锐角三角函数

锐角三角函数（精选12篇）

锐角三角函数 篇1

“锐角三角函数”是初中数学重要内容之一, 它揭示了直角三角形边角之间的函数关系.学习本章时, 需要抓住以下几个要点.

一、认识四个基本概念

本章涉及的基本概念有正切、正弦和余弦以及解直角三角形.

如图1, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, a、b分别是∠A的对边和邻边, 我们把∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切, 记作tan A, 即

在Rt△ABC中, ∠C=90°, 我们把∠A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦, 记作sin A, 即

把∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦, 记作cos A, 即

从正切、正弦和余弦的概念可以看出:在Rt△ABC中, ∠C=90°, 的值都随锐角A的大小变化而变化, 也都随锐角A的确定而惟一确定.

例1 (2015·曲靖) 如图2, 在半径为3的⊙O中, 直径AB与弦CD交于点E, 连接AC, BD. 若AC=2, 则cos D=_______.

【解析】连接BC,

∵AB为直径,

∴∠ACB=90°,

在Rt△ACB中,

∵∠D=∠A,

∴, 所以本题答案为

【说明】本题应用圆周角的性质将∠D转化为∠A, 使其转化到直角三角形ABC中, 再应用余弦的概念求得结果.

由直角三角形的边、角中的已知元素, 求出所有边、角中的未知元素的过程, 叫做解直角三角形.在直角三角形中, 除直角外的5个元素, 至少知道包含1条边的两个元素就可以确定直角三角形中其余未知元素的值.

例2如图3, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, ∠A=30°, BD是∠ABC平分线, AD=20.求AB的长.

【解析】∵ 在Rt △ABC中, ∠C =90° , ∠A=30°, ∴∠ABC=60°.

∵BD是∠ABC平分线, ∴∠DBC=30°,

∴∠BDC=60°, ∠ABD=∠A=30°,

∴BD=AD=20.

∵在Rt△DBC中,

∵在Rt△ABC中, ∠C=90°,

【说明】 本题借助锐角三角函数的概念, 使问题化归到直角三角形中, 应用直角三角形的边角之间的函数关系, 根据问题中的已知元素求得未知元素.

二、熟记三个特殊值

利用特殊的等腰直角三角形和含有30°角的直角三角形的性质, 我们可以求得30°、45°、60°的三角函数值 (如下表) .

从表格中我们可以发现:sin30°、sin45°、sin60°值的分母都是2 , 分子可以看成是, 正弦值随角度的增大而增大;cos30°、cos45°、cos60°值的分母都是2, 分子可以看成是, 余弦值随角度的增大而减小;tan30°·tan 60°=tan45°=1, 正切值随角度的增大而增大.

例3 (2015·武威) 已知α, β均为锐角, 且满足, 则α+β=______.

∴α=30°, β=45°,

∴α+β=75°, 所以本题答案为75°.

【说明】本题是一道考查同学们对特殊角的三角函数值和非负数的性质掌握的问题, 解答这类问题, 需要同学们熟练掌握特殊角的三角函数值.

三、掌握锐角三角函数解决实际问题

解直角三角形的知识广泛应用于测量之中, 主要用于计算距离、高度和角度.

例4 (2015·衡阳) 如图4, 为了测得电视塔的高度AB, 在D处用高为1米的测角仪CD测得电视塔顶端A的仰角为30°, 再向电视塔方向前进100米到达F处, 又测得电视塔顶端A的仰角为60°, 则这个电视塔的高度AB (单位:米) 为 () .

【解析】根据题意可知:

∠ACE=30°, ∠AEG=60°, CE=DF=100 (米) .

我们不妨设EG=x米, 在Rt△AEG中,

∵∠AEG=60°,

在Rt△ACG中,

∵CE=DF=100,

∴x+100=3x, 解得x=50,

∴ 这个电视塔的高度, 所以本题答案为C.

【说明】本题以测电视塔的高度为背景, 考查解直角三角形的应用能力, 求解时抓住图形中两个直角三角形的公共边建立相等关系式是解题的关键.

例5 (2015·遵义) 如图5, 是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4米, AB=6米, 中间平台宽度DE=1米, EN、DM、CB为三根垂直于AB的支柱, 垂足分别为N、M、B, ∠EAB=31°, DF⊥BC于F, ∠CDF=45°, 求DM和BC的水平距离BM的长度. (结果精确到0.1米, 参考数据:sin31°≈0.52, cos31°≈0.86, tan31°≈0.60)

【解析】设BM为x米, 则DF=BM=x.

∵Rt△CFD中, ∠CDF=45°,

∴CF=DF·tan45°=DF=x,

∴BF=BC-CF=4-x,

∴EN=BF=4-x.

∵Rt△ANE中, ∠EAN=31°,

答:DM和BC的水平距离BM的长度约为2.5米.

【说明】本题是一道典型的解直角三角形的应用问题, 需要把实际问题转化为数学模型来解决. 解决与直角三角形有关的应用题最常用的方法是作垂线, 构造直角三角形, 根据所给数据, 选用恰当的三角函数求出有关的量或用含有未知数的式子表示有关的量进行求解.

锐角三角函数 篇2

这是一节初三总复习课，内容是锐角三角函数。王老师以基础知识的复习、基本技能的训练为主，紧跟教学大纲，选择了几个典型例题，开拓了学生的知识面，丰富了学生的题型结构。同时向学生进行了一题多种解法思想的渗透，这样活跃了学生的思维，丰富了学生的知识内涵。老师对教材，教学大纲理解得非常透彻，对课堂把握能力强，反应很快，能积极跟上学生的思维，因时制宜的调整教学节奏，语速快而清晰，教态、板书也能给学生有积极的影响，富有感染力。例题的选择合理、新颖且有难度，即有常见的基本计算与证明，也有一定难度的探索型、操作型问题，更有对于知识点综合应用的综合题，层次鲜明，满足了不同奋斗目标学生的不同要求。教学上多媒体的运用，较直观地了解题意，提高解答的准确率，课堂上充分发挥了学生的主体性，以学生的发展为本，通过小组合作，增强了学生的合作意识，又取长补短，互相竞争，营造了良好的教学氛围，而教师知识组织者，只是参与、启发、点拨、纠偏，培养了学生的创造能力和发散思维能力。

“锐角三角函数”学习要点 篇3

一、 认识四个基本概念

本章涉及的基本概念有正切、正弦和余弦以及解直角三角形.

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b分别是∠A的对边和邻边，我们把∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA=.

在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把∠A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA=.

把∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=

从正切、正弦和余弦的概念可以看出：在Rt△ABC中，∠C=90°，和的值都随锐角A的大小变化而变化，也都随锐角A的确定而惟一确定.

例1 （2015·曲靖）如图2，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD交于点E，连接AC，BD. 若AC=2，则cosD=_______.

【解析】连接BC，

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ACB中，cosA∵∠D=∠A，

∴cosD=cosA=，所以本题答案为.

【说明】本题应用圆周角的性质将∠D转化为∠A，使其转化到直角三角形ABC中，再应用余弦的概念求得结果.

由直角三角形的边、角中的已知元素，求出所有边、角中的未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外的5个元素，至少知道包含1条边的两个元素就可以确定直角三角形中其余未知元素的值.

例2 如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC平分线，AD=20.求AB的长.

【说明】本题借助锐角三角函数的概念，使问题化归到直角三角形中，应用直角三角形的边角之间的函数关系，根据问题中的已知元素求得未知元素.

二、 熟记三个特殊值

利用特殊的等腰直角三角形和含有30°角的直角三角形的性质，我们可以求得30°、45°、60°的三角函数值（如下表）.

从表格中我们可以发现：sin30°、sin45°、sin60°值的分母都是2，分子可以看成是、、，正弦值随角度的增大而增大；cos30°、cos45°、cos60°值的分母都是2，分子可以看成是、、，余弦值随角度的增大而减小；tan30°·tan 60°=tan45°=1，正切值随角度的增大而增大.

例3 （2015·武威）已知α，β均为锐角，且满足sinα-+=0，则α+β=______.

【解析】∵sinα-+=0，

可得：sinα-+tanβ-1=0，

∴sinα=，tanβ=1，

∴α=30°，β=45°，

∴α+β=75°，所以本题答案为75°.

【说明】本题是一道考查同学们对特殊角的三角函数值和非负数的性质掌握的问题，解答这类问题，需要同学们熟练掌握特殊角的三角函数值.

三、 掌握锐角三角函数解决实际问题

解直角三角形的知识广泛应用于测量之中，主要用于计算距离、高度和角度.

例4 （2015·衡阳）如图4，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（ ）.

A. 50 B. 51

C. 50+1 D. 101

【解析】根据题意可知：

∠ACE=30°，∠AEG=60°，CE=DF=100（米）.

我们不妨设EG=x米，在Rt△AEG中，

∵∠AEG=60°，

∴AG=x；

在Rt△ACG中，

∵AG=x，∠ACE=30°，

∴CG=x·=3x.

∵CE=DF=100，

∴x+100=3x，解得x=50，

∴这个电视塔的高度AB=AG+GB=50+1（米），所以本题答案为C.

【说明】本题以测电视塔的高度为背景，考查解直角三角形的应用能力，求解时抓住图形中两个直角三角形的公共边建立相等关系式是解题的关键.

例5 （2015·遵义）如图5，是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4米，AB=6米，中间平台宽度DE=1米，EN、DM、CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB=31°，DF⊥BC于F，∠CDF=45°，求DM和BC的水平距离BM的长度.（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）

【解析】设BM为x米，则DF=BM=x.

∵Rt△CFD中，∠CDF=45°，

∴CF=DF·tan45°=DF=x，

∴BF=BC-CF=4-x，

∴EN=BF=4-x.

∵Rt△ANE中，∠EAN=31°，

∴AN=≈=（4-x）.

∵AN+MN+BM=AB，MN=DE=1，

∴（4-x）+1+x=6，解得x=2.5.

答：DM和BC的水平距离BM的长度约为2.5米.

【说明】本题是一道典型的解直角三角形的应用问题，需要把实际问题转化为数学模型来解决.解决与直角三角形有关的应用题最常用的方法是作垂线，构造直角三角形，根据所给数据，选用恰当的三角函数求出有关的量或用含有未知数的式子表示有关的量进行求解.

锐角三角函数学习导引 篇4

一、深入理解锐角三角函数的概念

1.理解锐角三角函数的定义.

(1)正切、正弦和余弦的概念是在一个直角三角形中定义的,其本质是两条线段的比值,没有单位,其大小只与角的大小有关,与其所在的直角三角形的大小无关;

(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,锐角三角函数值a/b、a/c和b/c都随锐角A的大小变化而变化,也都随锐角A的确定而唯一确定,因此它的大小仅与角的大小有关,而与所在的直角三角形的边的长短无关;

(3)正切tan A、正弦sin A和余弦cos A是一个完整的符号,tan A不是tan与A的积,离开了∠A,“tan”就没有意义了,只有合起来,tan A才表示∠A的正切,sin A、cos A也是如此;

(4)符号tan A表示∠A的正切,在符号tan A中,习惯省去角的符号“∠”,当用希腊字母α、β等表示角时,其正切中角的符号习惯上也省去,但当用三个英文字母或阿拉伯数字表示角时,角的符号“∠”不能省略,sin A、cos A也是如此,如tanα、sin∠ABC、cos∠1等.

2.应用锐角三角函数的定义.

【分析】先画出图形,如图1,在Rt△ABC中,由锐角三角函数定义表示出sin A,将sin A的值与BC的长代入即可求出AB的长.

【评注】熟练掌握锐角三角函数的基本概念是解好本题的关键,做题时边读题边画一个直角三角形,数形结合、看图说话,可避免主观出错.

二、理解记忆特殊角的三角函数值

任意角的三角函数值都可以由计算器获取,但由于特殊角的三角函数值常见常用,所以应当记忆,这样便于我们运用它们进行计算、求值和解直角三角形.

另外,观察表格,我们还有收获.横着看:正弦值、正切值,随着角度的增大而增大(其中tan30°∙tan60°=1=tan45°);余弦值,随着角度的增大而减小.这个规律是不是一般规律?对所有的锐角三角函数都成立吗?有兴趣的同学可借助于计算器验证一下自己的发现.竖着看:sin45°=cos45°;斜着看:sin30°=cos60°,sin60°=cos30°.学习数学,要善于观察、思考,这样才能不断提升自己.

【评注】本题考查了特殊角的三角函数值,因此,一些特殊角的三角函数值需要我们在理解的基础上熟练记忆.

【评注】解答本题不仅要熟记特殊角的三角函数值,还要理解“锐角三角函数的正切值随着角度的增大而增大”这个规律.

三、解直角三角形及其应用

1.直角三角形各元素之间的关系.

如图2,在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A的对边、∠B的对边和∠C的对边.除直角外的五个元素之间有如下的关系:

三边之间的关系:a2+b2=c2;

两个锐角之间的关系:∠A+∠B=90°;

2.解直角三角形的基本类型及解法.

由此我们知道:在直角三角形的六个元素中,除直角外的五个元素,只要知道两个元素(其中至少有一个是边),就可以求出其余的三个元素.解直角三角形的知识广泛应用于生活,尤其在测量过程中用于计算距离、高度、长度和角度等.

例4(2016·江苏苏州)如图3,长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°,为了改善楼梯的安全性能,准备重新建造楼梯,使其倾斜角∠ACD为45°,则调整后的楼梯AC的长为().

【分析】先在Rt△ABD中利用正弦的定义计算出AD,然后在Rt△ACD中利用正弦的定义计算AC即可.

【点评】解直角三角形的关键是抓住已知条件,利用已知的边和角求出未知的边,进而解决问题.

例5(2016·四川巴中)一个公共房门前的台阶高出地面1.2米,台阶拆除后,换成供轮椅行走的斜坡,数据如图4所示,则下列关系或说法正确的是().

【分析】坡度反映了斜坡的陡峭程度(这个度的意义不是角度),它是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比,又叫做坡比,是一个比值,一般用i表示,常写成i=h∶l的形式.把坡面与水平面的夹角α叫做坡角,坡度i与坡角α之间的关系为:i=tanα.

【解答】根据坡度是坡角的正切值得斜坡AB的坡度是i=BC/AC=tan10°,选:B.

【点评】本题考查了解直角三角形应用中的基本概念:坡度、坡角,理解坡度的含义是解题的关键.

【分析】本题属于解直角三角形的应用——方向角问题,认真审题,理解方向是解题的关键.如图6,过点A作AD⊥BC,垂足为D,设CD=x,利用解直角三角形的方法,可得出AD,进而可得出BD,结合题意BC=CD+BD可列出方程,解出x的值后即可得出答案.

《锐角三角函数》评课稿 篇5

1、正确分析现在中考命题的方向、热点及考纲要求，得出有关锐角三角函数考点的知识要点及各种题型，通过课堂教学在锐角三角函数的基本概念及运算等基础知识和基本技能得到相应的发展。

2、本节课采用分阶段，分层次归类复习。

(1) 基本概念领会阶段。学生对概念，公式，定义的理解与掌握。

(2) 基本方法学习阶段。使学生对有关基本技能训练，掌握课本例题类型，能举一反三，触类旁通。

(3) 针对练习阶段。检查学生对基本概念，基本技能的掌握情况。

3、本节课选题方面有以下几个特点。

(1)有针对性，突出重要的知识点和思想方法。

(2)具有一定的应用性，即能考察学生的数学基础知识，又能考察学生的数学应用能力。

(3)富有一定的思考性。有几个例题，有分类思想方法，能锻炼学生思维的灵活性。

(4)有计划地设置练习中的思维障碍，使练习具有合适的梯度，提高训练的效率。

“锐角三角函数”考点大观察 篇6

考点一 锐角三角函数的定义

例1 （2016·陕西）已知抛物线y=-x2

-2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC，则tan∠CAB的值为（ ）.

A.[12]

B.[55]

C.[255]

D.2

【解析】如图1，过C点作CD⊥AB，垂足为D，由题意可求得点A（-3，0）、B（1，0）、C（-1，4），则AD=2，CD=4，在Rt△ACD中，tan∠CAB=[CDAD]=[42]=2，故选D.

考点二 特殊三角函数值

例2 （2016·山东潍坊）关于x的一元二次方程x2-[2x]+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于（ ）.

A.15° B.30° C.45° D.60°

【解析】因为方程有两个相等的实数根，所以Δ=（-[2]）2-4sinα=2-4sinα=0，故sinα=[12].因为α是锐角，所以α=30°.

考点三 解直角三角形

例3 （2015·湖北）如图2，AD是△ABC的中线，tanB=[13]，cosC=[22]，AC=[2].求（1）BC的长；（2）sin∠ADC的值.

【解析】（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E.

由cosC=[22]，得∠C=45°.

在Rt△ACE中，CE=AE=AC?cosC=[2]×[22]=1，在Rt△ABE中，BE=[AEtanB]=3，

则BC=BE+CE=4.

（2）由AD是△ABC中线得，CD=[12]BC=2，DE=CD-CE=1，

在Rt△ADE中，tan∠ADE=[AEDE]=1，得∠ADE

=45°，所以sin∠ADC=sin45°=[22].

【反思】解决这类问题关键是弄清三角形中线与角之间的关系，可以从一些特殊角以及特殊角所对应的特殊三角函数值入手，层层深入，步步为营，使问题得以解决.

考点四 锐角三角函数在实际问题中的应用

1.仰角俯角问题

例4 （2016·河南）如图3，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗前，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【解析】通过解Rt△BCD和Rt△ACD分别求得CD和AD的长度，得AB的长度，从而根据题意得到整个过程中旗子上升高度，由“速度=[上升的高度上升的时间]”即可求解.在Rt△BCD中，CD=BD·tan∠BCD=9tan45°=9.在Rt△ACD中，AD=CDtan∠ACD=9tan37°≈6.75，所以AB=BD+AD=9+6.75=15.75，则整个旗子上升的高度是15.75-2.25=13.5（米），因耗时45s，故国旗上升的速度v=[13.545]=0.3（米/秒）.

2.坡度坡角问题

例5 （2016·重庆）如图4所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=[1∶3]，则大楼AB的高度约为（ ）.（精确到0.1米，参考数据：[2]≈1.41，[3]≈1.73，[6]≈2.45）

A.30.6 B.32.1 C.37.9 D.39.4

【解析】如图5，延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH=DE=15米，EG=DH，设BH=x米，则CH=[3]x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=[63]米，得到BG=9米，证得△AEG是等腰直角三角形，得到AG=EG=HD=[63]+20（米），即可得出大楼的高度为AB=AG+BG=[63]+20+9≈39.4（米）.

【反思】本题考查了解直角三角形的应用——坡度、俯角问题.通过作辅助线，运用勾股定理求出BH、HC后，得出EG、BG是解决问题的关键.

3.方向角问题

例6 （2016·四川乐山）如图6，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间.

【解析】由题意易得∠ABC=120°，AB=12，设巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间为x小时，则BC=10x，AC=14x，在△ABC中，∠ABC=120°为一特殊角，解题时注意不破坏特殊角的特殊性，自然想到，过A点作AD⊥BC交CB延长线于点D，如图7.

在Rt△ABD 中，

AD=ABsin∠ABD=12sin60°=[63]，

BD=ABcos∠ABD=12cos60°=6，

CD=BC+BD=10x+6.

在Rt△ACD中，AD2+CD2=AC2，

（[63]）2+（10x+6）2=（14x）2，解之得x1=2，x2=-[34]（不符合题意舍去）.

答：巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间为2小时.

【反思】解决锐角三角函数应用问题时，要能正确读懂题意，理解方位角的含义，把实际问题转化为解直角三角形的问题加以解决，即找到已知与未知相关联的直角三角形，有时图形中没有直角三角形，要依托特殊角通过作高的方法构造直角三角形解决问题.

“锐角三角函数”考点大观察 篇7

考点一锐角三角函数的定义

例1(2016·陕西)已知抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A、B两点,将这条抛物线的顶点记为C,连接AC,则tan∠CAB的值为().

考点二特殊三角函数值

A.15°B.30°C.45°D.60°

考点三解直角三角形

【反思】解决这类问题关键是弄清三角形中线与角之间的关系,可以从一些特殊角以及特殊角所对应的特殊三角函数值入手,层层深入,步步为营,使问题得以解决.

考点四锐角三角函数在实际问题中的应用

1.仰角俯角问题

例4(2016·河南)如图3,小东在教学楼距地面9米高的窗口C处,测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°,旗杆底部B点的俯角为45°,升旗前,国旗上端悬挂在距地面2.25米处,若国旗随国歌声冉冉升起,并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端,则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升?(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)

2.坡度坡角问题

A.30.6 B.32.1 C.37.9 D.39.4

【反思】本题考查了解直角三角形的应用——坡度、俯角问题.通过作辅助线,运用勾股定理求出BH、HC后,得出EG、BG是解决问题的关键.

3.方向角问题

例6(2016·四川乐山)如图6,禁止捕鱼期间,某海上稽查队在某海域巡逻,上午某一时刻在A处接到指挥部通知,在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船,正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行,稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发,在C处成功拦截捕鱼船,求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间.

【解析】由题意易得∠ABC=120°,AB=12,设巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间为x小时,则BC=10x,AC=14x,在△ABC中,∠ABC=120°为一特殊角,解题时注意不破坏特殊角的特殊性,自然想到,过A点作AD⊥BC交CB延长线于点D,如图7.

答:巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间为2小时.

第7章锐角三角函数 篇8

【名师箴言】

1. 测量和勾股定理

(1)学会利用相似三角形的知识和锐角三角函数知识设计测量方案,通过测量和计算,解决一些不能直接测量的实际问题(如物体的高度等).

(2)掌握勾股定理及其逆定理,会应用勾股定理及其逆定理解决相关的数学问题.

2. 锐角三角函数

(1)认识直角三角形的边角关系,即锐角三角函数(sin A、cos A、tan A);掌握并灵活运用30°、45°、60°角的三角函数值;会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它对应的锐角.(苏州市中考要求不使用计算器)

(2)知道三个锐角三角函数间的关系.

3. 解直角三角形及应用

(1)在直角三角形中,若“已知两边”或“一边一角”,会运用解直角三角形的知识,求出其余的边或角.

(2)运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题.

求锐角三角函数值的方法 篇9

一、定义法

例1在中△ABC中, ∠C=90°, 如果tan A=, 那么sin B的值等于 ()

二、参数法

例2在△ABC中, ∠C=90°, tan A=, 则sin B= () D

分析:根椐已知的一个锐角三角函数值, 应用三角函数的定义, 引入参数k表示两个边长, 根据勾股定理用k表示第三边, 最后用定义就可以求出锐角三角函数值.

三、代换法

四、网格法

例4三角形在正方形网格纸中的位置如图2所示, 则sinα的值是 ()

分析:本题是一道设计比较新颖的试题, 它通过网格的特征给出解题信息,

由正方形网格可知角α的对边的长为3, 邻边的长为4, 要求sinα, 只要根据勾股定理求出三角形的斜边, 再根据三角函数的定义计算即可。

五、等角法

例5如图3, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, CD⊥AB, D为垂足, 若AC=4, BC=3, 则sin∠ACD的值为 ()

分析:根据三角函数的定义, sin∠ACD=, 但是AD的长不便求出。由于易证∠ACD=∠B, 因此可以通过求sin B的值来解决此题。

六、构造法

例6如图4, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, sin B=, 点D在BC边上, 且∠ADC=45°, DC=6, 求∠BAD的正切值。

分析:由于∠BAD不在直角三角形中, 应设法把∠BAD转化到直角三角形中。结合已知条件, 可以考虑作DE⊥AB, 因为tan∠BAD=, 所以只要求出DE、AE的长即可。

解:因为∠ADC=45°, 所以AC=DC=6.

七、估算法

例7若太阳光与地面成37°角, 一棵树的影长为10m, 则树高h的范围是 () (取=1.7)

A.3

B.5

C.10

D.h<15

解析:如图5, 树高h=10tan37, 要确定h的范围, 可根据正切函数是增函数, 估计tan30°, tan37°, tan45°

即10tan30°, tan37°, tan45°

锐角三角函数 篇10

2007年, 我在浏览北京大学学生办的网站时, 读到如下题目:如何将一个钝角三角形剖分成有限个锐角三角形?原网页下方网友回复中, 提供了如下的答案:

读过后, 我逐渐想到四个问题:一是原网页给出的答案是针对一个特定等腰钝角三角形.对于任一非锐角三角形, 答案是否一定存在?二是原网页给出的答案仅是一图示.在本题目存在解答的前提下, 如何叙述一个规范的剖分过程?三是我将所分得锐角三角形份数最少的分法称作关于该问题的最佳解 (下同) .本题的最佳解应是多少种?四是本题若有解答, 答案显然不是唯一的.这从任一个锐角三角形又可被被分成4个锐角三角形 (如图2) 得到论证.所以本题若有解答, 则解法有无穷多种.即使是最佳分法, 若考虑该分法中每一条线段, 均可在一定数值范围内变动, 对应解法无穷多.若不计其一定范围内的度量差异, 最佳解法是否是唯一的?经过研究, 我找到了四个问题的肯定解答, 下面予以介绍.

二、相关定义

定义一 在平面闭区域△ABC上取其顶点A, B, C及其他有限个点, 组成点集P={p1=A, p2=B, p3=C, p4, …, pn}, 其中n≥4.然后在集合P中全部可能的点对 (pi, pj) (其中i≠j) 中选取若干个点对, 将其连接得到线段集合E={a1, a2, a3, a4, …, am}, 其中当点集P中包含△ABC边界BC, CA, AB的内点时, 则E中包含该边界被这些分点分割成的线段, 否则包含该边界线段, 显然m≥5.另外规定该集合中任两线段无公共点.同时, 集合P中任何一点至少为集合E中两条线段的端点.集合E中的线段首尾相接组成k个封闭折线, 将区域△ABC分割成k个闭区域, Ω={ω1, ω2, …, ωk}, 其中k≥2, 任两区域间除边界外, 无其他公共点;且任两区域均无包含关系.则对于△ABC进行了一次k—剖分.若规定上述k个小区域均为三角形, 则对于△ABC进行了一次k—三角形剖分.若规定上述k个小区域均为锐角三角形, 则对于△ABC进行了一次k—锐角三角形剖分.参考上述规定, 在对△ABC进行一次k—锐角三角形剖分时, 显然有m≥6, k≥4.

定义二 在平面上给定非锐角三角形ABC, 若存在对△ABC进行一次k—锐角三角形剖分的方法, 则称为对该非锐角三角形进行锐角三角形剖分问题的一个解.

定义三 对一非锐角三角形ABC, 若存在一种k—锐角三角形剖分, 它是该三角形全部可能的k—锐角三角形剖分中, k值中最小的.则称该解为该三角形进行锐角三角形剖分问题的最优解.

定义四 在平面上给定非锐角三角形ABC, 若存在对△ABC进行锐角三角形剖分的两解.这两解之间满足: (1) 第一解对应的顶点集合为P={p1=A, p2=B, p3=C, p4, …, pn}, 第二解对应的顶点集合为P′={p1=A, p2=B, p3=C, p4, …, pn}, 其包含的顶点数相同; (2) P和P′间可建立起一种对应关系, 使P中的任何两点组成的点对与P′中的对应点组成的点对同时存在或不存在相连接的线段, 则称这两组解同构.

三、本文的主要结论

定理一 对于任一非锐角三角形, 均存在7—锐角三角形剖分.对于任一非锐角三角形的7—锐角三角形剖分均可给出具体的尺规作图法.

定理二 对任一非锐角三角形, 7—锐角三角形剖分是它的最优解.

定理三 对任一非锐角三角形进行锐角三角形剖分, 两相异的最优解间必是同构的.

四、定理一的证明

(一) 将任一非锐角三角形进行7—锐角三角形剖分的规范尺规作图方法:

设△ABC是给定的非锐角三角形, 其中∠BAC为非锐角.作法如下:

1.在△ABC中分别作∠A, ∠B, ∠C的内角平分线, 其交点为I, 即△ABC的内心, 连接IA, IB, IC. (如图3)

2.作△ABC的内切圆⊙I (如图4) , 连接IA, IB, IC.设IB, IC分别交⊙I于D和E两个点.

3.过D, E两点分别作⊙I的切线, 分别交AB, BC于点F, G;过点E作⊙I的切线, 分别交AC, BC于点H, J. (如图5)

4.连接IA, IF, IH, IJ, IG, 至此, 已对非锐角三角形ABC进行一次7—锐角三角形.这七个锐角三角形是△AIF, △AIH, △BFG, △CHJ, △IFG, △IHJ, △IJG. (如图6)

(二) 上述作法正确性的证明:

如图7, 先说明△BFG和△CHJ是锐角三角形.根据题设∠BAC是非锐角, 故∠B和∠C必是锐角.据上法, BF=BG, CH=CJ, 而顶点是锐角的等腰三角形必是锐角三角形.从而得证.再说明△IFG是锐角三角形.根据上面作法得知, FI应是∠GFA的角平分线, GI应是∠FGC的角平分线, 故得知, ∠IFG和∠IGF都是锐角, undefined.所以undefined

从而证得△IFG是锐角三角形.用同样的方法可以证明△IJH也是锐角三角形.

再来证明△IGJ也是锐角三角形.上面刚证得undefined, 均为锐角, 而undefined也是锐角.从而得证.

最后说明△AIF和△AIH均是锐角三角形.上面已证得undefined, 根据上面作法知undefined, 故undefined

因为 (2∠BAC+B-π) >0, 所以undefined, 故得知△AIF是锐角三角形;同法可证明△AIH也是锐角三角形.

经过证明可知, 被剖分出来的7个小三角形:△AIF, △AIH, △BFG, △CHJ, △IFG, △IHJ和△IJG均为锐角三角形.因此, 对于任一非锐角三角形, 均存在7—锐角三角形剖分.

五、定理二、定理三的证明

1.若对非锐角三角形ABC (∠BAC是非锐角) 进行锐角三角形剖分, 显然, 过A点的线段AP是必定存在的.

2.线段AP的另一端点P必定落在△ABC的内部, 即不能落在边BC上.否则∠APB, ∠APC两者其一会是直角或钝角, 如此便把原非锐角三角形分成了一锐角三角形和一非锐角三角形.这样即使用最优解继续法剖分剩下的那个非锐角三角形, 最后得到的总锐角三角形个数也会多出最优解一个.这样的作法不能称为最优.因此, 点P一定在△ABC内部, 且0°<∠BAP, ∠CAP<90°, 如图8所示.

3.按照定义一, 与点P相连接的线段除AP外, 必定还有其他的线段存在.下面我们说明与点P连接的线段不能少于5条.否则的话, 以P为顶点的角中至少有一个是非锐角.若要将P点周围的周角剖分成若干个锐角, 则最少需要从P点引出五条直线.

4.以P为一端的线段, 另一端落在△ABC同一边上的个数不多于2.这是因为 (如图9) 若落在BC边上端点多于2, 设为Q1, Q2, Q3, 则△PQ1Q2与△PQ2Q3中至少一个是非锐角三角形.将非锐角三角形中的一个子图仍是非锐角三角形的剖分.该解法必不是最优的.

5.同样, 一段在点P另一端落在一腰上的点数为2, 设为P1, P2 (图10) , 那么算上线段AP共有三条从点P引出的直线与此腰相交.这样在△APP1与△PP1P2中至少有一个是非锐角三角形.将非锐角三角形中一子图仍是非锐角三角形的剖分.该解法必不是最优的.

6.所以, 若将一端连接P点的线段定为5条, 除PA外, 另外四个端点符合最优解要求的分配方案是:AB, AC边上个一个点, BC边上两个点, 如图11所示.

被遗忘的“锐角三角函数”的定义 篇11

例1 （2014·上海）如图1，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH.

（1） 求sinB的值；

（2） 如果CD=，求BE的值.

【思路突破】由已知AH=2CH，在Rt△ACH中，可求∠2的正弦，要求∠B的正弦，只需要证∠B=∠2.再由中线CD=，可求AB=2，由sinB可求AC的长，由勾股定理可求【解后反思】在不同的直角三角形中，找出相等的角，然后再利用三角函数的定义找出等量关系是解决此类问题的关键.

例2 如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0

（1） 若△BPQ与△ABC相似，求t的值；

（2） 连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值.

【思路突破】（1） △BPQ与△ABC相似，分=或=两种情况；

（2） 抓住∠BCP=∠QAC，利用三角函数的定义寻找等量关系.

（2） 过P作PM⊥BC于点M，AQ、CP交于点N，则有PB=5t，AB=10，AC=6，sinB=，得PM=3t，BM=4t，MC=8-4t，

锐角三角函数 篇12

例1如图1,一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群 ,在A处看见小岛C在船的北偏东60°方向,40分钟后,渔船行至B处,此时看见小岛C在船的北偏东45°的方向,已知以小岛C为中心,周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区,若这艘渔船继续向东追赶鱼群,是否有进入危险区的可能?图1

【解析】本题的关键在“如何判断这艘渔船是否有进入危险区的可能”,通过分析题意,可以发现:这艘渔船继续向东追赶鱼群的过程中,和小岛C有一个最近距离,通过计算最近距离与10海里危险区进行比较,进而得到判断:如果最近距离大于10海里,说明没有危险,反之,则有危险.因此只需考虑小岛C到渔船航线的最近距离,进而添加辅助线,作CD⊥AB,此时CD就是最近距离. 只要算出CD的大小,问题就解决了. CD被同时放在两个直角三角形中,利用AB=AD-BD列方程求解.

解:设CD=x,则可得BD=x.

在Rt△ACD中,可得AD= 31/2x.

∵AD-BD=AB,而AB=20,

∴31/2x-x=20,解得x=10 31/2+10.

∵10 31/2+10>10, ∴渔船继续向东追赶鱼群,没有进入危险区的可能.

同类问题：（2009·山东青岛）如图2，一艘轮船自西向东航行，在A处测得北偏东68.7°的方向上有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的北偏东26.5°方向上. 之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？（参考数据：cos68.7°=9/25，tan68.7°=5/2，cos26.5°=9/10，tan26.5°=1/2）图2

【解析】本题的关键在“如何理解距离小岛C最近”,通过分析题意,可以发现:这艘船继续向东航行的过程中,和小岛C有一个最近距离,作CD⊥AB于D,此时CD就是最近距离. 但是本题的 问题是 :“轮船继续向东航行多少海里? ”一些同学会误以为本题是求CD的大小而出错.

解答提示:利用直角三角形解决此类实际问题时,仔细审题很重要. 根据题意,通过添加辅助线,转化为直角三角形,从而解决问题.

2. 积累基本图形

例2 如图3所示，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=2，求△ABC的面积.图3

【解析】 在 这 个 问 题的解决过程中，同学们一看到题中有AB=2，就通常以AB为底，但高求不出来. 其实，本题中的图形是一基本图形，解决此类问题 的 前 提 是 ：一般 情 况 下 不 破 坏 特 殊 角. 因此通常不经过B点或C点作高，而是经过A点作高，以BC为 底.

解：AB=2，则 可 得BD=AD= 21/2 . 在Rt △ACD中，可得CD=61/2/3.

变式：如图3所示，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，BC=2，求△ABC的面积.

【解析】方法类似上文，关键在于求高AD. 这 个 图 形 在有 关 锐 角 三 角 函 数 应 用的题目中较为常见，很多的中考题都以这张图为原型，设计了很多新颖的题目.

同类问题：（2011·江苏苏州）如图4所示，已知△ABC是面积为31/2的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD =45° ，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于______.（结果保留根号）图4

【解析】这道题的失分率较高，主要原因在于同学们对这道题不知如何分析，很多同学没有认清这道题的本质. 其实，本题就是源于例2的基本图形，解决问题的方法类似于以上变式的解题方法. 如果同学们能够积累这些基本图形，对提高解决问题的能力有很大帮助.

【解答提示】 积累并熟练掌握一类问题的基本图形，并形成解决此类问题的基本方法，对解决此类问题起到事半功倍的作用.

3. 注意计算的合理性和简便性

例3 （2009·贵州黔东南州）如图5，在某广场上空飘着一只气球P，A、B是地面 上 相距90米的两点，它们分别在气球的正西和正东，测得仰 角 ∠PAB =45° ，仰角∠PBA=30°，求气球P的高度.（精确到0.1米， 31/2 =1.732）图5

【解析】本题的结果要求精确到0.1米，很多同学在结果的处理上失分明显，主要是计算出错，一部分同学因为没有达到精确要求而失分.

解：设PH=x，则可得AH=x.

在Rt△PBH中，可得HB= 31/2 x.

对于接下来的计算，大部分同学主要用以下3种计算方式：

（1） 把 31/2 =1.732直接代入计算.

（3） x=45 （ 31/2-1）≈45×（1.732-1）=45×0.732=32.94≈32.9.

显然，第1种计算方式较复杂，增加了计算的难度， 容易出错， 应该先分母有理化，然后再代入计算；第2种和第3种计算比较，第3种计算方式较为简便：先计算 31/2-1 ≈0.732， 再 计 算 45 ×0.732， 结 果 较 为 简单. 在计 算 中 注意 计 算 的合 理性和 简便性，可以减少计算出错.