初中数学定义（共11篇）
初中数学定义 篇1
笔者所在台州市的2014、2015 这两年初中数学中考试题中, 最后一题24 题都是新定义型试题, 这类试题将考试评价的过程变成一种指导学生自主学习的过程, 要求学生平时要养成自主学习、主动探究的习惯, 对改变学生的学习方式起到良好的导向作用. 所谓“新定义”型试题, 就是在试题中给出一个考生从未见过的概念, 要求学生在理解概念的基础上, 现学现用, 主要考察学生的阅读理解能力、应变能力和创新能力. 学生在解决这类试题时, 首先因为从未见过在心理上产生第一道障碍, 其次即使没有心理阻碍也往往因为不能很好地把握概念的本质, 缺少一种系统的思维, 从而导致得分率低. 如何扭转这种状态, 笔者也在不断的反思中. 初中数学教材里有大量的数学概念, 这些概念是学生学习的基础、解决问题的源泉, 它不仅是数学教学的重要环节, 也是数学学习的核心. 下面就初中数学几何概念的教学谈谈自己的几点想法:
一、创设情境, 注重概念的形成过程
要形成概念, 需要寻找它生存的现实土壤, 需要设计活动让学生亲身感知问题, 也需要学生积极地开展思考, 从现实情境中去发现数学. 许多数学概念都是从现实生活中抽象出来的. 讲清它们的来源, 既不会让学生感到抽象, 而且有利于形成活跃的学习氛围.
案例 “图形的相似”这一概念的教学, 展现知识的形成过程如下: (1) 生活中形状相同的图形的例子, 如汽车和它的模型, 同一底片洗出的不同尺寸的照片, 排版印刷时用不同字号排出的相同文字, 让学生观察这些图片有何共同特征. (2) 引导学生抽象概括图形的相似概念. (3) 在此基础上理解相似的本质特征是形状相同. (4) 图形的相似与图形的全等有什么关系? (5) 动态通过放大或缩小一些图形, 指出相似是一种变换, 可以把一个图形放大或缩小.
反思教师在讲解概念时, 多一些对概念的形成过程的关注, 可以更好地揭示概念的本质属性, 使学生对理解概念具备一些思想基础, 同时也培养了学生从具体到抽象的思维方法.
二、变式比较, 掌握图形的本质属性
几何概念的教学离不开几何图形, 学生学习几何离不开对图形的观察, 几何图形是学生进行思维的载体. 学生的观察能力, 直接影响学生的数学思维能力, 进而影响学生的数学认知能力. 当教师结合图形给出几何概念时, 可以让学生跟着画一画, 量一量, 比一比, 从直观上识别几何图形, 在此基础上要想获得图形的本质属性, 进而与其他几何图形相区分, 教师在教学中还要充分利用变式图形, 通过变化图形的非本质属性, 以使学生掌握图形的本质属性.
案例在:“圆周角”教学中, 教师可运用变式图形使学生掌握圆周角的本质属性, 理解圆周角的概念. 如图1 可分三种情况:一是圆心在角的内部, 二是圆心在角的外部, 三是圆心在角的边上. 也为接下来得出圆周角定理的证明作伏笔.与此同时提供如图2 的两个反例, 这两个反例只满足概念的一个条件:如图2 (1) 顶点在圆上, 但角的一边没有与圆相交;如图2 (2) 角的两边与圆相交, 但顶点不在圆上. 从而可使学生对概念的内涵与外延有正确的理解.
反思在几何概念的教学时, 恰当运用变式, 能使学生的思维不受定式的束缚, 从而实现学生思维方向的灵活转换, 使思维呈发散状态, 也使学生获得的概念更加精确、稳定和易于迁移.
三、思维的教学, 提高学生的几何认知能力
“ 数学是思维的体操”, “ 数学教学的核心是思维的教学”, 几何概念的教学应关注学生的思维体验, 给学生留出一定的思维的时间和空间.
案例 “图形的旋转”教学中, 旋转中心、旋转角度、旋转方向是图形的旋转“三要素”, 是这一概念的本质特征, 如何让学生认识到这一点呢? 可以让学生进行如下活动并思考:拿起学习用具中的一个含300 的三角板, (1) 让它绕直角顶点旋转600, 得到的结果怎样? (旋转方向不确定, 得到两个不同位置的图形) (2) 让它分别绕直角顶点和另一个顶点逆时针旋转600, 得到的结果一样吗? (旋转中心不同, 得到的图形位置不同) (3) 让它绕直角顶点逆时针旋转, 得到的图形有多少个? (旋转角度不确定, 结果有无数个) (4) 要使旋转后的图形唯一确定, 必须给定什么条件? (旋转中心、旋转方向和旋转角度都给定) 通过这个活动, 让学生体会缺少三要素中的任何一个都不能唯一确定一个图形的旋转, 从而让学生理解“图形的旋转”这一概念的内涵.
反思学生初接触新的几何图形时, 他们的思维层次都会从低到高演变, 教师应评估学生的几何思维水平, 给学生提供探索和运用的机会, 让学生获得在每一个阶段应有的学习经验, 发展对概念及性质的理解, 从而不断提高学生几何思维的层次, 进而提高学生的几何认知能力.
四、系统的教学, 培养学生的整体观、全局观
数学是一个系统, 任何一个数学概念都存在于一定的系统之中, 并与其他有关概念有着联系与区别. 因此教师在进行概念的教学时, 要注意引导学生及时将新概念纳入相应的概念系统, 置知识于系统中, 着眼于知识间的联系和规律, 这样做有利于学生概念系统的形成, 也有利于学生认知系统结构的形成.
案例以平行四边形为例, 可以按如下过程展开:定义———表示———性质———判定———特例———应用. 上述过程具有普适性, 既适用四边形的研究, 也适用新定义几何图形 (如2014 年台州数学中考卷中的等角六边形) 的研究, 体现了系统思维方式的结构性. 数学教学中, 只要紧紧抓住这一结构, 再通过横向或纵向的类比与联系, 引导学生去认识把握具体数学对象的要素和功能的关系, 就能给学生建立起研究数学对象的结构, 并形成完整的认识.
反思在几何概念的教学中, 教师有意识的对学生进行系统的教学, 可以培养学生的整体观、全局观, 进而使学生掌握更具普遍意义的思想方法, 并逐步提高学习的质量和效率.
总之, 初中数学几何概念教学的最终目的不仅仅是使学生掌握概念本身, 而应努力通过揭示概念的形成、发展和应用的过程, 培养学生的辩证唯物主义观念, 完善学生的认知结构, 发展学生的思维能力. 反思我们的教学, 大多轻视基本概念的教学, 而迷恋题海战术, 以获得正确答案为目的, 很少给学生对自己的思维活动过程进行反思的时间和机会, 更不用说对问题的引申、 一般化和对数学思想方法的概括了. 其结果是数学学习的“高投入、低产出”, 师生双方都负担沉重.因此, 在几何概念的教学中, 教师要从重视知识结论转向重视知识的形成过程, 根据教材提供的线索, 创设教学情境, 开展相应的活动, 让学生展示相应的数学思维过程, 多留给学生探究的空间和时间, 让学生经历数学知识的探索、发现和形成过程, 感悟数学思想, 帮助学生积累基本思想、基本活动经验, 进而为学生今后的学习与应用奠定坚实的基础.
参考文献
[1]章建跃.如何实现“思维的教学”——以“平面图形的旋转”的教学为例[J].中学数学教学参考:中旬, 2015 (4) 10-12.
[2]刘海涛.几何教学提高学生思维层次的思考与实践[J].中学数学教学参考:中旬, 2014 (10) 21-23.
[3]王瑞华.回归本真提升能力[J].中学数学教学参考:中旬, 2014 (10) 41-43.
[4]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准 (2011) 年版[M].北京:北京师范大学出版社, 2012.
高考数学新定义型试题赏析 篇2
一、定义新的概念
例1.（2015湖北，理6）已知符号函数sgnx=1，x>0，0，x=0，-1，x<0.f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）-f（ax）（a>1），则（ ）
A.sgn[g（x）]=sgnx B.sgn[g（x）]=-sgnx
C.sgn[g（x）]=sgn[f（x）] D.sgn[g（x）]=-sgn[f（x）]
解析：不妨令f（x）=x+1，a=2，则g（x）=f（x）-f（2x）=-x，则sgn[g（x）]=sgn（-x），排除A;sgn[f（x）]=sgn（x+1）是把x+1与0比较，排除C，D，故选B.
赏析：此题选自高等数学中“符号函数”编拟适合高中生的试题，体现了高等数学与中学数学的和谐美.以高等数学知识为背景，定义一个新函数，要求学生深刻理解新函数的内涵及本质，并能合理迁移运用已学的知识加以解决.此类问题较好地考查了学生的知识迁移能力、转化能力，开发了学生探究性学习的潜能，是备受高考命题者青睐的题型，例如2009年湖南理科第8题，2008年湖南文科第15题.
二、引入新的符号
例2.（2015山东，文14）定义运算“？茚”：x？茚y=x，y∈R，xy≠0）.当x>0，y>0时，x？茚y+（2y）？茚x的最小值为？摇 ？摇？摇？摇.
解析：由已知定义可得x？茚y+（2y）？茚x=+=+，利用基本不等式可得x？茚y+（2y）？茚x的最小值为，当且仅当x=y时等号成立.
赏析：在高考试题中引入新的符号，通过定义一种新的运算，考查学生的自学能力和探究能力，而这类题目给中学教师一种启发，就是在实际教学中要注意培养学生的独立思考能力及自主探索的能力.
三、定义新的运算
例3.（2015福建卷，理15）一个二元码是由和组成的数字串x，x…x（n∈N），其中x（k=1，2，…，n）称为第k位元码.二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生元码错误（即元码由0变为1，或由1变为0）.
已知某种二元码xx…x的元码满足如下校验方程组：
x？茌x？茌x？茌x=0，x？茌x？茌x？茌x=0，x？茌x？茌x？茌x=0
其中运算定义为：0？茌0=0，0？茌1=1，1？茌0=1，1？茌1=0.
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k为发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于？摇？摇？摇 ？摇.
解析：将代入校验方程组依次验证，发现x有误，即k=5.
赏析：本题所定义的运算法则实质上是计算机中的二进制运算，引导学生关注生活，注重应用意识，掌握计算机知识已成为现代公民的基本素养，对于新运算应该紧扣新运算法则，通过推导判断，从而获得正确的结论.定义一种新的运算，运用新的运算法则展开计算，考查學生现学现用的能力，体现了高考命题指出的“由知识立意向能力立意过渡”的指导思想.2008陕西理科第12题，2011湖南理科第16题均涉及二进制.
解题策略：
首先要对新定义型试题进行信息提取，明确新定义的符号和名称;
其次仔细品味新定义的概念，运算法则，对新定义型试题所提取出的信息进行加工，探求解决方法，必要时可寻找相近知识点，然后明确他们的共同点及不同点;
中职数学定义教学探讨 篇3
一、调动学生已有的数学知识经验
教学是教师与学生的双边活动, 所以教师应该在充分吃透教材的前提下, 对学生进行学情分析, 了解学生已有的“知识储备”, 寻找新概念的生长点和学生心理认知的最近发展区, 这一点至关重要。因为学生在学习数学定义时, 往往是从原有的认知结构出发, 去认识、理解新的定义。教学实践表明, 数学定义学习效果的好坏与学习者原有的认知结构有很大的关系, 同时教师在对学情充分了解的情况下, 通过积极的情感投入, 在很大程度上也能激发学生的情感体验, 为课堂教学奠定情感基础。
二、增强学生的认知体验
在教学中, 教师应注重对教材的二次开发, 结合学生所学的专业, 创设学习定义的直观感性材料, 比如通过实物、图形、符号、模型、实例等所进行的直观活动, 借助学生已有的直观经验, 唤起学生原有认知结构中的有关知识和经验, 以利于学生掌握所学的新定义。在为数学定义学习创设感性材料时应注意:一方面, 提供的材料必须能反映数学定义的本质, 具备典型性, 换句话说就是有“数学味”, 不能太花哨, 不然会因为无关因素干扰本质属性的抽象概括。因此, 在教学中, 为了丰富学生的感知体验, 应提供适切的感性材料, 促使学生用眼观察、动脑分析、动手做, 在充分调动已有经验的基础上感知定义的同化过程, 形成认知体验。例如, 在中职建筑专业中, 学生最起码应当对立体几何的相关定义有深入、透彻的理解, 因为建筑基本上都是由长方体、正方体、圆柱体等构成的, 学生必须要掌握相关的数学定义, 才能处理好专业问题。在教学中, 教师可以通过建筑模型、构件模型, 来配合定义讲解, 让学生通过实际的观察与触摸, 来形成对相关定义知识的感性、直观认识, 加深学生对知识的掌握。
三、加强学生对数学定义的表达
从具体的感性材料中抽象和概括实例的共同属性是掌握定义的前提和基础, 是定义形成和同化的关键环节。从感性材料的不断加工、抽象和概括, 最终上升为理性认识, 转化为数学语言, 这需要一个过程, 对学生而言是一个难点, 也是数学定义教学的一个核心点。在已经感知具体材料并结合自己的知识经验后, 学生通常能“意会”材料所蕴含的数学定义, 但不能恰当又全面地表达。这时, 教师应鼓励学生不要怕说错, 即使说错也是一种学习的体验, 要大胆地说出自己的想法。要在师生交流中不断捕捉学生已经能够表达的信息, 及时肯定与辨析, 同时为学生搭建学习“脚手架”, 适时的启发、引导, 让学生在教师的鼓励和引导下恰当地“说”出所“意会”的数学知识, 逐步形成理性概括, 完成对定义的初步建构。教学实践表明, 如果学生能够与教师共同经历定义的感知、抽象并完善过程, 他就能不断使新的数学定义在原有的知识体系中“生根”, 在同化的过程中形成体系, 在后续的定义理解和应用上就更自如。
例如, 对于机械专业或汽修专业的学生, 教师可以首先列举出生活中存在的等比数列, 如汽车的档位传动比, 但不直接告诉他们等比数列的定义是什么, 而是引导他们一一列出汽车档位的传动比, 然后再从第二个数开始, 依次计算与前一个数的比值, 最后分析、总结其规律, 自己概括并表达等比数列的定义, 当然学生的表达不一定非常准确, 但是在教师给出准确定义后, 学生结合自己最开始的理解, 就能够形成非常深刻的等比数列印象, 在应用方面也会更加的自如。
四、不断完善学生对数学定义的认知
在学生经历感性材料到理性思维后, 形成标准化的数学语言, 此时需要通过正例的强化来丰富定义, 通过反例的辨析来“精确”定义。正例主要是反映定义的本质属性, 分为原型和变式。反例是指不具有定义的本质属性或者是具有定义的部分属性的实例, 是容易与定义发生混淆的例子。教学实践表明, 一个正确的认识需要经过正反两方面的比较和鉴别才能确立[3]。在定义形成的初期阶段, 正例可以强化对定义本质属性的认识与理解, 直至概念定义的形成。而能否举出符合定义本质属性的实例, 是检查学生是否理解定义的方法之一。反例则在定义形成的后期阶段起到了重要的作用, 通过反例的辨析, 不断地对其本质属性进行精确化, 能够强化正确的理解。
五、内化数学定义
数学定义的教学应贯穿在整个学习过程之中, 需要通过课上、课后、下一次课上, 不断的循环复认过程。在课上, 经历定义的形成与巩固, 在课后, 通过练习的优化设置, 遵循“螺旋上升”的原则, 从定义中来, 回归到定义中去。在习题的设置上, 应多设置一些定义形成过程题, 比如为什么要学习这个定义, 定义是怎样形成的, 用自己的语言描述定义, 写出由定义产生了哪些可用的结论, 在定义应用中需注意什么, 公式是如何推导并证明的。通过这样开放性习题的设置, 学生才会去思考知识的来龙去脉。在不断的思考中, 建立知识间的联系, 从而在解题中, 根据一个条件联想到一系列的相关知识, 进而筛选对题目有用的结论, 达到对定义的反复认知, 形成系统的认识。教学实践表明, 学生在解题过程中, 并不能完全记住数学定义的标准化语言, 而是通过内省的、自我组织的语言。如果学生能用转化后的自我语言再现数学定义, 才能真正理解该数学定义。所以, 教师在教学的各个环节中应给学生提供不断回归定义的时间和空间, 不断强化。
六、形成全面的定义体系
教学中经常会出现这样的情形, 学生在学习了一个定义之后, 具体应用这个定义时往往不能准确选择和应用, 可能是因为没有真正地理解定义, 另一个可能的原因就是新的定义在学生个人的知识系统中没有形成定义系或定义域, 即在学生头脑中没有形成定义体系, 学生不能从多角度、多背景下去表征定义。因此, 在教学中, 应围绕某一个核心定义进行多角度、多方面的变式训练, 培养学生对于同一个定义的多元表征、准确识别和应用的能力。例如, 三角函数对于很多中职专业课程的学习来说都非常重要, 尤其是机械、数控这些专业, 都需要用到三角函数相关的知识内容, 这样才能准确计算有关尺寸, 还有在电子电器专业中, 交变电流电压的图像表达也与三角函数紧紧相关, 交变电流就是按照正弦规律变化的, 如果学生不能全面掌握三角函数的定义体系, 就难以学好这些专业学科。为此, 必须要对学生进行体系全面的三角函数定义教学, 要在让学生掌握三角函数基础定义的前提下, 进一步掌握以下几个方面的知识, 一是三角函数值在各个象限的符号, 二是单位圆中的三角函数线, 三是同角三角函数的基本关系, 四是三角函数的诱导公式, 五是三角函数的图象与性质等。这样才能使学生全面的掌握三角函数定义体系, 在与其专业有关的三角函数实践应用中, 让学生的数学知识更加的雄厚坚实, 这对于学生专业学科的学习来说具有相当重要的推动作用。
摘要：在中职课程教育体系当中, 数学同样是一门非常重要的学科, 它是学生深入学习专业学科的基础, 机械、汽修等专业, 都对数学知识具有一定的要求, 所以加强对中职学生的数学教学, 提高他们的数学知识能力, 为他们的专业学习奠定基础, 促进他们专业发展至关重要。而要确保中职数学的教学质量, 首先就是要让学生对数学知识的定义有深入、明确的掌握与理解, 因为数学定义是数学知识的基础与核心。本文基于作者自身的实际教学经验, 主要对如何做好中职学生的数学定义教学提出了部分探讨性意见。
关键词：中职,数学定义,教学
参考文献
[1]杨云显.关于数学定义和概念教学的几点体会[J].数学学习与研究, 2013, 09:16.
[2]覃瑞勒.例谈数学定义的教学[J].中学教学参考, 2013, 17:24-25.
自由的定义初中优秀作文 篇4
裴多菲 :“ 生命诚可贵, 爱情价更高, 若为自由故 ,两者皆可抛。” 笼中的鸟希冀着天边那一朵云, 网中的鱼盼望着海角那一抹蓝 。随着时代的长江川流不息 ,身为人类的我们 ,更崇尚自由的权利,追求自由的真谛。
西哲说 :“自由乃是以不侵犯他人的自由为限。” 我认为最能用来诠释自由的真谛 。不管做了什么事, 遵循国家法规 , 尊重社会伦理, 不仅是负起了社会责任 , 心中更握有道德感 。
但在今天 , 年轻人的想法是:“只要我喜欢，有什么不可以?” 不 , 当然不可以 。你可以牺牲你的睡眠 , 但不能彻夜飙车制造问题; 你可以享受音乐, 但不能大声喧哗妨碍安宁 。自己的快乐不可以建立在他人的`痛苦上。
曾经到过一处风景区, 爬到最高处的木制凉亭休息时, 发现柱子上, 椅面全刻满了:“ ***我爱你 或***到此一游 。”这里的木头飘出一种道德沦丧的气味 。不是任何事都能随心所欲 ,不是任何事只要自己喜欢就可以。
初中数学定义 篇5
关键词：“新定义”；策略；迁移；阅读理解
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）08-0103
“新定义”问题是近几年嘉兴中考试题中的热点题型，它是基于学生必须掌握的知识及应该具备的能力，通过新定义的方式隐藏问题本源，要求学生在理解新定义的基础上进行拓展，从而灵活运用新知解决问题，主要考查学生现学现用的能力。“新定义”问题的重要意义在于它不仅改变了学生解题的思维方式，而且对教师的课堂教学也起到了良好的导向作用。由于突出了理解定义的内在含义、问题迁移转化等重要环节，所以学生往往遇到“新定义”问题时会感到畏惧，故教师在教学“新定义”问题的时候要注意教学策略。
三、“新定义”问题的教学策略
“新定义”问题的一般结构形式为：展现新定义→运用新定义，它特别注重考查学生自主学习的过程，使考试评价过程转变为考查学生自主学习的能力，因此在针对这类问题的教学中，教师特别要注重教学策略。
1. “新定义”问题与常规问题的区别
常规问题解题思维流程：如图，学生简单提取已知条件后，建立模型，再结合所学知识直接解决问题。
“新定义”问题解题思维流程：如图，学生首先要通过阅读提取新的信息，再利用已有认知加工信息，将新定义转化为熟悉的旧知，建立模型，最后利用已有经验在新定义的框架内解决问题。
2. 教学策略
“新定义”问题解题思维过程相比常规问题要复杂，主要是加工信息和转化迁移这两个重要环节，笔者根据多年的教学经验，在“新定义”问题教学中可细化为“阅读→理解→转化”三个重要环节来讲解。
（1）阅读——提取信息
通过仔细阅读新定义的概念，提取出概念中的关键词，用笔把关键词圈出来，明确它“新”在哪里，揭开新问题的面纱，并据此联想其产生的根源，
（2）理解——以旧引新
根据提取的信息，借组已有的认知，包括知识、技能、经验等来分析新定义，通过类比的思想尝试架设新、旧知识相同的桥梁，并能有效对比新、旧知识的区别。
（3）转化——迁移应用
找准新、旧知识结合点，把新知转化为旧知，建立数学模型，利用新定义的规则，借助已有的基本经验和基本技能来解决问题，这一过程主要体现了转化思想。对这一新知深刻理解后，可以进行拓展应用。
例：（2016年金华模拟）对于平面直角坐标系中的点P（ab），若点P′的坐标为（a+■，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”。
例如：P（1，4）的“2属派生点”为P（1+■，2×1+4），即P′（3，6）。
（1）①点P（-1，-2）的“2属派生点P′”的坐标为 ；
②若点P的“属派生点”P′的坐标为（3，3），请写出一个符合P条件的点的坐标 ；
（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为点P′，且△OPP′为等腰直角三角形，求的k值。
教学策略：环节1（阅读）
问：这个新定义新在哪里？找出概念中关键词。
环节2（理解）
问：如何理解“k属派生点”的本质？
环节3（转化）
问：如何进行转化应用？本题体现了怎样的数学思想？
教师点拨：
（上接第104页）
（1）让学生明确本题新在“属派生点”。
（2）本題新定义的本质是整式的运算，将转化为，转化为
（3）对于第（1）小题第①问，依新定义的规律得到（-2，-4）。第（1）小题②问由，可得，所以此题答案不唯一，只有点的横、纵坐标之和为3。
新定义型特点鲜明，内容丰富，源于课本，高于課本，虽然它的构思巧妙、题意新颖、隐蔽性强，到处都体现出新意，它考查学生综合的数学意识和综合应用数学能力，尤其侧重考查学生的数学思维能力和创新意识，此类题目能够考查学生实现从模仿到创造的思维过程。对于这类“新”型题，我们应仔细阅读材料，找出相关的信息，正确理解定义，联想不忘依据。结合以前所学的知识，探索归纳推理，从而发现解题的方法，最终解决问题。
参考文献：
[1] 俞 欣.五年考一题[J].学周刊，2012（5）.
[3] 侯绳纲.初中数学经典题解题方法与技巧[M].太原：山西教育出版社，2008.
[4] 徐守军.“新定义”题型的求解策略[J].中学数学研究，2010（12）.
[5] 王飞兵.阅读理解——类比联想——迁移转化[J].中学数学教育，2015（12）.
递归数据结构的数学定义 篇6
在许多数据结构教材中,对于一些简单的数据结构的逻辑表示,通常,除了采用自然语言的描述外,还可以给出确切的用数学语言描述的形式定义。
线性表结构是由一组性质相同的数据元素的集合D和D上二元关系的集合R所组成,其形式定义为:
其中
上述形式定义用数学语言很好地描述了线性表结构是由一组数据元素D组成,且元素之间的线性关系用R精确地描述了出来。任何一个具体的线性表都可以用上述数学语言加以描述,并且,采用数学语言描述,更为精确全面,不会产生二义性。
然而,一些递归的数据结构诸如树型结构、广义表结构等似乎很难给出一个完全用数学语言描述的定义来,大多采用的是文字描述的形式,或者部分采用数学语言,部分采用文字描述。下面从参考文献中列举几个典型的对树的定义来说明这种情况。
例如,参考文献[1]对树形结构的定义是:
树是由个结点组成的有限集合。如果n=0,称为空树;如果,则
(1)有一个特定的称之为根(root)的结点,它只有直接后继,没有直接前驱。
(2)除根以外的其他结点划分为个互不相交的有限集合,每个集合又是一棵树,并且称之为根的子树(subTree)。每个子树的根结点有且仅有一个直接前驱,但可以有0个或多个直接后继。
这是一个完全用文字进行描述的定义。
参考文献[2]除了有类似参考文献[1]的说明外,对树形结构还给出了如下的定义:
在一棵树中,每个结点被定义为它的每个子树的根结点的前驱,而它的每个子树的根结点就成为它的后继。由此可用二元组给出树的定义:
其中,n为树中的结点数,n=0则为空树,则为非空树。对于一棵非空树,关系R应满足下列条件。
(1)有且仅有一个结点没有前驱,该结点被称为树的根。
(2)除根结点外,其余每个结点有且仅有一个前驱结点。
(3)包括树根结点在内的每个结点,可以有任意多个(含0个)后继。
这是一个对树的结点的集合采用了数学语言,而关系采用了文字描述的定义。
同样,参考文献[3]除了也有类似参考文献[1]的说明外,在树的抽象数据类型定义中对树形结构还给出了如下的描述:
数据对象D:D是具有相同特性的数据元素的集合。
数据关系R:若D为空集,则称为空树。
若D仅含有一个元素,则R为空集,否则R={H},H是如下二元关系:
(1)在D中存在惟一的称为根的数据元素root,它在关系H下无前驱;
(2)若D-{root}≠Φ,则存在D-{root}的一个划分D1,D2,…,Dm(m>0),对任意j≠k(1≤j,k≤m)有Dj∩Dk=Φ,且对任意的i(1≤i≤m),唯一存在数据元素xi∈Di,有
(3)对应于D-{root}的划分,H-{
这个描述尝试对树的关系的定义给出一种数学语言的描述。
树是一个有限的、非空的结点集。
它具有下列性质:
(1)集合指定的结点r叫做树的根结点。
(2)其余的结点可以划分成n个子集,,其中每一个子集都是一棵树。
为方便起见,用符号来表示树T。
该定义对结点的集合给出了一种非常简洁的定义,虽然已经表明了树定义的递归特性,但没有直接给出树中结点之间的关系。
2 对现有数据结构形式定义的分析
为什么会出现前面所述现象呢?其基本原因是什么呢?下面从现有的数据结构形式定义的分析来找出造成这种现象的原因所在。
数据结构的形式定义是对一组关联的数据元素以及这些数据元素之间关系的一种逻辑表示形式。通常采用的是二元组的描述形式,即数据结构是由两部分构成的,其一是一组数据元素的集合(或称为聚集可能更为合适);其二是数据元素之间的关系的集合。数据结构的逻辑表示通常采用如下的形式定义:
其中,D是一组性质相同的数据元素的有限集合,R是D上关系的有限集合。D和R可表示为:
这个形式定义应该普遍适用于各种数据结构的定义,包括线性表、树、图以及广义表等数据结构。在表示线性这样简单结构甚至图这样的复杂结构,无论是形式定义还是一个具体线性表或者图,都能够很好地表示出来。对于树这样的具有递归特性的数据结构,如果是一个具体的树,可以用这样的定义表示出来,然而要给出一个普遍适用的形式定义,却出现了困难,似乎很难用数学语言的形式定义全面地描述出来。
通常认为,在数据结构中D是一组性质相同的数据元素的有限集合。那么,在树这样的数据结构中,D则是由代表数据元素的结点的集合所构成。在这种情况下,对于一棵具体的树,可以用有序偶的集合来表示结点之间的关系R。但是,在进行树的形式定义时,就出现了问题,很难给出一种用数学语言描述的完整形式。问题的根源是认为D是一组性质相同的数据元素的有限集合,而树的基本关系是树的根结点与子树间的关系,这样,用树的结点之间的有序偶就无法表示这种关系了。
3 新的数据结构的定义
【定义】数据结构是一组数据元素及数据元素之间相互关系的静态结构,是数据的逻辑结构和存储结构的统称。
其逻辑结构的形式定义为:
其中,D是数据元素的聚集,R是D上关系的集合。D和R可表示为:
存储结构则是逻辑结构在计算机存储器中的映像。
这个定义与原有定义的区别有两点。第一,它明确地说明了数据结构是一组数据元素及数据元素之间相互关系的静态结构,是其逻辑结构和存储结构的统称。其中,描述为一组数据元素,而不是一组性质相同的数据元素,是对这一部分泛化的描述。例如,广义表是一种数据结构,但是,广义表中的数据元素有原子元素和子表元素两种性质不同的元素。作为形式定义的数据结构应该包括这种情况。第二,它指出形式定义中D是数据元素的聚集(Collection)。聚集的限制要更加宽松一些,允许聚集中元素的性质可以不同,也允许聚集中存在元素值相同(但被看作是不同)的元素。要比说明为集合(Set)更为准确和贴切一些。显然,集合是聚集的特例。同时,D的表示采用的是圆括号,以示区别。是关系集合R中的一个关系,在原来的定义中通常是采用元素之间关系的序偶(有序的或无序的)集来表示。例如一个有a,b,c,d 4个元素的线性表,通常表示为,在新的定义中,为了使表示更为简洁,采用元素之间关系的序列(有序的或无序的)来表示,例如表示a,b,c,d 4个元素的有序序列时用尖括号加元素的序列表示,如,而表示无序序列时用圆括号加元素的序列表示:。当需要表示两个元素之间的关系时,自然就成为有序偶或无序偶。
在这个基础上,递归的数据结构的定义就可以迎刃而解了。
4 递归的数据结构的定义
对于具有递归特性的数据结构的定义,文献[4]的定义给出了一个非常好的启示。下面将对树和广义表这两种具有递归特性的数据结构加以分析,并给出相应的用数学语言描述的形式定义。
4.1 树结构的形式定义
4.1.1 一般树
对于一棵最多具有k个分支的k叉树而言,每个结点的性质是相同的,D应该表示为这些结点的集合。在D中,除了根结点外,其余结点可以按子树的结点划分为k个互不相交的子集,我们可以把这些子集看成是一种特殊的元素,这样,D就可以被认为是由一个根结点元素和k个互不相交的子集元素构成的聚集。即
在这里,D不再是性质相同的元素的集合,而是不同性质的数据元素的聚集,m是聚集中元素的个数,是树的根结点元素的个数,只有0或1两种值,k是结点的子树的个数。这样,当则为空树,m=0,m>0则为非空树,,若k=0时,树中则只有一个根结点。
另外,子树相对于根结点,子树的地位是相同的,它们之间是并列的,且没有顺序之分,为了简化表达式,约定子树集用如下符号表示:
其中,冒号表示子树之间是并列的,且互不相交,圆括号表示相互间无序。
在这个基础上,就可以很容易地给出树的递归的形式定义:
其中,
在这里,是树T的根结点,是树T的一棵子树,子树也是一棵树。是有序偶,表示树T的根结点与子树集的二元关系,也同时表示了树T的根结点与每棵子树之间的二元关系。
这个定义清晰、简洁,并且很好地反映了树的递归特性。
4.1.2 二叉树
对于一棵二叉树,除了一般树的特性外,左右子树又是有序的,定义中还要反映左右之别,其递归的形式定义为:
其中,
在这里,是二叉树BT的根结点,是的BT左子树,是BT的右子树,子树也是一棵二叉树,表示左右子树是并列的且左右有序。有序偶是二叉树BT的根结点与子树之间的二元关系。特别需要说明的是,由于二叉树左右子树是有序的,因此,在只有左子树或只有右子树的情况下,子树中间的冒号不能省略。
4.1.3 二叉树表示示例
给定一棵二叉树如图1所示。
按照上述二叉树的形式定义,这棵二叉树的可表示为:
其中,
在具体描述一棵树时,D只需将其中的元素依次展开用结点元素表示即可。上述描述中,D中的元素展开的结果显然是按先序遍历结点的顺序表示的结点元素的序列,由于D是元素的聚集,与展开的顺序无关,因此,按层序遍历的顺序展开也是可以的。R则需要表现二叉树的层次和左右之别,有序偶是按递归的顺序以嵌套方式展开的,且左右有别,完整地反映了二叉树结点之间的层次和左右关系。
4.2 广义表结构的形式定义
广义表也是一种递归的数据结构,是由原子元素(Atom Elements)和子表元素(Sub General Lists)组成的。子表元素也是一个广义表。
4.2.1 广义表的形式定义
虽然广义表是一种递归的数据结构,但是其递归只是体现在子表中,而表中的元素与树中元素的层次关系不同,是一种线性关系,因此,其形式定义也有差异。参考树形结构的形式定义,广义表的形式定义如下所示:
其中,D是一组原子元素和子表元素构成的有限聚集,是D上关系的有限集合。D和R可表示为:
在这里,是广义表元素的有序序列,这种表示方法要比采用有序偶的序列要更为简洁清晰。
4.2.2 广义表表示示例
给定一个广义表如图2所示。
按照上述广义表的形式定义,这个广义表的可表示为:
其中,
在具体描述一个广义表时,D只需将其中的元素依次展开用原子元素表示即可。R则需要表现广义表的层次和同层元素的顺序之别。同一层次用尖括号表示其顺序性,其中的原子元素用元素值表示,子表则用圆括号表示,子表同样用上述方式递推的表示,从而完整地表示了广义表的层次和顺序关系。
5 结语
采用D和R所作的数据结构的形式定义的描述,有过度概念化之嫌。R本身已经包含有D中所表示的数据元素,没有必要把D刻意分离出来,因此,数据结构的形式定义完全可以将D和R的描述合二为一,即采用如下所述的更为简洁的方式。例如:
线性表结构可以表示为:
集合结构可以表示为:
普通树结构可以表示为:
二叉树结构可以表示为:
广义表结构可以表示为:
图结构可以表示为:
摘要：分析了数据结构的构成,并在此基础上提出了诸如树型结构和广义表结构等递归的数据结构的数学定义。
关键词：数据结构,数学定义,树形结构,广义表结构
参考文献
[1]殷人昆,等.数据结构(用面向对象方法与C++描述)[M].北京:清华大学出版社,1999,7:163.
[2]徐孝凯.数据结构实用教程[M].2版.北京:清华大学出版社,2006,9:178.
[3]严蔚敏,吴伟民.数据结构(C语言版)[M].北京:清华大学出版社,1979,4:118.
初中数学定义 篇7
关键词：初中数学,新定义,阅读理解,方法迁移
很多教师在讲课时, 教学内容讲得清清楚楚, 题型举例也是面面俱到。但当学生遇到没有见过的题型时, 就不会解题了。仔细想来, 这主要是由于教师在讲课时往往就题论题, 没有深度拓展造成的。学生抓不住问题本质, 没有掌握解题思路的形成过程, 既不利于学生创造性思维能力的培养, 又不能让学生感受到解题的乐趣。近年来, “新定义”题型已成为数学中考压轴题的亮点, 但因学生在阅读理解与知识迁移方面的欠缺, 他们对“新定义”题型的解答存在着明显的差异, 有的学生甚至束手无策。
我结合2013年和2014年数学中考出现的“新定义”试题, 对试题进行分类, 并针对相应的类型题提出具体的解决方法。
一、何为“新定义”题型
“新定义”题型是指在问题中定义了一些没有学过的新概念、新运算、新符号。
例如, 2013年四川宜宾数学中考题。对于实数a、b, 定义一种运算为:, 有下列命题:的解集为:-1<x<4;④点在函数y=x-1的图像上, 其中正确的是 () 。
A.①②③④B.①③C.①②③D.③④
不是学生学过的运算符号, 这需要学生通过阅读辨析题目来发现问题, 感悟原题中对的“新定义”。然后将的运算法则迁移到四个命题中, 以此考查学生的知识迁移能力。
二、“新定义”题型分析
1.运算型新定义。这类题目是把题中的某个符号定义成一种新的运算法则。
例如, 2014年河北数学中考题。定义新运算:, 则函数的图像大致是 () 。
考查知识点:反比例函数的图像与性质。
思路分析:由题意, 得, 当x>0时, 反比例函数的图像在第一象限;当x<0时, 反比例函数的图像在第二象限。又因反比例函数的图像是双曲线, 故选择D。
教学反思:这是运算型新定义题型, 解题的关键是明确新运算所表示的含义, 理解应全面、无差错。对于上述试题, 首先要理解新定义的运算分b>0与b<0两种情况;其次要理解新定义的运算法则, 使得运算结果互为相反数。
2.概念型新定义。这类题目是对某种情形的数学问题赋予了新的定义。
例如, 2014年甘肃兰州数学中考题。给出定义, 若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方, 则称该四边形为勾股四边形。
(1) 在你学过的特殊四边形中, 写出两种勾股四边形的名称;
(2) 如图1, 将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE,
连接AD, DC, CE, 已知∠DCB=30°。
①求证:△BCE是等边三角形;
②求证:DC2+BC2=AC2, 即四边形ABCD是勾股四边形。
考查知识点:
勾股定理, 三角形的判定, 旋转的性质, 新定义的运用。
思路分析:
(1) 根据定义和特殊四边形的性质, 则有矩形或正方形或直角梯形;
(2) 证明△ABC≌△DBE, 得出AC=DE, BC=BE, 又因旋转角度是60°, 得出△BCE为等边三角形;
(3) 利用等边三角形的性质, 得出△DCE是直角三角形。
教学反思:
这是概念型新定义题型, 学生应深刻理解新概念的特点及其所蕴含的思想方法, 要善于根据题目变化将其所蕴含的思想方法进行合理类比与迁移。勾股四边形是一个新概念, 学生唯有正确理解与把握它的本质属性 (存在90°角) , 通过图形加以描述, 并将具体图形从特殊扩展到一般, 才能解决有关勾股四边形的问题。
3.开放型新定义。这类题目是根据新定义, 对某一种类的概括, 因此答案不唯一, 呈开放状态。
例如, 2014年安徽数学中考题。若两个二次函数图像的顶点、开口方向都相同, 则称这两个二次函数为“同簇二次函数”。
(1) 请写出两个为“同簇二次函数”的函数;
(2) 已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5, 其中y1的图像经过点A (1, 1) , 若y1+y2与y1为“同簇二次函数”, 求函数y2的表达式, 并求出当0≤x≤3时, y2的最大值。
考查知识点:
求二次函数的表达式, 二次函数的性质 (开口方向、对称轴、增减性) ;二次函数的最值。
思路分析:
(1) 任选一个点作为顶点, 同号两数作为二次项系数, 用顶点式表示两个“同簇二次函数”即可。
(2) 由y1经过点A (1, 1) , 求出m的值, 再由y1+y2与y1为“同簇二次函数”, 求出y2的表达式, 然后把y2的表达式转化为顶点式, 利用二次函数的性质可求y2的最大值。
解答:本题是开放型问题, 答案不唯一, 符合题意即可, 如y1=2x2, y2=x2, 或y1=-x2+1, y2=-2x2+1等。因函数y1的图像经过点A (1, 1) , 则2-4m+2m2+1=1, 解得m=1。故y1=2x2-4x+3=2 (x-1) 2+1。
解法一:
∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”,
∴可设y1+y2=k (x-1) 2+1 (k>0) , 则y2=k (x-1) 2+1-y1= (k-2) (x-1) 2。
当x=0时, y2=5, ∴函数y2经过点 (0, 5) , 则 (k-2) ×12=5, k-2=5。
∴y2=5 (x-1) 2=5x2-10x+5.当0≤x≤1时, y2随x的增大而减小, ∴当x=0时, y2最大, 最大值为5× (0-1) 2=5;当1<x≤3时, y2随x的增大而增大, ∴当x=3时, y2最大, 最大值为5× (3-1) 2=20。
综上所述, 当0≤x≤3时, y2的最大值为20。
解法二:
∵函数y1的图像经过点A (1, 1) , 则2-4m+2m2+1=1, 解得m=1.
∴y1=2x2-4x+3=2 (x-1) 2+1。
∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”, 则y1+y2= (a+2) x2+ (b-4) x+8 (a+2>0) 。
∴, 化简得b=-2a。
又1, 将b=-2a代入, 解得a=5, b=-10。
∴y2=5x2-10x+5。
当0≤x≤3时, 根据y2的函数图像, 可知y2的最大值=5×32-10×3+5=20。
教学反思:
这是开放型新定义题型, 关键是理解定义, 要明确定义呈“不严格”状态, 所以它的答案不唯一。对于上述试题, 应准确理解新概念的两个条件, 并运用二次函数的顶点式, 且只要a的符号相同, 即可解决第 (1) 题。对于第 (2) 题, 熟练并灵活运用新定义的概念是求函数y2表达式的关键, 而掌握二次函数顶点式与一般式之间的转化及二次函数增减性与分类讨论思想的运用是求y2最大值的关键。
4.探究型新定义。这是一类考查学生对新信息的理解与应用能力的新定义题目, 要在此基础上进入新的探究与发现。
例如, 2014年舟山数学中考题。类比梯形的定义, 我们定义:有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫作“等对角四边形”。
(1) 已知:如图2, 四边形ABCD是“等对角四边形”, ∠A≠∠C, ∠A=70°, ∠B=80°, 求∠C、∠D的度数。
(2) 在探究“等对角四边形”性质时:
①小红画了一个“等对角四边形”ABCD (如图3) , 其中∠ABC=∠ADC, AB=AD, 此时她发现CB=CD成立, 请你证明此结论;
②由此小红猜想:“对于任意‘等对角四边形’, 当一组邻边相等时, 另一组邻边也相等”。你认为她的猜想正确吗?若正确, 请证明;若不正确, 请举出反例。
(3) 已知:在“等对角四边形”ABCD中, ∠DAB=60°, ∠ABC=90°, AB=5, AD=4, 求对角线AC的长。
考查知识点:
四边形的内角和, 等腰三角形的性质, 解直角三角形, 勾股定理。
思路分析:
(1) 理解并运用“等对角四边形”这个概念, 因为∠A≠∠C, 所以只有∠B=∠D, 即可求得。
(2) ①连接BD, 利用等腰三角形的性质判定就可解决。
②举例画图。
(3) 分类讨论:
①当∠ABC=∠ADC=90°时, 延长AD、BC, 构造特殊直角三角形, 利用勾股定理求解。
②当∠BCD=∠DAB=60°时, 延长AD、BC, 构造特殊直角三角形、特殊等腰三角形, 利用勾股定理求解。或者过点D作AB、BC的垂线, 构造特殊直角三角形, 利用勾股定理求解。
教学反思:这是探究型新定义题型, 属于现在国际上流行的PISA题, 主要考查学生的数学探究思维能力与素养。本题以一个新概念“等对角四边形”为背景, 集中了相关的核心知识, 包括直角三角形、三角函数、等腰三角形、四边形等, 既考查了学生对等腰三角形、三角函数、直角三角形、四边形等知识的综合运用, 又考查了新定义的知识, 可谓一举多得。
三、策略与方法
新定义题目, 即给出一个学生从未接触过的新概念, 要求学生现学现用。这类题型具有启发性、思考性、挑战性和隐蔽性等特点。首先, 学生要正确理解“新定义”中问题原型的特点及其解决方法;其次, 将原型问题的解决方法合理地迁移到变化的情境中。因此, 教师在教学中要加强以下两个方面的数学活动:
1.仔细阅读, 理解新定义的内涵。我们经常能发现, 许多学生解题错误的原因是对题意理解有偏差。而数学学得好的学生, 其阅读理解能力要比一般学生强, 他们读得明白, 理解准确。因此, 教师在教学中应重视对学生数学阅读理解能力的培养, 加强对数学阅读教学理论与实践的研究。要坚持一字一句地读, 而不是一目一行地扫描式阅读, 只有这样才能提高学生对新定义题目的阅读理解能力。为顺利解决“新定义”题型, 学生只有在仔细阅读题目的情况下, 才能正确理解与把握“新定义”问题原型的特点及其解决方法, 为后续解决“新定义”题型奠定基础。
2.根据新定义, 学会对所学知识的再迁移。在教学中, 教师不但要教给学生基本知识、基本技能, 还要注意培养学生的知识迁移能力。迁移能力是指在学习者已有认知结构中, 对所要学习的新知识的一种接受。有了接受, 必然就有反馈。反馈, 简单地说就是现学现用的能力。依托学生的已有知识和生活经验, 为学生自觉接受新知识提供一个切入点, 使新知识的生成与发展基于学生熟悉的某个情境, 为学生的实践运用与后续学习奠定基础。因此, 教师要理解和把握好新知识的内涵与外延, 认真分析学情, 让新知识有序、有效地融入学生已有的知识框架中。日积月累, 学生便能形成一定的迁移能力, 将“新定义”问题原型的解决方法合理地迁移到变化的情境中。
总之, “新定义”题型主要是对学生综合应用和灵活迁移能力的一种检测。对于这类新型题, 学生应仔细阅读材料, 找出相关信息, 正确理解定义, 并结合所学知识进行探索、归纳和推理, 从而发现解题方法, 最终灵活解决问题。
参考文献
[1]陈卫.教学中培养学生数学阅读能力的实验研究[J].中学数学教育, 2008 (3) .
[2]侯绳纲.初中数学经典题解题方法与技巧[M].太原:山西教育出版社, 2008.
数学定义式中的备注内容不容忽视 篇8
例1:已知函数 , 当m取什么值时, 它是一次函数?
分析:一次函数自变量x的最高次数是1, 并且定义式中x的系数不为零, 这点容易被学生忽略.
解法一: (错误) 依题意得:m2-5m+5=1, 解得m=1或m=4.
∴当m=1或m=4时, 函数是一次函数.
解法二: (正确) 根据题意, 得
解①得:m≠1, 解②得:m=1或m=4.
由①②得:m=4.
∴当m=4时, 函数 是一次函数.
例2:若函数 是二次函数, 则m的取值范围是什么?
分析:二次函数中自变量x的最高次数是2, 但定义式中x的系数不为0容易被学生忽视.
解法一: (错误) 根据题意, 得:m2-2m-1=2, 解得m=3或m=-1.
解法二: (正确) 根据题意, 得
解①得:m=-1或m=3, 解 (2) 得:m≠0或m≠-1.
由①②得:m=3.
∴当m=3时, 是二次函数.
例3:已知关于x的方程k2x2+ (2k-1) x+1=0有两个不相等的实数根x1、x2, (1) 求k的取值范围; (2) 是否存在实数k, 使方程的实数根互为相反数, 如果存在, 求出k的值, 如果不存在, 请说明理由.
分析:对于第 (1) 问, 要求k的取值范围, 许多同学只看到表面“有两个不相等的实数根”;而对于第 (2) 问, 许多同学也只看到“有两个互为相反数的实数根”的表面含义, 容易忽视不管是“有两个不相等的实数根”, 还是“有两个互为相反数的实数根”, 其必须是一元二次方程, 则定义式中必有二次项系数不为0此条件.
解法一: (错误) (1) 根据题意, 得:⊿= (2k-1) 2-4 k2﹥0, 解得: .因此, 当 时, 方程有两个不相等的实数根.
(2) 假设存在k使方程的两实数根x1、x2互为相反数, 则: .
解得: , 经检验, 是方程①的解.因此, 当 时, 方程的两实数根x1与x2互为相反数.
解法二: (正确) (1) 依题意, 得:
解这个不等式组得: 且k≠0.因此, 当 且k≠0时, 该方程有两个不相等的实数根.
(2) 假设存在实数k, 使方程的两实数根互为相反数, 则有:
由①式得 , 但 时, 不满足②式⊿﹥0, 故不存在实数根k, 使方程的两实数根互为相反数.
初中数学定义 篇9
近年中考数学试卷涌现出的“新定义型”试题, 内容丰富多彩、格调新颖, 超越常规、亮点纷呈, 有效地考查了学生的阅读能力、分析推理能力、数据 (信息) 处理能力、文字表达能力、随机应变和在新情境下解决问题的知识迁移能力, 有利于学生分析问题、解决问题能力的提高, 有利于学生创造性思维的培养, 有利于学生和谐持续地发展.
所谓“新定义型”试题, 就是指通过试题提供的新定义、新概念、新规则、新定理、新材料来创设新情境, 提出新问题, 要求学生完成某种推理证明或指定要求的问题, 并以此考查学生学习新数学知识的能力和综合利用所学知识解决新问题的能力, 其背景相对公平, 正是中考所追求的理想题型之一.
在一个新型的数学情境中, 学生应该在阅读理解的基础上, 充分理解其中的内容、方法和思想, 然后在把握本质的基础上做出解答, 问题往往涉及“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”等多个学习领域.下面对部分试题作以评析, 供大家参考.
一、新定义运算法则
例1 (北京市课改实验区) 用“×”定义新运算:对于任意实数a、b, 都有a×b=b2+1.例如, 7×4=42+1=17, 那么5×3=_________;当m为实数时, m× (m×2) =_________.
分析:对于法则“a×b=b2+1”的理解和运用, 其核心是字母b的取值.解题时, 可从已给的具体例子验证自己的理解, 并注意迁移实数的运算顺序.
答案:10, 26.
【评注】本题考查学生逻辑推理能力, 由一般到特殊读懂新运算的本质, 关键是要准确理解新符号的数学意义.
例2 (四川省攀枝花市) 先阅读下列材料, 再解答后面的问题.
问题: (1) 计算以下各对数的值:
log24=________, log216=________, log264=________.
(2) 观察 (1) 中三数4、16、64之间满足怎样的关系式?log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式?
(3) 由 (2) 的结果, 你能归纳出一个一般性的结论吗?
logaM+logaN=_______ (a>0且a≠1, M>0, N>0.)
根据幂的运算法则:an·am=am+n以及对数的含义证明上述结论.
分析:本题是一道联系高中数学背景的试题, 认真阅读所给概念, 可以从从逆运算的角度去尝试计算, 提出猜想、验证猜想, 总结规律;第 (3) 问提醒教师在教学时对数学性质的探索不可包办代替, 数学知识的应用切勿生搬硬套, 能力训练功夫在平时.
【评注】此题是阅读理解题, 要求学生阅读相关信息, 通过探索、猜想、归纳, 发现规律, 得出结论.主要考查了学生的阅读理解能力以及自学能力.说明中考中不仅仅要把平时储存在学生头脑中的知识提取出来, 看其丰富与否, 更要考查从已有知识出发, 建构新知的能力.
二、新定义整式模型
例3 (浙江省课改实验区) 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差, 那么称这个正整数为“神秘数”.如:4=22-02, 12=42-22, 20=62-42, 因此4、12、20都是“神秘数”.
(1) 28和2 012这两个数是“神秘数”吗?为什么?
(2) 设两个连续偶数为2k+2和2k (其中k取非负整数) , 由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗?为什么?
(3) 两个连续奇数的平方差 (取正数) 是“神秘数”吗?为什么?
分析:本题的命制背景是书本的一道课后练习题“两个连续奇数的平方差是8的倍数”, 通过创设新情境“神秘数”, 提出一系列探究的新问题, 考查了学生阅读、探究的能力和运用整式的运算进行推理的技能.
解答: (1) 28=82-62, 2012=5042-5022,
所以是“神秘数”.
(2) (2k+2) 2- (2k) 2=4 (2k+1) ,
因此由2k+2和2k构造的“神秘数”是4的倍数.
(3) 由 (2) 知“神秘数”可表示为4的倍数, 但一定不是8的倍数.
因为两个连续奇数为2k+1和2k-1,
则 (2k+1) 2- (2k-1) 2=8k,
即两个连续奇数的平方差不是“神秘数”.
【评注】学生平时不应只满足于记忆公式和对课本习题的解答, 应对课本公式进行多角度思考, 加强解题后的反思, 这样, 学习数学将不再枯燥和乏味, 而一定是有吸引力、具备生命力的.同时, 初三数学的总复习一定要回归课本, 因为任何好的参考资料都不能代替学生对课本的阅读和掌握.
三、新定义生活中的数学模型
例4 (浙江省舟山市) 日常生活中, “老人”是一个模糊概念, 有人想用“老人系数”来表示一个人的老年化程度, 其中一个人的“老人系数”计算方法如下表:
按照这样的规定, 一个年龄为70岁的人, 他的“老人系数”为________.
分析:从生活实际中抽取数学问题, 考查学生运用数学知识解决实际问题的能力, 使学生感受到数学既来源于现实, 又能应用于现实.
答案:0.5.
【评注】此题要求学生阅读给定的材料, 用数学的眼光分析和解答社会生活问题, 考查了学生的识表能力, 即如何将已知的题意与表格中的栏目一一对应.说明学生学习数学, 不仅是为了能够解题, 更重要的是应用数学, 也就是要会用数学的眼光和头脑来观察和分析生活中遇到的问题, 提取有关信息并解决相关问题.
事实上, 日常生活、生产实践中经常会出现图表问题, 阅读图表, 从中提取有关信息已成为生活中必不可少的内容, 如每日的股市曲线图、菜场上的价目表和招工市场上的应聘与招聘数据等, 这些都是中考命题的源泉.
四、新定义几何模型
例5 (北京市课改实验区) 我们给出如下定义:若一个四边形的两条对角线相等, 则称这个四边形为等对角线四边形.请解答下列问题:
(1) 写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称;
(2) 探究:当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时, 这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系, 并证明你的结论.
分析:课标科材引入了“平移、轴对称、旋转”等几何变换, 以变换为工具进行几何图形性质的探索, 将有助于发现有关几何事实.解决本题时, 我们可以从特殊的基本图形出发 (如对角线所夹锐角为60°的等腰梯形) , 先探究出猜想, 再用平移变换证明.
【评注】本题需要学生认真读懂与领会题意, 加以理解, 分清有关线段之间的关系, 准确地构建几何模型.另外很好的引导了学生从运动变化的角度去思考数学, 而不是把数学看成静止的, 这正是考查学生的数学能力.如果教师在日常教学中能经常性地使用信息技术 (如几何画板) 来辅助几何教学, 对学生变换观念的养成是大有裨益的.
例6 (安徽省课改实验区) 如图1, 凸四边形ABCD, 如果点P满足∠APD=∠APB=α, 且∠BPC=∠CPD=β, 则称点P为四边形ABCD的一个半等角点.
(1) 在图2所示的正方形ABCD内画一个半等角点P, 且满足α≠β.
(2) 在图3所示的四边形ABCD中画出一个半等角点P, 保留画图痕迹 (不需写出画法) .
(3) 如图4所示, 若四边形ABCD有两个半等角点P1、P2, 证明线段P1P2上任一点也是它的半等角点.
分析:本题是试卷的压轴题, 面对这类试题时, 要沉着冷静地仔细研读试题所提供的材料, 利用各小问的内在联系, 找准突破口:“半等角点”的定义和轴对称作图知识, 从而解决问题.
【评注】这道压轴试题秉承了安徽省近几年来的命题风格, 让学生在各自原有的基础上, 建立新情境与已有知识实质性的联系, 综合地运用所学的数学知识和数学思想方法解决新问题, 创新力度大, 对日常教学有较强的引领和导向作用.
五、新定义方程、不等式模型
例7 (江苏省苏州市课改实验区) 司机在驾驶汽车时, 发现紧急情况到踩下刹车需要一段时间, 这段时间叫反应时间.之后还会继续行驶一段距离, 我们把司机从发现紧急情况到汽车停止所行驶的这段距离叫“刹车距离” (如图5) .
已知汽车的刹车距离s (单位:m) 与车速v (单位:m/s) 之间有如下关系:s=tv+kv2.其中t为司机的反应时间 (单位:s) , k为制动系数.某机构为测试司机饮酒后刹车距离的变化, 对某种型号的汽车进行了“醉汉”驾车测试, 已知该型号汽车的制动系数k=0.08, 并测得志愿者在未饮酒时的反应时间t=0.7 s.
(1) 若志愿者未饮酒, 且车速为11m/s, 则该汽车的刹车距离为_________m (精确到0.1 m) .
(2) 当志愿者在喝下一瓶啤酒半小时后, 以17m/s的速度驾车行驶, 测得刹车距离为46m.假如该志愿者当初是以11m/s的车速行驶, 则刹车距离将比未饮酒时增加多少? (精确到0.1m.)
(3) 假如你以后驾驶该型号的汽车以11m/s至17m/s的速度行驶, 且与前方车辆的车距保持在40 m至50 m之间, 若发现前方车辆突然停止, 为防止“追尾”, 则你的反应时间应不超过多少秒? (精确到0.01 s.)
分析:首先要弄明白“反应时间”、“刹车距离”、“制动系数”等即时性学习的新概念, 克服恐惧心理, 再针对各题的已知和要求, 建立相应的数学模型来解答.
解答: (1) 17.4 m;
(2) 设志愿者饮酒后的反应时间为t1,
则t1×17+0.08×172=46, 解得t1≈1.35 s.
当v=11m/s时, s=t1×11+0.08×112=24.53.
所以24.53-17.38≈7.2 (m) .
答:刹车距离将比未饮酒时增加7.2m.
(3) 为防止“追尾”, 当车速为17m/s, 刹车距离必须小于40 m, 所以t×17+0.08×172<40, 解得t<0.993 s.
答:反应时间不超过0.99 s.
【评注】本题选材于社会热点问题, 背景鲜活真实, 考查学生阅读已知信息后获取有用数据的能力, 以及综合运用函数、方程、不等式等知识解决实际问题的能力, 阅读量较大, 但计算并不繁琐, 教学时要训练学生稳定的心理素质.
六、新定义抛物线模型
例8 (福建省福州市课改实验区) 对于任意两个二次函数:y1=a1x2+b1x+c1, y2=a2x2+b2x+c2 (a1a2≠0) , 当a1=a2时, 我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线.
现有△ABM, A (-1, 0) , B (1, 0) , 记过三点的二次函数抛物线为“C□□□” (“□□□”中填写相应三个点的字母) .
(1) 若已知M (0, 1) , △ABM≌△ABN, 如图6, 请通过计算判断CABM与CABN是否为全等抛物线;
(2) 在图7中, 以A、B、M三点为顶点, 画出平行四边形.
(1) 若已知M (0, n) , 求抛物线CABM的解析式, 并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与CABM全等的抛物线解析式;
(2) 若已知M (m, n) , 当m、n满足什么条件时, 存在抛物线CABM?根据以上的探究结果, 判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与CABM全等的抛物线.若存在, 请列出所有满足条件的抛物线“C□□□”;若不存在, 请说明理由. (图8是备用图)
分析:本题的关键仍然是要正确理解“全等抛物线”的本质含义:二次项系数的绝对值相等.阅读时, 应发现“由特殊到一般, 由简单到复杂”的内在演变规律;解决本题的基本技能是二次函数的图象性质和用待定系数法求解析式.
【评注】函数是贯穿初中数学学习的一条主线, 每年的中考对函数问题的考查所占的比例都居高不下, 可以说是常考常新.新课程背景下, 拓宽了中考对函数问题的命题空间, 给试题注入了生机与活力, 这类问题涉及知识面广、开放度高、灵活性强, 能够很好地考查学生利用所学知识分析问题和解决问题的能力, 这需要平时结合所学的知识多联想和多类比, 注意知识的活学活用, 这样才能够处理好这类问题.
七、对今后教学的启示
1. 阅读能力是学习数学的一个十分重要而又容易被忽略的技能
现在一些课堂上的实情是:教材往往被师生有意无意地作为“练习册”和“字典”, 这在一些评优课上也是屡见不鲜的.而多数学生却在数学阅读中或多或少遇见这样的尴尬:认识一段数学材料中每一个字、词或句子, 却不能理解其中的推理和数学含义, 更难体会到其中的数学思想方法.所以, 教师要正确认识并重视数学阅读教学, 这不仅仅是上面文介绍的中考“新定义型”试题解题的需要, 更是学生升入高一级中学实现健康持续发展的需要.
事实上, 数学阅读是一个不断假设、证明、想象、推理的积极能动的认知过程.学习数学离不开做题, 但更离不开阅读教材, 数学知识的自主学习是离不开科学有效的阅读的.在数学教学中, 应有计划地让学生阅读教材、阅读例题解法、加强学生阅读能力的培养.要从课本叙述中通晓知识的来龙去脉、从例题中提炼思想方法、从课外练习中学会解题技巧, 等等.
要注意的是, 由于数学语言的抽象性、精确性, 要提醒学生:日常的浏览、快速阅读等方式是不太适合数学阅读的, 数学阅读过程往往是要读写相结合.因为新教材为了突出学生的主体探究, 对数学推理的理由常常省略, 运算证明过程也常简略, 阅读时, 如果从上一步到下一步跨度较大, 就要用纸笔演算推理来“架桥铺路”以顺利阅读;数学阅读时, 还应要求学生从课文中概括归纳出证明思想、知识结构框图, 或举一些反例、变式来加深理解, 这都应该要求学生以注脚的形式写在页边上, 以便以后复习巩固.
2. 在日常教学中, 要时刻注意数学学习中的能力倾向
应弱化对概念的记忆与背诵, 强化对概念的理解与运用;弱化公式的直接代入与套用, 强化公式的变形与活用;弱化对定理的机械搬用, 强化对定理条件的把握;弱化再现性思维, 强化求异思维与创新思维.复习中, 要加强对学生应用意识和实践能力的培养, 不失时机地引入一些新题型, 让学生学会在生活中、在解决问题的过程中, 去用数学、去领悟数学的真谛!
参考文献
[1]罗增儒.中学数学课例分析.陕西师范大学出版社.2001/07.
[2]洪秀满.制约数学问题解决的心理因素.中学数学.2002/02.
初中数学定义 篇10
按要求操作一次时，使该行的行和（或该列的列和）由负变正，都会引起A（或B）增大，从而也就使得S增加，增加的幅度大于等于2λ，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，S必然小于等于最初的数表中m×n个实数的绝对值之和，可见其增加的趋势必在有限次之后终止.终止之时，必是所有的行和与所有的列和均为非负实数，否则，只要再改变该行或该列的符号，S就又会继续上升，导致矛盾，故结论成立.
评析 本题涉及定义一种新的操作，对分析问题能力和逻辑推理能力要求较高，并涵盖数学中重要的分类思想、代换思想、转化思想，是一道考查综合能力的好试题.
以上可以看出新定义型创新性试题形式多样，解题没有固定模式.要求学生要有扎实的基础知识和一定的推理论证能力和分析问题解决问题能力，是考查学生综合素质和数学基本能力的很好形式.因此平时教学中要加强这方面训练，培养学生处理创新性试题能力，从而真正提高学生的能力.
初中数学定义 篇11
关键词：椭圆,双曲线,抛物线,定义,典例
基于中职生薄弱的数学基础, 圆锥曲线 (椭圆、双曲线、抛物线) 的定义让他们理解起来相当费劲。作为中职数学教师, 如何让圆锥曲线的定义在学生心中根深蒂固, 笔者通过多年的中职教学经历, 采取选择典型范例辅助教学的方法取得较好的教学效果。选用体现圆锥曲线定义的典型例题, 最好能够非常巧妙地让定义在解题中发挥作用, 通过引导学生解决你所选的典例, 让学生体会到运用定义后问题的解决水到渠成, 思路茅塞顿开, 头脑豁然开朗, 今后触类旁通。下面举六个典例供读者分享。
一体现椭圆定义的典型范例
椭圆有两个定义。第一定义:平面内动点P到两个定点F1, F2的距离的和为常数2a (2a>|F1F2|) 的点的轨迹, 其中两个定点F1, F2是椭圆的焦点。用数学语言描述为:|PF1|+|PF2|=2a, |F1F2|=2c, 其中2a>2c>0。第二定义:平面内动点P到定点F的距离与动点P到定直线距离的比为常数的点的轨迹。其中定点是椭圆的一个焦点, 定直线是相应于该焦点的一条准线, 常数是该椭圆的离心率。椭圆的离心率0<e<1。
二体现双曲线定义的典型范例
双曲线有两个定义。第一定义:平面内动点P到两个定点F1, F2的距离的差的绝对值为常数2a (0<2a<|F1F2|) 的点的轨迹, 其中两个定点F1, F2是双曲线的焦点。用数学语言描述为:|PF1|-|PF2|=2a, |F1F2|=2c, 其中0<2a<2c。第二定义:平面内动点P到定点F的距离与动点P到定直线距离的比为常数的点的轨迹。其中定点是双曲线的一个焦点, 定直线是相应于该焦点的一条准线, 常数是该双曲线的离心率, 双曲线的离心率e>1。
通过椭圆与双曲线的两个定义类比, 结合以上的两个体现两个定义的典例, 能让学生对椭圆和双曲线的两个定义在心中相互“呼应”, 对椭圆和双曲线就像“孪生兄弟”一样熟悉。
三椭圆与抛物线定义交汇的典型范例
抛物线只有一个定义:平面内动点P到定点F的距离等于动点P到定直线l的距离的点的轨迹。设动点P到定直线l的距离为|PN|, 则抛物线的定义用数学语言描述为:|PF|=|PN|, 其中定点F为抛物线的焦点, 定直线l为抛物线的准线。抛物线的离心率永远为1。
四双曲线与抛物线定义交汇的典型范例
分析讲解:该题与上面的典例3类似, 解法也类似, 依题意画出示意图, 作PN⊥l于N, 为了看起来更简洁, 连接PF2。
五双曲线与抛物线交汇求双曲线离心率的典型范例
六椭圆与抛物线交汇求椭圆离心率的典型范例
解析讲解:依题意画出示意图, 设F′是椭圆的右焦点, 过F′垂直于x轴的直线是抛物线的准线, 作AN垂直该准线于N, 由抛物线的定义得AF=AN, 显然, AN=FF′所以AF=FF′, 在直角△AFF′中, AF=FF′=2c。