初高中数学知识点

初高中数学知识点（共7篇）

初高中数学知识点 篇1

七年级上册

第一章 有理数（12课时）

一、正数和负数（1课时）

二、有理数（3课时）

1、有理数

2、数轴

3、相反数

4、绝对值

三、有理数的加减法（3课时）

1、有理数的加法

2、有理数的减法

四、有理数的乘除法（3课时）

1、有理数的乘法

2、有理数的除法

五、有理数的乘方（2课时）

1、乘方

2、科学记数法

3、近似数和有效数字

第二章 整式的加减（4课时）

一、整式（2课时）

二、整式的加减（2课时）

第三章 一元一次方程（7课时）

一、从算式到方程（2课时）

1、一元一次方程

2、等式的性质

二、解一元一次方程

（一）----合并同类项与移项（1课时）

三、解一元一次方程

（二）----去括号与去分母（1课时）

四、实际问题与一元一次方程（1课时）

第四章 图形认识初步（5课时）

一、多姿多彩的图形（1.5课时）

1、几何图形

2、点、线、面、体

二、直线、射线、线段（2.5课时）

1、角

2、角的比较和运算

3、余角和补角

七年级下册

第五章 相交线与平行线（4课时）

一、相交线（1课时）

1、相交线

2、垂线

二、平行线（1课时）

1、平行线

2、直线平行的条件

三、平行线的性质（1课时）

四、平移（1课时）

第六章平面直角坐标系（3课时）

一、平面直角坐标系（1.5课时）

1、有序数对

2、平面直角坐标系

二、坐标方法的简单应用（1.5课时）

1、用坐标表示地理位置

2、用坐标表示平移

第七章 三角形（3课时）

一、与三角形有关的线段（1课时）

1、三角形的边

2、三角形的高、中线与角平分线

3、三角形的稳定性

二、与三角形有关的角（1课时）

1、三角形的内角

2、三角形的外角

三、多边形及其内角和（1课时）

1、多边形

2、多边形的内角和

四、镶嵌

第八章 二元一次方程组（2课时）一、二元一次方程组

二、消元

三、实际问题与二元一次方程组

第九章 不等式与不等式组（5课时）

一、不等式（3课时）

1、不等式及其解集

2、不等式的性质

二、实际问题与一元一次不等式（1课时）三、一元一次不等式组（1课时）

四、利用不等式关系分析比赛（1课时）

第十章 数据的收集、整理与描述（1课时）

一、全面调查举例（0.5课时）

二、抽样调查举例（0.5课时）

八年级上册

第十一章 全等三角形（4课时）

一、全等三角形（1课时）二、三角形全等的判定（2课时）

三、角的平分线的性质（1课时）

第十二章 轴对称（5课时）

一、轴对称（1课时）

二、做轴对称图形（2课时）

1、做轴对称图形

2、用坐标表示轴对称

三、等腰三角形（2课时）

1、等腰三角形

2、等边三角形

第十三章 实数（5课时）

一、平方根（2.5课时）

二、立方根（1课时）

三、实数（1.5课时）

第十四章 一次函数（11课时）

一、变量与函数（3课时）

1、变量

2、函数

3、函数的图象 二、一次函数（3课时）

1、正比例函数

2、一次函数

三、用函数的观点看方程（组）与不等式（3课时）

1、一次函数与一元一次方程

2、一次函数与一元一次不等式

3、一次函数与二元一次方程（组）

四、选择方案（2课时）

第十五章 整式的乘除与因式分解（10课时）

一、整式的乘法（4课时）

1、同底数幂的乘法

2、幂的乘方

3、积的乘方

4、整式的乘法

二、乘法公式（2课时）

1、平方差公式

2、完全平方公式

三、整式的除法（2课时）

1、同底数幂的除法

2、整式的除法

四、因式分解（2课时）

1、提公因式法

2、公式法

八年级下册

第十六章 分式（4课时）

一、分式（1课时）

1、从分数到分式

2、分式的基本性质

二、分式的运算（2课时）

1、分式的乘除

2、分式的加减

3、整数指数幂

三、分式方程（1课时）

第十七章 反比例函数（3课时）

一、反比例函数（2课时）

1、反比例函数的意义

2、反比例函数的图像和性质

二、实际问题与反比例函数（1课时）

第十八章 勾股定理（2课时）

一、勾股定理（1课时）

二、勾股定理的逆定理（1课时）

第十九章 四边形（7课时）

一、平行四边形（2课时）

1、平行四边形的性质

2、平行四边形的判定

二、特殊的平行四边形（3课时）

1、矩形

2、菱形

3、正方形

三、梯形（1课时）

四、重心（1课时）

第二十章 数据的分析（4课时）

一、数据的代表（2课时）

1、平均数

2、中位数和众数

二、数据的波动（2课时）

1、极差

2、方差

九年级上册

第二十一章 二次根式（3课时）一、二次根式（1课时）二、二次根式的乘除（1课时）三、二次根式的加减（1课时）

第二十二章 一元二次方程（6课时）一、一元二次方程（1课时）

二、降次----解一元二次方程（4课时）

1、配方法

2、公式法

3、因式分解法

4、一元二次方程的根与系数的关系（选学）

三、实际问题与一元二次方程（1课时）

第二十三章 旋转（2课时）

一、图形的旋转（0.5课时）

二、中心对称（1.5课时）

1、中心对称

2、中心对称图形

3、关于原点对称点的坐标

第二十四章 圆（9课时）

一、圆（4课时）

1、圆

2、垂直于弦的直径

3、弧、弦、圆心角

4、圆周角

二、点、直线、圆、和圆的位置关系（3课时）

1、点和圆的位置关系

2、直线和圆的位置关系

3、圆和圆的位置关系

三、正多边形和圆（1课时）

四、弧长和扇形面积（1课时）

第二十五章 概率初步（4课时）

一、随机事件与概率（2课时）

1、随机事件

2、概率

二、用列举法求概率（1课时）

三、用频率估计概率（1课时）

九年级下册

第二十六章 二次函数（4课时）一、二次函数（2课时）

二、用函数观点看一元二次方程（1课时）

三、实际问题与二次函数（1课时）

第二十七章 相似（5课时）

一、图形的相似（1课时）

二、相似三角形（3课时）

1、相似三角形的判定

2、相似三角形应用举例

3、相似三角形的周长与面积

三、位似（1课时）

第二十八章 锐角三角函数（4课时）

一、锐角三角形（2课时）

二、解直角三角形（2课时）

第二十九章 投影与视图（2课时）

一、投影（1课时）二、三视图（1课时）

必修1 第一章 集合（4课时）

一、集合与集合的表示方法（2课时）

1、集合的概念

2、集合的表示方法

二、集合之间的关系与运算（2课时）

1、集合之间的关系

2、集合的运算

第二章 函数（12课时）

一、函数（4课时）

1、函数

2、函数的表示方法

3、函数的单调性

4、函数的奇偶性

5、用计算机作函数的图象（选学）二、一次函数和二次函数（6课时）

1、一次函数的性质与图象

2、二次函数的性质与图象

3、待定系数法

三、函数的应用（Ⅰ）（习题）

四、函数与方程（2课时）

1、函数的零点

2、求函数零点近似解的一种计算方法——二分法

第三章基本初等函数（Ⅰ）（6课时）

一、指数与指数函数（2课时）

1、实数指数幂及其运算

2、指数函数

二、对数与对数函数（2课时）

1、对数及其运算

2、对数函数

3、指数函数与对数函数的关系

三、幂函数（2课时）

四、函数的应用（Ⅱ）（习题）

必修2

第一章立体几何初步（12课时）

一、空间几何体（8课时）

1、构成空间几何体的基本元素

2、棱柱、棱锥和棱台的结构特征

3、圆柱、圆锥、圆台和球

4、投影与直观图

5、三视图

6、棱柱、棱锥、棱台和球的表面积

7、柱、锥、台和球的体积

二、点、线、面之间的位置关系（4课时）

1、平面的基本性质与推论

2、空间中的平行关系

3、空间中的垂直关系

第二章平面解析几何初步（12课时）

一、平面真角坐标系中的基本公式（2课时）

1、数轴上的基本公式

2、平面直角坐标系中的基本公式

二、直线方程（4课时）

1、直线方程的概念与直线的斜率

2、直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点

式、一般式

3、两条直线的位置关系：平行、重合、垂直

4、点到直线的距离

三、圆的标准方程（4课时）

1、圆的方程

2、圆的一般方程

3、直线与圆的位置关系：三种关系

4、圆与圆的位置关系：五种关系

四、空间直角坐标系（2课时）

1、空间直角坐标系

2、空间两点的距离公式

必修3

第一章 算法初步（6课时）

一、算法与程序框图（3课时）

1、算法的概念

2、程序与框图

3、算法的三种基本逻辑结构和框图表示

二、基本算法语句（3课时）

1、赋值、输入和输出语句

2、条件语句

3、循环语句

三、中国古代数学中的算法案例（习题）

第二章 统计（8课时）

一、随机抽样（2课时）

1、简单随机抽样

2、系统抽样

3、分层抽样

4、数据的收集

二、用样本估计总体（4课时）

1、用样本的频率分布估计总体的分布

2、用样本的数字特征估计总体的数字特征

三、变量的相关性（2课时）

1、变量间的相关关系

2、两个变量的线性相关

第三章 概率（8课时）

一、事件与概率

1、随机现象

2、事件与基本事件空间

3、频率与概率

4、频率的加法公式

二、古典概型（3课时）

1、古典概型

2、概率的一般加法公式（选学）

三、随机数的含义与应用（1课时）

1、几何概型

2、随机数的含义与应用

四、概率的应用（习题）

必修四

第一章 基本初等函(Ⅱ)（14课时）

一、任意角的概念与弧度制（2课时）

1、角的概念的推广

2、弧度制和弧度制与角度制的换算

二、任意角的三角函数（6课时）

1、三角函数的定义

2、单位圆和三角函数线

3、同角三角函数的基本关系

4、诱导公式 三、三角函数的图象与性质（6课时）

1、正弦函数的图像与性质（6课时）

2、余弦函数、正切函数的图像与性质

3、已知三角函数值求角

第二章平面向量（10课时）

一、向量的线性运算（3课时）

1、向量的概念

2、向量的加法

3、向量的减法

4、数乘向量

5、向量共线的条件与轴上向量坐标运算

二、向量的分解与向量的坐标运算（3课时）

1、平面向量的基本定理

2、向量的正交分解与向量的直角坐标运算

3、用平面向量坐标表示向量共线条件

三、平面向量的数量积（4课时）

1、向量数量积的物理背景及定义

2、向量数量积的运算律

3、向量数量积得坐标运算与度量公式

四、向量的应用（习题）

1、向量在几何中的应用

2、向量在物理中的应用

第三章 三角恒等变换（6课时）

一、和角公式（2课时）

1、两角和与差的余弦

2、两角和与差的正弦

3、两角和与差的正切

二、倍角公式和半角公式（3课时）

1、倍角公式

2、半角的正弦、余弦和正切 三、三角函数的积化和差与和差化积（1课时）必修五

第一章 解直角三角形（2课时）

一、正弦定理和余弦定理（2课时）

1、正弦定理

2、余弦定理

二、应用举例（习题）

第二章 数列（6课时）

一、数列（2课时）

1、数列

2、数列的递推公式（选学）

二、等差数列（2课时）

1、等差数列

2、等差数列的前n项和

三、等比数列（2课时）

1、等比数列

2、等比数列的前n项和

第三章 不等式（8课时）

一、不等关系与不等式（2课时）

1、不等关系与不等式

2、不等式的性质

二、均值不等式（2课时）三、一元二次不等式及其解法（2课时）

四、不等式的实际应用（习题）五、二元一次不等式（组）与简单线性规划问题（2课时）

1、二元一次不等式（组）所表示的平面区域

2、简单线性规划

选修1-1 第一章 常用逻辑用语（6课时）

一、命题与量词（2课时）

1、命题

2、量词

二、基本逻辑联结词（2课时）

1、“且”与“或”

2、“非”（否定）

三、充分条件、必要条件与命题的四种形式（2课时）

1、推出与充分条件、必要条件

2、命题的四种形式

第二章 圆锥曲线与方程（9课时）

一、椭圆（3课时）

1、椭圆及其标准方程

2、椭圆的简单几何性质

二、双曲线（3课时）

1、双曲线及其标准方程

2、双曲线的简单几何性质

三、抛物线（3课时）

1、抛物线及其标准方程

2、抛物线的简单几何性质

第三章 导数及其应用（10课时）

一、导数（3课时）

1、函数的平均变化率

2、瞬时速度与导数

3、导数的几何意义

二、导数的运算（3课时）

1、常数与幂函数的导数

2、导数公式表

3、导数的四则运算法则

三、导数的应用（4课时）

1、利用导数判断函数的单调性

2、利用导数研究函数的极值

3、导数的实际应用

选修1-2

第一章 统计案例（4课时）

一、独立性检验（2课时）

二、回归分析（2课时）

第二章 推理与证明（5课时）

一、合情推理与演绎推理（3课时）

1、合情推理

2、演绎推理

二、直接证明与间接证明（2课时）

1、综合法和分析法

2、反证法

第三章 数系的扩充及复数的引入（4课时）

一、数系的扩充和复数的引入（2课时）

1、实数系

2、复数的引入

二、复数的运算（2课时）

1、复数的加法和减法

2、复数的乘法和除法

第四章 框图（2课时）

一、流程图（1课时）

二、结构图（1课时）

选修2-1 第一章 逻辑用语（4课时）

一、命题与量词（1.5课时）

1、命题

2、量词

二、基本逻辑联接词（1.5课时）

1、“且”与“或

2、“非”（否定）

三、充分条件、必要条件与命题的四种形式（2课时）

1、推出与充分条件、必要条件

2、命题的四种形式

第二章 圆锥曲线与方程（13课时）

一、曲线与方程（2课时）

1、曲线与方程的概念

2、由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质

二、椭圆（3课时）

1、椭圆的标准方程

2、椭圆的几何性质

三、双曲线（3课时）

1、双曲线的标准方程

2、双曲线的几何性质

四、抛物线（3课时）

1、抛物线的标准方程

2、抛物线的几何性质

五、直线与圆锥曲线（2课时）

第三章 空间向量与立体几何（10课时）

一、空间向量及其运算（4课时）

1、空间向量的线性运算

2、空间向量的基本定理

3、两个向量的数量积

4、空间向量的直角坐标运算

二、空间向量在立体几何中的应用（6课时）

1、直线的方向向量与直线的向量方程

2、平面的法向量与平面的向量表示

3、直线与平面的夹角

4、二面角及其度量

5、距离（选学）

选修2-2

第一章 导数及其应用（12课时）

一、导数（3课时）

1、函数的平均变化率

2、瞬时速度与导数

3、导数的几何意义

二、导数的运算（3课时）

1、常数导数与幂函数的导数

2、导数公式表及数学软件的应用

3、导数的四则运算法则

三、导数的应用（4课时）

1、利用导数判断函数的单调性

2、利用导数研究函数的极值

3、导数的实际应用

四、定积分与微积分基本定理（2课时）

1、曲边梯形面积与定积分

2、微积分基本定理

第二章 推理与证明（4课时）

一、合情推理与演绎推理（1课时）

1、合情推理

2、演绎推理

二、直接证明与间接证明（2课时）

1、综合法与分析法

2、反证法

三、数学归纳法（1课时）

1、数学归纳法

2、数学归纳法应用举例

第三章 数系的扩充与复数（4课时）

一、数系的扩充与复数的概念（2课时）

1、实数系

2、复数的概念

3、复数的几何意义

二、复数的运算（2课时）

1、复数的加法与减法

2、复数的乘法

3、复数的除法

选修2-3 第一章 计数原理（6课时）

一、基本计数原理（1课时）

二、排列和组合（3课时）

1、排列

2、组合 三、二项式定理（2课时）

1、二项式定理

2、杨辉三角

第二章 概率（7课时）

一、离散型随机变量及其分布列（2课时）

1、离散型随机变量

2、离散型随机变量的分布列

3、超几何分布

二、条件概率与事件的独立性（2课时）

1、条件概率

2、事件的独立性

3、独立重复试验与二项分布

三、随机变量的数字特征（2课时）

1、离散型随机变量的数学期望

2、离散型随机变量的方差

四、正态分布（1课时）

第三章 统计案例（4课时）

一、独立性检验（2课时）

二、回归分析（2课时）

选修4-4

第一章 坐标系（18课时）

一、直角坐标系（1课时）

1、直角坐标系

2、平面上的伸缩变换

二、极坐标系（2课时）

1、平面上点的极坐标

2、极坐标与直角坐标的关系

三、曲线的极坐标方程（1课时）

四、圆的极坐标方程（2课时）

1、圆心在极坐标上且过极点的圆

2、圆心在点（a,2）处且过极点的圆

五、柱坐标系与球坐标系（2课时）

1、柱坐标系

2、球坐标系

第二章 参数方程（9课时）

一、曲线的参数方程（2课时）

1、抛射体的运动

2、曲线的参数方程

二、直线和圆的参数方程（2课时）

1、直线的参数方程

2、圆的参数方程

三、圆锥曲线的参数方程（3课时）

1、椭圆的参数方程

2、抛物线的参数方程

3、双曲线的参数方程 四、一些常见曲线的参数方程（2课时）

1、摆线的参数方程

2、圆的渐开线的参数方程

选修4-5

第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法（8

课时）

一、不等式的基本性质和一元二次不等式的解法（2课时）

1、不等式的基本性质

2、一元一次不等式和一元二次不等式的解法

二、基本不等式（1课时）

三、绝对值不等式的解法（2课时）

1、axbc，axbc型不等式的解法

2、xaxbc，xaxbc型不等式的解法

四、绝对值的三角不等式（1课时）

五、不等式证明的基本方法（2课时）

1、比较法

2、综合法和分析法

3、反证法和放缩法

第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用（7课时）

一、柯西不等式（2课时）

1、屏幕上的柯西不等式的代数和向量形式

2、柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明

二、排序不等式（1.5课时）

三、平均值不等式（2课时）（选学）

四、最大值与最小值问题，优化的数学模型（2.5课时）

第三章 数学归纳法与贝努利不等式（4课时）

一、数学归纳法原理（2课时）

1、数学归纳法原理

2、数学归纳法应用举例

二、用数学归纳法证明不等式，贝努力不等式（2课时）

1、用数学归纳法证明不等式

2、用数学归纳法证明贝努力不等式

初高中数学知识点 篇2

阅读题: (原载《少年智力开发报》九年级人教版22期3版)

如图1, 由直角三角形边角关系, 可将三角形面积公式变形得S△ABC=1/2bc sin A (1) , 即三角形面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半.如图2, 在△ABC中, CD⊥AB于D, ∠ACD=α, ∠DCB=β.∵S△ABC=S△ADC+S△BDC, 由公式 (1) 得1/2AC·BCsin (α+β) =1/2AC·CD sinα+12BC·CD sinβ, 即AC·BC sin (α+β) =AC·CD sinα+BC·CDsinβ (2) , 你能利用直角三角形边角关系, 消去 (2) 中的AC, BC, CD吗?若不能, 说明理由;若能, 写出解决过程.

解能.将 (2) 式等号左右两边同除以AC·BC, 再利用余弦定义, 可得sin (α+β) =sinαcosβ+cosαsinβ (3) , 这正是高中数学中的两角和的正弦公式!受此启发, 我们作其他推导.

本文中约定:所出现的角全部为锐角, 三角函数全部为锐角三角函数, 诸如三角函数值的唯一性、正弦、余弦的递增递减性、正弦余弦正切间的基本等量关系都是初中所学, 不再一一列举.

利用 (3) , sinα=sin (α-β+β) =sin (α-β) cosβ+cos (α-β) sinβ (A) .

又∵sin2 (α-β) +cos2 (α-β) =1 (B) ,

可设sin (α-β) =x, cos (α-β) =y, 则

整理为x2-2sinα·cosβx+sin2α-sin2β=0.

代入求根公式, 得x=sinαcosβ±sinβcosα.

利用 (3) , 而sin (α-β) 只有唯一值,

∴sin (α-β) =sinαcosβ-cosαsinβ (6) .

另利用 (C) 及 (6) 式, 得

即cos (α-β) =sinαsinβ+cosαcosβ (9) .

又∵cos2 (α+β) =1-sin2 (α+β) =1- (sinαcosβ+cosαsinβ) 2= (sinαsinβ-cosαcosβ) 2,

∴cos (α+β) =|sinαsinβ-cosαcosβ|.

如何去绝对值呢?若0°<α+β<90°, 则β<90°-α.

∴cos (α+β) =cosαcosβ-sinαsinβ (10) .

利用 (3) 、 (4) 、 (5) 得sin3α=sin (2α+α) =sin2αcosα+cos2αsinα.=3sinα-4sin3α, 即sin3α=3sinα-4sin3α (13) .

下面再推导三个重要结论.首先 (1) 式可扩充为, 将后边等式同除以, 此即正弦定理.如图2, △ABC为一个任意的锐角三角形, 其对边分别为a, b, c, 作CD⊥AB, 垂足为D, 则a2=CD2+DB2=b2-AD2+ (c-AD) 2=b2+c2-2c AD.

又∵AD=b cos A, ∴a2=b2+c2-2b c cos A (15) ,

此即余弦定理.

将 (1) 适当因式分解, 得

此即海伦公式.

关于数学初高中衔接的若干知识点 篇3

1.因式分解的定义

把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。

2.因式分解的方法

初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法、求根公式法、换元法等。

初中所学习的因式分解方法是针对形如x2+（p+q）x+pq这样的二次项系数为1的二次三项式，注意在x2+（p+q）x+pq中x的可以是一个字母，也可以是一个单项式、多项式。与初中相比，只是常数项还含有字母，方法都是一样的。

十字相乘法在解题时是一个很好用的方法，也很简单。这种方法有两种情况：

（1）x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）。

（2）kx2+mx+n型的式子的因式分解

如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m时，那么kx2+mx+n=（ax+c）（bx+d）。

二、不等关系与不等式的初高中衔接

1.不等式的定义

在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号＞、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式。

2.不等式的性质

（1）对称性：a＞b?圳b＜a

（2）传递性：a＞b，b＞c?圳a＞c

（3）可加性：a＞b?圳a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d?圯a＋c＞b＋d；

（4）可乘性：a＞b，c＞0?圯ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0?圯ac＞bd

（5）可乘方：a＞b＞0?圯an＞bn（n∈N，n≥2）

（6）可开方：a＞b＞0?圯■＞■（n∈N，n≥2）

3.两条常用性质

（1）倒数性质：若a＞b，ab＞0?圯■＜■；若a＜0＜b?圯■＜■；若a＞b＞0,0＜c＜d?圯■＞■；若0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0?圯■＜■＜■。

（2）若a＞b＞0，m＞0，则①真分数的性质：■＜■；■＞■（b－m＞0）；②假分数的性质：■＞■；■＜■（b－m＞0）。

三、一元二次不等式解法的初高中衔接

1.一元二次不等式

一元二次不等式经过变形，标准形式：①ax2+bx+c＞0（a＞0）；②ax2+bx+c＜0（a＞0）。

2.一元二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的关系

一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是使二次函数y=ax2+bx+c的函数值为零时对应的x值，一元二次不等式ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0的解就是使二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于零或小于零时x的取值范围，因此解一元二次方程ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0一般要画与之对应的二次函数y=ax2+bx+c的图像。

3.一元二次不等式解法步骤

（1）化简（将不等式化为不等号右边为0，左边的最高次项系数为正）

（2）首先考虑分解因式；不易分解则判断，当时解方程（利用求根公式）

（3）画图写解集（能取的根打实心点，不能去的打空心）

四、绝对值不等式的初高中衔接

初中知识回顾：

1.含绝对值不等式的解法（关键是去掉绝对值）

（1）利用绝对值的定义：（零点分段法）

|x|= x x≥0-x x<0

（2）利用绝对值的几何意义：|x|表示x到原点的距离。

2.知识拓展

（1）|ax+b|>c(c>0)或|ax+b|0)的解法|ax+b|>c?圳ax+b>c或ax+b<-c；|ax+b|（2）|f(x)|>g(x)或|f(x)|g(x)?圳f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)；|f(x)|

（3）|f(x)|>|g(x)|或|f(x)|<|g(x)|的解法：|f(x)|>|g(x)|?圳f2(x)>g2(x)|f(x)|<|g(x)|?圳f2(x)

（4）|x-a|±|x-b|的几何意义：数轴上的动点x到两个定点a,b的距离之和（差）。

主要方法：解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式进行求解。

高中数学知识点总结 篇4

1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

中元素各表示什么？

A表示函数y=lgx的定义域，B表示的是值域，而C表示的却是函数上的点的轨迹 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B最多只有一个元素。故B只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3.但是，这里千万小心，还有一个B为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。

3.注意下列性质：

要知道它的来历：若B为A的子集，则对于元素a1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a2, a3,......an,都有2种选择，所以，总共有种选择，即集合A有个子集。

当然，我们也要注意到，这种情况之中，包含了这n个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为，非空真子集个数为

（3）德摩根定律：

有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂

4.你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）的取值范围。

注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过； 如告诉你函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在上单调递减，在上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者，我说在上，也应该马上可以想到m，n实际上就是方程 的2个根

5、熟悉命题的几种形式、命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）满足条件，满足条件，若 ；则是的充分非必要条件； 若 ；则是的必要非充分条件； 若 ；则是的充要条件；

若 ；则是的既非充分又非必要条件；

7.对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B的映射个数有nm个。

如：若，；问：到的映射有 个，到的映射有 个；到的函数有 个，若，则到的一一映射有 个。

函数的图象与直线交点的个数为 个。

8.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）

相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)

9.求函数的定义域有哪些常见类型？

函数定义域求法： * 分式中的分母不为零；

* 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； * 指数式的底数大于零且不等于一；

* 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。* 正切函数 * 余切函数

* 反三角函数的定义域

函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1]，值域是，函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1]，值域是 [0, π]，函数y＝arctgx的定义域是 R，值域是.，函数y＝arcctgx的定义域是 R，值域是(0, π).当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。

10.如何求复合函数的定义域？

义域是_____________。

复合函数定义域的求法：已知的定义域为，求的定义域，可由解出x的范围，即为的定义域。

例 若函数的定义域为，则的定义域为。

分析：由函数的定义域为可知：；所以中有。

解：依题意知：

解之，得 ∴ 的定义域为

11、函数值域的求法

1、直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 求函数y=的值域

2、配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数y=-2x+5，x[-1，2]的值域。

3、判别式法

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面 下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂

4、反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 求函数y=值域。

5、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例 求函数y=，的值域。

6、函数单调性法

通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 例求函数y=（2≤x≤10）的值域

7、换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角

函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发

挥作用。

例 求函数y=x+的值域。8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这

类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例：已知点P（x.y）在圆x2+y2=1上，例求函数y=+的值域。

解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣ 上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。由上图可知：当点P在线段AB上时，y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10 故所求函数的值域为：[10，+∞）例求函数y=+ 的值域

解：原函数可变形为：y=+

上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，y=∣AB∣==，故所求函数的值域为[，+∞）。例求函数y=-的值域 解：将函数变形为：y=-

上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B（-2，1）到点P（x，0）的距离之差。即：y=∣AP∣-∣BP∣ 由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P1，则构成△ABP1，根据三角形两边之差小于第三边，有 ∣∣AP1∣-∣BP1∣∣＜∣AB∣== 即：-＜y＜（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有 ∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣=。综上所述，可知函数的值域为：（-，-）。

注：求两距离之和时，要将函数式变形，使A，B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A，B在x轴的同侧。9、不等式法

利用基本不等式a+b≥2，a+b+c≥3（a，b，c∈），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例：

倒数法

有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况 例 求函数y=的值域

多种方法综合运用

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

12.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 切记：做题，特别是做大题时，一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂

13.反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题：

(2004.全国理)函数的反函数是（B）A．y=x2－2x+2(x<1)B．y=x2－2x+2(x≥1)C．y=x2－2x(x<1)D．y=x2－2x(x≥1)

当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想，一番心血之后，如果不出现计算问题的话，答案还是可以做出来的。可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯计算。下面请看一下我的思路：

原函数定义域为 x〉=1，那反函数值域也为y>=1.排除选项C,D.现在看值域。原函数至于为y>=1,则反函数定义域为x>=1, 答案为B.我题目已经做完了，好像没有动笔（除非你拿来写*书）。思路能不能明白呢？

14.反函数的性质有哪些？ 反函数性质：

1、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的x对应原函数中的y）

2、反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的x）

3、反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线y=x对称

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如（04.上海春季高考）已知函数，则方程的解__________.1 对于这一类题目，其实方法特别简单，呵呵。已知反函数的y,不就是原函数的x吗？那代进去阿，答案是不是已经出来了呢？（也可能是告诉你反函数的x值，那方法也一样，呵呵。自己想想，不懂再问我.如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）

判断函数单调性的方法有三种：(1)定义法：

根据定义，设任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之间的大小关系

可以变形为求的正负号或者与1的关系(2)参照图象：

①若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性；（特例：奇函数）②若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数）(3)利用单调函数的性质：

①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数)是同向变化的

②函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们是反向变化的。

③如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加）

④如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）

⑤函数f(x)与在f(x)的同号区间里反向变化。

⑥若函数u＝φ(x)，x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递增的；若函数u＝φ(x),x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β)，φ(α)]反向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递减的。（同增异减）⑦若函数y＝f(x)是严格单调的，则其反函数x＝f－1(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。

f(g)g(x)f[g(x)] f(x)+g(x)f(x)*g(x)都是正数增增增增增增减减 / / 减增减 / / 减减增减减

∴......）

16.如何利用导数判断函数的单调性？

值是（）

A.0 B.1 C.2 D.3

∴a的最大值为3）

17.函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称）

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

判断函数奇偶性的方法

一、定义域法

一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数..二、奇偶函数定义法

在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.三、复合函数奇偶性

f(g)g(x)f[g(x)] f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶

18.你熟悉周期函数的定义吗？

函数，T是一个周期。）

我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t.推导：，同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称，对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。

如：

19.你掌握常用的图象变换了吗？ 联想点（x,y）,(-x,y)联想点（x,y）,(x,-y)联想点（x,y）,(-x,-y)联想点（x,y）,(y,x)联想点（x,y）,(2a-x,y)联想点（x,y）,(2a-x,0)

（这是书上的方法，虽然我从来不用，但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。）注意如下“翻折”变换：

19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(k为斜率，b为直线与y轴的交点)的双曲线。

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系--二次方程

②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。④一元二次方程根的分布问题。

由图象记性质！（注意底数的限定！）

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？（均值不等式一定要注意等号成立的条件）

20.你在基本运算上常出现错误吗？

21.如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）

（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了

1、代y=x，2、令x=0或1来求出f(0)或f(1)

3、求奇偶性，令y=-x；求单调性：令x+y=x1

几类常见的抽象函数 1.正比例函数型的抽象函数

f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y）2.幂函数型的抽象函数

f（x）＝xa----------------f（xy）＝ f（x）f（y）；f（）＝ 3.指数函数型的抽象函数

f（x）＝ax-------------------f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝ 4.对数函数型的抽象函数

f（x）＝logax（a>0且a≠1）-----f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（）＝ f（x）－f（y）

5.三角函数型的抽象函数

f（x）＝tgx--------------------------f（x＋y）＝ f（x）＝cotx------------------------f（x＋y）＝

例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝ －2求f(x)在区间[－2,1]上的值域.分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；再根据区间求其值域.例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝ 5，求不等式 f（a2－2a－2）<3的解.分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脱去函数符号.例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1].（1）判断f（x）的奇偶性；

（2）判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；（3）若a≥0且f（a＋1）≤，求a的取值范围.分析：（1）令y＝－1；

（2）利用f（x1）＝f（·x2）＝f（）f（x2）；

（3）0≤a≤2.例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：（1）f（0）；

（2）对任意值x，判断f（x）值的符号.分析：（1）令x= y＝0；（2）令y＝x≠0.例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝ f（a）f（b），a、b∈N；③f（2）＝4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.分析：先猜出f（x）＝2x；再用数学归纳法证明.例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：（1）f（1）；

（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.分析：（1）利用3＝1×3；

（2）利用函数的单调性和已知关系式.例7设函数y＝ f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由.分析：设f（a）＝m，f（b）＝n，则g（m）＝a，g（n）＝b，进而m＋n＝f（a）＋f（b）＝ f（ab）＝f [g（m）g（n）]....例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件： ① x1、x2是定义域中的数时，有f（x1－x2）＝； ② f（a）＝ －1（a＞0，a是定义域中的一个数）； ③ 当0＜x＜2a时，f（x）＜0.试问：

（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由；

（2）在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由.分析：（1）利用f [－（x1－x2）]＝ －f [（x1－x2）]，判定f（x）是奇函数；（3）先证明f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数.对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y），（1）求证：f（1）＝f（－1）＝0；（2）求证：f（x）为偶函数；

（3）若f（x）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－）≤0.分析：函数模型为：f（x）＝loga|x|（a＞0）（1）先令x＝y＝1，再令x＝y＝ －1；（2）令y＝ －1；

（3）由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（|x|）.例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，求证：（1）当x＞0时，0＜f（x）＜1；（2）f（x）在x∈R上是减函数.分析：（1）先令x＝y＝0得f（0）＝1，再令y＝－x；（3）受指数函数单调性的启发：

由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝，进而由x1＜x2，有＝f（x1－x2）＞1.练习题：

1.已知：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x、y都成立，则（）

（A）f（0）＝0（B）f（0）＝1

（C）f（0）＝0或1（D）以上都不对

2.若对任意实数x、y总有f（xy）＝f（x）＋f（y），则下列各式中错误的是（）

（A）f（1）＝0（B）f（）＝ f（x）

（C）f（）＝ f（x）－f（y）（D）f（xn）＝nf（x）（n∈N）

3.已知函数f（x）对一切实数x、y满足：f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，则当x＞0时，f（x）的取值范围是（）

（A）（1，＋∞）（B）（－∞，1）

（C）（0，1）（D）（－1，＋∞）

4.函数f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有

f（x1－x2）＝，则f（x）为（）

（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数

（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数

5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y）]，则函数f（x）是（）

（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数

（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数

参考答案： 1．A 2．B 3．C 4．A 5．B 23.你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？

高中数学必修知识点 篇5

必修3

总的来说这一本书难度不大，只是比较繁琐，需要有耐心的去画图去计算。 程序框图与三种算法语句的结合，及框图的算法表示，不要用常规的语言来理解，否则你会在这样的题型中栽跟头。 秦九韶算法是重点，要牢记算法的公式。 统计就是对一堆数据的处理，考试也是以计算为主，会从条形图中计算出中位数等数字特征，对于回归问题，只要记住公式，也就是个计算问题。 概率，主要就只几何概型、古典概型。几何概型只要会找表示所求事件的长度面积等，古典概型只要能表示出全部事件就可以。

高中数学知识的变式教学实践 篇6

关键词：变式,高中数学知识,变式教学

变式是指变换问题的条件或表征，而不改变问题的实质，只改变其形态;变式是对于某种范式的变化形式，不断变更问题的情境或改变思维的角度，在保持事物的本质特征不变的情况之下，事物的非本质属性不断迁移的变化方式[1]。

在实际教学时，通过变式训练使学生深刻理解本质属性，排除事物的非本质属性的干扰，从而形成正确的概念，一直是数学教育研究的热点;在习题方面，通过变式练习，使学生形成基本运算和迁移知识的能力，最终达到提高学生能力的目的，也是教师们一直追求的目标。

变式教学的理论基础来自于建构主义学习论：数学学习不应被看成纯粹的个人行为，也即对于知识的被动接受和简单积累，而应被看成个体在一定社会环境中的建构活动 (意义赋予) ，新、旧知识 (和经验) 的组织与重组，是形式建构与“具体化”的辩证统一。真正的数学教学应具有如下几个特征： (1) 在学习目标方面，表现为对知识的深层次的理解; (2) 在学习过程中，表现为高水平的思维; (3) 在学习的情境方面，表现为师生，生生之间的充分沟通，合作[2]。在学习活动中，教师应在肯定学生主体地位的前提下，在教学活动中起主导作用，教师需要就学习内容设计出有思考价值，符合学生认知发展规律，能激发学生兴趣的问题，创设平等、自由的学习氛围，充分开展师生、生生之间的交流与合作学习，引导学生通过持续的分析、探索、假设、检验去解决问题，提升探究数学知识的能力。

安德森将知识分为陈述性知识和程序性知识。陈述性知识是关于“是什么”的知识，是对事实、定义、规则和原理等的描述。程序性知识则是关于“怎么做”的知识，如怎样进行推理、决策、或者解决某类问题等[3]。喻平(2000)认为数学知识的分类按照广义的知识分类是合适的，他将数学知识分为陈述性知识和程序性知识。学生的学习常常从陈述性知识的获得开始，而后进一步加工消化，成为可以灵活、熟练应用的程序性知识。

高中数学学习的内容跨度大、抽象性强，只有促进高中学生对数学知识的深刻理解，才能达到掌握和灵活应用数学知识的目的。人们对知识的深刻理解都具有一定的时空性、阶段性和渐进性，因此，只有在变化环境下反复理解，学生的认识才能不断深入。

在变式教学中，变式练习是陈述性知识转化为程序性知识点的关键环节。变式练习就是指在其他教学条件不变的情况下，概念和规则等程序性知识的例证的变化。变式练习可以让学生在练习过程中，通过多角度的分析、比较、联系，去深刻理解问题的结构和解决策略。下面通过两个例子来谈一下变式练习在实际教学中的应用。

题目1：(高中数学新教材第二册(上)P130例2)直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A、B两点，求证：OA⊥OB。

本题是课本上一道习题，下面对其进行变式探究。推广变式：由原式知y=x-2与x轴交点坐标为(2, 0)，对抛物线y2=2x中p=1，将此抛物线方程推向一般情况，则得到下列变式：

变式1：直线l过定点(2p, 0)，与抛物线y2=2px (p>0)交于A、B两点，O为原点，求证：OA⊥OB。

如果我们将上题中的图形中新加载另一个图形圆，则可有下面的试题：

变式2： (2004年重庆高考理科卷)设p>0是一常数，过点Q (2p, 0)的直线与抛物线y2=2px交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H (H为圆心)。试证抛物线顶点在圆H的圆周上;并求圆H的面积最小时直线AB的方程。

由变式1可知OA⊥OB，即点O在圆H上，因H为圆心，故H为AB的中点。由中点坐标公式可以求出

显然OH为圆的半径，且，所以当n=0时，圆的半径最小。此时AB的方程为x=2p。

当然我们还可以对此题进行逆向研究，即将此题变式1的条件和结论进行互换得到下列命题：

变式3：若A、B为抛物线y2=2px (p>0) 上两个动点，O为原点，且OA⊥OB，求证：直线AB过定点。

过定点问题是一个高考中的热点，而通过这样的变式不仅让学生的思维活跃起来，而且能引发学生去主动地思考问题和解决问题。本题只要设出A、B两点坐标，根据这两点满足抛物线方程和垂直的条件即可证明此问题。对本问题稍微改变一下设问则可得到下面试题：

变式4： (2001春季高考题) 设点A、B为抛物线y2=4px (p>0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB, OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明轨迹表示什么曲线。

解有上面的变式可知AB过定点N (4p, 0), OM⊥AB圯OM⊥MN，所以点M的轨迹是以ON为直径的圆(除原点)，其方程也可求出。

思考：直线与圆锥的位置的关系问题是多年来高考重点考查的内容，该题以抛物线和直线为载体全面考查解析几何的思想与方法，通过变式练习层层推进知识的发生发展过程，符合学生的认知规律，使得学生在知识和能力上有一定的收获和提高。

题目2：(高中数学新教材第二册(下A、B) P131例2)在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有一个开关能够闭合，线路就能正常工作。假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率。

本题比较容易, 但是我们可借助本题进行如下变式探究:

将已知中的条件变形如下:

变式1：假设三个开关全部串联，在其余条件不变的情况下，怎样求线路正常工作的概率?

解:设这三个开关能闭合为事件A, B, C, 则可求得概率为P (A) ·P (B) ·P (C) =0.73=0.343。

变式2：若其中2个开关串联后再与两外一个并联，在其余条件不变的情况下，如何求线路正常工作的概率?

假设三个开关为MA, MB, MC由已知MA, MB串联，再与MC并联，则线路正常工作的概率为1-[1-P (A) ·P (B)]·[1-P (C) ]=1- (1-0.72) (1-0.7) =0.847。

变式3：若其中两个开关并联后与另一个开关串联，在其余条件不变的情况下如何求线路正常工作的概率?

假设由已知并联，再与串联，则得

变式4： (2001年天津高考理科卷)用A、B、C三类不同的元件联结两个系统，当元件A、B、C都能正常工作时，系统N1能正常工作;当元件A正常工作，元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2能正常工作，已知元件A、B、C正常工作的概率分别为0.8, 0.9, 0.9，分别求系统正常工作的概率。

可以看出这一例题是以上变式的综合变形，这样使得学生经过类比、分析，不断对问题进行深入理解。这种一题多变的变式教学能够完善学生的知识结构和认知结构。其实还可以深入进行思考：

以上4个变式只是对3个开关的连接，假设有4个或者多个呢?会有怎样的情况发生?将上述题目题变成开放式的问题：

变式5：若该线路友4个开关(串、并)联结而成，已知每个开关能够闭合的概率都是0.8，若要求线路正常工作的概率(称为可靠度)大于0.85，请设计开关的联结方式。进一步引导学生分类讨论思考。上题可分析共有7种联结方式，详情也请读者思考。这里不再详细赘述。

著名的教育家波利亚曾说：“好问题跟某种蘑菇有些像，它们都成堆生长，找到一个以后，应该在周围再找找，很可能附近就有好几个。”由此在数学教学中，若通过变式教学，引导学生从一个问题出发，运用类比、特殊化，一般化的方法去探索问题的变化，则能使学生发现问题的本质，去揭示其中的数学思想。所以恰当合理深入的变式教学使得课堂变得生动活泼，学生爱学，老师乐教，这样既有利于学生学习知识，又有利于培养学生的创新能力。

参考文献

[1]丁殿坤, 边平勇.变式在高等数学中的应用.高等函授学报, 2010.

[2]谢景力.数学教学的变式及实践研究[D].2006.

美国高中数学教材知识设置研究 篇7

1 AMSCO高中数学教材及课程标准学习内容

下表1、表2、表3分别列出美国AMSCO学术出版公司高中代数（一）、几何、代数（二）教材内容.

AMSCO代数（二）中三角函数的学习较为系统和完整：三角函数的图像和性质、三角恒等式、三角方程、三角函数应用等，表3中函数的代数变换主要讲函数的复合变换性质：（f+g）（x）=f（x）+g（x）， （f-g）（x）=f（x）-g（x），（fg）（x）=f（x）g（x），（f/g）（x）=f（x）/g（x）等性质及其应用.

2 AMSCO教材整体知识结构比较分析

2.1 AMSCO数学教材内容相对比较简单

从表1可以看出，美国高中教材中很多内容比中国大陆现行教材中的内容简单很多，例如：代数（一）中分式的近似值、有效数字、小数点后小数保留位数、无理数、乘法和除法、代数式的加减、解一次方程和一次不等式等，几何中的直线、线段、角和三角形全等等内容，上述内容都是中国新课程教材中初中就需要学习的内容，还有比例和比率这样的内容在中国都属于小学和初中的必修内容.

2.2 AMSCO教材的代数、几何和概率之间总体上体现出各模块分割编写

从表1、表2、表3 内容可以看到，代数（一）和代数（二）的内容总体上按照数与代数→函数→三角→概率统计这样的顺序编排知识点，几何部分按照几何概念→平面几何→解析几何→立体几何这样的顺序编排，也有少量的不同模块知识混合编写的情况，例如代数（一）教材中也有几何内容出现：几何图形、面积和体积、直角三角形等，而几何教材中有三角运算内容.

2.3 超越方程仍然是美国高中代数教材的重点内容

从美国代数（二）教材内容看，中国上世纪80—90年代使用的全国通用高中数学教材中的指数方程、对数方程、三角函数、三角方程等内容仍然是美国高中教材中的主要内容，上述内容是在学习指数函数、对数函数、三角函数及简单代数方程基础上的升华内容，也是对线性方程等简单代数知识的拓广和加深.

2.4 三角函数的知识脉络结构和中国大陆旧教材风格相似

美国教材中对三角函数的学习也通过比例→直角三角形中的三角比→一般三角形中的三角函数→广泛意义上的角的三角函数这样的顺序来学习，这种风格和中国上世纪80—90年代使用的全国通用高中数学教材中三角函数的知识脉络安排相似，这种风格从形象到抽象、从数到代数形式，逐渐过渡，应该是符合学生心理发展规律的，而且，美国教材沿袭西欧传统风格，这种知识结构安排方式应该是久经实验、比较有效的范式.

2.5 欧式几何知识的学习仍然是美国高中数学学习的主要内容

从上述表1、表2、表3内容看，欧式几何的基本内容仍然是美国高中学生数学学习的重要组成部分，并且基本上还是按照《几何原本》的公理体系结构模式来安排知识顺序，先是几个公设作为基础，在公设基础上推理出定理和性质，《几何原本》的公里体系模式以及严格的推理证明方法是训练逻辑思维的基本而有效的方法.虽然对欧式几何的争议一直未断，但是现在看来欧几里得并没有从西方数学教材中“滚蛋”.

2.6 知识呈现方式细腻而精致

AMSCO教材中数学知识的呈现详细而细腻，例题先分析再解题，步骤完整而精致，整本书知识呈现“如烹小鲜”，娓娓道来，步步为营，节奏有序而平稳，练习题按照难度分层设计：PART Ⅰ、PARTⅡ、PART Ⅲ；几何内容的学习也是预先学习证明方法：归纳推理，充要条件（difinition as biconditionals），演绎推理，直接和间接证明，假设、定理和证明，条件（笔者：或题设）的加和减，等量代换、等量乘等量，等量除等量，等量的平方和开方，再学习具体几何知识的证明：平面几何、解析几何、立体几何.

3 结论与启示

3.1 按照数学知识分模块编写教材仍然在美国被采用值得思考

全球各国数学教育界一度曾热议可否打破数学知识模块之间的籓篱，让不同的数学分支内容之间相互融合、相互渗透、相互支撑，还原数学发展过程中的本来面目，包括中国大陆在内的各国数学教材也做了很多尝试，但是数学本身的发展过程漫长而零碎，缺乏系统性，要让学生在短短3、4年内完成较多的数学内容的学习，分模块学习也许是必要的，传统知识编排模式在英国和俄罗斯教材中仍然保持，当然，打破不同数学分支之间的籓篱，能融会贯通地学习数学，能让学生体会到数学的本来面目，有利于学生今后对数学的学习和应用以及自身的发展，但是需要编写教材的人有很扎实的数学功底和开阔的数学视野，同时也要具备教育学、心理学知识，才能编写出学习效率较高的教材来.

3.2 精致而细腻的知识呈现模式适合基础薄弱的学生学习

中国大陆上世纪80—90年代的高中教材全国通用，一纲二本，考虑到不同地区学生的基础差异，编写了两种版本的教材供学生选用：甲种本和乙种本，均由人民教育出版社编写出版，依据当时的数学教学大纲编写，乙种本稍微简单，但是知识呈现更加细致，细节性知识减少，笔者经历了这两种版本教材在不同学校使用的效果，很多采用乙种本的学校，学生学习成绩反而优于采用甲种本的学校，AMSCO教材的知识呈现模式细致而繁杂，表2的几何内容就洋洋洒洒600多页，对成绩优秀的学生看来可能没有必要，但是对于数学底子薄弱的学生来讲却非常有必要，所有概念都罗列出来，例题解题过程完整而仔细，有利于学生对知识的归纳，也有利于学生学习到规范的解题方法和思维模式.

参考文献

[1]王奋平，喻平.英国高中数学教材只是整体结构设计研究〔J〕.数学教育学报，2013（5）：32-36.

[2]王奋平.中、英高中数学教材复数内容比较研究 〔J〕.数学教育学报，2011（6）：51-55.

[3]王奋平.中、英高中数学教材比较研究 〔J〕.数学教育学报，2011（4） ：83-86.

[4]王奋平，孔凡哲.中、英高中数学教材比较研究〔J〕.中学数学教学参考，2012（7）：35-37.

[5]王奋平.英国两种高中数学教材比较研究 〔J〕.数学教育学报，2013（4）：76-80.

[6] Ann，Xavier ，et. ALGEBRA1， ALGEBRA2 AND TRIGONOMETRY， Geometry

〔M〕. AMSCO SCHOOL PUBLISHER （1998）