三角函数

三角函数（通用12篇）

三角函数 篇1

三角形中的三角函数问题经常出现在各种考试中,它主要考查三角形中边角关系的转化.要顺利解决这类问题,常常需要综合利用三角形中边角的关系、正弦定理、余弦定理、三角形的面积以及三角函数的变换等知识.

一、求角——优先考虑特殊三角形

考试题中所求的角一般是特殊角,因此求角时要优先考虑和利用特殊三角形,比如等边三角形、等腰三角形或直角三角形,可运用先猜后证明的策略,有时要将已知条件转化成两边都是一个相同三角函数的等式,从而求出角的值.

例l (2010年全国卷Ⅰ)已知△ABC的内角A、B及其对边a、b满足a+b=acotA+bcotB,求内角C.

a点评:本题考查正弦定理及两角差的正弦公式,将已知等式转化为两边都是一个同名三角函数的等式,从而得出角的关系,解决问题.在求角时,特别要注意角的取值范围.将两个同角的正弦及余弦的和或差化为一个三角函数,常常用到.

二、求三角函数值(最值)

求三角函数式的值或最值,首先要分析式子的结构,比如对称性、角或边及指数是否齐次等,然后在解法选择上考虑“特值探路与通法验证”.解题的通法是利用正弦定理、余弦定理把已知条件中三角形的边转化为角的三角函数,或将已知条件中三角形的角转化为边,再求三角函数式的值(最值).

例3 (2010年浙江)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积,满足.(Ⅰ)求角C的大小;(Ⅱ)求sinA+sinB的最大值.

分析:对于第Ⅰ问,用替换,再用变形公式a2+b2-c2=2abcosC,完成由边到角的转化.第Ⅱ问将sinA+sinB转化成asinα+bsinα的形式,最后化为y=Asin(ωx+φ)形式.

点评:解此类试题的主要方法和途径是利用正弦定理和余弦定理进行边与角的互化.同时,解题时要利用好三角形内角和进行角与角之间的相互转化,并明确角的取值范围,最后利用三角函数的有界性求最值.

三、判断三角形的形状

判断三角形的形状问题,一般有三种情况:(1)利用角的关系判断三角形的形状;(2)利用边的关系判断三角形的形状;(3)利用角的余弦函数值判断三角形是否是锐角、直角、钝角三角形.

例4 (2010年上海)若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC=5:11:13,则△ABC()

(A)—定是锐角三角形

(B)—定是直角三角形

(C)一定是钝角三角形

(D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形

分析:根据题目已知条件不容易求出三角形各内角的准确度数.由于锐角、钝角的正弦值都是正数,钝角的余弦值是负数,因此要区分锐角还是钝角,用角的余弦值比用角的正弦值更可行.故本题最终用余弦定理.

解:由sinA:sinB:sinC=5:11:13及正弦定理得a:b:c=5:11:13.再由余弦定理得,所以角C为钝角.选(C).

点评:正弦、余弦定理都可以实现三角形边与角的互相转化,解时要灵活运用.注意在用余弦定理判断时应从较大的角入手,尽可能地减少运算量.

例5 (2010年辽宁)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+B)sinC.(1)求A的大小;(2)若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状.

解:(1)由已知,根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc.再由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得,.

(2)由 (1)得sin2A=sin2B + sin2C+ sinBsinC.又sinB+sinC=1,得sinB= sinC= .因为0°

四、三角形的三角函数综合问题

这类问题综合解三角形的知识,并与向量、函数及方程等联系在一起,涉及求三角形的边长、面积及利用三角形构造建模函数等. 重点要理解基础知识,掌握解题的通性通法, 有时甚至需要数学建模能力.

例6 (2010年安徽)设△ABC是锐角三角形,a,b,c分别是内角A,B,C所对应的边长, 并且 .

(1)求角A的值;

(2)若,求b,c(其中b

分析:第1问,利用同角三角函数关系公式及两角和与差的正弦公式展开可解决.第2问, 由向量数量积及余弦定理建立关于b,c的目标方程组.

点评:很多公式就是一个多元的方程.比如本题求b,c,可通过bc=24与b2+c2=52联立成方程组求解.

总之,高考三角形中的三角函数问题每年都以不同的形式出现,但万变不离其踪,主要是运用三角函数的定义、重要的三角变换、正弦定理、余弦定理、三角形的面积等基础知识解决问题,因此复习时要抓好重点知识的熟练与深化.同时要关注题型训练和变式训练,注意通性通法的教学和数学思想方法的渗透以及运算能力的提高.

三角函数 篇2

用途：返回某一参数的绝对值，

语法：ABS(number)

参数：number是需要计算其绝对值的一个实数。

实例：如果A1=-16，则公式“=ABS(A1)”返回16。

2.ACOS

用途：返回以弧度表示的参数的反余弦值，范围是0~π。

语法：ACOS(number)

参数：number是某一角度的余弦值，大小在-1～1之间。

实例：如果A1=0.5，则公式“=ACOS(A1)”返回1.047197551(即π/3弧度，也就是600);而公式“=ACOS(-0.5)*180/PI()”返回120°。

3.ACOSH

用途：返回参数的反双曲余弦值。

语法：ACOSH(number)

参数：number必须大于或等于1。

实例：公式“=ACOSH(1)”的计算结果等于0;“=ACOSH(10)”的计算结果等于2.993223。

4.ASIN

用途：返回参数的反正弦值。

语法：ASIN(number)

参数：Number为某一角度的正弦值，其大小介于-1～1之间。

实例：如果A1=-0.5，则公式“=ASIN(A1)”返回-0.5236(-π/6弧度);而公式“=ASIN(A1)*180/PI()”返回-300。

5.ASINH

用途：返回参数的反双曲正弦值。

语法：ASINH(number)

参数：number为任意实数。

实例：公式“=ASINH(-2.5)”返回-1.64723;“=ASINH(10)”返回2.998223。

6.ATAN

用途：返回参数的反正切值。返回的数值以弧度表示，大小在-π/2～π/2之间。

语法：ATAN(number)

参数：number为某一角度的正切值。如果要用度表示返回的反正切值，需将结果乘以180/PI()。

实例：公式“=ATAN(1)”返回0.785398(π/4弧度);=ATAN(1)*180/PI()返回450。

7.ATAN2

用途：返回直角坐标系中给定X及Y的反正切值。它等于X轴与过原点和给定点(x_num，y_num)的直线之间的夹角，并介于-π～π之间(以弧度表示，不包括-π)。

语法：ATAN2(x_num，y_num)

参数：X_num为给定点的X坐标，Y_num为给定点的Y坐标。

实例：公式“=ATAN2(1，1)”返回0.785398(即π/4弧度);=ATAN2(-1，-1)返回-2.35619(-3π/4弧度);=ATAN2(-1，-1)*180/PI()返回-1350。

8.ATANH

用途：返回参数的反双曲正切值，参数必须在-1～1之间(不包括-1和1)。

语法：ATANH(number)

参数：number是-1

实例：公式“=ATANH(0.5)”返回0.549306144;=ATANH(-0.1)返回-0.10034。

9.CEILING

用途：将参数Number沿绝对值增大的方向，返回一个最接近的整数或基数significance的最小倍数。

语法：CEILING(number，significance)

参数：number为待返回的数值，Significance为待返回的最小倍数。

注意:无论number的正负如何，都是按远离0点的方向返回结果。如果number是Significance的倍数，则返回的数值是其自身。

实例：如果A1=3.1416，则公式“=C

“三角函数”单元测试 篇3

1. 将分针拨快15分钟，则分针转过的弧度数是.

2. 设m＜0，角α的终边经过点P（-3m，4m），那么sinα+2cosα=.

3. 函数y=asinx+1的最大值是3，则它的最小值为.

4. 集合M=α|α=kπ2-π5，k∈Z，N={α|-π＜α＜π}，则M∩N=.

5. 已知tanα=-2，则sinα·cosα的值为.

6. 已知sinα=2m-5m+1，cosα=-mm+1，且α为第二象限角，则m为.

7. 函数y=cos2x-sinx的值域是.

8. 若f（cosx）=cos2x，则f（sin15°）的值为 .

9. sin2α+sin2β-sin2αsin2β+cos2αcos2β=.

10. 设函数f（x）=2sinπ2x+π5，若对任意x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1-x2|的最小值为.

11. 如右图，在一平面镜MN的同侧，有相距13 cm的两点A和B，它们与平面镜的距离分别是2 cm和7 cm，现要使由点A射出的光线经平面镜反射后经过点B，则光线入射角∠AOC的正弦值为.

12. 给出下列命题：（1） 存在实数x，使sinx+cosx=π3；（2） 若α，β是锐角△ABC的内角，则sinα＞cosβ；（3） 函数y=sin

23x-7π2是偶函数；（4） 函数y=sin2x的图象向右平移π4个单位，得到y=sin2x+π4的图象.其中正确命题的序号是.

二、 解答题

13. 已知在△ABC中，sinA+cosA=23.

（1） 判断△ABC的形状；

（2） 求tanA-1tanA的值.

14. 已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，若存在正实数m，n，使得h（x）=mf（x）+ng（x）恒成立，则称h（x）为f（x），g（x）在R上的生成函数.若f（x）=sinx2，g（x）=cos2x.

（1） 判断函数y=sinkx（k∈R）是否为f（x），g（x）在R上的生成函数，并说明理由；

（2） 记l（x）为f（x），g（x）在R上的一个生成函数，若lπ3=1，l（π）=4，求l（x）.

第15题图

15. 如右图，摩天轮的半径为40 m，圆心O点距地面的高度为50 m.摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.

（1） 已知在时刻t（min）时点P距离地面的高度f（t）=Asin（ωt+φ）+h，求2 008min时点P距离地面的高度；

（2） 求证：不论t取何整数值，f（t）+f（t+1）+f（t+2）恒为定值.

巩固练习参考答案

《三角函数线学习要点及应用举例》

1. （1） {-1，3};（2） cos1＜sin1＜tan1;（3） （kπ-π4，kπ+π4）（k∈Z）;（4） ①③

2. 2kπ+π3，2kπ+5π6）（k∈Z）.

3. sinα=MP=|MP|，cosα=OM=|OM|，在Rt△OPM中，|OM|+|MP|＞|OP|，即sinα+cosα＞1.

4. 设α的正切线为AT，余弦线为OM，tanα=AT，cosα=OM，1+tan2α=1+AT2=OT2，又OTOP=OAOM，所以OT=OP·OAOM=1cosα，所以1 +tan2α=1cos2α.

5. 由于sin2x＞cos2x|sinx|＞|cosx|，由正弦线和余弦线知|MP|＞|OP|，易知x∈kπ+π4，kπ+3π4（k∈Z）.

《同角三角函数关系式在同角三角恒等式证明中的妙用》

1.左边=11+sin2α+11+csc2α+11+cos2α+11+sec2α+11+tan2α+11+cot2α

=11+sin2α+sin2α1+sin2α+

11+cos2α+cos2α1+cos2α+（cos2α+sin2α）

=1+1+1=3=右边.

2. 因为tanα=13，所以sinαcosα=13，设sinα=k，则cosα=3k，1=cos2α+sin2α=10k2，所以

左边=1cos2α-2sinαcosα+5sin2α

=10k29k2-6k2+5k2=54=右边.

3. 要证tanα·sinαtanα-sinα=tanα+sinαtanα·sinα，只需证tan2α·sin2α=tan2α-sin2α.

tan2α·sin2α=sin2αcos2α·sin2α

=（1-cos2α）sin2αcos2α

=sin2α-sin2αcos2αcos2α

=tan2α-sin2α.

故所证等式成立.

《三角函数图象综合问题选解》

1. 2+22

2. f（x）=sin2x+π4.

3. φ=π2，ω=23或ω=2.

《正、余弦函数有界性的三大应用》

1. ［-2，2］.2. ［-4，4］.3. -12-2，1.

4. （-2，2-1］.

5. 设∠AOB=θ，则AB=asinθ，OA=acosθ，

所以S=asinθ·2acosθ=a2sin2θ，

当sin2θ=1时，S取得最大值a2，此时θ=π4，OA=OD=22a.

6. 原式化为sinx-ycosx=2-2y，即sin（x-φ）=2-2y1+y2.故|2-2y|1+y2≤1，解得4-73≤y≤4+73.

所以ymax=4+73，ymin=4-73.

16. 已知函数f（x）=Asinωx-π3+B（A＞0，ω＞0）的一系列对应值如下表：

x-π6π35π6

4π311π67π317π6

y-1131-113

（1） 根据表格提供的数据，求函数f（x）的一个解析式；

（2） 根据（1）的结果，若函数y=f（kx）（k＞0）周期为2π3，当x∈0，π3时，方程f（kx）=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围.

17. 函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，请选择适当的探究顺序，研究函数f（x）=1-2sinxcosx+1+2sinxcosx的性质，并在此基础上，作出其在-π2，π2上的图象.

怎样解答三角函数试题 篇4

解题通法:发现差异(角度、函数名、运算), 寻找联系(活用公式、技巧、方法),合理转化(执因导果,由果索因).

解题技巧:常值代换(特别是用 “1”的代换);项的分拆与角的配凑;化弦(切)法;降次与升次;引入辅助角:asin θ + bcos θ =(a２+b２)1/2sin(θ+φ),这里辅助角φ所在象限由a,b的符号确定,φ的值由tanφ=b/ a确定.

视角一、三角函数的图象与性质

(1)求f(x)的定义域;

(2)当x∈ [-π /6 ,π/ 6 ]时,求f(x)的最大值.

解析:(1)由分母21/2sin(π /4+x)≠0,得f(x)的定义域为{x|x≠kπ-π/ 4 ,k∈Z}.

(2)先化简函数解析式,得

又当x∈[-π /6 ,π/ 6 ]时,x+φ∈[φ-π /6 ,φ +π /6 ],于是,当x+φ=0时,f(x)的最大值 为51/2.

评注:解答三角函数问题时应当紧紧抓住角、角的范围、函数的单调性、函数值的变化等题根,紧抓题根就能快速解决问题.

跟踪练习:

1.已知函数f(x)=x2-6xsinπx/ 2+1(x∈ R),求函数f(x)零点的个数.

(答案:由f(x)=0,得x2-6xsinπx /2+1= 0,显然x≠0,有x+1/ x=6sinπx 2.在同一坐标系里,作出函数y=x+1 x和y=6sinπx/2的图象,发现它们有8个公共点,即函数f(x)有8个零点.)

2.函数f (x)= Asin(ωx+φ)(A>0,ω> 0,|φ|<π/2)的部分图象2如图1所示.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)已知数列{aｎ}的前n项和为Sｎ,且aｎ是Sｎ与f(π/3 )的等差中项,求数列{aｎ}的通项公式.

(答案:(1)f(x)=2sin(2x+π/6).(2)aｎ=2ｎ－１.)

视角二、三角式的恒等变形

例2求值:cos２x +cos２(π/3－ｘ)+cos２(π/3＋ｘ).

解析:令f(x)=cos２x+cos２(π/3－ｘ)+

cos２(π/3＋ｘ),构造对偶式g(x)=sin２x+

sin２(π/3－ｘ)+sin２(π/3＋ｘ),则f(x)+g(x)=3.

评注:构造对偶关系式,找到问题的解.事实上,把所求三角式记为函数f(x),对该函数求导数,则f′(x)≡0,即f(x)是常数,而f(0) =3/ 2 ,也可立即获解.请读者想一想,你还有其他解答途径吗?直接进行三角恒等变形,可以求解吗?

跟踪练习:

1.求三角式61/2tan 10°+4(2)1/2cos 80°的值.

(答案:21/2.)

2.已知C:x２+(y-1)２=r２与y=sin x有唯一的交点,且交点的横坐标为 α,求值

(答案:两曲线的公共点是其切点,设为点P,用导数探求得公切线的斜率k=cosα.由圆心M(0,1)及题意可得k·kＰＭ=-1,即α=(1 -sinα)·cosα.再利用三角恒等变形获得答案为-4.)

视角三、三角形中的三角函数

例3 在△ABC 中,△ABC的边长和面积分别是a,b,c,S.

(1)求A的度数;

(2)证明:a２≥4(3 )1/2S.

分析:看见题目中的正切,要想到将其转化为正余弦;由正弦定理可以把边与角的三角函数关系统一为角的三角函数.第(1)问的目标是求A的度数,自然要向A转化,这就会联系到三角形的内角和定理.对第(2)问,三角形面积选择哪个公式呢?从第(1)问的答案知A= 2π /3,自然联想出S=1/2bcsin A,这里出现了边长b,c,再从证明目标a２≥4(3 )1/2S里的a２联系到余弦定理,从而使问题获解.

解:(1)由条件,可以得到

因为sin(A+B)=sin C,

所以sin Acos B-cos Asin B=sin B+ sin Acos B+cos Asin B,

有-2cos Asin B=sin B,cos A=-1 /2 ,

又A∈(0,π),可得A=2π /3.

(2)证明:由于S=1/ 2bcsin A=31/2/4bc,

由余弦定理和二元均值不等式,得

评注:对于第(2)问,从余弦定理出发,得a２=b２+c２-2bccos A=b２+c２+bc,用三角形面积公式有3bc=4(3 )1/2S,把中间对接b２+c２+ bc≥3bc等价于b２+c２≥2bc,这样自然就用到二元均值不等式.望着目标、紧紧盯住目标,进行有目的的变形、转化,解题思维路线自然就打通了.这就是“我思,故我发展,我思,故我进步”.

跟踪练习:

1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2槡7,B=60°,a+c=10.

(1)求sin A+sin C的值;

(2)若D为外接圆劣弧上一点,且2AD =DC,求四边形ABCD的面积.

2.设△ABC的边长和面积分别是a,b,c, S,求证:a２+2bc≥4(3)1/2S.(证明略.)

视角四、三角函数的实际应用

例4一条直角走廊宽1.5米,如图2所示.现有一转动灵活的手推车,其平板面的矩形宽为1米,问要想顺利推过直角走廊,平板车的长度不能超过多少米?(cotα=cosα /sinα )

解析:设法引入角度,将平板车的长度用三角函数关系式来表示,进而转化为求解三角函数的最值问题.

如图2,延长AB交直角走廊于A１,B１,设∠CDE１=θ,则∠B１A１E１=∠B１CB=θ,θ∈(0, π/2).

因为CD=AB=A１B１-AA１-BB１,

令显然,函数f(t)在(1,(2)1/2]上是减函数,所以当t=21/2,即

故平板车的长度不能超过(3(2)1/2-2)米.

评注:实际应用题的解答需要建立数学模型,诸如:函数模型、数列模型、不等式模型、解析几何模型等等.而三角函数的应用性问题在高考中也是常见的,有着几何的面孔、三角的关系,有时,导数方法可作为解答的有效工具.

跟踪练习:

1.将一块圆心角为120°,半径为20cm的扇形钢片裁出一块矩形钢片,图3中有两种裁法:使矩形一边在扇形的一条半径OA上,或者让矩形一边与弦AB平行,试问哪种裁法能使截得的矩形钢片面积最大?并求出这个最大值.

(答案:如图3(1)所示,要使矩形面积最大,则O为其一顶点且另一顶点M在上.设∠MOA=θ,则矩形PMNO的面积S１=20· sinθ·20cosθ=200sin 2θ,当θ=45°时,S１有最大值200cm２.

如图3(2)所示,设∠MOA=θ,在 △OMQ中,由正弦定理,得.

由图形的对称性知,∠AOB的平分线OC为矩形PQMN的对称轴,于是MN=2OM · sin(60°-θ).

所以矩形PQMN的面积

当θ=30°时,S2有最大值为

故用第二种方法截得的矩形钢片面积最大,最大面积为

2.如图4,足球比赛场的宽度为a米,球门宽为b米,在足球比赛中,甲方边锋沿球场边线(即图中直线l),带球过人沿直线向前推进.试问:该边锋在距乙方底线多远时起脚射门可使命中角(即图中∠ACB)的正切值最大?(注: 图中AB表示乙方所守球门,AB所在直线为乙方底线,只考虑在同一平面上的情形)

(答案:以l为x轴,AD为y轴,D点为坐标原点,建立直角坐标系,设AB的中点为M , 则根据对称性有AD=(ａ＋ｂ)/2,DB=DM-BM=(a-b)/2 ,由此可知定点A,B的坐标分别为(0, (a+b)/2 ),(0,(a-b)/2 )(a>b>0).设动点C的坐标为(x,0)(x>0),记∠ACD=α,∠BCD=β,且,由二元均 值不等式 知,当时,tan∠ACB最大.)

视角五、三角方法的巧妙应用

例5如图5所示,过定点P(a,b)(a>0,b >0)的动直线l与x轴,y轴分别交于A,B两点,试求在第一象限围成的Rt△OAB周长的最小值.()

应用二元均值不等式,得

评注:其实,也可以用万能公式求最小值. 事实上,令t=tanθ/2(0<t<1),接上面的解法,应用万能公式

应用柯西不等式,得

作为上述问题的应用,取a=2,b=1有如下试题:过定点P(2,1)的直线l交x轴正半轴于A,交y轴正半轴于B,O为坐标原点,则 △OAB周长的最小值为( ).

(A)8 (B)10

(C)12 (D)4( 5)1/2

(答案:B.)

跟踪练习:

1.求函数y=x+ (1-x２)1/2的值域.(答案: [-1,21/2].由于-1≤x≤1,可设x=sinθ,-π/2≤θ≤２π,则原函数可化为y=21/2sin(θ+４π),可得所求函数的值域为[-1,21/2].)

2.已知a,b均为正数,且满足1 /a+2/ b=1/ 4 , 求a+b+( a2+b2)1/2的最小值.(答案:40.条件1 /a +2 /b=1/ 4可以转化为4 /a+8 /b=1,这表示直线l:x/ a+y/ b=1过定点P (4,8),而a+b+ (a2+b2)1/2表示直线l与坐标轴在第一象限所围直角三角形的周长,于是,其最小值为2(4+8+ 641/2)=40.此时,对应的a=10,b=40 /3.)

当你面对一道待解答的数学问题时,需要有“见微知著”的本领,靠联想识破绽,引起反拐弯的转化,拐回到命题人初编出来尚未拐弯的问题上来;也可依靠转化变形暴露出破绽,进而引起联想,转化、联想、猜想贯穿于分析问题、解决问题的全过程,寻找解答问题的“突破口”“开窍点”“暗示点”,这需要在解答、分析过程中去体验,在解答问题的过程里去总结,在读题、反思、提炼中多问几个为什么———这个问题的条件是什么?解题目标是什么?变换条件、结论会引发怎样的联想呢?为什么要这样转化?不这样变形,还能怎样转化呢?……

三角函数公式 篇5

cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)

tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)

三倍角公式推导

sin3a

=sin(2a+a)

=sin2acosa+cos2asina

辅助角公式

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中

sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

tant=B/A

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B

降幂公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

推导公式

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos^2α

1-cos2α=2sin^2α

1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina

=3sina-4sin³a

cos3a

=cos(2a+a)

=cos2acosa-sin2asina

=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa

=4cos³a-3cosa

sin3a=3sina-4sin³a

=4sina(3/4-sin²a)

=4sina[(√3/2)²-sin²a]

=4sina(sin²60°-sin²a)

=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]

=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

cos3a=4cos³a-3cosa

=4cosa(cos²a-3/4)

=4cosa[cos²a-(√3/2)²]

=4cosa(cos²a-cos²30°)

=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)

=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}

=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

上述两式相比可得

三角函数·恒等变换 篇6

1. [cos23°sin53°-sin23°cos53°]=（ ）

A. [12] B.[-32]

C.[-12] D. [32]

2. 已知[α∈（π2，π），cosα=-45，]则[tan（α+π4）]的值为（ ）

A. [17] B. [7]

C. [-17] D. [-7]

3.[tan20°+tan40°+3tan20°tan40°]=（ ）

A. [-3] B. [3]

C. 3 D. [33]

4. 若[270°<α<360°]，则三角函数式[12+1212+12cos2α]的化简结果为（ ）

A. [sinα2] B. [-sinα2]

C. [cosα2] D. [-cosα2]

5. 若[A]是[△ABC]的内角，当[cosA=725]，则[cosA2=]（ ）

A. [±35] B. [35]

C. [±45] D. [45]

6. 化简[1-sin20°]的结果是（ ）

A. [cos10°] B. [cos10°-sin10°]

C. [sin10°-cos10°] D. [±（cos10°-sin10°）]

7. 设[（2cosx-sinx）（sinx+cosx+3）=0]，则[2cos2x+sin2x1+tanx]的值为（ ）

A. [25] B. [58]

C. [85] D. [52]

8. 已知[cos2x2cos（x+π4）=][15]，[0

A. [-43] B. [-34]

C. [2] D. [-2]

9. 若函数[y=3sin2x+sinx?cosx-32]的图象关于直线[x=φ]对称，则[x=φ]可以为（ ）

A. [π4] B. [π3]

C. [5π12] D. [π2]

10. 设[α，β]都是锐角，且[cosα=55]，[sin（α+β）=35]，则[cosβ]=（ ）

A. [2525] B. [255]

C. [2525]或[255] D. [15]或[2525]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 若[cosα=-45，α]是第三象限的角，则[sin（α-π4）=] .

12. 已知对任意的[α，β]有[cosα+βcosα-β=][cos2β-sin2α]恒成立，则[sin210°+cos70°cos50°]的值等于 .

13. 已知[θ]是三角形的一个内角，且[sinθ]，[cosθ]是关于[x]的方程[2x2+px-1=0]的两根，则[θ]等于 .

14. 若[0<α<π4]，[β]为[fx=cos（2x+π8）]的最小正周期，[a=（tan（α+β4），-1）][b=cosα，2]，且[a?b=m]，则[2cos2α+sin2α+βcosα-sinα=] .

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）已知[cosα=35，cosβ=255]，且[α，β]为锐角，求：

（1）[sin（α-β）]的值；

（2）[tan（2α+β）]的值.

16. （10分）已知向量[a=cosα+2π，1，b=][-2，cosπ2-α]，[α∈π，3π2]，且[a⊥b.]

（1）求[sinα]的值；

（2）求[tan2α+π4]的值.

17. （12分）在平面直角坐标系[xOy]中，以[Ox]轴为始边作两个锐角[α]，[β]，它们的终边分别与单位圆相交于[A，B]两点，已知点[A]的横坐标为[210]，点[B]的纵坐标为[55].

（1）求[tan（α+β）]的值；

（2）求[α+2β]的值.

18. （12分）求证：

（1）[1-sin2α2sinα-π4=sinα-cosα]；

（2）已知[1-tanα2+tanα=1]，求证[3sin2α=-4cos2α].

锐角三角函数学习导引 篇7

一、深入理解锐角三角函数的概念

1.理解锐角三角函数的定义.

(1)正切、正弦和余弦的概念是在一个直角三角形中定义的,其本质是两条线段的比值,没有单位,其大小只与角的大小有关,与其所在的直角三角形的大小无关;

(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,锐角三角函数值a/b、a/c和b/c都随锐角A的大小变化而变化,也都随锐角A的确定而唯一确定,因此它的大小仅与角的大小有关,而与所在的直角三角形的边的长短无关;

(3)正切tan A、正弦sin A和余弦cos A是一个完整的符号,tan A不是tan与A的积,离开了∠A,“tan”就没有意义了,只有合起来,tan A才表示∠A的正切,sin A、cos A也是如此;

(4)符号tan A表示∠A的正切,在符号tan A中,习惯省去角的符号“∠”,当用希腊字母α、β等表示角时,其正切中角的符号习惯上也省去,但当用三个英文字母或阿拉伯数字表示角时,角的符号“∠”不能省略,sin A、cos A也是如此,如tanα、sin∠ABC、cos∠1等.

2.应用锐角三角函数的定义.

【分析】先画出图形,如图1,在Rt△ABC中,由锐角三角函数定义表示出sin A,将sin A的值与BC的长代入即可求出AB的长.

【评注】熟练掌握锐角三角函数的基本概念是解好本题的关键,做题时边读题边画一个直角三角形,数形结合、看图说话,可避免主观出错.

二、理解记忆特殊角的三角函数值

任意角的三角函数值都可以由计算器获取,但由于特殊角的三角函数值常见常用,所以应当记忆,这样便于我们运用它们进行计算、求值和解直角三角形.

另外,观察表格,我们还有收获.横着看:正弦值、正切值,随着角度的增大而增大(其中tan30°∙tan60°=1=tan45°);余弦值,随着角度的增大而减小.这个规律是不是一般规律?对所有的锐角三角函数都成立吗?有兴趣的同学可借助于计算器验证一下自己的发现.竖着看:sin45°=cos45°;斜着看:sin30°=cos60°,sin60°=cos30°.学习数学,要善于观察、思考,这样才能不断提升自己.

【评注】本题考查了特殊角的三角函数值,因此,一些特殊角的三角函数值需要我们在理解的基础上熟练记忆.

【评注】解答本题不仅要熟记特殊角的三角函数值,还要理解“锐角三角函数的正切值随着角度的增大而增大”这个规律.

三、解直角三角形及其应用

1.直角三角形各元素之间的关系.

如图2,在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A的对边、∠B的对边和∠C的对边.除直角外的五个元素之间有如下的关系:

三边之间的关系:a2+b2=c2;

两个锐角之间的关系:∠A+∠B=90°;

2.解直角三角形的基本类型及解法.

由此我们知道:在直角三角形的六个元素中,除直角外的五个元素,只要知道两个元素(其中至少有一个是边),就可以求出其余的三个元素.解直角三角形的知识广泛应用于生活,尤其在测量过程中用于计算距离、高度、长度和角度等.

例4(2016·江苏苏州)如图3,长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°,为了改善楼梯的安全性能,准备重新建造楼梯,使其倾斜角∠ACD为45°,则调整后的楼梯AC的长为().

【分析】先在Rt△ABD中利用正弦的定义计算出AD,然后在Rt△ACD中利用正弦的定义计算AC即可.

【点评】解直角三角形的关键是抓住已知条件,利用已知的边和角求出未知的边,进而解决问题.

例5(2016·四川巴中)一个公共房门前的台阶高出地面1.2米,台阶拆除后,换成供轮椅行走的斜坡,数据如图4所示,则下列关系或说法正确的是().

【分析】坡度反映了斜坡的陡峭程度(这个度的意义不是角度),它是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比,又叫做坡比,是一个比值,一般用i表示,常写成i=h∶l的形式.把坡面与水平面的夹角α叫做坡角,坡度i与坡角α之间的关系为:i=tanα.

【解答】根据坡度是坡角的正切值得斜坡AB的坡度是i=BC/AC=tan10°,选:B.

【点评】本题考查了解直角三角形应用中的基本概念:坡度、坡角,理解坡度的含义是解题的关键.

【分析】本题属于解直角三角形的应用——方向角问题,认真审题,理解方向是解题的关键.如图6,过点A作AD⊥BC,垂足为D,设CD=x,利用解直角三角形的方法,可得出AD,进而可得出BD,结合题意BC=CD+BD可列出方程,解出x的值后即可得出答案.

一道三角函数题赏析 篇8

1.基本解法

本题主要考查平面向量的运算法则、三角函数公式及恒等变形能力, 考查运用向量及三角函数知识综合解题的能力.

解法1:因为 a//b,

所以2sinβ-3sinα=0. ①

又因为 c·d=3,

所以 3cosα+2cosβ=3. ②

要求undefined的值, 可先求undefined的大小 (为什么呢?)

因为α、undefined,

所以undefined.

将①、②变形为

2sinβ=3sinα, ③

2cosβ=3-3cosα. ④

平方相加得: (2sinβ) 2+ (2cosβ) 2= (3sinα) 2+ (3-3cosα) 2, 整理得undefined.

由undefined得

undefined

再将undefined, 代入②中得

undefined.求出undefined.

又undefined, 故undefined.

评析:本法属常见方法, 有一定计算量, 但对三角函数公式及恒等变形要求较高.本题若求undefined的值, 计算量太大, 若求undefined的值, 则undefined有两解, 存在取舍的烦恼.因此, 如何恰当地选择计算undefined的某一三角函数值是本法的关键.

解法2:仿解法1可知道

undefined

故undefined.

评析:本法在解法1的基础上, 更进一步, 有一定技巧性, 几乎没有计算量, 但对三角函数公式及恒等变形的要求高, 大多数学生不太敏感, 不知道消去β, 无法化简.只能半途而废.

2.巧思妙解解法3:由已知条件可知:

2sinβ=3sinα, ③

2cosβ=3-3cosα. ④

③④两边相比得:

undefined

又α、undefined, 知undefined,

故undefined.

评析:本法采用弦化切手段, 再利用二倍角公式及诱导公式, 简捷、巧妙, 少数学生运用此法, 事半功倍.

练习题:

1.已知undefined, 且α、β∈ (0, π) , 求2α-β的值.

2.已知3sin2α+2sin2β=1, 3sin2α-2sin2β=0, 且α、undefined, 求α+2β的值.

答案:undefined;undefined.

如何学好锐角三角函数 篇9

锐角三角函数是研究初等数学的基础知识, 在物理、化学等学科里都有广泛的应用, 掌握锐角三角函数的概念及性质更是学好解直角三角形的关键, 因此学习时应注意掌握以下几个要点:

一、熟练掌握锐角三角函数的定义

研究锐角三角函数的定义时, 是将锐角放在直角三角形中给出的, 即在Rt△ABC中, ∠C=90°, 锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切函数分别记作$\sin A=\frac{a}{c}‚\cos A=\frac{b}{c}‚\tan A=\frac{a}{b}‚\cot A=\frac{b}{a}$.由此可见, 锐角三角函数值是一个比值, 四个三角函数值随角度的变化而变化.当锐角确定时, 它的四个三角函数值也就确定了.

例1 在△ABC中, ∠C=90°, BC=5, AB=13, 则sinA的值是 ( ) .

$\text{A}.\frac{5}{13}\text{B}.\frac{12}{13}\text{C}.\frac{5}{12}\text{D}.\frac{12}{5}$

简析 在△ABC中, ∠C=90°, BC=5, AB=13, 所以$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{13}$.故选A.

二、熟练掌握特殊角的三角函数值

对于任意角的三角函数值都可以利用计算器求得, 但对于特殊角 (即0°, 30°, 45°, 60°, 90°) 的三角函数值应当熟练掌握, 这样便于运用它们进行计算、求值或解直角三角形.

例2 计算sin230°-cos45°·tan60°.

简析 由特殊角的三角函数值, 可得

$\sin {}^{2}30°-\cos 45°\cdot \tan 60°=\left(\frac{1}{2}\right){}^2-\frac{\sqrt{2}}{2}\times \sqrt{3}=\frac{1-2\sqrt{6}}{4}.$

三、熟练掌握锐角三角函数的有关性质

锐角三角函数主要有以下几个重要性质:

1.如果0°<α<90°, 那么0<sinα<1, 0<cosα<1, tanα>0, cotα>0.

2.如果0°<α<β<90°, 那么sinα<sinβ, cosα<cosβ, tanα<tanβ, cotα>cotβ.

3. (1) 如果0°<α<45°, 那么sinα<cosα, tanα<cotα.

(2) 如果45°<α<90°, 那么sinα>cosα, tanα>cotα.

例3 在①0<cosα<1 (0°≤α≤90°) , ②sin78°>cos78°, ③sin0°>tan45°, ④sin25°=cos65°这四个式子中, 正确的是 ( ) .

A.①③ B.②④ C.①④ D.③④

简析 由于0°≤α≤90°, 则0≤cosα≤1, 所以淘汰①.由于45°<78°<90°, 所以sin78°>cos78°成立.又sin0°=0, tan45°=1, 所以③sin0°>tan45°不正确, 所以又淘汰③.而sin25°=sin (90°-65°) =cos65°, 所以sin25°=cos65°成立.故应选B.

四、锐角三角函数的应用

掌握仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等概念.能根据题意在所给的图形 (或根据题意自己画出图形) 中恰当地构造直角三角形, 运用解直角三角形 (有时还需要借助方程) 的有关知识解决实际问题.能够运用解直角三角形的有关知识, 动手设计解决现实生活中的测量高度、长度的方案.能够解决与解直角三角形有关的综合性问题和探索性问题.

例4 如图1, 在△ABC中, ∠C=90°, ∠B=30°, AD平分∠CAB.已知$AB=4\sqrt{3}$, 那么AD=.

解析 在Rt△ABC中, 易知$\angle 1=\angle 2=\angle 3=30°‚AC=AB\cdot \sin 30°=4\sqrt{3}\times \frac{1}{2}=2\sqrt{3}.$

在Rt△ACD中, $\cos 30°=\frac{AC}{AD}$,

故$AD=\frac{AC}{\cos 30°}=4.$

例5 如图2, 一轮船原在A处, 它的北偏东45°方向上有一灯塔P, 轮船沿着北偏西30°方向航行4小时到达B处, 这时灯塔P正好在轮船的正东方向上, 已知轮船的航速为25海里/时, 求轮船在B处时与灯塔P的距离. (结果可保留根号)

解析 如图3, 构造两个直角三角形——△ABC和△APC, 运用直角三角形中的边角关系求出CB和CP, 然后相加即可.

$CB=AB\cdot \sin 30°=4\times 25\times \frac{1}{2}=50$ (海里) ,

$C{\rm P}=CA=AB\cdot \cos 30°=4\times 25\times \frac{\sqrt{3}}{2}=50\sqrt{3}$ (海里) ,

所以${\rm P}B=CB+C{\rm P}=(50+50\sqrt{3})$ (海里) .

三角函数单元检测试题 篇10

1.若sinθ·cosθ<0, |sinθ|=sinθ, 则点 (tanθ, cosθ) 在 ()

(A) 第一象限 (B) 第二象限

(C) 第三象限 (D) 第四象限

2.若角θ的终边落在直线x+y=0上, 则的值等于 ()

(A) 2 (B) -2

(C) 2或-2 (D) 0

3.函数y=3sin (4x-) 的图象关于 ()

(A) 原点对称 (B) y轴对称

(C) 点 (, 0) 对称

(D) 直线x=对称

4.设α是三角形的一个内角, 且sinα+cosα=, 则cos2α等于 ()

5.函数y=2sinsin (a-) (a为常数) 的最大值是 ()

6.已知tanα, tanβ是方程x2++4=0的两根, 且α, β∈ () , 则α+β等于 ()

7.“a=2”是“函数y=sin (ax+) 的最小正周期为π”的 ()

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(C) 充要条件

(D) 既不充分也不必要条件

8.使函数y=sin (2x+φ) +cos (2x+φ) 为奇函数, 且在[0, ]上是减函数的φ的一个值是 ()

9.设a=sin13°+cos13°, , 则 ()

(A) a>c>b (B) c>b>a

(C) b>c>a (D) c>a>b

10.如图1是周期为2π的三角函数y=f (x) 的图象, 则f (x) 等于 ()

(A) sin (1+x) (B) sin (-1-x)

(C) sin (x-1) (D) sin (1-x)

11.已知函数f (x) =ax3+bsinx+cosx满足, 则f () 的值等于 ()

12.对于函数, 下列命题中正确的是 ()

(A) 该函数的值域是[-1, 1]

(B) 当且仅当x=2kπ+ (k∈Z) 时, 函数取得最大值1

(C) 该函数是以π为周期的周期函数

(D) 当且仅当2kπ+π

二、填空题

13.求值:tan20°+4cos70°=______.

14.已知tan () =2, 则sinα=_______.

15.已知函数y=2cosx (0≤x≤2π) 的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形, 则这个封闭图形的面积是_________.

16.给定命题:p:x=y;q:tanx=tany.则p是q的______条件.

三、解答题

17.化简:

18.已知求

19.已知函数f (x) =sin (x+θ) +cos (x-θ) 的定义域为R.

(1) 当θ=0时, 求f (x) 的单调递增区间;

(2) 若θ∈ (0, π) 且sinx≠0, 当θ为何值时, f (x) 是偶函数.

20.已知函数f (x) =2sinx (sinx+cosx) .

(1) 求f (x) 的最小正周期和最大值;

(2) 说明f (x) 的图象是由y=sinx经过怎样的变换得到的?

21.如图2所示, 已知圆的直径AB=2, 点C在AB的延长线上, 且BC=1, 点P是上半圆上一个动点, 以PC为边作等边△PCD, 且点D与圆心O分别在PC的两侧, 求四边形OPDC的面积的最大值.

22.设二次函数f (x) =x2+bx+c (b, c∈R) , 且对任意实数α, β, 恒有以下两式f (sinα) ≥0, f (2+cosβ) ≤0成立.

(1) 求证:b+c=-1; (2) 求证:c≥3;

(3) 若函数f (sinα) 的最大值为8, 求b和c的值.

参考答案

一、选择题

CDCCA DACDD DD

二、填空题

15.4π16.既不充分也不必要条件

三、解答题

(17) 解:

18.解:因为tan2θ=, 即:3tan2θ+8tanθ-3=0, 解得:tanθ=或tanθ=-3.又因为<θ<π, 所以tanθ=-3.

所以

19.解: (1) 当θ=0时, f (x) =sinx+cosx=

由得f (x的增区间为:

(2) 因为f (x) =sin (x+θ) +cos (x-θ) =sinxcosθ+cosxsinθ+cosxcosθ+sinxsinθ= (sinθ+cosθ) (sinx+cosx) =2sin (θ+) sin (x+

因为θ∈ (0, π) , 所以, 又sinx≠0, 所以要使f (x) 是偶函数, 应有:θ+=π.从而θ=

20.解 (1) 因为f (x) =2sinx (sinx+cosx) =2sin2x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=sin (2x-) +1.所以f (x) 的最小正周期为π, 最大值为

(2) 先把函数y=sinx的图象向右平移个单位, 得到y=sin (x-) 的图象;再把所得的图象上各点的纵坐标不变, 横坐标缩短为原来的, 得到y=sin (2x-) 的图象;再把所得的图象上各点的横坐标不变, 纵坐标伸长为原来的倍, 得到y=sin (2x-) 的图象;最后把所得的图象向上平移1个单位, 就得到函数y=的图象. (注:该题的解答用的是先平移, 后伸缩.还可以先伸缩.后平移, 请同学们自己完成)

21.解:设∠POC=θ, 则PC2=OP2+OC2-2OP·OC·cosθ=5-4cosθ.所以S△PCD=12PC2sin60°= (5-4cosθ) .又S△POC=12OP·OCsinθ=sinθ.

因为0<θ<π, 从而其最大值为

22.解: (1) 令α=, β=π代入已知有:f (1) ≥0, f (1) ≤0, 从而f (1) =0, 即:b+c=-1.

(2) 由 (1) 知, f (x) = (x-1) (x-c) .因为f (2+cosβ) ≤0对任意的β都成立, 所以有f (3) ≤0, 即:2 (3-c) ≤0, 所以c≥3.

“锐角三角函数”测试卷 篇11

1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinA=（ ）.

A. B. C. D.

2. 已知cosα<0.5，那么锐角α的取值范围是（ ）.

A. 60°<α<90° B. 0°<α<60° C. 30°<α<90° D. 0°<α<30°

3. 在△ABC中，∠C=90°，则下列关系式中不成立的是（ ）.

A. a=csinA B. b=ccosA C. b=atanB D. a=btanB

4. 在平面直角坐标系内P点的坐标为（cos30°，tan45°），则P点关于x轴对称点P′的坐标为（ ）.

A. ，1 B. -1，

C. ，-1 D. -，-1

5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，AC=6，则BC的长为（ ）.

A. 6 B. 5 C. 4 D. 2

6. 某人沿倾斜角为β的斜坡前进100 m，则他上升的最大高度为（ ）.

A. m B. 100sinβ m C. m D. 100cosβ m

7. 已知0°<α<45°，化简得（ ）.

A. 1-sinα B. 1-cosα C. sinα-cosα D. cosα-sinα

8. 某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（ ）.

A. 450a元 B. 225a元 C. 150a元 D. 300a元

二、 耐心填一填

9. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=5，AC=4，则sinB=______.

10. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，cosA=______.

11. sin60°×cos45°=______.

12. ∠B为锐角，且2cosB-1=0，则∠B=______.

13. 等腰三角形中，腰长为5，底边长8，则底角的正切值是______.

14. 如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC为2 m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为______m. （精确到0.1 m）

15. 如图，以直角坐标系的原点O为圆心，以1为半径作圆，若P是该圆上第一象限内的点，且OP与x轴正方向所成的角为α，则点P的坐标是______.

16. 如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长13米，且tan∠BAE=，则河堤的高为______米.

三、 专心解一解

17. 计算.

（1） sin45°+cos30°·tan60°-；

（2） sin245°-cos60°-+2sin260°·tan60°.

18. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB=2BC，求sinB的值.

19. 某片绿地的形状如图所示，其中∠A=60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=200 m，CD=100 m，求AD、BC的长.（精确到1 m，≈1.732）

20. 如图，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6米，坝高24米，斜坡AB的坡角为45°，斜坡CD的坡比为1∶2，则坝底宽BC为多少米？

21. 已知：⊙O的半径是8，直线PA、PB为切线，A、B两点为切点.

（1） 如图①，当OP为何值时，∠APB=90°.

（2） 如图②，若∠APB=50°，求AP的长度.（结果保留三位有效数字）

三角函数值域的求法 篇12

例1 求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的值域.

undefined

二、可化为二次函数

例2 求y=3+cosx-2sin2x的值域

解: y=3+cosx-2sin2x=2cos2x+cosx+1

因为cosx∈[-1, 1], 所以undefined

三、反解法

例3 求undefined的值域

解: 因为2ycosx-2y=3cosx+4

所以 (2y-3) cosx=2y+4.

undefined

解得:undefined

四、当式子中同时含有sinx±cosx, 时, 常使用换元法

例4 当x∈[0, π], 求y=sin2x+sinx-cosx的值域.

简解:undefined

所以2sinxcosx=1-t2

所以undefined

五、配对法

例5 已知:sinx+siny=1, 求cosx+cosy的范围.

undefined两式平方相加得:

2cos (x-y) =t2-1∈[-2, 2]

所以undefined

六、三角函数也是函数, 所以其他一些函数值域的求法对于求三角函数的值域照样适用

如分离常数法:

例6 若cos2x+2msinx-2m-2<0对于undefined恒成立, 求m的范围.

undefined

所以undefined, 因为undefined