生活中的函数

生活中的函数（精选12篇）

生活中的函数 篇1

新课程改革的几个基本理念之一便是:破除书本知识的桎槁, 构筑具有生活实践意义的课程内容。高职文化基础课程的教学要求与教学目的与不高不尽相同。高职的教学工作者在日常的教学工作中更要注意这一点。

数学作为一门基础学科, 对逻辑思维能力的要求相对较高, 也需要较强的抽象思维能力, 在基础教学中一直都有点让学生“望而生畏”, 更让高职的学生觉得她“高处不胜寒”。其实, 任何学科都是源于生活的, 数学也不外乎此。只要能够把其真实面目展露出来, 学生们自然就会觉得她“平易近人”了。要是能够挖掘出其在学所学专业中的身影, 便能激发出学生学习数学的兴趣, 培养他们思考、探究的学习精神。这一点便与新课程改革的理念相吻合。

我一直以来担任酒店管理专业的数学教学工作。本专业的学生80%为女生, 理科知识基础相对薄弱, 经过初中三年的“磨练”, 对于数学这门学科有着较强的抵触情绪。但是, 他们对于本专业的学习热情较高, 对于专业知识的学习和技能训练都很刻苦。在教学过程中我发现, 只要一接触到与专业知识相关的数学内容, 原本沉闷的课堂气氛就会变得活泼起来, 大多数同学都乐于参与讨论, 原定的教学目标也能够如期完成有时甚至能够超出预期。本文就以我的一个教学案例展开阐述。

众所周知, 函数部分的知识点抽象而枯燥, 为了让学生提高学习兴趣, 了解基础函数的实用性与重要性, 我翻阅资料, 查询案例, 精心准备了这部分内容。

我收集了几个典型基本函数在酒店管理中应用的数学模型或相关例题, 穿插在这部分的教学中。

1 图表法表示函数

问题一:根据酒店评定经营状况好坏的两个主要因素:平均房价和总出租率, 把上海的十家四、五星级酒店定位在坐标内, 请判断各酒店的经营状况。

分析:由于四、五星级酒店有一个价格差, 因此可以用水平线把四五星级饭店区分开来。根据历年数据和经验, 平均房价基本在115美元/间左右。另外, 根据旅游饭店经营效果, 可以把出租率高于75%的饭店定在较好的状况, 反之, 则相反。因此, 可以用75%的垂直线区分。那么, 座标可以分成四个区域, 这四个区域的情况如下:

第一区域 (右上) —高出租率、高房价第二区域 (左上) —低出租率、高房价

第三区域 (右下) —高出租率、低房价第四区域 (左下) —低出租率、低房价

按图对十八家酒店进行分析, 对指明其今后调整方向有指导意义。比如锦江饭店, 饭店的硬件设施无法同其他饭店相比, 由于房价无法大幅提高, 只有保持较高的出租率水平, 才能继续保持在第三区域, 以免掉落第四区域。在此基础上着重发展酒店自身特色才能稳步提高房价, 以获得更高的营业收入。

2 一次函数

问题二:一个经济型酒店共有标准套间40间, 采用旅行社整包议价方式销售。规则是这样的:客房日租金单价随着单日出租客房数量的增加而不断下降, 直至底价;每间标准间的日租金单价x (元) 与客房出租数量n (间) 的关系是.比方说, 在一次订房中只定出一间 (n=1) , 房间日租金就是220元;而40个房间都被一次性定出的话 (n=40) , 房间日租金就只有122.5元了.

求当旅行社一次租20间时的单日租金总额;

请写出该酒店的标准间单日租金总额y (元) 与定出间数n之间的函数关系.

分析:酒店标准间单日租金总额y是随着出租客房数n的变化而变化的.在客房出租中, 有几个基本的量, 它们之间的关系是酒店标准间单日租金总额=客房日租金单价×单日出租客房数量.

解: (1) 当n=10时, y=125×10=12500 (元)

答:旅行社一次租10间时的单日租金总额是1250元.

答:所以酒店的标准间单日租金总额y (元) 与定出间数n之间的函数关系为y=120n+50 (0<n≤40, n∈N)

3 分段函数

问题三:经过数据统计, 南京维景大酒店发现在套房定价与酒店客房部日营业额之间有如下关系:当套房日单价定在480元在720元之间时, 入住情况为平均每天120间, 当套房日单价定在820元到1180元时, 入住情况为平均每天92间当套房日单价定在1380元起步时, 平均每天等能76间 (每次提价都经过大规模扩建与装潢, 酒店星级标准提高。)

分别求出当日租金平均值为600元、1060元或1540元时, 酒店客房部的当日租金总额应该是多少?

试写出当日租金额y (元) 与当日套房日租金平均值x (元) 之间的函数关系式.

分析:在本题中单日租金总额=当日套房日租金平均值×当日出租套房数

解: (1) 当当日套房日租金平均值为600元时,

单日租金总额=600×120=72000 (元)

当当日套房日租金平均值为1060元时,

单日租金总额=1060×92=97520 (元)

当当日套房日租金平均值为1540元时,

单日租金总额=1540×76=117040 (元)

答:上式即为酒店当日租金额y (元) 与当日套房日租金平均值x (元) 之间的函数关系式

思考:为什么看似收益并没有大幅度的提高, 经营者却要花那么大的手笔来对酒店进行扩建、装修、培训员工、提升员工素质、提高酒店级别?

师:一般来讲, 价格高客人少, 营业数自然减少, 费用也应减少, 但有时则并不然, 客人少, 营业收入却提高, 费用也会增加, 这就是相互联系相互影响形式的差别。一研究就会发现客人虽少, 但这些客人层次高, 使用豪华设施多, 各个营业点消费多。如酒吧里要的是价格昂贵的洋酒, 金器商店买的是价值连城的珠宝。客人少, 营业收入反而增加就自然表明了本酒店产品质的高档。了解到这一特性, 经营者就会从最少的物耗、人耗出发, 在提高酒店档次上做足文章。改变市场结构, 集中精力、财力, 接待层次高、有消费能力的客人, 为这些客人提供更豪华, 更舒适的量的服务。

每个专业都有各自不同的专业特色, 只要针对这些特色制定相关的教学内容, 一定会比单纯讲解枯燥的知识点让学生更容易接受, 达到更好的教学效果。并且, 在经济生活中提倡数学模型的普及应用, 可以帮助我们进行科学的预测、决策。作为高职教师则更要学习新课程、转变新思维、展现新数学。

摘要：新课程改革要求基础学科与学习专业紧密结合, 本文探讨了高职数学教学与酒店管理专业知识如何相互融合, 使数学课堂多元化, 尝试思维角度的转变。

关键词：新课改,职教数学,酒店管理数学

生活中的函数 篇2

一、选择题

1.函数f(x)＝ax3-x在(-∞,+∞)内是减函数,则()

A.a＜1B.a1C.a＜0D.a≤0

3解析:f′(x)＝3ax2-1≤0在(-∞,+∞)上恒成立, 即a

而1在(-∞,+∞)上恒成立, 3x210,∴a≤0.故选D.23x

答案:D

2.函数f(x)＝1+x-sinx在(0,2π)上是 …()

A.增函数B.减函数

C.在(0,π)上增,在(π,2π)上减D.在(0,π)上减,在(π,2π)上增 解析:f′(x)＝1-cosx＞0,∴f(x)在(0,2π)上递增.故选A.答案:A

3.若a＞3,则方程x3-ax2+1＝0在(0,2)上恰有()

A.0个根B.1个根C.2个根D.3个根 解析:令f(x)＝x3-ax2+1,则f′(x)＝3x2-2ax＝3x(x

由f′(x)＝0,得x＝0或x2a).322a(∵a＞3,∴a2).33

∴当0＜x＜2时,f′(x)＜0,即f(x)在(0,2)上单调递减.又f(0)·f(2)＝8-4a+1＝9-4a＜0,∴f(x)在(0,2)上有一个零点,即方程在(0,2)上有一实根.故选B.答案:B

4.设f′(x)是函数f(x)的导数,y＝f′(x)的图象如右图所示,则y＝f(x)的图象最有可能是

（）

解析:由y＝f′(x)的图象可知，当x＜0时，f′(x)＞0,∴f(x)在（-∞,0)上单调递增；当0＜x＜2时，f′(x)＜0,∴f′(x)在（0，2）上单调递减.故选C.答案:C

5.(2008广东高考,理7)设a∈R,若函数y＝eax+3x,x∈R有大于零的极值点,则()A.a＞-3B.a＜-3C.a解析:y′＝a·eax+3＝0,当a＝0时,显然不合题意,∴a≠0.1

1D.a 33

313

.∴xln().aaa13

由题意,得ln()0,aa

∴e

ax



a0,∴ 301a

∴a＜-3.故应选B.答案:B

6.(2008福建高考,理12)已知函数y＝f(x),y＝g(x)的导函数的图象如右图,那么y＝f(x),y＝g(x)的图象可能是（）

解析:由y＝f′(x)和y＝g′(x)的图象可知，y＝f′(x)是减函数，y＝g′(x)是增函数.∴y＝g(x)图象上升速度越来越快,y＝f(x)图象上升速度越来越慢.故选D.答案:D

二、填空题

7.已知函数f(x)＝x3-12x+8在区间［-3,3］上的最大值与最小值分别为M,m,则M-m＝____________________.解析:f′(x)＝3x2-12＝3(x+2)(x-2),令f′(x)＝0,得x＝±2.∵f(-3)＝17,f(3)＝-1,f(-2)＝24,f(2)＝-8, ∴M-m＝f(-2)-f(2)＝32.答案:

328.函数y＝lnx-x在x∈(0,e］上的最大值为______________.解析:y

11x

1,令y′＝0,∴x＝1.又在(0,1］上y′＞0,在［1,e］上y′＜0,∴函数在x＝1xx

处取极大值,同时是最大值,此时y＝-1.答案:-

19.若函数f(x)__________.4x

在区间(m,2m+1)上是单调递增函数,则实数m的取值范围是2

x1

4(x21)8x24(1x2)

解析:f(x), 2

222(x1)(x1)

令f′(x)＞0,∴-1＜x＜1.m-1,

根据题意,得2m11,∴-1＜m≤0.2m1m,

答案:(-1,0］

10.在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为_____________.（强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽）

解析:右图为圆木的横截面, 由b2+h2＝d2, ∴bh2＝b(d2-b2).设f(b)＝b(d2-b2), ∴f′(b)＝-3b2+d2.令f′(b)＝0,由b＞0, ∴b

d,且在(0,d］上f′(b)＞0, 33

d处取极大值,也是最大值, d,d)上,f′(b)＜0.∴函数f(b)在b33

在［

即抗弯强度最大,此时长h

d.3

答案:

6d 3

三、解答题

11.如图所示,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为2r,短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB是半椭圆的短轴,上底CD的端点在椭圆上.记CD＝2x,梯形面积为S.(1)求面积S以x为自变量的函数式,并写出其定义域;(2)求面积S的最大值

.解:(1)依题意,以AB的中点O为原点建立直角坐标系xOy(如右图),则点C的横坐标为x,点C

x2y2

1(y≥0), 的纵坐标y满足方程22

r4r

解得y2r2x2(0＜x＜r).S

(2x2r)2r2x2 2

＝2(xr)r2x2, 其定义域为{x|0＜x＜r}.(2)记f(x)＝4(x+r)2(r2-x2),0＜x＜r, 则f′(x)＝8(x+r)2(r-2x).令f′(x)＝0,得x因为当0＜x＜

1r.2

rr1

时,f′(x)＞0;当＜x＜r时,f′(x)＜0,所以f(r)是f(x)的最大值.222

因此,当x

r时,S也取得最大值,最大值为21332f(r)r, 22

即梯形面积S的最大值为

332

r.2

a

(a＞0),设F(x)＝f(x)+g(x).x

12.已知函数f(x)＝lnx,g(x)(1)求F（x)的单调区间；

（2）若以y＝F(x)〔x∈(0,3］〕图象上任意一点P（x0,y0)为切点的切线的斜率k求实数a的最小值；

（3）是否存在实数m,使得方程f(x)g（恒成立，2

2a)m1恰好有两个不同的零点？若存在，2

x1

求m的取值范围；若不存在，请说明理由.a

(a＞0)的定义域为(0,+∞), x

1axa

∴F(x)2.2

xxx

解:(1)F(x)lnx

当x＞a时,F′(x)＞0;当0＜x＜a时,F′(x)＜0,∴F(x)的单调增区间为(a,+∞),F(x)的单调减区间为（0，a).(2)以P（x0,y0)为切点的切线的斜率为k＝F′(x0)＝

x0ax0,x0∈(0,3］,由已知，得

x0ax0



112,即ax0x0.22

12111

x0(x01)2, 222211∴a.∴amin＝.22

121

(3)由题意,知方程lnxxm在(0,+∞)内恰有两个不同的零点，22

121

即mlnxx在（0,+∞)内恰有两个不同的零点.221211(1x)(1x)

令h(x)lnxx,则h(x)x,当x∈(0,1)时,h′(x)＞0;

22xx

∵x0

当x∈(1,+∞)时,h′(x)＜0,∴h(x)在(0,1)上是增函数, h(x)在(1,+∞)上是减函数.于是,h(x)在x＝1处取得极大值即最大值, 最大值为＝h

(1)ln1

121

10.22

又x＞0且x→0时,h(x)lnx

121

x→-∞, 22

∴h(x)的大致图象如右图所示:

留心生活中的函数问题 篇3

今日农村，虽然经济较以前发达多了，但绝大多数农户为了食用方便，仍喜欢在自己承包的农田里围块菜园，种上各种蔬菜，以供一日三餐之需.若我们留意的话，不难发现，这种传统的菜园多数是围成长方形的.那么这种祖祖辈辈沿用的围法科学吗（即围出的面积是否最大）？

例1 已知篱笆的长度为l，试问篱笆如何围法才能使围出的面积最大？

解析 如果将菜园围成长方形，由于篱笆的长度为l，设长方形的长为x，则宽为（如图1），则长方形的面积S（x）=x•=-x2+x，这是一个二次函数，其图像开口向下.所以当x=-=（即将菜园围成正方形）时，［S（x）］max==.

若仍用长为l的篱笆围成圆形菜园，则此菜园的周长为l，所以圆的半径r=，圆的面积S圆=πr2=π•2=.

因为＞，所以S圆＞［S（x）］max，即将菜园围成圆形更科学.

不难得出，相同长度的篱笆围出的圆形菜园比方形菜园至少大27%.

点评 本例是二次函数的实际应用题，我们可以直接根据题意列出二次函数解析式，进而求二次函数的最值.

在生活中，我们经常遇到有些应用问题与平面几何图形有关.在寻求函数模型时，我们还要注意平面几何有关性质的应用.

例2 某房地产公司要在荒地ABCDE（如图2）上划出一块长方形地面建造一幢公寓，问：如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积（尺寸如图2，单位：m）.

解析 当一端点在BC边上时，只有在B点时长方形BB1DC的面积最大，S1=SBCDB1=5600m2；

当一端点在EA边上时，只有在A点时长方形AA1DE的面积最大，S2=SAA1DE=6000m2；

当一端点在AB边上时，设该点为M，如图2，构造长方形MNDP，并补出长方形OCDE.设MQ=x（0≤x≤20），则MP=PQ-MQ=80-x.又OA=20，OB=30且=，所以=，即QB=x，所以MN=QC=QB+BC=x+70，故SMNDP=MN•MP=70+x（80-x）=-x-2+.故当x=时，S3=.

比较S1，S2，S3，得S3最大，此时MQ=m，BM=m.故当长方形一端落在AB边上离B点m处时，公寓占地面积最大.

点评 解答此类问题的关键是建立函数关系式，并确定定义域，而建立函数关系式必须依赖图形的几何性质，如本例中采用了平行线分线段成比例性质和有关面积公式，把问题转化为函数最值问题.

汽车租赁业被称为“朝阳产业”，因无须办理保险、无须年检维修、车型可随意更换等优点，以租车代替买车来控制企业成本，这种在外企中十分流行的管理方式，正慢慢受到国内企事业单位及个人用户的青睐.

例3 某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆汽车的月租金为3000元时可全部租出，当每辆汽车的月租金每增加50元时，未出租的车会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需维护费50元.当每辆车的月租金定为多少元时租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

解析1 设每辆车的月租金定为x（x≥3000，x∈N）元时租赁公司的月收益最大，且最大月收益为y元，得y=（x-150）100--50•=-（x-4050）2+307050.

所以当且仅当x=4050时，y取到最大值，且最大值是307050.即每辆车的月租金定为4050元时租赁公司的月收益最大，且最大月收益为307050元.

解析2 设未租出x（x=0，1，2，…，100）辆，则租出了（100-x）辆，每辆车的月租金为（3000+50x）元，得租赁公司的月收益为y=（3000+50x-150）（100-x）-50x=50（-x2+42x+5700）.

所以当且仅当x=21，即每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，且最大月收益为307050元.

点评 解答应用题时常需要设未知数，一般来说，设未知数的方法是“求（问）什么就设什么”，但有时候不这样设解题更简便（如解法2）.

自主创业，勤劳致富也离不开函数.就说甲鱼养殖业吧，函数能帮助我们分析市场，决定养殖规模.

例4 甲、乙两人连续6年对某县甲鱼养殖业的规模（产量）进行调查，提供了两个方面的信息，如图3所示.

甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第6年2万只.

乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个.

请你根据提供的信息说明：

（1） 这个县第2年甲鱼池的个数及出产甲鱼的总数；

（2） 这个县到第6年甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由；

（3） 哪一年的规模最大？说明理由.

解析 首先根据图像可知两种调查信息都符合一次函数模型，因此可以采用待定系数法求出函数的解析式，下面的问题就容易解决了.

（1） 由图可知直线y甲=kx+b经过点（1，1）和（6，2），求得k=0.2，b=0.8，即y甲=0.2（x+4），同理可得y乙=4-x+.

故第2年甲鱼池的个数为26个，出产甲鱼的总数为26×1.2=31.2（万只）.

（2） 规模缩小，原因是：第1年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只.

（3） 设第x年规模最大，即求y甲•y乙=-0.8x2+3.6x+27.2的最大值.当x=-=≈2年时，y甲•y乙=-0.8×4+3.6×2+27.2=31.2，为最大值.即第二年规模最大，为31.2万只.

点评 首先，要读懂图，能够由图设出函数解析式，用待定系数法求出解析式；其次，要会使用求得的解析式解决新问题.在实际问题中，还要注意x的取值范围，如本例中x∈N*，当x=时，只能取x=2.

税收作为国家经济杠杆之一，具有调节收入分配、促进资源配置、促进经济增长的作用.纳税是国家财政收入的主要来源，国家用收来的税款发展经济、科技、教育、文化和国防等事业.

例5 《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过2000元的部分不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算：

某人一月份应交纳的此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？

解析 设当这个人一月份的全月应纳税所得额是x元时，他应交纳的此项税款为f（x）元，则f（x）=0.05x， 0＜x≤500，0.05×500+0.1（x-500）， 500＜x≤2000，0.05×500+0.1×1500+0.15（x-2000），500＜x≤2000.

所以f（0）=0，f（500）=0.05×500=25，f（2000）=25+0.1×1500=175，f（5000）=175+0.15×3000=625，由此可得图4.

生活中的函数 篇4

一、选择生活化的情境

生活中的高中函数概念教学情境很多, 选择怎样的情境才是合适的, 关键看三个因素: 一是选择的情境应该尽量简单, 避免情境的复杂性而影响学生对函数概念本身的理解. 二是选择的生活情境能够与所要探究的函数概念联系紧密, 有利于学生全面、准确地理解所要掌握的函数概念, 不易产生偏差. 三是选择的情境贴近学生生活、家庭生活、学生能够接触到的生产实践, 内容具有一定的时代性、社会性, 引起学生学习的兴趣, 引起学生探究的欲望. 例如, 教材在函数概念这部分选择了用解析式表示炮弹飞行的问题、用图象表示南极臭氧空洞的问题、用表格表示恩格尔系数的问题. 第一个问题是学生在物理中就很熟悉的, 后两个问题是日常生活中经常提及的, 情境内容相对来说比较简单, 学生就不会因为需要了解过多的情境内容而冲淡对函数概念的学习. 这三个问题包含了函数不同的表现形式, 利用这三个情境来学习函数概念, 还可以纠正初中函数学习中可能存在的一些认识偏差, 起到初高中函数概念学习的衔接作用. 根据银行不同类型储蓄利率的规则写出存期与和利率之间的解析式, 并利用解析式为客户作出利息“阶梯形利率表”, 贴近学生生活并具有现实的应用价值, 能引发学生的兴趣和学习的积极性. 在介绍函数单调性时, 首先给出一次函数和二次函数的图象, 观察它们的图象特征, 即上升或下降; 然后用问题“如何描述函数图象的上升或者下降呢”, 引导学生用自然语言描述出图象特征, 思考“如何利用解析式f ( x) = x2 ( x <0) 描述‘随着x的增大, 相应的f ( x) 随着减小”, 将自然语言的描述转化成数学符号语言的描述, 并一般化得到单调性的数学定义. 通过这样的三步, 利用数形结合的方法展开单调性的概念, 既有助于学生通过自己的努力获得概念, 而且也从数和形两个方面理解了概念.

二、展示生活化情境

现代传媒被大量的运用到课堂教学中, 信息技术与学科教学的整合已经成为一种趋势, 函数概念教学也不例外, 在函数概念教学中有哪些生活情境适合使用信息技术, 如何使用, 对于情境展示的效果至关重要. 因为信息技术具有强大的图象功能、数据处理功能、良好的交互环境, 这些优势有助于求函数值、做函数图象、研究函数性质、模拟函数等. 运用常见的一些软件excel、几何画板等展示函数生活情境, 方便、快捷、简约、形象、生动, 尤其是对于讨论不同函数模型增长差异时, 作用很大. 从几幅图就能直观表达生活中一些函数增长的差异实例; 运用计算器可以解决二分法中计算量大的问题, 从而将更多精力关注到二分法的思想上, 认识到函数和方程间的联系; 探究指数、对数函数性质时, 运用计算机可以充分演示出图象的动态变化过程, 这样就能在变化中寻求“不变性”, 发现函数具有的性质.

三、探究生活化情境

函数概念的理解贯穿了函数内容学习的始终, 同时它也是教与学的一个难点, 我们采用什么方法突破这个难点, 帮助学生更好地理解函数概念? 抽象概念具体化、探究载体生活化是比较好的选择. 理解掌握函数这样抽象的概念, 就要让学生充分经历概念的过程. 充分调动学生的理性思维, 引导他们积极主动地观察、分析和概括. 需要选择生活中带有刺激性的教学情境, 这些情境可以是学生自己在日常生活中的经验或事实, 也可以是教师提供的有代表性的典型事例. 但不管是哪种内容的教学情境, 都要给学生提供具有比较性的可能性, 为学生进行分析、辨认创造条件. 在学生函数概念形成的探究情境设置时, 要为学生提供正例, 数量要恰当. 不然会影响概念的形成; 在学生函数概念的巩固和应用中, 可以为学生提供反例, 让学生辨析概念, 有利于概念内涵和外延的掌握. 例如, 我们这座城市的出租车是这样计费的: 在不超过三公里的情况下, 收取基价8元; 超过三公里后, 超过部分每公里按2元计费. 问题:1. 在里程不超过三公里的情况下, 里程改变, 钱数改变吗? 2. 这个例子与我们给出的函数的概念矛盾吗? 3. 那应如何进一步完善我们刚才给出的函数定义呢? 通过出租车计费的例子, 让学生从函数概念的变量的依赖关系过渡到两个变量的对应关系, 完成对函数概念内涵的第三次抽象认识. 函数概念历史发展过程中的认识障碍也会成为今天课堂上学生的认知障碍, 所以在函数概念教学中, 如果能恰当地借鉴历史, 根据函数历史途径, 选择学生容易接受的典型情景, 探究函数概念, 使学生在情景的识别与辨析中逐步体会它的形成过程, 并且亲身感悟一次一次逐步抽象出函数概念的方法, 这样有助于学生打破原有的思维定势, 形成清晰的认识并对函数的概念达到深刻的理解. 这种历史的方法是一个多层次逼近, 反映了认识由远及近, 由模糊至清晰, 由粗略到精确的过程, 是我们在教学中值得借鉴的.

巧用EXCEL中的函数 篇5

利用Excel中的函数，把可以重复利用的信息提取出来：

LEN(text)、MID(text,start_num,num_chars)、MOD(number,divisor)IF(logical_test,value_if_true,value_if_false)，

假设身份证号码的信息保存在E列中，性别和出生年月分别保存在C列和D列中。

1、性别的显示:

选中C2单元格输入公式：=IF(MOD(IF(LEN(E2)=15,MID(E2,15,1),MID(E2,17,1)),2)=0,“女”,“男”)

如果IF函数提取出来的数值[MOD(IF(LEN(E2)=15,MID(E2,15,1),MID(E2,17,1)),2)=0]，除以“2”后余数为“0”,，则显示为“女”，反之显示为“男”，输入完成后，按下“Enter”键进行确认，第1位员工的性别则自动显示在C2单元格中[如图1]，

图1

2、出生时间的显示

选中D2单元格，输入公式：=IF(LEN(E2)=15,MID(E2,7,2)+1900,MID(E2,7,4))&“/”& IF(LEN(E2)=15,MID(E2,9,2),MID(E2,11,2))&“-”& IF(LEN(E2)=15,MID(E2,11,2),MID(E2,13,2))，

输入完成后，按下“Enter”键进行确认，第1位员工的出生时间则自动显示在D2单元格中[参见图1]。

3、用COUNTIF(range,criteria)函数统计出男、女职工的人数

Range 计算其中满足条件的单元格数目的单元格区域。

Criteria 确定那些单元格区域将被计算在内的条件，其形式可以为数字、表达式或文本。

计算男、女职工人数的就可设置为：COUNTIF(C2:C5,”男”)和COUNTIF(C2:C5,”女”)，如图2

注意输入公式的时候，其中的字符通常要用双引号括起来，是英文输入法状态下的双引号。

中考热点:生活中的一次函数 篇6

例题(2008年南京市)一列快车从甲地驶往乙地,一列慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发,设慢车行驶的时间为x(h),两车之间的距离为y(km),图中的折线表示y与x之间的函数关系。

根据图象进行以下探究:

信息读取

1.甲、乙两地之间的距离为_____km;

2.请解释图中点B的实际意义;

图象理解

3.求慢车和快车的速度;

4.求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;

问题解决

5.若第二列快车也从甲地出发驶往乙地,速度与第一列快车相同.在第一列快车与慢车相遇30分钟后,第二列快车与慢车相遇.求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时?

解:1.当时间x=0时,y的值为甲、乙两地之间的距离

结合图象可知:x=0时y=900

∴甲、乙两地之间的距离为900km。

2.图中点B在图象上坐标为(4,0),表明x=4时,y=0,在实际情景中表示经4小时两车相遇。

3.∵点B经过C到点D时间为8小时,表明慢车在相遇后经8小时到达终点,设快车与慢车速度分别为v1、v2,单位为km/h

答:慢车与快车的速度分别为75km/h,150km/h。

4.由图象可知点C表示此时快车已到达终点,所走路程为相遇前慢车4小时的路程,从而时间为4×75÷150=2,此时两车相距为2(75+150)=450,点C坐标为(6,450),易知线段BC表示为y=225x-9004≤x≤6。

5.设第二列快车经x小时和慢车相遇

150x=900-4.5×75

x=3.75

4.5-3.75=0.75

答:第二列快车比第一列快车晚出发45分钟。

点评:本题是一道一次函数应用题,要求学生有较强的识图能力,要求学生把一次函数置于实际背景下充分理解直线变化趋势反映的函数增减性在实际背景下的含义,以及直线的交点,直线与坐标轴的交点等的实际含义,为此在日常的学习过程中要增加实际应用能力,做到科学知识为生产生活服务。

练习:(2008襄樊市)我国是世界上严重缺水的国家之一。为了增强居民节水意识,某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计

费办法收费。即一月用水10吨以内(包括10吨)的用户,每吨收水费a元;一月用水超过10吨的用户,10吨水仍按每吨a元收费,超过10吨的部分,按每吨b元(b>a)收费。设一户居民月用水x吨,应收水费y元,y与x之间的函数关系如图所示。

(1)求a的值;某户居民上月用水8吨,应收水费多少元?

(2)求b的值,并写出当x>10时,y与x之间的函数关系式;

(3)已知居民甲上月比居民乙多用水4吨,两家共收水费46元,求他们上月分别用水多少吨?

解答:

(1)1.5;12

(2)2;y=2x-5(x>10)

生活中的函数 篇7

本节的内容主要是二次函数的概念, 教材设计的基本思路是从现实生活中大量的函数关系中抽象出二次函数的概念, 让学生感受二次函数是刻画现实世界中特定数量关系的一种有效的数学模型, 逐步从对具体的二次函数的感性认识上升到对抽象的二次函数概念的理性认识。

【学情分析 】

1.从心理特征来说, 初中阶段的学生逻辑思维从经验型逐渐向理论型发展, 观察能力、记忆能力和想象能力也随之迅速地发展。同时, 这一阶段的学生好动, 注意力易分散。

2.从学生的知识技能基础来看, 有之前学习过变量、函数等概念的基础, 对一次函数、反比例函数的理解也就相对容易。

3.从学生活动经验的基础来看, 在相关的知识学习的过程中, 学生已经具有解决一些实际问题的能力, 感受到了函数反映的是变化的过程, 对函数的表达方式特点也有所了解。

【教学方法 】

本节课采用探索式教学法, 引导学生通过独立思考、自主探索、合作交流等活动方式亲历知识的发生、发展过程, 学会获取新知识的方法, 有利于实现教学目标。练习时, 设计学生编题比赛, 从学生所编的题中选题作为练习, 激发学生的自信心, 调动学生学习的兴趣。

【学习目标 】

1 . 经历探索两个变量之间函数关系的过程, 会用数学式子描述某些变量之间的数量关系。

2.通过对实际问题情境分析, 确定二次函数的关系式, 体会二次函数的意义。

3.通过实例分析, 进一步感受函数的三要素和自变量取值范围的确定。

【课堂设计与意图 】

一、情境创设, 引出关系

师:入口处, 盐渎公园一圈游玩下来大约4km, 想一想:小明的游玩时间t (h) 与游玩平均速度v (km/h) 之间的函数关系式是__。

生:……

师:音乐湖, 一粒石子投入水中, 不断向外扩展的波纹, 所形成的圆周长C与半径r的函数关系式是__;扩大的圆的面积S与半径r之间的函数关系式是__。

生:……

师:动物园, 用16m长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔, 怎样围可使小兔的活动范围较大?设长方形的长为x (m) , 生物园的面积y (m2) 与长方形的长x (m) 之间的函数关系式是__。

生:……

师:休息室, 要给边长为x米的正方形房间铺设地板, 已知这种地板的价格为每平方米240元, 踢脚线的价格为每米30 元, 如果其他费用为1000 元, 门宽0.8m, 那总费用y (元) 与x (m) 之间的函数关系式是__。

师:出口处, 工作人员告诉我们:八月份游客量为5 万人次, 九、十月份游客量增长率相等, 想一想:九、十月份游客量y (万人) 分别与增长率x之间的函数关系式是__。

生:……

设计意图:从去盐渎公园游玩入手, 给学生创设熟悉的问题情境, 通过问题的解决, 为得出二次函数的定义做好铺垫, 并让学生感受到数学就在我们身边, 激发学生学习数学的好奇心和求知欲。

二、合作探究, 生成理解

师:请同学们观察黑板上这些表达式, 小组讨论:哪些函数关系式是学过的?剩余几个关系式有什么共同特征?

生:……

师:你能类比一次函数的定义, 给二次函数下个定义吗?

生:……

(分小组讨论, 教师可以深入到小组中去, 每个同学都把自己的观点表达出来, 专人记录, 讨论完后, 每个小组派代表展示交流, 教师做适当引导点拨, 得到问题的结论)

设计意图:通过分析、交流, 探求二次函数的概念, 加深学生对概念的理解, 为解决问题打下基础。

师:思考以下几个问题:

1.二次函数满足哪种形式?反过来, 满足a为常数, a≠0 的形式一定是二次函数吗?

2.自变量、函数值有取值范围吗?如果有, 说出取值范围。

生:……

师:下列函数 (x、t是自变量) 中, 哪些是二次函数?哪些不是二次函数?

(1) s=3-2t2;

(2) y=x+1;

(3) y=3 (x-1) 2+1;

(4) y= (x+3) 2-x2;

(5) y=-2x2+x3-1;

(6) y=ax2+bx+c (a、b、c是常数) 。

生:……

师:函数y=xk+1是二次函数, 求k值。

生:……

师:函数y= (k-1) xk2+1+kx+1 是二次函数, 求k值。

生:……

设计意图:通过观察、归纳定义加深对概念的理解, 既培养了学生的实践能力, 又培养了学生的探究精神, 并通过开放性的练习培养学生思维的发散性、开放性, 增添了课堂的趣味性。

三、联系生活, 应用概念

师:二次函数是刻画现实世界的一种有效模型, 在数学问题的研究中有着广泛的应用。

师:菱形的两条对角线相差6 (cm) , 写出较长对角线长x (cm) 与菱形面积S (cm2) 之间的函数关系式。

生:……

师:毕业将至, 大冈初级中学九 (2) 班的n名同学相互赠送卡片祝福, 写出卡片的总张数m (张) 与学生数n (名) 之间的函数关系式。

生:……

师:已知一个直角三角形的两条直角边长的和是10 (cm) , 这个直角三角形的面积为S (cm2) , 其中一条直角边长为x (cm) , 写出S (cm2) 与x (cm) 之间的函数关系式。

生:……

设计意图:判定、求值、应用三个大问题的设计, 由浅入深, 层层递进, 在复习旧知的同时获得解决新问题的经验, 进一步内化新知、突破难点。整个探究过程都是让学生自己去探索, 在探索中发现新知, 在交流中归纳新知, 把学习的主动权交给学生, 增强学生创造的信心, 体验到成功的快乐。

四、迁移创新, 回归生活

师:你能举一个生活中的二次函数y=6x2的例子吗?

生:……

师:你还能举出可以列二次函数的其他实际例子吗?同桌合作, 互相出题。

生:……

设计意图:让学生感知同一表达式可以表示多种不同的意义, 回归生活情境, 以此开发思维, 让学生自编题目, 感受数学魅力, 提高学习趣味性。

五、小结回顾, 快乐提升

师:通过本节课的学习, 你最大的收获是什么?你最大的疑惑是什么?

生:……

设计意图:学生归纳本节课学习的主要内容, 自觉对所学知识进行梳理, 形成体系, 养成良好的学习习惯。

六、类比迁移, 整体把握

师:本节课我们一起了解了二次函数的概念, 当然我们对二次函数的研究才刚刚开始, 本章将对《二次函数》进行系统的研究, 那么本章将研究二次函数的哪些内容呢?不妨作一次思考和展望:八年级上学期我们研究过的一次函数是从哪几个方面进行研究的?我们一起来梳理一下:

生:一次函数的概念———一次函数的图像与性质———一次函数的应用———一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的联系。

师:类比一次函数的研究, 我们将从哪些方面对二次函数进行研究。

生:二次函数的概念———二次函数的图像与性质———二次函数的应用———二次函数与一次函数、反比例函数的联系。

师:我们还可以做一个大胆的猜想:以后研究函数可以从哪几方面去研究?

生:函数概念———函数图像与性质———函数的应用———函数与函数、方程的联系。

师:同学们, 结合刚才的知识结构图, 你认为下节课我们将研究二次函数的什么知识呢?

生:二次函数的图像。

师:我们一起期待下节课二次函数图像的探索。

【教学反思 】

1.数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础上。二次函数第一课时, 教材中安排的内容很少, 学生对函数的知识有了一些了解, 也有些遗忘。由此, 我在上这节课之前, 让学生复习了一次函数和反比例函数的相关知识, 打下基础, 提高知识之间的联系, 由此再引入这节课, 学生便不会感到陌生。

2. 数学来源于生活, 生活处处有数学。引入通过学生熟悉的景点游玩创设情境建立数学模型, 在丰富的背景中, 提出问题, 引导学生思考, 经历知识发生发展的过程, 经历观察、归纳、概括、交流、反思的思维过程, 鼓励学生积极参与这个过程, 主动思考, 自主探究。这样, 既让学生体会到数学来源于生活, 提高学生兴趣, 也让学生感知经历数学模型的创建过程, 通过小组讨论增强学生的合作意识。

3.二次函数的关系式是函数形式化、符号化的重要特征, 教材中二次函数的概念是直接用形式化的方式给出的, 这种表述简洁明了, 便于学生理解和掌握。二次函数的定义和注意事项完全可以由学生总结出来, 并分析其缘由。

生活中的函数 篇8

一、实际情境数学化下激活已学函数概念

问题:教师手中有长度不同的几根电线段, 分别将它们围成正方形 (电线段全部用完) , 那么它们所对应正方形的边长能确定吗?

生:都能确定的.

师:那么所围成正方形的边长关于电线段的长度的关系能否成为函数?

生:是的, 因为电线段长 (周长) 确定后, 围成的正方形的边长也确定了.

师:你能否用字母符号来表示这个函数?

生:边长y (cm) 关于周长x (cm) 的函数解析式为y=

师:那如果是用该电线段围成一个圆, 那么圆的面积关于电线段长的关系是否是函数?

生:也是的, 因为电线长定了, 则对应围成圆的面积也定了, 如果设面积为s, 电线段长为l, 则其函数解析式为s=

师:一般的函数定义是如何的?

生:类似于这个例子.一般地, 在某个变化过程中, 有两个变量x和y, 如果对于x的每一个确定的值, y都有唯一确定的值, 那么我们称y是x的函数, 其中x是自变量.

师:函数有哪几种表示方法?

生: (1) 图像法; (2) 列表法; (3) 解析法.

师:只要符号函数的定义, 其关系可以是各种形式的, 其解析式也可以用多种符号字母来表示, 等都可以是函数, 那么它们都是怎么得出来的呢?

【点评】从简洁的电线段围成正方形或圆的操作中, 让学生认识到一个变量的确定得到另一个变量的确定, 从而激活原有认知中的函数概念, 再通过操作中变量的变换 (面积) , 更强调了变量的对应确定条件及函数解析式的多样性.

二、实际问题变量关系数学化下认识函数

1. 等量关系符号化下求函数解析式.

例1:一辆汽车以每小时60千米的速度匀速行驶, 则汽车所走的路程s (千米) 关于时间t (小时) 的函数解析式为什么?

生:s=60t.

师:你是怎么得到这个解析式的?

生:我是根据生活或科学中的公式得到的, 因为路程=速度×时间.

师:也就是说你是先有实际问题中的量与量的关系, 然后再将其符号化来得到的.此函数中自变量和函数值分别是什么?

生:自变量是时间t, 函数值是路程s.

例2:等腰三角形ABC的周长为10, 底边BC长为y, 腰AB长为x, 求y关于x的函数解析式.

师:你能否借助于图形, 找到一个变量之间关系?

生:周长=2×腰长+底边长.

师:再将此关系符号化能得到什么?

生:10=2x+y.

师:这个式子是否就是所求函数的解析式?

生:不是, 应该变形为y=10-2x.

师:那你能否归纳一下, 在实际问题中如何去求函数解析式?

生:先由实际问题找到其中变量之间的等量关系, 再将其数学符号化, 即设字母并用字母来表示等量关系, 然后将关系式变形为函数.

例3:等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm, AC与MN在同一直线上, 开始时A点与M点重合, 让△ABC向右运动, 最后A点与N点重合.试写出△ABC运动过程中, 重叠部分面积ycm2与MA长度xcm之间的函数关系式.

师:你是怎么分析考虑的?

生:首先图形形状是等腰直角三角形, 那么关系就是它的面积=1/2×直角边的平方.

师:这样你能顺利地得到所求的函数关系式吗?

生:马上就可以得到函数为

师:从上述几个不同问题的解决中, 你觉得它们有何共同点?

生:在实际问题解决中要找出函数关系式时, 先找其中等量关系, 再用字母来表示它, 这样就简单多了.

【点评】学生解决实际问题时遇到的困难往往就是实际问题的数学化, 教师正是针对这个难点进行了有效设计, 引导学生先找出问题中的等量关系, 再将等量关系符号化, 最后通过变形得到函数关系式.

2. 实际条件对应下得出函数自变量的范围.

师:上述的这些实际问题中自变量的取值范围有要求吗?

生:要求t>0和x>0, 因为它们的实际意义分别是时间和边长.

师:例2、例3中的x范围仅x>0就可以了吗?

生:例2、例3中都是0<x<10.

师:那在例2中取x=2时能行吗?

生:不行, 因为这时得到三边长为2、2、6, 不能构成三角形的.噢, 那还有个构成三角形的三边长的条件.

师:那整体应该如何考虑呢?

生:例3中的条件就是0<x<10, 例2需要, 从而得到自变量的范围是2.5<x<5.

师:那么, 中x的取值范围有要求吗?

生:也有的, 第一个中的x不能为1, 第二个中的x范围由得到x≥1.

师:那你能否归纳一下, 函数中自变量的范围有哪些考虑?

生:一是要使得函数解析式有意义, 二是实际变量的意义, 三是其他的隐含条件.

【点评】一方面实际问题转化为数学问题解决时要求变量范围的等价, 即需要等价的数学化, 另一方面自变量的范围特别是隐含条件对学生来说容易漏掉或不太好理解, 通过实际意义可以帮助理解, 如这儿提出的x=2时能否成立即是.

三、函数实际问题解决的运用中培养数学化

例4:游泳池应定期换水, 某游泳池在一次换水前存水936立方米, 换水时打开排水孔, 以每小时31 2立方米, 放水时间为t时, 游泳池内的存水量为Q立方米. (1) 求Q关于t的函数解析式和自变量t的取值范围; (2) 放水2时20分后, 游泳池内还剩水多少立方米?

生: (1) 函数解析式是Q=936-312t.

师:自变量范围要考虑哪些条件?

生:一是时间没有负, 二是时间不能太长, 到水放完为止.

师:然后如何数学化?

生:由t≥0, Q≥0, 得到, 0≤t≤3.

师:放水2小时20分符号化是什么意思?

生:t=7/3, 代入Q=936-312×7/3=208 (立方米) , 所以当放水2小时20分时, 剩水208立方米.

例5:如右图, 正方形EFGH内接于边长为1的正方形ABCD.设AE=x, 试求正方形EFGH的面积y与x的函数式, 写出自变量x的取值范围, 并求当AE=1/4时, 正方形EFGH的面积.

师:这儿的正方形EFGH的面积该怎么找关系?

生:正方形EFGH的面积=大正方形的面积-4个小三角形的面积.

师:再往下应该如何数学化?

生:y与x之间的函数关系式为, 化简后是y=2x2-2x+1.

师:这样的数学式等价吗?

生:还要加上自变量的范围限制, 那是0<x<1.

师:为什么两端不取等号?

生:x是AE的长度, 不能取0的, 否则小正方形就没了.

师:如何求当AE=1/4时, 正方形EFGH的面积?

生:只要将x=1/4代入即可得到y=5/8, 转化回去即是当AE=1/4时, 正方形EFGH的面积是5/8.

【点评】在这个问题解决中, 包含着变量关系数学化下的函数表达式得出, 也包括了实际问题下变量范围转化等价下的数学化, 特别对范围的端点等的追问更能突出数学化的意识.

四、问题解决的归纳和小结整理中, 突出数学化思想

师:好好想想, 这节课你掌握了哪些重要的内容?

生:求函数的解析式时, 可以先得到函数与自变量之间的等式, 然后解出函数关于自变量的函数解析式: (1) 代数式要有意义; (2) 符合实际要求, 有些要求还是隐含的.

生:解决函数的3类基本问题: (1) 求解析式, (2) 求自变量的取值范围, (3) 已知自变量的值求相应的函数值或者已知函数值求相应的自变量的值.

师:通过本节课的学习, 你觉得如何运用数学解决实际问题?

生:主要是数学化, 其过程是先阅读理解后寻找等量关系, 再通过设变量字母将等量关系符号化, 然后通过数学方法或工具解决数学问题, 其中包括函数的表达式和其中变量的取值范围等.最后回归到实际问题中验证得出.

师:对, 这就是数学化的思想, 在实际问题转化为数学问题, 再通过数学问题的解决转化回答实际问题的过程中, 要注意什么?

生:要注意的是范围的等价.

师:这即是数学问题解决过程中的等价转化思想, 它体现在实际问题解决的两个转化中, 上面的自变量取值范围等即是.

特征函数在实变函数教学中的应用 篇9

下面我们分三部分来论述特征函数在集合和函数的转化, Lebesgue测度与Lebesgue积分之间转化中的桥梁作用;以及探讨了特征函数在积分理论的应用。

1 特征函数联系集合的极限运算与函数极限的运算

下面定理表明特征函数架起了集合极限运算与函数极限运算的桥梁。

定理1[1]设An是一集合列则

定理的证明可参考[2]或[3]。定理1的两个等式左端是集合的极限, 右端是函数的极限, 定理1表明:通过特征函数可以很巧妙的把集合的极限和函数的极限联系起来。

2 特征函数与可测函数的联系

可测函数是Lebesgue积分的积分函数, 可测函数在实变函数中的地位, 相当于连续函数在经典数学分析中的地位。

可测函数的定义就是用可测集来表示的, 从而由集合的可测性可以判定函数的可测性。其次, 连续函数一定可测, 反之则不然。从这个意义上说可测函数是连续函数的推广。我们知道, 连续函数列的极限不一定是连续的, 与连续函数不同, 可测函数列的极限函数仍是可测函数, 可测函数对极限的封闭性为我们的分析和推导带来极大的便利。下面我们讨论特征函数与可测函数的关系。

首先, 可测集上的特征函数就是可测函数。这可以从下面的例子得以验证。

例1设, 是A的特征函数, 则在Rn上可测当且仅当A是可测集。事实上, 由特征函数的定义可知, 对任意的实数a, 有

由可测函数的定义可知, 经典的数学分析中常碰到的函数基本上都是可测函数。因此要构造一个不可测的函数是比较难, 由例1得到启示, 很多情况下我们构造的不可测函数就是定义在不可测集上的特征函数。

其次, 特征函数可以表示一类特殊的可测函数-简单函数, 特征函数的线性组合就是简单函数。

最后, 也是最重要的是, 简单函数的极限可以表示任何的可测函数。具体叙述成下面定理。

定理2[1]设是可测函数。则存在简单函数列处处收敛于并且若有界, 则上述的收敛是一致的。

定理的证明可以在任何一本实变函数教材中找到, 故省略。由定理2, 容易得到如下推论:设是一给定函数。则为可测函数的充要条件是存在简单函数列处处收敛于

定理2事实上给出了可测函数的一个构造性的特征。

归纳起来, 我们得到特征函数和可测函数的关系图:特征函数 (线性组合) 简单函数可测函数。

3 特征函数与可积函数的联系

定理2表明, 一个非负可测函数可以用一列单增的非负简单函数来逼近。而非负简单函数往往是比较容易处理的。这样, 我们在研究可测函数的某些性质时, 可以先考虑非负简单函数, 通过取极限的过程, 得到非负可测函数的相应的性质。而一般的可测函数有可以表示成正部和负部这两个非负可测函数的差。因此又可以得到关于一般可测函数相应的结果。这种方法在研究可测函数的积分性质时常常用到。

首先特征函数与Lebesgue可积函数的关系可以从Lebesgue积分的定义方式给了我们非常清晰的证明思路, 就是从特殊到一般的层进式思路, 可表示成:特征函数非负简单函数非负可测函数一般可测函数。这种几乎程序化的方法在实变函数中随处可见, 特别是在处理有关可积函数的逼近的问题中, 本质上这种方法就是利用了非负简单函数在可积函数中稠密的性质, 称为稠密性方法。

其次, 特征函数在测度和积分两者的转换中扮演着桥梁的作用。这可以下面的简单的事实来说明:由此可以解决很多联系测度与积分的问题。下面给出两个例子。

例3[2]设是E上的非负可测函数, En是E的一列可测子集, 使得

证明令, 由En的单增性, 容易知道gn是一列非负单增的可测函数, 由定理1, 可知其收敛函数为因此可以直接对gn用Levi单调收敛定理, 得

说明:上述例子说明, 利用特征函数可以简单的证明非负可测函数关于集合的连续性。

以下再给一个例子, 说明特征函数在测度与积分转化中的作用。

例4[3]设En是E的一列可测集, 使得则对几乎处处的, 只属于有限个En。

证明由已知由逐项积分定理, 知从而对几乎处处的这就说明只属于有限个En。

说明:从上述例子的证明过程, 我们发现问题的关键在于将测度转化为积分, 然后利用可积函数的性质, 再还原成测度的性质。

关于特征函数在实变函数应用还有很多, 教师通过在教学过程中要重视特征函数在教学中的作用, 让学生开阔思路、积极参与课堂教学。由于特征函数结构非常简单, 学生容易掌握, 因此可以把特征函数的应用作为一个专题课, 在课堂上讨论, 由学生动手查资料、总结、写报告, 这样一方面避免了实变函数教学陷入枯燥、晦涩、难懂的尴尬局面, 另一方面提高了学生学习兴趣的同时, 又提高学生自学能力、科研能力, 这是一举多得的好方法。

参考文献

[1]侯友良.实变函数论[M].武汉:武汉大学出版社, 2008.

[2]周民强.实变函数解题指南[M].北京:北京大学出版社, 2007.

生活中的函数 篇10

考试源于课本而不拘泥于课本，教材上的例习题都是很典型的，要求学生不断挖掘教材中例习题的多种功能，在函数模型中，对增长率的应用由表及里，能培养学生思维的深刻性。

心理学家研究表明：人的认识总是由浅入深、由表及里、由具体到抽象、由简单到复杂的。因而所设计的尝试学习问题必须遵循人的认识规律，采取低起点、小步子、多训练、快反馈的方法，使学生认识活动划分为由易到难、由简到繁的若干递进层次，使学生逐步地多次地获得成功，保护学生的旺盛的学习积极性，培养思维的深刻性。如在讲指数函数的定义及应用时，可根据教材设计如下。

题组一：巩固型题组，为熟悉基本知识、方法而设置。

问题1：根据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP(国内生产总值)年平均增长率可望达到7.3%，那么，在2001—2020年，各年的GDP可望为2000年的多少倍?(人教版A版必修1P48引例)

如果我们把2000年的GDP看成是1个单位，2001年为第一年，那么：

1年后(即2001年)我国的GDP可望为2000年的(1+7.3%)倍;

2年后(即2002年)我国的GDP可望为2000年的(1+7.3%)2倍;

3年后(即2003年)我国的GDP可望为2000年的____倍;

4年后(即2004年)我国的GDP可望为2000年的____倍;

……

设x年后我国GDP为2000年的y倍，那么

即从2000年起，x年后我国的GDP为2000年的1.073x倍。

该题虽然简单，但学生的理解还处于一知半解的状态，为了使学生掌握其通性通法，举一反三，达到触类旁通的境界，我作了如下变式：

问题2：某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林____。

A.14400亩%%B.172800亩%%C.17280亩%%D.20736亩

问题3：某山区加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x年，绿色植被面积可增长为原来的y倍，则函数y=f (x) 的大致图像为_____。

既补充和延伸了课堂教学，消除了学生的疑虑，排除了干扰，又培养了学生的质疑精神、科学的批判精神和锲而不舍的学习精神，我们何乐而不为呢?

题组二：提高型题组，为提高运用知识，方法的能力而设置。

教材往往只是研究问题的基本形式，并用与之相应的习题让学生训练，这样即使把有关问题做遍了，也只能是把握问题的某个方向。因此，教师要挖掘例习题深层次的知识点，纵横联系，多角度地考虑问题，使思维呈现辐射状展开，开阔视野，拓展思维。

问题1：某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1000个。为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本，若每个蛋糕成本增加的百分率为x (0

(1)写出y与x的关系式;

(2)为使日利润最大，问x应取何值?解：(1)由题意得：

问题2：某人2010年1月1日到银行存入一年期存款a元，若按年利率为x，并按复利计算，到2015年1月1日可取回款%%%%。

问题3：某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下。

题组三：发展型题组，为使思维灵活变通、强化创新意识而设置。

问题1：截止到1999年底，我国人口约13亿。如果今后能将人口年年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少(精确到亿)?

解：设今后人口年年平均增长率为1%，经过x年后，我国的人口为y亿。

1999年底，我国的人口为13亿;

经过1年(即2000年)，人口数为13+13×1%=13×(1+1%)(亿);

经过2年(即2001年)，人口数为13×(1+1%)+13×(1+1%)×1%=13×(1+1%)2(亿);

经过3年(即2002年)，人口数为13×(1+1%)2+13×(1+1%)2×1%=13×(1+1%)3(亿);

……

所以, 经过x年, 人口数为y=13× (1+1%) x (亿) .

当x=20时, y=13× (1+1%) 20≈16 (亿) .

所以，经过20年，我国人口数最多为16亿。

在实际问题中，经常会遇到类似问题的指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为P，经过x次增长，该量增长到y，则y=N (1+p) x (x∈N)。形如y=kax (k∈R，且k≠0;a>0，且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是非常有用的函数模型。

问题2：某工厂生产总值月平均增长率为p，则年平均增长率为%%%%。

问题3.2010年我国工农业总产值为a亿元，到2030年工农业总产值实现翻两番的战略目标，年平均增长率至少要达到%%%%。

问题4.某商品2010年零售价比2009上涨25%，欲控制2011年比2009年只上涨10%，则2011年应比2010年降价____。

对增长率的函数模型，由浅入深，层层递进，环环相扣，把思维逐渐引向深入，使学生在轻松中品尝成功的喜悦，既掌握了基础知识，又充分认识了问题的本质，训练了学生的数学思维。

学生解题的实质是基本问题的各种各样的变化形式，对教材中的增长率进行变式，使之貌似原题，又不同于原题，并拾级而上，让学生从不同角度、不同侧面去思考和探索问题，加深对知识内涵、外延的理解，以求在变化中拓宽思想激发思维;使学生感到轻松、愉快，在学生的脑海中留下了深刻印象，既分清了问题的变化类型，又把所学知识系统地运用，从中获得概括的知识，把握了基本题中所衍生出的不同类型，使之从单一化、固定化模式中转入多棱化、多角化和多面化模式，从而获得上升性思维能力。

在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望自己是一个发现者、探索者。教师应该鼓励学生大胆探究与猜想，深刻领悟新课程改革精神，认真研究教学要求，以学生为本，精心设计例习题，以培养学生的合作能力和创新素质为己任，给学生一片自主探索的天空，使学生的创新能力得到培养，个性品质得到和谐发展。

生活中的函数 篇11

函数是中学数学的主线，贯穿整个中学数学之中.函数的三要素是定义域、值域和对应关系，函数的性质有单调性、奇偶性、周期性等，而这些要素和性质有时比较隐含，如果仅从表面形式上看，则比较复杂，一时难以弄清思路，甚至感到问题难以解决.但如果我们能抽丝剥茧，挖掘其隐含条件，透过表象而抓住问题的本质，则往往会使问题解决感到很简便，让人眼睛一亮，茅塞顿开，有一种“不识庐山真面目，只缘深在此山中”的感觉.

1定义域的隐含

有些函数，表面上看较为复杂，但如果我们求出其定义域或抓住其定义域中的某些隐含属性，就能将函数式进行化简或求出某些量，使问题简化，解决起来很简单.

例1判断函数f（x）=4-x2|x+2|-2的奇偶性.

解函数的定义域为-2≤x≤2且x≠0，定义域关于原点对称，因为x+2≥0，所以|x+2|=x+2，所以f（x）=4-x2x+2-2=4-x2x，易知f（x）是奇函数.

点拨不少学生由于仅仅从表象上看，得出函数f（x）是非奇非偶函数这一错误结论.这一道题的关键点是挖掘函数定义域这一隐含条件，然后把绝对值去掉，将函数式进行化简.

例2已知函数f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，它的定义域是[a-1，2a]，求f（x）的值域.

解因为f（x）是偶函数，所以定义域关于原点对称，又定义域为[a-1，2a]，所以a-1=-2a，所以a=13.由f（x）是偶函数得b=0，所以f（x）=13x2+1，定义域为[-23，23]，易得值域为[1，3127].

点拨本题隐含条件是“奇偶函数定义域关于原点对称”，利用这一属性可求出a的值.不少学生因忽视了奇、偶函数定义域关于原点对称这一属性，没有想到可以求出a的值，而是对a分情况讨论，出现了错误的解法.

2值域的隐含

有些函数或方程，其值域比较隐含，如果抓住了这一本质，就找到了问题解决的突破口，给人一种茅塞顿开的感觉，让人感到心旷神怡，美不胜收.

例3已知P是函数f（x）=-2cosx（x∈[0，π]）图象上的一点，Q是函数g（x）=12x2+lnx图象上的一点，在P点处的切线与在Q点处的切线平行，求直线PQ的斜率.

解f′（x）=2sinx（x∈[0，π]），g′（x）=x+1x（x>0），假设P（x1，y1），Q（x2，y2），则依题意f′（x1）=g′（x2），但f′（x1）=2sinx1≤2，g′（x2）=x2+1x2≥2，所以f′（x1）=g′（x2）=2，等号成立条件是x1=π2，x2=1.所以y1=0，y2=12，即P（π2，0），Q（1，12），所以kPQ=121-π2=12-π.

点拨本题的关键点是发现等式两边的值域分别为f′（x1）≤2，g′（x2）≥2，所以f′（x1）=g′（x2）=2，这是问题解决的突破口，而这也恰恰成为相当一部分学生盲点或者说是不易发觉的点.

例4已知函数f（x）满足如下三个条件：①对任意x1，x2∈[0，1]，x1

解由②知f（0）=12f（0），所以f（0）=0，由③知f（0）+f（1）=1，所以f（1）=1，由②知f（15）=12f（1）=12，由③得f（12）+f（12）=1，所以f（12）=12.

所以f（15）=f（12）=12，由①知当15≤x≤12时，f（x）=12，所以f（13）=12.

所以由②知f（115）=12f（13）=12×12=14，所以f（12）+f（15）+f（115）=12+12+14=54.

点拨本题的关键点是“两边夹”法则，由f（15）=f（12）=12及函数的单调性得15≤x≤12时f（x）=12，而这一点也是不少学生不容易想到的.

3函数性质的隐含

有些函数，其单调性与奇偶性这些性质往往比较隐含，如果不把这些隐含的性质挖掘出来，仅仅根据解析式的表象，则问题解决比较困难，甚至于无法求解.而如果利用这些隐含的性质，则使问题解决变得十分轻松，给人一种哥伦布发现新大陆的感觉，美妙无比，思维受到很大的启发.

例5已知f（x）=ln（x+1+x2），f（a）+f（b-1）=0，求a+b的值.

解易知f（-x）+f（x）=0，所以f（x）为奇函数.又根据复合函数的性质易知f（x）在（0，+∞）上为增函数，而奇函数不改变函数的单调性，所以f（x）在（-∞，0）上也为增函数，又f（x）是连续函数，所以f（x）在（-∞，+∞）上为增函数.由f（a）+f（b-1）=0得f（a）=-f（b-1）=f（1-b），所以a=1-b，所以a+b=1.

点拨本题的关键是挖掘函数的隐含性质：单调性和奇偶性，利用性质轻松解题，让人眼睛一亮，给人以简洁美的享受.题目中没有明确给出函数的单调性与奇偶性，而要靠自己去发掘，去发现，这也是不断提升思维品质的关键所在.

例6已知f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（-32+x）=f（32+x），当x∈（0，32）时，f（x）=ln（x2-x+1），则函数f（x）在区间[0，6]上的零点的个数是

A.3B.5C.7D.9

解易知f（x+3）=f（x），所以周期T=3，根据题设，易画出y=f（x）在[0，6]上的草图如下：

在f（-32+x）=f（32+x）中，令x=0得f（-32）=f（32），又f（-32）=-f（32），所以-f（32）=f（32），所以f（32）=0，所以f（92）=f（3+32）=f（32）=0.

所以函数f（x）在[0，6]上零点个数为9，选D.

点拨本题中隐含着奇函数的性质，学生不容易发现f（32）=0，从而f（92）=0，从而导致得出零点个数为7的错误答案.

4数列中的隐含

数列也是函数，而对于数列中的某些隐含条件，如果加以挖掘，则会使问题巧妙解决.

例7已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1=a（a>0），b1-a1=1，b2-a2=2，

b3-a3=3，若数列{an}唯一，求a的值.

解设{an}的公比为q，则由已知b1=1+a，b2=2+aq，b3=3+aq2，又{bn}为等比数列，所以b22=b1b3，即（2+aq）2=（1+a）（3+aq2），整理得aq2-4aq+3a-1=0.（*）

由于Δ=16a2-4a（3a-1）=4a2+4a>0（因为a>0），所以方程（*）有两个不等的根，而等比数列{an}唯一，所以方程（*）必有一根q=0，将q=0代入方程（*）得3a-1=0，所以a=13.

点拨本题的隐含条件是等比数列的公比q≠0，而方程（*）有两个不等的根，所以必有一根为q=0，这是解决问题的突破口.

本文仅仅研究了函数方面的隐含条件，其实数学中的隐含条件有很多，既有代数方面的，也有几何方面的，如果解题中不能挖掘这些隐含条件，透过现象抓本质，而仅仅停留在问题的表面上，则往往使问题解决变得非常复杂，甚至于出现错误结果.在平时的解题中，就是要养成多思考、多总结、多归纳的良好习惯，要训练思维的深刻性，增强思维的评判性，要善于抓住问题背后隐含的条件或者本质，克服思考问题的简单性和片面性.要通过解决一个问题，发现和联想一片问题，达到“见树木更见森林”的境界.

作者简介吴成强，男，1963年生，中学高级教师，安徽省特级教师，池州市首届拔尖人才，池州市首批名师工作室主持人，池州市学科带头人，池州市优秀教师，十佳教师，安徽省教坛新星，安徽省先进工作者（省劳模），全国五一劳动奖章获得者，苏步青数学教育奖获得者.在省级以上刊物发表学术论文50多篇，有两篇论文被中国人民大学书报资料中心《高中数学教与学》全文转载.

Matlab中的随机函数 篇12

随机数是专门的随机试验的结果。

在统计学的不同技术中需要使用随机数,比如在从统计总体中抽取有代表性的样本的时候,或者在将实验动物分配到不同的试验组的过程中,或者在进行蒙特卡罗模拟法计算的时候等。

产生随机数有多种不同的方法,这些方法被称为随机数发生器。随机数最重要的特性是:它所产生的后面的那个数与前面的数毫无关系。真正的随机数是使用物理现象产生的:比如掷钱币、骰子、转轮、使用电子元件的噪音、核裂变等。这样的随机数发生器叫做物理性随机数发生器,它们的缺点是技术要求比较高。

在实际应用中往往使用伪随机数就足够了。这些数列是“似乎”随机的数,实际上它们是通过一个固定的、可以重复的计算方法产生的。计算机或计算器产生的随机数有很长的周期性。它们不真正地随机,因为它们实际上是可以计算出来的,但是它们具有类似于随机数的统计特征。在真正关键性的应用中,比如在密码学中,人们一般使用真正的随机数。

2 伪随机数与伪随机数生成器

所谓伪随机数,就是用数学递推公式所产生的一组数目巨大的数,这组数的出现符合一定的概率分布,并且这组数能通过相应的随机性测试,将这组数称为随机数。但是由于其本质仅仅是用一组确定的数对真随机数所表现出来的相关性质的近似,在有些场合下就无法满足应用要求,或者说是“随机性质不够了”,如现在使用最广泛的一种伪随机数产生算法,线性同余算法,无法满足蒙特卡罗模拟对随机性的要求。

Matlab默认使用的随机数生成算法Mersenne twister是目前较好的一种伪随机数产生算法,可以满足很多场合的应用,如蒙特卡罗模拟等。所有满足不同分布的伪随机数,都可以通过对均匀分布伪随机数的数学变换得到,均匀分布伪随机数的产生算法,是伪随机数产生算法的根基,线性同余算法、Mersenne twister算法,都是均匀分布伪随机数的产生算法。

伪随机数的产生,首先是选取种子,然后是在此种子基础上根据具体的生成算法计算得到一个伪随机数,然后利用此伪随机数再根据生成算法递归计算出下一个伪随机数,直到将所有不重复出现的伪随机数全部计算出来。这个伪随机数序列就是以后要用到的伪随机数序列。上面的计算过程可以一次性计算完毕,也可以使用一次递归计算一次,每次生成的伪随机数就是这个伪随机数序列中的一个,不过不管怎么样,只要确定了种子,确定了生成算法,这个序列就是确定的了。所谓种子,就是一个对伪随机数计算的初始值。既然是确定的了,那么当使用某种算法计算给出一个伪随机数,下一次计算时出现的数也就是固定的。

伪随机数的“随机”在于,虽然下次计算产生的数是一个固定的数,但是这种出现的模式,以及整个伪随机数序列,却能通过大部分随机性测试实验,这说明对随机性测试实验来说,伪随机数的表现同真随机数接近,这样在一些不是很苛刻的应用场合,就能拿这组伪随机数来用,使用时的外在表现同真随机数是较近似的。

Matlab刚运行起来时,种子都为初始值,因此每次第一次执行rand得到的随机数都是相同的。

如果计算机速度足够快的情况下,当然按下回车键时不可以停顿,哪怕是很短暂的停顿。试运行一下:

A和B是相同。

这就是伪随机数的一个缺陷。

3 随机数原理

Matlab的随机函数产生的随机数都是根据伪随机数序列获取的,在v7.7以上的版本中,有如下的伪随机数产生器:

Mersenne twister,Multiplicative congruential generator,Multiplicative lagged Fibonacci generator,Combined multiple recursive generator,Shift-register generator summed with linear congruential generator,Modified subtract with borrow generator。

相关的指令即可选择不同的产生器。

默认的情况下,Matlab在启动时总是将各个产生器的种子设为0,这样造成编写包含随机函数的程序每次运行的结果都是固定的,为了改变这种情况,可以将系统时间设置为种子:

这样每次Matlab启动时种子设置的不同会使得计算得到的随机序列不同。在7.7版本以上,随机序列的生成通过RandStream对象来实现,与7.7以前的版本不同。

RandStream对象的使用可简单总结如下:要生成一个随机数,首先需要一个伪随机数序列,这个序列通过设定种子和生成算法来确定,RandStream的构造函数或RandStream.create方法即用来完成此任务;然后需要使用RandStream.setDefaultStream函数将确定好的序列对象设置为当前Matlab使用的序列;最后通过rand等函数就可以用此序列生成随机数了。当然也可以不用将其设置为默认序列,使用rand函数可以指定从哪个序列中生成随机数:

使用RandStream.create函数可以创建独立同分布的随机序列,如

要使得前后两次生成的随机数保持一样,可以将递归计算的过程中的伪随机数状态记录下来,然后下一次计算总是基于这个记录下来的伪随机数状态来进行,这样每次计算得到的随机数就总是相同的:

各个指令具体的使用方法可以通过helpdesk命令,搜索RandStream来查看。v7.7以上版本为了与旧版本保持兼容,保留了原来如rand(‘state’,0)这种伪随机序列设置方法,称之为legacy mode,有关legacy mode的内容也可以在RandStream项中找到。

4 Matlab的随机函数randn、randsrc和rand

4.1 randn函数

RANDN产生正态分布数的语法:

RANDN(N):产生N×N的矩阵,其元素是按正态分布的数组。

RANDN(M,N)and RANDN([M,N]):产生M×N的矩阵。

RANDN(M,N,P,...)or RANDN([M,N,P...])产生随机序列。

RANDN产生伪随机数的语法:发生器的状态决定所产生数的序号。

S=RANDN(‘state’)是一个二元向量,包括标准发生器的状态。

RANDN(‘state’,S):设置发生器的状态为S(即标准状态)。

RANDN(‘state’,0):设置发生器的初始状态。

RANDN(‘state’,J):J为整数,设置发生器到J阶状态。

MATlAB 4.X应用一个单独的种子来产生随机数。

RANDN(‘seed’,0)和RANDN(‘seed’,J)作用与RANDN(‘state’,0)和RANDN(‘state’,J)一样,但使用Matlab 4.x随机数发生器。RANDN(‘seed’):返回Matlab 4.X发生器的当前种子。

4.2 randsrc函数

无参数,则随机输出-1或1。

有参数,输出m*m或m*n矩阵,按照1/2的概率随机分布-1和1,如果有alphabet参数,则按照同样的概率输出由该参数确定的数字。再有prob参数,确定每一个数字的出现概率。

x=randsrc(1,50,[4 5 6;0.1 0.8 0.1]),表示4,5,6服从0.1,0.8,0.1的概率分布。

4.3 rand函数

rand机生成一个在开区间(0,1)之间的随机数。

设取值区间为(a,b),则要在此区间选取一个m*n随机矩阵,程序为:a=rand(m,n)*(b-a)+a若要求随机数是整数,则添加函数fix(向零方向去整)、floor(不大于自变量的最大整数)、ceil(不小于自变量的最大整数)、round(四舍五入到最邻近的整数)即可。

5 结语

在实际应用中很多地方都要用到伪随机数,如何选择生成随机序列的种子参数,以及选用何种随机算法以期生成性能更佳的伪随机序列是计算机软件开发人员追求的目标之一。但是不能一味追求最接近真实的随机数,这是一个很困难的事情,只要把握着够用、实用即可,相信通过不停地尝试总能找到一个合适的方法来生成满足自己条件的伪随机数。

摘要：随机数在实践环境模拟和测试等领域中得到很广泛的应用。由于用物理方法产生的随机数因种种缺点无法应用到一般的研究中。为满足计算机模拟研究的需求,人们转而研究用算法生成模拟各种概率分布的伪随机序列。该文对Matlab中的随机数进行了较为全面的分析。

关键词：随机数,伪随机数产生,rand,概率分布

参考文献

[1]张志勇.精通MATLAB6.5版[M].北京航空航天大学出版社,2003.

[2]徐金明.MATLAB实用教程[M].清华大学出版社,北京交通大学出版社,2005.

[3]求是科技.MATLAB7.0从入门到精通[M].人民邮电出版社,2006.

[4]姜启源,等.大学数学实验[M].清华大学出版社,2005