相似三角形的性质（精选12篇）
相似三角形的性质 篇1
一、教材分析
1. 教材内容:
《相似三角形的性质与判定》是以北师大版义务教育八年级下册第四章的知识为背景建构的教学内容, 通过复习讲解相似三角形的性质与判定, 利用相似三角形的性质与判定相关的知识去解一些数学问题。
2. 教材的地位和作用:
本节课是在学完《相似三角形》、《探索三角形相似的条件》内容之后, 继续学习相似多边形的性质的准备。教学的内容培养学生观察思考, 从定义出发和举一反三的能力等都具有重要的作用。
二、教学目标
1. 知识目标
(1) 掌握相似三角形的性质和三角形相似的判定方法。
(2) 能根据具体的数学问题, 灵活选择解法。
2. 能力目标
体会“归一”原理的思想。能根据具体数学问题的特征, 灵活选择解题方法, 体会解决问题方法的多样性。
3. 情感目标
使学生知道相似三角形的性质和三角形相似的判定的重要性, 提高学生解题速度和准确程度。通过学生之间的交流、讨论, 培养学生的合作精神。
三、重难点分析
1. 重点:
掌握相似三角形的性质和判定定理。
2. 难点:
灵活应用相似三角形的性质和判定解决相关数学问题。
3. 关键:
让学生通过比较相似三角形的性质和判定的运用, 感悟用相似三角形的性质和判定去解决数学问题的重要性。
四、教学过程
1. 知识复习
相似三角形的定义:三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形相似。△ABC与△DEF相似, 记为:△ABC∽△DEF
相似三角形的性质:相似三角形的对应角相等、对应边成比例。
相似三角形的判定:
两角对应相等的两个三角形相似;
三边对应成比例的两个三角形相似;
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
2. 知识拓展
例1.如图所示, Rt△ABD中, ∠BAD=90°, AC垂直于BD。
求证: (1) AB2=BC·BD
(2) AD2=DC·BD
(3) AC2=DC·BC
(4) 若AC=6, BC=8, 求AD的长。
解: (1) 在△ACB与△BAD中,
(2) 在△ACD与△BAD中,
(3) ∵AC垂直于BD
(4) 方法一:△ABC是直角三角形
方法二:根据射影定理得:
例题分析:此题是对相似三角形的判定定理一知识的巩固, 是通过对例1中的 (1) (2) (3) 的证明, 给学生呈现射影定理的知识点, 并运用此知识点去解决例1中的第 (4) 小问, 并比较总结相似三角形的性质与射影定理的区别与联系。在这一个例题中, 对第 (4) 小问的解决, 可以引导学生去思考用多种方法解决问题, 达到通体异构的效果。
例2.如图△ABP的边上有C、D两点, 且△PCD是等边三角形。当△PCA∽△BDP时, AC、CD、DB满足怎样的关系?∠APB的度数是多少?
解:∵△PCD是等边三角形
小结:在这节课的学习中, 我们初步地复习了相似三角形的性质及其判定, 并运用这些知识作为数学工具去解决相关的数学问题, 并对同一问题采用了不同的方法去解决!希望同学们在今后的学习中多总结、多归类、达到举一反三的效果。
作业:在△ABC中, D点在AB边上, 过D点作一条直线DE, 使得△ADE与△ABC相似, 这样的直线有多少条?
相似三角形的性质 篇2
鼓山中学
高芳霞
我讲课的内容是九年义务教育课程标准人教版教科书九年级下册第二十七章27.2“相似三角形的性质”。下面，我从教材分析、教法、学法、教学程序四个方面对本课的设计进行说明。
一、教材分析
1、教材所处的地位及作用
“相似三角形的性质”是九年级下册“相似”一章的重点内容之一，是在学完相似三角形的定义及判定的基础上，进一步研究相似三角形的特征，以完成对相似三角形的全面研究，它既是全等三角形性质的拓展，也是研究相似三角形的基础。这些性质是解决有关实际问题的重要工具，因此，这一节课无论在知识上，还是对学生能力的培养上，都起着十分重要的作用。
2、教学目标的确定
1)通过探究相似三角形的对应高、中线与角平分线的比、周长比、面积比与相似比的关系，使学生掌握相似三角形的对应高、中线、角平分线、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方并学会应用。
2)在学习过程中，培养学生独立思考、合作学习、自主评价的能力，渗透数学当中的类比思想、转化思想。
3、教学重点及难点
因为相似三角形的对应高、中线、角平分线、周长比、面积比与相似比的关系是解决与相似三角形有关问题的重要依据，也是研究相似多边形性质的基础，因此，它是本节教材的重点。学生应用数学知识解决实际问题，需要具备一定的综合能力，这对大部分学生有一定的难度，因此，将相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系的应用确定为本节课的难点。通过学生动手操作及合作交流，进行探究相关问题来突出重点，突破难点。
二、教学方法与教学手段的选用
为了充分调动学生学习的积极性，使学生变被动学习为主动愉快学习，使空间与图形中的几何问题上得有趣、生动和高效，而且，本课主要是针对于我们之前的课题：基于初中生课堂差异性教学的这一方面进行一种实验，顺便吸纳了一些厦门蔡塘的授课模式，利用学生讨论培养各个学生能力，在一节课中去体现因材施教，达到不同程度的学生根据自己的能力，都有所收获。
但是福州鼓山中学具有现对的特点，95%学生是外来务工子女，小时候没有养成一种很好的预习习惯，所以在合作型的课堂中，对学生的学习习惯有一定的要求。所以在前一周的时间里，教师都利用课余时间教学生“勾圈点划”。利用勾圈点划让学生自己发掘每节课教材的重难点。
我引导学生从活动中的讨论入手，让学生经历看微课----观察——思考—-归纳对应高的比等于相似比这个证明过程的思维启发，然后合作探究的一种学习过程，分别总结两个相似三角形的对应高、中线、角平分线与相似比的关系，经过教师点拨思维发散到周长比等于相似比，面积比与相似比的关系。在教学中，我应用启发、诱导、探究贯穿于始终。
采用投影、微课，PPT等电教手段，增大教学的容量和直观性，以提高教学效率和教学质量。
三、关于教法的指导
为了培养学生的逻辑思维能力、自学能力和自己发现问题---提出问题----解决问题的学习方法,在教学上我采用“精心设疑、变式训练”等方法,充分调动学生的积极性,使学生始终处于最佳的思维状态之中,激发学生的兴趣.四、关于教学程序的设计
本节课的利用复习引入，这样的设计，既可以锻炼学生的对整体相似这章节的思维导图的建立，又可以使学生不同层次的学生都在自己能力范围内接纳数学。
为了让学生亲身体验知识发现产生的过程,我利用微课,设计了<<相似三
角形的性质>>中相似三角形对应高的比等于相似比,通过学生模仿与归纳进一步得出中线和角平分线的比等于相似比，而后发散思维但周长和面积，探究过程，并利用小组合作方式，培养学生的合作意识。
在得出定理后，及时进行由浅入深、由易到难的思维训练。通过探究、论证，到运用解决问题，一方面学生摸索到了从已知到未知的研究方法，另一方面又感受到了数学规律性。
对例题的变式训练是培养学生多层次、多角度思维能力的一种较好形式,复杂图形中观察基本图形对学生来说有一定的难度。
历史上的相似三角形 篇3
“图形的相似”是初中数学的内容之一，相似三角形的判定、性质和应用是其中最重要的内容，从历史上看，相似三角形很早就已经为人们所认识. 大约公元前20世纪，在古巴比伦泥版文献中就已经出现相似三角形的应用问题；公元前6世纪，古希腊的工程师欧帕里诺斯在设计隧道挖掘工程时就可能运用了相似三角形的性质；古希腊几何学的鼻祖泰勒斯曾多次利用相似三角形的性质来解决相关测量问题；我国古代数学著作《九章算术》中的远距离测量技术也是以相似三角形的性质为基础的. 下面来讲些实例.
我国明末清初时的“梅氏数学家家族”祖孙四代人，共有十多位数学家. 其主要代表人物是梅文鼎和他的孙子梅珏成.
这里有一则关于梅珏成的记载：一天，他外出游玩时，看见路边有几个农民正在测量一块直角三角形形状的田地. 他就走过去，询问起来. 原来这几个农民想在这块直角三角形田上砌一个正方形的池子，并要求这个正方形的面积尽可能大.
梅珏成问明了两个测量出来的数字（一条直角边长24米，另一条直角边长10尺）以后，说：“这很简单，只要设所求的正方形边长为x，利用两个相似三角形的对应边成比例关系，即可得：24∶x=10∶（10-x），x=（尺），即为所求. ”
几个农民听完后，连声称赞道：“先生真了不起！我们对算术可是一窍不通. ”亲爱的同学，你可听明白了梅珏成的话没有？
我国《九章算术》勾股章有如下两道问题，你能写出解题过程吗？
例1 今有邑方二百步，各开中门.出东门一十五步有木.问：出南门几何步而见木？（如图1）
例2 今有井径五尺，不知其深.立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸. 问：井深几何？（如图2）
古希腊几何学的鼻祖泰勒斯年轻时游历埃及，测得金字塔的高度.请你复原泰勒斯的测量方法.（参见图3）
古希腊第八大岛屿——萨默斯岛上有一条修建于公元前6世纪的供水萨默斯隧道，如图4，隧道长1 036米，横截面宽和高各为1.8米，笔直地穿过了一座小山.为了缩短建成时间，设计者欧帕里诺斯让工程队从小山两边同时开始挖掘，两队在山体中间会合.
试想，在2500多年前，没有任何现代化的仪器，如何保证两支工程队不偏不倚正好在山底的某处相遇？令人惊叹的是，欧帕里诺斯做到了，隧道一线贯通，两支工程队会合得天衣无缝.他是怎么做到的呢？与我们所学的相似三角形有什么关系呢？你想知道其中的奥秘吗？
欧帕里诺斯实质是聪明地运用了相似三角形知识（定义、判定定理），保证了四点共线，才创造了一个水利工程奇迹.
他是这样解决这个问题的：要在两个入口A与B之间挖一条隧道. 从B点处出发任作一直线段BC，过C作BC的垂线CD，然后，依次作垂线DE、EF、FG、GJ，直至接近A点. 在每一条线段的一个端点处能看到另一个端点. 在最后一条垂线GJ上选取点J，使得AJ垂直GJ. 设AK为CB的垂线，K为垂足，则AK=CD-EF-GJ，BK=DE+FG-BC-AJ. 再在BC和AJ上分别取点L和点N，过点L和点N分别作BC和AJ的垂线，在两垂线上分别取点M和点P，使得，于是有Rt△BLM、Rt△BKA、Rt△ANP为一组相似三角形，因此，点P、A、B、M在一条直线上. 所以，只需保证在隧道挖掘过程中，工人始终能看见点P和点M的标识即可.
实际上，像这样的生活奇迹有很多，创造者都是那些爱动脑筋、善于思考的人，希望同学们能像他们那样，将学习融入生活，将生活看作学习.
趣谈相似三角形的应用 篇4
下面所谈到的几道物理题目都有一个共同点, 就是都巧妙运用了相似三角形的知识, 也正是这三角形的知识使题目顺利求解.
例1 如图1所示, A、B是带有等量同种电荷的两个小球, 它们质量都是m, 它们的悬线长度为L, 悬线上端都固定在同一点O, B球悬线竖直且被固定, A球在B球库仑斥力的作用下, 偏离B球x的地方静止.此时A球受到绳的拉力为T, 现在保持其他条件不变, 用改变质量的方法使A球在距B球
解析:A球受到重力G, B球对A球的库仑力F, 绳的拉力T, 如图2所示, 由共点力平衡条件和相似三角形得,
m′=8m, T′=m′g=8mg=8T
例2 如图3所示, 重力为mg的小球B系在长为L的绳上, 绳的上端固定在A点, 小球放在半径为R的光滑球面上, 球面的球心为O, AO为竖直线;A点到球面顶点的距离为d, 求绳的张力和球面对小球的支持力.
解析:作出小球受力示意图, 如图4所示, 从图中可得两个画阴影的三角形相似, 则有
故
例3 如图5所示, 点光源S距离竖直墙MN的水平距离为L, 现在S处以水平初速度v0平抛一个小球P, P在墙上形成的影是P′, 在球做平抛运动的过程中, 其影在墙上的运动速度v′是多少?
解析:△SPD∽△SMP′, 故有
, 则
《相似三角形的性质》教学设计 篇5
教学目标：
1、知识与技能
（1）、理解掌握相似三角形周长比、面积比与相似比之间的关系；掌握定理的证明方法。
（2）、灵活运用相似三角形的判定和性质，提高分析，推理能力。
2、过程与方法：
（1）、对性质定理的探究经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度。
（2）、通过实际情境的创设和解决，使学生逐步掌握把实际问题转化为数学问题，复杂问题转化为简单问题的思想方法。
（3）、通过例题的拓展延伸，体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的数学品质，提高分析问题和解决问题的能力。
3、情感与态度：
在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律；通过学生之间的交流合作，在合作中体验成功的喜悦，树立学习的自信心；通过对生活问题的解决，体会数学知识在实际中的广泛应用。
教学重点：相似三角形性质定理的探索及应用
教学难点：综合应用相似三角形的性质与判定探索三角形中面积之间的关系
教学方法与手段：探究式教学、小组合作学习、多媒体教学
教学过程：
一、创设情境，引入新课
1、我们已经学了相似三角形的哪些性质？
2、问题情境：
某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁原有一个面积为100平方米、周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米。现在的问题是：被削去的部分面积有多少？周长是多少？你能解决这个问题吗？
二、实践交流，探索新知
1、看一看：
△ABC与△A′B′C′有什么关系？为什么？
2、算一算：
△ABC与△A′B′C′的相似比是多少？
△ABC与△A′B′C′的周长比是多少？面积比是多少？
3、想一想：
你发现上面两个相似三角形的周长比和相似比有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？
4、验一验：是不是任何两个相似三角形都有此关系呢？你能加以验证吗？
5、在学生思考、讨论的基础上给出证题过程（多媒体）
6、归纳小结；相似三角形性质定理2
相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
三、基础训练，加深理解
练一练：已知两个三角形相似，请完成下列表格：
归纳：周长比等于相似比；已知相似比、周长比，求面积比要平方，已知面积比求相似比或周长比则要平方。
四、综合应用，解决问题
已知：如图，△ABC,DE//BC，且△ADE的面积等于梯形BCED的面积，则△ADE与△ABC的相似比是
五、拓展延伸，共同提高
1、如图,在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点。(1)找出图中的各对相似三角形；
(2)各对相似三角形的相似比分别是多少？面积的比呢？
ADEOBC
2、如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
六、回顾反思，畅谈心得
本节课你有何收获？
1、这节课我们学到了哪些知识？
2、我们是用哪些方法获得这些知识的？
3、通过本节课的学习，你有没有新的想法或发现？你觉得还有什么问题需要继续讨论吗？
七、布置作业
1、作业本2、3（2）（3）、4、5
2、探究推理过程课外整理完成，各组自行组织讨论交流。
教学设计说明：
1、本节课从一个较为实际的生活情境引入，设置问题悬念，激发学生的求知欲望，使学生掌握将实际问题转化为数学问题的思想方法，感受数学知识在生活中的广泛应用。
2、性质定理2的学习和探索，注重于知识的形成过程，使学生体验特殊到一般的认知规律，以及由观察——猜想——论证——归纳的数学思维过程。
3、由问题的解决变式到例题，再经例题加以拓展延伸，使本节内容衔接更趋自然，同时使学生充分体会类比的数学思想以及图形之间的互相联系。
要重视相似三角形中的对应关系 篇6
例1S老师提出了这样一道思考题：如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，试问△AOB与△DOC是否相似？
Z同学对此题作了如下解答：
答：△AOB∽△DOC．理由：因为AD∥BC，所以△AOD∽△BOC，所以=，所以=．又因为∠AOB＝∠DOC，所以△AOB∽△DOC．
你認为该同学的解答是否正确？并说明理由．
分析表面看来，这个同学的解答好像是没有问题的，但事实上△AOB与△DOC不一定相似，问题出在哪里呢？仔细推敲他的解答过程，由AD∥BC，可知∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，那么这两个相似三角形的三组对应顶点应分别为A与C，D与B，O与O，则Z同学的解答中“△AOD∽△BOC”的正确写法为：△AOD∽△COB．从而此相似三角形的对应边成比例的比例式应为：=．观察此比例式可知，成比例的四条线段不能构成△AOB与△DOC的对应边．因此，不能判定△AOB与△DOC相似．由此可知，该同学的解答不正确．
例2一个钢筋三角架的三边长分别是20cm、50cm、60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另两边，则此钢筋三角架三边所有可能的长度为．
错解将50cm的钢筋截成两段，并设被截成的两段的长分别为xcm和ycm．
因为要做的一个钢筋三角架与原钢筋三角架相似，则根据相似三角形的对应边成比例，可得==．解之，得x＝10，y＝25．所以此钢筋三角架的三边的长分别为10cm、25cm、30cm．
分析解决此题的关键是运用相似三角形的对应边成比例，求截得的两边的长．而此题中边的对应关系显然具有不确定性，因此，确定边的对应关系又是解决这个问题的前提条件和关键，错解就是忽略了这一点．
正解以30cm的钢筋为一边时，设另两边的长分别为xcm、ycm．因要做的一个钢筋三角架与原钢筋三角架相似，则根据边的对应关系，可得比例式==或==或==．解之，得x=75，y＝90（不满足x＋y≤50，舍去）或x＝12，y＝36或x＝10，y＝25．
以50cm的钢筋为一边时，设另两边的长分别为xcm、ycm，则x+y
≤30＜50，两边之和小于第三边，不能构成三角形.
因此，此钢筋三角架三边的长分别为12cm、30cm、36cm或10cm、25cm、30cm．
例3如图2所示,在矩形ABCD中,AB＝12cm，BC＝6cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），试问：t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
错解当△QAP与△ABC相似时，有=, 即=， 解之, 得t＝1.2．
答：t为1.2秒时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．
分析由题意，知∠QAP＝∠B＝90°，要求“以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似”，另一组对应角尚不明确，故需分类讨论．
因为∠QAP＝∠B＝90°，故
（1）当∠AQP＝∠BAC时，有Rt△AQP∽Rt△BAC，得=，即=，解之，得t＝1.2；
（2）当∠AQP＝∠BCA时，有Rt△AQP∽Rt△BCA，可得=， 即=，解之，得t＝3．
答：t为1.2秒或3秒时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．
重视相似三角形中的对应关系，注意对“对应”的理解，一方面能使我们易于分清相似三角形中对应的边和角，另一方面还能使我们进一步理清实际问题中对应的各种可能．
相似三角形的多解问题 篇7
一、直线的不唯一
例1 ( 2013·贵阳) 如图, M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点, 过M点作直线截△ABC, 使截得的三角形与△ABC相似, 这样的直线共有 ()
A.1条B.2条
C.3条D.4条
分析: 过点D作直线与另一边相交, 使所得的三角形与原三角形有一个公共角, 只要再作一个直角就可以.
解: 因为截得的三角形与△ABC相似, 所以过点M作AB的垂线, 或作AC的垂线, 或作BC的垂线, 所得三角形满足题意, 所以过点M作直线l共有三条, 如图, 故应选C.
说明: 本题主要考查三角形相似判定定理及其运用. 解题时, 运用了两角法 ( 有两组角对应相等的两个三角形相似) 来判定两个三角形相似.
二、点坐标的不唯一
例2 ( 2013 ·孝感) 在平面直角坐标系中, 已知点E ( - 4 , 2 ) , F ( - 2, - 2) , 以原点O为位似中心, 相似比为1/2, 把△EFO缩小, 则点E的对应点E'的坐标是 ()
A. ( - 2, 1) B. ( - 8, 4)
C. ( - 8, 4) 或 ( 8, - 4) D. ( - 2, 1) 或 ( 2, - 1)
分析: 对于△EFO, 以原点O为位似中心, 相似比为1/2, 把△EFO缩小, 应有两种情形, 即一个在原点O的左边, 另一个在原点O的右边, 于是根据题意画出相应的图形, 找出点E的对应点E'的坐标即可.
解: 如图, 则点E的对应点E'的坐标是 ( - 2, 1) 或 ( 2, - 1) , 故应选D.
说明: 此题考查了位似图形, 以及坐标与图形性质, 位似是相似的特殊形式, 位似比等于相似比, 其对应的面积比等于相似比的平方.
三、线段比的不唯一
例3 ( 2013·徐州) 如图, 在Rt△ABC中, ∠C = 90°, 翻折∠C, 使点C落在斜边AB上某一点D处, 折痕为EF ( 点E、F分别在边AC、BC上) .
( 1) 若△CEF与△ABC相似.
(1) 当AC=BC=2时, AD的长为____;
(2) 当AC=3, BC=4时, AD的长为______.
( 2) 当点D是AB的中点时, △CEF与△ABC相似吗? 请说明理由.
分析: ( 1) 若△CEF与△ABC相似. (1) 如图1, 当AC = BC = 2 时, △ABC为等腰直角三角形; (2) 当AC = 3, BC = 4 时, 应分两种情况: ( I) 若CECF = 3:4, 如图2 所示, 此时EF∥AB, CD为AB边上的高; ( II) 若CFCE = 3:4, 如图3 所示, 由相似三角形角之间的关系, 可以推出∠A = ∠ECD与∠B = ∠FCD, 从而得到CD = AD = BD, 即D点为AB的中点; ( 2) 当点D是AB的中点时, △CEF与△ABC相似, 可以推出∠CFE = ∠A, ∠C = ∠C, 从而可以证明两个三角形相似.
解: (1) 若△CEF与△ABC相似. (1) 如图1, 当AC=BC=2时, △ABC为等腰直角三角形, 此时D为AB边中点, .
(2) 当AC = 3, BC = 4时, 有两种情况: ( I) 若CECF = 3：4, 如图2所示.
因为CECF = AC∥BC, 所以EF∥AB. 由折叠性质可知, CD⊥EF, 所以CD⊥AB, 即此时CD为AB边上的高. 在Rt△ABC中, AC = 3, BC = 4, 所以AB = 5,
( II) 若CFCE = 3：4, 如图3 所示. 因为△CEF∽△CAB, 所以∠CEF = ∠B, 由折叠性质可知, ∠CEF + ∠ECD = 90°, 又∠A + ∠B =90°, 所以∠A = ∠ECD, 所以AD = CD. 同理可得∠B = ∠FCD, CD =BD, 此时AD = (1/2) AB = (1/2) × 5 =5/2.
综上所述, 当AC = 3, BC = 4 时, AD的长为9/5或5/2.
( 2) 当点D是AB的中点时, △CEF与△ABC相似. 理由如下: 如图3 所示, 连接CD, 与EF交于点Q. 因为CD是Rt△ABC的中线, 所以CD = DB = AD, 所以∠DCB = ∠B.
由折叠性质可知, ∠CQF = ∠DQF = 90°, 所以∠DCB + ∠CFE =90°,
因为∠B + ∠A = 90°, 所以∠CFE = ∠A, 又∠C = ∠C, 所以△CEF∽△CBA.
相似三角形的性质 篇8
(2015·江苏常州)如图1是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系,公园的入口位于坐标原点O,古塔位于点A(400,300),从古塔出发沿射线OA方向前行300 m是盆景园B,从盆景园B向左转90°后直行400 m到达梅花阁C,则点C的坐标是________.
【思路分析】“盆景园B向左转90°后直行400 m到达梅花阁C”,由这个条件可得: ∠CBO=90°,于是,我们应该要想到构造“K” 字型相似.过点B作BE⊥x轴,交x轴于E,过点C作CF∥x轴,交EB于点F,把“K”字型构造出来,可得出△CFB∽△BEO,利用相似的比例式可得答案.
解:过点B作BE⊥x轴,交x轴于E,过点C作CF∥x轴,交EB延长线于点F.
∵A(400,300),
∴OA=500(m),∴OB=800(m).
∵BE⊥x轴,∴∠BEO=90°,
∴∠BEO=∠ADO,
∵∠BOE=∠AOD,∴△BOE∽△AOD,
∴BO/AO=BE/AD=OE/OD,
∴800/500=BE/300=OE/400,
∴BE=480(m),OE=640(m).
∵∠BEO=90°,∴∠BOE+∠OBE=90°.
∵∠CBO=90°,∴∠OBE+∠CBF=90°,
∴∠BOE=∠CBF.
∵CF∥x轴,∴∠BEO+∠CFB=180°,
∴∠CFB=90°,∴∠CFB=∠BEO,
∴△CFB∽△BEO,
∴CF/BE=BF/OE=BC/OB,
∴CF/480=BF/640=400/800,
∴CF=240(m),BF=320(m),
∴C(400,800).
二、模型再现
“K”字型相似基本图形1
已知:B,C,E三点共线,∠B=∠ACD= ∠E =90° . 试说明: △ABC∽△CED.
【思路分析】核心条件1:B,C,E三点共线;
核心条件2:∠B=∠ACD=∠E=90°.
基本图形1是“K”字型相似问题中的一种特殊模型,解决此类问题的关键是发现“三点一线”(B,C,D三点共线),“三角相等”(∠B=∠ACD=∠E=90°).
“K”字型相似基本图形2
已知:B,D,C三点共线,∠B=∠EDF= ∠C=α.试说明:△BDE∽△CFD.
【思路分析】核心条件1:B,D,C三点共线;
核心条件2:∠B=∠EDF=∠C=α.
基本图形2是“K”字型相似问题的一般模型,同样是要发现“三点一线”(B,C,D三点共线),“三角相等”(∠B= ∠EDF = ∠C=α).
我们通常也将“K”字型称为一线三等角型或三角一线型.
三、以三角形为载体
(2008·福建福州)如图4,△ABC是边长为6 cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发, 分别沿AB、BC匀速运动,点P运动的速度是1 cm/s,点Q运动的速度是2 cm/s,当点Q到达点C时,P、Q两点都停止运动,设运动时间为t(s).作QR∥BA交AC于点R,连接PR,当t为何值时,△APR∽△PRQ?
【思路分析】核心条件1:动点P沿AB匀速运动;
核心条件2:∠A=∠B=∠RPQ=60°.
由△APR∽△PRQ可得∠RPQ=∠A= 60°,由QR∥BA可得△CRQ是等边三角形及其各线段的长度为(6-2t)cm,由∠A= ∠B=∠RPQ=60°可得△APR∽△BQP,利用相似的比例式可解得t=1.2.
四、以平行线为载体
已知:直线l1∥l2∥l3∥l4,相邻两条平行直线间的距离都是2,线段AB的两端点分别在直线l1、l3上并与l2相交于点E,若以线段AB为一边作正方形ABCD,C、D两点恰好分别在直线l4、l2上,则sinα=________.
【思路分析】核心条件:由∠ADC=90° 构造“K”字型.
过点D作DF⊥l1交于点F,延长FD交l4于点G,可证得△ADF≌△DGC,可得AF=DG=4,于是,所以.
五、以矩形为载体
(2012·天津节选)已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中,点A(11,0),点B(0,6),点P为BC边上的动点(点P不与点B、C重合),经过点O、P折叠该纸片,得点B′和折痕OP.设BP=t.
(Ⅱ)如图7,经过点P再次折叠纸片, 使点C落在直线PB′上,得点C′和折痕PQ, 若AQ=m,试用含有t的式子表示m;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当点C′恰好落在边OA上时,求点P的坐标(直接写出结果即可).
【思路分析】(Ⅱ)核心条件1:
P为BC边上的动点,B′落在直线PC′上;
核心条件2:
∠OBP=∠OPQ=∠PCQ=90°.
可得△OBP∽△PCQ,利用相似的比例式可得:m=1/6t2-11/6t+6(0<t<11).
(Ⅲ)先得结论:PC′=PC=OC′=11-t,
核心条件1:B′落在直线PC′上,C′落在直线OA上;
核心条件2:∠PC′Q=∠C′AQ=90°.
《相似三角形的基本型》教学设计 篇9
《相似三角形》是人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》 (五四学制) 第二十七章的内容, 是全等变换之后的又一种图形变换.全等是相似的一种特殊情况, 从这个意义上讲, 相似比全等更具一般性.本节课主要复习了相似基本型, 通过对相似基本型的归纳总结和习题的变换训练, 加深了学生对变换思想的认识, 熟练了相似基本型的综合运用.
二、教学对象分析
九年级学生已经学习了相似三角形的性质和判定, 并进行了简单的练习, 但是在解决稍复杂的问题时, 不会灵活运用相似基本型解决问题.针对此情况, 我设计了这节复习课, 加强学生对相似基本型的理解和应用.
三、教学目标及教学重难点
1. 教学目标
知识与技能:理解相似基本型的区别和联系, 能灵活运用相似基本型解决相关问题.
过程与方法:经历观察、思考、小组探究等活动, 进一步体会转化的思想.
情感、态度与价值观:通过学生观察、思考、小组探究等活动, 提高学生合作交流能力、主动参与意识.通过小组合作交流活动, 提高学生语言表达能力和逻辑思维能力.
2. 教学重点:相似三角形的基本型.
3. 教学难点:相似基本型的综合应用.
四、教学方法、过程及整合点
1. 教学方法
依据学生认知规律, 遵循“学生为主体, 教师为主导, 数学活动为主线”的指导思想, 采用以启发引导为主, 直观演示法为辅的教学方法.适时运用多媒体教学, 充分发挥现代教学手段的优越性.
2. 学习方法
根据学法指导自主性和差异性原则, 让学生在“思考—操作—交流—归纳”的实践探索中自主参与知识的产生、发展、形成与应用的过程, 引导学生自己发现问题、提出问题、解决问题、拓展问题, 指导学生用观察、抽象、自主探究为主、合作交流为辅的方法进行学习.
3. 教学过程及整合点
(1) “忆”———复习相似基本型主要有哪些
师生活动:总结相似基本型主要有三种:A型、X型、M型.
(设计意图:回忆相似基本型的三种类型, 加深对知识的整体认识.)
整合点与软件:几何画板演示三种图形, 形象直观.
(2) “清”———理清相似基本型的区别和联系
师生活动1:观察A型、X型、M型这三种相似基本型的区别, 再思考它们之间有什么联系.
师生活动2:小组交流三种相似基本型的区别和联系.
师生活动3:归纳相似基本型的区别和联系, 突出本节课重点.
(设计意图:经历教师的演示、学生的探究过程, 体会相似基本型之间的联系和区别, 为解决综合题埋下伏笔.)
整合点与软件:此环节是信息技术与课程整合点之一.几何画板的充分使用, 解决了传统教学中教师难以讲述, 学生难以理解的内容.
(3) “析”———分析如何选择相似基本型解决问题
师生活动1:相似基本型的应用
如下图, 等边△ABC中, D为BC中点, ∠EDF=60°, 当∠EDF旋转一个角度时, 观察探索△BED和△CDF有什么关系.
师生活动2:找出△BED和△CDF相似, 是M型相似.
师生活动3:如下图, 将等边三角形变为等腰三角形, 将中点D变为一般点D, 结论还成立吗?
师生活动4:总结解决问题的关键是找出相似基本型, 为解决相似基本型的综合应用这一难点打下基础.
(设计意图:此题是探索题, 通过对等边三角形中相似基本型M型的探索, 发散学生的思维, 锻炼学生的毅力, 同时也体现了团队合作精神.总结图形相似的有关特征并自觉应用到变式中, 进一步丰富数学活动经验, 培养应用数学知识解决问题的能力.)
整合点与软件:此环节是信息技术与课程整合点之二, 这是一个动态图形, 从中找出静态图形, 利用几何画板将相似三角形拖拽出来, 使学生看得更清晰.
(4) “练”———变式训练, 一题多解
师生活动1:提出动点问题.
已知菱形ABCD, AB=4cm, ∠B=60°, 点P、Q分别从点B、C同时出发, 沿线段BC, CD以1cm/s的速度向终点C, D运动, 运动时间为t秒.连AP, AQ, PQ, 试判断△APQ的形状, 并说明理由.
学生观看演示, 独立思考, 体会动点问题中哪些图形全等, 老师总结动中的不变.
师生活动2:如何解决动点问题和相似基本型的综合题.
连接AC, 与PQ相交于K, 当t=1秒时, 求AK的长.学生探究后派代表演示找出的相似基本型.
师生活动3:由于学生表述得不够完整, 教师将找到的基本型进行演示, 突破本节课难点.
(设计意图:此题是探索结论题, 体现了层次性, 呈阶梯逐步加深、加难, 通过对结论的探索, 复习相似三角形中的基本型.通过一题多变, 培养学生的发散思维, 拓展学生的解题思路.)
整合点与软件:此环节是信息技术与课程整合点之三.几何画板的充分使用, 变抽象为形象, 变复杂为简单, 动中有静, 静中有动, 形象具体.几何画板呈现相似基本型, 并从复杂的图形中抽象出来, 寻找题中的变量和不变量.
(5) “评”———对复习结果评价和反馈
师生活动:用“问卷星”的形式小结反馈.
(设计意图:用此形式, 可以灵活掌握学生对所学内容的掌握情况, 以便对个性问题个别辅导, 对共性问题集中讲评.)
五、教学环境
相似三角形的性质 篇10
学习目标：
1.通过探索与交流，得出两个三角形只要具备两个角对应相等，即可判断两个三角形相似的方法。
2.尝试判断两个三角形相似，并能解决生活中一些简单的实际问题。
学习重点：
1.两个三角形相似的条件(一)的应用。
2.了解两个三角形相似的条件(一)的探究思路和应用。
学习难点：经历“操作—观察—探索—说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力。
教学过程：
一、与书本合作
1._______的两个三角形叫做相似三角形。
2.已知△ABC∽△DEF，且∠A=80°，∠B=30°，则∠F=___;AB=2, DE=1, BC=3，则EF=____。
3.在△ABC和△DEF中，且∠A=40°，∠B=80°，∠D=80°，∠E=60°，△ABC和△DEF是否相似?为什么?
【第1题复习相似三角形的定义，为本节课的探究活动做准备;第2题让学生回顾相似三角形的简单性质，为解决情境中的难题作铺垫;第3题检查学生的预习，为学习新知做准备。】
二、与同学合作
（一）情境引入
1805年，拿破仑率领大军与德俄联军在莱茵河作战。当时德俄联军在北岸步阵，法军在南岸，中间隔着很宽的莱茵河。法军要开炮轰击德俄联军，必须知道河的宽度。拿破仑为此大伤脑筋，站在南岸远望德俄阵地。
忽然，他观察到对面岸边的一个标志O，于是他想出了一个测量河宽的办法。他在自己的岸边选点A、B、D，使得AB⊥AO, DB⊥AB，然后确定DO和AB的交点C。然后测得AC=120米，CB=60米，BD=250米。
你能帮助他算出莱茵河的宽度吗?
【用历史小故事引入，能激发学生的学习兴趣与探究欲望。】
(二) 探究学习
1.尝试
小明用白纸遮住了3个三角形的一部分，你能画出这3个三角形吗?
(1)在图中，若∠A=∠A′，∠B=∠B′，AB=A′B′，那么(1)和(2)中的两个三角形全等吗?
(2)若∠A=∠A″，∠B=∠B″，A″B″=AB，那么(1)和(3)中的两个三角形相似吗?
【老师给予方法指导，画出三角形，并测量各组边的长度，对照定义，计算是否成比例，为了节约时间，让学生分工合作。】
2. 概括总结
由此得判定方法一：如果两个三角形中，有两组角对应相等，那么这两个三角形相似。
几何语言：在△ABC与△A″B″C″中
【在此过程中，给学生充分的时间画图、观察、比较、交流，最后通过活动让学生用语言概括总结。学生自己通过动手操作、实验得出判定条件，能产生自豪感及满足感，培养自信心及逻辑推理能力。】
与老师合作：
例1：在△ABC和△DEF中，以下三个条件中，哪些能使△ABC与△DEF相似?
例2：关于三角形相似下列叙述不正确的是( )。
A.有一个底角对应相等的两个等腰三角形相似
B.有一个角对应相等的两个等腰三角形相似
C.所有等边三角形都相似
D.顶角对应相等的两个等腰三角形相似
【例1、例2是对刚刚所学判定方法的简单应用，学生能够较轻松地解决问题，从而产生自豪感及成就感，培养自信心。】
例3：如图，△ABC中，DE∥BC，分别交另外两边于点D、E。问：△ADE与△ABC相似吗?为什么?
【变式】如图，△ABC中，DE∥BC，分别交另外两边的延长线(反向延长线)与点D、E，问：△ADE与△ABC相似吗?为什么?
由此得：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。(平行得相似)
几何语言：∵DE∥BC
【在解决例3的过程中，给学生充分的时间画图、观察、比较、交流，最后通过活动让学生用语言概括总结。学生通过自己动手操作、实验得出判定条件，能产生自豪感及满足感，培养自信心及逻辑推理能力。例3既是对所学判定方法的应用，同时又能得出相似三角形的另一种特殊的判定方法。】
（三）能力提升
1. 解决拿破仑的难题
AB⊥AO, DB⊥AB, AC=120米。CB=60米，BD=250米，求：AO的长度。
2. 如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，你能找出几组相似三角形?并说明理由。
3. 过△ABC的边AB上一点D作一条直线与另一边AC相交，截得的小三角形与△ABC相似，这样的直线有几条?请把它们一一作出来。
【能力提升题，让学生巩固所学内容并进行自我检验与评价，既面向全体学生，又因材施教，照顾到学有余力的学生，体现分层教学。尤其在第3题重在渗透分类讨论的思想。】
（四）归纳总结
你有哪些方法判断两三角形是否相似?
(1)两三角形中两组角对应相等;
(2)平行得相似(A型，8字型);
(3)你还有什么疑问有待解决?
【让学生自己小结，活跃了课堂气氛，做到全员参与，理清了知识脉络，强化了重点，培养了学生口头表达能力。】
三、与家长合作
1.和家长交流你今天所学的判定三角形相似的方法;
2.利用周末时间和家长一起用三角形相似的原理测量你家所在住宅楼的高度。
教学反思：
这节课的主要教学目标是让学生在亲自操作、探究的过程中，获得三角形相似的第一个简单的识别方法;培养学生提出问题、解决问题的能力;从整堂课学生的表现看到，这节课基本上实现了以上目标。
上完本节课，我有以下几点感受：
1.在情景引入中，学生突然眼前一亮，很感兴趣，迫切地想学会本节课的知识来解决拿破仑的难题。于是，学生积极参与探究学习中去测量三角形边的长度，并测量计算比例关系，从而得出三角形相似的第一个简单的识别方法：两角对应相等的两三角形相似。
2.这节课给学生提供了很多自主学习、自主操作、自主活动的机会，尤其是新知的探究活动，画一画、量一量、算一算。这些设计都能给学生提供自主探索新知的空间，体现了学生是数学学习的主人的新理念，让学生悟出学习方法和途径，培养学生独立学习的能力，所有问题的结果都由学生自己操作、判断得出，学生在此学习过程中有成就感和自豪感。
判断三角形相似三绝招 篇11
第一招：两组角对应相等的两个三角形相似
例1 如图1，在Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2.点D在BC上运动（不能到达点B）.过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．求证：△ABD∽△DCE．
分析：△ABD、△DCE中已有一组相等的角，即∠B=∠C.若再能找到一组相等的角，即可证明△ABD∽△DCE．
证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
又∵∠B+∠BAD=∠ADC=∠ADE+∠EDC，而∠B=∠ADE=45°，
∴∠BAD=∠EDC.
∴△ABD∽△DCE．
点评：“两组角对应相等的两个三角形相似”是判定三角形相似最简单、好用的方法.在应用时，注意寻找“∠A+∠B=∠C+∠D，由∠B=∠D，则∠A=∠C”类型的角的相等关系．
第二招：两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
例2 如图2，△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB=，BC=1.连接BF．
求证：△BFG∽△FEG．
分析：△BFG与△FEG有一个公共角∠G.已知条件告诉了等腰三角形的边长，现只需证明夹∠G的两组边对应成比例，即可证明△BFG∽△FEG．
证明：由题意知FG=FE=AB=，EG=BC=1，BG=3BC=3.
∴==，==.
∴=．
又∵∠G=∠G，
∴△BFG∽△FEG.
点评：利用“两组边对应成比例且夹角相等”判定三角形相似，类似于三角形全等的“边角边”的判定方法.运用时注意把握好两边与夹角的位置关系．
第三招：三组边对应成比例的两个三角形相似
例3 如图3，在2×5的正方形网格中（每个小正方形边长均为1），有格点△ABC和格点△ADE．
（1）证明：△ABC∽△ADE；（2）求∠1+∠2．
分析：（1）△ABC、△ADE中，角之间的相等关系不明显，所以第一招、第二招都不好使用.考虑到△ABC、△ADE是正方形网格中的格点三角形，可以利用勾股定理求得各边的长，然后判定三组对应边是否成比例，从而确定三角形相似与否．（2）利用相似三角形的性质，求出∠ADE的大小，即可计算出∠1+∠2．
解：（1）由勾股定理得：
AD==，DE==，AB==，AC==．
又因为AE=5，BC=2，所以==，= ，==.
∴==.
∴△ABC∽△ADE．
（2）因为△ABC∽△ADE，所以∠ADE=∠ABC=90°+45°=135°，故∠1+∠2=180°－135°=45°．
相似三角形在解物理题中的应用 篇12
一、在力学中的应用
例1有一个直角支架AOB,AO水平放置,表面粗糙,OB竖直向上,表面光滑.AO上套有小环P,OB上套有小环Q,两环质量均为m,两环间由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连,并在某一位置平衡,如图1所示.现将P环向左移一小段距离,两环再次到达平衡,那么将移走后的平衡状态和原来的平衡状态比较,AO杆对P环的支持力N和细绳上的拉力T变化情况是()
(A) N不变,T变大
(B) N不变,T变小
(C) N变大,T变小
(D)N变大,T变大
解析:可以先将P、Q看作一个整体,可以知道AO杆对P环的支持力N=2mg,为恒力.
隔离Q受力分析如图2,顺次连接各力,构成封闭的力的三角形.该三角形与ΔPOQ相似.
所以,将P环
向左移一小段距离,PQ长度不变,OQ变大,T变小.
故答案为(B).
点评:解答力平衡问题的方法很多,利用相似三角形法求解有时会得到很好的效果.
二、在运动学中的应用
例2已知O、A、B、C为同一直线上的四点,AB间的距离为l1,BC间的距离为l2,一物体自O点由静止出发,沿此直线做匀加速运动,依次经过A、B、C三点,已知物体通过AB段与BC段所用的时间相等.求0与A的距离.
解析:作出物体由0运动到C的v—t图像,如图3,设t0、t0+t、t0+2t时,物体的速度依次为vA、vB、vC、OA段的距离为l,由v一t图像“面积”的含义及△OPQ～△ONE得:
AB、BC段所用时间都为t,BC段比AB段多走的位移就是阴影部分的面积:
l2-l1=(vB-vA)t.
梯形PMHQ的面积是AC段的位移,即
l1+l2=vB×2t.
联立以上三式得:
点评:本题使用了v—t图像来解,注意到图像中面积的含义及三角形相似的特点,比公式法形象、直观,达到了简解、巧解的目的.
三、在电学中的应用
例3如图4,两个带电小球A、B的电荷量分别为QA、QB,质量mA=mB,都用长为L的绝缘细线悬挂于0点,静止时,小球A紧靠于墙壁,OA=OB=L,A、B相距为d.要使小球A、B平衡时间距减为d/2,以下可行的办法是()
(A)把两个带电小球A、B的质量都增加到原来的2倍
(B)把小球B的质量增加到原来的2倍
(C)把两个带电小球A、B的电荷量都减小到原来的1/2,同时小球B的质量增加到原来的2倍
(D)把两个带电小球A、B的电荷量都增加到原来的2倍,同时小球B的质量减小到原来的1/2
解析:对小球B受力分析,如图5,由B受到的三力与△OAB相似得:
又由库仑定律,
所以
即(C)正确.
点评:本题是电场中的常考题型,用相似三角形解,比正交分解法来解要简洁、明了,避免了较复杂的运算.
四、在热学中的应用
例4如图6,理想气体处于A态时温度为T1,沿直线AB变化到温度为T2的B态,然后沿直线BC变化到C态,再沿直线CA回到A态,试求C态的温度T3?
解析:设A态的状态参量为PA、vA,B态的状态参量为PB、vB,C态的状态参量为PC、vC,由P—v图像,vA=vB,PB=PC.
A→B,由查理定律得:.①
B→C,由盖吕萨克定律得:,②
B→C,由理想气体状态方程得:
把直线AB反向延长与v轴交于D点,如图6,由△ABC～△OAD得:
即:⑤
由①②③⑤可得:.
点评:题目解到③时,三个方程式只有两个独立,是无法求出T3的,而巧妙应用了相似三角形后,起到了柳暗花明的效果.
五、在光学中的应用
例5如图7所示,一点光源S,它距离竖直墙的水平距离为L,现从S处以水平速度v0抛出一小球P,P在墙上形成的影子为B,在球做平抛运动中,其影子的速度v是多少?
解析:要求影子的速度,首先要知道影子做什么运动,即知道影子的运动规律,进而运用运动学公式求出速度v.
设小球做平抛运动的水平位移是x,竖直位移为y,影子在竖直墙上的位移为y',如图7所示,设P是运动中的任一点,延长SP与墙壁交于点M,由△SPA～△SMB知:
,即.
设小球到P点用时间为t,由运动学公式有:
由以上三式可知:
而在本题中L和v0都是一定的,y'与t成正比.因此可知影子在竖直墙上做匀速运动,其速度是一恒量.
即.
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