2015高中数学选修2-2导学案：《变化的快慢与变化率》

2015高中数学选修2-2导学案：《变化的快慢与变化率》（共2篇）

2015高中数学选修2-2导学案：《变化的快慢与变化率》 篇1

致远中学高二数学学案第1课时 变化的快慢与变化率

1.通过实例,明白变化率在实际生活中的应用,探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义.2.理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念,体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法.借助多媒体播放2012年伦敦奥运会中国跳水运动员夺得女子冠军的视频.我们知道运动员的平均速度(平均变化率)不一定能够反映她在某一时刻的运动状态,而运动员在不同时刻的运动状态是不同的,我们需要借助于瞬时速度这样的量来刻画,那么我们如何才能求出运动员在某一时刻的瞬时速度呢?

问题1:根据以上情境,设运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,如果用她在某段时间内的平均速度描述其运动状态, 那么:(1)在0≤t≤0.5这段时间里,运动员的平均速度=.(2)在1≤t≤2这段时间里, 运动员的平均速度=.问题2:函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率公式是.如果用x1与增量Δx表示,平均变化率的公式是.问题3:如何求函数的瞬时变化率? 对一般的函数y=f(x),在自变量x从x0变到x1的过程中,若设Δx=x1-x0,Δy=f(x1)-f(x0),则函数的平均变化率是==.而当Δx趋于0时,平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率,瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.问题4:平均变化率与瞬时变化率的关系是什么?(1)区别:平均变化率刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢,瞬时变化率刻画函数值在点x0处变化的快慢.(2)联系:当Δx趋于0时,平均变化率趋于一个常数,这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率,它是一个固定值.1.函数f(x)=x2在区间[-1,3]上的平均变化率是().A.4 B.2

C.D.2.在曲线y=x2+2的图像上取一点(1,3)及附近一点(1+Δx,3+Δy),则等于().A.Δx++2 B.Δx--2 C.Δx+2

D.2+Δx-

3.函数f(x)=x+在区间[1,2]上的平均变化率为.4.婴儿从出生到第24个月的体重变化如图,求第二年婴儿体重的月平均变化率.平均变化率

已知函数f(x)=2x2+3x-5.(1)求当x1=4且Δx=1时,函数增量Δy和平均变化率;(2)求当x1=4且Δx=0.1时,函数增量Δy和平均变化率.瞬时变化率

一辆汽车按规律s=3t2+1做直线运动,估计汽车在t=3 s时的瞬时速度.(时间单位:s;位移单位:m)

变化率的意义

圆的面积S随着半径r的变化而变化.试分析圆的面积随半径r增大而增大的快慢情况.已知函数f(x)=x2+x,计算f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率,并求当x0=2,Δx=0.1时平均变化率的值.求函数f(x)=-x2+3x在x=2处的瞬时变化率.求函数y=x2在x=1,2,3附近的平均变化率,取Δx的值为,哪一点附近的平均变化率最大?

1.一物体的运动方程是s=3+t2,则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为().A.0.41 B.3 C.4

D.4.1 2.函数y=2x2-x在x=2附近的平均变化率是().A.7 B.7+Δx C.7+2Δx D.7+2(Δx)2

3.一质点按规律s(t)=2t3运动,则t=1时的瞬时速度为.4.求函数f(x)=ln x在区间[,]上的平均变化率.若一物体运动方程如下:s=(位移单位:m,时间单位:s),求:(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度;(2)物体的初速度v0;(3)物体在t=1时的瞬时速度.考题变式(我来改编):

答案

第二章 变化率与导数

第1课时 变化的快慢与变化率

知识体系梳理

问题1:(1)问题2:问题3:基础学习交流 1.B 2.C 3.=4.05 m/s(2)

=-8.2 m/s ====2.==.=2+Δx.4.解:由图可知,第二年婴儿体重的平均变化率为

==0.25(千克/月).即第二年婴儿体重的月平均变化率为0.25(千克/月).重点难点探究

探究一:【解析】f(x)=2x2+3x-5, ∴Δy=f(x1+Δx)-f(x1)=2(x1+Δx)2+3(x1+Δx)-5-(2

+3x1-5)=2[(Δx)2+2x1Δx]+3Δx=2(Δx)2+(4x1+3)Δx.(1)当x1=4,Δx=1时,Δy=2×12+(4×4+3)×1=21,==21.(2)当x1=4,Δx=0.1时,Δy=2×0.12+(4×4+3)×0.1=1.92,=【小结】求平均变化率的主要步骤:(1)先计算函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1);(2)再计算自变量的改变量Δx=x2-x1;(3)得平均变化率==19.2..探究二:【解析】当时间从3变到3+Δt时, ===3Δt+18, 当Δt趋于0时,趋于常数18.∴这辆汽车在t=3 s时的瞬时速度为18 m/s.【小结】要求瞬时速度可先求平均速度,Δt趋于0,则平均速度趋于瞬时速度,理解求法中的逼近思想.探究三:【解析】圆的面积S随着半径r的平均变化率为

===2πr+πΔr, 由=2πr+πΔr可知瞬时变化率2πr(很有意思,这竟是圆的周长!)随半径增大而增大,因此圆的面积增大加快.【小结】变化率是反映变化快慢的一个数学量,可以通过求变化率来看变化的快慢情况.思维拓展应用

应用一:函数f(x)=x2+x在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为

===2x0+1+Δx.当x0=2,Δx=0.1时, 函数f(x)=x2+x在区间[2,2.1]上的平均变化率为2×2+1+0.1=5.1.应用二:∵====-Δx-1，∴当Δx趋于0时,趋于-1.即函数f(x)在x=2处的瞬时变化率为-1.应用三:在x=1附近的平均变化率为

k1===2+Δx;在x=2附近的平均变化率为

k2===4+Δx;在x=3附近的平均变化率为

k3===6+Δx.若Δx=,则k1=2+=, k2=4+=,k3=6+=, 由于k1

解:(1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt=5-3=2, 物体在t∈[3,5]内的位移变化量为Δs=3×52+2-(3×32+2)=48, ∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为==24(m/s).(2)求物体的初速度v0即求物体在t=0时的瞬时速度.∵物体在t=0附近的平均变化率为 ==

=3Δt-18, ∴当Δt趋于0时,趋于-18, ∴物体在t=0处的瞬时变化率为-18, 即物体的初速度为-18 m/s.(3)物体在t=1时的瞬时速度即为函数在t=1处的瞬时变化率.∵物体在t=1附近的平均变化率为 ==

=3Δt-12, ∴当Δt趋于0时,趋于-12, ∴物体在t=1处的瞬时变化率为-12, 即物体在t=1时的瞬时速度为-12 m/s.

2015高中数学选修2-2导学案：《变化的快慢与变化率》 篇2

例1 用数学归纳法证明等式

时所有自然数 都成立。

证明（1）当

（2）假设当

时，左式，右式

时等式成立，等式成立。

即

则

则

时，等式也成立。

均成立。

时等式成立时，注意分析

与的两

由（1）（2）可知，等式对

评述 在利用归纳假设论证

个等式的差别。

变到

时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由

应与

合并，才能得到所证式。因而，因此在证明中，右式中的在论证之前，把

时等式的左右两边的结构先作一分析是有效的。

用心爱心专心 1

由例1可以看出，在数学归纳法证明过程中，要把握好两个关键之外：一是

系；二是

与的关系。

与 的关

例2 用数学归纳法证明

对任意自然数，证明（ⅰ）当

时，能被17整除，命题成立。

（ⅱ）设

则

时，由归纳假设，能被17整除，也能被17整除，所以

都能被17整除。

用

表示。上例中的能被17整除。

时，能被17整除。

都能被17整除。

由（ⅰ）（ⅱ）可知，对任意

评述 用数学归纳法证明整除问题，常常把

还可写成，易知它能被17整除。例3 用数学归纳法证明

…

用心爱心专心 2

证明（ⅰ）当

时，左式

右式

∵

∴

即

时，原不等式成立。

（ⅱ）假设

（）时，不等式成立，即

则

时，左边

右边

要证左边 右边

只要证

只要证

只要证

而上式显然成立，所以原不等式成立。即

时，左式 右式

由（ⅰ）（ⅱ）可知，原不等式对大于1的自然数均成立。用心爱心专心 3

评述 用数学归纳法证明不等式时，应分析

与的两个不等式，找出证明的关键点（一般要利用不等式的传递性），然后再综合运用不等式的方法。如上题，关键是证明不等式

。除了分析法，还可以用比较法和放缩法来解决。

例4 在数列

中，若它的前 项和

（）

1）计算，，；

2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论。

解（1）由题意，即

∴

即

∴

即

∴

∴

（2）猜想

证明 ⅰ）

时，命题成立。

ⅱ）假设

时，命题成立，即

当

时，∴

用心爱心专心 4

又

因而

解得

即

时，命题也成立。

由ⅰ）ⅱ）可知，命题对

均成立。