示，当点A在圆内且不为圆心时，联结圆心O与点P，延长线段OP交圆O于点M，由题意可知 PA=PM，PO+PA=PO+PM=r且r>OA，由定义可知点P的轨迹是以O，A为焦点的椭圆.

如图4所示，当点A为圆心时，点P的轨迹显然是以O为圆心、半径为的圆.故选D.

点评： 以上分类是由点A和圆O的位置关系不确定引起的.诸如这样由图形的位置或形状变化导致的分类讨论还有：二次函数对称轴位置引发的关于最值的讨论；角的终边位置引起的三角函数值的讨论；立体几何图形中点或线与面的位置关系（如位于面的同侧或异侧）引发的讨论，等等.

（4） 问题情景描述模糊的场合

例4 [2013年高考数学辽宁卷（理科）第9题] 已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3）.若△ABO为直角三角形，则必有

（A） b=a3 （B） b=a3+

（C） （b-a3）b-a3-=0 （D） b-a3+b-a3-=0

解析： 要想获得a，b之间的数量关系，就要从△ABO为直角三角形着手，利用直角三角形三边关系求解.因为题中并未说明△ABO三个角中哪一个是直角，所以需进行分类讨论.

若角O为直角，因为点A的坐标为（0，b），所以点B必在x轴上，a3=0，得a=0，此时A，B，O三点不能构成三角形；

若角A为直角，则b=a3；

若角B为直角，则KOB·KAB=·=-1，化简得b-a3-=0.综上可知选C.

点评：有些高考题对题目条件作了模糊处理，如题目中提及等腰三角形，但没有明确哪个是底哪个是腰，这时就要在三角形三边关系的前提下分类讨论.在例4中，只有注意到题目直角的不确定性，并对其进行分类讨论，才能正确解答问题.

（5） 排列组合问题条件复杂的场合

例5 [2013年高考数学浙江卷（理科）第14题] 将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有 种（用数字作答）.

解析： 按字母C的具体位置分类求解：

第一类，字母C在左边第一个位置，有种排法；

第二类，字母C在左边第二个位置，有种排法；

第三类，字母C在左边第三个位置，有+种排法；

由对称性可知共有2×（+++）=480种排法.

点评： 排列组合问题中经常包含多个限制条件，很难直接解答.而利用分类讨论思想，将其转化为一个个小问题，使排列组合情况具体化清晰化，问题就变得容易解决.

【练一练】

设a≤2，求y=（x-2）x在[a，2]上的最大值和最小值.

【参考答案】

解： 如图5所示，当x≤0时，y=-x2+2x；当0

当y=-1时，x=1或x=1-.由图5可得，当a≤1-或1≤a<2时，ymin=（a-2）a；当1-

分类讨论的时机

例1 函数y=elnx-x-1的图象大致是

解析： y=elnx-x-1=x-x+1，x≥1；-1+x，02-1=1，所以y>1在x∈（0，1）上恒成立.综上可知选D.

例1是高考常见的绝对值复合函数问题，我们要对自变量进行分类讨论，去掉绝对值号才能进行求解.

从例1可以看出，解题中如果碰到不确定因素的困扰而做不下去了，往往就是要分类讨论的时候了.

分类讨论的常见场合

（1） 概念、公式和定理本身就包含分类情形的场合

同绝对值一样，有些数学概念、公式和定理本身就包含了分类的情形，比如：等比数列的前n项和公式要按q=1与q≠1分类；函数单调性的定义是按函数值变化与自变量变化是否一致分类；指数函数、对数函数的定义和性质按底数进行分类；直线的点斜式方程按斜率存在不存在分类；圆锥曲线方程按焦点所在位置分类，等等.

遇到概念、公式和定理是分类定义的场合，一定要注意明确条件，合理进行分类讨论.

（2） 字母参数不确定的场合

以字母或参数为载体，使数学问题模糊化，是高考中考查分类讨论数学思想最常见的命题方式.

例2 [2013年高考数学浙江卷（文科）第21题] 已知a∈R，函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax，若a>1，求f（x）在闭区间[0，2a]上的最小值.

解析： f′（x）=6x2-6（a+1）x+6a=6[x2-（a+1）x+a]=6（x-1）（x-a）.

①当a>1时，2a=2a>2，所以当x∈（0，1）∪（a，2a）时， f′（x）=6（x-1）（x-a）>0，函数 f（x）递增；当x∈（1，a）时，f′（x）<0，函数f（x）递减.所以f（x）min=min{f（a），f（0）}.

因为f（a）-f（0）=3a2-a3=a2（3-a），所以当13时，f（a）

②当a<-1时，2a=-2a>2，所以当x∈（0，1）时， f′（x）<0，函数 f（x）递减；当x∈（1，-2a）时， f′（x）>0，函数 f（x）递增.所以f（x）min=f（1）=3a-1.

综上所述：当a<-1时，f（x）min=3a-1；当13时，f（x）min=a2（3-a）.

点评： 首先，例2中的字母变量a影响了函数f（x）的单调性；其次，当a>1时，a又影响了f（a）与f（0）的大小比较，因而需要进行两次分类讨论.

（3） 图形位置变化的场合

在几何问题中，有些图形的位置是变化的、不确定的，如果不作全面考虑分类讨论，往往会遗漏致错.

例3 点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆O的距离与到定点A的距离相等的点P的轨迹不可能是

（A） 圆 （B） 椭圆

（C） 双曲线的一支 （D） 直线

解析： 定点A与圆O的位置关系不确定，所以需进行分类讨论.

如图1所示，当点A在圆外时，联结圆心O与点P，线段OP交圆O于点M，由题意可知PA=PM，PO-PA=PO-PM=r （r为圆O的半径）且r

如图2所示，当点A在圆周上时，点P的轨迹只能为射线OA.

如图3所示，当点A在圆内且不为圆心时，联结圆心O与点P，延长线段OP交圆O于点M，由题意可知 PA=PM，PO+PA=PO+PM=r且r>OA，由定义可知点P的轨迹是以O，A为焦点的椭圆.

如图4所示，当点A为圆心时，点P的轨迹显然是以O为圆心、半径为的圆.故选D.

点评： 以上分类是由点A和圆O的位置关系不确定引起的.诸如这样由图形的位置或形状变化导致的分类讨论还有：二次函数对称轴位置引发的关于最值的讨论；角的终边位置引起的三角函数值的讨论；立体几何图形中点或线与面的位置关系（如位于面的同侧或异侧）引发的讨论，等等.

（4） 问题情景描述模糊的场合

例4 [2013年高考数学辽宁卷（理科）第9题] 已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3）.若△ABO为直角三角形，则必有

（A） b=a3 （B） b=a3+

（C） （b-a3）b-a3-=0 （D） b-a3+b-a3-=0

解析： 要想获得a，b之间的数量关系，就要从△ABO为直角三角形着手，利用直角三角形三边关系求解.因为题中并未说明△ABO三个角中哪一个是直角，所以需进行分类讨论.

若角O为直角，因为点A的坐标为（0，b），所以点B必在x轴上，a3=0，得a=0，此时A，B，O三点不能构成三角形；

若角A为直角，则b=a3；

若角B为直角，则KOB·KAB=·=-1，化简得b-a3-=0.综上可知选C.

点评：有些高考题对题目条件作了模糊处理，如题目中提及等腰三角形，但没有明确哪个是底哪个是腰，这时就要在三角形三边关系的前提下分类讨论.在例4中，只有注意到题目直角的不确定性，并对其进行分类讨论，才能正确解答问题.

（5） 排列组合问题条件复杂的场合

例5 [2013年高考数学浙江卷（理科）第14题] 将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有 种（用数字作答）.

解析： 按字母C的具体位置分类求解：

第一类，字母C在左边第一个位置，有种排法；

第二类，字母C在左边第二个位置，有种排法；

第三类，字母C在左边第三个位置，有+种排法；

由对称性可知共有2×（+++）=480种排法.

点评： 排列组合问题中经常包含多个限制条件，很难直接解答.而利用分类讨论思想，将其转化为一个个小问题，使排列组合情况具体化清晰化，问题就变得容易解决.

【练一练】

设a≤2，求y=（x-2）x在[a，2]上的最大值和最小值.

【参考答案】

解： 如图5所示，当x≤0时，y=-x2+2x；当0

当y=-1时，x=1或x=1-.由图5可得，当a≤1-或1≤a<2时，ymin=（a-2）a；当1-

分类讨论的时机

例1 函数y=elnx-x-1的图象大致是

解析： y=elnx-x-1=x-x+1，x≥1；-1+x，02-1=1，所以y>1在x∈（0，1）上恒成立.综上可知选D.

例1是高考常见的绝对值复合函数问题，我们要对自变量进行分类讨论，去掉绝对值号才能进行求解.

从例1可以看出，解题中如果碰到不确定因素的困扰而做不下去了，往往就是要分类讨论的时候了.

分类讨论的常见场合

（1） 概念、公式和定理本身就包含分类情形的场合

同绝对值一样，有些数学概念、公式和定理本身就包含了分类的情形，比如：等比数列的前n项和公式要按q=1与q≠1分类；函数单调性的定义是按函数值变化与自变量变化是否一致分类；指数函数、对数函数的定义和性质按底数进行分类；直线的点斜式方程按斜率存在不存在分类；圆锥曲线方程按焦点所在位置分类，等等.

遇到概念、公式和定理是分类定义的场合，一定要注意明确条件，合理进行分类讨论.

（2） 字母参数不确定的场合

以字母或参数为载体，使数学问题模糊化，是高考中考查分类讨论数学思想最常见的命题方式.

例2 [2013年高考数学浙江卷（文科）第21题] 已知a∈R，函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax，若a>1，求f（x）在闭区间[0，2a]上的最小值.

解析： f′（x）=6x2-6（a+1）x+6a=6[x2-（a+1）x+a]=6（x-1）（x-a）.

①当a>1时，2a=2a>2，所以当x∈（0，1）∪（a，2a）时， f′（x）=6（x-1）（x-a）>0，函数 f（x）递增；当x∈（1，a）时，f′（x）<0，函数f（x）递减.所以f（x）min=min{f（a），f（0）}.

因为f（a）-f（0）=3a2-a3=a2（3-a），所以当13时，f（a）

②当a<-1时，2a=-2a>2，所以当x∈（0，1）时， f′（x）<0，函数 f（x）递减；当x∈（1，-2a）时， f′（x）>0，函数 f（x）递增.所以f（x）min=f（1）=3a-1.

综上所述：当a<-1时，f（x）min=3a-1；当13时，f（x）min=a2（3-a）.

点评： 首先，例2中的字母变量a影响了函数f（x）的单调性；其次，当a>1时，a又影响了f（a）与f（0）的大小比较，因而需要进行两次分类讨论.

（3） 图形位置变化的场合

在几何问题中，有些图形的位置是变化的、不确定的，如果不作全面考虑分类讨论，往往会遗漏致错.

例3 点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆O的距离与到定点A的距离相等的点P的轨迹不可能是

（A） 圆 （B） 椭圆

（C） 双曲线的一支 （D） 直线

解析： 定点A与圆O的位置关系不确定，所以需进行分类讨论.

如图1所示，当点A在圆外时，联结圆心O与点P，线段OP交圆O于点M，由题意可知PA=PM，PO-PA=PO-PM=r （r为圆O的半径）且r

如图2所示，当点A在圆周上时，点P的轨迹只能为射线OA.

如图3所示，当点A在圆内且不为圆心时，联结圆心O与点P，延长线段OP交圆O于点M，由题意可知 PA=PM，PO+PA=PO+PM=r且r>OA，由定义可知点P的轨迹是以O，A为焦点的椭圆.

如图4所示，当点A为圆心时，点P的轨迹显然是以O为圆心、半径为的圆.故选D.

点评： 以上分类是由点A和圆O的位置关系不确定引起的.诸如这样由图形的位置或形状变化导致的分类讨论还有：二次函数对称轴位置引发的关于最值的讨论；角的终边位置引起的三角函数值的讨论；立体几何图形中点或线与面的位置关系（如位于面的同侧或异侧）引发的讨论，等等.

（4） 问题情景描述模糊的场合

例4 [2013年高考数学辽宁卷（理科）第9题] 已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3）.若△ABO为直角三角形，则必有

（A） b=a3 （B） b=a3+

（C） （b-a3）b-a3-=0 （D） b-a3+b-a3-=0

解析： 要想获得a，b之间的数量关系，就要从△ABO为直角三角形着手，利用直角三角形三边关系求解.因为题中并未说明△ABO三个角中哪一个是直角，所以需进行分类讨论.

若角O为直角，因为点A的坐标为（0，b），所以点B必在x轴上，a3=0，得a=0，此时A，B，O三点不能构成三角形；

若角A为直角，则b=a3；

若角B为直角，则KOB·KAB=·=-1，化简得b-a3-=0.综上可知选C.

点评：有些高考题对题目条件作了模糊处理，如题目中提及等腰三角形，但没有明确哪个是底哪个是腰，这时就要在三角形三边关系的前提下分类讨论.在例4中，只有注意到题目直角的不确定性，并对其进行分类讨论，才能正确解答问题.

（5） 排列组合问题条件复杂的场合

例5 [2013年高考数学浙江卷（理科）第14题] 将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有 种（用数字作答）.

解析： 按字母C的具体位置分类求解：

第一类，字母C在左边第一个位置，有种排法；

第二类，字母C在左边第二个位置，有种排法；

第三类，字母C在左边第三个位置，有+种排法；

由对称性可知共有2×（+++）=480种排法.

点评： 排列组合问题中经常包含多个限制条件，很难直接解答.而利用分类讨论思想，将其转化为一个个小问题，使排列组合情况具体化清晰化，问题就变得容易解决.

【练一练】

设a≤2，求y=（x-2）x在[a，2]上的最大值和最小值.

【参考答案】

解： 如图5所示，当x≤0时，y=-x2+2x；当0

当y=-1时，x=1或x=1-.由图5可得，当a≤1-或1≤a<2时，ymin=（a-2）a；当1-

分类讨论的思考 篇4

分类讨论思想是初中数学中利用逻辑划分思想解决数学问题的一类思维方式,它主要是应用“化整为零”的思想,对数学问题逐一击破,再通过积零为整的思想,结合归类整理的有关方法,实现数学问题的有效解决。分类讨论思想的应用能够帮助学生理清解题的思路,提高解题的效率,促进学生创新意识的形成,增强学生的实践能力。初中数学中分类讨论思想的应用通常要遵循两个基本原则,一是分类的同一与相称原则,分类的同一与相称是指讨论对象的明确性与讨论标准的一致性;二是实际教学中分类讨论思想的互斥与多层次原则,分类讨论中的各个子项之间的关系应该是互斥的,不同子项之间应该没有交集,要有层次的解决多次分类的问题,采用二分法逐层化解概念的相互矛盾问题。

二、分类讨论思想在初中数学中运用的分析

(一)初中数学函数中分类讨论思想的运用

函数是初中数学学习中的重点与难点,也是应用分类讨论思想最多的一部分内容,通常应用于解决一次函数、反比例函数及二次函数等题型,如例题:求函数y=(k-1)x2-kx+1与x轴的交点坐标。

从这道题的已知的条件来看,条件并不是唯一的,题目中没有明确该函数是一次函数还是二次函数,这就需要应用分类讨论思想,对函数进行相关内容的分类讨论。首先,要根据k的值,讨论该函数为一次函数或二次函数时,函数y=(k-1)x2-kx+1与x轴的交点坐标,即当k=1时,该函数为一次函数,这时函数y=(k-1)x2-kx+1与x轴的交点坐标为(1,0);当k不等于1时,函数y=(k-1)x2-kx+1为二次函数,就需要继续运用分类讨论思想,讨论△>0与△=0两种情况下二次函数与x轴的交点坐标,即当△>0时,k不等于2,二次函数与x轴会有两个交点(1/K-1,0)、(1,0);当△=0时,k=2,二次函数与x轴会有一个交点(1,0)。

(二)初中数学几何中分类讨论思想的运用

分类讨论思想在几何中的应用最为直观,在学习圆与直线的位置关系这部分内容时,通常需要依据直线与圆有两个公共点、唯一公共点及没有公共点,将圆与直线的关系划分为相交、相切与相离,如例题:两个圆的半径分别为6与4,如果这两个圆相切,求这两个圆之间的圆心距是多少?

从这道题中的已知条件可知,该题讨论的是有关两圆相切的内容,这时学生必须能够利用分类讨论思想厘清两圆之间的关系,确定两圆相切的计算过程及内容;确定好相切关系以后,教师还需引导学生继续利用分类讨论的思想对相切的情况进行分类讨论,两圆相切一般为两种情况,一种是两圆外切,两圆如果是外切,那么可以得出两个圆之间的圆心距为10;一种是两圆内切,内切时两圆之间的圆心距为2,综上所述,可知两个圆之间的圆心距分别为10或2。

(三)初中数学方程中分类讨论思想的运用

方程的学习对于初中生来说具有一定的难度,如何在不同情况下方程利用不同的方法来讨论方程的具体情况一直是初中数学学习的难点,教师必须引导学生掌握多角度思考的方式,全面的把握每一种可能出现的情况,有效的应用分类讨论思想,合理的解决方程中的具体问题。如例题:解关于x,y方程组。

这道题的解答需要应用消元的方法,方程组的两边可以同时乘以m与n,由此将方程组中的y消去,这时方程组中就只有m与n两个字母,由于m、n是字母而不是具体的数字,因此需要考虑m与n的取值范围,这就需要运用分类讨论思想,讨论m与n的三种取值范围。一是m≠0且n≠0的情况下,原方程的解为x=1,y=0;二是m=0但n≠0的情况下,原方程的解为x=1,y=0;三是m≠0且n=0的情况下,原方程的解为x=1,y=0.由此可知,原方程的解为x=1,y=0.

综上所述,分类讨论思想在初中数学中的应用做好两个方面的内容,一是要引导学生在解题的过程中掌握分类讨论的思想与方法,学会运用分类讨论思想解决实际的数学问题;二是要帮助学生养成发散性思维,逐渐引导学生从形象思维转变为抽象思维,加强学生的问题解决能力,灵活运用分类讨论思想解决初中数学的问题。

初中数学中运用分类讨论思想是初中数学思想的具体表征,教师要利用分类讨论思想培养学生的抽象思维能力,提高学生的解题效率与质量,促进学生认知与思维的不断发展与进步。

参考文献

[1]袁少建.分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用[J].数学学习与研究,2015,(03).

分类讨论思想与初中数学教学 篇5

专业论文

分类讨论思想与初中数学教学

分类讨论思想与初中数学教学

摘 要：数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。

关键词：数学 ；分类讨论

新课标指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。初中阶段常见的数学思想包括：函数与方程思想，化归思杨，分类讨论思想、数形结合思想等。其中分类讨论思想是初中数学中最常见、最重要的一种数学思想，它贯穿于整个初中数学，它有利于考查学生的综合数学基础知识和灵活运用能力。

一个数学问题是否要分类及如何分类，这种经验的积累是十分重要的。一般情况下，分类讨论一般应遵循以下的原则：

1、同一性原则。分类应按同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据。例如：有些同学把三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、不等边三角形、等腰三角形。这个分类就不正确了，因为这个分类同时使用了按边和按角两个分类标准。

2、相称性原则。分类应当相称，即划分后子项外延的总和，应当与母项的外延相等。

3、互斥性原则。分类后的每个子项应当互不相容，即做到各子项相互排斥，也就是分类后不能有一些事物既属于这个子项，又属于另一个子项。

4、层次性原则。分类有一次分类和多次分类之分。一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后所得的子项作为母项，再进行分类，直至满足需要为止。

一般来说，教师在教学活动中可按以下三个步骤引导学生建立分类讨论的思想，学会分类方法，揭示分类讨论思想的本质，自觉合理的运用分类讨论的思想解决相应数学问题，形成能力。

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专业论文 有意识地分阶段渗透分类讨论思想

启发诱导，适时揭示分类讨论思想的本质

这道题势必要考虑图像的开口方向，又要考虑对称轴和顶点的位置。要对字母a和m分类。怎么分，则应由学生讨论，互相补充，互相评价，逐步完善。

例3 初中课本第四册证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

在几何中，常常由于图形的的形状、位置的不同而要进行分类讨论。这是课本第一次正式的采用分类的方法证明几何定理的。为什么要根据圆心相对于圆周角的位置分成三种情况（如上图）去证，要在学生画图、测量、分析、讨论后形成思路。决不能在这些活动之前给出分类证明，否则就失去了从一般到特殊，从特殊到一般的思维过程，无法体会分类证明的目的和优点。创设情境，深化提高，使学生自觉应用分类讨论思想

在初中数学中，若涉及到以下几个方面，往往需要进行分类讨论：

分析：该题是含有字母的方程，根据题目的要求，以下三种情况可使方程只有一个实数根：

化得的整式方程为一次方程，则只有一解（且这个根不能是增根）；

2）化得的整式方程为一元二次方程且判别式为零，则只有一解（且这个根不能是增根）

3）化得的整式方程为一元二次方程且判别式大于零，解得的两根中需有一根 为增根。

在几何中由于图形的形状、位置的不同，条件的不确定，常常需要分类讨论。如这道例题。在实际教学中可以碰到很多这种习题。如：

等腰三角形的两边为4，6，求该三角形的周长？

总之，数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。

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高中数学分类讨论策略的应用研究 篇6

关键词：高中数学；分类讨论；应用

中图分类号：G633.6 文献标识码： A 文章编号：1992-7711（2016）06-001-02

在解答一些数学问题时，有时会出现多种情况，对各类情况进行逐类求解，然后再综合归纳，这就是我们常说的分类讨论法。运用这种方法解题，可以将对问题的宏观研究变为对问题的局部分析，尤其是在求解的头绪繁多、有易重易漏问题时，分类讨论方法有独特的功效。需要进行分类讨论的情况有很多，其中最常见的有以下四类：一是根据绝对值的定义进行分类讨论；二是根据函数定义域等定理限制进行分类讨论；三是根据图形位置进行分类讨论；四是根据运算的要求进行分类讨论。其解题的一般思路有三个步骤：首先，弄清分类原因，找准分类对象；其次，选择分类标准，正确做出分类；最后，明确分类层次，优化分类顺序。下面我就来简单说明一下。

一、根据绝对值定义进行分类讨论

数学中的有些概念是分类定义的，像是绝对值、分段函数等，这就要求我们在解题时不能一概而论。而要根据题目的具体情况对其进行分类讨论。

例1.解不等式|2x+1|+|x-1|>6.

分析：该题中含有绝对值，我们在解题时首先想到的是要去掉绝对值，但是由于两个绝对值符号去掉的条件不同，我们要对此进行分类讨论。

解：令2x+1=0，得x=-；令x-1=0，x=1

可见在实数集内应以-，1为分类标准，分成三个区间讨论求解：①当x≤- 时，原不等式可化为-2x-1+1-x>6，解得x<-2；②当-6，解得x>4；③当x>1时，原不等式可化为2x+1+x-1>6，解得x>2.

综上，x<-2或x>2，故原不等式的解集为{x| x<-2或x>2}.

评注：在涉及到绝对值的问题时，我们经常都需要分类讨论，最常用的方法是零点讨论分类，先去掉绝对值的符号然后再进行求解。下面我们来看一道在函数中对绝对值符号进行分类讨论的例题。

例2.已知a∈R，函数f（x）=x2|x-2|.求使f（x）=x成立的x集合。

分析：由于该题中含有未知数，也含有绝对值，我们首先就要想到将绝对值符号去掉，那么要对x的取值情况进行讨论；另外，由于该题中并没有给出x的取值范围，那么我们在做题时就要充分考虑到各种情况，以免造成疏漏。

解：由题意可得x2|x-2|=x.当x≠0时，该式可化为x|x-2|=1，此时：①当x>2时，该式可进一步化为x2-2x-1=0，得x=1±√2（1-√2不合前提舍去）；②当x≤2且x≠0时，该式可进一步化为2x- x2-1=0，即（x-1）2=0，得x=1.③当x=0时，显然满足f（x）=x.

综上，满足f（x）=x的x的集合为{x| x=0或x=1或x=1+√2}.

评注：该题的解题思路虽然有些复杂，却是常规思路。在进行分类讨论时，我们一定要注意将每种条件下得出的结果与原始条件进行对比，若是不符合条件则要舍去该答案，如本题中的x=1-√2，显然不满足小前提x>2，故舍去。面对复杂的分类讨论问题时，尤其是面对多级的分类讨论，我们一定要逐级思考，并逐级分析，最后再将结果进行汇总综合，切忌越级思考，学习不是一蹴而就的，解题时更要循序渐进，否则难以理清问题的头绪，使问题变得更加复杂。在分级时由小到大（或由大到小）依次进行讨论可以避免遗漏。

二、根据函数定义域等定理限制进行分类讨论

在有关函数的问题中，由于受到函数定义域的限制，我们在解题中常常会对题目进行分类讨论，由于每种函数都有其不同的分类原则，对数函数的底数和真数等；三角函数中不同角的分类讨论等。对于复合函数则需要我们综合进行考虑，如考虑两类函数的图像问题。由于此类问题非常庞杂，我们暂不做介绍。下面我就以二次函数中对两根大小的讨论为例来进行说明。

例3.解关于x的不等式x2+（a2+a）x+a3>0.

分析：该不等式中的a为常数，要解该不等式，可以先将原不等式进行变形，然后再讨论根的大小。在讨论根的大小时，我们要综合考虑到所有情况，尤其是特殊的情况，像是为零等。我们在做题时，为了避免造成解题的疏漏，分类讨论中的特殊情况可以率先进行分析。

解：原不等式等价于（x+a）（x+ a2）>0，所对应的方程的两根为-a，-a2.①当a>1或a<0时，有-a>-a2，所以不等式的解集为：{x|x<- a2或x>-a}.②当a=1或a=0时，有-a=-a2，所以不等式的解集为：{x|x∈R 且x≠-a}.③当0-a2}.

评注：该题为对不等式的两根的大小情况进行分类讨论，在做题时要注意常数为零的情况。根据题目的不同情况，在做题时学生要综合考虑根的情况，不缺项漏项，只要在平时的做题中注意总结与反思，将解题的策略与方法进行整理，并充分考虑到特殊情况，那么用分类讨论的思想来解题就极其容易了。

三、根据图形位置进行分类讨论

在高中数学的平面几何问题中，常有因为图形的性质不同而引发的分类讨论。若是不注意对图形的观察，采用固定的思维模式，很可能考虑不全，从而失分。

例4.已知在直角坐标系中，⊙C与y轴相切，且点C的坐标为（1，0）.直线l过点A（-1，0），与⊙C切于点D.（1）求直线l的解析式。（2）在直线l上寻找点P，使△APC为等腰三角形，求点P的坐标。

分析：该题要使△APC为等腰三角形，由于没有说明顶点与腰分别是哪个，因此，就要对该图形的形状进行分类讨论。

解：（1）略解：连结CD，应用点斜式方程可得直线l的解析式为y= x+.

（2）以等腰△APC的顶点为标准分类讨论： ①当P为△APC的顶点时，则AC的中垂线为y轴，它与l的交点P（0，）为所求；②当C为△APC的顶点时，则点P与点A关于CD对称（因为CD⊥AP），易得P（2，√3）为所求；③当A为△APC的顶点时，则在l上点A的两侧分别存在两个点满足条件，运用三角函数知识可得P（-√3-1，-1）或P（√3-1，1）为所求。

评注：在进行分类讨论时，要找准分类的标准。解析几何中图形的位置不同，形状不同，其点的坐标就会发生变化。

四、根据运算的要求进行分类讨论

有些数学运算由于有严格的限制，我们在解题时必须按照一定的要求进行。这就要求学生要综合掌握数学知识，并能将其熟练运用，融会贯通。像是分数的分子不为零等。对数中的真数部分必须要大于零等，将这些小知识点渗透到综合题中，也是近几年常见的考点之一。

例5.已知===k，求一次函数y=kx+k一定经过的象限。

分析：要求一次函数一定经过的象限，那么就要知道函数的关系式，即斜率k的值，那么就要根据已知条件进行求解。

解：由已知，得b+c= ak ，c+a =bk ， a+b =ck，将三式进行相加，得2（a+b+c）=（a+b+c）k.

当a+b+c≠0时，得k=2；

当a+b+c=0时，得b+c=-a，c+a=-b，a+b=-c，可得：k=-1.

综上，一次函数的解析式为y=2x+2或y=-x-1。函数y=2x+2的图像经过第一、二、三象限，函数y=-x-1的图像经过第二、三、四象限，因此其一定经过的是第二、三象限。

评注：根据数学运算的要求分类讨论，主要是要对数学问题的定理、运算定律等掌握，形成条件反射，在进行运算时就能自然而然地考虑到特殊的情况，进而得出问题的完整而正确的解。

分类讨论不仅仅是一类题型，更是一种重要的解题思想，有变量就有分类讨论的可能，因此我们不可能将分类讨论的类型全部进行总结。但是在处理此类问题时也有一定的原则，即分类准确，不重复不遗漏。要想做到这一点，要遵从两个步骤：一是要找关键点，并以关键点为分界依次进行分析；二是在多级分类时，要逐级讨论，切忌跳级讨论。

总之，我们在进行高中数学的教学时，传授给学生知识只是一个小方面，我们更要注重对学生学习能力的培养。另外，数学问题的分类讨论思想是培养学生概括性与条理性的有效手段。学生掌握了数学分析的思想，不仅有助于学生在解题时快速而准确地找到解题的思路，提高解题的效率，还有助于学生运用这种思维方式解决生活中的实际问题，养成学以致用的好习惯，从而在不知不觉中促进自己能力的全面提升。

[参考文献]

[1] 石成效.高中数学专题复习与研究中用分类讨论的思想解题

[J].语数外学习（高中版上旬）.2015（06）

关于圆的分类讨论 篇7

一、点与圆的位置关系

例1若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a, 最小距离为b (a>b) , 则此圆的半径为 () .

解析 (1) 当P点在圆内时, 如图1-1.

连接O, P所在的直线交⊙O于A, B, AB是圆的直径.

则PA=a, PB=b直径AB=PA+PB=a+b, 半径

(2) 当P在圆外时, 如图1-2.

由 (1) (2) 可知, 应选C.

二、弦与弦的位置关系

例2⊙O的半径为5 cm, 弦AB∥CD, AB=6 cm, CD=8 cm, 则AB与CD之间的距离是 () .

解析 (1) 弦AB与CD在圆心的同侧.如图2-1 (草图) .

过O作弦AB的垂线, 交AB于M, 交CD于N.连接OB, OD.

∵AB∥CD, OM⊥AB, ON⊥CD,

由垂径定理, 又OB=OD=5 cm,

∴MN=OM-ON=4-3=1 cm.

(2) 弦AB与CD在圆心的异侧.如图2-2 (草图) .

此时, MN=OM+ON=4+3=7 cm, 故选C.

三、点在直径上的位置

例3已知⊙O的直径AB=10 cm, 弦CD⊥AB于点M.若OM∶OA=3∶5, 则弦AC的长为多少?

解析 (1) M在半径OA上.如图3-1.连接

又∵OM∶OA=3∶5, ∴OM=3 cm,

∵AB是直径, 弦CD⊥AB,

∴在Rt△OMC中,

∴AM=OA-OM=2 cm.

(2) M在半径OB上.如图3-2.

此时, AM=OA+OM=8 cm.

四、弦所对圆周角

例4圆的一条弦长等于它的半径, 那么这条弦所对的圆周角为 ( ) .

A.30°或60°B.60°

C.150°D.30°或150°

解析由AB=OA=OB,

∴∠AOB=60°,

五、圆与圆的位置关系

例5如果两圆相切, 两圆的圆心距为8 cm, 圆A的半径为3 cm, 则圆B的半径是 ( ) .

A.5 cm B.11 cm C.3 cm D.11 cm或5 cm

解析 (1) 当两圆外切时.如图5-1.AB=8+3=11 (cm)

(2) 当两圆内切时.如图5-2.AB=8-3=5 (cm) , 故选D.

六、相交圆圆心与公共弦的位置关系

例6已知相交两圆的半径分别为5 cm和4 cm, 公共弦长6 cm, 则这两个圆的圆心距为_____.

解析 (1) 当两个圆的圆心在公共弦的异侧时.如图6-1.

连接O1A, O2A.由圆的对称性, O1O2垂直平分公共弦AB.

(2) 当两相交圆圆心在公共弦的同侧时.如图6-2.

此时,

故这两个圆的圆心距为

圆中的分类讨论思想 篇8

在《圆》这一章中, 首先是在同弧或等弧所对的圆周角和圆心角的关系定理的证明中, 引入和运用了分类讨论思想, 从而在这一章的各处都有所运用, 以此来训练学生的思维习惯.在教学中, 我把圆中分类讨论思想的一些运用加以总结, 希望能和大家分享.

例1已知一点P到圆上的最大距离是8cm, 最小距离是2cm, 那么这个圆的直径是__________cm.

分析:此题应分两种情况考虑:点P在圆内和点P在圆外.

解:当点P在圆内时直径是10cm, 当点P在圆外时直径是6cm.

综上所述, 应填10或6.

例2如图, ⊙O的弦AB把圆周成1:3两部分, 那么弦AB所对的圆周角为______.

分析:此题中, 圆周角的顶点可能在优弧上, 也可能在劣弧上.

解:因为弦AB把圆周分成1:3两部分, 所以∠AOB=120°.当圆周角的顶点在优弧AB上时这个圆周角是60°;当圆周角的顶点在劣弧AB上时, 这个圆周角是120°, 所以填60°或120°.

例3如图, 已知⊙P的半径为2, 圆心P在抛物线y=21x2-1上运动, 当⊙P与x轴相切时, 圆心P的坐标为_____.

分析:⊙P与x轴相切时, 圆心P到x轴的距离是2, 分为⊙P在x轴上方和⊙P在x轴下方两种情况.

解:当⊙P在x轴上方时, 点P的纵坐标是2, 故有, 解得;当⊙P在x轴下方时, 点P的纵坐标是-2, 故有, 解得x无实数根.

所以, 点P的坐标为

分类讨论的思考 篇9

问题:f (x) =ax2+ (2a-1) x+1在undefined上的最大值为3, 求实数a。

分析:这是一个典型的求二次函数在给定区间上的极值问题。这个问题要考虑到函数的单调性;二次函数图像开口的方向和对称轴与给定区间的位置关系。这时, 如何分类是一个关键。

错误一:以单调区间分类:即当f (x) 在区间undefined上是增函数时有f (2) =3;当f (x) 在区间undefined上是减函数时undefined。事实上, 函数f (x) 在这个区间上有可能不单调。

错误二:以a分类:即a>0时, 函数图像开口向上, f (2) =3或undefined;当a<0时, 图像开口向下, undefined。事实上, f (x) 的图像开口向下时undefined不一定是最大值。

正确解法:①令f (2) =3时, undefined; ②令undefined时, undefined; ③令undefined时, undefined, 此时undefined, 而undefined;当a=0时, undefined, 不满足条件。所以undefined或undefined。

错误的分类方法, 不仅使思路产生混乱, 而且导致错误的结论, 所以在分类问题中, 要在对基本知识的准确理解的基础上, 进行正确的分类是解决问题的关键。

上述例题的一般方法是提炼及其这一提炼的动机与目的的分析;通过本例的解法分析, 可以看出在求函数闭区间上的最值时需考虑这一区间的端点和端点内驻点处的值, 端点处和所有驻点处的函数值中的最大 (小) 值就是函数在这一闭区间上的最大 (小) 值。本例是这一方法的逆用变式。

根据变式的教学理论, 我们知道过程性变式的教学对学生的解题能力的培养颇有助益, 在做完这一问题之后可以考虑设计如下变式:

变式1、已知函数y=x2-2x+3在区间[0, m]上有最大值3, 最小值2, 求m的取值范围。

变式2、求函数undefined在区间[-1, 5]上的最大值。

变式3、已知二次函数f (x) =ax2+bx满足f (1+x) =f (1-x) , 且方程f (x) =x有两个相等实根, 若函数f (x) 在定义域为[m, n]上对应的值域为[2m, 2n], 求m, n的值。

例题分析归类:

(一) 、正向型

是指已知二次函数和定义域区间, 求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形: (1) 轴定, 区间定; (2) 轴定, 区间变; (3) 轴变, 区间定; (4) 轴变, 区间变。

1. 轴定区间定

例1. 设函数f (x) =x3+ax2-a2x+1, g (x) =ax2-2x+1其中实数a≠0.

(Ⅰ) 若a>0, 求函数f (x) 的单调区间;

(Ⅱ) 当函数y=f (x) 与y=g (x) 的图象只有一个公共点且g (x) 存在最小值时, 记g (x) 的最小值为h (a) , 求h (a) 的值域;

(Ⅲ) 若f (x) 与g (x) 在区间 (a, a+2) 内均为增函数, 求a的取值范围。

2. 轴定区间动

例2. 设a为实数, 函数f (x) =x2+|x-a|+1, a∈R, 求f (x) 的最小值。

3. 轴动区间定

说明:已知f (x) =ax2+bx+c (a≠0) , 按对称轴与定义域区间的位置关系, 由数形结合可得f (x) 在[m, n]上的最大值或最小值。

例3.求函数y=-x (x-a) 在x∈[-1, 1]上的最大值。

解析:函数undefined图象的对称轴方程为undefined, 应分undefined即-2≤a≤2, a<-2和a>2这三种情形讨论 (图略) 。

(1) a<-2;由图可知f (x) max=f (-1)

(2) -2≤a≤2;由图可知

(3) a>2时;由图可知f (x) max=f (1)

即

4. 轴变区间变

例4. 已知y2=4a (x-a) (a>a) , 求u= (x-3) 2+y2的最小值。

解析:将y2=4a (x-a) 代入u中, 得

u= (x-3) 2+4a (x-a) =[x- (3-2a) ]2+12a-8a2, x∈[a, +∞)

①3-2a≥a, 即0

②3-2a1时, f (x) min=f (a) = (a-3) 2

所以

(二) 、逆向型

说明:是指已知二次函数在某区间上的最值, 求函数或区间中的参数值。

例5. 已知函数f (x) =ax2+2ax+1在区间[-3, 2]上的最大值为4, 求实数a的值。

解析:f (x) =a (x+1) 2+1-a, x∈[-3, 2]

(1) 若a=0, f (x) =1不合题意。

(2) 若a>0, 则f (x) max=f (2) =8a+1

由8a+1=4, 得undefined

(3) 若a<0时, 则a=-3

由1-a=4, 得a=-3

综上知undefined或a=-3

例6. 已知函数undefined在区间[m, n]上的值域是[3m, 3n], 求m, n的值。

解析1:讨论对称轴x=1中1与undefined的位置关系。

①若m

解得m=-4, n=0

②若undefined, 则无解

③若undefined, 则无解

④若1

综上, m=-4, n=0

解析2:由undefined, 知undefined, 则[m, n]⊆ (-∞, 1], f (x) 在[m, n]上递增。

所以

解得m=-4, n=0 说明:解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值, 缩小了m, n的取值范围, 避开了繁难的分类讨论, 解题过程简洁、明了。

分类讨论有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性, 使学生学会完整地考虑问题、化整为零地解决问题, 学生只有掌握了分类的思想方法, 在解题中才不会出现漏解的情况。分类讨论题覆盖知识点较多, 利于考查学生的知识面、分类思想和技巧;同时方式多样, 具有较高的逻辑性及很强的综合性, 树立分类讨论思想, 应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体, 明确分类的标准, 分层别类不重复、不遗漏的分析讨论。”

参考文献

[1]数学[M].人教版高中课本.

[2]数学爱好者 (高考理科) [M].

例谈等腰三角形的分类讨论 篇10

例1已知△ABC为等腰三角形, 由A点所引BC边的高线恰好等于BC边长的一半, 则∠BAC的度数为_____。

分析:对此题不少同学往往只填90°一个答案, 事实上, 该题没有指明△ABC哪那两边为腰, 故有三种可能;

(1) AB=AC (2) BA=BC (3) CA=CB解:有三种情况: (1) 当AB=AC时 (如图1) , 由于AD=12BC, 则∠ABC=∠BAD=45°可得∠BAC=90°。

(2) 当BA=BC时 (如图2) , 由于

由AD⊥BC可得∠B=30°∴∠BAC=1/2 (180°-30°) =75°

(3) 当CA=CB时 (如图3) , 过A作AD⊥BC交BC的延长线于D, ∵AD=1/2BC=1/2AC∴∠ACD=30°故∠BAC=1/2∠ACD=15°

综上所述, ∠BAC的度数为90°或75°或15°。

例2为美化环境, 计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一块长为10米的等腰三角形绿地, 请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。

分析:此题给出了面积和一边长, 但未指明边长中底还是腰, 也没限定其形状, 故需分类讨论。

解:假设AB=10米, 过点C作CD⊥AB, 垂足为D。

“分类讨论”探源 篇11

一、由概念性质引起的分类讨论

友情提示：（1）一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变动；函数问题中区间的变动；函数图象形状的变动；直线由斜率引起的位置变动；圆锥曲线由焦点引起的位置变动或由离心率引起的形状变动；立体几何中点、线、面的位置变动等.（2）一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，讨论时应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确，不重不漏.

分类讨论就是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的策略.对问题实行分类等于增加一个已知条件，将大问题（或综合性问题）分解为小问题（或基础性问题），分类讨论有效地降低了问题的难度，但要注意优化解题思路.那么“分类讨论”是如何引发的呢？让我们来“探源”.寻求讨论的触发点.

一、由概念性质引起的分类讨论

友情提示：（1）一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变动；函数问题中区间的变动；函数图象形状的变动；直线由斜率引起的位置变动；圆锥曲线由焦点引起的位置变动或由离心率引起的形状变动；立体几何中点、线、面的位置变动等.（2）一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，讨论时应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确，不重不漏.

分类讨论就是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的策略.对问题实行分类等于增加一个已知条件，将大问题（或综合性问题）分解为小问题（或基础性问题），分类讨论有效地降低了问题的难度，但要注意优化解题思路.那么“分类讨论”是如何引发的呢？让我们来“探源”.寻求讨论的触发点.

一、由概念性质引起的分类讨论

初中几何分类讨论解题的诱发因素 篇12

一、所涉及的点的位置不确定

【例1】如图1-1, 等腰Rt△ABC的直角边AB=2, 点P、Q分别从A、C两点同时出发, 以相同速度作直线运动.已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D.

(1) 设AP的长为x, △PCQ的面积为S.求出S关于x的函数关系式;

(2) 当AP的长为何值时, S△PCQ=S△ABC;

(3) 作PE⊥AC于点E, 当点P、Q运动时, 线段DE的长度是否改变?证明你的结论.

解析:题中未给出点P的确定位置, 由于点P在运动中的位置不同, △PCQ的面积也就不同.因此必须分两种情况进行讨论.

第一, 当点P在线段AB上时 (如图1-2) , 由于点P、Q分别从A、C两点同时出发, 则AP=CQ=x.

第二, 当点P在AB的延长线上时 (如图1-3) .

二、所涉及的角的大小不确定

【例2】如图2，已知以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC边于点E.

(1) 求证:EB=EC=ED;

(2) 试问在线段DC上是否存在点F，满足BC2=4DF·DC．若存在，作出点F，并予以证明;若不存在，请说明理由．

解析: (1) 连结BD、OE, 易证EB=EC=ED.

由三角形内角和定理, 有∠DEC=180°-2∠C.

据题意可知∠DEC的大小不确定, 点F所在的位置也就无法确定, 故需对∠DEC加以分类讨论, 才能解决这一问题.

(1) 当∠DEC>∠C时，有180°-2∠C>∠C，即当0°<∠C<60°时, 在线段DC上存在点F满足条件.在∠DEC内, 以ED为一边, 作∠DEF, 使∠DEF=∠C, 且EF交DC于点F, 则点F即为所求.这是因为由∠CDE=∠EDF, ∠C=∠DEF, 则有△DEF∽△DCE, DE2=DF·DC，即 ，因此BC2=4 DF·DC.

(2) 当∠DEC=∠C时，即∠DEC=∠C=60°，此时C点即为满足条件的F点，于是DF=DC=DE，仍有BC2=4 DF·DC.

(3) 当∠DEC<∠C时，即60°<∠C<90°，所作的∠DEF>∠DEC，此时点F在DC的延长线上，故线段DC上不存在满足条件的点F.

三、所涉及的等腰三角形的底边不确定

【例3】已知二次函数 的图象经过点A (-3, 6) , 并与x轴交于B、C两点 (点B在点C的左边) , P为它的顶点.

(1) 试确定m的值;

(2) 设点D为线段OC上的一点, 且满足∠DPC=∠BAC, 求直线AD的解析式;

(3) 在y轴的正半轴上是否存在点M, 使△PCM为等腰三角形.若存在, 求出所有满足条件的点M的坐标;若不存在, 请说明理由.

解析: (1) 把点A坐标代入解析式, 得

(2) 如图3-1, 作AE⊥x轴于点E, 作PF⊥x轴于点F.

∵△AEC与△PFC均是等腰直角三角形,

(3) 由于等腰△PCM的底边不确定, 所以必须通过分类讨论, 在明确底边的情况下才能使问题得以圆满解决.

(1) 设在y轴的正半轴上存在点M1, 且使等腰△PCM1以CM1为底边时, 则有|PM1|=|PC| (如图3-2) .

设M1 (0, y1) , 其中y1>0.

作PH⊥y轴于点H, 则有|PM1|2= (y1+2) 2+12, |PC|2= (3-1) 2+22.

因此有 (y1+2) 2+1=8.解得 (舍去) , 故点

(2) 当等腰△PCM2以PC为底边时, 则有|M2P|=|M2C| (如图3-3) .

设M2 (0, y2) ，其中y2>0，则|M2P|2= (y2+2) 2+1, |M2C|2=y22+9, 因此 (y2+2) 2=y22+9.解得y2=1.故点M2 (0, 1) .

(3) 当等腰△PCM3以PM3为底边时, 则有|CM3|=|CP| (如图3-4) .

设M3 (0, y3) , 其中y3>0, 则|CM3|2=y23+9，|CP|2= (3-1) 2+2=8，因此y23+9=8，此方程无实根，所以点M3不存在．

综上所述, 满足条件的点M有两个, 分别为 和M2 (0, 1) .

四、所涉及的相似三角形的对应边不确定

【例4】如图4, 在矩形

ABCD中, AB=12厘米, BC=6厘米.点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动, 如果P、Q同时出发, 用t (秒) 表示移动的时间 (0≤t≤6) .

(1) 当t为何值时, △QAP为等腰直角三角形?

(2) 求四边形QAPC的面积, 提出一个与计算结果有关的结论;

(3) 当t为何值时, 以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.

解析: (1) 设当移动时间为t时, △QAP为等腰直角三角形, 所以6-t=2t, 故t=2.

所以在P、Q两点移动过程中, 四边形QAPC的面积始终保持不变.

(3) 因为题中以Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似的对应边未确定, 所以要分两种情况进行讨论.

(1) 当△QAP∽△ABC时, 即 , 解得t=1.2 (秒) , 即当t=1.2秒时, △QAP∽△ABC;

(2) 当△PAQ∽△ABC时, 即 , 解得t=3 (秒) , 即当t=3秒时, △PAQ∽△ABC.

所以, 当t=1.2秒或3秒时, 以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.