《相似三角形的应用》教学反思

《相似三角形的应用》教学反思（精选15篇）

《相似三角形的应用》教学反思 篇1

本节课是运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题。测量问题有多种解法，而且能很好地拓展学生思维，此类问题在中考中也经常出现，除了运用相似三角形的性质解决，也可用三角函数的知识解决，所以本节课就考虑只用一个例题，让学生自己寻找测量方案。在本节的教案写完后，自己觉得能尽可能想到学生可能发生的问题，以及可能会出现的思维障碍，尽可能将学生的思维之路铺设平坦。但在这节课上完后，心中却有种忐忑之感。由于学生思维活跃，而我事先设置好的问题串对上课学生来说，不具备足够的思维量。所以，上这节课给我的思考非常多。

立足于以展示数学活动和合作交流的方式。

相似三角形的应用是在学生学习了相似三角形的基本知识的基础上学习的，是相似三角形知识的应用，延伸与拓展，是将相似三角形与实际生活相结合的问题。通过本节课的学习，使学生学会了运用相似三角形有关知识求旗杆的高。使学生体会到交流的快乐,大家有不同的方法，彼此交流可以让学生互相学习。相似三角形在生活中有着广泛的应用,要灵活地应用相似三角形的知识，应根据具体情况选用不同的方法。晴天时利用物高与影长成比例(包括小镜子);阴天时使用手拿刻度尺进行目测，也可以使用小镜子(入射角等于反射角原理比例),当然，晴天时也可以使用手拿刻度尺进行目测的办法及三角函数的方法.我们既要注意把现实问题抽象成数学问题，比如构造相似三角形解决一些实际问题。还应注意根据具体情况，(比如晴天与阴天)灵活地选用不同的操作方法。应该细心地观察生活，理解题意，分析问题所处的环境，多尝试不同的数学操作活动，控索解决问题的策略;只要多动脑、勤操作，相信同学们一定行!(观察生活―理解题意―分析条件―操作活动)利用相似三角形还能测量其他物体的高:如树高、电线杆、楼房的高度等

在课堂上教师是导演，学生是真正的学习主体。初中学生自觉性、自制力还较差，注意力易分散，而好奇心、好胜心较强。因此，利用知识与兴趣的迁移，逐步引导学生，充分挖掘教材中的趣味因素从学习数学中引起学生学习数学的兴趣。尤其注意扫除学生思维中的障碍，让学生在自己的课堂空间尽情发挥。

《相似三角形的应用》教学反思 篇2

1 教法——发生教学法

发生教学法是基于HPM视角下教学设计优先选择的教学方法, 这种方法对概念、定理的学习比较适用, 对于应用相似三角形的性质同适用, 我们可以遵循这种教学法的原则:

(1) 教师了解所教主题的历史; (2) 理解该主题历史进化的关键步骤; (3) 在现代情境下重构推动进化的关键思想或问题, 使之在教学上适合介绍新的概念、方法或理论; (4) 上述重构的步骤按从易到难的系列问题给出, 后面的问题建立在前面问题的基础上, 采取有序的问题驱动模式。

教学设计中的教法采取的是发生教学法, 以该知识进化的关键步骤为顺序, 由易到难, 在符合学生认知水平的情况下, 设计系列问题, 体现了知识的历史知识发展的连贯性和学生学习的系统性。

2 教学设计

2.1 发现问题, 主动探索, 历史重现

师:展示金字塔的图片, 简要讲解金子塔的来历, 动态展示金子塔的几何图形。以图片的视觉效应将学生带入课堂, 做好学习新课的准备。教师讲解相关历史知识使学生学习兴趣浓厚, 动态的图形展示激发学生自己发现问题、提出问题。

问题1:古希腊几何鼻祖泰勒斯是非常著名的数学家。有一天, 国王想考考泰勒斯, 就问他:你能测出金字塔的高度吗?假如你是泰勒斯, 你能够用桌上的工具想出测金字塔高的方法吗?

【设计意图】问题1的引入自然合理, 是学生解决问题的动力源泉。

生:用长直尺比划, 想直接测量出山的高度, 但显然直尺没有山高, 放弃了这种方法。

师:提醒学生, 金子塔很高, 古代是没有办法用工具直接测出山高。

生:部分同学打开电筒, 有少部分学生发现山的影子可以测量, 有极少的同学在操控木棒。

【设计意图】让学生大胆想象, 经历古人测量金字塔时的思考过程, 领会解决问题步骤的缘由, 有助于后面步骤的理解。

问题2:要求学生测出三个木棒在光下的影长, 并完成下表。 (精确度要求:木棒影长与木棒长度, 木棒影长/木棒长度的计算精确到0.1。)

【设计意图】教师引导学生经历古人的思考过程, 且问题2可操作性强, 学生容易理解, 部分学生可能会想到用相似三角形的性质去解决问题。

师:用投影仪将一组学生的表格展示出来 (表1) .

师:启发学生发现了什么?

生:大部分学生能够发现木棒长度比木棒影长都是为2.0。

师: (出示太阳光照射两根木的棒的图片) , 说明由于太阳距离我们太远, 所以光线是平行的, 而手电筒的光线也是平行的, 所以可以充当太阳光。将几何图形展示在PPT上。你们能证明为什么是定值吗?

生:证明。

【设计意图】让学生自己发现定值问题, 提出问题, 猜测结论, 证明结论, 而此过程正是古代数学家泰勒斯在测量金子塔高度时所经历的理论推导过程。为后面问题的解决奠定了基础, 让学生获得了成功的体验, 学习动机增强。

师:如果我们将图1中高的木棒看成金子塔, 你能够测出塔高吗?

生:开始操作, 列出公式, 计算。

师:PPT展示几何图形和完整的解题过程。

2.2 合作探究, 渗透方法

问题3:同学们, 除了用这种方法你还可以用其他方法测树高吗?小组讨论, 设计方案。

师:学生可能想到的如下图 (图2~5) :

师:分析学生的设计方案, 解释方案的合理性。以问题4的形式讲解图2的方法, 并解释这种方法是古代九章算术中的一种方法, 同学们真聪明!

问题4:已知一座山在木标 (EC) 西, 山与木标的距离 (EF) 53米, 木标高8米。人 (NM) 站在木标东3米, 望见木稍 (C) 与山尖 (P) 三点成一线, 人眼以下高MN=1.5米, 问山的高度是多少? (《九章算术》卷九〈二十三〉)

师:引导学生没有太阳光, 还能测出山的高度吗。

师:引导学生借助自己的眼睛。

展示完整的过程。

解:设山高为因, 因为△OPC∽△ACB (见图6)

问题5:当泰勒斯测出金子塔的高度后, 更加德高望众了。但国王还是不满意, 又出了新的问题, 如图7, 如果国王站在金字塔的A点, 泰勒斯站在B点, 你能测出A、B之间的距离吗?

师:展示完整的过程。

师:泰勒斯用“间接法”求出两点间的距离, 其方法一直延用至今。这也是我们今后求不能直接测量两点间距离常用的方法。

【设计意图】此方法是求不能直接测量物体间长度常用的方法, 也是教学目标中要掌握的方法之一。

2.3 归纳小结, 巩固训练

师:PPT展示前面三种相似三角形的模型, 小结做题步骤。

【设计意图】及时巩固训练, 加强学生对知识的应用, 且例题的难度中等, 也出现了尺规作图题, 培养学生对几何空间能力的形成。

2.4 学生总结, 布置作业

师:在数学历史的长河中, 人们对相似三角形应用的研究保持着热情, 我们今天学习了这个知识, 你们能谈谈对该知识的感受吗?

参考文献

[1]汪晓勤.HPM视角下二元一次方程组概念的教学设计[J].中学数学教学参考, 2003 (5) .

[2]徐章韬, 汪晓勤, 梅全熊.发生教学法:从历史到课堂[J]数学教育学报, 2010.2.

[3]义务教育数学课程标准 (2011版) [M].北京师范大学出版社, 2011.

[4]肖作政.九章算术今解.[M]辽宁人民出版社, 1990.5.

[5]张红.数学简史[M]科学出版社, 2008.1.

[6]李文林.数学史概论[M]高等教育出版社, 2010.9.

《相似三角形的应用》教学反思 篇3

关键词： 几何画板 相似三角形 数学定理

引言

相似三角形是初中数学重要知识，相似三角形教学过程中，以往教师一般利用各种实物培养学生空间想象力，但在这个过程中，对于一些抽象的知识和概念，学生理解起来还是有一定困难的。将几何画板应用到相似三角形教学过程中，可以取得更好的教学效果，培养学生自主学习能力和创造性思维。

1.几何画板应用于相似三角形教学中的优势

1.1具有动画功能帮助学生理解知识

几何画板是一种现代教学软件，取代了传统教学中的粉笔和直尺。利用直尺和粉笔讲解相似三角形的有关知识时，教师一般是独立完成画图，画完图之后才进行知识讲解。在这个过程中，学生对图像的变化及形成没有参与，因此容易觉得图形过于抽象。而将几何画板运用到教学中，可以充分发挥几何画板的优点，在课堂中制作出动态的几何图形，让学生更直观地看到图形的形成。同时还可以对图形进行拖动，加深学生对三角形相似概念的理解，取得更好的效果。

1.2将抽象的问题形象化

几何图形的学习具有一定的抽象性，对于初中生来说，空间想象能力发展还不够，学习几何图形时具有一定的困难。而将几何画板应用到几何图形教学中，画出的图形具有动态性，并且是可操作的，可以在保持几何关系不变的情况下对图形进行拖动和变化，图形变化过程中，学生能形象生动地观察几何图形之间的内在关系，从而学好相似三角形的相关知识[1]。

2.几何画板应在相似三角形教学中的应用

2.1在相似三角形预备定理中的运用

学习相似三角形最主要的目的就是要学生掌握三角形之间的内在联系。虽然初中数学教材中给出了很多判断三角形相似的定理，但如果教师在教学过程中只是将这些定理让学生死记硬背下来，那么虽然对学生短期学习具有一定的帮助，但由于学生并没有真正理解这些定理，对三角形之间的内在联系也没有理解，因此后期学习中很容易将各种定理混淆或者遗忘。而将几何画板运用到各种定理学习中，可以让学生在理解的基础上记住定理，增强教学效果。

对于三角形的预备定理，考虑到学生已经掌握的知识结构，还不能对这个定理进行证明，因此学生很难理解这个定理的含义，一般只能通过死记硬背的方式将其记住。而将几何画板运用到相似三角形预备定理教学中，可以绘画出图1，三角形ABC中，D在直线AB上，过D点做DE和BC平行，利用软件的优势，可以将DE上下移动，在移动过程中，软件可以显示出每条边的长度，可以发现△ABC和△ADE对应的边的比值是不变的，通过已经学过的知识可以判断这两个三角形是相似的了。在这个过程中，形象地展示了两个三角形之间的内在联系，帮助学生更好地理解。

2.2在相似三角形判定定理中的应用

相似三角形的判定定理是整个几何图形中非常重要的内容，也是全等三角形知识的延伸和扩展，在这个阶段的学习中，教师可以充分利用学生已经掌握的知识，根据学生已有的知识框架构建一个新的知识框架，从而学习新知识，取得事半功倍的效果[2]。教师可以利用几何画板制定课件，如图2所示，利用软件适当改变α和β这两个角的大小，在图形动态变化过程中，学生很容易发现这两个图形是相似的。此时，教师应该引导学生充分发挥想象力，对三角形相似预备定理中的图形进行观察，通过叠合法，将△ABC移到△A′B′C′中，这样就可以满足预备定理上的图形特征。通过这种方式，不仅学生能将相似三角形判定定理的内容记得更熟，最重要的是已经理解了相似三角形判定定理的内容，已经将其转化为自己的知识。同时，整个教学过程从以往实验几何向推理几何转变，不仅帮助学生更好地理解知识，对学生自主学习能力、推理能力、判断能力等的提高也是非常重要的。

图2

2.3在相似三角形位似概念中的应用

在三角形相似知识教学过程中，涉及三角形的相似和变换，一定要理解位似变换的知识，位似变换是相似变换的特例，但是学生在学习中具有一定的困难。对于三角形的位似变换，学生一定要理解，首先两个三角形是相似的，其次这两个三角形的对应顶点的连线最终会相交于一点，并且三角形的对应边是相互平行的。对于这三点，如果教师只是让学生死记硬背下来就是远远不够的，画图说明，也只能画出一个静态图，不能很好地帮助学生理解[3]。因此，可以充分利用几何画板，将两个位似三角形画出来，并通过拖动图形加深学生对位似概念的理解，从而更好地掌握知识。通过几何画板，可以在较短时间内展现出图形的变化，而这一点是利用黑板做不到的，通过图形的变换，让学生准确理解几何图形的作图和内在关系，从而深刻理解位似的三要素。

结语

新课标下，要想取得更好的教学效果，教师应该改革传统教学手段，充分利用各种现代化教学手段，在相似三角形知识学习中充分利用几何画板，帮助学生更好地理解相似三角形预备定理、判定定理和位似概念，同时培养学生的推理能力，更加注重学生能力的培养。此外，在其他数学知识的学习中也可以利用几何画板强化教学效果。

参考文献：

[1]洪兵.关于几何画板在高中数学教学中的应用思考[J].高考：综合版，2015，23（11）：87-88.

[2]花永平.几何画板在相似三角形教学中的合理使用[J].初中数学教与学，2012，32（10）：165-166.

《相似三角形》教学反思 篇4

只要是在教学一线，就会遇到这样的窘境，当学生的课堂活动呈现一片繁荣，教学活动正在老师的指导下紧锣密鼓，热热闹闹朝着预设的轨道前进时，突然半路杀出个“程咬金”。一个有学生冒出一句与你教学设计可能完全不同，但又带着“金子般闪光”的意外发言―――打断了你，若对这“意外的发言”给予重视，评价肯定，抓住其合理成分施教，势必打乱整个教学设计，若断然否定，置之不理，或搪赛过去，不但会轻易错过一个“千里难觅”的适合学生思维发展与创新的教学契机，而且还会严重挫伤学生的积极性和创造性，真是进退两难!此时此刻，何为“重”，何为“熊掌”?你如何“舍鱼而取熊掌”?现结合自己亲身经历的教学案例，对此进行探讨，希望能引起广大同仁重视与讨论。

二、案例描述：

在教义务教育课程标准实验教科书《华东师大版》八年级数学(下)18。4画相似三角形时，我以画相似三角形为例。即：已知△ABC，画△A@B@C@，使△ABC∽△A@B@C@，且△ABC与△A@B@C@的相似比为1：2(将△ABC放大2倍)。通过我的板演示范引导分析，学生们以小组为单位，围绕位似中心，在三角形内部，外部与三角形上进行探索，讨论，然后小组派代表，板前示画，并介绍画法及推理过程，课堂气氛活跃，对此我感到很满意，因为大部分学生是按照我备课时所想到的情况逐一展示说明。

在集中归纳、点评，突然刘跃站起来，冒出一句：“老师，当位似中心在三角形内部时，连结位似中心与名顶点，我反向延长线段OA、OB、OC得到△ABC放大后的侧立图形，你看行不行?”。因为刘跃平时上课好说一些与课上内容无关的结论，所以，当时，我连看都没看，随口说了一句：“你的高招下课后再说”随即又兴趣盎然地继续展示我早以设计好的内容。而刘跃红着脸，低头坐下，无心听课。时而东张西望。当我讲完之后，我巡视一周，发现有好几名数学学的很好的同学，也用一种茫然的目光注视着我，我走下讲台，随手拿起一本练习本，发现他也是用刚才刘跃同学所说的画法画的，他们也在等待老师的指导与所下的结论……这种方法行不行。

这时，下课铃响了，我拿着练习本走回办公室，仔细一看，此种方法完全可以。虽没按常规方法，连结OA并延长A@使OA：AA=1：2，同理确定B@、C@，但反向延长线段，得到倒立放大2倍的相似图形，足可以看出刘跃思维的敏捷性，创新性，我们新一轮课程改革不就是以发展学生创新意识和能力为主，培养“再创造”能力吗?我为自己的断然否定态度而后悔。

三、案例分析：

课堂教学实践经验告诉我们：在教学中学生往往存在着一些教师在备课中没有想到或者没有准备到的创新思路或方法，这些方法甚至比教师的方法还要高明，而这些思路又常常通过学生的“意外”发言表现出来，因此，在教学中，我们要善待学生的“意外”发言，让他们把话说完，发扬教学民主，给学生提供一个平等交流，表达的机会，认真听取学生发言，放下教师的架子，虚心向学生学习，并及时激励学生的创新行为，认真反思和调整自己的教学设计，因势利导进行教学，以达到教学相长的目的。本案例中，我对刘跃同学的“意外”发言采取断然否定的态度，而导致错过一次激励学生思维发展和创造的良机，令人痛心。

四、案例体会：

相似三角形复习教学反思 篇5

教学亮点：教学过程中始终穿插一条主线：“基本图形”的巧妙应用，一条副线：培养学生学会看图。教学中，通过一系列的活动调动起学生的积极性，让学生亲身体验知识形成的过程。另外，图形不同的变化形式也体现了数学的转化思想，习题的设计选用了近几年的中考题，拉近了教学与中考的距离。

在这一堂课中，我觉得有几点做的还是比较好的：

一、以多种形式（组合条件、添加条件、作相似三角形、练习等）强化学生对三角形相似判定的理解，并起到了一定的效果。

二、真正关注到中等偏下的学生，课堂中设计的问题有三分之二是针对这一部分学生，并在课堂中也正是让他们表现的。

三、营造了和谐轻松的课堂氛围，使一些平时从不发言的同学也在课堂中表达了自己的见解。

当然在教学过程中也反映出了一些问题：

一、题量过大，课堂时间安排较紧，有些问题落实的还不够深入。

二、出示了几道中考题，虽然学生做了，教师讲了，但没有从题目本身往深处挖掘，对中考命题方向进行研究和探索，仅是为做题而做题。

《相似三角形的应用》教学反思 篇6

通过建立数学模型，引导学生使用化归思想。要让学生善于学习，促进他们通法的掌握是重要途径之一。化归思想与转化思想不同，主要是化归思想必须有一归结的目标，也就是老经验。因此，在教学实践中，我采用了下列两个做法：一是建立“一线三等角”的数学模型，让学生在实验操作中探寻出折纸问题中的数学问题本质特征。并把它上升为一种理论，指导其他问题的解决。二是采用探究条件的转化，使问题表象发生变化，引导学生去伪存真，还原出数学问题的本质。

在教学后，我觉得有很多需要改进的地方。

1．教学的方式过于单一，学生的参与面较低。主要是我没有调动好他们的情绪，说明我对课堂的驾驭能力还需要提高。

2．教学内容还有待于进一步改进。

《相似三角形的应用》教学反思 篇7

一、中考命题趋势

相似三角形在近年来各省、市的中考试题中所占的比例较高, 主要考查三角形相似, 线段的倍分及等积式、等比式, 求线段的比、面积的比等.其中求线段的比、面积的比, 常以选择题、填空题的题型出现;而论证线段的倍分、等积式、等比式, 常以证明和说理题型出现;以相似图形为背景, 探究函数解析式及其函数最值等问题, 常以解答题的形式出现, 这种题型知识性、综合性强, 方法灵活, 常以此来构筑中考压轴题.

二、中考复习建议

1.注重基础知识.本部分的重点是相似三角形的判定与性质, 应用相关定义和定理进行证明是本部分知识的难点.复习时教师要注意引导学生分析证明思路, 引导学生进行转化, 帮助学生克服难点.

2.注意联系实际.相似是生活中常见的现象, 在复习中, 要通过复习相似的相关知识, 从实际生活中发现数学问题, 运用数学知识解决实际问题.

3.重视知识间的联系.在中考综合题中, 经常涉及有关相似的内容, 所以在复习中, 要注意把相似与圆、函数等内容联系起来.

4.重视数学思想方法的渗透.本部分主要涉及的数学思想方法有类比、转化、分类讨论等, 复习时要充分注意数学思想方法的渗透.

5.把握好复习难度.复习时不要过分追求难题的训练, 要注重基础知识的理解和掌握, 根据学生掌握知识的实际情况, 由易到难, 循序渐进.

三、中考考点透视

考点1:考查三角形相似

(2007年山东省) 如右上图, 先把一矩形ABCD纸片对折, 设折痕为MN, 再把B点叠在折痕线上, 得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上, 得折痕PQ.

(1) 求证:△PBE∽△QAB;

(2) 你认为△PBE和△BAE相似吗?如果相似给出证明, 如果不相似, 请说明理由;

(3) 如果沿直线EB折叠纸片, 点A是否能叠在直线EC上?为什么?

分析:如下图 (1) 利用有两个角对应相等的两个三角形相似可以证明△PBE∽△QAB; (2) △PBE和△BAE中, 有一对相等的角即∠ABE=∠BPE=90°, 只要再证得两个三角形夹相等角的两边对应成比例即可.

证明: (1) ∠PBE+∠ABQ=180°-90°=90°,

(2) △PBE和△BAE相似.

由 (1) 知△PBE∽△QAB, ∴

(3) 如果沿直线EB折叠纸片, 点A能叠在直线EC上.

由 (2) 得∠AEB=∠CEB, 又AB⊥BE,

∴EC和AE能重合, 从而点A能叠在直线EC上.

分析:与相似三角形有关的问题, 要善于寻找、发现相等的角.得出两角相等的有效途径主要有:公共角相等、对顶角相等、同角 (或等角) 的余角 (或补角) 相等、高线 (或垂直) 有直角相等.另外, 应用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”来判定两个三角形相似时, 所需要的对应边之间的比例式, 往往通过证明另两个三角形相似, 根据相似三角形的对应边成比例得到.

考点2:考查相似三角形的判定与性质

例2: (1) (2008年四川省) 如下图, ⊙O的直径AB为1 0 cm, 弦AC为6 cm, ∠ACB的平分线交AB于E, 交⊙O于D.求弦AD、CD的长.

分析:由于AB是⊙O的直径, ∠ACB的平分线交AB于E, 所以连接BD后, 可知△ABD为等腰直角三角形, 从而可求出BD的长.由问题可知, 图形中的所有线段均可求长, 由于CD是∠ACB的平分线, 所以可通作辅助线构造相似三角形求得AE或BE的长, 再利用△DAE∽△DCA或△ACD∽△ECB, 或△ADE∽△CBE均可求得CD的长.

解:∵AB是直径, ∴∠ACB=90°.

在Rt△ABC中, BC=姨AB2-AC2=姨102-62=8 (cm) .

∵CD平分∠ACB, ∴A姨D=B姨D, ∴AD=BD.

于是在Rt△ABD中, 得AD=BD=姨

如下图, 过E作EF⊥AC于F, EG⊥BC于G, F、G是垂足,

则四边形CFEG是正方形.

由EF∥BC, 可得△AEF∽△ACB, ∴

由A姨D=B姨D, ∴∠DAE=∠DCA.

姨姨又∵∠D=∠D, ∴△DAE∽△DCA,

(2) (2007年湖北省) 如下图, 在直角梯形ABCD中, AD∥BC, ∠B=90°, E为AB上一点, 且ED平分∠ADC, EC平分∠BCD, 则下列结论中正确的有 () .

解:由ED平分∠ADC可知∠ADE=∠CDE, 故A正确;由AD∥BC得∠ADC+∠BCD=180°, 又∵∠EDC=∠ADC, ∠ECD=∠BCD, ∴∠EDC+∠ECD=90°, ∴DE⊥EC, 故B正确;易证△ADE∽△BEC, ∴AD∶BE=DE∶EC, ∴AD·EC=BE·DE, 故C不正确;延长DE交CB的延长线于点F, 易证△ADE≌△BFE, 得AD=BF, ∴CD=CF=BC+BF=AD+BC, 故D正确.因此, 本题应选A、B、D.

分析:本题是一道多选题, 是近年来在中考数学中出现的一种新题型.本题考查的知识点较多, 有平行线的性质, 角平分线定义, 全等三角形的判定和性质, 等腰三角形的性质, 相似三角形的判定和性质等, 能否熟练应用这些定理是解题的关键.

考点3:考查相似三角形在位似图形中的应用

例3: (2007年山西省) 如下图, 在8×8的网格中, 每个小正方形的顶点叫做格点, △OAB的顶点都在格点上, 请在网格中画出△OAB的一个位似图形, 使两个图形以O为位似中·心·, ·且·所·画图形与△OAB的位似比为.

分析:位似图形一定是相似图形, 但相似图形不一定是位似图形.本题可根据位似图形及相似三角形的知识求解, 应注意所画三角形的顶点要在格点上.

解:如上图, △OA′B′即为△OAB的位似图形, 位似比为2∶1.

分析:本题考查了位似图形的概念以及基本作图, 解答时要注意审题, 顶点要画在格点上.需要提醒的是在进行位似变换时, 要注意分两种情况解答:一种是位似图形有位似中心同侧, 另一种是位似图形在位似中心的异侧.本题之所以画△OAB的位似图形时只画一个, 是因为同侧的位似图形, 顶点不在格点上, 不合题意, 故没有画出.

考点4:考查相似三角形中的条件探究型问题

例4: (2008年湖南省) 如下图, 在矩形ABCD中, AB=4, AD=1 0, 直角尺的直角顶点P落在AD上 (点P与A, D不重合) , 一直角边经过点C, 另一直角边与AB交于点E. (1) 当∠CPD=30°时, 求AE的长; (2) 是否存在这样的点P, 使△DPC的周长等于△AEP周长的倍数?若存在, 求出DP的长, 若不存在, 请说明理由.

分析: (1) 当∠CPD=30°时, 可算出PD、PC的长, 后可得AP的长, 在Rt△APE中可利用三角函数或相似求出AE的长; (2) 属于一个条件探究性问题, 可先将结论作为条件来探索, 如能得到合理的结论, 则说明存在, 反之则不存在.

解: (1) 在Rt△PCD中,

易证Rt△AEP∽Rt△DPC, 可知,

(2) 假设存在满足条件的点P, 设DP=x, 则AP=10-x, 由Rt△AEP∽Rt△DPC知2, 所以解得x=8, 此时AP=2, AE=4, 符合题意.

考点5:考查相似三角形中的结论开放型问题

例5: (2008年山西省) 在△ABC中, ∠BAC=2∠C. (1) 在下图中作出△ABC的内角平分线AD. (要求:尺规作图, 保留作图痕迹, 不写证明.) (2) 在已作出的图形中, 写出一对相似三角形, 并说明理由.

分析: (2) 属于一个结论开放性问题, 所谓结论开放型问题是结论部分是未知要素, 需要根据问题中的条件作出合理探究, 并得出结论的开放题.这类题目, 不同水平的考生可作出不同的回答, 既能充分反映考生思维能力的差异, 又能促使考生的思维发散.从 (1) 知∠BAD=∠CAD=∠C, 所以只要再找一对角相等, 就可找到相似的三角形, 由∠B=∠B, 故可知△ABD∽△CBA.

解: (1) 如图, AD即为所求.

(2) △ABD∽△CBA, 理由如下.

∵AD平分∠BAC, ∠BAC=2∠C, ∴∠BAD=∠BCA,

考点6:相似三角形在运动型问题中的运用

例6: (2008年广东省) 如下图, 在梯形ABCD中, AD∥BC, AB=AD=DC=2cm, BC=4cm, 在等腰△PQR中, ∠QPR=1 20°, 底边QR=6cm, 点B、C、Q、R在同一直线l上, 且C、Q两点重合, 如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动, t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米. (1) 当t=4时, 求S的值. (2) 当4≤t≤10, 求S与t的函数关系式, 并求出S的最大值.

分析: (1) 由题目易知:∠ABC=∠DCB=60°, ∠PQR=∠PRQ=30°, 点A、D、P到直线l的距离相等.故t=4时, Q与B重合, P与D重合, 重合部分的面积就是△BDC的面积; (2) 由于t=4时, Q与B重合, P与D重合, t=6时, R与C重合, P与A重合, 故要求S与t的函数关系式应分为4≤t≤6和6<t≤10两种情况计算.如下图, 当4≤t≤6时, 重合部分的面积就是五边形PMBCN的面积, 其面积等于△PQR的面积减去△QBM的面积, 再减去△CRN的面积;如下图, 当6<t≤10, 重合部分的面积就是△BRK的面积, 此时, BK⊥RK, 故其面积等于BK与RK乘积的一半.要求S的最大值, 应分别求出4≤t≤6时S的最大值和6<t≤10时S的最大值, 然后比较两个最大值, 选择其较大者, 作为4<t≤10时S的最大值.

解: (1) t=4时, Q与B重合, P与D重合, 重合部分是

(2) 当4≤t≤6时, 如下图,

由△PQR∽△BQM∽△CRN,

当t取5时, 最大值为

当6<t≤10时, 如GH图:

当t取6时, 有最大值

综上所述, 最大值为

考点7:相似三角形与函数综合运用

例7: (2008年江苏省) 如下图所示, 在△ABC中, AB=AC=1, 点D、E分别在直线上, 连接AD, AE, 设BD=x, CE=y. (1) 如果∠BAC=30°, ∠DAE=1 05°, 试确定y与x之间的函数关系式; (2) 如果∠BAC的度数为α, ∠DAE的度数为β, 当α、β满足怎样的关系式时, (1) 中y与x之间的函数关系式还成立, 试说明理由.

分析: (1) 可利△ADB∽△EAC列比例式, 寻找出y与x之间的函数关系; (2) 属于条件探究性问题, 其解题思路则是建立在第一小问题的基础上的, 利用第一问的解题思路即可求解.

解: (1) 在△ABC中, ∠BAC=30°,

(2) 当α、β满足时, (1) 中y与x之间的函数关系式还成立.

此时, ∠DAB+∠CAE=β-α, ∴∠DAB+∠ADB=β-α,

《相似三角形的应用》教学反思 篇8

关键词：课程难度;课程深度;课程广度;相似三角形;教学指导

一、背景

对于初中生尚未发展成熟的思维观念来说，初中几何是比较容易接受的教学体系，同时也能发展学生在思维和逻辑上的能力。其中，关于“相似三角形”这一内容，从新课程改革前就一直是中学数学的重要内容，不仅借用了前面学习的全等三角形的相关思路，也为接下来解答某一些特殊几何图形的线段、面积等之间的关系提供了思路和方法。

二、难度量化比较

1.课程广度

对比《大纲》，《标准》中相似三角形删除了“相似比”的内容。通过查阅得出《标准》和《大纲》的知识点数可得出相应的广度系数，取《标准》综合的课程广度系数G1=3，取《大纲》综合的课程广度系数为G2=4。

2.课程深度

对比《大纲》，《标准》中相似三角形有所降低，具体如下：①对于相似三角形的概念，从理解降低为了解;②对于相似三角形的判定定理、性质定理，从灵活运用，理解均降低为了解。综合深度赋值表，取《标准》的课程深度S1=3，《大纲》的课程深度S2=9。

3.课程时间

分析《标准》《大纲》中相似三角形知识点的课程实施时间得知，两者基本相同。查阅两者中相似三角形的课程内容完成的所需时间可知，取《标准》的课程实施时间T1=7，《大纲》的课程实施时间T2=9。

4.难度比较

基于前面三个方面得出的数据，代入课程难度模型N=αG/T+（1-α）S/T，可以得到《标准》《大纲》的课程难度分别为N1=0.43，N2=0.67（取α=0.6），显然，在这个模型下，“相似三角形”《标准》比《大纲》的课程难度降低了0.24。

三、教学启发

通过分析上述数据，可以发现，《标准》和《大纲》中相似三角形的课程广度、课程实施时间基本一致，但总体的难度降低。显然影响该知识点难度变化的主要因素是课程深度。下面将具体分析课程广度、课程深度、课程实施时间、课程难度四方面对教师实际教学过程的启发和指导。

1.课程广度变化对教学实践的指导

基于上述分析可知，相对比《大纲》，《标准》中对相似三角形的内容减少了一个“相似比”的内容。《标准》中只要求学生知道“相似多边形对应边的比称为相似比”这一定义即可。当今的时代在不断发展，教学内容也要不断考虑学生可持续发展的需求。因此教师在具体实践教学中，要注意严格按照《标准》的教学要求，不要顺着《大纲》的老思路继续讲解已经删除的知识点，更不要讲怪题、难题，从而影响学生对初中几何的思维。应当把时间用在“相似三角形”所要求的知识点上。

如《大纲》中课本有一道例题：证明重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的23。

要证明重心定理，不仅要让学生能够找出在三角形内部的三角形之间的相似关系，并灵活运用相似三角形的性质定理，还要通过线段关系证出相似比。这与《标准》的广度和深度要求均不一致，不应继续进行讲解。

2.课程深度变化对教学实践的指导

基于以上对“相似三角形”课程深度变化分析可知，《标准》中保留下来的“相似三角形的判定定理”和“相似三角形的性质定理”的赋值比《大纲》深度降低，只要求学生理解即可。《标准》中是结合以前所学习的“三线八角”中和全等三角形中的相关定理对判定定理进行相关证明，学生在之前学习中就已经有了深刻的认识，因此对此“相似三角形”内容都能快速掌握，不必再多加一些综合题型进行思考。所以教师在教学的过程中应当针对之前所学习的相关知识和保留下来的知

识点，在课堂上让学生动手、动口、动脑，加深学生对知识点的理解并快速掌握，从而培养学生对三角形以及其他几何图形的敏感度和相关的几何发散思维能力。

同时，教师应当积极引导学生运用学过的知识，看到题目，会想到什么样的知识点，应该运用什么定理，从而培养学生对几何图形的惯性思维和空间发散思维，符合学生的可持续发展。

3.课程实施时间变化对教学实践的指导

《标准》和《大纲》中相似三角形的课程实施时间只相差了两个课时，但由于课程广度与课程深度的减小，使得教师有足够的时间去讲解和分析所留下的知识点，不要浪费时间去讲解已被删除的知识点。相似三角形方面注重图形的空间想象能力和实际生活中的问题，如测量河宽、楼层高度等实际问题。这些知识都是直接运用相似三角形的相关定理，难度中等偏下，学生理解起来不会特别困难。同时启发教师要认真分析教学内容和目标，结合以前学过的相关几何定理和类比全等三角形的相关定理，来思考整个教学的流程应当如何实施。

4.课程难度变化对教师教学实践的指导

基于以上的探究，课程广度、课程深度、课程实施时间的变化，其实反映的是课程难度的变化。本文中，《标准》对比《大纲》，“相似三角形”课程难度降低。根据上述分析，删除了一个对现在不实际的知识点，减少了课程广度，也降低了对两个知识点的理解程度，从而大大减少了课程深度，而课程实施时间基本不变，最终使得课程难度降低了。这对于新时代的教师来说，是一种新的体验和新的起点，同时也面临着一种挑战。如在课程时间方面，要正确地理解新课标的理念，贯穿新课标的思想。在面对不同程度的学生时因材施教，并在规定时间里让学生理解知识点，同时要能激发学生主动学习的兴趣，从而逐步培养现代社会学生对数学的思考和逻辑思维。在课程广度方面，新课程要求在教学过程中更加注重数学思维、思想、方法的结合，不再讲一些《大纲》老思想的题目，要时刻结合《标准》的规定，并联系以前学习过的知识点，使得课本知识的逻辑性、连贯性得以保障。在课程深度方面，教师要注意知识点对学生掌握的要求和不同程度的学生对知识点理解的不同，从而因材施教。如对相似三角形判定定理和性质定理，都可联系以前学习过的全等三角形的判定定理和性质定理，并结合一开始所学习的有关基础几何的思想，将其运用到相似三角形中，从而使学生掌握知识点的来源，并理解知识点之间的关系，培养对几何思维的敏感度。

《相似三角形的应用》教学反思 篇9

周神州

2014.11.26 公开课教案

4.5相似三角形的性质及其应用（3）

教学目标：

1.学会运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题。2.进一步体验数学的应用价值。

3.掌握运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题一般步骤。教学重点和难点：

1.重点：测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)和线段的计算

2.难点：测高的方案设计 教学过程：

一、复习旧知：我们已经学习了相似三角形的哪些性质？

1、相似三角形对应角相等。

2、相似三角形对应边成比例。

3、相似三角形的周长之比等于相似比；

4、相似三角形的面积之比等于相似比的平方。

5、相似三角形的对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比。请学生回答，让学生加深印象，感受性质的重要性

二、例题分析：

例1：如图，屋架跨度的一半OP=5m，高度OQ=2.25m，现要在屋顶上开一个天窗，天窗高度AC=1.20m，AB在水平位置。求AB的长（精确到0.01m）。

体验数学来源于生活，体会运用相似三角形的性质解决简单实际问题的步骤

三、课堂练习：

（1）步枪在瞄准时的示意图如图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，步枪上准星宽度AB为2mm，目标的正面宽度CD为50cm，求眼睛到目标的距离OF。

王店镇建设中学

周神州

2014.11.26 公开课教案

(2)如图:小明站在离网10处打网球时,要使球恰好能打过网 ,而且落在离网５米的位置上，则拍击球的高度应为多少米？

(3)在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？

引导学生解决实际问题学会选择相似三角形的性质：

四、合作探究：怎样利用相似三角形的有关知识测量一棵树的高度?

激发学生的思维发散能力和知识的综合运用能力，让学生设计尽可能多的方案

想一想：如何测量河宽？

五.课堂小结：这节课你学到了什么？

六.中考链接：

(2014年浙江绍兴)如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，问加工成的正方形零件的边长是多少mm？ 王店镇建设中学

周神州

2014.11.26 公开课教案

小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．

（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．

七、作业布置：

1、作业本

《相似三角形的性质》教学设计 篇10

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2016）05-0394-01

【设计意图】：

本课是华师大版九年级上“相似形”一章的重要内容之一，是在学生学完相似三角形的定义及判定的基础上进一步研究相似三角形的特性以完成对相似三角形的全面研究，它是全等三角形性质的拓展，在圆中有着广泛的应用。同时，相似三角形的性质也是解决有关实际问题的重要工具，根据教学大纲的要求考虑到初三学生的年龄特点和心理水平将理解相似三角形的性质作为本节重点而将探究推导性质作为本节难点。本课通过学生动手作图，探究发现结论，体验成功的乐趣，培养学生探究问题的科学态度，促进创造性思维的发展，使学生尝到学习几何的乐趣，体会到实验几何，快乐几何。同时采用探究性学习方法自主地感受新知，将新知识纳入自己的认知结构中成为有效的知识。

【教学目标】：

（1）探索、归纳并掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）比、周长比、面积比与相似比之间的关系，掌握定理的证明方法；提高分析，推理能力。

（2）对性质定理的探究学生经历类比――猜想――论证――归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度，并在其中体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的数学品质，提高分析问题和解决问题的能力。

（3）在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律；通过学生之间的交流合作，在合作中体验成功的喜悦，树立学习的自信心。

【教学重点】：理解相似三角形的性质。

【教学难点】：相似三角形性质定理的探索及推导

【教学过程】：

1.复习提问，温故而知新

请同学们以小组为单位共同回忆以下内容：

（1）.相似三角形与全等三角形的概念及关系；

（2）.全等三角形的性质及已学过的相似三角形的性质；

（3）.利用已有的全等三角形性质，你能推出全等三角形还有哪些性质。

2.实践交流，探索新知

问题1：类比全等三角形的性质，想一想可以从哪几个方面继续研究相似三角形的性质；

从相似三角形对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线）、周长及面积继续研究相似三角形的性质。

你是怎么想到这几个方面？主要是类比全等三角形的性质。

问题2：猜一猜，相似三角形还有哪些性质（分别用文字语言与符号语言表示，用符号语言表达时，要画图形）。

性质一：相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线以及它们的周长的比等于相似比。

也可能有学生会提出其他错误的结论（如对应高、角平分线、中线相等；面积比等于相似比等），教师暂时不点破，由学生自己去证明后推翻原有的错误结论。

教师提问：你是怎么想到这几方面性质的？

学生回答后教师总结：猜想有类比猜想、归纳猜想（从特殊到一般）及逻辑推理等。

问题3：小组成员分工论证你们得到的猜想（每个同学至少证明其中一个命题）；或推翻、修正猜想，再论证。

这一阶段是本课的重点，主要是先由学生小组分工完成，可能是证明了正确的结论，也可能是推翻了之前的错误，教师主要是展示学生的成果，并给出适当的点评。

归纳出证明步骤：画图、写已知求证，证明

归纳出证明方法：大三角形相似小三角形相似结论

完成了以上两个探索三个问题之后由师生共同总结出：

性质一：相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线以及它们的周长的比等于相似比。

性质二：相似三角形的面积比等于相似比的平方。

3.巩固练习，加深理解

3.1已知两个相似三角形一对对应中线的长分别是2cm和5cm，那么它们的相似比为________，对应高的比为_______，如果一对对应角平分线中较短的为3.6cm，则较长的为________。

3.2两个相似三角形对应高的比为7：5。其中一个三角形的周长为70cm，则另一个三角形的周长为________，若其中一个三角形的面积为490，则另一个三角形的面积为________.3.3已知：如图，DE∥BC，AB=30m，BD=18m，△ABC的周长为80m，面积为100m2，求△ADE的周长和面积？过E作EF∥AB交BC于F，其他条件不变，则△EFC的面积等于多少？平行四边形BDEF的面积为多少？（写出解答过程）

4.回顾反思，畅谈心得

本节课你有何收获？

（1）相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比及周长比等于相似比。

（2）相似三角形的面积比等于相似比的平方。

（3）对性质定理的探究我们经历：猜想――论证――归纳的过程，其中猜想包括：类比猜想、归纳猜想（从特殊到一般）及逻辑推理。

论证的过程包括：画图，写已知求证，证明等步骤。

5.学以致用，作业布置

必做题：

（1）书本P81：习题第2题

（2）先画出一个边长分别为1、2、3的三角形，然后作出一个面积是它4倍的三角形。

选做题：同步练习P31

【板书合计】：

历史上的相似三角形 篇11

“图形的相似”是初中数学的内容之一，相似三角形的判定、性质和应用是其中最重要的内容，从历史上看，相似三角形很早就已经为人们所认识. 大约公元前20世纪，在古巴比伦泥版文献中就已经出现相似三角形的应用问题；公元前6世纪，古希腊的工程师欧帕里诺斯在设计隧道挖掘工程时就可能运用了相似三角形的性质；古希腊几何学的鼻祖泰勒斯曾多次利用相似三角形的性质来解决相关测量问题；我国古代数学著作《九章算术》中的远距离测量技术也是以相似三角形的性质为基础的. 下面来讲些实例.

我国明末清初时的“梅氏数学家家族”祖孙四代人，共有十多位数学家. 其主要代表人物是梅文鼎和他的孙子梅珏成.

这里有一则关于梅珏成的记载：一天，他外出游玩时，看见路边有几个农民正在测量一块直角三角形形状的田地. 他就走过去，询问起来. 原来这几个农民想在这块直角三角形田上砌一个正方形的池子，并要求这个正方形的面积尽可能大.

梅珏成问明了两个测量出来的数字（一条直角边长24米，另一条直角边长10尺）以后，说：“这很简单，只要设所求的正方形边长为x，利用两个相似三角形的对应边成比例关系，即可得：24∶x=10∶（10-x），x=（尺），即为所求. ”

几个农民听完后，连声称赞道：“先生真了不起！我们对算术可是一窍不通. ”亲爱的同学，你可听明白了梅珏成的话没有？

我国《九章算术》勾股章有如下两道问题，你能写出解题过程吗？

例1 今有邑方二百步，各开中门.出东门一十五步有木.问：出南门几何步而见木？（如图1）

例2 今有井径五尺，不知其深.立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸. 问：井深几何？（如图2）

古希腊几何学的鼻祖泰勒斯年轻时游历埃及，测得金字塔的高度.请你复原泰勒斯的测量方法.（参见图3）

古希腊第八大岛屿——萨默斯岛上有一条修建于公元前6世纪的供水萨默斯隧道，如图4，隧道长1 036米，横截面宽和高各为1.8米，笔直地穿过了一座小山.为了缩短建成时间，设计者欧帕里诺斯让工程队从小山两边同时开始挖掘，两队在山体中间会合.

试想，在2500多年前，没有任何现代化的仪器，如何保证两支工程队不偏不倚正好在山底的某处相遇？令人惊叹的是，欧帕里诺斯做到了，隧道一线贯通，两支工程队会合得天衣无缝.他是怎么做到的呢？与我们所学的相似三角形有什么关系呢？你想知道其中的奥秘吗？

欧帕里诺斯实质是聪明地运用了相似三角形知识（定义、判定定理），保证了四点共线，才创造了一个水利工程奇迹.

他是这样解决这个问题的：要在两个入口A与B之间挖一条隧道. 从B点处出发任作一直线段BC，过C作BC的垂线CD，然后，依次作垂线DE、EF、FG、GJ，直至接近A点. 在每一条线段的一个端点处能看到另一个端点. 在最后一条垂线GJ上选取点J，使得AJ垂直GJ. 设AK为CB的垂线，K为垂足，则AK=CD-EF-GJ，BK=DE+FG-BC-AJ. 再在BC和AJ上分别取点L和点N，过点L和点N分别作BC和AJ的垂线，在两垂线上分别取点M和点P，使得，于是有Rt△BLM、Rt△BKA、Rt△ANP为一组相似三角形，因此，点P、A、B、M在一条直线上. 所以，只需保证在隧道挖掘过程中，工人始终能看见点P和点M的标识即可.

实际上，像这样的生活奇迹有很多，创造者都是那些爱动脑筋、善于思考的人，希望同学们能像他们那样，将学习融入生活，将生活看作学习.

相似三角形的性质与判定 篇12

1. 教材内容:

《相似三角形的性质与判定》是以北师大版义务教育八年级下册第四章的知识为背景建构的教学内容, 通过复习讲解相似三角形的性质与判定, 利用相似三角形的性质与判定相关的知识去解一些数学问题。

2. 教材的地位和作用:

本节课是在学完《相似三角形》、《探索三角形相似的条件》内容之后, 继续学习相似多边形的性质的准备。教学的内容培养学生观察思考, 从定义出发和举一反三的能力等都具有重要的作用。

二、教学目标

1. 知识目标

(1) 掌握相似三角形的性质和三角形相似的判定方法。

(2) 能根据具体的数学问题, 灵活选择解法。

2. 能力目标

体会“归一”原理的思想。能根据具体数学问题的特征, 灵活选择解题方法, 体会解决问题方法的多样性。

3. 情感目标

使学生知道相似三角形的性质和三角形相似的判定的重要性, 提高学生解题速度和准确程度。通过学生之间的交流、讨论, 培养学生的合作精神。

三、重难点分析

1. 重点:

掌握相似三角形的性质和判定定理。

2. 难点:

灵活应用相似三角形的性质和判定解决相关数学问题。

3. 关键:

让学生通过比较相似三角形的性质和判定的运用, 感悟用相似三角形的性质和判定去解决数学问题的重要性。

四、教学过程

1. 知识复习

相似三角形的定义:三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形相似。△ABC与△DEF相似, 记为:△ABC∽△DEF

相似三角形的性质:相似三角形的对应角相等、对应边成比例。

相似三角形的判定:

两角对应相等的两个三角形相似;

三边对应成比例的两个三角形相似;

两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

2. 知识拓展

例1.如图所示, Rt△ABD中, ∠BAD=90°, AC垂直于BD。

求证: (1) AB2=BC·BD

(2) AD2=DC·BD

(3) AC2=DC·BC

(4) 若AC=6, BC=8, 求AD的长。

解: (1) 在△ACB与△BAD中,

(2) 在△ACD与△BAD中,

(3) ∵AC垂直于BD

(4) 方法一:△ABC是直角三角形

方法二:根据射影定理得:

例题分析:此题是对相似三角形的判定定理一知识的巩固, 是通过对例1中的 (1) (2) (3) 的证明, 给学生呈现射影定理的知识点, 并运用此知识点去解决例1中的第 (4) 小问, 并比较总结相似三角形的性质与射影定理的区别与联系。在这一个例题中, 对第 (4) 小问的解决, 可以引导学生去思考用多种方法解决问题, 达到通体异构的效果。

例2.如图△ABP的边上有C、D两点, 且△PCD是等边三角形。当△PCA∽△BDP时, AC、CD、DB满足怎样的关系?∠APB的度数是多少?

解:∵△PCD是等边三角形

小结:在这节课的学习中, 我们初步地复习了相似三角形的性质及其判定, 并运用这些知识作为数学工具去解决相关的数学问题, 并对同一问题采用了不同的方法去解决!希望同学们在今后的学习中多总结、多归类、达到举一反三的效果。

三角形相似教学设计 篇13

一、学习目标

知识与技能方面：

探索相似三角形、相似多边形的性质，会运用相似三角形、相似多边形的性质解决有关问题；

过程与方法方面：

培养学生提出问题的能力，并能在提出问题的基础上确定研究问题的基本方向及研究方法，渗透从特殊到一般的拓展研究策略，同时发展学生合情推理及有条理地表达能力。情感态度与价值观方面：

让学生在探求知识的活动过程中体会成功的喜悦，从而增强其学好数学的信心。

二、教学过程：

（一）类比研究，明确目标

师：同学们，回顾我们以往对全等三角形的研究过程，大家会发现，我们对一个几何对象的研究，往往从定义、判定和性质三方面进行。类似的我们对相似三角形的研究也是如此。而到目前为止，我们已经对相似形进行了哪些方面的研究呢？ 生：已经研究了相似三角形的定义、判别条件。师：那么我们今天该研究什么了？ 生：相似三角形的性质。

（二）提出问题，感受价值，探究解决

师：就你目前掌握的知识，你能说出相似三角形的1-2条性质吗？并说明你的依据。生：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。根据是相似三角形的定义。

师：对于相似三角形而言，边和角的性质我们已经得到，除边角外你认为还有哪些量之间的性质值得我们研究呢？ 设计意图：

我们常常会说：提出问题比解决问题更重要。但是作为教师，我们应该清醒地认识到，学生提出问题的能力是需要逐步培养的。此处设问就是要培养学生提出问题的能力。我希望学生能提出周长、面积、对应高、对应中线、对应角平分线之间的关系来研究，甚至于我更希望学生能提出所有对应线段之间的关系来研究。估计学生能提出这其中的一部分问题。如果学生能提出这些问题（如相似三角形周长之比等于相似比等），就说明他的生活经验的直觉已经在起作用了。如果学生提不出这些问题，说明他的生活直觉经验还没有得到激发，我可以利用前面提到的放大镜问题、大小两幅地图问题等逐步启发，激发学生的一些源自生活化的思考，从而回到预设的教学轨道。

师：对于同学们提出的一系列有价值的问题，我们不可能在一节课内全部完成对它们的研究，所以我们从中挑出一部分内容先行研究。比如我们来研究周长之比，面积之比，对应高之比的问题。

师：为了让同学们感受到我们研究问题的实际价值。我们来看一个生活中的素材： 给形状相同且对应边之比为1：2的两块标牌的表面涂漆。如果小标牌用漆半听，那么大标牌用漆多少听？

师：（1）猜想用多少听油漆？（2）这个实际问题与我们刚才的什么问题有着直接关联？ 生：可能猜半听、1听、2听、4听等。同时学生能感受到这是与相似三角形面积有关的问题。

设计意图：从学习心理学来说，如果能知道自己将要研究的知识的应用价值，则更能激发起学生学习的内在需求与研究热情。

师：同学们的猜测到底谁的对呢？请允许老师在这儿先卖个关子。让我们带着这个疑问来对下面的问题进行研究。到一定的时候自然会有结论。

情境一：如图，ΔABC∽ΔDEF，且相似比为2：1，DE、EF、FD三边的长度分别为4，5，6。（1）请你求出ΔABC的周长（学生只能用相似三角形对应边成比例求出ΔABC的三边长，然后求其周长）

（2）如果ΔDEF的周长为20，则ΔABC的周长是多少？说出你的理由。（通过这个问题的研究，学生已经可以得到相似三角形周长之比等于相似比的结论）

（3）如果ΔABC∽ΔDEF，相似比为k：1，且ΔDEF三边长分别用d、e、f表示，求ΔABC与ΔDEF的周长之比。

结论：相似三角形的周长之比等于相似比。情境二：

师：相似三角形周长比问题研究完了，下面我们该研究什么内容了？ 生：面积比问题。师：那么对于相似三角形的面积比问题你打算怎样进行研究？请你在独立思考的基础上与小组同学一起商量，给出一个研究的基本途径与方法。

设计意图：人类在改造自然的过程中，会遇到很多从未见过的新情境、新课题。当我们遇到新问题的时候，确定研究方向与策略远比研究问题本身更有价值。如果你的研究方向与研究策略选择错误的话，你根本就不可能取得好的研究成果。而这种确定研究问题基本思路的能力也是我们向学生渗透教育的重要内容。所以对于相似三角形面积比的研究，我认为让学生探索所研究问题的基本走向与策略远比解题的结论与过程更有价值。

（师）在学生交流的基本研究方向与策略的基础上，与学生共同活动，作出两个三角形的对应高，通过相似三角形对应部分三角形相似的研究得到“相似三角形的对应高之比等于相似比”的结论。进而解决“相似三角形的面积比等于相似比的平方”的问题。体现教材整合。

（三）拓展研究，形成策略，回归生活

拓展研究一：由相似三角形对应高之比等于相似比，类比研究相似三角形对应中线、对应角平分线之比等于相似比的性质；（留待下节课研究，具体过程略）拓展研究二：由相似三角形研究拓展到相似多边形研究

师：通过上述研究过程，我们已经得到相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。那么这些结论对一般地相似多边形还成立吗？下面请大家结合相似五边形进行研究。

情境三：如图，五边形ABCDE∽五边形A/B/C/D/E/，相似比为k，求其周长比与面积之比。

说明：对于周长之比，可由学生自行研究得结论。对于面积之比问题，与前面一样，先由学生讨论出研究问题的基本方向与策略——转化为三角形——来研究。然后通过师生活动合作研究得结论。

拓展结论1：相似多边形的周长之比等于相似比； 相似多边形的面积之比等于相似比的平方。

（结合相似五边形研究过程）

拓展结论2：相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比； 相似多边形中对应对角线之比等于相似比；

进而拓展到：相似多边形中对应线段之比等于相似比等。

（四）操作应用，形成技能

2．在一张比例尺为1：2000的地图上，一块多边形地区的周长为72cm,面积为200cm2，求这个地区的实际周长和面积。设计意图：落实双基，形成技能

（五）习题拓展，发展能力

设计意图：将课本基本习题改造成发展学生能力的开放型问题研究，体现了课程整合的价值。

（六）作业（略）

《相似三角形的应用》教学反思 篇14

——用思维锻炼能力，用勤奋铸造成功

课题

相似三角形的判定（2）

一、自学

1.自学内容：P44—P47 2.自学目标：

（1）理解“两边对应成比例夹角相等的两三角形相似”及“两角对应相等的两三角形相似”的来历；（难点）

会用“两边对应成比例夹角相等”及“两角对应相等”判断两个三角形相似。（重点）

（2）理解“两边对应成比例的两个直角三角形相似”及“一锐角相等的两个直角三角形相似”；

会用“两边对应成比例”及“一锐角相等”判定两个直角三角形相似。（重点）

（3）会应用相似的知识解决实际问题。3.自学指导

（1）在证明“两边对应成比例夹角相等的两三角形相似”及“两角对应相等的两三角形相似”时，首先在大三角形中截取一个与小三角形全等的三角形!

（2）在判定两个三角形相似时，注意应用对顶角、同位角、内错角、同角或等角的余角等图形中的一些隐含条件！

二、量学

1.根据下列条件判断两个三角形是不是相似，并说明理由： ∠A=1200，AB=7cm，AC=14 cm，∠A/=1200，A/B/=3cm，A/C/=6 cm.2.图中的两个三角形是不是相似，并说明理由：

3.底角相等的两个三角形是否相似？顶角相等的两个三角形是否相似？说明理由：

4.如图，Rt△ABC中，CD是斜边上的高，△ACD和△CBD和△ABC相似吗？说明理由：

三、助学

1.如图，已知正方形ABCD中，P是BC上一点，且BP=3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ～△QCD.2.如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=2，BD=1，DC=3，△ABD与△CBA相似吗？为什么？

3.如图，在△ABC中，AB=AC,CE为∠ACD的平分线，求证：△ABE～△DCE.4.已知，∠A=380，∠B=740，∠A/=740，∠C/=680，那么△ABC与△ABC相似吗？为什么？

5.如图，Rt△ABC和Rt△ABC中，∠ACB=∠A/C/B/=900，CD⊥

//////AB于D，C/D⊥AB于D，且=，求证，Rt△ABC～Rt△ABC.///

/

///

四、用学

1.如图：判断两个三角形是否相似，并求出x和y。

利用相似三角形测算物高 篇15

一、运用标杆、刻度尺测算

例1 (2007, 怀化) 如图1所示, 九年级 (1) 班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度。已知标杆高度CD=3m, 标杆与旗杆的水平距离BD=15m, 人的眼睛与地面的高度EF=1.6m, 人与标杆CD的水平距离DF=2m, 求旗杆AB的高度。

解:

例2 如图2, 小明拿着一支刻有厘米分划的小尺, 他站在距电杆约30米的地方, 把手臂向前伸直, 小尺竖立, 看到尺上的12个分划恰好遮住电线杆, 已知臂长约60厘米, 求电线杆的高度。

解:

因此电线杆的高度为6米。

二、利用人体的身高、影长及投影测算

例3 (2005, 福州) , 如图3所示, 某学习小组选了一名身高为1.6m的同学直立于旗杆影子的顶端处, 其他人分为两部分, 一部分同学测量该同学的影长为1.2m, 另一部分同学测量同一时刻旗杆影长为9m, 那么旗杆的高度是______m.

解:由于人影DE与旗杆影长AC平行, 且EC⊥BD, AB⊥BD,

例4 (2006, 南京) 如图4所示, 已知AB和DE是直立在地面上的两根立柱, AB=5m, 某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m。

(1) 请你在图中画出此时DE在阳光下的投影;

(2) 在测量AB的投影时, 同时测量出DE在阳光下的投影长6m, 请你计算DE的长。

解: (1) 连接A、C, 过点D作DF//AC, 交直线BC的延长线于点F, 线段EF即为DE的投影。

(2) ∵AC//DF,

∴∠ACB=∠DFE, 又∠ABC=∠DEF=90°

故△ABC∽△DEF。

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三、利用平面镜、反射定理测算

例5 (2006, 浙江湖州) 如图5所示, 为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度, 学校数学兴趣小组做了如下的探索:根据《科学》中光的反射定律, 利用一面镜子和一根皮尺, 设计如图所示的测量方案:把一面很小的镜子放在离根底 (B) 8.4米的点E处, 然后沿着直线BE后退到点D时, 恰好在镜子里看到树梢顶点A, 再用皮尺量得DE=2.4米, 观察者目高CD=1.6米, 则树 (AB) 的高度约为______米 (精确到0.1米) 。

解:作EF⊥BD, 由光的反射定理知,

例6 晨晓想用镜子测量一棵古松树的高, 但因树旁有一条小河, 不能测量镜子与树之间的距离, 于是他两次利用镜子。如图6所示, 第一次他把镜子放在C点, 人在F点正好看到树尖A;第二次他把镜子放在C′处, 人在F′处正好看到树尖A, 已知晨晓眼睛距地面1.7m, 量得长CC′为12m, CF长1.8m, C′F′为3.84m, 求这棵古松树的高。

解:设BC=y, AB=x, 作CM⊥BF, C′M′⊥BF′, 由物理学中光的反射定理可知, ∠ACM=∠ECM, ∠AC′M′=∠E′C′M′, ∴∠ACB=∠ECF, ∠AC′B=∠E′C′F′.

又∠ABC=∠EFC=90°, ∠ABC=∠E′F′C′=90°,

∴△ABC∽△EFC, △ABC′∽△E′F′C′.

故undefined,

即

解①、②组成的方程组得:x=10、y=10.59.