生活中的反比例函数

生活中的反比例函数（通用6篇）

生活中的反比例函数 篇1

反比例函数内容看似简单,就是定义、图象、性质,但实际中考题型中,它与图形的面积经常交汇在一起,是中考命题热点之一,下面举例谈谈此类问题的常见题型及解法 .

一、直接利用面积公式求图形面积

例1如图1,两个反比例函数y =1 /x和y = -2/ x的图象分别是l1和l2. 设点P在l1上, PC⊥x轴,垂足为C,交l2于点A,PD⊥y轴,垂足为D,交l2于点B,则三角形PAB的面积为 ( )

A. 3 B. 4 C.9/ 2. D. 5

解析: 可设P( a,1/ a) ,∵P和A的纵坐标相同,又A在l2上,可得A点的纵坐标为 -2/ a,∴PA =3/ a. P点和B点的纵坐标相同,同理可得B点横坐标为 - 2a,即PB = 3a,所以三角形PAB的面积为1/ 2×3 /a×3a = 9/ 2. 故选C.

点评: 结合反比例函数的图象表示出点P、A、B的坐标是解题的关键,然后根据直角三角形的面积公式求出结论.

例2如图2,点A是反比例函数y = -6/ x ( x < 0) 的图象上的一点,过点A作平行四边形ABCD,使点B、C在x轴上,点D在y轴上,则平行四边形ABCD的面积为( )

A. 1 B. 3 C. 6 D. 12

解析: 平行四边形S = 底×高,由图可知,底为AD的长,即A点的横坐标的绝对值,高即为A点的纵坐标的绝对值,设故答案: C.

点评: 本题考查了反比例函数的性质及平行四边形面积的计算方法,是一道比较灵活的题目,要应用数形结合的思想解答.

二、利用和、差求图形面积

例3如图3,已知双曲线y =k /x和直线y = mx + n交于点A和B,B点的坐标是 ( 2,3) ,AC垂直y轴于点C,AC =3 /2;

( 1) 求双曲线和直线的解析式; ( 2) 求△AOB的面积 .

分析: ( 1) 已知双曲线与一次函数图像交点信息,确定两个函数的解析式问题,反比例函数解析式仅仅需要一个已知点,一次函数解析式的确定需要已知两个点的坐标,显然根据点C坐标,确定双曲线上点A坐标是解答一次函数解析式的关键,注意代入法的灵活运用; ( 2) 计算图象构造的三角形的面积,一般是取与坐标轴上的某边,或者是与坐标轴平行的一边为基础计算面积 .

解: ∵点B在反比例函数y =k /x图象上,∴ - 3 =k /2,k = - 6,

∴双曲线的解析式是y = -6 /x,当AC =3 /2时,由y = -6 /x,y = 4,所以点A坐标是( -3 /2, 4) .

∵点AB都在直线解得:

∴直线AB的解析式是y = - 2x + 1.

( 2) 设直线y = - 2x + 1与y轴的交点是点D( 图4) ,当x = 0时,由y = - 2x + 1得y = 1,所以点D坐标是( 0,1),

点评: 确定函数的解析式是待定系数法,一般解析式有几个待定系数法即需要已知几个点的坐标,注意先易后难,即是先确定反比例函数解析式,进而确定一个点中的未知的某种坐标,为一次函数( 或者是二次函数) 的解析式作准备,与函数图象有关的图形面积计算,注意图形的转化.

例4如图5,已知一次函数y1= x + m的图象与反比例函数y2= 6/ x的图象交于A、B两点,已知当x > 1时,y1> y2; 当时0 < x < 1时,y1< y2.

( 1) 求一次函数的解析式;

( 2) 已知一次函数在第一象限上有一点C到y轴的距离为3,求△ABC的面积.

分析: ( 1) 根据题意及图像可以确定点A坐标( 1,6) . 代入一次函数解析式即可求出m.

( 2) 过点B作直线BD平行于x轴,交AC的延长线于D. 把求△ABC的面积转化为求△ABD和△CBD的面积差.

解: ( 1) 根据题意,由图像可知点A的坐标为( 1,6) ,代入y1= x + m中,得,m = 5,∴一次函数的解析式为: y1= x + 5.

( 2) 如图6,过点B作直线BD平行于x轴,交AC的延长线于D.

∵点C到y轴的距离为3,∴C点的横坐标为3. 又C在双曲线上,∴y =6 /3= 2,即C( 3,2) .

∵直线y = x + 5和双曲线6/ x交于点A,B.

设AC的解析式为y = k1x + b1,把点A( 1,6) ,点C( 3,2) 代入得

解得k1= - 2,b1= 8,∴y = 2x + 8. 当y = - 1时 - 1 = - 2x + 8,x = 4. 5,即点D( 4. 5,- 1)

点评: 本题考查了反比例函数的综合运用. 关键是通过反比例函数的性质确定点A的坐标,从而求出一次函数的解析式,而求和图像相关的三角形的面积往往要把它分解成边在x轴或y轴上的三角形的面积和或差,或是有平行于x、y轴边的三角形的面积和或差来解决.

三、利用反比例函数中k的几何意义求图形面积

一般地,如图7,过双曲线上任一点A作x轴、y轴的垂线AM、AN,所得矩形AMON的面积为:

这就是说,过双曲线上任一点,做X轴、Y轴的垂线,所得矩形的面积为| k | ,这是系数k的几何意义,明确了k的几何意义会给解题带来许多方便 .

例5如图8,A、B是函数y =2 /x的图像上关于原点对称的任意两点,BC∥x轴,AC∥y轴,△ABC的面积记为S,则( ) .

A. S = 2 B. S = 4

C. 2 < S < 4 D. S > 4

解析: 设点A的坐标为( x,y) 则xy = 2,由于A、B是关于原点对称的任意两点,得点B的坐标为( - x,- y) ,又因为BC∥x轴,AC∥y轴,所以点C的坐标为( x,- y) ; 所以AC = 2y,BC = 2x,△ABC的面积记S =1 /2×2x×2y = 2xy = 4. ( 也可由平行得相似,再由面积比等于相似比的平方得出答案) 故选B.

点评: 此题主要考查反比例函数的比例系数的几何意义及关于原点对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数; 在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数.

例6如图9,点A在双曲线y =1/ x上,点B在双曲线y =3/ x上,且AB∥x轴,点C和点D在x轴上,若四边形ABCD为矩形,则矩形ABCD的面积为____ .

解析: 根据双曲线的图象上的点向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S与k的关系S = | k |即可判断. 过A点作AE⊥y轴,垂足为E,∵点A在双曲线y =1/ x上,∴四边形AEOD的面积为1,∵点B在双曲线y =3/ x上,且AB∥x轴,∴四边形BEOC的面积为3,∴四边形ABCD为矩形,则它的面积为3 - 1 = 2. 答案: 2.

点评: 本题主要考查了反比例函数y =k /x中k的几何意义,即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为| k | ,是经常考查的一个知识点; 这里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解k的几何意义.

四、依据面积确定函数解析式

例7如图10,在直角坐标系中,正方形的中心在原点O,且正方形的一组对边与x轴平行. 点P( 3a,a) 是反比例函数y =k/ x的图象与正方形的一个交点. 若图中阴影部分的面积为9,则这个反比例函数的解析式为_____ .

解析: 如图11,根据正方形是以点O为中心对称图形,将第三象限部分绕点O顺时针旋转180°,恰好与第一象限重合. 所以正方形的面积为9×4 = 36,所以正方形边长为6. 正方形又是轴对称图形,P( 3a,a) 是反比例函数y = k/ x( k > 0) 的图象的点,所以正方形边长为3a×2 = 6a,于是a = 1. 所以k = 3×1 = 3. 反比例函数解析式为y =3/ x.

点评: 本题借助正方形、反比例函数均为中心对称图象特点,化零为整的思想,把复杂问题巧妙地解决,是一道较新颖创新题.

例8如图12,正方形ABOC的边长为2,反比例函数y =k/ x的图象经过点A,则k的值是( ) .

A. 2 B. - 2 C. 4 D. - 4

解析: ∵正方形ABOC的边长为2,∴A的坐标( - 2,2) .

∴把A点坐标代入答案: D.

点评: 此题考查反比例函数系数k的几何意义,一般方法是求出一个点的坐标,代入y = k /x即可. 简单方法是反比例函数上的点与两坐标轴围成矩形的面积就是| k | ,图像在一、三象限,k取正; 在二、四象限,k取负.

例9如图13,双曲线y =k/ x( k≠0) 上有一点A,过点A作AB⊥x轴于点B,△AOB的面积为2,则该双曲线的表达式为_____ .

分析: 先根据反比例函数图象所在的象限判断出k的符号,再根据S△AOB= 2,求出k的值即可.

解: ∵反比例函数的图象在二、四象限,∴

∴k = - 4,即可得双曲线的表达式为: y = -4/ x,故答案为: y = -4/ x.

点评: 本题考查的是反比例系数k的几何意义,即在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线,这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是,且保持不变.

五、依据面积求解其它问题

例10如图14,已知函数y = 2x和函数y =k /x的图象交于A、B两点,过点A作AE⊥x轴于点E,若△AOE的面积为4,P是坐标平面上的点,且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形,则满足条件的P点坐标是 _____.

解析: 根据反比例函数中比例系数k的几何意义,得出等量关系1 /2 | k | = 4,求出k的值为8,然后结合函数y = 2x和函数y =8/ x可求出点A ( 2,4) ,再根据平行四边形的性质可求得P点坐标.

答案: P1( 0,- 4) ,P2( - 4,- 4) ,P3( 4,4) ( 对一个得2分,对二个得3分,对三个得4分. )

点评: 反比例函数y =k /x中k的几何意义,即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为| k | ,是经常考查的一个知识点; 这里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解k的几何意义.

中考中的反比例函数应用问题探究 篇2

关键词：中考；反比例函数；数学；解答技巧；问题探究

数学中反比例函数应用问题是中考的重难点，对于考生来说每次的解题都是一次新的挑战。作为数学教师应该重視数学中反比例函数应用问题，将这一章节列为重点讲解对象，精心设计教学目标，优化教学内容，多利用多媒体课件等方式，提高学生对反比例函数的认知，做起练习题来得心应手，不再让反比例函数应用问题成为中考的困扰。笔者根据自身多年的教学经验，对中考中的反比例函数应用问题进行探究，提出了以下三大方面的要求。

一、认真分析反比例函数的题意

学生要想掌握反比例函数解题技巧，轻松解题，首先要知道什么是反比例函数，它的应用目的又是什么，知己知彼才能百战不殆。函数分为正比例函数和反比例函数，y=k/x（k为常数且k≠0）的函数，叫做反比例函数，并且自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。因此，学生在解反比例函数应用问题时，应该认真仔细地分析题目要求，理清题中的函数关系，将文字语言转化为数学语言，然后再根据实际问题解决反比例函数应用问题。

二、注意反比例函数与方程联系

学生通过教师对反比例函数的讲解，已经能初步掌握反比例函数，但是学生对应用题解答上还是存在一定的困难。对此，教师还需要对学生进行引导，使他们将反比例函数与方程联系起来，利用函数解决实际问题。反比例函数与方程的结合，大大降低了难度系数，学生的自信心得以增加，进一步激发了学生解决问题的积极性。

三、注重反比例函数的数形结合思想

数形结合思想为反比例函数问题的解决创造了条件，也为开发学生思维能力提供了机会。在处理“数”的问题时，要有转化为“形”的意识，用“形”直观引发出直觉，从而定位解题方向。反比例函数的数形结合思想，可以使问题化繁为简，从而达到事半功倍的效果，让学生真正掌握解题技巧。

总之，学生只要重视反比例函数应用问题，掌握问题解答的技巧，在中考数学中碰见此类型题时就能快速解答，既省时间又能得高分，并且能为今后学习二次函数知识奠定基础。

参考文献：

高兴双.中考中的反比例函数应用问题[J].中学生数理化，2012.

反比例函数在实际问题中的应用 篇3

本节内容是利用反比例函数来解决生活中的实际问题, 其关键是从实际问题中抽象出函数关系, 从而将文字转化为数学语言, 通过反比例函数的概念列出函数关系式, 再利用反比例函数的性质、思想方法去解决实际问题.

利用反比例函数解决实际问题的关键是:建立反比例函数模型, 列出反映实际问题的反比例函数解析式:

(1) 列出反映实际问题中的函数关系式首先应分析清楚各变量之间应满足的分式, 即:实际问题中的变量之间的关系→建立反比例函数模型→解决实际问题.

(2) 在列反映实际问题的函数关系式时, 一定要在列出的关系式后面注明自变量的取值范围.

【学法指津】

1. 学会把实际问题转化为数学问题, 充分体现数学知识来源于实际生活又服务于实际生活这一原理.

2.要熟悉一些常见的函数模型, 能用函数的观点分析、解决实际问题, 让实际问题中的量的关系在数学模型中相互联系, 并得到解决.

3.要认真阅读题目, 理解题意, 抓住关键量, 主要是题目中的定值、常量和恒定不变的数据等, 准确地抽象出函数关系, 然后正确设出函数关系式, 用待定系数法求出待定系数.

4.由于实际问题中有很多限制条件, 因此当自己认为解决了问题后, 还要回头再把题目看一看, 是否有疏忽的地方, 以免求出的答案不符合题意.

【典例解析】

例1:

如下图, 市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室.

(1) 储存室的底面积S (单位:m2) 与其深度d (单位:m) 有怎样的函数关系?

(2) 公司决定把储存室的底面积S定为500m2, 施工队施工时应该向下掘进多深?

(3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下15m时, 碰上了坚硬的岩石, 为了节约建设资金, 储存室的底面积应改为多少才能满足需要 (保留两位小数) ?

分析: (1) 根据圆柱体的体积公式, 我们有S×d=104, 变形可得:;

(2) 把S=500代入所求得的解析式, 即可求得深度d;

(3) 把d=15代入解析式, 即可求得储存室的底面积S.

解: (1) ∵S×d=104, ∴ (d>0) .

(2) 把S=500代入, 得:.解得:d=20.

答:如果把储存室的底面积定为500m2, 施工时应向地下掘进20m深.

(3) 根据题意, 把d=15代入, 得:, 解得:S≈666.67 (m2) .

答:当储存室的深为15m时, 储存室的底面积应改为666.67m2才能满足需要.

例2:

某地上年度电价为0.8元, 年用电量为1亿度, 本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间, 经测算, 若电价调至x元, 则本年度新增用电量y亿度与 (x-0.4) 元成反比例, 又当x=0.65时, y=0.8;

(1) 求y与x之间的函数关系式;

(2) 若每度电成本价为0.3元, 则电价调至多少元时, 本年度电力部分收益将比上年度增加20%?[收益=用电量× (实际电价-成本价) .]

分析: (1) 此题属于把实际问题转化为求反比例函数的解析式的问题.

(2) 此题属于函数解析式的应用问题.要解决的问题是:若每度电成本价为0.3元, 本年度电力部分收益将比上年度增加20%?须考虑“收益=用电量× (实际电价-成本价) ”这一关系.而上年度电价为0.8元, 年用电量为1亿度.于是可算出本年度电力部分收益为0.6亿元.

解: (1) 由于本年度新增用电量y亿度与 (x-0.4) 元成反比例, 所以可设所求的关系式为:, 又当x=0.65时, y=0.8;代入, 可求得k=0.2,

于是可得:;

(2) 依据题意, 得:;

解得:x1=0.5, x2=0.6;根据实际问题, 这两个值都符合题意.

答:电价调至0.5或0.6元时, 本年度电力部分收益将比上年度增加20%.

例3:

制作一种产品, 需先将材料加热达到60℃后, 再进行操作.设该材料温度为y (℃) , 从加热开始计算的时间为x (分钟) .据了解, 设该材料加热时, 温度y与x时间成一次函数关系;停止加热进行操作时, 温度y与x时间成反比例关系 (如下图) .已知该材料在操作加工前的温度为15℃, 加热5分钟后温度达到60℃.

(1) 分别求出将材料加热和停止加热进行操作时, y与x的函数关系式;

(2) 根据工艺要求, 当材料的温度低于15℃时, 须停止操作, 那么从开始加热到停止操作, 共经历了多少时间?

分析:本题主要考查一次函数、反比例函数解析式的求法.但由于本题是由一次函数和反比例函数组成的分段函数, 所有要注意分类讨论, 分别写出函数关系式. (1) 显然将材料加热时, 即0≤x≤5, y与x是一次函数, 直线过点 (0, 15) , (5, 60) ;停止加热时, 即x≥5, y与x是反比例函数, 图像过点 (5, 60) , 易求得函数关系式; (2) 当材料的温度低于15℃时, 需停止操作, 即令y=15, 求对应的自变量的值.

解: (1) 将材料加热时, y与x是一次函数关系, 可设

∵当x=0时, y=15;当x=5时, y=60;

∴当0≤x≤5时, y与x的关系式为:y=9x+15.

停止加热时, y与x成反比例函数关系, 设,

∵当x=5时, y=60, ∴, ∴k1=300.

∴当x≥5时, y与x的关系式为:.

(2) 把y=15代入, 得,

∴x=20.即从开始加热到停止操作, 共经历了20min.

例4:

如下图, 已知反比例函数与一次函数y=-x+2的图像交于A、B两点.求: (1) A、B两点的坐标; (2) △AOB的面积.

分析:综合运用一次函数和反比例函数的知识解题, 一般要先根据题意画出图像, 然后可借助图像和题目中提供的信息解题.

解得:∴A (-2, 4) , B (4, -2) .

(2) 解法一:

y=-x+2, 当y=0时, x=2, M (2, 0) .

∴OM=2.作AC⊥x轴于C, 作BD⊥x轴于D.

解法二:

y=-x+2, 当时x=0时, y=2, N (0, 2) .∴ON=2.

作AC⊥y轴于C, BD⊥y轴于D.

【总结反思】

用函数观点处理实际问题, 关键在于分析实际情境, 建立函数模型, 并进一步明确数学问题, 将实际问题置于已有的知识背景之中, 用数学知识重新解释这是什么?可以看到什么?逐步形成解决实际问题的能力.而在解决问题时不仅要充分利用函数的图像, 渗透数形结合的思想, 还要注意函数不等式、方程之间的联系, 以及学科之间知识渗透.重要的有以下几点经验:

1. 通过分析, 把实际问题中的数量关系转化为数学问题中的数量关系;

利用构建好的数学模型、函数思想来解决这类问题.

2. 通过观察图像, 把图像中提供、展现的信息转化为与函数有关的知识来解题.

3.综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式, 往往仍用待定系数法.

【典题演练】 (供教师做习题参考.)

1.已知某矩形的面积为20cm2.

(1) 写出其长y与x宽之间的函数表达式;

(2) 当矩形的长为12cm时, 求宽为多少?当矩形的宽为4cm时, 其长为多少?

(3) 如果要求矩形的长不小于8cm, 其宽最多应是多少?

2. 某蓄水池的排水管每时排水8m3, 6h可将满池水全部排空.

(1) 蓄水池的容积是多少?

(2) 如果增加排水管, 使每时的排水量达到Q (m3) , 那么将满池水排空所需的时间t (h) 将如何变化?

(3) 写出t与Q之间的函数关系式;

3. 如下图所示, 正比例函数y=mx的图像与反比例函数的图像交于A、B两点, 其中点A的坐标为.

(1) 分别写出这两个函数的表达式.

(2) 你能求出点B的坐标吗?你是怎样求的?

(3) 若点C坐标是 (-4, 0) , 请求△BOC的面积.

4. 为了预防流行性感冒, 某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.

已知, 药物燃烧时, 室内每立方米空气中的含药量y (毫克) 与时间x (分钟) 成正比例, 药物燃烧后, y与x成反比例 (如下图所示) .现测得药物8分钟燃尽, 此室内空气中每立方米的含药量为6毫克, 请你根据题中所提供的信息, 解答下列问题:

(1) 药物燃烧时y关于x的函数关系式为:, 自变量的取值范围是:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿;药物燃烧后y与x的函数关系式为:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿;

(2) 研究表明, 当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室, 那么从消毒开始, 至少需要经过＿＿＿＿＿＿＿分钟后, 学生才能回到教室;

(3) 研究表明, 当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时, 才能有效杀灭空气中的病菌, 那么此次消毒是否有效?为什么?

答案与提示:

1.

2. (1) 蓄水池的容积为:8×6=48 (m3) . (2) 答:此时所需时间t (h) 将减少. (3) t与Q之间的函数关系式为:

3. (1) 正比例函数表达式为:y=2x;反比例函数表达式为:; (2) (1) 可利用图像, 根据对称性来求; (2) 可将y=2x与组成方程组, 求出方程组的解.答案:B的坐标为. (3) 由于点C坐标是 (-4, 0) , B的纵坐标为, 所以△BOC的底边长为4, 高为, 则 (面积单位) .

4. (1) ; (2) 30; (3) 答案:有效;因为燃烧时第4分钟含药量开始高于3毫克, 当到第16分钟时含药量开始低于3毫克, 这样含药量不低于3毫克的时间共16-4=12分钟, 故有效.

反比例函数教学反思 篇4

——《26.1.1反比例函数》教学反思

“思之不慎，行而失当”，古语云“吾日三省吾身”。圣人尚且如此，作为一名传道授业的师者，更应多反思。今天我讲解了《26.1.1反比例函数》这一课，课后也思索了许多，反思结果如下：

一、自我评价

1、反思教学任务的完成情况

知识目标基本完成。学生通过几个实际问题的提炼，认识了反比例函数的一般形式。经过与一次函数、二次函数形式的比较，得出反比例函数自变量的范围。会用待定系数法求反比例函数解析式。

2、反思教法情况

这节课我采用了情境教学法导入。通过一段英文歌曲，吸引学生的注意力。呼应歌名《昨日重现》，在ppt上给出八年级初学函数图象画法时学生画过的一个反比例函数图象，引出这节课学习的内容。

在研究新知的过程中，我采用活动教学法，以小组为单位，展开讨论，然后展示谈论成果，充分发挥了学生的主观能动性。

但是我在启发式教学方法上思考不够深入，后面会提到。

二、反思问题

对课本的挖掘不够深入，对教材目前还停留在“看山是山，看水是水”的初始状态，还不能很好地透过现象看本质。

三、课堂重建

1、我的收获和感悟 这一节课属于《反比例函数》这一章的起始概念课，内容比较简单。作为概念课，概念的建架形成很重要，也是本节课的难点。在这方面我有所疏忽，这就提醒我，备课备学生的重要性。通过这一节课，让我对这一课型也有了一个新的认识，有助于以后的教学实践。

2、对不足之处的改进策略

（1）在启发式教学方面，比如课堂导入时，不应该直接给出反比例函数的概念。应该让学生思考：如图的那种函数是我们学过的一次函数或二次函数吗？那么这个函数又是属于哪类函数范畴呢？之后再根据课本上的三个实际问题，提炼这类函数的一般形式，就给学生以一个自主思考探究的机会。

（2）对于例题意义的发挥不够。如例1的第二问，其实可以很好地体现函数解析式的作用：根据函数解析式，如果已知自变量的值，那么函数值就可以唯一确定了。甚至可以将第二问进行拓展，如果已知函数值，能不能根据解析式，求出自变量的值呢？这也是我当时没有想到的。

（3）对方法的提炼不够。在例题的讲解中，对于如何求函数解析式，我提到了待定系数法。其实数学方法在数学学习中是很重要的，这里我其实可以引导学生归纳用待定系数法求函数解析式的方法步骤。所谓“授人以鱼不如授人以渔”。

§3.4 反比例函数 篇5

解析：反比例函数的图象在第二、第四象限内，所以 k＜0，在图象的每一支曲线上，y 都随 x 的增大而增大.由于2 ＞5>0，这说明两点都在第四象限，所以 y1＞y2.

点评：这道题所给的两个点都在同一个象限内，所以直接用性质就可以了.有时所给的两点不在同一个象限内，就需要先算出 y 值，再比较两个 y 值的大小.

第2课时反比例函数的应用

主要知识点

1. 与学科内的知识相结合

反比例函数与一次函数或几何知识相结合.这类题目综合性较强，能较好地考查同学们综合运用知识的能力.

2. 反比例函数与其他学科的知识相结合

反比例函数在自然科学领域有很广泛的应用.因此中考中常出现反比例函数与其他学科知识相结合的考题.

经典例题

例 1 当三角形的面积S为常数时，底边长a与底边上的高h的函数关系的大致图象是（）.

（1） 把上表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点并观察所得的图象，猜测y（N）与x（cm）之间的函数关系，并求出函数关系式.

（2） 当弹簧秤的示数为24 N时，弹簧秤与O点的距离是多少？随着弹簧秤与O点的距离不断减小，弹簧秤上的示数将发生怎样的变化？

解析：（1） 描点画图如图3；由表中的数据，可发现y与x成反比例函数关系.由表中任意一组数值即可求出解析式.

反比例函数创新题赏析 篇6

一、按部就班的程序框图题

（2011年河北省）根据图1所示的程序，得到了y与x的函数图像，过点M作PQ∥x轴交图像于点P、Q，连接OP、OQ。则以下结论：①x＜0时，y=；②△OPQ的面积为定值；③x＞0时，y随x的增大而增大；④MQ=2PM；⑤∠POQ可以等于90°。

其中正确的结论是（ ）

A．①②④B．②④⑤C．③④⑤D．②③⑤

解析 根据程序图可知，当x＞0时，y=，x＜0时，y=-，因此①错误。

直接从图像可以看出，当x＞0时，y随x的增大而减小，因此③错误。

而S△OPQ=S△POM+S△QOM=×4+×2=3为定值，因此②正确。

设点M的坐标为（0，a），则点P（-，a），点Q（，a），

所以MQ=，PM=，所以MQ=2PM，因此④正确。

从图像可以看出，随着直线PQ向下移动时，∠POQ逐渐增大，当PQ无限靠近x轴时，∠POQ近似成为平角。所以∠POQ可以等于90°，因此⑤正确。

因此正确的结论是②④⑤，故答案选B。

点评 本题以程序框图的形式命题，形式活泼新颖。另外，本题直接从图像可以判断③错误，这样可以排除选项C、D，再根据程序框图可以判断①错误，又可排除选项A，从而可以快速找出正确选项，而无需再看②④⑤是否正确。

二、一箭双雕的双反比例函数题

（2011年陕西省）如图2，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y=-和y=的图像交于点A、B，若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为（ ）

A．3B．4

C．5D．6

解析 连接AO、BO，

因为AB//x轴，所以△ABC和△ABO在AB边上的高相等。

所以S△ABC=S△ABO。

而S△AOB=S△APO+S△BPO=×-4+×2=3。

所以S△ABC=3。故答案选A。

点评 本题将两个不同的反比例函数放在同一个坐标系中考查，解答本题的关键是利用平行线的“传递面积功能”（即同底等高的两个三角形的面积相等），将△ABC的面积转化为△ABO的面积，进而利用反比例函数的比例系数k的几何意义分别求出△APO和△BPO的面积，从而求出△ABO的面积。

三、按图索骥的规律探究题

（2011年四川省达州市）给出下列命题：

命题1：直线y=x与双曲线y=有一个交点是（1，1）；

命题2：直线y=8x与双曲线y=有一个交点是（，4）；

命题3：直线y=27x与双曲线y=有一个交点是（，9）；

命题4：直线y=64x与双曲线y=有一个交点是（，16）；

…………

（1）请你阅读、观察上面命题，猜想出命题n（n为正整数）；

（2）请验证你猜想的命题n是真命题。

解析 （1）命题n：直线y=n3x与双曲线y=有一个交点是（，n2）；

（2）将x=代入y=n3x，得y=n3×=n2，所以（，n2）在直线y=n3x上。

将x=代入y=，得y==n2，所以（，n2）在直线y=上。

所以直线y=n3x与双曲线y=有一个交点是（，n2）。

点评 解答本题既要注意横向比较正比例函数和反比例函数的系数、交点的横坐标和纵坐标之间的关系，又要注意纵向比较正比例函数和反比例函数的系数、交点的横坐标和纵坐标各自之间的关系。

四、现学现用的实际应用题

（2011年湖南省郴州市）用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系。寄宿生小红、小敏晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约10升），小敏每次用半盆水（约5升）。如果她们都用了5克洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5克，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2克。

（1）请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数关系式；

（2）当洗衣粉的残留量降至0.5克时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？

解析 （1）可先分别设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数关系式，然后将x=1，y=1.5和x=1，y=2分别代入函数关系式，利用待定系数法求出函数关系式；

（2）将y=0.5分别代入已经求出的函数关系式即可求出漂洗次数，根据题意又知小红、小敏每次漂洗的用水量，将漂洗次数与每次漂洗的用水量相乘即得用水量。

（1）设小红的衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数关系式为y=，小敏的衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数关系式为y=。

把x=1y=1.5代入y1=，得1.5=，所以k1=1.5。

把x=1y=2代入y2=，得2=，所以k2=2。

所以小红的函数关系式为y=（x为正整数），小敏的函数关系式为y=（x为正整数）。

（2）把y=0.5分别代入y=和y=，得0.5=，0.5=。

所以x1=3，x2=4。

小红共用水10×3=30（升），小敏共用水5×4=20（升），从节约用水的角度来看，小敏的方法更值得提倡。