高中数学选修1-2知识点

高中数学选修1-2知识点（共10篇）

高中数学选修1-2知识点 篇1

(文科)高中数学选修1-2知识点

第一章 统计案例 1．线性回归方程

①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系

③线性回归方程：ybxa（最小二乘法）

n



xiyinxy

i

1bn

2注意：线性回归直线经过定点(x,y)。2xnxi

i1

aybx



n

(x

2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：r

i1n

i

x)(yiy)

n

i

(x

i1

i

x)

2(y

i1

y)

2注：⑴r>0时，变量x,y正相关；r <0时，变量x,y负相关；

⑵①|r| 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②|r| 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。3．回归分析中回归效果的判定：

n

⑴总偏差平方和：

(y

i1

i

y)⑵残差：eiyiyi；⑶残差平方和：(yiyi)；⑷回归平方和：

i1

n



n

n

n





i

(y

yi)yi)



i1

(yiy)－(yiyi)；⑸相关指数R

i1

1

i1n。

i

(y

i1

注：①R得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；

②R越接近于1，则回归效果越好。4．独立性检验（分类变量关系）：

随机变量K越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。

第二章 推理与证明 一．推理：

⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。

①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。

注：类比推理是特殊到特殊的推理。

⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。

注：演绎推理是由一般到特殊的推理。

“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般结论；⑵小前提---------所研究的特殊情况；⑶结论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。

二．证明

⒈直接证明

⑴综合法

一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。

⑵分析法

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。

2．间接证明------反证法

一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。

第三章 数系的扩充与复数的引入

1．概念：

(1)z=a+bi∈Rb=0(a,b∈R)z= z2≥0；

(2)z=a+bi是虚数b≠0(a,b∈R)；

(3)z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0(a,b∈R)z＋＝0（z≠0）z2<0；

(4)a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,d∈R)；

2．复数的代数形式及其运算：设z1= a + bi , z2 = c + di(a,b,c,d∈R)，则：

(1)z 1±z2 =(a + b)±(c + d)i；

(2)z1.z2 =(a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+(ad+bc)i；

(3)z1÷z2 =(abi)(cdi)

(cdi)(cdi) acbd

cd22bcadcd22i(z2≠0);

3．几个重要的结论：

(1)(1i)22i；⑷

(2)i性质：T=4；i4n1i1ii;1i1ii;4n21,i4n1i,i

z。1,i4n3i；i4ni4n1i42i4n30;(3)z1zz1

4．运算律：（1）zmzznmn;(2)(z)zmnmn;(3)(z1z2)z1z2(m,nN);mmm

5．共轭的性质：⑴(z1z2)z1z2 ；⑵z1z2z1z2 ；

⑶(z1

z2)z1z2 ；⑷ zz。

6．模的性质：⑴||z1||z2|||z1z2||z1||z2|；⑵|z1z2||z1||z2|； ⑶|

z1z2||z1||z2|；⑷|znn||z|；

高中数学选修1-2知识点 篇2

一． 选择题：

1.下列推理是合情推理的是（）

①由圆的性质类比出球的性质；

②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180，由此推出三角形的内角和是180； ③ab,bc,则ac；

④三角形内角和是180，四边形的内角和是360，五边形的内角和是540，由此得凸n 边形的内角和是(n2)180

A.①②B.①③④C.①②④D.②④

2.有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，是因为（）

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误

3.数列1,3,6,10,的一个通项公式是（A.ann2n1B.an）C.ann(n1)2n(n1)2D.n1

24.若a,b,c满足cba，且ac0，那么下列选项中不一定成立的是（）

A.abac

 B.c(ba)0C.cbca 22D.ac(ac)0 5.已知aR，不等式x

A.2n14a2，x23，,可推广为xnn1，则a的值为（）xxxB.n2C.22(n1)D.n n

6．设a,b,c为整数，则a111,b,c这三个数（）bca

A.都不大于2B.至少有一个不大于2C.都不小于2D.至少有一个不小于2

7.要证a2b21a2b20,只要证明（）

a4b

40A.2ab1ab0B.ab122222

(ab)2

1a2b20D.(a21)(b21)0 C.2

8.用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程axbxc0(a0)有有理数根，那么a,b,c中至少有一个是偶数时”下列条件假设中正确的是（）

A.假设a,b,c都是偶数B.假设a,b,c都不是偶数2

C.假设a,b,c中至多有一个偶数D.假设a,b,c中至多有两个偶数

9.平面上有条直线，期中任意的两条不平行，任意三条不共点。f(k)表示nk时平面被分成的区域数，则f(k1)f(k1)（）

A.kB.k1C.k1D.k2

10.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或是丙获奖。”乙说：“甲、丙都未获奖。”丙说：“我获奖了。”丁说：“是乙获奖了。”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖歌手是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

二． 填空题：

11．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有个小正方形

.x2y

212．若P0(x0,y0)在椭圆221外，则过Po作椭圆的两条切线的切点为P1、P2，则直线P1P2（称为ab

xxyy切点弦P1P2）的方程是0

2021．那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0,y0)在双曲线ab

x2y

221（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线的切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线2ab

方程是．

13．如果a＋bb>ab＋ba，则a、b应满足的条件是________．

14．若0a1,0b1，且ab，则在ab,2,a2b2,2ab中最大的是________．

15．半径为r的圆的面积Srr，周长Cr2r，若将r看作0,上的变量，则2r2r

2①．①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．

对于半径为R的球，若将R看作0,上的变量，请你写出类似于①的式子：______________________________________②；

②式可用语言叙述为_______________________________.三． 解答题：

16.用三段论证明函数f(x)x2x在,1上是增函数.2

17．已知：sin30sin90sin1502223 2

sin25sin265sin2125

18．已知a,b,c均为实数，且ax2y

求证：a,b,c中至少有一个大于0.2通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明.2,by22z3,cz22x6，19．已知abc, 求证：

114.abbcac

220．设a,b,c为任意三角形三边长Iabc,sabbcac.试证：I4s.21．通过计算可得下列等式：

221221

13222221

4232231

┅┅

(n1)2n22n1

将以上各式分别相加得：(n1)2122(123n)n.即：123nn(n1)2

2222类比上述求法：请你求出123n的值.选1-2第二章《推理与证明》单元测试题

命题人：实验中学李红英

参考答案

一． 选择题

1——5 CCCCD6——10 DDBBC

1.C

2.C

3.C提示：an123n

4.C

5.D提示：xn(n1)2axxxaa nnnnnnnxxn

6.D提示：反证法

7.D提示：对左边分解因式可得.8.B

9.B

10.C提示：假设获奖人分别为甲、乙、丙、丁一一验证.二． 填空题

11.28提示：123728 12.x0xy0y21 a2b

13.a,b0,且ab提示如下：

(aab)(abba)a(ab)b(ba)=

14.ab a2a0 

43215.R4R球的体积函数的导数等于球的表面积函数． 3

三． 解答题

16.证明：若对于区间I上任意的x1,x2，且x1x2，都有f(x1)f(x2)0，则f(x)在I 上单调增.任取任意的x1,x2(,1，且x1x2，2f(x1)f(x2)x122x1x22x2(x1x2)(2x1x2)0

所以f(x)在(,1是单调增函数.17.解： 一般性的命题为sin(60)sinsin(60)2223 2

1cos(21200)1cos21cos(21200)证明：左边 222

3[cos(21200)cos2cos(21200)]232

所以左边等于右边

18.证明：假设a,b,c都不大于0，即a0,b0,c0，得abc0，而abc(x1)2(y1)2(z1)2330，即abc0，与abc0矛盾，a,b,c中至少有一个大于0.19.证明：acacabbcabbc abbcabbc

2

bcab2abbcb，4(abc)cacac1144,.abbcabbcac

220.证明：要证I4S，即证(abc)24(abbcac)

只需证 a2b2c22(abacbc)

即证abc2ab2bc2ac0

即证(a2abac)(b2bcab)(c2acbc)0只需证abc,bac,cba.因为a,b,c是三角形的三边，所以以上都成立，所以原命题得证.21.解：21313113232321 332332222

4333332331┅┅

(n1)3n33n23n1

将以上各式分别相加得：(n1)13(123n)3(123n)n 所以： 123n



高中数学选修1-2知识点 篇3

极坐标系

课题：

1、极坐标系的的概念 教学目的：

知识目标：理解极坐标的概念

能力目标：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点：理解极坐标的意义

教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置 授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学.教

具：多媒体、实物投影仪 教学过程：

一、复习引入：

情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？ 情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。

（1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置惟一确定吗？

（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？

问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？

问题2：如何刻画这些点的位置？ 这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础．

二、讲解新课：

从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。

1、极坐标系的建立：

在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。（其中O称为极点，射线OX称为极轴。）

2、极坐标系内一点的极坐标的规定

对于平面上任意一点M，用 

表示线段OM的长度，用 

表示从OX到OM 的角度，

叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。

特别强调：由极径的意义可知≥0;当极角的取值范围是[0,2)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（，）建立一一对应的关系.们约定,极点的极坐标是极径=0,极角是任意角.3、负极径的规定

在极坐标系中，极径允许取负值，极角也可以去任意的正角或负角 当＜0时，点M（，）位于极角终边的反向延长线上，且OM=。M（，）也可以表示为(,2k)或(,(2k1))

(kz)

4、数学应用

例1 写出下图中各点的极坐标（见教材14页）A（4，0）B（2）C（）D（）E（）F（）G（）

①平面上一点的极坐标是否唯一？ ② 若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？

③ 不同的极坐标是否可以写出统一表达式 约定：极点的极坐标是=0，可以取任意角。变式训练

在极坐标系里描出下列各点 A（3，0）B（6，2）C（3，532）D（5，43）E（3，56）F（4，）G（6，54点的极坐标的表达式的研究

例2 在极坐标系中，(1)已知两点P（5，(2)已知M的极坐标为（，）且=置。变式训练

1、若ABC的的三个顶点为A(5,52),B(8,56),C(3,76),判断三角形的形状.），Q(1,R4)，求线段PQ的长度；

3，，说明满足上述条件的点M 的位

2、若A、B两点的极坐标为(1,1),(2,2)求AB的长以及AOB的面积。（O为极点）

例3 已知Q（，），分别按下列条件求出点P 的极坐标。（1）P是点Q关于极点O的对称点；（2）P是点Q关于直线2的对称点；

（3）P是点Q关于极轴的对称点。变式训练

1.在极坐标系中,与点(8,A(8,6)关于极点对称的点的一个坐标是

（）

6)6),B(8,56),C(8,56),D(8,

4),B(2,54),2在极坐标系中，如果等边ABC的两个顶点是A(2,的坐标。

求第三个顶点C

三、巩固与练习

四、小

结：本节课学习了以下内容：1．如何建立极坐标系。2．极坐标系的基本要素是：极点、极轴、极角和度单位。3．极坐标中的点与坐标的对应关系。

五、课后作业：

六．课后反思：本节学习内容对学生来说是全新的，因而学生学习的兴趣很浓，课堂气氛很好。部分学生还未能转换思维，感到有点吃力。后续教学还要加强基础训练。

课题：

2、极坐标与直角坐标的互化 教学目的：

知识目标：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式 能力目标：会实现极坐标和直角坐标之间的互化

德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解 教学难点：互化关系式的掌握 授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学.教

具：多媒体、实物投影仪 教学过程：

一、复习引入：

情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便;情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便 问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？ 问题2：平面内的一个点的直角坐标是(1,3)，这个点如何用极坐标表示？

学生回顾

理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义

正确画出点的位置，标出极径和极角，借助几何意义归结到三角形中求解

二、讲解新课：

直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P的指教坐标与极坐标分别为(x,y)和(,)，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：

{xcosysin2x2yyx

2{

tan

说明1上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式

2通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取≥0，0≤≤2。

3互化公式的三个前提条件

1.极点与直角坐标系的原点重合;2.极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;3.两种坐标系的单位长度相同.三．举例应用：

例1．（1）把点M 的极坐标(8,（2）把点P的直角坐标(变式训练

在极坐标系中,已知A(2,6),B(2,23)化成直角坐标

6,2)化成极坐标

6),求A,B两点的距离

例2.若以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立直角坐标系.(1)已知A的极坐标(4,53),求它的直角坐标,(2)已知点B和点C的直角坐标为(2,2)和(0,15)求它们的极坐标.(＞0,0≤＜2)变式训练

把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定＞0,0≤＜2)A(1,1),B(0,2),C(3,4),D(3,4)

23

例3.在极坐标系中,已知两点A(6,求A,B中点的极坐标.变式训练

在极坐标系中,已知三点M(2,6),B(6,).3),N(2,0),P(23,6).判断M,N,P三点是否在一条直线上.四、巩固与练习：课后练习

五、小

结：本节课学习了以下内容：

1．极坐标与直角坐标互换的前提条件；

2．互换的公式；

3．互换的基本方法。

五、课后作业：

高中数学选修1-2知识点 篇4

2.3欧姆定律

（一）内容及解析

1、内容：本节主要介绍欧姆定律的基本知识。

2、解析：这一节概念初中学过，要进行复习，讲述的重点内容是欧姆定律的应用。这一节内容关系到后面闭合电路的学习，要加强对这一节的练习。

（二）目标及其解析

1.知道电荷的定向运动形成电流，知道导体中产生电流的条件.2.知道电流的概念和定义式，并能进行有关的计算.3.知道什么是电阻及电阻的单位.4.会用欧姆定律并能用来解决有关电路的问题.思考题1.电流是如何形成的？

思考题2.为什么导体两端有电压，导体中就会产生电流呢？

思考题3.在I——U曲线中？，图线的斜率表示的物理意义是什么？

解析：导体内有自由移动的电荷，这些带电粒子做无规则移动时不会形成电流，电荷有正和负，因此规定正电荷定向运动的方向为电流方向。电阻对电流有阻碍作用。

（三）教学问题诊断分析

1、学生在学习知识过程中，初中知识没有学好或遗忘，在实际进行电路计算时容易出现问题。

2、在电子发生转移，使物体带正、负电荷结合到化学知识，学生对交叉学科的学习也存在着困难。

3、应用U—I图像分析具体问题时，不会把数学知识应用到物理问题上。

（四）、教学支持条件分析

为了加强学生对这部分知识的学习，帮助学生克服在学习过程中可能遇到的障碍，本节课要对初中电路进行复习，对化学的有关知识也要复习。

（五）、教学过程设计

1、教学基本流程

概述本章内容→本节学习要点→欧姆定律→图像讨论→练习、小结

2、教学情景

问题1形成电流的条件分别是什么？

设计意图：知道导体中存在电流的条件是两端存在电压 问题2电流的方向是如何规定的？

设计意图：电荷分为正、负 电荷两种。

问题3电流的定义式是什么？单位有那些？它们之间有什么关系？ 设计意图：知道电流的大小和单位

问题4 公式 I=U/R表示的物理意义是什么？ 设计意图：知道欧姆定律的内容

问题5电阻的单位有那些？它们之间有什么关系？ 设计意图：知道电阻的意义和单位 例题1.现有四对电阻，其中总电阻最小的一对是（）A.两个5Ω串联

B.一个10Ω和一个5Ω并联 C.一个100Ω和一个0.1Ω并联

D.一个2Ω和一个3Ω串联 点拨：根据两个电阻R1、R2并联总电阻的计算公式 ：

由这公式可知，并联后的总电阻小于R1，同例可证并联电阻也小于R2，即并联总电阻小于组成并联电路中的任一个电阻，所以答案C的总电阻比0.1Ω还要小，是本题所选之答案.【变式】欧姆定律的表达式为，在电压U一定的条件下，导体的电阻R越小，通过导体的电流I越

。两个电阻R1和R2（R1＞R2）串联接入电路中，通过R1的电流

（填“大于”、“等于”或“小于”）通过R2的电流.例题2.如图所示的两导体AB、CD串联在某一电路中，若它们组成的材料和长度相同，粗细不同，则（）

A、.AB的电阻小，通过BC的电流大

B.、AB的电阻大，通过BC的电流小

C、.AB的电阻小，通过它们的电流一样大

D.、AB的电阻大，通过它们的电流一样大

点拨：导体的电阻跟导体的材料、长度、粗细、温度有关，现在AB、CD材料相同、长度相同就是AB细，BC粗，所以AB的电阻大；另外AB和CD串联，串联电路里的电流处处相等，所以答案为：D 另外：根据欧姆定律可知AB两端的电压大于BC两端的电压

【变式】把甲、乙两段电阻线接在相同的电压下，甲线中的电流大于乙线中的电流，忽略温度的影响，下列判断中错误的是（）

A.当它们材料、粗细都相同时，甲线长乙线短

B.当它们材料、长度都相同时，甲线粗乙线细

C.当它们长度、粗细都相同时，两线的材料一定不同 D.甲、乙两电阻线的材料、长短、粗细不可能完全相同 设计意图：复习电路的电阻串、并联接，电阻定律

（六）、目标检测

1.对于金属导体，还必须满足下列哪一个条件才能在导体中产生恒定的电流？（）A．有可以自由移动的电荷

B．导体两端有电压

C．导体内存在电场

D．导体两端加有恒定的电压 2.关于电流，下列说法中正确的是（）A．通过导线截面的电量越多，电流越大 B．电子运动的速率越大，电流越大

C．单位时间内通过导体截面的电量越多，导体中的电流越大 D．因为电流有方向，所以电流是矢量 3.有四个金属导体，它们的伏安特性曲线如图1所示，电阻最大导体是（）

A．a

B．b

C．c

D．d

设计意图：检测目标完成情况 A组题：

1、下列说法正确的是（）的比，与导体的电阻成反比

正比，与通过导体的电流成反比

C．欧姆定律适用于金属导体导电，电解液导电，电离后气体导电，或者是晶体二级管，晶体三极管导电

D．欧姆定律只适用于纯电阻电路

2.对于有恒定电流通过的导体，下列说法正确的是（）A．导体内部的电场强度为零 B．导体是个等势体

C．导体两端有恒定的电压存在

D．通过导体某个截面的电量在任何相等的时间内都相等 设计意图：对学生进行基础知识练习B组题

1.白炽灯的灯丝随温度的升高导电性能变差，则白炽灯不通电时灯丝电阻R1与正常发光时电阻R2比较应是（）

A．R1＞R2

B．R1＜RC．R1=R2

D．无法判断

2.导体中的电流是5μA，那么在3.2S内有______ C的电荷定向移动通过导体的横截面，相当于______个电子通过该截面.3.如图2所示，甲、乙分别是两个电阻的I-U图线，甲电阻阻值为______Ω，乙电阻阻值为______Ω，电压为10V时，甲中电流为______A，乙中电流为______A.4.图3所示为两个电阻的U-I图线，两电阻阻值之比R1∶R2=______，给它们两端加相同的电压，则通过的电流之比I1∶I2______.设计意图：提高学生对基础知识的学习，加强对库仑定律的巩固 C组题

1.电路中有一段导体，给它加20mV的电压时，通过它的电流为 5mA，可知这段导体的电阻为______Ω，如给它加30mV的电压时，它的电阻为______Ω；如不给它加电压时，它的电阻为______Ω.2.某电解槽内，在通电的2s内共有3C的正电荷和3C的负电荷通过槽内某一横截面，则通过电解槽的电流为______A.3.在彩色电视机的显像管中，从电子枪射出的电子在加速电压U作用下被加速，且形成电流为I的平均电流，若打在荧光屏上的高速电子全部被荧光屏吸收。设电子质量为m，电量为e，进入加速电场之前的初速不计，则t秒内打在荧光屏上的电子数为多少？

设计意图：使部分学生有拓展的空间

高中数学选修1-2知识点 篇5

lzh 第 2 页 2013-5-311、下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：经观察可以发现：

图（2）比图（1）多出2个“树枝”；图（3）比图（2）多出5个“树枝”；

图（4）比图（3）多出10个“树枝”；

(1)(2)(3)(4)(5)…照此规律，图（7）比图（6）多出_______个“树枝”.1用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

„

③ ② ①

13、按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为．

x2y

2若P则过Po作椭圆的两条切线的切点为P1、P2，则直线P1P2（称0(x0,y0)在椭圆221外，ab

为切点弦P1P2）的方程是x0xy0y21．那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0,y0)在双曲线a2b

x2y

21（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线的切点为P1、P2，则切点弦P1P2的a2b

2直线方程是．

14、下列是关于复数的类比推理：

①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；

②由实数绝对值的性质|x|2x2类比得到复数z的性质|z|2z2；

③已知a,bR，若ab0，则ab类比得已知z1,z2C，若z1z20，则z1z2;④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.其中推理结论正确的是．．

二、解答题：

15.用三段论证明函数f(x)x2x在,1上是增函数.2

lzh

222第 3 页 2013-5-3 16．已知：sin30sin90sin1503 2

sin25sin265sin2125

17．已知a,b,c均为实数，且ax2y

求证：a,b,c中至少有一个大于0.18．已知abc, 求证：2通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明.2,by22z3,cz22x6，114.abbcac

lzh 第 4 页 2013-5-3

219．设a,b,c为任意三角形三边长Iabc,sabbcac.试证：I4s.20．通过计算可得下列等式：

2212211

3222221

4232231

┅┅

(n1)2n22n1

将以上各式分别相加得：(n1)2122(123n)n.即：123nn(n1)2

选修1-2合情推理第1课时 篇6

2.1 合情推理与演绎推理

2.1.1合情推理

（一）〖课前准备〗

【课型】新授课【课时】1教时

【课标要求】

1.知识与能力

了解合情推理的含义，掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题．

2.过程与方法

通过参与课堂活动,经历归纳推理概念的获得过程,了解归纳推理的含义．通过欣赏一些伟大猜想的产生过程，体会并认识利用合情推理去猜测和发现一些结论，探索和提供解决一些问题的思路和方法．通过具体解题，进一步感受归纳推理的优缺点及其使用方法．

3.情感态度与价值观

学生乐于主动探究，积极思考，欣赏合情推理的价值，认识到“大胆猜想，小心求证”的重要性。感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感．

【重点.难点】

重点：归纳推理及方法的总结．

难点：归纳推理的含义及其具体应用．

【教学用具】多媒体.〖教学过程〗

一、数学知识引入：

【提问】从古到今数学中有各式各样的猜想，同学们听说过哪些？下面我们来介绍几个猜想：

【数学猜想介绍】

1.哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, „„, 50=13+37, „„, 100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和.1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想.1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”

.02.费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对F02213，F12215，F222117，F3221257，F422165537的观察，发现其结果都是123

4素数，于是提出猜想：对所有的自然数n，任何形如Fn221的数都是素数.后来瑞士数学家欧

拉，发现F522142949672976416700417不是素数，推翻费马猜想

.5n

3.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里,来到一家科研单位搞地图着色工作，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.4.哥尼斯堡七桥猜想：18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来（如左图上）．有个人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点后来大数学家欧拉把它转化成一个几何问题（如左图下）——一笔画问题。他不仅解决了此问题，且给出了连通图可以一笔画的重要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2.【思考】猜想是怎么提出来的呢？

【讨论】略．

【总结】比如哥德巴赫提出猜想的推理过程：通过对一些偶数的验证，他发现它们总可以表示成两个奇质数之和，而且没有出现反例．于是，提出哥德巴赫猜想，整个猜想的过程就是归纳推理的过程．

二、新课讲授

【概念】归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．

【解释】归纳推理的特点：

⑴归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．

⑵归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的． ⑶人们在进行归纳推理的时候，总是先搜集一定的事实材料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行．

⑷归纳推理能够发现新事实、获得新结论，是做出科学发现的重要手段．

【练习】

①由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？

②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，……，能归纳出什么结论？

③由三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，……，能归纳出什么结论？

【解答】

①一切金属都能导电．

②三角形内角和是180度．

③凸n 边形的内角和是（n—2）×1800．

【问题】统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属于归纳推理？归纳推理的结果是否正确？归纳推理有何作用？

【讨论】略.【回答】统计学中，用样本估计总体属于归纳推理．归纳推理的结果不一定正确，比如费马猜想，就是经过半世纪之后欧拉才推翻了的．应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段.下面咱们看看数学中的例子．

【例１】观察等式：112,13422,135932,13571642,135792552，由上述具体事实能得出怎样的结论？

【分析】第一，所谓“规律”，是指“项数”与它们的“和”之间的关系，因此要努力把“和”与“项数”联系起来；第二，数学符号语言、图形语言、日常语言等相互转换，容易发现规律。

【解】将上述事实分别叙述如下：１等于１的平方；前２个正奇数的和等于２的平方；前３个正奇数的和等于３的平方；前４个正奇数的和等于４的平方；前５个正奇数的和等于５的平方；„„，*2由此猜想：前n(n∈N)个连续正奇数的和等于n的平方，即1+3+5+„+(2n-1)=n.【总结】归纳推理的一般步骤：首先，对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；然后，在此基础上提出带有规律性的结论，即猜想；最后，检验这个猜想．

【例2】已知数列an的第1项a12，且an1an(n1,2,)，试归纳出这个数列的通项公式.1an

【分析】数列的通项公式表示的是数列an的第n项an与序号n之间的对应关系．为此，我们先根

据已知的递推公式，算出数列的前几项．

【解】当n=1时，a11;

当 n =2时，a211； 11

2当n =3时，a1；

31312

当n=4时，a1．

4141

3观察可得，数列的前 4 项都等于相应序号的倒数．由此猜想，这个数列的通项公式为an

【补例】数列an中，a12,a21,a31． n21,a4，求an? 32

【分析】当有整数和分数时，往往将整数化为分数；当分子分母都在变化时，往往统一分子(或分母)，再寻找另一部分的变化规律． 22222【解】因为a1,a2,a3,a4，所以猜想：an． n123

4〖课时小结〗

【课后小结】

⑴归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理．

⑵归纳推理的一般步骤：首先，对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；然后，在此基础上提出带有规律性的结论，即猜想；最后，检验这个猜想．

【板书设计】

略

【课后作业】

高中数学选修1-2知识点 篇7

1.掌握余弦定理的两种表示形式； 2.证明余弦定理的向量方法；

本的解三角形问题．

【重点难点】 1.重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.2.难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用.【知识链接】

复习1：在一个三角形中，各和它所对角的的相等，即==．

复习2：在△ABC中，已知c10，A=45，C=30，解此三角形．

思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？

【学习过程】 ※ 探究新知

问题：在ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b. ∵AC，∴ACAC

同理可得：a2b2c22bccosA，c2a2b22abcosC．

新知：余弦定理：三角形中任何一边的等于其他两边的的和减去这两边与它们的夹角的的积的两倍．

思考：这个式子中有几个量？

从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？

从余弦定理，又可得到以下推论：

b2c2a

2，． cosA2bc

[理解定理]

（1）若C=90，则cosC，这时c2

a2b2

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．

（2）余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；

②已知三角形的三条边就可以求出其它角．

试试：

（1）△ABC

中，a，c2，B150，求b．

（2）△ABC中，a

2，b，c1，求A．

※ 典型例题

例1.在△ABC

中，已知a

bB45，求A,C和c．

变式：在△ABC中，若AB，AC＝5，且cosC＝9

10，则BC＝________．

例2.在△ABC中，已知三边长a3，b

4，c，求三角形的最大内角．

变式：在ABC中，若a2b2c2bc，求角A．

【学习反思】

※ 学习小结

1.余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；

2.余弦定理的应用范围：

① 已知三边，求三角；

② 已知两边及它们的夹角，求第三边．

※ 知识拓展

在△ABC中，若a2b2c2，则角C是直角；

若a2b2c2，则角C是钝角；

222）.A.很好B.较好C.一般D.较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1.已知a

c＝2，B＝150°，则边b的长为（）.2.已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（）.A．60B．75C．120D．150

3.已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（）.A

x

＜x＜

5C． 2＜x

D

＜x＜5 4.在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝2，AB与AC的夹角为60°，则|AB－AC|＝________． 5.在△ABC中，已知三边a、b、c满足

b2a2c2ab，则∠C等于．

1.在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝13

14，求最大角的余弦值．

高中数学选修1-2知识点 篇8

一、【学习目标】

1、准确理解集合之间包含与相等的关系，能够识别并写出给定集合的子集和真子集，能准确的使用相关术语和符号；

2、会使用Venn图、数轴表示集合间的关系，深刻体会Venn图在分析、理解集合问题中的作用；

3、掌握子集和空集性质，能在解题中灵活运用；了解集合子集个数的求法.二、【自学内容和要求及自学过程】

1、阅读教材第6页第1—7段，回答问题（子集、集合间的关系）<1>根据教材上的例子，你能发现集合间有什么关系吗？

<2>根据上面的阐述，你能总结出子集的描述性定义并理解之吗？

结论：<1>可以发现:对于题目中的两个集合A、B，集合A中的元素都在集合B中，其中第三个例子中集合C和集合D是相等的；<2>一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作：AB（或BA）读作：“A包含于B”（或“B包含A”）；

（引申：例子三中的集合C和集合D是什么关系呢）【教学效果】：基本上能达到自学的效果和预期的目标，注意防止学生不深入探究，这一点是最主要的.2、阅读教材第6页最后一段，回答问题（真子集）

<3>教材上例子①中集合A是集合B的子集,例子③中集合C是集合D的子集，同样是子集，有什么区别？你能由此得出真子集的描述性定义吗？

结论：<3>例子①中AB,但有两个元素4∈B，5∈B且4A，5A；而例子③中集合C和集合D中的元素完全相同；由此，我们可以得到真子集的描述性定义：如果集合AB，但存在元素, xB，且xA，我们称集合A是B的真子集，记作：AB（或BA）【教学效果】：子集和真子集是容易混淆的两个概念，要进一步练习和训练.3、阅读教材第6页倒数第2、3段，回答问题（集合相等）

<4>结合例子③，类比实数中的结论：“若ab，且ba，则ab”，在集合中，你发现了什么结论？

结论：<4>如果集合A是集合B的子集（AB），且集合B是集合A的子集AB，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作：A=B.【教学效果】：要注意集合相等的条件，这是我们证明两个集合相等的依据.3、阅读教材第7页，回答问题（空集）

<5>你能给出空集的定义吗？你能理解空集的含义吗？

结论：把不含任何元素的集合叫做空集，记作.并规定:空集是任何集合的子集，即A；空集是任何非空集合的真子集，即A(A≠).【教学效果】：注意空集和{0}的区别.4、阅读教材有关Venn图的知识，回答问题（Venn图）

<6>试用Venn图表示例子①中集合A和集合B；若已知A=B,试用Venn图表示集合A和B的关系.结论：如图所示 【教学效果】：学生能达到预期的学习目标.三、【魅力精讲 举一反三】

四、【跟踪训练 展我风采】（约12分钟）根据今天所学内容，完成下列练习

练习一：<1>教材第7页练习第1题；<2>已知集合P={1,2},那么满足QP的集合Q的个数有几个？

思考：集合A中含有n个元素，那么集合A有多少个子集？多少个真子集？

结论：集合A中含有n个元素，那么集合A有2个子集,由于一个集合不是其本身的真子集，所以集n合A有21个真子集.n【教学效果】：要记住思考题的结论.练习二：教材第7页练习第2、3题；（通过练习二，提醒学生注意集合与集合间的关系与元素与集合间的关系的区别）

练习三：已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3, m }.若BA,则实数m=_______.（练习三是一个选

2讲题目，时间够的话可以讲一讲，时间不够则放在作业上作为选做题）

五、【学以致用 能力提升】

1、必做题：

2、选做题：

六、【提炼精华 我有所得】

高中物理选修知识点总结 篇9

一、静电感应现象

1. 导体：容易导电的物体叫导体。

2. 导体中存在大量自由电荷。常见的导体有：金属、石墨、人体、大地、酸碱盐溶液等。

3. 静电感应现象：放入电场中的导体，其内部的自由电子在电场力的作用下向电场的反方向作定向移动，致使导体的两端分别出现等量的正、负电荷。这种现象叫静电感应现象。

4. 感应电荷：静电感应现象中，导体不同部分出现的净电荷。

二、静电平衡状态下导体的电场

1. 静电场中导体内电场分布

2. 静电平衡：电场中导体内(包括表面上)自由电荷不再发生定向移动的状态叫做静电平衡状态。

3. 静电平衡导体的特性：

(1)导体内部场强处处为零

(2) 导体是等势体,表面为等势面

(3)导体外部表面附近场强方向与该点的表面垂直

三、导体上电荷分布

1. 法拉弟圆桶实验

2. 静电平衡时，超导体上电荷分布规律：

导体内部无净电荷，电荷只分布在导体的外表面

在超导体表面，越尖锐的位置，电荷的密度(单位面积上的电荷量)越大，凹陷位置几乎没有电荷。

3. 尖端放电

四、静电屏蔽

1. 空腔导体或金属网罩可以把外部电场遮住，使其不受外电场的影响。

2. 静电屏蔽的两种情况

导体内腔不受外界影响

接地导体空腔外部不受内部电荷影响

3. 静电屏蔽的本质：静电感应与静电平衡

4. 静电屏蔽的应用：

电学仪器和电子设备外面金属罩、通讯电缆外层金属套

高中生物选修三知识点总结 篇10

高中生物选修三知识点总结

基因工程的概念

基因工程是指按照人们的愿望，进行严格的设计，通过体外DNA重组和转基因技术，赋予生物以新的遗传特性，创造出更符合人们需要的新的生物类型和生物产品。基因工程是在DNA分子水平上进行设计和施工的，又叫做DNA重组技术。

（一）基因工程的基本工具

1.“分子手术刀”——限制性核酸内切酶（限制酶）

（1）来源：主要是从原核生物中分离纯化出来的。

（2）功能：能够识别双链DNA分子的某种特定的核苷酸序列，并且使每一条链中特定部位的两个核苷酸之间的磷酸二酯键断开，因此具有专一性。

（3）结果：经限制酶切割产生的DN段末端通常有两种形式：黏性末端和平末端。

2.“分子缝合针”——DNA连接酶

(1)两种DNA连接酶（DNA连接酶和DNA连接酶）的比较：①相同点：都缝合磷酸二酯键。

②区别：DNA连接酶来源于T4噬菌体，只能将双链DN段互补的黏性末端之间的磷酸

二酯键连接起来；而T4DNA连接酶能缝合两种末端，但连接平末端的之间的效率较低。

(2)与DNA聚合酶作用的异同:DNA聚合酶只能将单个核苷酸加到已有的核苷酸片段的末端，形成磷酸二酯键。DNA连接酶是连接两个DN段的末端，形成磷酸二酯键。

3.“分子运输车”——载体

（1）载体具备的条件：①能在受体细胞中复制并稳定保存。

②具有一至多个限制酶切点，供外源DN段插入。③具有标记基因，供重组DNA的鉴定和选择。

（2）最常用的载体是质粒,它是一种裸露的、结构简单的、独立于细菌染色体之外，并具

有自我复制能力的双链环状DNA分子。

（3）其它载体：噬菌体的衍生物、动植物病毒

(二)基因工程的基本操作程序

第一步：目的基因的获取

从基因文库中获取

1、获取目的基因的方法鸟枪法

人工合成2.目的基因是指：编码蛋白质的结构基因。3.原核基因采取直接分离获得，真核基因是人工合成。人工合成目的基因的常用方法有反转录法_和化学合成法_。4.PCR技术扩增目的基因

（1）原理：DNA双链复制

（2）过程：第一步：加热至90～95℃DNA解链；第二步：冷却到55～60℃，引物结合到互补DNA链；第三步：加热至70～75℃，热稳定DNA聚合酶从引物起始互补链的合成。第二步：基因表达载体的构建

1.目的：使目的基因在受体细胞中稳定存在，并且可以遗传至下一代，使目的基因能够表达和发挥作用。

2.组成：目的基因＋启动子＋终止子＋标记基因

（1）启动子：是一段有特殊结构的DN段，位于基因的首端，是RNA聚合酶识别和结合的部位，能驱动基因转录出mRNA，最终获得所需的蛋白质。

（2）终止子：也是一段有特殊结构的DN段，位于基因的尾端。

（3）标记基因的作用：是为了鉴定受体细胞中是否含有目的基因，从而将含有目的基因的细胞筛选出来。常用的标记基因是抗生素基因。

3、目的基因与运载体结合（以质粒为运载体）

第三步：将目的基因导入受体细胞_1．将目的基因导入受体细胞

受体细胞：细菌

↓氯化钙细胞壁的通透性增大

↓

重组质粒进入受体细胞

↓

目的基因随受体细胞的繁殖而复制

2.转化的概念：是目的基因进入受体细胞内，并且在受体细胞内维持稳定和表达的过程。

3.常用的转化方法：

将目的基因导入植物细胞：采用最多的方法是农杆菌转化法，其次还有基因枪法和花粉管通道法等。

将目的基因导入动物细胞：最常用的方法是显微注射技术。此方法的受体细胞多是受精卵。将目的基因导入微生物细胞：原核生物作为受体细胞的原因是繁殖快、多为单细胞、遗传2+物质相对较少，最常用的原核细胞是大肠杆菌，其转化方法是：先用Ca处理细胞，使其成为感受态细胞，再将重组表达载体DNA分子溶于缓冲液中与感受态细胞混合。

4.重组细胞导入受体细胞后，筛选含有基因表达载体受体细胞的依据是标记基因是否表达。

第四步：目的基因的检测和表达

1.首先要检测转基因生物的染色体DNA上是否插入了目的基因，方法是采用DNA分子杂交技术。

2.其次还要检测目的基因是否转录出了mRNA，方法是采用用标记的目的基因作探针与mRNA杂交。

3.最后检测目的基因是否翻译成蛋白质，方法是从转基因生物中提取蛋白质，用相应的抗体进行抗原－抗体杂交。

4.有时还需进行个体生物学水平的鉴定。如转基因抗虫植物是否出现抗虫性状。

（三）基因工程的应用

1.植物基因工程：抗虫、抗病、抗逆转基因植物，利用转基因改良植物的品质。

2.动物基因工程：提高动物生长速度、改善畜产品品质、用转基因动物生产药物。3.基因治疗：把正常的外源基因导入病人体内，使该基因表达产物发挥作用。

（四）蛋白质工程的概念

蛋白质工程是指以蛋白质分子的结构规律及其生物功能的关系作为基础，通过基因修饰或基因合成，对现有蛋白质进行改造，或制造一种新的蛋白质，以满足人类的生产和生活的需求。（基因工程在原则上只能生产自然界已存在的蛋白质）转录翻译

专题2细胞工程

（一）植物细胞工程

1.理论基础（原理）：细胞全能性全能性表达的难易程度：受精卵＞生殖细胞＞干细胞＞体细胞；植物细胞＞动物细胞2.植物组织培养技术

（1）过程：离体的植物器官、组织或细胞―→愈伤组织―→试管苗―→植物体

（2）用途：微型繁殖、作物脱毒、制造人工种子、单倍体育种、细胞产物的工厂化生产。

（3）地位：是培育转基因植物、植物体细胞杂交培育植物新品种的最后一道工序。

3.植物体细胞杂交技术

（1）过程：

（2）诱导融合的方法：物理法包括离心、振动、电刺激等。化学法一般是用聚乙二醇（PEG）作为诱导剂。

（3）意义：克服了远缘杂交不亲和的障碍。

（二）动物细胞工程1.动物细胞培养

（1）概念：动物细胞培养就是从动物机体中取出相关的组织，将它分散成单个细胞，然后放在适宜的培养基中，让这些细胞生长和繁殖。

（2）动物细胞培养的流程：取动物组织块（动物胚胎或幼

龄动物的器官或组织）→剪碎→用胰蛋白酶或胶原蛋白酶处理分散成单个细胞→制成细胞悬液→转入培养瓶中进行原代培养→贴满瓶壁的细胞重新用胰蛋白酶或胶原蛋白酶处理分散成单个细胞继续传代培养。

（3）细胞贴壁和接触抑制：悬液中分散的细胞很快就贴附在瓶壁上，称为细胞贴壁。细胞数目不断增多，当贴壁细胞分裂生长到表面相互抑制时，细胞就会停止分裂增殖，这种现象称为细胞的接触抑制。

（4）动物细胞培养需要满足以下条件

①无菌、无毒的环境：培养液应进行无菌处理。通常还要在培养液中添加一定量的抗生素，以防培养过程中的污染。此外，应定期更换培养液，防止代谢产物积累对细胞自身造成危害。

②营养：合成培养基成分：糖、氨基酸、促生长因子、无机盐、微量元素等。通常需加入血

清、血浆等天然成分。

③温度：适宜温度：哺乳动物多是36.5℃＋0.5℃；pH：7.2～7.4。

④气体环境：95%空气＋5%CO2。O2是细胞代谢所必需的，CO2的主要作用是维持培养液的pH。

（5）动物细胞培养技术的应用：制备病毒疫苗、制备单克隆抗体、检测有毒物质、培养医学研究的各种细胞。

2.动物体细胞核移植技术和克隆动物

（1）哺乳动物核移植可以分为胚胎细胞核移植（比较容易）和体细胞核移植（比较难）。