高中数学必修1集合教案总汇

高中数学必修1集合教案总汇（共11篇）

高中数学必修1集合教案总汇 篇1

教学目标: 1、理解集合的概念和性质.

2、了解元素与集合的表示方法.

3、熟记有关数集.

4、培养学生认识事物的能力.

教学重点: 集合概念、性质

教学难点: 集合概念的理解

教学过程:

1、 定义：

集合：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集). 元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.

由此上述例中集合的元素是什么?

例(1)的元素为1、3、5、7，

例(2)的元素为到两定点距离等于两定点间距离的点，

例(3)的元素为满足不等式3x-2> x+3的实数x，

例(4)的元素为所有直角三角形，

例(5)为高一·六班全体男同学.

一般用大括号表示集合，{ ? }如{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}。则上几例可表示为??

为方便，常用大写的拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员} ，B={1，2，3，4，5}

(1)确定性;(2)互异性;(3)无序性.

3、元素与集合的关系：隶属关系

元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?(? 也可表示为)两种。 如A={2，4，8，16}，则4∈A，8∈A，32 ? A.

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集A 记作 a?A ，相反，a不属于集A 记作 a?A (或)

注：1、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q??

元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q??

2、“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写。

4

注：(1)自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。

(2)非负整数集内排除0的集。记作N_或N+ 。Q、Z、R等其它数集内排除0

的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z_

请回答：已知a+b+c=m，A={x|ax2+bx+c=m}，判断1与A的关系。

1.1.2 集合间的基本关系

教学目标：1.理解子集、真子集概念;

2.会判断和证明两个集合包含关系;

3.理解“? ”、“?”的含义; ≠

4.会判断简单集合的相等关系;

5.渗透问题相对的观点。

教学重点：子集的概念、真子集的概念

教学难点：元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算 教学过程：

观察下面几组集合，集合A与集合B具有什么关系?

(1) A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}.

(2) A={x|x>3},B={x|3x-6>0}.

(3) A={正方形}，B={四边形}.

(4) A=?，B={0}.

(5)A={银川九中高一(11)班的女生}，B={银川九中高一(11)班的学生}。

1.子集

定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作A?B(或B?A),即若任意x?A,有x?B，则A?B(或A?B)。

这时我们也说集合A是集合B的子集(subset)。

如果集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A,就记作A?B(或B?A)，即:若存在x?A,有x?B，则A?B(或B?A)

说明：A?B与B?A是同义的，而A?B与B?A是互逆的。

规定:空集?是任何集合的子集，即对于任意一个集合A都有??A。

(2)除去?与A本身外，集合A的其它子集与集合A的关系如何?

3.真子集：

由“包含”与“相等”的关系，可有如下结论：

(1)A?A (任何集合都是其自身的子集);

(2)若A?B，而且A?B(即B中至少有一个元素不在A中)，则称集合A是集合B的真子集(proper subset)，记作A≠ B。(空集是任何非空集合的真

子集)

(3)对于集合A，B，C，若A?B，B?C，即可得出A?C;对A? B，B? C，同样≠≠

?有A≠ C, 即：包含关系具有“传递性”。

4.证明集合相等的方法：

?

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(1) 证明集合A，B中的元素完全相同;(具体数据)

(2) 分别证明A?B和B?A即可。(抽象情况)

对于集合A，B，若A?B而且B?A，则A=B。

1.1.3集合的基本运算

教学目的：(1)理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并

集与交集;

(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补

集;

(3)能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽

象概念的作用。

教学重点：集合的交集与并集、补集的概念;

教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”;

【知识点】

1. 并集

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集(Union)

记作：A∪B 读作：“A并B”

即： A∪B={x|x∈A，或x∈B}

Venn图表示：

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A与B的所有元素来表示。 A与B的交集。

2. 交集

一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集(intersection)。

记作：A∩B 读作：“A交B”

即： A∩B={x|∈A，且x∈B}

交集的Venn图表示

说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。

拓展：求下列各图中集合A与B的并集与交集

A

说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，不能说两个集合没有交集

3. 补集

全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集(Universe)，通常记作U。

补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set),简称为集合A的补集，

记作：CUA

即：CUA={x|x∈U且x∈A}

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补集的Venn图表示

说明：补集的概念必须要有全集的限制

4. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分

交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

5. 集合基本运算的一些结论：

A∩B?A，A∩B?B，A∩A=A，A∩?=?,A∩B=B∩A

A?A∪B，B?A∪B，A∪A=A，A∪?=A,A∪B=B∪A

(CUA)∪A=U，(CUA)∩A=?

若A∩B=A，则A?B，反之也成立

若A∪B=B，则A?B，反之也成立

若x∈(A∩B)，则x∈A且x∈B

若x∈(A∪B)，则x∈A，或x∈B

¤例题精讲：

【例1】设集合U?R,A?{x|?1?x?5},B?{x|3?x?9},求A?B,?U(A?B). 解：在数轴上表示出集合A、B

【例2】设A?{x?Z||x|?6}，B??1,2,3?,C??3,4,5,6?，求：

(1)A?(B?C); (2)A??A(B?C).

【例3】已知集合A?{x|?2?x?4}，B?{x|x?m}，且A?B?A，求实数m的取值范围.

_且x?N}【例4】已知全集U?{x|x?10,，A?{2,4,5,8}，B?{1,3,5,8}，求

CU(A?B)，CU(A?B)，(CUA)?(CUB)， (CUA)?(CUB)，并比较它们的关系.

高中数学必修1集合教案总汇 篇2

一、函数模块

1. 考试内容与要求.

主要涉及函数、映射、函数单调性、奇偶性、函数图象的性质.了解映射的概念, 理解函数概念, 掌握对应法则, 图象等有关性质, 高考对于对应关系、定义域、值域的考查要高于课本的题目水平, 对于函数单调性、奇偶性的考查需结合定义及图象进行解题.近5年, 高考试题经常在函数与方程、不等式、解析几何等知识的交汇点编制试题.

2. 命题趋势.

高考对函数知识的综合考查, 客观题中每年必考查运用函数思想解题为目的的新题经常出现, 而解答题中, 纯粹函数考题很少, 与导数, 不等式等相结合的题目几乎每年必考, 而且分值较大.

3. 应试对策.

建立良好的知识体系是前提;运用由一般到特殊、转化化归、分类讨论等数学思想的较为复杂的问题简单化;注意加强函数与其他知识交汇点的题型的剖析和训练.

二、立体几何模块

1. 考试内容与要求.

主要考查三侧画法, 平行直线, 直线和平面平行的判定与性质, 直线和平面垂直的判定与性质, 平面间平行与垂直的判定与性质.

2. 命题趋势.

直线与平面的位置关系是研究立体几何的核心, 其中既有单独考查直线与平面位置关系的试题, 也有以空间角度、距离、或简单几何体的计算为载体考查直线与平面位置关系的试题.各种题型均有, 考查逻辑思能力.

3. 应试对策.

(1) 熟练掌握定义、判定与性质定理, 并能够进行三种语言的相互转换; (2) 综合法、分析法相结合, 适当添加辅助线寻求证明思路: (3) 充分利用身边的物体, 提高空间观念, 如教室是长方体, 纸是平面, 对折可看成二面角等; (4) 平行、垂直是考核重点, 可将有关定义、定理包括习题中的一些结论, 按照三种语言归纳整理成表格形式, 便于理解记忆.

三、解析几何模块“直线和圆”

1. 考试内容与要求.

理解直线的倾斜角和斜率的概念及关系, 掌握斜率公式, 斜截式、两点式、截距式、一般式及其使用;掌握圆的标准方程和一般方程, 熟练掌握直线与直线、圆的位置关系.

2. 命题趋势.

客观题一般考查: (1) 本章的概念问题; (2) 对称问题; (3) 直线题考查直线与向量, 直线与圆的位置关系, 此类题综合性较强, 难度也大.

3. 应试对策.

高中数学必修1集合教案总汇 篇3

针对数学概念的学习与教学，有研究者将学生普遍感到难学、老师感到难教的概念称为难点概念。阮晓明、王琴文等通过调查研究指出高中数学教师和学生教与学的十大难点概念，其中，师生共同认定的难点概念为以下六个[2]：函数、反函数、球面距离、二面角、反正弦函数、参数方程。所以，函数概念既是高中学生数学学习的难点，也是教师教学的难点，因此成为高一数学教学研究的重点。不仅如此，纵观整个高中数学以致大学数学，函数作为刻画变量与运动的数学模型是贯穿始终的一条主线，因此既是数学教学的重点也是分析和解决问题的一种重要思想方法。

事实上，函数概念教学的研究一直是数学教学研究的课题。总体看，研究者分别从函数概念的形成，函数概念的思想、演变，图式理论、APOS理论等不同层面对函数概念教学进行了研究[3]，但尚未从函数概念教学的难点深入分析研究。下面结合《高中数学课程标准》的要求，探究数学概念的启发式教学策略，旨在为突破数学难点概念教学的瓶颈提供一种视角。

一、《普通高中数学课程标准》对启发式教学的要求

《普通高中数学课程标准》在基本理念中指出：高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的数学思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。这就要求教师在数学教学过程中，要实施启发式教学，要激发学生的数学学习兴趣、充分发挥其学习主体的作用，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。

二、数学概念启发式教学策略构建

1.创设情境、激发动机，发挥典型范例的意象表征作用

数学概念学习是一种有意识的思维活动，具有高度的抽象性和逻辑的严密性要求，需要学生较强的内在动机的驱使与推动，才能坚持下来和达到良好的学习效果。由于先入为主的心理机制，概念教学中第一个或第一组恰当例子的引入常常具有意象表征的作用。如高一映射概念的教学，有人通过一组贴近学生生活的实例来引人映射的概念，其一是给学生指定座位（一对一的样本），其二是给住校生安排宿舍（多对应一的样本），由此启发学生对映射本质属性的分析、抽象与概括，引领学生能动、自然地建构映射概念。这种来自学生熟悉的生活实际、易激发学生学习兴趣动机的典型范例，对抽象的概念教学既意义清晰又简洁明了，具有事半功倍之效。所以，概念教学的导入环节，应注重创设和引入贴近学生实际、简洁明了、典型的样本范例，以引发学生的问题意识、抓住学生的注意力、激发学生的学习动机，从而高效引领学生对它所表征的抽象概念的认知、理解和掌握。事实上，随着学段的升高，数学概念变得越来越抽象，理解也越来越困难，如果教学中对这类范例的积极意义认识不足，不善于运用范例来进行概念教学，或轻视范例的这种意象表征作用，只关注概念的形式化定义与分析，不仅会极大地增加学生概念认知、理解和记忆的难度，而且会削弱学生数学学习的热情。

2.忆旧迎新、分步设问，搭建思维的脚手架

根据概念定义的规则，定义由定义项、被定义项和定义联项三要素构成。其中，定义项必须是已被定义过的概念。换言之，新概念的获得是在已有认知结构的基础上进行的，并依赖认知结构中原有的相关概念、通过新旧概念之间发生联系而实现。所以，概念教学中，教师要透彻理解所教概念的本质和来龙去脉，按照概念建构与发展的逻辑递进轨迹，从学生的认知水平及规律出发，先复习定义项中涉及的已有概念、后导入新课;之后进行分层次、有梯度的分步设问与递进启发，以帮助学生弄清概念的来龙去脉及新旧概念之间的联系与区别。“尤其是核心概念的教学，常常需要教师‘不惜力、不惜时，费一番周折”[5]，切忌照本宣科、生搬硬套的“空降式”教学。例如高中函数概念教学，为突破教学中的上述难点，帮助学生理解再次学习函数概念的必要性，弄清高初中函数概念的区别与联系，在复习导入环节，依据高中函数概念建构依赖于初中函数概念、自变量因变量等已有概念，可创设如下分层次、递进式的问题串，为新知识的建构搭建思维的脚手架：（1）我们生活的世界充满着变化，还记得初中数学刻画变化的知识是什么？你能举几个例子吗？（2）判断它们是不是函数的依据是什么？初中函数概念是怎么说的？它涉及几个变量？它们的变量所属的集合有哪些异同点？（3）y=1是函数吗？

3.时间等待、适时点拨，先辨析本质属性后建构概念

数学概念课的主旋律是让学生参与概念本质特征的概括活动。而本质属性的概括基于学生的认知，体现了由具体到抽象的升华，这既是概念教学的重点，往往也是概念教学的难点。为了突破这一难点，概念教学应力求返璞归真，使学生自然地实现概念的形成[5]。换言之，数学概念教学应尽可能从具体实例出发，而不是从抽象定义开始。数学学习心理学也启示我们，本质属性的探索是应用分析、比较、抽象、概括等思维方法，对所研究对象的具体实例去粗取精、去伪存真、由表及里、由此及彼的加工和改造过程，它不是一蹴而就的，需要花一些时间。所以，在引领学生感悟、辨析这类事物所独有而其他事物所没有的本质特征的过程中，教师不仅要通过分层次、递进式的问题串启发学生观察、分析、比较，还要在启发提问后留给学生必要的思考时间与空间，让学生进行辨析、抽象、概括，做必要的时间等待。

4.设计变式、巩固运用，例题教学先分析后解答

“举一反三”是数学启发式教学的目的之一。概念建构后，接下来就要围绕概念精心选择或创设样本全面的典型例题，再一次运用和发挥典型范例的意象表征作用，启发学生辨析、判断、巩固、运用，达到变式拓展、触类旁通、掌握概念的目标。尤其是要注重设计和应用“形同质异、形变质同”的问题，教学中要借助分层次、递进式的问题串，带领学生对例题进行审题、分析，启发学生质疑辨析本质属性，从中发展学生举一反三、触类旁通、透过现象看本质的能力，实现概念学习由抽象到具体的第二次螺旋上升。

三、启发式教学的关键是合理设置课堂提问

启发式教学的宗旨是激发学生探索知识的欲望，发展学生自己解惑、释疑、创新的能力。研究表明，实施启发式教学的关键在于课堂教学提问策略的应用，分层次、问题串式的提问是实施启发式教学最重要而有效的教学策略。为使分层次、问题串式的提问具有启发性，要注意提问的针对性和恰当难度，要以学生的原有知识为基础、在学生的最近发展区内;提问要有层次和梯度，考虑大多数学生的认知水平，使学生跳一跳、够得着;注重在教学重点、难点、关键处设问，切实揭示教材或者学生学习活动的实际矛盾，形成问题串;提问要精心设计、表达简洁明确，避免事无巨细、无的放矢;要恰当运用提问的方式，如正问、逆问、追问、填空式提问等，提高提问的效率。总之，无论进行哪一种类型和方式的提问，提问前对于问什么、怎样问、问哪些学生一定要心中有数、精心准备，切忌盲目、随意地发问。

参考文献

[1] 陈静安，黄永明.数学课程标准与学科教学.江苏：南京师范大学出版社，2012.

[2] 阮晓明，王琴.高中数学十大难点概念的调查研究.数学教育学报，2012（5）.

[3] 乔石.数学启发式教学研究.陕西：陕西师范大学，2011.

[4] 欧慧谋.高中函数概念的教学策略研究——基于数学多元表征学习视角.广西：广西师范大学，2012.

[5] 章建跃，陶维林.注重学生思维参与和感悟的函数概念教学（续）.数学通报，2009（7）.

高中数学必修1集合教案总汇 篇4

一、教材分析

集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容．本章中只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力．

函数的学习促使学生的数学思维方式发生了重大的转变：思维从静止走向了运动、从运算转向了关系．函数是高中数学的核心内容，是高中数学课程的一个基本主线，有了这条主线就可以把数学知识编织在一起，这样可以使我们对知识的掌握更牢固一些．函数与不等式、数列、导数、立体、解析、算法、概率、选修中的很多专题内容有着密切的联系．用函数的思想去理解这些内容，是非常重要的出发点．反过来，通过这些内容的学习，加深了对函数思想的认识．函数的思想方法贯穿于高中数学课程的始终．高中数学课程中，函数有许多下位知识，如必修1第二章的幂、指、对函数数，在必修四将学习三角函数．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．

二、学情分析

1．学生的作业与试卷部分缺失，导致易错问题分析不全面．通过布置易错点分析的任务，让学生意识到保留资料的重要性．

2．学生学基本功较扎实，学习态度较端正，有一定的自主学习能力．但是没有养成及时复习的习惯，有些内容已经淡忘．通过自主梳理知识，让学生感受复习的必要性，培养学生良好的复习习惯．

3．在研究例4时，对分类的情况研究的不全面．为了突破这个难点，应用几何画板制作了课件，给学生形象、直观的感知，体会二次函数对称轴与所给的区间的位置关系是解决这类问题的关键．

用心

爱心

专心

三、设计思路

本节课新课中渗透的理念是：“强调过程教学，启发思维，调动学生学习数学的积极性”．在本节课的学习过程中，教师没有把梳理好的知识展示给学生，而是让学生自己进行知识的梳理．一方让学生体会到知识网络化的必要性，另一方面希望学生养成知识梳理的习惯．在本节课中不断提出问题，采取问题驱动，引导学生积极思考，让学生全面参与，整个教学过程尊重学生的思维方式，引导学生在“最近发展区”发现问题、解决问题．通过自主分析、交流合作，从而进行有机建构，解决问题，改变学生模仿式的学习方式．在教学过程中，渗透了特殊到一般的思想、数形结合思想、函数与方程思想．在教学过程中通过恰当的应用信息技术，从而突破难点．

四、教学目标分析

(一)知识与技能

1．了解集合的含义与表示，理解集合间的基本关系，集合的基本运算．

A：能从集合间的运算分析出集合的基本关系．B：对于分类讨论问题，能区分取交还是取并．

2．理解函数的定义，掌握函数的基本性质，会运用函数的图象理解和研究函数的性质．

A：会用定义证明函数的单调性、奇偶性．B：会分析函数的单调性、奇偶性、对称性的关系．

(二)过程与方法

1．通过学生自主知识梳理，了解自己学习的不足，明确知识的来龙去脉，把学习的内容网络化、系统化．

用心

爱心

专心

2．在解决问题的过程中，学生通过自主探究、合作交流，领悟知识的横、纵向联系，体会集合与函数的本质．

(三)情感态度与价值观

在学生自主整理知识结构的过程中，认识到材料整理的必要性，从而形成及时反思的学习习惯，独立获取数学知识的能力．在解决问题的过程中，学生感受到成功的喜悦，树立学好数学的信心．在例4的解答过程中，渗透动静结合的思想，让学生养成理性思维的品质．

五、重难点分析

重点：掌握知识之间的联系，洞悉问题的考察点，能选择合适的知识与方法解决问题．

难点：含参问题的讨论，函数性质之间的关系．

六．知识梳理(约10分钟)

提出问题

问题1：把本章的知识结构用框图形式表示出来．

问题2：一个集合中的元素应当是确定的、互异的、无序的，你能结合具体实例说明集合的这些基本要求吗？

问题3：类比两个数的关系，思考两个集合之间的基本关系．类比两个数的运算，思考两个集合之间的基本运算，交、并、补．

问题4：通过本章学习，你对函数概念有什么新的认识和体会吗？

请结合具体实例分析，表示函数的三种方法，每一种方法的特点．

用心

爱心

专心

问题5：分析研究函数的方向，它们之间的联系．

在前一次晚自习上，学生相互展示自己的结果，通过相互讨论，每组提供最佳的方案．在自己的原有方案的基础上进行补充与完善．

学生回答问题要点预设如下：

1．集合语言可以简洁准确表达数学内容．

2．运用集合与对应进一步描述了函数的概念，与初中的函数的定义比较，突出了函数的本质函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．

3．函数的表示方法主要有三种，这三种表示方法有各自的适用范围，要根据具体情况选用．

4．研究函数的性质时，一般先从几何直观观察图象入手，然后运用自然语言描述函数的图象特征，最后抽象到用数学符号刻画相应的数量特征，也是数学学习和研究中经常使用的方法．

设计意图：通过布置任务，让学生充分的认识自己在学习的过程中，哪些知识学习的不透彻．让学生更有针对的进行复习，让复习进行的更有效．让学生体会到知识的横向联系与纵向联系．通过类比初中与高中两种函数的定义，让学生体会到两种函数的定义本质是一样的．

七、易错点分析(约3分钟)

问题6：集合中的易错问题，函数中的易错问题?主要是作业、训练、考试中出现的问题?

用心

爱心

专心

(任务提前布置，由课代表汇总，并且在教学课件中体现．教师不进行修改，呈现的是原始的)

教师展示学和成果并进行点评．

对于问题6主要由学生讨论分析，并回答，其他学生补充．这个过程尽量由学生来完成，教师可以适应的引导与点评．

设计意图：让学生学会避开命题者制造的陷阱，通过不断的分析，让学生了解问题出现的根源，充分暴露自己的思维，在交流与合作的过程中，改进自己的不足，加深对错误的认识．通过交流了解别人的错误，自己避免出现类似的错误．

八、考察点分析(约5分钟)

问题7：分析集合中的考察点，函数中的考察点．

问题8：知识的横纵联系．

用心

爱心

专心

学生回答问题要点预设如下：

1．集合中元素的互异性．

2．，则集合A可以是空集．

3．交集与并集的区分，即何时取交，何时取并，特别是含参的分类讨论问题．

4．函数的单调性与奇偶性的证明．

5．作业与试卷中出现的问题．

6．学生分析本章的考察点，主要分析考察的知识点、思想方法等方面．

设计意图： 让学生了解考察点，才能知道命题者的考察意图，才能选择合适的知识与思想方法来解答．例如如果试题中出现集合，无论试题以什么形式出现，考察点基本是集合间的基本关系、集合的运算．

九、典型问题分析

用心

爱心

专心

例1：设集合

（1）若（2）若（3）若(1)答案：(2)答案：(3)答案：

． 或

;或

;，求的值；，求实数的值；，求的值．教师点评，同时板书．

由学生分析问题的考察点，包括知识与数学思想．（预设有以下几个方面）从知识点来分析，这是集合问题．考察点主要为集合的表示方法、集合中元素的特性、集合间的基本关系、集合的运算等．学生在解第1个问时，可能漏掉特殊情况．第2、3问可能会遇到一定的障碍，可以给学生时间进行充分的思考．

设计意图：让学生体会到分析考察点的好处，养成解题之前分析考察点的习惯．能顺利的找到问题的突破口，为后续的解答扫清障碍．通过一题多问、一题多解、多题归一，让学生主动的形成发散思维，主动应用转化与化归的思想．

例2：已知函数，求函数的解析式．

用心

爱心

专心 是定义在R上的奇函数，当时，变式：函数是偶函数

教师对生回答进行点评．并板书．

学生分析考察点、解题思路，如果不完善，其他学生补充．

学生回答问题要点预设如下：

1．考察点为函数的奇偶性与函数图象的关系．

2．函数的奇偶性的定义．

3．转化与化归的思想．

法一：本题即求，函数的解析式，可先利用函数的奇偶性绘制函数的图象，把本题转化为二次函数的图象与解析式的问题．

法二：本法更具有一般性，已知

时，函数的解析式，要分析

时的函数对应关系，即当一个数小于零时，函数值应当怎样计算．由于函数具有奇偶性，即一个数与它的相反数的函数值之间有关系，所以可以研究

设计意图：学生在思考的过程中，体会数形结合思想．函数的奇偶性与函数的图象的关系，可以根据奇偶性绘制函数图象，也可以通过函数的图象分析函数的奇偶性，两者是相辅相承的．体会转化与化归的思想，把要研究的转化为已知的．考察函数的单调性的证明，函

用心

爱心

专心 的函数值．

数的奇偶性与单调性之间的关系，体会知识的纵向联系．体会转化与化归的思想、特殊与一般的数学思想，让学生体会到问题后面隐含的本质．

例3：已知是偶函数，而且在上是减函数，判断

在上是增函数还是减函数，并证明你的判断．

变式1：函数为奇函数

变式2：你能分析奇函数(偶函数)在对称区间上的单调性的关系吗?试从数形两个方面来分析．

学生分析考察点、解题思路，如果不完善，其他学生补充．

学生回答问题要点预设如下：

1．考察点为函数的奇偶性与单调性的关系．

2．函数的单调性的定义．

3．数形结合、转化与化归的思想．

法一：通过函数的图象分析．

法二：把要研究的范围转化为已知的范围．

设计意图：明确函数的性质是一个有机的整体，不是一个个知识点的简单罗列．同时体会知识的纵向联系与横向联系，在第二个方法中进一步感受转化与的思想．通过两个变式的研究过程，学生体会研究探索性问题的一般思路，即通过特殊情况分析结果，再对结果的正确性进行证明．

用心

爱心

专心

例4：求

在区间

上的最大值和最小值．

变式：

在区间上的最大值是1，求的值．

教师用几何画板演示，二次函数对称轴的变化对函数的最值的影响．

答案： 是．

;时，最大值是时，最大值是，最小值是，最小值是

;

;

时，最大值是时，最大值是，最小值，最小值是变式答案： 或．

学生通过直观的演示，思考问题的考察点与解答策略．

学生回答考察点分析(预设)：

1．二次函数的图象与性质．

2．分类与整合．

3．逆向思维．

学生回答解题思路分析（预设）：

研究二次函数的对称轴方程与所给的区间的关系．

用心

爱心

专心

设计意图：通过几何画板的动态性，给学生直观的感知，从而建立最近发展区，进而突破难点．

通过对二次函数的研究，学生巩固了上位知识函数的图象与性质，充分体会数形结合的优势．学生在解答变式的过程中，体会逆向思维与正向思维的关系，体会函数与方程思想，感受到动静结合．

十、课后小结

1． 知识网络

2． 知识的来龙去脉

3． 问题中体现的数学思想

4． 分析问题的基本思路

学生总结，教师板书．

设计意图： 让学生把知识窜串，形成网络，能迅速而准确的选用知识来解答问题．

十一、课后总结

巩固所学，补充课上的不足．主要是本节课中没有涉及的问题，本节课中理解有困难的问题．

1．已知 是定义在R上的函数，设，．

用心

爱心

专心

（1）试判断 的奇偶性；（2）试判断的关系；

（3）由此你猜想得出什么样的结论，并说明理由？

2．设函数（1）讨论

3．已知集合，是否存在实数

4．将长度为20 cm的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为多少？

十二、教学反思

在复习课中，教师要充分调动学生学习的自主性，让学生独立制定出适合自己的知识结构、整理出自己在本章学习中出现的问题．在课堂上，学生通过交流与合作，体会解决问题成功的喜悦．从而养成良好的学习习惯、树立信心．感受知识的横向联系与纵向联系，洞悉知识的本质、问题的根源，从而形成深刻的印象，少出现或避免出现类似的问题．通过分析知识的来龙去脉，明确知识的用途．通过典型题分析，回顾主干知识，重要的数学思想，感受知识与数学思想的有机融合．，同时满足

．，的奇偶性；（2）求的最小值．，用心

爱心

高中数学必修1集合教案总汇 篇5

一、教学目标

1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题

2、通过综合训练强化学生的相应能力，让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。

3、培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并激发学生的探索精神。

二、教学重点、难点

重点：能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系 难点：灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题

三、教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情境] 提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。Ⅱ.讲授新课 [范例讲解] 例

1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1,距离精确到0.01n mile)

学生看图思考并讲述解题思路

分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角CAB。

解：在ABC中，ABC=180-75+ 32=137，根据余弦定理，AC=AB2BC22ABBCcosABC =67.5254.02267.554.0cos137 ≈113.15 54.0sin137根据正弦定理,BC = AC sinCAB = BCsinABC = ≈0.3255，113.15ACsinCABsinABC

所以 CAB =19.0, 75-CAB =56.0

答:此船应该沿北偏东56.1的方向航行,需要航行113.15n mile 例

2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进103m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。

解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中，AC=BC=30，AD=DC=103，ADC =180-4，103=sin230。因为 sin4=2sin2cos2 sin(1804)cos2= 3,得 2=30  =15，在RtADE中，AE=ADsin60=15 2答：所求角为15，建筑物高度为15m 解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h 在 RtACE中,(103+ x)2 + h2=302 在 RtADE中,x2+h2=(103)

2两式相减，得x=53,h=15 在 RtACE中,tan2=

h103x=32=30,=15

答：所求角为15，建筑物高度为15m 解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得

BAC=，CAD=2，AC = BC =30m , AD = CD =103m 在RtACE中，sin2=

x4------① 在RtADE中，sin4=,----② 301033,2=30,=15，AE=ADsin60=15 2 ②① 得 cos2=答：所求角为15，建筑物高度为15m 例

3、某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？

师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型

分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。

解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9, ACB=75+45=120

(14x)2= 92+(10x)2-2910xcos120 39化简得32x2-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)

216所以BC = 10x =15,AB =14x =21, BCsin12015353又因为sinBAC === AB21421，BAC =3813,或BAC =14147（钝角不合题意，舍去）3813+45=8313

答：巡逻艇应该沿北偏东8313方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 Ⅲ.课堂练习

课本第16页练习Ⅳ.课时小结

解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：

（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。

（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。

Ⅴ.课后作业

高中数学必修1集合教案总汇 篇6

（二）教学目标：巩固指数函数的概念和性质 教学重点：指数函数的概念和性质 教学过程：

本节课为习题课,可分以下几个方面加以练习: 备选题如下:

1、关于定义域

x（1）求函数f(x)=11的定义域

9（2）求函数y=1x的定义域

51x1（3）函数f(x)=3－x－1的定义域、值域是……()

A.定义域是R，值域是R

B.定义域是R，值域是(0，+∞) C.定义域是R，值域是(－1，+∞) D.以上都不对（4）函数y=1x的定义域是______ 5x11(5)求函数y=ax1的定义域(其中a＞0且a≠1)

2、关于值域

（1）当x∈［－2,0］时，函数y=3x+1－2的值域是______（2）求函数y=4x+2x+1+1的值域.（3）已知函数y=4x－3·2x+3的值域为［7,43］，试确定x的取值范围.(4).函数y=3x3x1的值域是() A.(0，+∞)

B.(－∞,1) C.(0,1)

D.(1,+∞)

(5)函数y=0.25x22x12的值域是______,单调递增区间是______.3、关于图像

用心 爱心 专心 1

（1）要得到函数y=8·2－x的图象，只需将函数y=(12)x的图象()

A.向右平移3个单位

B.向左平移3个单位 C.向右平移8个单位

D.向左平移8个单位

（2）函数y=|2x－2|的图象是()

（3）当a≠0时，函数y=ax+b和y=bax的图象只可能是()

（4）当0

B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

（5）若函数y=a2x+b+1(a>0且a≠1,b为实数)的图象恒过定点(1，2)，则b=______.（6）已知函数y=(12)|x+2|.

①画出函数的图象；

②由图象指出函数的单调区间并利用定义证明.(7)设a、b均为大于零且不等于1的常数，下列命题不是真命题的是()

用心 爱心 专心

A.y=a的图象与y=a的图象关于y轴对称

B.若y=a的图象和y=b的图象关于y轴对称，则ab=1 C.若a2x－xxx>a22－1,则a>1 ,则a>b D.若a>b

24、关于单调性

（1）若－1

A.5－x<5x<0.5x C.5<5<0.5x－xx

B.5x<0.5x<5－x D.0.5<5<5

x－xx（2）下列各不等式中正确的是() A.()3()3()3

252C.()3()3()3 52212121211

B.()3()3()3

225

D.()3()3()3

***

1211(x+1)(3－x)（3）.函数y=(2－1)的单调递增区间是()

A.(1，+∞)C.(1，3)

B.(－∞，1)

D.(－1，1)

(4).函数y=()2xxx2为增函数的区间是()

(5)函数f(x)=a－3a+2(a>0且a≠1)的最值为______.(6)已知y=(数.(7)比较52x12x12)xx22+1，求其单调区间并说明在每一单调区间上是增函数还是减函与5x22的大小

5、关于奇偶性

（1）已知函数f(x)= m21x2x为奇函数，则m的值等于_____ 11（1）如果82 x2x=4，则x=____

用心 爱心 专心 3

6阶段检测题: 可以作为课后作业: 1.如果函数y=ax(a>0,a≠1)的图象与函数y=bx(b>0,b≠1)的图象关于y轴对称，则有 A.a>b B.a

3(3x－1)(2x+1)

≥1}，则集合M、N的关系是

B.MN D.MN

3.下列说法中，正确的是

①任取x∈R都有3x>2x ②当a>1时，任取x∈R都有ax>a－x ③y=(3)－x是增函数 ④y=2|x|的最小值为1 ⑤在同一坐标系中，y=2x与y=2－x的图象对称于y轴

A.①②④ C.②③④

B.④⑤ D.①⑤

4.下列函数中，值域是(0,+∞)的共有 ①y=31 ②y=(A.1个 x1)③y=1()④y=3x

B.2个 x11xC.3个

D.4个

5.已知函数f(x)=a1－x(a>0,a≠1)，当x>1时恒有f(x)<1,则f(x)在R上是 A.增函数 B.减函数

C.非单调函数 D.以上答案均不对

二、填空题(每小题2分，共10分)6.在同一坐标系下，函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象如下图，则a、b、c、d、1之间从小到大的顺序是__________.用心 爱心 专心 4

7.函数y=ax1的定义域是(－∞,0］，则a的取值范围是__________.8.函数y=2x+k－1(a>0,a≠1)的图象不经过第四象限的充要条件是__________.9.若点(2，14)既在函数y=2ax+b的图象上，又在它的反函数的图象上，a=________,b=________.10.已知集合M={x|2x2+x≤(14)

x－

2,x∈R}，则函数y=2x的值域是__________.三、解答题(共30分)11.(9分)设A=am+a－m，B=an+a－n(m＞n＞0，a＞0且a≠1)，判断A，B的大小.12.(10分)已知函数f(x)=a－

22x1(a∈R)，求证：对任何a∈R,f(x)为增函数.x1213.(11分)设0≤x≤2，求函数y=42a2xa21的最大值和最小值.课堂练习：（略）小结： 课后作业：（略）

高中数学必修1集合教案总汇 篇7

【教材分析】

集合语言是现代数学的基本语言，可以简洁、准确、规范的表达数学内容.本节学习集合的一些基本知识，用最基本的集合语言表示有关数学对象和数学问题等，并能在自然语言、图形语言、集合语言之间进行转换，初步运用集合的观点和思想来分析数学，解决简单的数学问题.本课是本节的第一课，也是同学们刚进入高中阶段的第一课.常言道“良好的开端是成功的一半”.本课主要是让学生从已有的集合知识和实际生活中的例子入手，体会集合的含义.集合作为一种基本的数学语言，学习并掌握它的最好方法是使用.因此，教学中要多引导学生使用集合语言描述对象，进行自然语言与集合语言间的转换.【教学目标】

1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题.2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题.3.在从实例理解集合的含义过程中，提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识.4.在理解集合含义及特性过程中，运用元素分析法分析集合问题，提高学生分析问题和解决问题的能力.【教学重难点】

教学重点：集合的含义与表示方法.教学难点：选择恰当的方法表示一些简单的集合.【教学设计建议】

一、导入新课

1.生活中的集合现象：体育课的集合、军训的集合；蔬菜、水果、家电、服装等总称、整体现象.2.数学里的集合现象：整体、全体、所有等统称问题.【设计意图：从生活中和数学里已有的集合知识概括性的导入新课，学生体会到数学与生活的联系，激发学习兴趣】

二、探索新知

（一）、集合的含义

1、小学初中数学涉及到的“集合”

如:数集 所有整数、所有有理数、实数，方程（组）、不等式的解，几何中圆的轨迹、线段的垂直平分线等.2、再看一些生活实例P2（1）1～20以内所有的质数；

（2）我国从1991～2003年的13年内所发射的所有人造卫星；（3）金星汽车厂2003年生产的所有汽车；

（4）2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家；（5）所有的正方形；

（6）到直线l的距离等于定长d的所有的点；（7）方程x2+3x－2=0的所有实数根；

（8）新华中学2004年9月入学的高一学生的全体.3、问题思考

（1）8个实例的共同特征.（2）具体分析每一个实例的元素和这些元素的全体所组成一个集合.4、归纳新知（1）集合的含义

一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称集）.（2）集合与元素的表示

①通常用大写拉丁字母A，B，C，„表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，„表示集合中的元素.②元素与集合的“属于”关系

如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA.③常用数集及其记法：非负整数（自然数集）N、正整数集N*或N＋、整数集Z、有理数集Q、实数集R.【设计意图：集合是一个原始的、不定义的概念，只是对集合进行描述性说明.在开始接触集合的时候，主要通过实例，让学生感知、了解，进而概括出元素与集合的含义.元素、集合的字母表示，以及元素与集合的“属于”或“不属于”关系，建议在运用中逐渐熟悉.】

（二）集合元素的特性（1）问题思考

①世界上最高的山能不能构成一个集合？世界上的高山能不能构成一个集合？

②由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？

③由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记为N,这两个集合是不是相同的集合呢？

（2）集合元素的特性

①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的.③无序性：集合中的元素是无先后顺序的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素可以交换位置.只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.【设计意图：集合元素的特性及其中的约定通过实例的分析和思考，目的是让学生形成认知冲突，体会元素的确定性、约定元素的无序性和互异性的必要.】

（二）集合元素的特性（1）问题思考

①世界上最高的山能不能构成一个集合？世界上的高山能不能构成一个集合？ ②由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？

③由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记为N,这两个集合是不是相同的集合呢？

（2）集合元素的特性

①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的.③无序性：集合中的元素是无先后顺序的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素可以交换位置.只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.（三）集合的表示方法（1）自然语言描述（2）大写字母表示（3）列举法

①问题引出：书上的例1如何表示集合引出列举法 例1怎样表示下列集合？

（1）小于10的所有自然数组成的集合;（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合;（3）由1~20以内的所有质数组成的集合.②列举法

把集合中的全部元素一一列举出来,并用大括号“{ }”括起来表示集合,这种表示集合的方法叫做列举法.（4）描述法

①问题引出：你能用列举法表示 不等式x-73的解集吗? 数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合吗? ②描述法

在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.注意：在不致混淆的情况下,描述法也可以简写成列举法的形式,只是去掉竖线和元素代表符号,例如:所有直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角三角形},也可以写成{直角三角形}.【设计意图：集合的两种主要表示法，都通过学生对实例或问题的思考，去体验知识方法.不仅要让学生明白用列举法是集合最基本、最原始的表示方法，还要理解到集合中元素的列举与元素的顺序无关.通过问题的思考，学生认识到仅用列举法表示集合是不够的，有些集合是列举不完或者列举不出来的，由此说明学习描述法的必要性.学习描述法时，先用自然语言表示集合元素具有的共同属性，再介绍用描述法的具体方法.】

三、反思提升

（一）集合的含义及表示方法

（1）集合的含义（高中唯一不定义的概念，仅描述性说明含义）（2）表示方法：

字母表示法、自然语言描述、列举法、描述法

（二）自然语言、列举法和描述法表示集合时，各自的特点和适用对象 自然语言描述集合简单易懂、生活化；列举法的特点每个元素一一列举出来，非常直观明显的表示元素，当元素有限或者元素有规律性的时候，是常采用的方法；描述法表示的集合中元素具有明显的共同特征，集合中的元素基本是无限的，这是比较常用的集合表示法.【设计意图：学生浸润在新课导入的情境中，对集合的新知进行探索后，有了较深刻的学习体验，通过对反思小结，提升集合的知识和方法，说明集合的表示方法各有优点，需要根据具体问题确定采用哪种表示方法，启发学生关注知识间的联系和区别，并能根据问题情境适时进行语言转换.】

四、反馈例练

（一）基础例练 书P5练习1、2 书P4例2.试分别用列举法和描述法表示下列集合:(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合;(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.（二）巩固例练

例1.下列各组对象不能组成集合的是()A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题 C.被3除余2的所有整数 D.函数y=例2.用列举法表示下列集合:(1)小于5的正奇数组成的集合;(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合;(3)方程x2-9=0的解组成的集合;(4){15以内的质数};(5){x|6Z,xZ}.3x1图象上所有的点 x例3.用描述法分别表示下列集合:(1)二次函数y=x2图象上的点组成的集合;(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合;(3)不等式2x-7<3的解集.(三)拓展例练

21.数集3,x,x2x中,实数x满足什么条件? 2.集合A中的元素由关于x的方程kx23x20的解构成,其中kR,若A中仅有一个元素,求k的值.3、集合A{x|xa2b,aZ,bZ},判断下列元素x0、121、1与集合A之间的关系.3

24、设集合Ax|x2m1,mZ与Bx|x2n1,nZ，试问集合A与B是同一集合吗?说明理由.5、集合A满足：若aA且a1，则

1A.1a①若2A，求集合A中其他元素.②证明：集合A不可能只有一个元素.1③证明：若aA且a1，则1A.a【设计意图：通过三种层次的反馈例练，由浅入深，逐渐达到运用新知的目的，同时反馈学生学习理解的程度，进行学习监控和补救.】

五、课后作业

课本P11习题1.1 A组1、2、3、4、5 B组1、2 建议校本教材辅助练习

【教学设计感悟】

高中数学必修1集合教案总汇 篇8

教学过程：

1、复习指数函数的图象和性质

2、例题

例1：（P66例7）比较下列各题中的个值的大小

2.5 3（1）1.7 与 1.7(2)0.80.1(3)1.70.3 与0.8

0.2

与 0.9

3.1 解法1：用数形结合的方法，如第（1）小题，用图形计算器或计算机画出y1.7x的图象，在图象上找出横坐标分别为2.5, 3的点，显然，图象上横坐标就为3的点在横坐标为2.5864y1.7x5102-10-50-2-4-6-8的点的上方，所以 1.72.51.73.2.5解法2：用计算器直接计算：1.7所以，1.72.53.77 1.734.91

1.73

解法3：由函数的单调性考虑

因为指数函数y1.7在R上是增函数，且2.5＜3，所以，1.7x2.51.73

仿照以上方法可以解决第（2）小题.注：在第（3）小题中，可以用解法1，解法2解决，但解法3不适合.0.33.1 由于1.7=0.9不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，0.33.1把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.7与0.9的大小.思考：

1、已知a0.8,b0.8,c1.2,按大小顺序排列a,b,c.2.比较a与a的大小（a＞0且a≠0）.指数函数不仅能比较与它有关的值的大小，在现实生活中，也有很多实际的应用.例2（P67例8）截止到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口年平均均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？

分析：可以先考试一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题： 1999年底 人口约为13亿

高中数学必修1集合教案总汇 篇9

人教A版必修1

教学目标：

1．理解向量数乘的含义及向量数乘的运算律；

2．培养学生在学习向量数乘的过程中能够相互合作,在不断探求新知识中,培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.教学重点：

向量数乘的定义及几何意义.教学难点：

向量数乘的几何意义的理解.教学方法：

问题探究学习.教学过程：

一、情境引入

一条细绳横贯东西，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，若蚂蚁从O点向东方向一秒钟的位移对应的向量为a.a O A

二、学生活动

问题1 在图中作出同一方向上3秒钟的位移对应的向量，你能式子表示吗？ 问题2 学生讨论3a是何种运算？3a是数量还是向量？（初步理解数与向量积的定义）

问题3 蚂蚁向西3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？那a的大小和方向又如何确定？（学生继续探求向量数乘的含义，并能结合图形来继续对数乘进行探究）

三、建构数学 1．表述给出实数与向量的积的定义：

一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下：（1）|a||||a|；

（2）当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当a＝0时，a＝0；当0 时，a＝0．

实数与向量a相乘，叫做向量的数乘.向量的加法、减法、数乘向量的综合运算叫向量的线性运算.2．对向量数乘理解的深入.问题4 当0 时，a＝0；若a＝0，0会有a＝0吗？

问题5 实数有哪些运算律？能不能结合实数的运算律去探求向量数乘的运算律.（当给出几个实数的运算律之后，可以类比到向量进行以下运算律的验证）.（1）(a）＝()a；

（2）()a= a+a；

（3）（a＋b）＝a＋b ．

四、数学运用 1.例题．

例1 已知向量a和向量b，求作向量-2.5a和向量2a-3b.a b

例2 计算：

（1）3(a-b)-2(a+2b)；

（2）2(2a+6b-3c)-3(-3a+4b-2c).课本思考：向量数乘与实数数乘有哪些相同点和不同点？ 2.练习．（1）计算：

①3(-4a＋5b)；② 6(2a-4b)-(3a-2b).（2）如图，已知向量a，b，求作向量： ①-2a； ②-a＋b；

a

b ③2a-b.（3）已知向量a=e1+2e2，b=3e1-5e2，求4a-3b（用e1，e2表示）.（4）已知OA和OB是不共线的向量，APtABtR,试用OA和OB表示OP.1（5）已知非零向量a，求向量a的模.|a|

高中数学必修1集合教案总汇 篇10

本节教材分析 一、三维目标

1、知识与技能

(1)通过实例体会标准差的意义和作用；(2)对一组数据，能够计算出数据的标准差；

(3)能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息．

2、过程与方法

通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法．

3、情感态度与价值观

通过对样本数据的分析过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系．

二、教学重点：理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差．

三、教学难点：理解数据标准差的意义和作用．

四、教学建议

在选择适当的数字特征表示两组数据的离散程度时，学生很自然地会想到义务教育阶段时学习过的极差和方差．教科书除了极差和方差之外，还给出了其他两种刻画数据离散程度的方式(方法3和方法4)．教师在教学时可以让学生自主思考，选择适当的数字特征来表示，在此基础上，再鼓励他们积极交流，并认真观察、比较不同刻画方式的异同．体会，刻画数据的离散程度的方式是多种多样的．

通过上一节的学习，已经掌握了数据的一些数字特征——平均数、中位数、众数、极差、方差，本节将在此基础上，通过具体的实例，让学生理解标准差的意义以及标准差与方差的区别和联系，能选择适当的数字特征来表达数据的信息。新课导入设计 导入一

甲、乙两位同学分别记录了他们10次的数学测试成绩，甲对乙说：“我的最高分是100分，而你的最高分是95分，所以我的数学成绩比你好．”而乙对甲说：“我的平均分是86分，你的平均分是80分，这说明我的数学比你好．”你认为他们谁的分析正确呢？

导入二

刻画数据的离散程度的度量，其理想形式应满足一下两条条原则：（1）应充分利用所得到的数据，以便提供更确切的信息；（2）仅用一个数值来刻画数据的离散程度；

方差虽然满足以上条件，然而它有局限性：方差的单位是原始观测数据的平方，而刻画离散程度的一种理想度量应当具有与原始数据相同的单位．怎么解决这个问题呢？学好本节，你就知道了．

【问题】 P26例2

（1）观察茎叶图，我们不难看出：甲城市销售额的中位数为20，众数为10，18，30，极差为53；乙城市销售额的中位数为29，众数为23，34，极差为38．

（2）从茎叶图中我们可以看出：甲城市的销售额分布主要在茎叶图的上方且相对较散，而乙城市的销售额分布则相对集中在茎叶图的中部．由此，我们可以估计：甲城市销售额的平均数比乙城市的小，而方差比乙城市的大．

通过计算我们得到：甲城市销售额的平均数和方差分别为22.8和210.9，乙城市销售额的平均数和方差分别为28.6和115.2，这与上面的估计是一致的．

教科书设计了这个问题，自然承接上一节统计图表的内容，并初步发展学生从统计图中获取数字特征的能力．

【思考交流】 P26~27

对一组数据，除了需要了解它们的集中趋势（平均水平）外，还常常需要了解它们的波动情况，即数据的离散性度量．在此问题中，甲、乙两台机床生产的10件产品直径的平均值都是40 mm，仅用平均水平还难以准确地刻画一组数据．为此，我们以问题的形式引导学生选择适当的数来分别表示这两组数据的离散程度．

在选择适当的数来分别表示这两组数据的离散程度时，学生很自然地会想到义务教育阶段时学习过的极差和方差．教科书上除极差和方差之外，还给出了其他两种刻画数据离散程度的方式（方法3和方法4）．教师在教学时可以先让学生自主思考，选择适当的数来表示，在此基础上，再鼓励他们积极交流，并认真观察、比较不同刻画方式之间的异同．显然，刻画数据离散程度的方式是多种多样的．

【抽象概括】 P28

通过上面的思考交流，学生经历了用不同的方式刻画数据离散程度的探索过程，并初步体会到方式是多种多样的．学生很自然地就会提出以下问题：究竟什么样的方式比较好？为此，教科书以抽象概括的形式，给出了刻画数据离散程度的度量的理想形式应满足的三条原则．

因为极差对极值过于敏感，有时我们去掉最小的25%的数据与最大的25%的数据，然后求出剩下的中间数据的极差，这中间50%数据的极差，我们称之为四分位数极差（即Q3-Q1）．

方法3（即绝对差）满足理想形式的三条原则，它也是刻画数据离散程度的一种方法，但是在实际中，人们更多使用的是标准差．其主要原因是：从数学上来说，二次函数的性质比绝对值函数要好，比较方便运算和以后统计量分布的推导．如有学生提出这样的问题，只要向他们简单说明一下即可，无需作过多的解释．另外，在§9介绍最小二乘法中，在刻画样本点与直线之间的距离时，用的是平方而不是绝对值，也是出于类似的考虑．

【例题】 P28例3

在教学时，教师要通过该例让学生在具体的情境中，理解标准差的作用与意义，并能针对具体问题算出数据的标准差．

【动手实践】 P29

目的是要通过这个活动，让学生经历收集数据、整理数据、分析数据、作出推断的过程，进一步体会统计对决策的作用．

在活动开始时，建议教师控制“开始”和“停止”之间的时间间隔在20秒以内，并且在增加时间间隔之前，可以先保持“开始”和“停止”之间的时间间隔不变，重复刚才的试验．此时，得到的平均值与确切的时间值应该会更接近，标准差也应该会比第一次的更小．这是因为经历了刚才的活动，学生已经积累了一定的经验，加之时间间隔又没有改变，他们估计的结果应该会比第一次更准确．随后，教师再增加“开始”和“停止”之间的时间间隔，重复试验，并让学生分析自己以及全班同学最后的估计结果．

需要特别引起注意的是，对数据数字特征内容的评价,应当更多地关注对其本身意义的 2 理解和在新情境中的应用，而不是记忆和使用的熟练程度．因此，在分析数据的过程中，教师要让学生理解数据的平均值和标准差在此处的意义，并在此基础上对全班同学的估计结果作出客观的评判．同时，这个活动还可以初步培养学生的估计能力．

【练习】 P31

小宇和志强在最近8场篮球比赛的平均得分分别是13分和12.75分，标准差分别是4.09和5.72，小宇的发挥相对来说更稳定一些．

教师应该让学生在通过计算得到小宇和志强各自得分的平均数和标准差后，理解标准差在此处的意义：它体现了运动员场上发挥的稳定程度．

【习题1―4】 P31 1．（1）可以用茎叶图等来表示数据,图略；

（2）销售的新鲜面包数量的平均数和中位数都是49.5,众数是47, 50, 52；

（3）根据以上结果，该面包店每天生产50个新鲜面包比较合理．

2．为了运算方便，可以先将数据化成以秒为单位的形式进行计算，再将计算结果化成原有单位的形式．

高中数学必修1集合教案总汇 篇11

一.教学内容：

空间图形的基本关系与公理

二.学习目标：

1、学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握空间图形的有关概念和有关定理；掌握平面的基本性质、公理4和等角定理；

2、培养和发展自己的空间想象能力、运用图形语言进行交流的能力、几何直观能力、通过典型例子的学习和自主探索活动，理解数学概念和结论，体会蕴涵在其中的数学思想方法；

3、培养严谨的思维习惯与严肃的科学态度；体会推理论证中反映出的辩证思维的价值观。

三、知识要点

（一）空间位置关系： I、空间点与线的关系

空间点与直线的位置关系有两种：点P在直线上：

II、空间点与平面的关系

空间点与平面的位置关系有两种：点P在平面

III、空间直线与直线的位置关系：

上：

点P在平面

外：

；

；点P在直线外：

；

IV、空间直线与平面的位置关系：

V、空间平面与平面的位置关系：平行；相交

说明：本模块中所说的“两个平面”“两条直线”等均指不重合的情形。

（二）异面直线的判定

1、定义法：采取反证法的思路，否定平行与相交两种情形即可；

2、判定定理：已知P点在平面上，则平面上不经过该点的直线与平面外经过该点的直线是异面直线。

（三）平面的基本性质公理

1、公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内，或曰平面经过这条直线）。

2、公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（即确定一个平面）。

3、公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过该点的公共直线

4、平面的基本性质公理的三个推论

经过直线和直线外一点，有且只有一个平面； 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 经过两条平行直线，有且只有一个平面 思考：

公理是公认为正确而不需要证明的命题，那么推论呢？ 平面的基本性质公理是如何刻画平面的性质的？

（四）平行公理（公理4）：平行于同一条直线的两条直线平行。

（五）等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

（六）空间四边形：顺次连接不共面的四点构成的图形称为空间四边形。

【典型例题】

考点一 空间点线面位置关系的判断：主要判断依据是平面的基本性质公理及其推论，平行公理、等角定理等相关结论。例1.下列命题：

空间不同的三点可以确定一个平面； 有三个公共点的两个平面必定重合；

空间中两两相交的三条直线可以确定一个平面；

④平行四边形、梯形等所有的四边形都是平面图形； ⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

⑥一条直线和两平行线中的一条相交，必定和另一条也相交。其中正确的命题是。解：⑥。

例2.空间中三条直线可以确定几个平面？试画出示意图说明。

解：0个、1个、2个或3个。分别如图（图中所画平面为辅助平面）：

考点二 异面直线的判断：主要依据是异面直线的定义及判定定理。

例3.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB、CD、EF、GH这四条线段所在的直线是异面直线的有__________对，分别是____________________？

解：3对，分别是AB、GH；AB、CD；GH、EF。

考点三 “有且只有一个”的证明：一般地，此类题型的证明需要分为两个步骤，分别证明“有”即存在性和“只有一个”即唯一性。例4.求证：过两条平行直线有且只有一个平面。已知：直线a∥b。

求证：过a，b有且只有一个平面。

证明：存在性：由平行线的定义可知，过平行直线a，b有一个平面。

唯一性（反证法）：假设过a，b有两个平面1可知：

。在直线上任取两点A、B，在直线b

都过直线a，b，因此由公理上任取一点C，则A、B、C三点不共线。由于这两个平面都过点A、B、C。由平面的基本性质公理2，过不共线三点的平面唯一存在，因此重合，与假设矛盾。矛盾表明：过平行直线a，b只有一个平面。综上所述：过a，b有且只有一个平面。

考点四 共点的判断与证明：此类题型主要有三线共点和三面共点。

例5.三个平面两两相交有三条交线，求证：三条交线或平行，或交于一点。已知：平面证明：因为I、若a∥b：由于面，故，求证：a∥b∥c或者a，b，c交于一点P。，故a，b共面，因直线，故a，c无公共点。又a，c都在平内，故a∥b；故a∥b∥c。

II、若，则，故知 综上所述：命题成立。

说明：证明三点共线的问题的常用思路是先证两条直线相交，然后再证该交点在第三条直线上；证明交点在第三条直线上常证明该点是两个相交平面的公共点，从而在这两个平面的交线上即在第三条直线上。

考点五 共线的判断与证明：常见题型是三点共线。

例6.如图，O1是正方体ABCD-A1B1C1D1的面A1B1C1D1的中心，M是对角线A1C和截面B1D1A的交点，求证：O1、M、A三点共线。

证明：连结AC.因为A1C1∩B1D1＝O1，B1D1平面B1D1A，A1C1AA1C1C，所以O1∈平面B1D1A且O1∈AA1C1C。同理可知，M∈平面B1D1A且M∈AA1C1C；A∈平面B1D1A且A∈AA1C1C。所以，O1、M、A三点在平面B1D1A和AA1C1C的交线上，故O1、M、A三点共线。

说明：证明三线共点问题的常见思路是证明第三点在前两点所确定的直线上；或者证明三点是两相交平面的公共点，从而在这两个平面的交线上。

考点六 共面问题的判断与证明：此类题型常见的是四点共面或三线共面，如证明某个图形是平面图形。

例7.如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CG＝BC/3，CH＝DC/3。求证：E、F、G、H四点共面；直线FH、EG、AC共点。

证明：如图，连结HG，EF。在△ABD中，E、F分别为AB、AD中点，故EF是△ABD的中位线，故EF∥BD。在△CBD中，CG＝BC/3，CH＝DC/3，故GH∥BD，故EF∥GH，从而GH、EF可确定一个平面，即G、H、E、F四点共面

由于E、F、G、H四点共面，且FH与EG不平行，故相交，记交点为M，则M∈FH，FH面ACD，故M∈面ACD；M∈EG，EG面ABC，故M∈面ABC。从而M是面ACD和面ABC的公共点，由公理3可知，M在这两个平面的交线AC上，从而FH、EG、AC三线共点。

说明：共面问题的常用的处理方法是利用平面的基本性质公理2及三个推论，先证明部分元素确定一个平面，再证剩下的元素也在此平面上；有时也可先证部分元素共面，剩下的元素共面，然后证明这两个平面重合（此时也可用反证法）。

［本讲涉及的主要数学思想方法］

1、数学语言是数学表述和数学思维不可缺少的重要工具，必须能将这三种语言即文字语言、符号语言和图形语言进行准确的互译和表达，这在空间关系的证明与判断中显得十分重要；

2、空间观念和空间想象能力：高考中立体几何题的题型功能最重要的一点就是考查考生的空间观念和空间想象能力，因为我们是通过平面图形（直观图）去研究空间关系，所以同学们在学习过程中一定要多观察、多思考，动手做一些空间模型或通过电脑动画模拟一些空间图形，培养空间概念，提高空间想象能力。

【模拟试题】

一、选择题

1、在空间内，可以确定一个平面的条件是（）A.两两相交的三条直线

B.三条直线，其中的一条与另两条分别相交 C.三个点

D.三条直线，它们两两相交，但不交于同一点

2、（2008辽宁卷）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（）

A.不存在 B.有且只有两条 C.有且只有三条 D.有无数条

*

3、已知平面外一点P和平面内不共线的三点A、B、C。A＇、Ｂ＇、Ｃ＇分别在PA、PB、PC上，若延长A＇Ｂ＇、Ｂ＇Ｃ＇、A＇Ｃ＇与平面分别交于D、E、F三点，则D、E、F三点（）

A.成钝角三角形 B.成锐角三角形 C.成直角三角形 D.在一条直线上

4、空间中有三条线段AB、BC、CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是（）

A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面或相交均有可能

5、下列叙述中正确的是（）

A.因为P∈α，Q∈α，所以PQ∈α。B.因为P∈α，Q∈β，所以α∩β＝PQ。

C.因为，C∈AB，D∈AB，因此CD∈α。

D.因为，所以A∈（α∩β）且B∈（α∩β）。

6、已知异面直线a，b分别在平面α，β内且α∩β＝c，那么c（）A.至少与a，b中的一条相交； B.至多与a，b中的一条相交； C.至少与a，b中的一条平行；

D.与a，b中的一条平行，与另一条相交

7、已知空间四边形ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列判断正确的是（）

二、填空题

8、在空间四边形ABCD中，M、N分别是BC、AD的中点，则2MN与AB+CD的大小关系是。

9、对于空间中的三条直线，有下列四个条件：三条直线两两相交且不共点；三条直线两两平行；三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交。其中，能推出三条直线共面的有。

三、解答题

10、正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、AA1的中点。求证：CE、D1F、DA三线共点； 求证：E、C、D1、F四点共面；

11、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若Q是A1C与平面ABC1D1的交点，求证：B、Q、D1三点共线。

12、如图，已知α∩β＝a，b

α，c

β，b∩a＝A，c//a.求证：b与c是异面直线。

*