集合体现的数学思想

集合体现的数学思想（精选8篇）

集合体现的数学思想 篇1

数学思想是数学知识和能力的精髓。近几年的高考数学试题, 越来越注重对数学思想的考查。在集合的学习过程中也经常用到数学思想, 现举两例供大家参考。

一、等价转化思想

在解集合问题时, 当从已知集合的表达式不好入手时, 可将其先等价转化为另一种形式。

例1已知M={x, y│y=x+a}, N={x, y}│x2+y2=2}, 求使得M∩N=覫成立的实数a的取值范围。

解:M∩N=覫等价于方程组

把y=x+a代入方程x2+y2=2中, 消去y, 得2x2+2ax+a2-2=0 (*)

问题又转化为一元二次方程 (*) 无实根, 即△=4a2-8 (a2-2) <0, 由引解得a>2或a<-2。

故所求实数a的取值范围是 (-∞, -2) ∪ (2, +∞)

点评:如果利用数形结合思想来解, 本题更简单, 只要使圆心到直线的距离大于半径, 即

二、分类讨论思想

在解集合题时, 由于空集的特殊性, 经常需要分类讨论。

例2设集合A={x│x2+4x=0, x∈R}, B={x│x2+2 (a+1) x+a2-1=0, a∈R, x∈R}, 若B⊆A, 求实数a的取值范围。

解:∵A={0, -4}, ∴B⊆A分以下两种情况讨论

(1) B=ø时, △=4 (a+1) 2-4 (a2-1) <0, 解得a<-1;

(2) B≠ø时, 又分以下两种情况讨论:

(1) B={0}或B={-4}并且, △=4 (a+1) 2-4 (a2-1) =0, 解得a=-1, 此时B={0}满足题意。

(2) B={0, -4}, 由此知:0和-4是方程x2+2 (a+1) x+a2-1=0的两个根,

代入方程得得

综上可知, 实数a的取值范围为a≤-1或a=1。

点评:由于空集是任何非空集合的真子集, 因此, B=ø时也满足B⊆A, 所以当B芴A时, 就应该考虑B=ø与B≠⊆两种情况。

集合体现的数学思想 篇2

摘要：从当前的教学实际来看，学生面对大量的数学习题往往是一筹莫展，大有不知从何入手去解题之感。面对此问题，学生困惑，老师着急。实不知学生一旦在教师平时的指导下，在课堂学习中养成良好的学习习惯，形成系统数学思想，则再去思考数学问题就会得心应手，事半功倍!故数学思想在教学中的充分体现，应成为当前数学教学的第一需要!

关键词：数学思想课堂教学应用

目前对于数学思想的提法很是流行，对其概念的界定也是众说纷纭。然而据多年的教学实践，笔者认为数学思想就是学生通过对数学的学习形成自己的观点和认知规律。数学思想的应用即把这些属于自己的数学规律用于学习和解题的过程中。从而达到事半功倍的效果。简言之数学思想主要体现在数学语言、等价转化、数形结合、类比、分类等规律的总结和运用上。那么我们究竟如何在平时的教学中卓有成效的培养学生的数学思想并促使其学会应用呢?这是值得我们每个教育工作者关注和思考的一个问题。

从教学实践中可知：数学课的教学，实际上是教给学生数学方法和数学基础知识。而这两者之间的关系是显性与隐性的`关系。知识点是获得数学知识、发展数学思维的动力，是培养学生解决实际问题能力的钥匙。

众所周知，中学数学的基本知识主要是代数、几何和三角中由其内容所反映出来的数学思想和方法，它须教师在课堂上向学生展示获得知识、技能及解决问题的思考过程和解决问题的方法，力求使学生不断接触了解一些重要的数学思想和方法。那么我们怎样在教学实践中去落实这一点呢?笔者认为从以下几个方面入手较好：

一、落实基本概念，培养学生的数学思想

因为对于概念的深刻理解，是提高解题能力的坚实基础，能力的提高是通过学生对数学语言表达和对数学符号的运用来体现的，数学语言和符号实现了思维的概括性和简明性。由繁与简、新与旧之间达到对立的协调和谐的统一。例如在讲切线的判定定理时，不仅抓住定理的内涵和外延，更注重数学语言和符号思想的培养。学生既要熟知“过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。”这一定理，还要在头脑中形成直观的形象即OA⊥AT;OA是⊙O的半径则自然推出AT是⊙O的切线，A是切点。如果需证直线AT是⊙O的切线时则(1)如果知道AT⊥OA，必须证明A在⊙O上或OA是⊙O的半径(2)如果知道A在⊙O上，必须证明OA⊥AT。当学生掌握了以上知识点时，再做练习：“梯形ABCD，AB∥CD，∠A=90?，BC是⊙O的直径，且BC=ABCD。求证：AD是⊙O的切线”时，大多数学生都会过点O作OE⊥AD，垂足为E，再证明OE是⊙O的半径。这样从概念入手，在解题的过程中形成数学意识。

二、注重数形结合，构建学生的数学思想

数学知识尽管来源于生活实践，但数学最本质的东西是从生活实践中的知识高度概括和抽象出来的。这就要求在教学中把抽象的知识具体化、形象化，通过直观的形象来深化教学的实质。为了培养学生的思维能力，教师应该将数形结合思想充分暴露给学生。例如在学习直线与圆的位置关系时，我在教学中构造了直观数学模型(一个圆面与一条直尺)设⊙O的半径为R，圆心O到直线L的距离为d，从直线与⊙O相离时慢慢移动，观察直线与圆的位置关系，通过“数”和“形”的对比，学生很容易认识并掌握直线与的位置的三种关系。能应用这种数量关系去判定直线与圆的位置关系。

三、注重合理分类，梳理学生的数学思想

分类思想是根据所研究的对象相同点和不同点区分不同类型的数学思想方法。分类有两个性质：第一，同一性;第二，独立性。同一性是指分类的标准是一致的。独立性是指每类独立存在，不重复也不遗漏。例如在教学圆周角定理“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”的证明过程时，通过圆心在圆周角外部、一边上、角的内部三种情况，把此定理的证明过程分成三类进行证明，圆周角一边过圆心最易证明，其他两种情况可转化到第一种情况也容易证明。这样以来，学生头脑中思路更为清晰，解起题来就会得心应手!

四、运用“等价转化和换元”体现数学思想

在解方程(组)的教学中，强化消元、降次的思想，就解分式方程来谈，解分式方程反映出来的数学方法就是把分式方程转化为整式方程，其中渗透了“等价转化”的数学思想。通过分式方程的学习，学生逐步明确和掌握“把分式方程化为整式方程”这一基本的数学方法。更重要的“转化”是解数学题的重要手段。一位好的数学教师要学生努力保持好的解题胃口，任何一个数学问题都是通过“联想、构造、转化”的思维方式有机地进行数形转化，从而实现未知到已知的过程。渗透转化和换元思想是引导学生以下几点：

1、解方程(组)降次、换元、公式变形。

2、一元二次方程和一元二次函数转化的思想。

3、几何辅助线引发→第一，几何习题的条件和结论的变化;第二，对图形的变化。

4、代数、几何、三角之间的转化思想。

强化转化思想，他能有效地帮助学生理解代数式、方程、不等式、几何、三角有机的内在联系。看来观察是解题的前提和基础，联想是桥梁，转化是解题的思想。

数学思想在初一数学教材中的体现 篇3

【关键词】数学思想 数学方法

初一新生是数学学习的一个关键时期，对于刚升入初中的学生来说，学习内容、学习方法以及研究方法都是个转折点，尤其是数学思想认识上要产生质的飞跃，体现出对数学思想与方法的转变与运用。数学思想是数学知识的精髓，也是知识转化为能力的桥梁。只有在学习基本数学知识的同时，重视对数学思想方法的理解认识，并逐步掌握运用，才能有效地应用知识，形成能力。因此，从初一开始将数学思想方法的讲解融入到教学中，可以有效地帮助学生从宏观上把握和认识数学问题，提高他们分析问题和解决问题的能力。

一、分类讨论思想

分类讨论思想是被研究对象包含多种可能情况，导致我们不能对它们一概而论时，我们必须按照出现的所有情况进行分类讨论得出各种情况下相应的结论。它能使复杂的问题条理化、简单化，能克服思维的片面性，防止漏解。运用分类讨论思想解决问题体现了运算的多样性。初一教材中的分类思想主要体现在：

1.有理数的分类。

2.绝对值的分类。

3.整式分类。

教学中，要向学生讲清分类的要求（不重、不漏），分类的方法（相对什么属性为类），这样，学生做一些有关分类讨论的题也就不易出错，使学生养成运用分类思想解题的习惯，培养严谨分析问题的能力。

二、数形结合思想

所谓数形结合思想就是把一些抽象的数学运算利用有关的几何图形形象地展示出来，并结合该几何图形得到运算的结果。

教材引入数轴后，就为数形结合思想的体现和运用奠定了基础，在以后的内容中，这种思想不断得到运用。如有理数比较大小，相反数的几何意义，绝对值的几何意义，列方程解应用题的画图分析，不等式（组）解集的表示等，都充分显示出恰当、合理地把数量问题转化为图形问题后，可收到化抽象为直观、化繁为简、化难为易的良好效果；平面直角坐标系的建立，使平面上的点与有序数对之间构成一一对应关系，是实现数与形结合的重要工具。由点找坐标，由坐标确定点的位置，通过坐标变化呈现图形变换，也促进了数形之间互相转化，数与形结合直观形象，为分析问题和解决问题创造了有利条件。有些问题需要我们借助图形来给出解答，解决此类问题时，要充分利用图形反馈的信息，或将文字信息反馈到图形上，做到有数思形，有形思数，顺利解决问题。

三、逆向思维思想

逆向思维思想是一种创造性思维，即把问题倒过来或从问题的反面入手倒转思维，或逆用某些数学公式、法则来解决问题。加强逆向思维的训练，可以培养学生思维的灵活性和发散性，使学生掌握的数学知识得到有效的迁移。因此，逆变换思想是学生学好数学的一个重要武器。

例如，已知：a=m+1， b=m+2， c=m+3，

求： a2+b2+c2-ab-bc-ac 的值。

分析：此题可逆用完全平方公式，先化简原式。

解：原式=[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]= （1+1+4）=3

四、化归思想

化归指的是转化与归结，即把数学中待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到某个（或某些）已经解决或者比较容易解决的问题，最终求得原问题解决的一种手段和方法。它是数学最重要、最基本的思想之一。化归思想渗透在有理数运算，一元一次方程的解法等内容中。初一数学中的化归思想主要体现在：

1.用绝对值将两个负数大小比较化归为两个算术数（即小学学的数）的大小比较。

2.用绝对值将有理数加法、乘法化归为两个算术数的加法、乘法。

3.用相反数将有理数的减法化归为有理数的加法。

4.用倒数将有理数的除法化归为有理数的乘法。

5.把有理数的乘方化归为有理数的乘法。

五、整体思想

所谓“整体思想”就是指在解决数学问题时，将要解决的问题看作一个整体，通过对问题的整体形式、整体结构、已知条件和所求综合考虑后，得出结论。具体表现为：

1.在有理数运算中，常把字母与其前面的“+”“-”符合看作一个整体进行处理；

2.用字母表示数就充分体现了整体思想，即一个字母不仅代表具体的数，而且能代表单项式或多项式；

3.整式运算中往往可以把一个式子看作一个整体来处理。

总之，在数学教学中，只要切实把握好以上典型的数学思想，依据课本内容，按照学生实际，从初一开始有目的、有计划地加以渗透，运用，就能有效地拓展学生的思维空间，训练并提高学生思考、认识和解决问题的能力。

集合中的数学思想 篇4

一、方程思想

根据待解题目的条件和结论,利用性质列出方程或方程组,通过解方程使问题得解的思想方法称为方程思想.

例1已知A={a,,1},B={a+ab,|a|,0},若A=B,则a2010+b2010的值等于______.

解:注意到集合中元素的互异性,可知a≠1且≠1⇒a≠b,且a≠0.又1≠0,所以两个集合相等时,得方程组

点评:注意运用元素的特性找出一些隐含条件,为列方程组创造条件.

二、化归转化思想

在处理数学问题,通过某种变换或化归把复杂问题简单化,把陌生问题熟悉化,从而使原问题得到解.

例2已知方程x2-px-q=0和x2+qx-p=0的解集分别为A、B,且A∩B={1},求A∪B.

例3设U=R,M、P是两个非空集体,定义M与P的差集为M-P=x|∈M,且x∉P},完成下面两个小题.

(1)若A={1,3,5,7,9},B={2,3,5,6},则集合A-B的子集个数为()

(A)5 (B)6 (C)7 (D)8

(2)集合M-(M-P)等于()

(A) P (B) M∩P

(C) M∪P (D) M

解:(1)根据新定义,得A-B={1,7,9},所以集合A-B的子集为∅,{1}{7},{9},{1,7},{1,9},{7,9},{1,7,9},共8个,故选(D).

(2)由定义,M-P=M∩(CUP),所以M-(M-P)=M∩CU[M∩(CUP)]=M∩[(CUM)∪P]=[M∩(CUM)]∪(M∩P)=∅∪(M∩P)=M∩P.故选(B).

点评:解此题的关键是结合新定义进行了集合间的转化.

三、分类讨论思想

待研究的命题结论不能用一种形式来表示,需把命题分成几个独立的小问题,通过对小问题的研究得到原来问题的答案,这类解决问题的思维方法,叫分类讨论法.分类讨论的关键是确定分类标准,保证不重、不漏.

点评:此题根据子集分类讨论.

例5若集合A1、A2满足A1∪A2=A,则称(A1、A2)为集合A的一种分拆,规定:当且仅当A1=A2时,(A1,A2)与(A2,A1)为A的同一种分拆,则集合A={1,2}的所有不同分拆种数是______.

解:需要分类讨论,根据新概念知:

(1)当A1=∅时,A2={1,2};

(2)当A2={1}时,A2={2}或A2={1,2};

(3)当A1={2}时,A2={1}或A2={1,2};

(4)当A1={1,2}时,A2={1}或∅或{2}或{1,2}.

故填9.

四、数形结合思想

将抽象的集合问题与直观、具体的图形结合起来处理,把数量关系转化为图形去研究,可使问题化难为易,易于解决,常用的手段是数轴和韦恩图法.

又根据题目中的定义,并画数轴,如图1.得A-B={y|y>3},B-A={y|y<-1}.所以A⊕B={y>3}∪{y|y<-1},即A⊕B={y|y<-1或y>3}.

点评:本题是一道信息迁移题,弄懂M-N及M⊕N的含义及A和B中代表元素是数集而不是点集是解题的关键.

例7已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A⊆U,B⊆U,且(CUA)∩B={1,9},A∩B={2},(CUA)∩(CUB)={4,6,8},求A和B.

解:作韦恩图(如图2),全集为U,把A∩B,(CUA)∩(CUB),(CUA)∩B的元素填入图中,可得A={2,3,5,7},B={1,2,9}.

计算教学中如何体现数学化思想 篇5

在二年级学生们学习了两位数加减整十数和一位数的口算，还学习了两位数加减两位数的笔算，所以在三年级学习两位数加减两位数的口算时，学生很容易根据已有的学习经验将两位数加减两位数笔算方法迁移到两位数加减两位数的口算中，先算个位、再算十位。有的教师认为无所谓学生使用哪种算法，相反采用笔算的方法来口算不但计算正确率高，而且不会对学生今后笔算多位数加减多位数产生负面影响。这种忽略了数学思想方法的学习，只重视计算结果的教学，只会使教学形式化，学生只起到了一个接收器的作用，不用時会很容易忘记。数学家波利亚认为：教师要把三分之一的努力花在教些基本的数学上，而把三分之二的努力花在培养学生有益的思维方法和思维习惯上。从这句话中可以看出其对数学思想方法和思维习惯的重视程度。从某种意义上讲，数学思想方法比数学知识更重要，它对人的发展具有很重要的影响。因此，我们在日常教学中如何渗透数学思想方法，尤其是占教学任务比重如此大的计算教学，我们教师如何在教学中渗透数学思想方法，通过计算探索与发现一些简单的数学规律外，还能否进一步渗透一些数学思想方法，让学生变得更聪明、更有智慧呢？值得我们每位数学教师深思。

一、计算教学在小学数学教学中的现状

教材因素：新教材强调理解算理和合理运用计算方法，强化口算能力和重视估算意识的培养。特别在中、高年级注意运用知识的迁移、类推、转化等，引导学生获取新知识。在教材中计算题的分量不是太多，计算题的难度比老教材要简单的多。

教师的因素：相当多的教师未能确立现代教学理念，仍旧沿用老办法，只简单的、一成不变教学方式间单地把计算题生硬的摆在学生面前，这样一来学生感觉到的是毫无感情的、不美丽、不生动冷冰冰、呆板数字，学生产生感觉不到学习的快感。在教学中与老师产生不了共鸣。教师那，为了提高教学成绩，过于注重计算技能的获得和熟练化，以致于学生被动、乏味地接受学生当作演算的工具。

学生因素：小学生不愿意计算中学生几何学习困难主要反映在以下几个方面：感觉计算题太枯燥。体会不到数学计算带来的快感，没有成就感。与生活联系少，动手少。吃苦耐劳的精神不足。学习计算，而有的学生恰恰就是怕吃苦、怕动脑，当然是学不好计算的。其他方面的知识跟不上，包括语文知识，生活经验等，因而对计算题的理解能力，解答时的表述能力等方面都还欠缺。不善于与周围实际生活联系起来去丰富想象。

（一）、语言激励，引导学生进入数学计算的殿堂

数学是一门科学，但数学教学却是一门艺术。夸美纽斯说过：教育人是艺术中的艺术，教育人使用的语言是艺术的语言。美国教育家哈？曼说：“那些不设法勾起学生求知欲的教学，正如同锤打着一块冰冷的生铁。”斯托利亚尔在《数学教育学》一书中指出：“数学教学也就是数学语言的教学。”精心锤炼的数学课堂教学语言以其独特的魅力给学生以美的享受、精神的愉悦和丰硕的学习成果。

（二）、在日常教学中培养学生各种数学学习习惯

1、规范学生的书写，培养学生认真做题的习惯。要求学生计算时，精力要集中。这就首先要求学生做题时必须静下心来，先把数字书写规范，竖式的横线要用直尺或三角板拉直。

2、在计算中培养学生养成检查的良好的学习习惯。

3、掌握算理，强化运用。数学的算理必须要求掌握，但怎么才能更好的掌握呢？在这里我认为就是要强化，只有加强了记忆才可能在平时的学习中熟练的运用。

二、在计算教学中渗透数学思想方法的具体实践：

数学知识有着很强的系统性，很多新知识往往是旧知识的引申、发展和综合，而学生的认知活动也总是以已有知识和经验为前提。因此，数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验之上。教学时，教师要根据知识间的内在联系，找准新旧知识的联结点，并以此为突破口引导学生利用知识的迁移规律主动地获取知识。这就是化归法。

仔细研究四年级“乘法分配律的应用”一课，发现在三年级的口算乘法教学中，就已经运用“乘法分配律”进行口算。如23×4，口算时将23分成20和3，把20和3分别乘4，再把两次相乘的积相加。如果让学生在自己的记忆库中搜寻到这一旧知，了解到以往的学习中已经运用“乘法分配律”，无疑会令他们产生积极的学习情感，有效地促进新课学习。因此，课始可以组织学生回忆：我们学过的哪些知识是用“乘法分配律”来解决的，你能举个例子说明吗？经过相互启发，学生应该不难找到例子。在“加法的交换律和结合律”时，当学生通过发现、猜想和验证这一学习过程知道加法交换律就是交换两个加数的位置，和不变时，教师随即可以通过课件出示了一年级数的分与合、一图两式及二年级加法的验算，告诉学生加法交换律对于我们学生来说并不陌生，在一、二年级的学习过程中接触过、运用过。让学生感受到所学知识间的联系。也有意识地让学生运用已有经验，经历运算律的发现过程，让学生在合作与交流中对运算律的认识由感性逐步发展到理性，合理地构建了知识。

在“运算律”中还可采用归纳法，从实际问题场景引出加法中两个数相加的算式有规律进行观察，第二步，观察研究加法算式特点，得到加数相同，位置交换，和不变，形成猜测；第三步，举例验证，便于归纳，最后形成结论；第四步，概括抽象，上升到符号化的表达。大胆尝试让学生自己去探索、发现，教师只作为一个引路者，引导学生带着研究的态度自主探索，主动地获取知识。虽然研究很费时，但学生完完整整地经历了一次数学规律探索的过程，即“猜测——验证——结论”，感悟到一切猜测要想成为一个公认的结论，必须经过验证。同时，在此过程中，体会到探究的快乐、成功的自豪。遇到再难的数学问题，就能运用所学的数学思想方法来解决，就没有了畏难情绪，对于学生学习的有效性，对于他们更好地完成将来的工作生活和学习，有着十分重要的意义。这些美妙的体验将使他永远记住今天发现的这个结论，或许还有人就此开始猜测验证其他的数学规律呢！

借助数学思想, 体现数学魅力 篇6

一、体验生活中的数学思想, 体会数学现实意义

数学思想中的抽象特征, 就是将外部现实世界与数学相关的内容, 通过抽象的数学符号渗透到数学知识内部, 成为数学研究的对象;而数学思想中的推理特性, 则是人们通过数学的计算方法, 创造出独具魅力的数学语言, 从而搭建起数学与现实的桥梁, 实现数学的实际应用.因此, 数学是与现实生活密不可分的.这与数学教育的目的相吻合, 即通过数学学习锻炼中学生的社会实践能力.相对来说, 数学思想对于中学生有些过于高深和抽象.因此在教学中, 要将数学与生活经验联系起来, 让他们学会接通数学与生活的源头, 将枯燥的知识思想变成鲜活生动的具体行为.如在讲“确定与不确定”时, 可以从学生熟悉的生活情境入手, 如:同学们都知道双色球吧, 可能其中还有同学曾经买过, 那么为什么双色球有的人一买即中, 有的人却屡屡不中呢?今天我们也来玩一个“摸彩球”的小游戏.盒子里现在有15个球, 分别有黑球10个, 红球5个, 现在请一位同学上来摸一个球, 但在他摸之前其他同学先猜猜他会摸出什么颜色的球.通过示范游戏, 让学生们亲自体验“可能性与不可能性”.然后改变游戏规则继续游戏, 这次换了一个盒子, 里面有4个黑球、5个红球, 让学生6人一组, 自由组成8组, 派一名组长轮流上来摸球, 让学生猜一猜他会摸到什么球, 学生们异口同声地回答:红球.教师反问:“确定吗?”“确定!”学生答.这样从现实生活出发, 从学生已有经验出发, 让他们主动寻找到隐含在生活中的数学规律, 并从中体会到了数学思想的无处不在, 感受到数学在现实中的价值所在.

二、通过多种数学思想方法, 感知数学魅力

在初中数学的教学过程中, 一方面要积极引导学生对数学知识进行认知;另一方面更要注重对学生进行数学思想方法的培养与渗透, 只有将方法与知识、技能结合为一个有机整体, 才能让学生感知数学之魅力, 从而提高初中生的数学思维能力、解析问题能力和实际应用能力.

1.假设思想方法.假设思想方法就是教师通过对数学问题进行优化分析, 将其中一些数据做适当的调整和改变, 再根据题目原来的数量关系做进一步的推算, 对所得数据与原数据之间出现的差异进行还原与修正的一种常用方法.它在实际运用中看似复杂, 实际是将问题简单化, 便于学生进行推理和计算.如在初中数学中最为常见的一元二次方程应用题:一块地毯四周包有同等宽度的花边, 地毯长8cm, 宽5cm.如果除去花边, 地毯中央面积是18m2, 计算花边宽度.对这种类型的题可以作如下处理:先让学生目测黑板的长与宽, 在学生进行估算的基础上然后提出假设.假设黑板长是8cm, 宽中5cm, 在不知道黑板外面镶框宽度情况下, 确保书写这部分的面积是18m2, 那么镶框宽度是多少?这个问题应该怎么解决?通过进行假设, 一方面让学生的数学估计能力得到有效提高;另一方面还让他们学会如何从另外一个角度去看待数学问题, 感受到充满变化的数学思想.

2.“数形结合”思想方法.对于数学思想中的数形结合, 华罗庚曾有诗云:“数形本是相倚依, 焉能分作两边飞.数缺形时少直觉, 形缺数时难入微.”由此可见, “数”与“形”是对事物不同属性的反映.进行数形结合的实际意义, 就是通过图形将抽象的数学语言与数量关系相结合, 变为初中生的直观形象, 成为学生解题捷径.如运用图解法来求不等式;通过图解法学习有理数、解方程组和解不等式;三角形中应用的“以数解形”方法等, 都是数学“数形结合”思想的精髓.这种思想能够帮助初中生有效地将数学知识转化为一种能力, 在实践与应用中体验到数学的无穷魅力.

集合体现的数学思想 篇7

此外, 由于数学思想包含了数学理论与数学概念, 它贯穿于整个高中数学教学领域, 是通过由一般的数学方法经过高度概括、抽象而成的一般数学模式, 因此, 数学思想具有高度的层次性和概括性, 低层次的数学思想可以给人们提供解决具体问题的手段和策略, 而高层次的数学思想对数学教学具有深刻的指导意义.因此, 在学习过程中学生如果可以切身地感受到数学方法中所蕴含的数学思想, 这样不但可以使学生对数学知识的掌握和理解变得更加容易, 还会有助于其他学科的学习.

一、在高中数学教学中如何渗入数学思想

调查显示, 在高中数学教学中可以从多方面、多层次地进行数学思想的渗透, 从而使整个高中数学教学更加有效进行.本文主要从以下几个方面来讨论如何在高中数学教学中渗透数学思想:

1.有意识、有目的地介绍数学思想

在高中数学教学前, 教师必须充分备课并进行合理、科学的课堂教学设计.因此, 我们可以根据教学大纲所规定的教学目标、教学中课堂情景的创设等, 来选择恰当的教学方法, 从而确保整个高中数学教学内容都要经过科学、合理地安排, 尽最大努力做到有规划的数学思想方法教学, 从而最大限度地提高教学效率.

2.有步骤、有计划地渗透数学思想

例如, 在教授微积分学的相关知识时, 关于极限思想的表现必须在学生面前一步一步地展开, 通过一开始就给学生讲述极限的定义, 让他们有一个初步的了解, 然后利用极限定义——导数来引出导数的概念, 使学生能够切身体会到极限思想处理问题的方法, 进而达到了只通过定积分的概念和应用就能够使学生逐渐领会到极限思想的目的.

3.充分挖掘教材中的数学思想

这就要求我们的教师专业水平达标, 并且具有良好的职业道德, 因为在高中数学课本中所设置的数学思想往往都是隐性的, 需要我们的教师积极引导学生深入地理解教材内容, 充分挖掘其中所蕴含的数学思想, 在教学过程中才能更好地渗透数学思想, 从而使高中数学课堂的效率得到进一步提高.

二、分类讨论

通常情况下, 对于数学问题的解答, 往往会遇到通过采用多种方法、从不同的角度来解答同一个问题, 因此, 这就需要我们根据各种具体情况进行相应的分类分析, 从而得到最终的题解, 进而实现数学思想中的分类讨论.作为一种常用的数学思想——分类讨论, 是一种重要的逻辑数学思想, 在解题过程中既普遍又重要.该数学思想方法能够很好地体现积零为整和化整为零的思想和归类整理.有数据表明, 对于那些具有分类讨论思想的数学问题, 其在探索性、逻辑性以及综合性方面都表现出良好的效果, 从而有利于学生思维上的概括性和条理性的训练与培养, 将为他们在今后的高考中能够正常发挥提供可靠的保障.

在进行分类讨论时, 教师应该从以下内容来引导学生:首先要统一标准, 确定分类对象, 同时要避免教学中的重复, 但也不能出现遗漏现象, 最后要确保主次分明并进行明确的划分.同时, 在解答分类讨论的数学问题时, 必须掌握基本的方法和步骤: (1) 要确定分类标准, 并要对数学问题进行科学、合理的分类, 最终可以得到阶段性的解答; (2) 确保所讨论的对象要明确, 有目的性, 还要对讨论的对象所涉及的范围考虑得全面; (3) 对解题过程中得到的小结进行系统的归纳, 并得出综合的结论, 并对分类讨论的步骤进行简单的总结.例如:设函数f (x) =ax2-3x-4, 对于满足x的范围在 (0, 3) 之内的一切x值都有f (x) >0, 求实数a的取值范围.分析过程:对含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值、区间中零点等值域问题, 在解题过程中需要先对函数的开口方向讨论, 再通过画出相应的示意图对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论, 最后综合以上分析步骤并得出最终解.

三、在解题的过程中领悟数学思想方法

随着前些年我国新教改的实施, 许多新的教学方法不断涌现, 通过不同的方法对数学问题进行解答的教学方式, 不仅有助于学生掌握一些数学基础知识, 还能够让学生们从解题中领悟到数学思想方法的精髓.在教师对学生进行习题讲解时, 可以进行一题多解的教学模式, 让学生充分发挥自己的想象力, 从而有效地提高自己数学学习的效率.通过对习题的练习, 不仅能够巩固学生的数学基础, 还可以充分挖掘学生们解题的数学思想以及解题方法.当在教学过程中学生对某些题型显得尤其感兴趣时, 他们就会自己综合一些题型来归纳总结, 并将做题过程中所学到的解题方法记录下来, 从而将会有利于他们今后的数学学习.所以, 教师在对学生进行数学题讲授时, 必须运用多种数学方法来解题, 并要从不同的角度去阐述同一个数学问题, 这样将会有助于激发学生的思维能力, 使他们更容易明白各种数学运算与数学模型之间的数学关系, 并建立和运用它们间的联系点和变化以及转化等, 在此基础上就可以使学生能够慢慢地接受数学思想, 从而潜移默化地提高学生的思维能力, 并大大提高高中数学课堂的教学质量.

四、结 语

综上所述, 数学思想在高中数学教学中发挥着重要的作用, 同时, 数学精神和思想以及方法在当今的科学工作中不可或缺, 我们必须重视将数学思想渗透到高中数学教学中.只有这样, 学生才能有效地掌握数学解题的方法, 并逐渐形成解题的思想与思路, 从而扩大学生的数学知识面, 并提高高中生学习数学的热情.

摘要：数学思想在高中数学教学中发挥着重要的作用, 我们必须重视将数学思想渗透到高中数学教学中, 才能提高学生学习数学的热情, 扩充学生的知识面.文章论述了在高中教学教学中渗入数学思想的具体方式, 分析了让学生领悟数学思想的具体方法, 得出了数学思想渗透于数学教学中的积极意义.

关键词：数学思想,高中,教学

参考文献

[1]张雪园.浅议数学思想方法在课堂教学中的渗透[J].江西教育学院学报, .2004 (3) .

集合体现的数学思想 篇8

一、了解《大纲》目标，把握教学方法

所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。所谓数学方法，就是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映。数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为。运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种量的积累达到一定程序时就产生了质的飞跃，从而上升为数学思想。若把数学知识看作一幅构思巧妙的蓝图而建筑起来的一座宏伟大厦，那么数学方法相当于建筑施工的手段，而这张蓝图就相当于数学思想。

1、明确基本要求，渗透“层次”教学。《数学大纲》对初中数学中渗透的数学思想、方法划分为三个层次，即“了解”、“理解”和“会应用”。在教学中，要求学生“了解”数学思想有：数形结合的思想、分类的思想、化归的思想、类比的思想和函数的思想等。这里需要说明的是，有些数学思想在教学大纲中并没有明确提出来，比如：化归思想是渗透在学习新知识和运用新知识解决问题的过程中的，方程（组）的解法中，就贯穿了由“一般化”向“特殊化”转化的思想方法。

教师在整个教学过程中，不仅应该使学生能够领悟到这些数学思想的应用，而且要激发学生学习数学思想的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断追求新知，发现、提出、分析并创造性地解决问题。在《教学大纲》中要求“了解”的方法有：分类法、类经法、反证法等。要求“理解”的或“会应用”的方法有：待定系数法、消元法、降次法、配方法、换元法、图象法等。在教学中，要认真把握好“了解”、“理解”、“会应用”这三个层次。不能随意将“了解”的层次提高到“理解”的层次，把“理解”的层次提高到“会应用”的层次，不然的话，学生初次接触就会感到数学思想、方法抽象难懂，高深莫测，从而导致他们推动信心。如初中几何第三册中明确提出“反证法”的教学思想，且揭示了运用“反证法”的一般步骤，但《教学大纲》只是把“反证法”定位在“了解”的层次上，我们在教学中，应牢牢地把握住这个“度”，千万不能随意拔高、加深。否则，教学效果将是得不偿失。

2、从“方法”了解“思想”，用“思想”指导“方法”。关于初中数学中的数学思想和方法内涵与外延，目前尚无公认的定义。其实，在初中数学中，许多数学思想和方法是一致的，两者之间很难分割。它们既相辅相成，又相互蕴含。只是方法较具体，是实施有关思想的技术手段，而思想是属于数学观念一类的东西，比较抽象。因此，在初中数学教学中，加强学生对数学方法的理解和应用，以达到对数学思想的了解，是使数学思想与方法得到交融的有效方法。比如化归思想，可以说是贯穿于整个初中阶段的数学，具体表现为从未知到已知的转化、一般到特殊的转化、局部与整体的转化，课本引入了许多数学方法，比如换元法，消元降次法、图象法、待定系数法、配方法等。在教学中，通过对具体数学方法的学习，使学生逐步领略内含于方法的数学思想；同时，数学思想的指导，又深化了数学方法的运用。这样处置，使“方法”与“思想”珠联璧合，将创新思维和创新精神寓于教学之中，教学才能卓有成效。

二、遵循认识规律，把握教学原则，实施创新教育

要达到《教学大纲》的基本要求，教学中应遵循以下几项原则：

1、渗透“方法”，了解“思想”。由于初中学生数学知识比较贫乏，抽象思想能力也较为薄弱，把数学思想、方法作为一门独立的课程还缺乏应有的基础。因而只能将数学知识作为载体，把数学思想和方法的教学渗透到数学知识的教学中。教师要把握好渗透的契机，重视数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解决问题和规律的概括过程，使学生在这些过程中展开思维，从而发展他们的科学精神和创新意识，形成获取、发展新知识，运用新知识解决问题。忽视或压缩这些过程，一味灌输知识的结论，就必然失去渗透数学思想、方法的一次次良机。如初中代数课本第一册《有理数》这一章，与原来部编教材相比，它少了一节——“有理数大小的比较”，而它的要求则贯穿在整章之中。在数轴教学之后，就引出了“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，“正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数”。而两个负数比大小的全过程单独地放在绝对值教学之后解决。教师在教学中应把握住这个逐级渗透的原则，既使这一章节的重点突出，难点分散；又向学生渗透了形数结合的思想，学生易于接受。

在渗透数学思想、方法的过程中，教师要精心设计、有机结合，要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学之中的种种数学思想方法，切忌生搬硬套，和盘托出，脱离实际等错误做法。比如，教学二次不等式解集时结合二次函数图象来理解和记忆，总结归纳出解集在“两根之间”、“两根之外”，利用形数结合方法，从而比较顺利地完成新旧知识的过渡。

2、训练“方法”，理解“思想”。数学思想的内容是相当丰富的，方法也有难有易。因此，必须分层次地进行渗透和教学。这就需要教师全面地熟悉初中三个年级的教材，钻研教材，努力挖掘教材中进行数学思想、方法渗透的各种因素，对这些知识从思想方法的角度作认真分析，按照初中三个年级不同的年龄特征、知识掌握的程度、认知能力、理解能力和可接受性能力由浅入深，由易到难分层次地贯彻数学思想、方法的教学。如在教学同底数幂的乘法时，引导学生先研究底数、指数为具体数的同底数幂的运算方法和运算结果，从而归纳出一般方法，在得出用a表示底数，用m、n表示指数的一般法则以后，再要求学生应用一般法则来指导具体的运算。在整个教学中，教师分层次地渗透了归纳和演绎的数学方法，对学生养成良好的思维习惯起重要作用。

3、掌握“方法”，运用“思想”。数学知识的学习要经过听讲、复习、做习题等才能掌握和巩固。数学思想、方法的形成同样有一个循序渐进的过程。只有经过反复训练才能使学生真正领会。另外，使学生形成自觉运用数学思想方法的意识，必须建立起学生自我的“数学思想方法系统”，这更需要一个反复训练、不断完善的过程。比如，运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握。学习一次函数的时候，我们可以用乘法公式类比；在学习二次函数有关性质时，我们可以和一元二次议程的根与系数性质类比。通过多次重复性的演示，使学生真正理解、掌握类比的数学方法。

4、提炼“方法”，完善“思想”。教学中要适时恰当地对数学方法给予提炼和概括，让学生有明确的印象。由于数学思想、方法分散在各个不同部分，而同一问题又可以用不同的数学思想、方法来解决。因此，教师的概括、分析是十分重要的。教师还要有意识地培养学生自我提炼、揣摩概括数学思想方法的能力，这样才能把数学思想、方法的教学落在实处。