分类讨论

2024-10-23

分类讨论（通用12篇）

分类讨论篇1

进入初中阶段之后, 数学教学的教学重点便逐渐由单纯的知识内容传授扩大到了思想方法的培养上。在众多数学问题解答的思想方法中, 分类讨论思想可以说是最为基础又是举足轻重的思想之一, 它贯穿于整个初中数学教学过程中。因此, 分类讨论思想必须引起教师与学生的足够重视, 进而提升教学效率和教学质量。

一、在基础知识传授中渗透分类讨论思想

分类讨论是一种思想方法, 需要渗透到学生的意识中后, 才能有效指导实践。渗透的过程不是一蹴而就的, 而是需要教师将这种思维方式不断融入到知识学习的各个阶段。因此, 从基础知识传授开始, 这个工作就应当开始了。

例如, 在初中数学七年级上册第一章第一节中, 学生从正数和负数开始接触有理数的相关知识。从这部分基础概念的传授开始, 教师便开始以分类的思想贯穿其中。学生除了知道3、1.8%、3.5等是正数, -3、-2.7%、-4.5等是负数, 0既不是正数也不是负数之外, 还应当从宏观上看到, 这个过程是在将全部有理数按照正数、负数、0的标准分为三类, 从而使学生对有理数的划分与认知清晰了很多。

很多教师认为, 只有在具体数学问题的解答过程中才会应用到分类讨论思想。实际上, 这是一个普遍的误区。从基本定义、计算公式等基础知识的传授开始, 分类讨论的思考方式便已经出现了。教师一定要及时发觉并从开端处向学生渗透。

二、在具体问题解答中运用分类讨论思想

对基础知识学习过后, 学生便要开始接触一些具体的有理数问题了。虽然在学习之初, 学生练习解答的问题难度不会太大, 但并不妨碍分类讨论方法的加入。教师要时刻树立起应用分类讨论方法的意识, 并在具体问题的解答过程中随时加以运用。

例如, 在初中数学七年级上册第一章第三节中, 开始学习有理数的计算, 这也增加了更多融入分类讨论学习的机会。在有理数的加法学习完毕后, 教师向学生提出了这样一个问题:小明在一条南北向的笔直公路上行走, 他先走了10米, 又走了20米, 请问他现在距离出发点有多远呢?题目并不难, 却需要学生有一个清晰的分类讨论思路, 以先10米的行走方向为正方向进行分类, 便可以得出10+20=30 (米) 与10-20=-10 (米) 两个答案, 从而全面考虑小明的行走方式。

以上问题难度虽然不大, 却很好地融入了分类讨论的思考方式。也正是由于题目的整体解答比较容易, 学生才的注意力得以更加集中地放在分类讨论上。多加训练, 这种思维方式便能够迁移至其他复杂问题的解答当中。

三、在相关情境创设中深化分类讨论思想

当然, 除了通过具体问题进行反复实践之外, 教师也可以从整体教学的方向考虑, 深化分类讨论思想。教师所采用的方式, 是通过创设相关问题的具体情境, 激发学生思考, 使其主动应用分类讨论方法解决问题。

例如, 在初中数学七年级上册第一章第四节的教学过程中, 教师便为学生创设出了一个有理数乘法的计算情境, 促使学生自主展开分类讨论。学生们得到的问题如下:一条小狗在一条南北向的笔直道路上奔跑, 奔跑速度为每分钟5米, 并且以这个速度跑了2分钟。请问, 2分钟后, 小狗距离原点多远。学生们很快便反应出应用乘法进行计算, 并且结合两个方向得出了不同答案:5×2=10 (米) , (-5) ×2=-10 (米) 。在此基础上, 我又要求学生继续计算5× (-2) 以及 (-5) × (-2) 两个算式, 并且由此探究出有理数的乘法规则。学生自然而然地通过分类讨论的方法得出了“同号相乘得正, 异号相乘得负”的结论。

在成功的情境创设之下, 学生对问题的思考自由主动了很多。在这个思考过程当中, 分类讨论不再是教师对于学生的要求, 而是学生们解决问题的必需。大家在潜移默化中明确了何时使用分类讨论以及如何使用分类讨论。

四、在知识应用总结中升华分类讨论思想

任何知识的熟练掌握都离不开应用之后的全面总结, 有理数的学习也不例外。在有理数的每个知识阶段教学结束之后, 教师都会带领学生针对分类讨论方法的运用进行总结, 实现思想方法的升华。

例如, 在初中数学七年级上册第一章第五节学习结束之后, 教师带领学生进行了一个简单的总结。总结的重点并不是知识点的罗列, 而是如何利用字母将有理数乘方的运算法则表示出来。当一个个具体的数字变成了an时, 如何准确进行分类讨论呢?最关键的是找到分类的标准。在当前学习范围之内, n属于正整数范围, 因此, 我们只需对a的取值进行分类讨论。显然, 以a>0、a=0与a<0三种情况进行分类是最为合理的。于是我们得出, 当a>0时, an>0 (n是正整数) ;当a=0时, an=0 (n是正整数) ;当a<0时, a2n>0 (n是正整数) , 而a2n-1<0 (n是正整数) 。

阶段性的总结并不复杂, 却能够达到巩固知识、提升思想的效果。通过总结发现问题、完善方法, 并将有益的思想方法系统地串连起来, 明确清晰又便于复习。

有理数是初中数学中的第一个学习内容, 对开启学生初中数学学习有着重要意义。分类讨论作为初中数学学习阶段当中的重点思想方法, 更应当在学习开始之初融入并应用于学生处理问题的思想与实践当中。分类讨论思想, 不仅能够促使学生全面掌握知识内容、周全考虑各种可能性, 更能够有效锻炼学生有序、缜密的逻辑思维, 对学生日后的数学学习颇有助益。

分类讨论篇2

高一教学中分类讨论的数学思想

一、温故知新，螺旋上升

在二次函数的复习中，学生对分类讨论的数学思想有了初步的认识，在此基础上，我趁势给出了三个二次的关系，即一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的关系，并引导学生来探讨含参数的一元二次不等式的方法。例1:解一元二次不等式x2-(a-1)x-a>0.因为一元二次方程x2-(a-1)x-a=0有两个根x=a和x=-1,由一元二次函数的图像知此一元二次不等式的解应在两根之外。但两根的大小不能断定，目的就是让学生想到从两根的.大小分三种情况进行讨论求解。例2:解一元二次不等式x2-ax+1>0.因为一元二次方程x2-ax+1=0的判别式为a2-4,其正负不能断定，即此方程是否有根不知道，目的就是让学生想到由判别式的大小分三种情况进行讨论求解。例3:解不等式ax2-(2a+1)x+a+1>0.本题目的是让学生想到由x2的系数a来分三种情况进行讨论求解。因为a=0时，此不等式为一次不等式;当a>0时，此一元二次不等式的解集为两根之外;而当a<0时，此一元二次不等式的解集变为两根之间。需要注意的是，由于是高一学生，分类讨论的难度教师一定要把握好。个人认为让学生掌握一层分类即可，而那种先按是否有根分类讨论，再按两根大小分类讨论的多层讨论不必涉及。

二、不断强化，形成习惯

有了前面的学习，学生已经对分类讨论的数学思想有了深刻的认识。在指数函数的学习中教师应当乘胜追击，以使学生能在不断的强化过程中形成良好的习惯。首先教师给出例1:解不等式ax20且a≠1)，有了前面的铺垫，多数学生已经能从容地分a>1,a<1两种情况求解。紧接着教师给出例2:求函数y=a2x-3(a>0且a≠1)的单调区间。“一回生两回熟，三次见面就是老朋友。”在对数函数的学习中，教师不妨给出同样的两道例题，例1:解不等式loga(2x-1)0且a≠1)与例2:求函数loga(2x-1)(a>0且a≠1)的单调区间，目的就是使学生在不断的强化中，自然而然地将分类讨论的数学思想在脑海中根深蒂固。实践证明，高一有了学习必修1的良好开端，高一的必修2的教学就显得格外轻松。例如在必修2解析几何的学习中，当教师让求直线2x-ay+3=0的斜率时，学生都会自觉地考虑a=0时斜率不存在，a≠0时斜率为2a时。不仅如此，他们还能按a>0,a<0来进一步判断斜率的正负以及倾斜角什么时候是锐角、什么时候是钝角。

三、一点感想

“分类讨论”探源篇3

一、由概念性质引起的分类讨论

友情提示：（1）一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变动；函数问题中区间的变动；函数图象形状的变动；直线由斜率引起的位置变动；圆锥曲线由焦点引起的位置变动或由离心率引起的形状变动；立体几何中点、线、面的位置变动等.（2）一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，讨论时应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确，不重不漏.

分类讨论就是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的策略.对问题实行分类等于增加一个已知条件，将大问题（或综合性问题）分解为小问题（或基础性问题），分类讨论有效地降低了问题的难度，但要注意优化解题思路.那么“分类讨论”是如何引发的呢？让我们来“探源”.寻求讨论的触发点.

一、由概念性质引起的分类讨论

分类讨论贵在自然养成篇4

教育教学的实践表明, 引导学生学习分类讨论的思想与方法, 逐步养成分类讨论的习惯与素养, 需要我们长期计划、系统安排, 由浅入深, 适时总结, 不断强化.

【例1】实数a对应的点与原点的距离为3, 求a的值.

分析: (1) 在数轴上表示数a的点, 可能在原点左侧, 也可能在原点右侧.根据数形结合、分类讨论的思想, 可得a=3或a=-3.

(2) 由题意得|a-0|=3, 当a=0时, 显然不合题意;当a>0时, |a|=a=3, 即a=3;当a<0时, |a|=3, 即a=-3.

启发:在进行有理数概念数学时, 引入这两种分析方法, 本身就是引导学生进行分类讨论的思想与方法, 学生较易接受.

【例2】已知某个等腰三角形, 其中一个角为50°, 求其余的两个角的度数.

分析:根据等腰三角形的特性, 很自然地可以想到: (1) 当这个等腰三角形的顶角为50时, 它的其余两个角均为底角, 均为65°; (2) 当这个等腰三角形的一个底角为50°时, 它的其余两个角分别为50°与80°.

启发:对于这个问题, 有些学生不会分类讨论, 常源于对等腰三角形的基本特性认识不清;不常运用分类讨论的方法去思考问题.

【例3】已知圆的半径为5 cm, 圆心为点O, 圆内有两条平行弦AB、CD, AB=8 cm, CD=6 cm, 求AB与CD的距离.

分析:学生初学时, 常常在画出示意图时, 将两弦画在圆心的同侧或画在圆心的异侧, 且仅画出了一种情形, 丢了另一种情形.

启发:学生初学时, 假如我们不是引导学生逐步思考, 引导学生去亲历思考, 而仅仅是将所有情况统统画在黑板上, 和盘托出, “赏赐”给学生, 学生的收获自然不会很多.

【例4】如图1, 梯形ABCD中, AD//BC, AD=8 cm, BC=14 cm, 腰AB=CD=5 cm.设动点P沿着B→C→D→A→B的路线运动, 设P点运动速度为2 cm/s;当P点运动xs时, 由B、C、P三点决定的图形面积为y (cm2) , 求y与x之间的函数式.

分析: (1) 点P在线段BC上运动时, 即0≤x≤7, 这时y=0;

(2) 当点P运动到C、D之间 (不包括C、D两点) 时, 作PQ⊥BC于Q, HD⊥BC于 $Η ‚ B C + C D = 2 x ‚ 7 ＜ x ＜ 9.5 ‚ Ρ C = 2 x - 14 ‚ Ρ Q = \frac{4}{5} Ρ C = \frac{4}{5} (2 x - 14) = \frac{8 x}{5} - \frac{56}{5} (c m) .$ 这时, 由B、C、P三点决定的图形为 $△ Ρ B C ‚ ∴ y = S_{△ Ρ B C} = \frac{1}{2} B C \cdot Ρ Q = \frac{56 x}{5} - \frac{392}{5} .$

(2) 当点P位于线段AD上 (包括A、D两点) 时, 由平行线间的距离处处相等, 得: $y = \frac{1}{2} B C \cdot D Η = 28$ ;相应地, 当9.5≤x≤13.5时, y=28.

(3) 当点P位于A、B两点之间, 所讨论的图形是以BC为底边、P点到BC距离为高的三角形.PB=32-2x, 相应的高为 $\frac{4}{5} (32 - 2 x) .$

这时, $y = S_{△ B C Ρ} = \frac{1}{2} B C \cdot \frac{4}{5} (32 - 2 x) = \frac{896}{5} - \frac{56}{5} x$ , 相应地, 13.5<x<16.

显然, 当点P重合于B点时, x=16也满足此时的函数关系式.

综合得:

分类讨论篇5

摘要：在中学数学教学中，分类讨论的重要性十分突出。要提高学生对分类讨论的重视，弄清楚引起分类的原因、明确分类讨论的标准、遵循分类讨论的步骤、掌握分类讨论的方法。分类讨论是解决数学问题的一种策略，也是训练学生思维方法、培养思维能力的重要手段。

关键词：分类讨论；重合面积；例题

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2017）29-0041-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.29.022

数学学科十分重视不同解题思路和方法的探究和运用，根据不同题目的类型，采取最为合适的解题方法，同时探究其他解题思路，这有助于学生发散性思维的培养。分类讨论思想在初中数学教学中的应用就验证了这一种教学思路的渗透。

翻阅苏州各市区近几年一模卷和苏州市中考卷，发现那些开放性、探索性较强的试题往往会作为压轴题，而学生往往失分严重，究其原因，是由于考生逻辑推理能力不强，分类讨论思想缺失，或者解题不严密所致，因此训练这方面能力是非常必要的。

一、确立分?讨论思想的重要性

分类讨论是指在解决数学问题的过程中，根据问题中所出现的多种情况和可能性，分别进行研究的一种常用的数学思想方法。

分类讨论思想一旦以压轴题的形式出现，就会让学生无从入手。因此中考复习要到位，分类讨论这方面问题，必须在平时课上就加以铺垫，化整为零，让学生经常可以感受到分类思想，不要到临考前才临阵磨枪。

二、如何进行分类讨论的教学

分类情况可分为：数学概念的内涵需要分类讨论；问题中的条件需要分类讨论；问题中的变量需要分类讨论；形状、位置的变化需要分类讨论。

教师必须能全面、熟练地掌握初中数学教材中的所有概念、性质、定理。只有这样，在教学的过程中教师才能更好地运用自己所掌握的东西，使学生对分类讨论思想有系统、全面的理解，让学生能掌握直至熟练运用分类讨论思想。

代数型分类讨论，如绝对值化简，方程根的个数，函数图像性质，二次函数最值等；几何型分类讨论，如求等腰三角形第三边，直角三角形的第三边，相似三角形的分类讨论等；以上问题通过例题、课后作业，可以有效解决，让学生轻松上手。但是综合起来以后，学生有时就很难理解，下面具体来谈一下，如何有效地让学生学会计算“几何重合面积”的方法。

对于几何类型的分类讨论，在课堂教学中，要训练学生，让他们画出几何图形，特别是训练读题画图，在做作业乃至考试的时候，涉及几何的题目，如果原题没有配图，一定要培养他们画图的习惯，对图形有很好的感觉，会对分类讨论有着最直接的帮助。课堂上，教师也应该经常在学生面前画图，并介绍如何利用直尺、圆规等工具，把几何图形画得尽量准确，不要为了省事，总放些课件，把很好的训练机会白白浪费掉。训练寻找题中的特殊角度、坐标、特殊的边的比值等。有时解题的关键就是这些容易疏忽的条件。运动的图形，必须从起点开始画，要学会画出分类情况的临界状况，这是求自变量取值范围的关键，这种过度图形都是很特殊的位置，对于计算是很有帮助的。

例1：已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，-12）两点，且对称轴为直线x=4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B.（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；

（2）如图1，在直线y=-2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；

（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N.将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN.在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒.问S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由。

分析：

（1）利用对称轴，可求出B坐标，用A、B、C坐标求抛物线解析式。

（2）关键要判断一组平行的对边是什么，因此先求出直线PB的解析式，可知与直线y=-2x的k相等，所以直线PB//OD，所以只需OP=BD，用勾股定理列出OP和BD，解方程，最后检验是不是只有一组对边平行，当x=2时，OD=PB，此时四边形OPBD为平行四边形，舍去。

（3）做这小题时，有一条运动的直线，经过自己动手探索，发现△PMN翻折后，有两种情况，如图3、4，即重合部分是三角形或者是四边形。

有的学生画不出图，寸步难行，有的学生只会画出图，至于如何计算，无从下手。教师要先鼓励学生根据原图画出翻折图像，这样的全等图形，相信只要去尝试，可以临摹出一模一样的翻折图形，如果成功的话，接着可以让全班同学一起参与画出不一样的图像，并且一起分析这些“不同的图像”的相同之处，从运动的起点到终点，整个运动过程可总结出有两种重合部分的图像。下面要讨论出这两种情况的分界点，也就是重合部分是三角形的最后时刻，通过刚才画图的过程，可知点P翻折后正好落在x轴上。

分析完后，进入计算阶段，这条运动的直线，是以M为主体，画出的与x轴平行的直线，由速度可得PM=t，下面又是学生碰到的难题，其实，题中包含着很多的特殊三角形（特殊三角形包括等腰直角三角形、含30°的直角三角形，或者边的比值是定值的也算是特殊三角形），这是要告诫学生，必须根据条件，去探索题中是否有特殊三角形，经过（1）（2）题的计算，图3、4中可以得出△POD，△POG是等腰直角三角形，△PDB中BD：PD=1：2的直角三角形。因为相似，可知△PMH是等腰直角三角形，△PHN的直角边也是1：2，用t可以表示MN、PH，面积也就迎刃而解了。

这道题的分类思想根据画图得出，因此，让学生从图像变化的起点出发，寻找临界状态，进而画出动起来后的不同形式，再经过分析完善分类，最后进行计算。计算过程一定要利用已知条件，寻找特殊图像。几乎所有类似的题目，都有可以利用的图形。

三、学生如何掌握分类讨论的思想

正确的分类必须是周全的，既不重复，也不遗漏。分类讨论的原则：分类中的每一部分是相互独立的；一次分类按一个分类标准；分类讨论应该逐级进行。

分类的基本步骤为：明确分类主体；按条件合理展开分类；根据类型逐项进行讨论；归纳分类结果得出答案。通过平时课内和课后对画图的训练、压轴题中给出的点坐标、特殊三角形的寻找，通过从动点起止状态的分析的训练，学生可以逐渐掌握几何重合面积的解决方法。

四、教师要把主动权还给学生

学生之所以对分类讨论问题惧怕，无非是因为不知道什么题目要进行分类讨论，或分类不完全、漏解，只要突破这两个难点，学生以后碰到此类问题，就会迎刃而解了。在课堂教学中，教师要把主动权还给学生，要产生真切的师生互动，使讨论具有实效。这样，在课堂上学生始终处于不断发现问题、解决问题的过程中。学生一旦尝到努力探索的成就感，久而久之，就会更加喜欢学习，愿意学习。

参考文献：

用分类讨论的思想解题篇6

关键词:高中数学分类讨论思想解题

参数广泛地存在于数学的各类问题中,也是近几年来高考重点考查的热点问题之一。以命题的条件和结论的结构为标准,含参数的问题可分为两种类型。一种类型的问题是根据参数在允许值范围内的不同取值(或取值范围),去探求命题可能出现的结果,然后归纳出命题的结论;另一种类型的问题是给定命题的结论去探求参数的取值范围或参数应满足的条件。解决第一种类型的参数问题,通常要用“分类讨论”的方法,即根据问题的条件和所涉及到的概念,运用的定理、公式、性质以及运算的需要,图形的位置等进行科学合理的分类,然后逐类分别加以讨论,探求出各自的结果,最后归纳出命题的结论,达到解决问题的目的。它实际上是一种化难为易、化繁为简的解题策略和方法。

一、科学合理的分类

把一个集合A分成若干个非空真子集Ai(i=1、2、3…n)(n≥2,n∈N),使集合A中的每一个元素属于且仅属于某一个子集。即:

①A1∪A2∪A3∪…∪An=A

②Ai∩Aj=φ(i,j∈N,且i≠j)。

则称对集A进行了一次科学的分类(或称一次逻辑划分)。

科学的分类应满足两个条件:①保证分类不遗漏;②保证分类不重复。在此基础上根据问题的条件和性质,应尽可能减少分类。

二、确定分类标准

在确定讨论的对象后,最困难是确定分类的标准。一般来讲,分类标准的确定通常有三种:

(1)根据数学概念来确定分类标准:

例如,绝对值的定义是:|a|=

所以在解含有绝对值的不等式|log x|+|log (3-x)|≥1时,就必须根据确定log x、log (3-x)正负的x值1和2将定义域(0,3)分成三个区间,即0

例1、已知动点M到原点O的距离为m,到直线L:x=2的距离为n,且m+n=4。

(1)求点M的轨迹方程。

(2)过原点O作倾斜角为α的直线与点M的轨迹曲线交于P、Q两点,求弦长|PQ|的最大值及对应的倾斜角α。

解:(1)设点M的坐标为(x,y),依题意可得:x2+y2+|x-2|=4。

根据绝对值的概念,轨迹方程取决于x>2还是x≤2,所以以2为标准进行分类讨论可得轨迹方程为:

4(x-1)(-1≤x<2)

-12(x-3)(2≤x<3)

解:(2)如图1,由于P、Q的位置变化,弦长|PQ|的表达式不同,故必须分点P、Q都在曲线y2=4(x+1)以及一点在曲线y2=4(x+1)上而另一点在曲线y2=-12(x-3)上,可求得:

从而知当a=或a= 时,|PQ|max=。

(2)根据数学中的定理、公式和性质确定分类标准。

数学中的某些公式、定理、性质在不同条件下有不同的结论,在运用它们时,就要分类讨论,分类的依据是公式中的条件。

例如,对数函数y=logax的单调性是分01两种情况给出的,所以在解底数中含有字母的不等式,如logx>-1,就应以底数x>1和01时,>;当0

(3)根据运算的需要确定分类标准。

显然,应以3、4为标准将a分为14三种情况进行讨论。

loga2x<2logax

(a-1)x2

其中a>0且a≠1。

解:由于不等式中均含有参数a,其解的状况均取决于a>1还是a<1,所以应以1为标准进行分类。

(1)当0

x>2

时不等式组是否有解关键取决于a+1与2的大小关系,所以应以a+1=2,即a=3为标准进行第二次分类。

①当1

②当a>3时解集为(2,a+1)。

综上所述:当0

当1

当a>3时,解集为(2, a+1)。

三、分类讨论的方法和步骤

(1)确定是否需要分类讨论以及需要讨论时的对象和它的取值范围;

(2)确定分类标准,科学合理分类;

(3)逐类进行讨论,得出各类结果;

(4)归纳各类结论。

例3、等差数列{an}的公差d<0,Sn为前n项之和,若Sp=Sq(p,q∈N,p≠q),试用d、p、q表示Sn的最大值。

略解:由Sp=Sq,p≠q可求得n=-

an≥0

an+1≤0

大。

由an≥0得,n≤;由an+1≤0得,n≥

∴≤n≤;∵n∈N,

∴要以是否为正整数即p+q是奇数还是偶数为标准分两类讨论。

(1)当p+q为偶数时n=,Sn最大且为(Sn)max=-

(2)当p+q为奇数时,n=或n=,Sn最大,且为(Sn)max=

分类讨论的思想是一种重要的解题策略,对于培养学生思维的严密性、严谨性和灵活性以及提高学生分析问题和解决问题的能力无疑具有较大的帮助。然而并不是问题中一出现含参数问题就一定得分类讨论,如果能结合利用数形结合的思想、函数的思想等解题思想方法可避免或简化分类讨论,从而达到迅速、准确的解题效果。

例4、解关于x的不等式:3+2x-x2≥a-x。

略解:运用数形结合的思想解题,如图:

在同一坐标系内作出y=3+2x-x2和y=a-x的图像,以L1、L2、L3在y轴上的截距作为分类标准,知:当a≤-1时,-1≤x≤3;

当-1

当3

等腰三角形与分类讨论篇7

一、三角形的形状不明确或图形不明确时需要分类讨论

三角形可以分为锐角三角形,直角三角形和钝角三角形,如果题目中没有明确指出是何种三角形是需要分情况说明。

例1,等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,腰长为a,则其底边上的高为()。分析:此题中等腰三角形是何种三角形?未明确。不同类型的三角形一腰上的高与腰的关系不同,因此需要进行分类讨论。

解:显然,此三角形不可能为直角三角形。有两种可能:

1,此三角形为锐角三角形。如图,△ABC中,AB=AC=a,CD⊥AB,∠ACD=30°

∵∠ACD=30°,CD⊥AB

∴,∠A=60°

∴ABC为等边三角形,∴高

2,此三角形为钝角三角形。如图,⊿ABC中CD⊥AB,∠ACD=30°。

作AE⊥BC,垂足为E。

综合1,2.此三角形底边上的高是或。

在有的问题中,虽然在题目中给出有关条件,但没有明确的给出有关图形,导致了多中可能,仍需要分类讨论。

例2,已知等腰三角形中,腰上的中线把三角形的周长分为,两部分。则此三角形的腰长为______。

分析:画出图形,如图在⊿ABC中,D为AC为中点,△ABC的周长被BD分为AB+AD,BC+CD两部分。

但哪一部分是24cm,哪一部分是18cm没有确定,因此需要分类讨论。

解:设AD=CD=xcm,BC=ycm,有两种可能:

1,AB+AD=24cm,BC+CD=18cm.由题意2x+x=24,x+y=18.解之得:x=8,y=8.此时腰长为16cm,底边长为10cm,△ABC存在。

2,BC+CD=18cm,AB+AD=24cm由题意2x+x=18cm,x+y=24cm.解之得:x=6cm,y=18cm,此时腰长12cm,底边长18cm,△ABC存在综合1,2.此三角形腰长为16cm或12cm.

学生在解决此类问题时,常常由于不能熟练掌握分类讨论的方法,往往忽略两种情况中的一种,导致问题漏解。

当顶角,底角不明确时,需分类讨论。

例3.等腰三角形ABC中∠A=50,则另外两角分别为()

分析:A有两种可能,顶角或底角。如果不明确,需分类讨论。

解:1,∠A为顶角,则另外两角分别为65°,65°.

2,∠A为底角,则另外两角分别为50°,80°.

综合1,2.另外两角分别为65°,65°或50°,80°.

类似练习:等腰三角形ABC中,∠A=100°.则另外两角分别为()

二、当腰与底不明确时,需分类讨论

在此类问题中,腰与底没有明确指出,需分类讨论。有两种分类方法:1,按底边分;2,按腰分。这两种分类方法在实质上是一致的,一般的按底分类比较清晰,易于理解。

例4.等腰三角形ABC中,有两边长分别为6cm,8cm,则此三角形的周长为()。解:有两种可能:1,底为6cm,则腰为8cm,此时三角形三边长分别为8cm,8cm,6cm.

周长为22cm.

2,底为8cm,则腰为6cm,此时三角形三边长分别为6cm,6cm,8cm,周长为20cm.

综合1,2.三角形周长为20cm或22cm.

三、利用顶角的不同进行分类讨论。

利用腰与底的分类可以解决大多数与边有关的等腰三角形分类讨论问题,但在解决一些问题时会显得麻烦或易混淆,甚至会出现遗漏。三角形有三个角,每一个角都有可能是顶角,此时如果利用顶角不同的情况进行分类讨论,则问题会变得简单。

1. 已知两点,寻找第三点。

此类问题,往往给出等腰三角形的两点,要求找出符合条件的第三点,大多数出现在网格中或平面直角坐标系中。

例5,如图,已知直线y=x-2与双曲线y=k/x(x>0)交点为A(3,m).

(1)求m,k的值

(2)连接OA,在x轴上是否存在点Q,使AOQ是等腰三角形,若存在,请写出所有符合条件的点Q的坐标,若不存在,请说明理由。分析:如果凭感觉寻找,能找到一些点,但容易出现遗漏。如果理由顶角的不同情况进行分类,则不易遗漏。有三种可能:1,以∠QOA为顶角,2,∠以QAO为顶角,3,以∠AQO为顶角。解:1(略解)m=1,k=3

2. 分三种情况:

1.以∠AOQ为顶角,则OQ=OA。或

2.以∠QAO为顶角,

3. 以∠AQO为顶角,则QA=QO,Q在AO的中垂线上。

作CQ垂直平分AO,垂足为C,交x轴于点Q。易证△OCQ∽△OBA

综合1,2,3,Q点坐标为或或或(5/3,0)。

2.与动点问题向结合

动点问题是近年来中考命题的热点,对学生而言也是难点,它考查学生分析问题的能力,也考查学生运算的能力。当它与等腰三角形问题结合在一起的时候,往往令考生感到畏惧。在2008,2009年中考很多地区竟然不约而同的出现,更多的出现在压轴题中,此类问题牵涉的量较多,如果能做好有关等腰三角形的分类讨论,则问题会变得很清晰。例6.(江苏2009中考数学压轴题)如图,已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D(3,0)和点E(0,4).动点C从点M(5,0)出发,以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动,与此同时,动点P从点D出发,也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动.设运动时间为t秒.

(1)请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标;

(2)以点C为圆心、个单位长度为半径的⊙C与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),连接PA、PB.

①当⊙C与射线DE有公共点时,求t的取值范围;

②当△PAB为等腰三角形时,求t的值.

分析:最后一个问题与等腰三角形有关,牵涉到三条线段:PA,AB,PB。有三种不同的可能,需要分类讨论。我们先用t表示出各线段或各线段的平方:

利用顶角分类讨论即可。

解:(1)C(5-t,0),.

(2)①,略解

当⊙C与射线DE有公共点时,t的取值范围为.

②分三种情况,当PAB为顶角时,PA=AB,过P作PQ⊥x轴,垂足为Q,有

当APB为顶角时,有PA=PB,有PC⊥AB,

圆中的分类讨论思想篇8

在《圆》这一章中, 首先是在同弧或等弧所对的圆周角和圆心角的关系定理的证明中, 引入和运用了分类讨论思想, 从而在这一章的各处都有所运用, 以此来训练学生的思维习惯.在教学中, 我把圆中分类讨论思想的一些运用加以总结, 希望能和大家分享.

例1已知一点P到圆上的最大距离是8cm, 最小距离是2cm, 那么这个圆的直径是__________cm.

分析:此题应分两种情况考虑:点P在圆内和点P在圆外.

解:当点P在圆内时直径是10cm, 当点P在圆外时直径是6cm.

综上所述, 应填10或6.

例2如图, ⊙O的弦AB把圆周成1:3两部分, 那么弦AB所对的圆周角为______.

分析:此题中, 圆周角的顶点可能在优弧上, 也可能在劣弧上.

解:因为弦AB把圆周分成1:3两部分, 所以∠AOB=120°.当圆周角的顶点在优弧AB上时这个圆周角是60°;当圆周角的顶点在劣弧AB上时, 这个圆周角是120°, 所以填60°或120°.

例3如图, 已知⊙P的半径为2, 圆心P在抛物线y=21x2-1上运动, 当⊙P与x轴相切时, 圆心P的坐标为_____.

分析:⊙P与x轴相切时, 圆心P到x轴的距离是2, 分为⊙P在x轴上方和⊙P在x轴下方两种情况.

解:当⊙P在x轴上方时, 点P的纵坐标是2, 故有, 解得;当⊙P在x轴下方时, 点P的纵坐标是-2, 故有, 解得x无实数根.

所以, 点P的坐标为

例谈分类讨论的常见依据篇9

近几年来, 随着数学高考改革的不断深入, 数学考题已具格式化, 但对数学思想与方法的考查更趋明显.其中分类讨论又称逻辑划分, 是中学数学中最常用的思想方法之一, 也是高考命题中常考常新的数学思想.分类讨论思想就是依据一定的标准, 对问题进行分类、求解, 然后综合出问题的答案.

要特别注意的是, 分类必须满足互斥、无漏、最简的原则, 用集合子集的观点来看分类, 应该是“交空并全”的完全分类.下面举例来说明分类讨论常见的依据.

1 由概念内涵引起的分类

如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角、函数是否可导等定义所包含的分类.

例1 设函数f (x) 在 (-∞, +∞) 上满足f (2-x) =f (2+x) , f (7-x) =f (7+x) 且在[0, 7]上只有f (1) =f (3) =0.

(Ⅰ) 试判断函数y=f (x) 的奇偶性;

(Ⅱ) 试求函数f (x) =0在[-2005, 2005]上根的个数, 并证明你的结论.

解析 (Ⅰ) 因为f (x) 在[0, 7]上只有f (1) =f (3) =0, 所以f (0) ≠0, 即f (x) 不是奇函数.

又f (2-x) =f (2+x) , f (x) 关于x=2对称.

所以f (-1) ≠0, 即f (-1) ≠f (1) , f (x) 不是偶函数.

(Ⅱ) f (x) =f (2- (2-x) ) =f (2+ (2-x) )

=f (4-x) =f (7- (3+x) ) =f (7+ (3+x) )

=f (x+10) ,

即函数f (x) 以10为周期.

由f (7-x) =f (7+x) 知函数f (x) 关于x=7对称, 又f (x) 在[0, 7]上只有f (1) =f (3) =0, 故f (x) 在[7, 10]上没有根, 即在[0, 10]仅有x=1和x=3两个根.

于是在[0, 2000]上f (x) 仅有400个根, 在[2000, 2005]上仅有2个根, 在[-2000, 0]内仅有400个根, 在[-2005, -2000]上没有根, 故在[-2005, 2005]上仅有802个根.

点评笔者认为抓住奇函数图像关于原点对称, 偶函数关于y轴对称, 周期函数按周期T函数值重复出现等特征进行适当的分类讨论, 将一个大区间分成几个典型的小区间是解决此类问题的关键.

2 由公式条件引起的分类

如等比数列的前n项和公式、极限的计算等所必要的分类.

$\begin{array}{l} 例 2 已知首项为 1 ‚ 公比为 3 \tan^{2} x (- \frac{π}{2} ＜ x ＜ \frac{π}{2} \\ 且 x \neq 0) \end{array}$

的等比数列的前n项和为Sn, 设 $Τ_{n} = \frac{S_{n}}{S_{n + 1}}$ , 求 $\lim_{n \to \infty} Τ_{n} .$

$\begin{array}{l} 解令 q = 3 \tan^{2} x ‚ \\ Τ_{n} = \frac{S_{n}}{S_{n + 1}} = {\begin{matrix} \frac{1 - q^{n}}{1 - q^{n + 1}} & (q \neq 1) ‚ \\ \frac{n}{n + 1} & (q = 1) . \end{matrix} \end{array}$

当q=1, 即3tan2x=1时, 得

$\begin{array}{l} x = \pm \frac{π}{6} ‚ \\ \lim_{n \to \infty} Τ_{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n + 1} = 1 ； \end{array}$

当|q|<1, 即3tan2x<1时, 得

$\begin{array}{l} - \frac{π}{6} ＜ x ＜ \frac{π}{6} 且 x \neq 0 ‚ \\ \lim_{n \to \infty} Τ_{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 - q^{n}}{1 - q^{n + 1}} = 1 ； \end{array}$

当|q|>1, 即3tan2x>1时, 得

$\begin{array}{l} - \frac{π}{2} ＜ x ＜ - \frac{π}{6} 或 \frac{π}{6} ＜ x ＜ \frac{π}{2} ‚ \\ \lim_{n \to \infty} Τ_{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 - q^{n}}{1 - q^{n + 1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{q^{n}} - 1}{\frac{1}{q^{n}} - q} = \frac{1}{q} = \frac{\cot^{2} x}{3} . \end{array}$

综上所述:

(ⅰ) 当 $x = \pm \frac{π}{6}$ 时, $\lim_{n \to \infty} Τ_{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n + 1} = 1$ ;

(ⅱ) 当 $- \frac{π}{6} ＜ x ＜ \frac{π}{6}$ 且x≠0时,

$\lim_{n \to \infty} Τ_{n} = l i \underset{n \to \infty}{m} \frac{1 - q^{n}}{1 - q^{n + 1}} = 1$ ;

(ⅲ) 当 $- \frac{π}{2} ＜ x ＜ - \frac{π}{6}$ 或 $\frac{π}{6} ＜ x ＜ \frac{π}{2}$ 时,

$\lim_{n \to \infty} Τ_{n} = \frac{1}{q} = \frac{\cot^{2} x}{3} .$

点评此题在解题过程中对q分类讨论, 要求学生在理解极限概念的基础上, 能够恰当的对q进行分类讨论.

3 由实际意义引起的分类

如排列、组合、概率中较常见, 但不明显, 有些应用问题也需分类讨论.

例3 一种赌博游戏:一个布袋内装有6个红球与6个白球, 除颜色不同外, 这12个球完全一样, 每次从袋中摸出6个球, 输赢规则为:6个全红赢得100元;5红1白赢得50元;4红2白赢得20元;3红3白输掉100元;2红4白赢得20元;1红5白赢得50元;6个全白赢得100元.只有你摸出了3红3白才会输掉100元, 而对于其它6种情况, 你均能赢得相应的钱数, 而且这个游戏是免费的 (注:这个游戏有时称为“袋子”模型) .

(Ⅰ) 请解释下面说法是否正确:用概率论的语言说, 这7种情况是等可能的, 赢的机会为 $\frac{6}{7}$ , 输的机会仅为 $\frac{1}{7}$ , 摸7次有6次都应该赢.

(Ⅱ) 很多人认为这种游戏非常令人心动.现在请求出游戏者赢钱的数学期望, 解释我们是否应该“心动”.

解 (Ⅰ) 这种游戏的妙处在于这7种情况的发生实际上不是等可能的, 原因如下:

5红1白的概率为 $Ρ = \frac{C_{6}^{5} C_{6}^{1}}{C_{12}^{6}} \approx 0.039$ ;

4红2白的概率为 $Ρ = \frac{C_{6}^{4} C_{6}^{2}}{C_{12}^{6}} \approx 0.244$ ;

3红3白的概率为 $Ρ = \frac{C_{6}^{3} C_{6}^{3}}{C_{12}^{6}} \approx 0.432 .$

输钱的可能性几乎为 $\frac{1}{2} ！ 7$ 种情况的概率见表1.

(Ⅱ) 为了进一步分析, 设随机变量η表示赢得的钱数, η的分布列如表2所示.

则赢钱的数学期望为

Eη=100×0.002+50×0.078

+20×0.488+ (-100) ×0.432

=-29.34 (元) .

由数学期望的实际意义知, 每摸一次就输29.34元, 所以我们不该对此游戏“心动”.

点评此题的分类比较明显, 既考查了学生的分类能力, 更重要的是通过分类计算科学、严谨地对一些实际问题做出判断, 不仅训练了数学思维, 养成一种学业态度, 更可以用数学知识解决实际问题.

4 由图形的不确定引起的分类讨论

例4 方程 $\frac{x^{2}}{k - 5} - \frac{y^{2}}{2 (9 - k)} = 1$ 表示的曲线是___.

解需要对k分类讨论:

(ⅰ) 当k-5>0且9-k>0, 即5<k<9时, 方程表示双曲线;

(ⅱ) 当k-5>0且9-k<0, 即k>9时, 方程表示椭圆;

(ⅲ) 当k-5=-2 (9-k) , 即k=13时, 方程表示圆.

此题因为k的不同取值, 表示不同的曲线, 在学生初学二次曲线时可帮助学生准确到位的理解概念.

例5 (1999年全国高考题) 如图1, 给出定点A (a, 0) (a>0, a≠1) 和直线l:x=-1, B是直线l上的动点, ∠BOA的角平分线交AB于点C, 求点C的轨迹方程, 并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.

解记B (-1, b) (b∈R) , 则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=-bx.设点C (x, y) , 则有0≤x<a, 由OC平分∠BOA, 可知C到OA, OB距离相等.依点到直线的距离公式得

$| y | = \frac{| y + b x |}{\sqrt{1 + b^{2}}} . (1)$

又点C在直线AB上, 故有

$y = - \frac{b}{1 + a} (x - a) .$

由x-a≠0, 得

$b = - \frac{(1 + a) y}{x - a} . (2)$

将 (2) 式代入 (1) 式得

$y^{2} [1 + \frac{(1 + a)^{2} y^{2}}{(x - a)^{2}}] = [y - \frac{(1 + a) x y}{x - a}]^{2}$ ,

整理得

y2[ (1-a) x2-2ax+ (1+a) y2]=0.

若y≠0, 则

(1-a) x2-2ax+ (1+a) y2=0 (0<x<a) ;

若y=0, 则b=0, ∠AOB=π, 点C的坐标为 (0, 0) , 满足上式.

综上所述, 点C的轨迹方程为

(1-a) x2-2ax+ (1+a) y2=0 (0≤x<a) .

(ⅰ) 当a=1时, 轨迹方程为

y2=x (0≤x<1) ,

表示一段抛物线弧段.

(ⅱ) 当a≠1时, 轨迹方程化为

$\frac{(x - \frac{a}{1 - a})^{2}}{(\frac{a}{1 - a})^{2}} + \frac{y^{2}}{\frac{a^{2}}{1 - a^{2}}} = 1 (0 \leq x ＜ a) . (3)$

当0<a<1时, 方程 (3) 表示椭圆弧段;

当a>1时, 方程 (3) 表示双曲线一支的弧段.

5 由参数的变化引起的分类讨论

例6 设函数f (x) = (x+1) ln (x+1) , 若对于所有的x≥0, 都有f (x) ≥ax成立.求实数a的取值范围.

分析f (x) ≥ax对x≥0成立.即f (x) -ax在x≥0时, 其最小值大于或等于零.于是设法判断函数g (x) =f (x) -ax的单调性.

解令g (x) = (x+1) ln (x+1) -ax, 则

g′ (x) =ln (x+1) +1-a.

令g′ (x) =0, 得x=ea-1-1.

(ⅰ) 当a≤1时, 对于所有x>0, g′ (x) >0, g (x) 在 (0, +∞) 上是增函数.又g (0) =0, 所以对x≥0, 有g (x) ≥g (0) .即当a≤1时, 对的有x≥0, 都有f (x) ≥ax.

(ⅱ) 当a>1时, 对于0<x<ea-1-1, g′ (x) <0, g (x) 在 (0, ea-1-1) 为减函数.又g (0) =0, 所以对0<x<ea-1-1, 有g (x) <g (0) , f (x) <ax.

所以当a>1时不是对所有的x≥0, 都有f (x) ≥ax成立.

综上可知, 实数a的取值范围为 (-∞, 1].

评注本题对a分类时利用了g (x) 的增减性且当x≥0时, 有ln (x+1) ≥0.故只需1-a≥0, 从而将a分为a≤1或a>1, 进而使问题获解.

分类讨论思想是根据数学对象的本质属性的相同点和差异点, 将数学对象分为不同的种类, 然后对划分的每一类分别进行分析求解.若分类合理就可使原本变化不定的问题条理化、系统化、明朗化, 其过程可概括为“化整为零, 各个击破, 再集零为整.”

应用分类讨论思想要注意3点:

1) 分类时“即不重复又不遗漏”每个被研究的对象;

2) 每次分类必须按同一标准进行, 连续多级分类, 要按层次逐级分类进行;

3) 解题时, 有意识地提高训练推理的严密性和基础知识技能的扎实性, 因为它是进行合理有效的分类的前提, 只有对基础知识有透彻的理解, 才能在解题时是否需要分类讨论做到心中有数, 使解题过程具有完整性.

运用分类讨论思想解综合题篇10

在初中数学中, 常见的运用分类讨论思想解答的问题主要有以下四种。

一、有些数学概念是分类给出的,有些定理、公式或法则是受某些条件制约的,当题中涉及这些定理、公式或法则时,就有可能要对它们进行分类讨论.

比如,绝对值的概念是分类给出的:

当遇到—a—要去掉绝对值符号时,就要分a>0、a=0、a<0三种情况讨论.又如不等式的性质,不等式两边同乘以一个正数时不等号不改变方向,同乘以一个负数时不等号改变方向,所以当不等式两边同乘以一个数时,就要分正数、负数两种情况分类讨论.

二、有些数学问题的数学表达式,它的已知量不是以确定的常数给出的,而是以字母表示数的形式给出的(如方程、不等式、函数解析式中系数是以字母形式给出的),由于字母的取值不同而得到的结果不同就需要分类讨论.

例如:一元二次方程二次项系数中含有字母,那么字母取值的变化会影响到方程的类型,也会影响到方程的解,因此需要分类讨论.

例如:m为什么实数时,方程有实数根.

因为本题中x2项系数含有字母, 这样的方程不一定是一元二次方程,有可能是一元一次方程或其他方程,所以应对x2项的系数进行分类讨论.

解:(1)若m2-1=0,即m=±1.

当m=1时,原方程为一元一次方程4x+1=0,方程的实根为x=-1/4.

当m=-1时,原方程无解.

(2)若m2-1≠0,原方程为一元二次方程,当△≥0时,方程有实根既4(m+1)2-4(m2-1)≥0,解得m≥-1,因为m≠±1,所以m>-1且m≠1时,一元二次方程(m2-1)x2+2(m+1)x+1=0有两个实数根.

三、有些数学问题(特别是几何问题),依条件画出的图形的位置或形状不能确定,就要运用分类讨论的思想进行解答.

例如:已知抛物线与x轴交于两点A,B于y轴交于C点,若△ABC是等腰三角形,求抛物线的解析式.

由于本题并未指出等腰△ABC中哪个点为顶点, 因此有三种可能需要分类讨论.

四、有些数学问题的条件或结论不唯一确定,它们有几种可能,这时也需要进行分类讨论.

例如:已知二次函数y=-x2+(m-2)x+3(m+1)的图像与x轴交于A,B两点(A在B的左边),于y轴交于C点,线段AO于BO的乘积等于6.O为坐标原点,求m的值,并写出函数解析式和C点坐标.

分析:二次函数图像与X轴交点的横坐标,即是函数值y=0时所对应的x的值.在这个题目中,可看成-x2+(m-2)x+3(m+1)=0时相对应的x的值 ,已知条件中只明确了图像与x轴交于A,B两点,(A在B的左边)但未明确在y轴的哪侧,实际上可以在y轴的同侧,也可以在y轴的两侧,而在y轴的同侧时,A,B两点的横坐标符号相同, 在y轴两侧时,A,B两点的横坐标的符号不同,这两种不同的情况, 反应在表示AO与BO长的乘积等于6时的两种情况, 因此解决这个综合性问题很重要的一点是分两种情况思考这一问题.

解:设A,B两点的横坐标为xa,xb

(1)当A,B两点在y轴的同侧时

由题意可知,A,B两点是y=-x2+(m-2)x+3(m+1)的图像与x轴的交点 ,则xa·xb=-3(m+1)

即-3(m+1)=6

m+1=-2

m=-3

所以二次函数的解析式为y=-x2-5x-6.

当x=0时y=-6,即C(0,-6).

(2)当A,B两点在y轴的两侧时

xa·xb=-6

根据题意得:

-3(m+1)=-6

解得m=1.

二次函数的解析式为y=-x2-x+6

当x=0时,y=6,

得C(6,0).

从以上几个例子可以看出分类讨论思想的重要性, 分类讨论不仅能提高学生分析问题解决问题的能力, 优化学生思维品质,而且能培养学生解决问题的条理性,挖掘问题隐含的条件及思考问题的全面性.

分类讨论，轻松搞定漏解篇11

例1 一组数据为-1，0，2，3，x.若这组数据的极差是5，则这组数据的平均数是______.

分析：冈为这组数据的极差是5，且x是未知数，所以可按x取最大值或最小值进行分类讨沦.

解：（1）当x为最大值时，x-（-1）=5，所以x=4.所以平均数是（-1+0+2+3+4）÷5=1.6.

（2）当x为最小值时，3-x=5，所以x=-2.所以平均数是（-1+0+2+3-2）÷5=0.4.

综上，这组数据的平均数是1.6或0.4.

例2 已知一组数据2，3，6，8，x的众数是x，其中x是不等式组的一个整数解，则这组数据的中位数是______.

分析：首先要求出不等式组的整数解，冉根据众数进行讨论，

解：易知不等式组的解集为2

∴不等式组的整数解为3，4，5，6.

因数据2，3，6，8，x的众数是x，故x=3或x=6.

（1）当x=3时，按从小到大排序后该组数据为2，3，3，6，8，则中位数为3：

（2）当x=6时，按从小到大排序后该组数据为2，3，6，6，8，则中位数为6.

综上，中位数为3或6.

例3 已知一组数据10，10，x，8的中位数与平均数相等，则这组数据的中位数为______.

分析：这组数据的中位数是数据按大小排序后最中间的两个数的平均数，但因x的大小不确定，所以进行分类讨论方能万无一失.

解：（1）当x≤8时，原数据从小到大排列为x，8，10，10，则中位数是

根据题意，得

解得x=8.此时中位数是9.

（2）当8

根据题意，得

解得x=8.不符合题设，舍去.

（3）当x≥10时，原数据从小到大排列为8，10，10，x，则中位数是

根据题意，得

解得x=12.此时中位数是10.

综上，这组数据的中位数为9或10.

例4 张老师对同学们的打字能力进行测试.他将全班同学分成了五组，经统计，这五个小组平均每分钟打字的个数如下：100，80，x，90，90.若这组数据的众数与平均数相等，则这组数据的中位数是______.

解：显然，众数只能是80，90，100中的一个.

（l）当众数是90时，

解得x=90.

∴这组数据为80，90，90，90，100.

∴这组数据的中位数为90.

（2）当众数是80时，

解得x=40.

但这时这组数据的众数并不是80，故此种情况不存在.

（3）当众数是100时，

解得x=140.

这时这组数据的众数也不是100，故此种情况不存在，

综上，应填90.

例5 一组数据为1，2，3，x.若x为整数，且求这组数据的方差.

分析：因为x是未知数，所以要进行分类讨论.

解：因为整数，故x=2或x=3.

（1）当x=2时，数据为1，2，2，3.计算可得

（2）当x=3时，数据为1，2，3，3.计算可得

综上，这组数据的方差是

牛刀小试：

1.在一次数学竞赛中，10名学生的成绩（单位：分）为75，80，80，70，85，95，70，65，70，80.则这次竞赛成绩的众数是______.

2.某中学举行歌咏比赛，以班为单位参赛，评委组的各位评委给九（3）班的演唱的打分情况如下表所示.从中去掉一个最高分和一个最低分，则余下的分数的平均分是（）.

A.92分 B.93分 C.94分 D.95分

3.如果一组数据1，-3，0，x，2的极差是5，那么x=________.

参考答案：

分类讨论的几点思考篇12

分类讨论就是当问题所给的对象不能进行统一研究时, 需要根据问题的条件和结论所涉及到的概念、定理、公式、性质以及运算的需要, 图形的位置等进行科学合理的分类, 然后对每一类分别研究, 得出每一类的结论, 最后结合各类的结果, 得到整个问题的解答。由此可见, 分类讨论思想本质上是一种“逻辑划分思想”, 即把所要研究的数学对象划分成若干不同的情形, 然后再分类进行研究和求解的一种数学思想。同时它也是一种重要的化难为易, 化繁为简的解题策略和方法, 体现了先“化整为零”, 进而“各个击破”, 然后“积零为整”的思想。所以有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性, 能训练人思维的条理性和概括性, 在高考试题中占有重要的位置, 也是近几年来高考重点考查的热点问题之一在复习备考中要注重理解和掌握分类的原则, 方法, 技巧, 简化讨论的策略。

1.1 引起分类讨论的主要原因

由数学概念而引起的分类讨论:如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角、定比分点公式、两条异面直线所成的角等。

由数学运算要求而引起的分类讨论:如除法运算中除数不为零, 偶次方根为非负数, 对数运算中真数与底数的要求, 指数运算中底数的要求, 不等式中两边同乘以一个正数、负数, 三角函数的定义域, 异面直线上两点间的距离公式等;由函数的性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论;由图形的不确定性而引起的分类讨论;由参数的变化而引起的分类讨论:如某些含有参数的问题, 由于参数的取值不同会导致所得的结果不同, 或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等;其他根据实际问题具体分析而引起的分类讨论。

1.2 解分类讨论问题的方法步骤

明确分类讨论的对象, 确定对象的全体;确定分类标准, 正确进行合理的分类 (分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级) ;逐类进行讨论:即对各类问题详细讨论, 逐步解决;归纳小结, 总结出结论。

1.3 分类原则

施行分类的集合的全域必须是确定的;每一次分类的标准必须是统一的;分类必须是完整的, 不出现遗漏;各子集域必须是互斥的, 不出现重复;如需多项分类, 必须逐级进行, 不得越级。

1.4 分类讨论的类型

问题中含有需讨论的变量或参数时, 要进行分类讨论;问题中的条件是分类给出的, 要进行分类讨论;解题过程不能统一叙述的, 必须进行分类讨论;有关几何问题中, 几何元素的形状、位置的变化, 需要分类讨论。

1.5 简化分类讨论的策略

正难则反;独立参数;变更主元;数形结合等。

2 分类讨论类型的分述

2.1 对变量或参数的分类讨论

题设中含有变量或参数, 这些变量或参数取不同值会导致不同解法或结果

【例1】已知椭圆C的中心为直角坐标系x Oy的原点, 焦点在s轴上, 它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.

(Ⅰ) 求椭圆C的方程;

(Ⅱ) 若P为椭圆C上的动点, M为过P且垂直于x轴的直线上的点, 求点M的轨迹方程, 并说明轨迹是什么曲线。

所以点M的轨迹方程为轨迹是两条平行于x轴的线段。

当时, 点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足的部分。

当时, 点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足的部分;

当时, 点M的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆;

点评:对分类复杂的参数讨论题, 必须科学的选定分类标准, 使分类有条不紊, 解答自然流畅.本题在求出轨迹方程之后, 在判定为何曲线时, 因参数引起了分类讨论:一些问题中的数学表达式中因含有会导致不同结论的参数, 从而需对参数分情况讨论, 求得问题的结果。关于圆锥曲线各种形状的讨论题, 主要抓住方程的特征进行分类。

2.2 对题设给出的条件的分类讨论

题设中所给出的条件或者运用的定理性质、公式等, 若是分类给出的则要对问题进行分类讨论

【例2】已知a>0, 且a≠1函数f (x) =loga (1-ax) 。

(I) 求函数f (x) 的定义域, 并判断f (x) 的单调性;

(III) a=e (e为自然对数的底) 时, 设h (x) = (1-ef (x) ) (x2-m+1) , 若函数h (x) 的极值存在, 求实数m的取值范围以及函数h (x) 的极值。

解: (Ⅰ) 由题意知1-ax>0

当0<a<1时, x∈ (0, +∞) 因为ax-1<0, ax>0, 故f' (x) <0, 所以 (fx) 是减函数

当a>1时, x∈ (0, +∞) 因为ax-1<0, ax>0, 故f' (x) >0, 所以 (fx) 是增函数。

(Ⅱ) 因为f (n) =loga (1-an) 所以af (n) =1-an

由函数定义域知1-an>0, 因为n是正整数, 故0<a<1。

令h' (x) =0, 即x2-m+1=0, 由题意应有△叟0, m叟0当m=0时h' (x) =0有实根x=-1, 在x=-1点左右两侧均有h' (x) >0故无极值

当x变化时, h' (x) 、h (x) 的变化情况如下表所示:

综上所述, m∈ (0, +∞) 时, 函数h (x) 有极值;

点评:需0<a<1对1<a及变量参数取不同值分类讨论求解;

2.3 解题过程中的分类讨论

解题过程发生分支或无法统一运算时, 需对解题过程进行分类讨论

【例3】设等比数列{an}的公比为q, 前n项和Sn>0 (n=1, 2, …) .

(1) 求q的取值范围;

(2) 设记{bn}的前n项和为Tn, 试比较Sn与Tn的大小。

【解析】 (1) 因为{an}是等比数列, Sn>0, 可得a1=S1>0, q≠0,

当q=1时, Sn=na1>0;

解 (1) 式得q>1;解 (2) 式, 由于n可为奇数、可为偶数;故-1<q<1.

综上, q的取值范围是 (-1, 0) ∪ (0, +∞) .

又因为Sn>0, 且-1<q<0或q>0, 所以

点评:本题的两问都需要进行分类讨论求解, 其分类的对象主要是等比数列的公比.数列是高考必考内容之一, 数列中有两种分类讨论问题是常见的, 但又很容易被学生忽视而做错。 (1) 对公比q的分类讨论:等比数列前几项和公式是分类给出的, 所以在解这类问题时, 如果q是可以变化的量, 就要以q为标准进行分类讨论。 (2) 对项数n的分类讨论:已知数列的前n项和求数列的通项时, 对n=1与n≥2要分别予以研究;

点评:在几何中同样一个题设条件下, 研究对象可能会有多种不同的位置关系, 如四面体ABCD中, AB=CD=2与CD所成的角为60°, E, F分别AB, CD是中点, 则EF的长度为2姨3或1, 需分两种情况;特别是多元素位置研究时应从最基本位置研究起, 进行分类讨论, 若涉及多点与多面位置关系时, 常以同侧, 异侧来分类, 而涉及多条直线时常以共面, 异面来分类.在备考过程中, 要认真分析研究几何元素的各种位置关系, 形成自己的思维模式。

3 小结

分类讨论是每年高考必考的内容, 其求解的思路直接依赖于分类讨论思想, 无论是理解数学概念, 学习数学公式、定理.还是利用数学方法解数学题, 都必须掌握好分类讨论的思想方法, 同时要有优化分类讨论的意识, 可通过正难则、反等价转化、独立参数、变更主元、合理运算、数形结合等途径来简化讨论, 复习备考中针对分类讨论数学思想让考生做有意的训练, 提高其思维的条理性和概括性, 提高分析问题和解决问题的能力

摘要：根据条件和结论进行科学合理的分类, 复习备考中针对此数学思想根据不同类型注意理解和掌握。

关键词：分类讨论,数学思想,高考,变量或参数

参考文献

[1]《三维设计·高考总复习》光明日报出版社

[2]《新高考5年真题汇编 (理科数学) 》新疆青少年出版社

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