相似三角形的分类讨论

相似三角形的分类讨论（共15篇）

相似三角形的分类讨论 篇1

相似三角形的分类讨论（教学案）

一、教学目标：

1． 2． 3． 进一步理解三角形相似的判定方法 初步领悟分类讨论的数学思想 培养学生的合作意识、探究意识。

二、教学重难点：领悟分类讨论的数学思想

三、教学过程：

（一）复习

相似三角形的判定方法有哪些？ 你能画出几种常见的相似三角形吗？

（二）新授

A 由于对应边不确定，需要分类讨论。

例1 已知△ABC的三边长分别是4、6、8，△DEF的一条边为24，要使△DEF与△ABC相似，则另两边的长分别是

B 由于对应角不确定，需要分类讨论。

例2 均有一个角为84°的两个等腰三角形一定相似吗？

均有一个角为104°的两个等腰三角形一定相似吗？

C 三角形的形状不确定，需要分类讨论。

例3 在△ABC中∠B=25°，AD是BC边上的高，并且AD=BD×DC,则∠BCA=

2D 由于位置的不确定，需要分类讨论。

例4 在直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为

时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似。

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例5 已知：如图，P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB=3，BF⊥BP，垂足为B，请在射线BF上找一点M，使以B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似。AD

P

B C

F 例6 已知BD是矩形ABCD的对角线，AB=30cm，BC=40cm，点P、Q同时从A点出发，分别以2cm/s，4cm/ s的速度由A→B→C→D→A的方向在矩形边上运动，在点Q回到点A的整个运动过程中：① PQ能否与BD平行？② PQ能否与BD垂直？请分别作出判断。如果存在，请分别求出时间t,如果不存在，请说明理由。

E 计数中进行分类讨论。

ADPBQC例7 如图，在有边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC，在网格上画出与△ABC相似的三角形（全等的只需画一个，与△ABC全等的不再画），使它的3个顶点都落在小正方形的顶点上。这样的三角形能画几个，最短的边长分别是多少？

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（三）课堂小结：

分类讨论、有序思考的回顾。

（四）、课后作业：已知Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分成两部分，问点C在什么位置时，分割得到的三角形与△OAB相似？画出所有符合要求的线段，写出点C的坐标。

相似三角形的分类讨论 篇2

例1已知△ABC为等腰三角形, 由A点所引BC边的高线恰好等于BC边长的一半, 则∠BAC的度数为_____。

分析:对此题不少同学往往只填90°一个答案, 事实上, 该题没有指明△ABC哪那两边为腰, 故有三种可能;

(1) AB=AC (2) BA=BC (3) CA=CB解:有三种情况: (1) 当AB=AC时 (如图1) , 由于AD=12BC, 则∠ABC=∠BAD=45°可得∠BAC=90°。

(2) 当BA=BC时 (如图2) , 由于

由AD⊥BC可得∠B=30°∴∠BAC=1/2 (180°-30°) =75°

(3) 当CA=CB时 (如图3) , 过A作AD⊥BC交BC的延长线于D, ∵AD=1/2BC=1/2AC∴∠ACD=30°故∠BAC=1/2∠ACD=15°

综上所述, ∠BAC的度数为90°或75°或15°。

例2为美化环境, 计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一块长为10米的等腰三角形绿地, 请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。

分析:此题给出了面积和一边长, 但未指明边长中底还是腰, 也没限定其形状, 故需分类讨论。

解:假设AB=10米, 过点C作CD⊥AB, 垂足为D。

浅析三角形教学中的分类讨论思想 篇3

关键词：初中数学；三角形；分类讨论思想

一、问题提出

分类讨论思想的基本要求首先是不重复、不遗漏，分类讨论思想可以培养学生思维的连贯性和有序性，培养学生完整细致地分析问题的习惯和探索问题的能力，提高学生严谨的思维。通过研究发现，学生碰到这类问题常常不知道如何切入，更不知道要分类讨论解答，还有一类学生清楚分类讨论，但是分类不完整，其次分类完整的学生在计算的过程中也会出现一些小问题，而能完整解答的微乎其微。因此，教师教学中对这种解题思路方法的渗透显得尤为重要，学生要从平时的教学中积累和提炼、总结归纳。最后达到运用非常熟练，这将是一个漫长的吸收内化的过程。几何中的三角形中涉及分类讨论思想的题型有等腰三角形、直角三角形、相似三角形等；等腰三角形经常按顶角和低角分类、按底边或腰进行分类。直角三角形一般情况是按直角顶点分类。相似三角形中，当出现“△ABC与△DEF相似”或“以点A、B、C为顶点的三角形相似于△DEF ”时，由于点的对应关系不确定，通过分类讨论才能更清晰、更完整地解答。

二、核心概念

所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。分类思想可不像一般的数学知识那样，通过几节课的教学就可让学生掌握应用。而是要根据学生的年龄特征，学生在学习各阶段的认知水平，逐步渗透，螺旋上升，不断地丰富自身的内涵，从而达到利用数学分类讨论方法来解决问题的目的。分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性，对培养初中生全面、周密地分析问题和解决问题的能力起到了十分关键的作用。在初中数学教学中我们要时刻渗透分类思想，引导学生多利用分类讨论方法解决问题。

三、分类讨论思想解题的思维过程分析

在运用分类的思想进行解题时，其思维过程通常可以分为：（1）要明确是否需要分类讨论；（2）确定分类的对象；（3）确定分类的标准；（4）逐类逐级分类讨论；（5）综合、归纳结论。运用分类的思想解题首先需要明确分类讨论的原因，即哪些问题常常需要用到分类的思想来解决。大多数的学生在面对一个数学问题时，不易判断此问题是否需要用到分类的方法来解决该问题，即无法根据问题的条件和结论迅速辨认问题中与分类有关的数量关系或位置关系。因此，从所给的问题情境中，正确而迅速地辨认题目中与分类有关的数量关系或位置关系的，是解决问题的基础，一般的说，当我们研究的问题是下列几种的情形时，可以考虑使用分类的思想方法来解决问题。

在初中数学教学的过程中逐步恰当地渗透数学思想方法，培养学生的思维能力，让学生形成良好的数学思维习惯，既是符合新课程的标准，又是进行数学素质教育的一个极好的切入点。数学中的分类讨论思想不但是一种重要的数学思想，而且是一种重要的数学逻辑方法，分类思想不但在数学知识的探究和概念学习中十分重要，而且在解决数学问题过程中起着不可替代的作用。数学中的分类讨论思想，是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类进行研究，从而解决问题的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想，更是一种重要的数学逻辑方法。

四、实例分析

【分析】分CP=CO，PC=PO和OC=OP三种情况分别讨论即可。在每种情况下分别画出对应的图形，利用三角形相似的原理加以解决，本题对学生的能力要求较高，有的学生望而却步，有的学生可能只想到了其中的一种或两种情况。考虑到题目考查了分类讨论的思想，这样的学生已经是非常了不起了，接下来就要通过一些方法加以解决，笔者认为这道题只是常州中考题中涉及分类讨论思想的其中一例，还有很多就不一一列举。在今后的教学中还要加以提炼和总结，对不同层次的学生在渗透分类讨论思想的教学过程中还需要因人而异，不仅是分类讨论思想是这样，其他初中数学中涉及的思想方法应该加以研究落实。

参考文献：

[1]党中.分类讨论的几点思考[J].中国新技术新产品，2010（15）.

《相似三角形的判定》教学反思 篇4

马晓戎

最近，我们九年级学完了《相似三角形的判定》的内容，相似三角形是初中数学学习的重点内容，对学生的能力培养与训练，有着重要的地位，而“相似三角形判定定理”又是相似三角形这章内容的重点与难点所在。在本章教学中，主要教学目标是让学生在亲自操作、探究的过程中，获得三角形相似的判定方法；培养学生提出问题、解决问题的能力。

2013年12月10日，我在九年级二班刚好就上了《相似三角形的判定》第一课时的内容。在本节课的教学中，我是通过平行线分线段成比例定理引入教学的，先让学生画三条平行线，再画两条相交直线与其相交，从而得出得出了一些线段，并再让学生自己操作：量一量、算一算、比一比，从图形中判断，得出那些结论。整个教学过程进展较为顺利，基本完成了教学任务。

在本节课的教学中，我认为以下这几个方面做得较好：

1、教学引入照顾到了到多数的同学，培养了学生的动手测量和计算能力。利用三角板画平行线、相交线，通过测量对比，学生基本能全员参与，调动了学生学习的兴趣和积极性。学生更易于从图形当中得到结论，这样引入能很好的使学生体验到生活中的数学知识。通过后来练习及作业反馈、九年级四班的同学也比较容易得出了平行线分线段成比例定理这个结论，说明这种引入的方法是成功的。

2、对教学内容进行了合理整合。把相似三角形的判定方法放到下一节课学习，使学生对相似三角形的识别方法有个整体的认识，然后再利用第二、三节课巩固深入，杜绝传统的“学生在一节课内学完一个知识点就做相应的练习，模仿套用知识而不需选择，当学完全部相似知识点进行综合练习时，容易产生混淆”的现象。本节课只学习了平行线分线段成比例定理的内容，以及由此演变而形成的“A字型”图和“X型图”从一开始就摆脱学生的依赖心理，把问题抛给学生，有效的锻炼了学生的思维，同时还利用全等三角形的识别类比相似三角形的识别，学生容易理解。

3、注意到了推理的逻辑性和严密性。教学中在结论的推导得出过程中，注意了数学符号语言的应用和书写，保证了证明的规范性和作图的合理性。这一点主要表现在“A字型”图的证明上，学生通过几分钟的短暂讨论，书写得出这个定理。在学生亲自操作、探究的过程中，获得三角形相似的第一个简单的识别方法；培养学生提出问题、解决问题的能力；从整堂课学生的表现看到，这节课基本上实现了以上目标。

本节课尽管在以上几个方面做得较为成功，但仍然有些地方值得商榷。课后，经过教研组同志的集体评课以及自我反思，认为需要从以下几个方面改进：

1、在平行线分线段成比例定理的得出过程中，更应当注意图形的一般情况，不应当以点带面。表现在如果两线相交构成的是直角梯形这种情况，而在课堂教学中，由于时间关系、学生关系，在上课作图未涉及到这种情况，这一点需要改进。

2、在证明“A字型”图的结论过程中，没有必要证明DE是三角形中位线这种情况，因为它的证明方法和后面的都相同。如果这样做的话，会浪费大量的时间，导致课堂教学前松后紧。

3、有些学生操作计算的速度太慢了，没有时间等他们探索得出结论，而大多数的同学已经得出了结论。这样可能使他们不能充分理解这节课的内容。

4、教学的方式过于单一，学生的参与面较低。主要是我没有调动好他们的情绪，说明我对课堂的驾驭能力还需要提高。

相似三角形的性质 教学设计 篇5

一、教学目标

1．利用前面几节的相关结论经过简单的推导得出相似三角形的各条性质； 2．运用相似三角形性质解决简单的问题。

二、教学重难点

教学重点：相似三角形的各条性质的掌握

教学难点：相似三角形性质中面积比的结论的得出。

三、教学过程设计 1．创设情境，设疑激趣

两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结果．例如，在图18.3.9中，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么AD、A′D′之间有什么关系？

2．探索研究，形成新知

△ABD和△A′B′D′都是直角三角形，而∠B＝∠B′，因为有两个角对应相等，所以这两个三角形相似．那么

由此可以得出结论： 相似三角形对应高的比等于相似比．

（通过研究讨论，让学生借助已有的知识对新问题进行研究，培养学生的思考探索能力，同时让他们自己得出结论，感受成功的喜悦。）

思 考

图18.3.11中，△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上 的中线，BE、B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？

可以得到的结论是_________________________________________． 想一想： 两个相似三角形的周长比是什么？

可以得到的结论是_________________________________________．

（让学生用类似于“相似三角形对应高的比等于相似比”的方法进行研究，培养学生的推理能力。）

3．深入探究，得出结论

图18.3.10中（1）、（2）、（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似．

（2）与（1）的相似比＝________________，（2）与（1）的面积比＝________________;（3）与（1）的相似比＝________________，（3）与（1）的面积比＝________________.从上面可以看出当相似比＝k时，面积比＝k2．数学上可以说明，对于一般的相似三角形也具有这种关系．

由此可以得出结论： 相似三角形的面积比等于________________________．（通过形象的图形比较，使学生直观地感知相似图形面积比与相似比之间的关系，便于被学生所接受。）

4．反馈练习，思维拓展 练习

（1）如果两个三角形相似,相似比为3∶5,则对应角的角平分线的比等于多少?（2）相似三角形对应边的比为0.4,那么相似比为___________,对应角的角平分线的比为__________,周长的比为___________,面积的比为_____________.（3）如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2,这两个三角形相似吗?如果相似,求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比.（4）若两个相似三角形的最大边长为35cm和14cm，它们的周长差为60cm，则教大三角形的周长是多少？

（5）把一个三角形改成和它的相似三角形，如果面积扩大为原来的n倍，那么边长扩大为原来的几倍。

4．回顾反思，整体评价

今天我们研究了相似三角形的中线比、高线比以及角平分线的比、周长比、面积比同相似比之间的关系，那么今后我们就可以借助今天的结论去解决一些常见的数学问题，在今后的学习中请大家多留意。同时对于这些关系的得出要有一定的了解。

（通过总结把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．）

相似三角形的知识点总结 篇6

对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形

比值与比的概念

比值是一个具体的数字如：AB/EF=2

而比不是一个具体的数字如：AB/EF=2：1判定方法

证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。

方法一(预备定理)

历史上的相似三角形 篇7

“图形的相似”是初中数学的内容之一,相似三角形的判定、性质和应用是其中最重要的内容,从历史上看,相似三角形很早就已经为人们所认识. 大约公元前20世纪,在古巴比伦泥版文献中就已经出现相似三角形的应用问题;公元前6 世纪,古希腊的工程师欧帕里诺斯在设计隧道挖掘工程时就可能运用了相似三角形的性质;古希腊几何学的鼻祖泰勒斯曾多次利用相似三角形的性质来解决相关测量问题;我国古代数学著作《九章算术》中的远距离测量技术也是以相似三角形的性质为基础的. 下面来讲些实例.

我国明末清初时的“梅氏数学家家族”祖孙四代人,共有十多位数学家. 其主要代表人物是梅文鼎和他的孙子梅珏成.

这里有一则关于梅珏成的记载:一天,他外出游玩时,看见路边有几个农民正在测量一块直角三角形形状的田地. 他就走过去,询问起来. 原来这几个农民想在这块直角三角形田上砌一个正方形的池子,并要求这个正方形的面积尽可能大.

梅珏成问明了两个测量出来的数字(一条直角边长24 米,另一条直角边长10尺)以后,说:“这很简单,只要设所求的正方形边长为x,利用两个相似三角形的对应边成比例关系,即可得:24∶x=10∶(10-x),(尺),即为所求. ”

几个农民听完后,连声称赞道:“先生真了不起!我们对算术可是一窍不通. ”亲爱的同学,你可听明白了梅珏成的话没有?

我国《九章算术》勾股章有如下两道问题,你能写出解题过程吗?

例1今有邑方二百步,各开中门.出东门一十五步有木.问:出南门几何步而见木?(如图1)

例2今有井径五尺,不知其深.立五尺木于井上,从木末望水岸,入径四寸. 问:井深几何?(如图2)

古希腊几何学的鼻祖泰勒斯年轻时游历埃及,测得金字塔的高度.请你复原泰勒斯的测量方法.(参见图3)

古希腊第八大岛屿———萨默斯岛上有一条修建于公元前6 世纪的供水萨默斯隧道,如图4,隧道长1 036 米,横截面宽和高各为1.8 米,笔直地穿过了一座小山.为了缩短建成时间,设计者欧帕里诺斯让工程队从小山两边同时开始挖掘,两队在山体中间会合.

试想,在2500 多年前,没有任何现代化的仪器,如何保证两支工程队不偏不倚正好在山底的某处相遇?令人惊叹的是,欧帕里诺斯做到了,隧道一线贯通,两支工程队会合得天衣无缝.他是怎么做到的呢?与我们所学的相似三角形有什么关系呢?你想知道其中的奥秘吗?

欧帕里诺斯实质是聪明地运用了相似三角形知识(定义、判定定理),保证了四点共线,才创造了一个水利工程奇迹.

他是这样解决这个问题的:要在两个入口A与B之间挖一条隧道.从B点处出发任作一直线段BC,过C作BC的垂线CD,然后,依次作垂线DE、EF、FG、GJ,直至接近A点.在每一条线段的一个端点处能看到另一个端点.在最后一条垂线GJ上选取点J,使得AJ垂直GJ.设AK为CB的垂线,K为垂足,则AK=CD-EF-GJ,BK=DE+FG-BC-AJ.再在BC和AJ上分别取点L和点N,过点L和点N分别作BC和AJ的垂线,在两垂线上分别取点M和点P,使得,于是有Rt△BLM、Rt△BKA、Rt△ANP为一组相似三角形,因此,点P、A、B、M在一条直线上.所以,只需保证在隧道挖掘过程中,工人始终能看见点P和点M的标识即可.

如何判定相似的三角形 篇8

相似三角形判定，供参考。

一、判定两个三角形相似的基本定理.

1、如果两个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

2、如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

3、如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 .

二、相似三角形最基本的图形需熟练掌握

1、A型，直线D E截两边可得 4个三角形与原AA B C相似.

2 、X型，直线D E截两边延长线可得2个三角形与原AA BC相似.

3、公共角

因此，两个相似三角形经过平移、 旋转、 翻折后依然相似.

4、两个全等的三角形一定（肯定）相似。

5、两个等腰直角三角形一定（肯定）相似（两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似）

6、两个等边三角形一定（肯定）相似。

7、直角三角形相似判定定理

（一）斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

（二）直角三角形被斜边上 的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

三、三角形判定的例题分析

例在一次数学活动课上，老师带领学生去测教学楼的高度，在阳光下测得身高1.6 5 m的甲同学的影长 BA为 1.1 m， 与此同时， 测得教学楼的影长 D F为 1 2 .1 m， 如图1所示。请你根据已测得的数据，求教学楼 DE的高度。（精确到0.1m）

图1 图2

分析：这里我们把太阳光看作为平行光线， 即如图2中的AC与EF互相平行， 于是本问题可以转化在?ABC和?FDE中，利用 AC∥EF证得?ABC∽?FDE.由相似三角形对应边成比例可以求出DE的长。

解： 如图2

∵AC∥EF

∴∠CAB=∠EFD

又∵CB⊥AB，ED⊥FD

∴∠CBA=∠EDF=90°

∴?ABC～?FDE

∴BC/DE=BA/DF

即1.65/DE=1.1/12.1

∴DE≈18.2（m）

因此，教学楼DE的高度约为18.2m.

点评：本题目借助相似三角形的性质解决实际问题，关键是寻找二角形相似的条件，利用太阳光是平行光以及人、楼与地难亩画出相应的图形构造相似三角形，然后通过相似三角形对应边成比例得出关系式求解。

相似三角形的分类讨论 篇9

〔教学目标〕1.了解相似比的定义，掌握判定两个三角形相似的方法：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。2.培养学生的观察﹑动手探究、归纳总结的能力，感受相似三角形与相似多边形;相似三角形与全等三角形的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。3.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。〔教学重点与难点〕重点：判定两个三角形相似的预备定理难点：探究两个三角形相似的预备定理的过程

三角形相似教案 篇10

一、课题

相似三角形的判定（1）（选自2013年人教版数学九年级下册27.2.1，第1课时）

二、教材分析

1.内容要点

本节课让学生利用相似三角形的定义来进一步探索相似三角形的判定条件，从而让学生在学习新知里发展思维，加强与前面已学过的知识：图形的相似、相似多边形的主要特征（相似多边形对应的角相等，对应边的比相等），相似比甚至引导学生联系八年级上册所学的相等三角形的判定定理和平行从对比探索中增强学生的推理归纳和类比应用的能力。2.地位

本节课处于承上启下的位置，既增强了对图形的相似和相似多边形定义联系和运用，又为下一课时相似三角形的判定2以及以后的几何证明奠定了基础。3.作用

从初步认识相似三角形到探索如何利用平行线的特点判定两个三角形相似，从无到有的知识萌发，让学生由探究得到的平行线分线段成比例定理初步返回去严谨地认识两个图形的相似，在探索过程中掌握自主探究、类比、归纳以及转化的思想方法，增强推理能力，进而让学生感受到数学图形之美。经过对平行线分线段成比例定理以及相似三角形判定定理的探究学习，使学生的合情推理意识和主动探究的学习习惯得到发展。

三、学情分析 1.认知基础

学生在八年级上册中已经全面地认识了三角形，并且掌握了全等三角形的判定定理，加上平行线同位角等性质，并且在上一节课已学过了图形的相似以及相似多边形的主要特征，为本节课的学习相似三角形打下了基础。学生在观察、想象、合作探究、归纳概括等方面有了初步的体验，再加上学生会做辅助线，这为本课的学习奠定了一定的基础，但学生对转化思想，几何论证推理能力还在初步形成阶段，这使本节课的学习还有一定的困难。2.情意基础

学生是九年级的学生，对于新知识有一定的接受能力，且数形结合思想，转化思想都相对成熟，对探索学习饶有兴趣，但是思维容易固化，对问题看待不够全面。

四、教学目标

1.理解相似三角形不因位置改变而改变，书写三角形相似时对应角的字母顺序对应；

2.能运用平行线和三角形中线比例关系证明“A字型”三角形相似，能运用三角形全等的方法将“X字型”三角形转化为“A字型”三角形证明其相似；

3.理解相似三角形概念，能正确找出相似三角形的对应边和对应角； 4.能掌握并运用相似三角形判定的“预备定理”； 5.让学生参与探索，获取相似三角形判定条件，感受数学的魅力，体会到数学的充满探索与创造,在学习中发现数学的乐趣并在数学学习生活中形成自主，自信，健康的心理。

五、教学重难点

1.教学重点

相似三角形判定的“预备定理”的探索； 2.教学难点

探索过程中的各种三角形相似的有关证明；

六、教学方法和手段 1.教学方法 引导探究法 2.教学媒体 PPT

七、教学设计思想

探究式的教学方法是新课改的一个重要内容，布鲁纳主张学习的目的是以发现学习的方式使学科的基本结构转变为学生头脑中的认知结构，并且指出学生的知识学习是通过类别化信息的加工过程，积极主动地形成认知结构。利用学生的好奇心，设疑，解疑，组织互动，有效的教学活动，鼓励学生积极参与，大胆猜想，使学生在自主探究与合作交流中理解和掌握本节课的内容，增强直观效果，提高课堂效率。其次，数形结合思想，化归思想以及归纳法和分析法的应用，让学生对新知的认识更加透彻，对问题的探索思路更加明确，并从中让思维得到进一步的提升。

八、教学过程

（一）复习引入（5分钟）1.复习概念性质（3分钟）

T：同学们还记得相似图形的概念是什么吗？ S：对应角相等，对应边成比例的两个图形相似。T：相似的两个图形会随它们位置的改变而改变吗？ S：不会。

T：很好，大家先记着我们刚刚回忆的内容。下面我们来了解一下最简单的多边形----三角形的相似情况。

T：刚才我们回忆了相似图形的一些性质，那现在我手头上有根据相似图形性质画出来的两个相似三角形，不论它们之间的相对位置如何，乃至处于不同的平面，这两个三角形仍然是相似的。（老师拿出两个相似三角形并在同一平面变换两个三角形纸片的位置，然后让两纸片处于不同平面变换位置）（老师将两纸片贴在黑板上并标明字母）T：同学们我们要用字母表示这两个三角形相似，应该怎么写呢？我们一起来写，首先把两个三角形表示出来，分别是∆ABC∆DEF，同学在写的时候还要注意对应的顶点字母相对应，那中间用什么符号来表示两个三角形相似呢？有同学可以告诉我吗？

S：大写字母S横着写。

T：很好，这跟我们曾经学过的什么符号很像呢？ SSS：全等符号。

T：那课后大家思考全等三角形与相似三角形之间有什么联系，下节课我再叫同学回答这个问题。2.创设情境（2分钟）

（老师利用这组相似三角形纸片，将两个三角形的一个对应顶点重叠，贴在黑板上）

T：同学们你们看，相似三角形∆ABC和∆DEF的∆ABC的顶点A与∆DEF的顶点D重合并且∠BAC与∠EDF重合，那边EF和边BC有什么关系吗？

S：平行。

T：为什么呢？

S：同位角相等两直线平行。

T：嗯，AEB三点共线，且∠AEF=∠ABC，所以EF和BC平行。

（二）探索新知（20分钟）

T：如果平行于∆ABCBC边的直线与其他两边AB、AC相交与点E、F，所构成的∆AEF是否与∆ABC相似呢？

S：相似（不相似）。

T：大部分同学都说相似，接下来我们该做些什么去证明这两个三角形相似呢？

T：首先我们从我们学过的类似的图形出发，假设这条平行线是三角形中位线，我们来证明看看。同学们自行思考，待会来分享思路。[PPT显示相应题目和图形]（2min过去了，期间教师下台观察学生情况，选一名写完了的同学上台分享思路）

S1：（在黑板上画△ABC并取分别AB、AC中点D、E，连接DE）∵DE是△ABC的中位线∴DE＝1/2BC（由三角形中位线定理）

∴AB/AD ＝AC/AE ＝BC/DE ＝1/2.又∵两直线平行同位角相等 ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC.T：同学们觉得S1的解答对吗？ S：对。

T：S1的解答充分运用了已学的三角形中位线的知识，找出来隐含在三角形ADE和三角形ABC中边的比例关系，依照定义证明出了这两个三角形相似，证明过程很完整，是对的，让我们给他一些掌声鼓励。（解析S1的做法，并给予肯定）

（老师和学生一起鼓掌）T：接下来加大难度咯，“如图过点D作DE∥BC交AC于点E，那么△ADE与△ABC相似吗？”，请同学们自行思考，待会请同学上来分享思路。[PPT显示相应题目和图形]（4min过去了）

S2：由同位角相等可知三个角对应相等，只需证明对应边成比例.因为DE∥BC，所以AD/AB=AE/EC=k, 只需证明DE/BC=k.过点D作DF∥AC交BC于点F，则由两组对边分别平行，得四边形DFCE为平行四边形.所以DE/BC=FC/BC，∵DF∥AC ∴FC/BC=DA/BA，故DE/BC= DA/BA =k ∴△ADE∽△ABC.T：S2将问题转化为了求三角形的一边对应成比例，通过作辅助线DF，构造出了平行四边形，并灵活运用平行四边形和相似的性质，得到了三边对应相等，从而证明了两个三角形相似，做的很棒，让我们把掌声送给他！（和同学们一起鼓掌）T：以上都是平行线与边AB和边AC相交的情况，现在我们延长AB和AC，如图当DE与三角形两边延长线交于边BC下方时，所构成的三角形和原三角形是否相似呢？ [PPT显示相应题目和图形] S：相似。

T：要怎样证明呢？ S：和上一题一样。

T:对，没错。像这种平行线位于点A下方的，我们统称为“A字型”，凡是拥有这种形状的三角形和平行线，都隐藏着相似三角形。那如果DE与三角形两边延长线交于边点A上方时，所构成的三角形和原三角形是否相似呢？请同学们自行思考。[PPT显示相应题目和图形]（T下台观察、指点。2min后）

T：老师刚刚发现，大部分同学都不再用定义进行繁琐的证明了，而是直接由“A字型”的结论出发，将新图形转换为“A字型”加以证明。有哪位同学愿意上台分享一下，你是怎样转化的呢？

S3：分别在边AB和边AC作点N’和M’，使AN=AN’，AM=AM’，由对顶角相等和SAS可得

△AMN≌△AM’N’，从而得到“A字型”，故新三角形和原三角形相似。T：S3分析的很好！让我们给他掌声鼓励！（和同学们一起鼓掌）我们称这种图形为“X字型”，通过“A字型”和“X字型”的相似三角形探究，我们现在可以总结得出我们一开始要证明的结论了，同学们还记得是什么吗？

S：逆命题（刚刚的猜想）。

T：没错，我们给这个刚刚证明的猜想一个名称“预备定理”，大家请看屏幕，一齐朗读一边[PPT显示预备定理] S：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；

T：预备定理比定义要简便的多，它的几何语言也是相当简洁 ∵EF∥BC ∴△ADE∽△ABC.（三）知识迁移（7分钟）（备注：此环节题目让学生以同桌为单位交流完成，老师再请同学发言说明思路）

（四）总结反思（7分钟）

定义：„„。要求三边三角满足对应关系，非常严谨但证明过程过于繁琐且使用条件有限。

预备定理：„„。只要求有找到原三角形一边的平行线，构成“A字型”或“X字型”，极大简化了证明过程。

（备注：以上总结，老师说整体性语言，关键字引导学生说出）

（五）布置作业（1分钟）

1.常规作业（第几页第几题）

2.探索作业：请以本节课所学知识，“测量”教室天花板的高度，写一测量方案。

九、板书设计

《探索三角形相似的条件》测试题 篇11

——罗素（英国哲学家、逻辑学家，1872–1970）

一、选择题（每小题5分，共30分）

1. 下列四组图形中，必然相似的是（）.

A. 有一个角是40°的两个等腰三角形

B. 有三个角对应相等的两个四边形

C. 有一个角是105°的两个等腰三角形

D. 邻边之比为1∶3的两个平行四边形

2. 如图1，△APD中，∠APD＝90°，AP＝PB＝BC＝CD，则下列结论中成立的是（）.

A. △PAB∽△PCA B. △PAB∽△PDA

C. △ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA

3. 如图2，△ABC中，P为AC上一点，有下列四个条件：①∠APD=∠B；②∠ADP=∠C；③AD•AB=AP•AC；④AB•AP=AC•AD.其中能判定△ADP∽△ACB的条件是（）.

A. ①②④B. ①③④C. ②③④D. ①②③

4. 如图3，在梯形ABCD中，AD∥EF∥BC.AD=8，BC=12，=.BD交EF于O.OE与OF的关系是（）.

A. OE﹥OFB. OE﹤OFC. OE=OFD. 不能确定

5. 如图4，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形的对数为（）.

A． 1B． 2C． 3D． 4

6. 使△ABC和△A′B′C′不相似的条件是（）.

A. ∠A=∠A′=45°，∠B=26°，∠B′=109°

B. AB=1，AC=1.5，BC=2，A′B′=4，A′C′=2，B′C′=3

C. ∠A=∠B′，AB=2，AC=2.4，A′B′=3.6，B′C′=3

D. AB=3，AC=5， BC=7，A′B′=，A′C′=，B′C′=

二、填空题（每小题5分，共30分）

7. 在图5和图6中， 要证明△ADE∽△ABC，只需（填一个条件） ．

8. 如图7，△ABC中，BC=1，E、M和F、N分别是AB和AC的三等分点，则EF+MN=．

9. 如图8，AB是斜靠在墙上的一个梯子.梯脚B距墙1.4 m.梯上一点D距墙1.2 m，BD长0.5 m.则梯长为m．

10. 如图9，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点（DE与BC不平行），当或或时，△ADE与△ABC相似.

11. 如图10，△ABC中，∠AED=∠B，DE=6，AB=10，AE=8，则BC=.

12. 如图11，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b，当BD=时，△ABC∽△CDB．

三、解答题

13. （10分）如图12，在△ABC中，AB=AC.AD⊥BC于D，DE⊥AB于E．求证：CD2=AB•BE．

14. （10分）如图13，∠1=∠3，∠B=∠D，AB=DE=5，BC=4．

（1）求证：△ABC∽△ADE；

（2）求AD的长．

15. （10分）我侦察员在距敌方200 m处发现了敌人的一座建筑物，但不知其高度，又不能靠近建筑物测量.机灵的侦察员把食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住.若此时眼睛到食指的距离为40 cm，食指的长为8 cm，你能根据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗？请说出你的思路.

相似三角形的分类讨论 篇12

学习目标：

1.通过探索与交流，得出两个三角形只要具备两个角对应相等，即可判断两个三角形相似的方法。

2.尝试判断两个三角形相似，并能解决生活中一些简单的实际问题。

学习重点：

1.两个三角形相似的条件(一)的应用。

2.了解两个三角形相似的条件(一)的探究思路和应用。

学习难点：经历“操作—观察—探索—说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力。

教学过程：

一、与书本合作

1._______的两个三角形叫做相似三角形。

2.已知△ABC∽△DEF，且∠A=80°，∠B=30°，则∠F=___;AB=2, DE=1, BC=3，则EF=____。

3.在△ABC和△DEF中，且∠A=40°，∠B=80°，∠D=80°，∠E=60°，△ABC和△DEF是否相似?为什么?

【第1题复习相似三角形的定义，为本节课的探究活动做准备;第2题让学生回顾相似三角形的简单性质，为解决情境中的难题作铺垫;第3题检查学生的预习，为学习新知做准备。】

二、与同学合作

（一）情境引入

1805年，拿破仑率领大军与德俄联军在莱茵河作战。当时德俄联军在北岸步阵，法军在南岸，中间隔着很宽的莱茵河。法军要开炮轰击德俄联军，必须知道河的宽度。拿破仑为此大伤脑筋，站在南岸远望德俄阵地。

忽然，他观察到对面岸边的一个标志O，于是他想出了一个测量河宽的办法。他在自己的岸边选点A、B、D，使得AB⊥AO, DB⊥AB，然后确定DO和AB的交点C。然后测得AC=120米，CB=60米，BD=250米。

你能帮助他算出莱茵河的宽度吗?

【用历史小故事引入，能激发学生的学习兴趣与探究欲望。】

(二) 探究学习

1.尝试

小明用白纸遮住了3个三角形的一部分，你能画出这3个三角形吗?

(1)在图中，若∠A=∠A′，∠B=∠B′，AB=A′B′，那么(1)和(2)中的两个三角形全等吗?

(2)若∠A=∠A″，∠B=∠B″，A″B″=AB，那么(1)和(3)中的两个三角形相似吗?

【老师给予方法指导，画出三角形，并测量各组边的长度，对照定义，计算是否成比例，为了节约时间，让学生分工合作。】

2. 概括总结

由此得判定方法一：如果两个三角形中，有两组角对应相等，那么这两个三角形相似。

几何语言：在△ABC与△A″B″C″中

【在此过程中，给学生充分的时间画图、观察、比较、交流，最后通过活动让学生用语言概括总结。学生自己通过动手操作、实验得出判定条件，能产生自豪感及满足感，培养自信心及逻辑推理能力。】

与老师合作：

例1：在△ABC和△DEF中，以下三个条件中，哪些能使△ABC与△DEF相似?

例2：关于三角形相似下列叙述不正确的是( )。

A.有一个底角对应相等的两个等腰三角形相似

B.有一个角对应相等的两个等腰三角形相似

C.所有等边三角形都相似

D.顶角对应相等的两个等腰三角形相似

【例1、例2是对刚刚所学判定方法的简单应用，学生能够较轻松地解决问题，从而产生自豪感及成就感，培养自信心。】

例3：如图，△ABC中，DE∥BC，分别交另外两边于点D、E。问：△ADE与△ABC相似吗?为什么?

【变式】如图，△ABC中，DE∥BC，分别交另外两边的延长线(反向延长线)与点D、E，问：△ADE与△ABC相似吗?为什么?

由此得：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。(平行得相似)

几何语言：∵DE∥BC

【在解决例3的过程中，给学生充分的时间画图、观察、比较、交流，最后通过活动让学生用语言概括总结。学生通过自己动手操作、实验得出判定条件，能产生自豪感及满足感，培养自信心及逻辑推理能力。例3既是对所学判定方法的应用，同时又能得出相似三角形的另一种特殊的判定方法。】

（三）能力提升

1. 解决拿破仑的难题

AB⊥AO, DB⊥AB, AC=120米。CB=60米，BD=250米，求：AO的长度。

2. 如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，你能找出几组相似三角形?并说明理由。

3. 过△ABC的边AB上一点D作一条直线与另一边AC相交，截得的小三角形与△ABC相似，这样的直线有几条?请把它们一一作出来。

【能力提升题，让学生巩固所学内容并进行自我检验与评价，既面向全体学生，又因材施教，照顾到学有余力的学生，体现分层教学。尤其在第3题重在渗透分类讨论的思想。】

（四）归纳总结

你有哪些方法判断两三角形是否相似?

(1)两三角形中两组角对应相等;

(2)平行得相似(A型，8字型);

(3)你还有什么疑问有待解决?

【让学生自己小结，活跃了课堂气氛，做到全员参与，理清了知识脉络，强化了重点，培养了学生口头表达能力。】

三、与家长合作

1.和家长交流你今天所学的判定三角形相似的方法;

2.利用周末时间和家长一起用三角形相似的原理测量你家所在住宅楼的高度。

教学反思：

这节课的主要教学目标是让学生在亲自操作、探究的过程中，获得三角形相似的第一个简单的识别方法;培养学生提出问题、解决问题的能力;从整堂课学生的表现看到，这节课基本上实现了以上目标。

上完本节课，我有以下几点感受：

1.在情景引入中，学生突然眼前一亮，很感兴趣，迫切地想学会本节课的知识来解决拿破仑的难题。于是，学生积极参与探究学习中去测量三角形边的长度，并测量计算比例关系，从而得出三角形相似的第一个简单的识别方法：两角对应相等的两三角形相似。

2.这节课给学生提供了很多自主学习、自主操作、自主活动的机会，尤其是新知的探究活动，画一画、量一量、算一算。这些设计都能给学生提供自主探索新知的空间，体现了学生是数学学习的主人的新理念，让学生悟出学习方法和途径，培养学生独立学习的能力，所有问题的结果都由学生自己操作、判断得出，学生在此学习过程中有成就感和自豪感。

相似三角形复习教案 篇13

教学目标: 本课为相似三角形专题复习课，是对本章基本内容复习基础上的深化，通过对一个题目的演变，紧紧围绕一线三直角这个基本模型展开，由浅入深对相似三角形进行，同时结合数学中的方程思想，分类思想，模型思想，数形结合思想等拓展深化.教学重点:相似三角形的一些基本图形特别是一线三直（等）角的复习.教学难点: 一线三直（等）角模型的拓展深化.教学过程: 练习:1.如图，AB＞AC，过D点作一直线与AB相交于 点E，使所得到的新三角形与原△ABC相似.2.如图，直角梯形ABCD中，E是BC上的一动点，使△ABE与△ECD相似，则AB、BE、CE、CD之间满足的关系为____________.得到相似中最基本的几种图形，即：

A型 斜A型 一线三直角反射型

在得到上述基本图形后，通过找相似三角形，让学生体会基本图形的应用。并通过对这个题目的演变，将本课内容提要呈现出来.例1：在平面直角坐标系中，两个全等Rt△OAB与Rt △A’OC’如图放置，点A、C’在y轴上，点A’在x轴上，BO 与A’ C’相交于D.你能找出与Rt△OAB相似的三角形吗？ 请简要说明理由 在上述条件下，设点B、C’ 的坐标分别为（1，3），（0，1），将△ A’OC’绕点O逆时针旋转90°至△ AOC，如图所示：

（1）若抛物线过C、A、A’，求此抛物线的解析式及对称轴；

（2）设抛物线的对称轴交x轴与点M，P为对称轴上的一动点，求当∠APC=90°时的点P坐标.本题主要是应用一线三直角这个基本图形，从而利用相似三角形的对应边关系求解，在教学过程中对P点的位置应作说明，可借助于几何画板演示.【变一变】线段BM上是否存在点P，使△ABP和△PMC相似？如存在，求出点P坐标，如不存在，请说明理由.本例让学生进一步应用基本图形，同时体会到数学思想——分类思想的应用.【拓展一】若点N是第一象限内抛物线上的一动点，当

∠NAA’=90°时，求N点坐标.通过添加一条辅助线构造一线三直角来提升对学生的要求。另外利用本题比较特殊的情况，即△AOA为等腰直三角形的 条件，采用一题多解的方法，帮助学生提高解题的能力.【拓展二】点N是抛物线的顶点，点Q是x轴正半轴上一点,将抛物线绕Q点旋转180°后得到新抛物线的顶点为M，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点M、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．

相似三角形的分类讨论 篇14

1 教法——发生教学法

发生教学法是基于HPM视角下教学设计优先选择的教学方法, 这种方法对概念、定理的学习比较适用, 对于应用相似三角形的性质同适用, 我们可以遵循这种教学法的原则:

(1) 教师了解所教主题的历史; (2) 理解该主题历史进化的关键步骤; (3) 在现代情境下重构推动进化的关键思想或问题, 使之在教学上适合介绍新的概念、方法或理论; (4) 上述重构的步骤按从易到难的系列问题给出, 后面的问题建立在前面问题的基础上, 采取有序的问题驱动模式。

教学设计中的教法采取的是发生教学法, 以该知识进化的关键步骤为顺序, 由易到难, 在符合学生认知水平的情况下, 设计系列问题, 体现了知识的历史知识发展的连贯性和学生学习的系统性。

2 教学设计

2.1 发现问题, 主动探索, 历史重现

师:展示金字塔的图片, 简要讲解金子塔的来历, 动态展示金子塔的几何图形。以图片的视觉效应将学生带入课堂, 做好学习新课的准备。教师讲解相关历史知识使学生学习兴趣浓厚, 动态的图形展示激发学生自己发现问题、提出问题。

问题1:古希腊几何鼻祖泰勒斯是非常著名的数学家。有一天, 国王想考考泰勒斯, 就问他:你能测出金字塔的高度吗?假如你是泰勒斯, 你能够用桌上的工具想出测金字塔高的方法吗?

【设计意图】问题1的引入自然合理, 是学生解决问题的动力源泉。

生:用长直尺比划, 想直接测量出山的高度, 但显然直尺没有山高, 放弃了这种方法。

师:提醒学生, 金子塔很高, 古代是没有办法用工具直接测出山高。

生:部分同学打开电筒, 有少部分学生发现山的影子可以测量, 有极少的同学在操控木棒。

【设计意图】让学生大胆想象, 经历古人测量金字塔时的思考过程, 领会解决问题步骤的缘由, 有助于后面步骤的理解。

问题2:要求学生测出三个木棒在光下的影长, 并完成下表。 (精确度要求:木棒影长与木棒长度, 木棒影长/木棒长度的计算精确到0.1。)

【设计意图】教师引导学生经历古人的思考过程, 且问题2可操作性强, 学生容易理解, 部分学生可能会想到用相似三角形的性质去解决问题。

师:用投影仪将一组学生的表格展示出来 (表1) .

师:启发学生发现了什么?

生:大部分学生能够发现木棒长度比木棒影长都是为2.0。

师: (出示太阳光照射两根木的棒的图片) , 说明由于太阳距离我们太远, 所以光线是平行的, 而手电筒的光线也是平行的, 所以可以充当太阳光。将几何图形展示在PPT上。你们能证明为什么是定值吗?

生:证明。

【设计意图】让学生自己发现定值问题, 提出问题, 猜测结论, 证明结论, 而此过程正是古代数学家泰勒斯在测量金子塔高度时所经历的理论推导过程。为后面问题的解决奠定了基础, 让学生获得了成功的体验, 学习动机增强。

师:如果我们将图1中高的木棒看成金子塔, 你能够测出塔高吗?

生:开始操作, 列出公式, 计算。

师:PPT展示几何图形和完整的解题过程。

2.2 合作探究, 渗透方法

问题3:同学们, 除了用这种方法你还可以用其他方法测树高吗?小组讨论, 设计方案。

师:学生可能想到的如下图 (图2~5) :

师:分析学生的设计方案, 解释方案的合理性。以问题4的形式讲解图2的方法, 并解释这种方法是古代九章算术中的一种方法, 同学们真聪明!

问题4:已知一座山在木标 (EC) 西, 山与木标的距离 (EF) 53米, 木标高8米。人 (NM) 站在木标东3米, 望见木稍 (C) 与山尖 (P) 三点成一线, 人眼以下高MN=1.5米, 问山的高度是多少? (《九章算术》卷九〈二十三〉)

师:引导学生没有太阳光, 还能测出山的高度吗。

师:引导学生借助自己的眼睛。

展示完整的过程。

解:设山高为因, 因为△OPC∽△ACB (见图6)

问题5:当泰勒斯测出金子塔的高度后, 更加德高望众了。但国王还是不满意, 又出了新的问题, 如图7, 如果国王站在金字塔的A点, 泰勒斯站在B点, 你能测出A、B之间的距离吗?

师:展示完整的过程。

师:泰勒斯用“间接法”求出两点间的距离, 其方法一直延用至今。这也是我们今后求不能直接测量两点间距离常用的方法。

【设计意图】此方法是求不能直接测量物体间长度常用的方法, 也是教学目标中要掌握的方法之一。

2.3 归纳小结, 巩固训练

师:PPT展示前面三种相似三角形的模型, 小结做题步骤。

【设计意图】及时巩固训练, 加强学生对知识的应用, 且例题的难度中等, 也出现了尺规作图题, 培养学生对几何空间能力的形成。

2.4 学生总结, 布置作业

师:在数学历史的长河中, 人们对相似三角形应用的研究保持着热情, 我们今天学习了这个知识, 你们能谈谈对该知识的感受吗?

参考文献

[1]汪晓勤.HPM视角下二元一次方程组概念的教学设计[J].中学数学教学参考, 2003 (5) .

[2]徐章韬, 汪晓勤, 梅全熊.发生教学法:从历史到课堂[J]数学教育学报, 2010.2.

[3]义务教育数学课程标准 (2011版) [M].北京师范大学出版社, 2011.

[4]肖作政.九章算术今解.[M]辽宁人民出版社, 1990.5.

[5]张红.数学简史[M]科学出版社, 2008.1.

[6]李文林.数学史概论[M]高等教育出版社, 2010.9.

判断三角形相似三绝招 篇15

第一招：两组角对应相等的两个三角形相似

例1 如图1，在Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2.点D在BC上运动（不能到达点B）.过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．求证：△ABD∽△DCE．

分析：△ABD、△DCE中已有一组相等的角，即∠B=∠C.若再能找到一组相等的角，即可证明△ABD∽△DCE．

证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠C=45°．

又∵∠B+∠BAD=∠ADC=∠ADE+∠EDC，而∠B=∠ADE=45°，

∴∠BAD=∠EDC.

∴△ABD∽△DCE．

点评：“两组角对应相等的两个三角形相似”是判定三角形相似最简单、好用的方法.在应用时，注意寻找“∠A+∠B=∠C+∠D，由∠B=∠D，则∠A=∠C”类型的角的相等关系．

第二招：两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似

例2 如图2，△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB=，BC=1.连接BF．

求证：△BFG∽△FEG．

分析：△BFG与△FEG有一个公共角∠G.已知条件告诉了等腰三角形的边长，现只需证明夹∠G的两组边对应成比例，即可证明△BFG∽△FEG．

证明：由题意知FG=FE=AB=，EG=BC=1，BG=3BC=3.

∴==，==.

∴=．

又∵∠G=∠G，

∴△BFG∽△FEG.

点评：利用“两组边对应成比例且夹角相等”判定三角形相似，类似于三角形全等的“边角边”的判定方法.运用时注意把握好两边与夹角的位置关系．

第三招：三组边对应成比例的两个三角形相似

例3 如图3，在2×5的正方形网格中（每个小正方形边长均为1），有格点△ABC和格点△ADE．

（1）证明：△ABC∽△ADE；（2）求∠1+∠2．

分析：（1）△ABC、△ADE中，角之间的相等关系不明显，所以第一招、第二招都不好使用.考虑到△ABC、△ADE是正方形网格中的格点三角形，可以利用勾股定理求得各边的长，然后判定三组对应边是否成比例，从而确定三角形相似与否．（2）利用相似三角形的性质，求出∠ADE的大小，即可计算出∠1+∠2．

解：（1）由勾股定理得：

AD==，DE==，AB==，AC==．

又因为AE=5，BC=2，所以==，= ，==.

∴==.

∴△ABC∽△ADE．

（2）因为△ABC∽△ADE，所以∠ADE=∠ABC=90°+45°=135°，故∠1+∠2=180°－135°=45°．