中三角

中三角（精选12篇）

中三角 篇1

三角形中的三角函数问题经常出现在各种考试中,它主要考查三角形中边角关系的转化.要顺利解决这类问题,常常需要综合利用三角形中边角的关系、正弦定理、余弦定理、三角形的面积以及三角函数的变换等知识.

一、求角——优先考虑特殊三角形

考试题中所求的角一般是特殊角,因此求角时要优先考虑和利用特殊三角形,比如等边三角形、等腰三角形或直角三角形,可运用先猜后证明的策略,有时要将已知条件转化成两边都是一个相同三角函数的等式,从而求出角的值.

例l (2010年全国卷Ⅰ)已知△ABC的内角A、B及其对边a、b满足a+b=acotA+bcotB,求内角C.

a点评:本题考查正弦定理及两角差的正弦公式,将已知等式转化为两边都是一个同名三角函数的等式,从而得出角的关系,解决问题.在求角时,特别要注意角的取值范围.将两个同角的正弦及余弦的和或差化为一个三角函数,常常用到.

二、求三角函数值(最值)

求三角函数式的值或最值,首先要分析式子的结构,比如对称性、角或边及指数是否齐次等,然后在解法选择上考虑“特值探路与通法验证”.解题的通法是利用正弦定理、余弦定理把已知条件中三角形的边转化为角的三角函数,或将已知条件中三角形的角转化为边,再求三角函数式的值(最值).

例3 (2010年浙江)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积,满足.(Ⅰ)求角C的大小;(Ⅱ)求sinA+sinB的最大值.

分析:对于第Ⅰ问,用替换,再用变形公式a2+b2-c2=2abcosC,完成由边到角的转化.第Ⅱ问将sinA+sinB转化成asinα+bsinα的形式,最后化为y=Asin(ωx+φ)形式.

点评:解此类试题的主要方法和途径是利用正弦定理和余弦定理进行边与角的互化.同时,解题时要利用好三角形内角和进行角与角之间的相互转化,并明确角的取值范围,最后利用三角函数的有界性求最值.

三、判断三角形的形状

判断三角形的形状问题,一般有三种情况:(1)利用角的关系判断三角形的形状;(2)利用边的关系判断三角形的形状;(3)利用角的余弦函数值判断三角形是否是锐角、直角、钝角三角形.

例4 (2010年上海)若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC=5:11:13,则△ABC()

(A)—定是锐角三角形

(B)—定是直角三角形

(C)一定是钝角三角形

(D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形

分析:根据题目已知条件不容易求出三角形各内角的准确度数.由于锐角、钝角的正弦值都是正数,钝角的余弦值是负数,因此要区分锐角还是钝角,用角的余弦值比用角的正弦值更可行.故本题最终用余弦定理.

解:由sinA:sinB:sinC=5:11:13及正弦定理得a:b:c=5:11:13.再由余弦定理得,所以角C为钝角.选(C).

点评:正弦、余弦定理都可以实现三角形边与角的互相转化,解时要灵活运用.注意在用余弦定理判断时应从较大的角入手,尽可能地减少运算量.

例5 (2010年辽宁)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+B)sinC.(1)求A的大小;(2)若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状.

解:(1)由已知,根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc.再由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得,.

(2)由 (1)得sin2A=sin2B + sin2C+ sinBsinC.又sinB+sinC=1,得sinB= sinC= .因为0°

四、三角形的三角函数综合问题

这类问题综合解三角形的知识,并与向量、函数及方程等联系在一起,涉及求三角形的边长、面积及利用三角形构造建模函数等. 重点要理解基础知识,掌握解题的通性通法, 有时甚至需要数学建模能力.

例6 (2010年安徽)设△ABC是锐角三角形,a,b,c分别是内角A,B,C所对应的边长, 并且 .

(1)求角A的值;

(2)若,求b,c(其中b

分析:第1问,利用同角三角函数关系公式及两角和与差的正弦公式展开可解决.第2问, 由向量数量积及余弦定理建立关于b,c的目标方程组.

点评:很多公式就是一个多元的方程.比如本题求b,c,可通过bc=24与b2+c2=52联立成方程组求解.

总之,高考三角形中的三角函数问题每年都以不同的形式出现,但万变不离其踪,主要是运用三角函数的定义、重要的三角变换、正弦定理、余弦定理、三角形的面积等基础知识解决问题,因此复习时要抓好重点知识的熟练与深化.同时要关注题型训练和变式训练,注意通性通法的教学和数学思想方法的渗透以及运算能力的提高.

中三角 篇2

1．和、差角公式

sin()sincoscossin；cos()coscossinsin；

tg()tgtg．

1tgtg2．二倍角公式

sin22sincos；cos2cos2sin22cos2112sin2；

tg22tg． 1tg23．降幂公式

sincos11cos21cos2；cos2． sin2；sin22224．半角公式

sin21cos2；

cos21cos2；tg21cossin1cos．

1cos1cossin5．万能公式

2tgsin2；cos1tg21tg22；tg22tg2．

1tg221tg226．积化和差公式 sincos[sin()sin()]；cossin[sin()sin()]；2211 coscos[cos()cos()]；sinsin[cos()cos()]．22 7．和差化积公式

sinsin2sin2222；coscos2sin． coscos2coscossin2222cos；sinsin2cossin；

倍角、半角的三角函数

二倍角公式是两角和公式的特殊情况，即:

由此可继续导出三倍角公式.观察角之间的联系应该是解决三角变换的一个关键.二倍角公式中余弦公式有三种形式，采用哪种形式应根据题目具体而定.倍角和半角相对而言，两倍角余弦公式的变形可引出半角公式.推导过程中可得到一组降次公式，即，进一步得到半角公式:

降次公式在三角变换中应用得十分广泛，“降次”可以作为三角变换中的一个原则.半角公式在运用时一定要注意正、负号的选取，而是正是负取决于

“中三角”该如何发力？ 篇3

在“中三角”成立之前，有西部学者认为，“十二五”期间，若以西安、重庆、成都三大城市群为主体，构建“西三角经济区”，将强力推进西部大开发，并有可能形成我国经济的“第四增长极”。

此外，在承接产业转移的机遇上，还有海西经济区、中原城市群也有意接下东部沿海城市的“接力棒”。因此，中三角面临的竞争压力可想而知。

“从长三角到珠三角的发展经验来看，规划和协调是区域协作最主要的误区，如果‘中三角’一开始就把总的顶层规划做好，就能少走弯路。另外各省都有自己的本位主义，协作起来还是有一定难度的，如果区域协作深度不够，效果肯定会打折扣。”李佐军。

深层次的区域协作，是建立在优势产业互补的基础上，然而从湖北、湖南、江西三省的产业布局来看，却在一定程度上形成了产业交叉。

江西光伏产业很有名，但在湖北武汉也有很多国内一流的光伏企业聚集；湖南的重工业在全国闻名，三一重工、中联重科都是响当当的大企业，湖北是中国传统重工业基地。此外，三省都是农业大省，是我国重要的粮食储备基地。

如果说产业交叉可以通过协调解决，那么缺乏“龙头带动”，就是自身发展不足的问题了。7月份数据显示，今年上半年，中部地区，河南以GDP总值13530.55亿元居中部之首，同比增长10.3%；湖北、湖南两个制造业大省以9885.4亿元和9909.4亿元的GDP总值和11.7%、11.5%的同比增速齐头并进，江西GDP总值5403.6亿元。

“目前看来‘中三角’最缺的还是缺乏龙头带动。”李佐军认为，湖北、湖南、江西三省的层级不是很明显，没有龙头。

面对各种挑战与机遇并存的环境，中三角该如何发力才能在冲刺“第四级”的竞赛中“折桂”？

李佐军认为，当务之急是要在中三角内部形成，思想一体化、组织一体化、规划一体化、基础设施建设一体化、政策一体化、产业一体化、科教一体化、品牌一体化的体制和机制。从长三角和珠三角的发展来看，都是区域协作一体化达到一定程度后，国家才给予政策扶持的。

今年初，鄂湘赣三省第一次会商时，国家发改委地区司司长范恒山就曾表示，只要三省尽快制定详细规划、明确政策诉求，国家发改委地区司一定积极配合，尽全力支持长江中游城市群上升为国家战略，尽快写入国家重要战略。

同时，范恒山还特别提示，对于三省而言，目前最为重要的是明确长江中游城市群到底需要什么样的政策支持，并将政策诉求反馈给国家。只有让长江中游城市群成为国家战略，才能力争成为中国经济新的增长极。

“要使中三角成为新的增长引擎，首先要积极承接长三角和珠三角的产业转移，实施新型工业化，加快新型城镇化，其次是促进科教资源与金融资本对接，把科教资源转化为产业优势。”辜胜祖建议，还要大力发展金融产业、旅游产业和节能环保产业，处理好加快发展与保护环境的关系。

另外，建立发展协调机制也非常重要。辜胜祖表示，“中三角”还要创新行政管理体制机制，打破省、地区、行业、部门和所有制的界限，加快城市群内资源整合和优势配置能力建设，实现城市群经济管理的大协调与大联动，构建资源共享和利益共享机制。

“中部崛起，当务之急是提升中三角的竞争实力。”泰康人寿董事长陈东升认为，“现在不是资本稀缺的时代，而是一个环境公平、适宜于企业家精神成长的时代，只要中三角有好的环境、有企业氛围，资本自然会聚集过来。”

目前看来，生产力综合成本洼地是中三角的最大优势。陈东升认为，成本洼地的核心就是在人才、土地、政府效率上都有优势，只有保持综合的价格洼地，才有产业自然地转移过来。保持成本洼地，第一，要避免房地产对整个社会经济层面的影响。第二，要吸取香港地产和温州金融虚拟经济泡沫的教训。保持综合成本洼地优势，再加上政府缔造的迎商环境，中部必将崛起。

李佐军：“支招”中三角

“中三角”最缺乏“龙头带动”

1.行政区划的限制。中三角三省是三个并行的省，珠三角就是广东省内部，好协调，长三角，因为有直辖市上海的牵引作用，所以行政区划尽管有限制，但是不像中三角这么大。对中三角而言，因为各省都有自己的本位主义，协作起来还是有一定难度的。

2.缺乏龙头带动。长三角，上海的龙头非常鲜明；珠三角，广州和深圳的龙头也比较鲜明；武汉在历史上是发展相对比较强的，最近若干年，发展相对比较缓慢，长沙和南昌与武汉相比，层级不是很明显，没有龙头，大家谁也不服谁。

3.三省的经济的互补性不是很强，农业、工业很多都是交叉重叠的，如果有互补性合作起来就容易得多，互补性不够，不利于分工协作。

4.交通地理的限制，珠三角长三角都有一条主要的河流入海口，在地理空间上有天然向心力的作用，中三角就缺乏这种向心力。

5.三省历史上区域协作的基础不好。历史上都是各干个的 ，如果现在要做，很多需要协调的事，成本还是比较高的。

6.现在还缺乏国家层面战略的推动。

“中三角”要向“珠三角”、“长三角”学什么？

1.龙头带动。龙头率先发起，其它跟着响应。协作要形成思想共识，协作区域内要多沟通，通过思想共识来形成实质性的行动。

2.在珠三角和长三角都专门设置了协作组织，政府和民间的都有，有机构在推动，事情就好办多了。

3.交通和通信上的联动。交通就是形成相互联系的网络，通信有些地方有统一的通信网络，这是区域一体化的重要内容。

4.在市场的建设上建立联动机制。不仅是产品市场，还有要素市场，都是加强协作和联系。

5.项目协作。在重大项目的建筑上采取协作，在具体项目上统一规划和布局。

6.共同争取国家的战略支持。

杨明生：中三角的人文优势非常强大

“在武汉地区，它有一个很大的优势，就是它的人文优势。”杨明生认为，这是武汉作为中三角核心城市所具有的绝对优势。武汉的高等教育非常发达，不缺乏知识精英，这也就是为什么中三角的崛起支点要选在武汉的原因。

杨明生还表示：如今的区位优势和过去并不完全一样，加入了物理、人文、制度等多重因素。例如，如果将企业选在中三角，就很容易找到专门的职业人才，他们敬业，努力又有头脑，可以让企业放心。这就是所谓的人文优势。特别是在工业化和信息化共同推进的时代，发挥主观的创造性去加强这种人文优势，明显比过去谈自然、历史更重要，而中三角恰好如此。

谢明：“中三角”发展，要避免实业空心化

“中三角”要崛起，要看自己有没有比较优势。比制造业，我们跟东部还有差距；比民营经济，我们跟“长三角”差距还很大；比对外开放度，跟“珠三角”不在同一量级；比企业，现在西部开发战略之下，中部也难言优势。

所以，要打造“中三角”，不能只停留在口头。没有全国性的品牌、没有全国知名企业家、没有全国市场占有率，“中三角”崛起无从谈起，要避免实业空心化。

培育企业家、搞实体经济是一个漫长的过程。企业家精神中的社会责任感、激情、坚持，都需要社会引导。

中三角 篇4

如果非要追问这样的“三角”到底有何意义时, 在一篇名为《在挪威的森林里苏醒》[2]的论文里是这样说的:“这部作品就好像是用许多三角形的七巧板拼凑而成的……里面登场的人物, 拥有像是一棵摇摇欲坠的树, 需要邻近的两棵树来支撑的三角形结构。”当我们将这些人物联系在一起, 就会发现他们之间密不可分的关系和青春迷失的惊人相似性。

1. 渡边、直子、木月

每一个三角中都会有一个中心人物, 他或多或少在这样一个三角中扮演着的串联的角色, 而更是在他的身上折射出村上那独特的“忧郁”。而在这一组三角中, 木月是关键。

木月和渡边是高中的好朋友, 木月和直子是青梅竹马的恋人, 渡边也是因为木月的介绍才认识直子。按理说, 青春的爱恋是两个人的世界, 而木月却常常将渡边拉上进行三人约会, 而且在这样的约会上木月常常是谈笑风生, 他总是“可以准确无误地捕捉气氛的变化, 从而挥洒自如地因势利导。”[3]

就是这样看似开朗的男孩在自己17岁时在自家的汽车里自杀身亡。如果我们深究木月的死因, 就会发现他与渡边一样在学校里并没有什么其他朋友, 看似热情开朗的木月事实是个相当忧郁自闭的人。他忧郁的表现大概正是因为他无法在这个世界中确立自己的位置, 他不敢面对像潮水一般涌来的现实。他在渡边的面前表现出自己最好的一面, 事实上是在极力地掩藏内心的脆弱。

木月突然的死亡给了渡边和直子以沉重的打击, “木月死后到高中毕业前的十个月时间里, 渡边无法确定自己在周围世界中的位置。”[4]渡边意识到自身与木月之间的相似, 更第一次让死这个黑色阴影进入了内心。木月的死对直子的打击更是致命的, 因为直子也是脆弱的, 她无法做到如渡边这般“无所谓的淡定心态”。这也就导致了当渡边和直子在地铁上相遇之后, 那些曾经深藏在内心深处的恐慌再一次席卷了彼此的世界。

2. 渡边、初美、永泽

在这一个三角关系里, 永泽是重要的角色。渡边和永泽因为共同读着菲茨杰拉德的《了不起的盖茨比》一书而成为朋友, 但这并不能说明渡边和永泽之间的共同之处, 而相反的是, 渡边在任何一方面都不如这个成绩突出、气质非凡、风度潇洒的人, 然而他们成为了朋友, 而且是双方面的需要。

如果说这个看似什么都有了的永泽还有在什么欠缺的话, 那便是渡边的自由自在。永泽属于那种应该在日本经济快速发展的过程中起支柱作用的精英人才, 而渡边则属于走不出战后一代精神空虚阴影的典型。永泽一类的人物虽然表面风光无限, 然而内心却是比任何人都绝望, 这可以从在多年后他当上外交官后自杀的例子中印证。正如渡边所看见的那样:“他既具有令人赞叹的高贵精神, 又是个无可救药的世间俗物。他可以春风得意地率领众人长驱直进, 而那颗心同时又在阴暗的泥沼里孤独地挣扎。”[5]

另外一个让渡边十分欣赏的女性便是初美, 这个在渡边眼里堪称完美的女性有着与生俱来至善至美的气质———“娴静、理智、幽默、善良, 穿着也总是那么华贵而高雅。”就是这样完美的女性在永泽去往德国之后, 嫁人之后又选择自杀。渡边在无限的感慨中惋惜, 并对当时没有及时领悟初美给自己带来的感觉而深深后悔和自责。猛然醒悟, 逝去的人已成过往, “它类似一种少年时代的憧憬, 一种从来不曾实现而且永远不可能实现的憧憬。”[6]

这种憧憬与其说是渡边少年时代的纯真, 莫不说是村上对日本那个年代生活的一种期望。这种憧憬长眠于那个年代人们的心中, 在物欲横流的商品经济中被人们遗忘, 而最终的结果也只能是像初美这类的至善至美的女性遭到牺牲。

3. 渡边、玲子、直子

在这三个人中, 直子是中心。我和玲子也是因为直子的关系而相识, 此时的直子已经陷入到精神极大的折磨中去。但直子并没有把自己的离去以及精神的压抑归结到与渡边的相恋上, 正如她在写给渡边的信中这样说:“我想要说的, 是希望你不要因为我而自己责备自己, 这确确实实是应该由我一个人来全部承担的。”[7]直子的心是死的, 在17岁那年木月自杀时, 随着木月的灵魂一起远走了。所以与渡边的重遇, 尽管渡边深深地爱着直子, 并予以最真挚的关怀, 导致的结果也无非加速直子生命的终结。

我认为自己对你都是不够公正的, 以致使你茫然不知所措, 心灵遭受创伤。但同时我本身也同样陷入了迷惘和自我伤害的境地。[8]

这段直子写给渡边的信中, 直子明明白白地写出了对于渡边的感觉, 她觉得自己是无法承受渡边的爱的, 因为她深深知道自己是无法给予渡边回报, 并在同渡边睡过之后内心彻底崩塌, 选择了逃避。尽管如此, 直子绝不是一个悲观绝望的人, 在阿美寮的修养所里, 直子也是一个相当活泼的女孩, 或看书、听音乐唱片、织东西, 或打篮球、网球。她试图走出木月死亡的阴影, 试图接纳渡边, 试图回归正常人的生活, 但就是这样看似简单的要求, 在直子身上却变得异常的艰难起来, 并最后在绝望和悲痛中选择结束自己的生命。“《挪威的森林》这种理想和现实的鸿沟让人物眩晕, 面临困境他们徒劳挣扎, 出口只有两个;要么拒绝, 在隔离的理想世界里窒息而亡;要么接受, 在现实的世界中蜕变羽化成蛾。”[9]直子无疑选择了前者。

玲子也是这里一个重要的人物, 她作为渡边和直子的中介, 作为一种类似“传声筒”却又比“传声筒”更具理性意识的特殊女性。阿美寮是一个特殊的地方, 所谓的特殊是相比较外面世界的喧嚣和错综复杂而言的, 这里安静、舒适, 人和人之间都是平等, 如果用村上惯用的现实与非现实来界定的话, 这里无疑是一个理想的非现实的地方。

以至于原本康复了也不愿出去玲子在这里一呆就是7年。玲子的出现, 事实上给渡边和直子这两个心灵多少有忧郁的年轻人以一种踏实的感觉, 玲子知道外面的世界怎么样, 她也正是被外界的骚扰和压抑逼迫到阿美寮来, 但岁月的洗礼和成熟让她拥有了比常人更加坚毅的性格。

一曲《挪威的森林》, 渡边, 玲子还有直子便在阿美寮这个非现实的王国里继续进行着未完的恋情, 渡边和直子就好像两个懵懂的孩子, 在玲子的怀里寻求安慰。也就是在这种情况下, 直子甚至说“死的人 (木月) 就一直死了, 可我们以后还要活下去。”[10]这样的话, 事实上她多希望自己可以和渡边在一起呀。玲子给予渡边和直子无微不至的关怀和忠告, 她希望直子可以从忧郁的影子里走出来, 大概她从直子身上找到了自己当年的身影。

无论是直子, 还是玲子, 她们都是在极度抑郁的情况下散失了生活的主动, 这并非一个渡边, 一个村上可以挽回的, 这样说来《挪威的森林》更像是当代日本的靡靡之音, 或许每一个人都该从中反思青春的回忆。

4. 渡边、直子、绿子

前面笔者已经就渡边和直子之间的关系做了详细的描述, 这里不再赘述。而在一组的三角中, 渡边徘徊在两个女子中间, 如同这两个女子本身的性格一样, 或真实, 或虚幻;或开朗, 或忧郁。而绿子就是这里面最重要的链条。

如果说直子是渡边永远摸不到的一面无形的镜子, 那么绿子就是站在渡边面前一个真真实实的人物。文中是这样描述绿子的:“坐在我面前的她, 全身迸发出无限活力和蓬勃生机, 简直就像刚刚迎着春光蹦跳到世界上来的一只小动物。眸子宛如独立的生命体那样快活地转动不已, 或笑或恼, 或惊讶或气馁。”[11]

绿子是一个率直、天真的少女, 她是那种有话就说, 有不满就会表现出来的人, 她不喜欢父亲那种邋遢, 不喜欢高中上那种贵族女子学校, 不喜欢将对渡边的感情掩藏在心中。现实和青春并非没有给予绿子烦恼忧郁, 她也并不是那种乐观到可以忘记一切的人, 她与直子最大的不同就是, 她学会适应了生活, 适应了这多少有些不公平的时代, 适应了青春给予她的忧郁。

对于绿子, 村上曾经这样说过:“感觉上是象征着现实的拯救吧!其他的人物, 像永泽啦、直子啦, 或玲子, 所做的都是一点一点地从现实偏离开。但是绿子这样的女子, 却是双脚踏入现实中生存着, 并没有脱离存在的现实。”[12]那么, 村上最后让渡边在电话亭通过电话对绿子不断地呼唤, 事实上正意味着渡边对现实的回归。充满着生机和活力的绿子, 以一种不可思议的“真实”让渡边重回了现实世界。

纵观上述四个三角关系, 我们很容易发现渡边在这里面似乎只是扮演了一个叙述者的角色, 他接触到这些人, 他感受到他们心中的落寞, 并通过自己的口向我们娓娓道来。曾有人在论著中将渡边定义成平庸的人, 而笔者认为他更像是集聚他们所有人的性格特点, 是作家村上内心世界的反映, 是这部《挪威的森林》中最核心的人物, 他就像一个灵魂式的指引灯, 将发生那个年代的所有故事都叙述给我们听。

渡边通过自己的眼睛, 带着我们一起见证了这场青春故事的始末, 就算十八年过后, 当渡边坐在飞机上回忆这一切的时候, 他仍旧免不了感伤。“记忆这东西真有些不可思议。实际身临其境的时候, 几乎未曾意识到那片风景, 未曾觉得它有什么撩人情怀之处, 更没想到十八年后仍历历在目。”[13]于是, 我们明白渡边也是刻骨铭心地经历其中, 大概每一次的生死别离总会让他感悟到青春真实的秘密, 感悟生和死之间的纷纷扰扰。

村上春树试图为读者讲述那些青年男女的青春苦闷, 他们在面对精神压抑时, 无法确立在世界的位置。他曾这样写过:“尽管世界上有那般广阔的空间, 而容纳你的空间, 虽然只需一点点, 却无处可寻。”我们不否认曾经的错失和等待, 我们也不否认在青春日子中有过的忧郁, 只是每当读者再读起《挪威的森林》时, 心中不禁都会涌起一种莫名的呼唤, 呼唤那些被我们忘记的岁月。我们或许会因为上面的困境而陷入到彷徨中去, 也或许都会悄悄地问起渡边在文章最后呼唤的那句话:我现在哪里?

摘要：“死并非生的对立面, 而是作为生的一部分永生。”[1]这句在《挪威的森林》中起到核心解释作用的话, 既为我们诠释了生与死之间微妙的关系, 也为大家展示了那群困惑在这句话中而无法自拔的年轻男女的故事。

关键词：三角关系,青春,迷失

参考文献

[1][3][4][5][6][7][8][10][11][13][日]村上春树著.林少华译.挪威的森林.上海:上海译文出版社, 2007.

[2]川村凑著.银色快手译.遇见百分百的村上春树:264.

[9]刘延红出自论文《写给青春的墓志铭》.作者发表在论文集《相约挪威的森林》.雷世文著.北京:华夏出版社, 2005.

三角形中位线课件 篇5

指导思想：教师必须树立正确的学生观，摆正教师和学生在教育过程中的位置，正确处理教师与学生的关系，主体与主导的有机结合，融为一体。

设计理念：义务教育阶段的数学应体现基础性、普及性和发展性，所以我的设计理念是引导学生进行探究式的学习活动，通过动手操作，发现规律，把自主探索作为数学学习的重要方式，让学生个性得到发展，让学生认识到数学的应用性，乐于投入数学学习中。

教材分析： 三角形的中位线是几何学的主要标志之一，是初中数学的重要组成部分。在当代社会中，三角形的中位线的应用非常广泛，它是人们参加社会生活，从事劳动和学习，研究现代科学技术必不可少的工具，他的内容，思想，方法和语言已广泛渗入自然科学，成为现代文化的重要组成部分。而且三角形的中位线的性质也学习梯形中位线的基础，为四边形的中点问题服务。

学情分析： 本班学生基础知识不是很扎实，因此，本节课着眼于基础，注重能力的培养，积极引导学生首先通过实际操作获得结论，然后借助于平行四边形的有关知识进行探索和证明。在此过程中注重知识的迁移同时重点渗透转化、类比、归纳的数学思想方法，使学生的优势得以发挥，劣势得以改进，从而提高学生的整体水平。

教学目标：

知识与能力目标： 理解并掌握三角形中位线的概念，性质，会利用三角形中位线的性质解决有关问题。培养学生解决问题的`能力和空间思维能力。

过程与方法目标：1，经历探索三角形性质的过程，让学生动手实践，自主探索，合作交流。

2，通过对问题的探索研究，培养学生大胆猜想。合理论证的科学精神，培养思维的灵活性。

情感与评价目标：通过学生的团结协作，交流，培养学生友好相处的感情。体会数学学科的价值，建立正确的数学学习观。

教学的重点，难点：探索并运用三角形中位线的性质，是本课的重点。从学生年龄特点考虑，证明三角形中位线性质定理的辅助线的添法和性质的灵活应用，运用转化思想解决有关问题是本课的难点。破这个难点，必须理解三角形中位线与中线的区别这个关键问题，正确应用已有的知识，发现并寻找比较的方法。

教学方法：要“授之以鱼”更要“授之以渔”。数学教学不仅要教给学生数学知识，而且还要提示获取知识的思维过程，发展思维能力，是培养能力的核心。对于三角形中位线定理的引入采用发现法 ，在教师的引导下，学生通过探索，猜测等自主探究，合作交流的方法先获得结论再去证明。在此过程中，注重对证明思路的启发和数学思想方法的渗透，提倡证明方法的多样性，而对于定理的证明过程，则运用多媒体演示。

教具和学具的准备： 教具：多媒体，投影仪，三角形纸片，剪刀。学具：三角形纸片，剪刀，刻度尺，量角器。

教学过程：本节课分为六个环节：设景激趣，引入新课——引导探究，获得新知——拼图活动，探索定理——巩固练习，感悟新知——小结归纳，当堂检测， 作业布置

一. 创设问题情景，激发学习兴趣。

问题：你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗?这四个三角形能拼凑成一个平行四边形吗?

设计意图：这一问题激发了学生的学习兴趣，学生积极主动的加入到课堂教学中，课堂气氛变得较为和谐，课堂也鲜活起来。

学生想出了这样的方法:顺次连接三角形没两边的中点，看上去就得到了四个全等的三角形。

二. 动手实践，探究新知。

1.探究三角形中位线的定义。

问题：你有办法验证吗?

学生的验证方法较多，其中较为典型的方法

生1：沿DE,EF,DF将画在纸上的三角形ABC剪开，看四个三角形能否重合。

生2：分别测量四个三角形的三边长度，判断是否可利用“SSS”来判定三角形全等。

生3：……

师：多媒体课件展示重合法。

引导：上述同学都采用了实验法，存在误差，那么如何利用推理论证的方法验证呢?

师：把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。(板书)

2.探究三角形中位线定理。

问题：三角形的中位线与第三边有怎样的关系呢?在前面的图中你能发现什么结论呢?(学生的思维开始活跃起来，同学之间开始互相讨论，积极发言)

学生的猜想结果：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半、(板书)

师：如何证明这个猜想的命题呢?

生：先将文字命题转化为几何问题，然后证明。

已知：如图，DE是△ABC的 中位线

求证：DE‖BC，DE=1/2 BC

学生思考后教师启发：要证明两直线平行，可以利用“三线八角”的有关能容进行转化，而要证明一条线段等于另一条线段长度的一半，可采用将较短的线段延长一倍，或者截取较长线段的一半等方法进行转化归纳。

(学生积极讨论，得出几种常用方法，大致思路如下)

生1：延长DE至F，使EF=DE，连接CF，由△ADE≌△CFE，得AD=CF，从而BD=CF，所以，四边形DBCF为平行四边形。得DE‖BC，DE=1/2 BC (一名学生板演，其他学生在练习本上书写过程，幻灯片展示。)

生2：延长DE到F，使EF=DE，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得AD=FC，AD‖FC，由此可得到结论。

生3：过点C作CF‖AB，与DE延长线交于F，通过证△ADE≌△CFE，可得AD=FC,AD‖ FC,由此得结论。

师：还有其它不同方法吗?

(学生面面相觑，学生4举手发言)

生4：利用△ADE∽△ABC且相似比为1：2，

师：很好，大家要像这位同学学习，用变化的，动态的，创新的观点来看问题，努力寻找更好更简捷的方法。

这个结论为我们以后解决平行问题，线段的2倍或1/2提供了新的思路。

设计意图:一题引导学生从多个角度证明，丰富学生的联想，开拓了学生的思维

三，学以致用。

师：请同学们自己画一个三角形，画出他的中线，中位线，(一生板演，师巡视指导区别)。待学生完成后，进行变式提问。

问：一个三角形中最多可以画几条中线，中位线。说出他们的联系和区别。(学生交流，探索，思考，验证。)

生：都是三角形内部与边的中点有关的线段，但中位线平行于第三边且等于第三边的一半，三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的小三角形。

问：你能利用三角形中位线地理说明本节课开始提出的趣题的合理性吗?(学生争先恐后回答，课堂气氛活跃)

做一做：任意一个四边形，将其四边的中点依次连接起来所得新四边形的形状有特征?

当学生不会添辅助线时，教师再作启发，这么多的中点我们会想到什么呢?四边形的问题又可以转化成什么图形的问题呢?使学生能够连结对角线。(学生积极思考发言，师生共同完成此题目的最常见的证法。) 设计意图：学以致用的体验，使学生感受到数学学习是有趣的、丰富的、有价值的.

拓展训练：如果将上例中的“任意四边形”改为“平行四边形，矩形，菱形。正方形”结论又会怎么样呢?(学生课后讨论)

四. 本节小结。

本节课你有什么收获?(小组讨论后，学生总结)

1、回顾知识

2、总结方法

设计意图：这是一次组织与情感的交流，浓缩知识点，突出内容本质，渗透思想、方法.培养自我反馈，自主发展的意识。

五. 当堂检测： 如图， △ ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，若AB=10cm，AC=6cm，求四边形ADEF的周长。

设计意图：当堂检测实现了知识向能力的转化，让学生主动用所学知识和方法寻求解决问题的策略.达到学以致用提高课堂效率。 六，布置作业。

书面作业：教科书94页习题3.3 1.2.3.4

活动作业：利用“剪。拼。”的方法将任意一个三角形纸片变成一个与原三角形面积相等的平行四边形纸片，并证明你的做法的合理性。

板书设计：三角形的中位线

1. 问题

2. 三角形中位线定义

3. 三角形中位线定理证明

探索三角形中的角 篇6

例1如图1，若点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，试说明∠BPC=90°+∠A.

[解析：]在△BPC中，∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）.

∵∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，

∴∠BPC=180°-（∠ABC+∠ACB）

=180°-（∠ABC+∠ACB）.

∵在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，

∴∠BPC=180°-（180°-∠A）

=90°+∠A.

[点评：]三角形内角和定理、角平分线的性质以及整体代入思想在解这道题的过程中起着重要的作用.

同学们可以参照例1试着解答下面这道练习题.

练习：如图2，点P是△ABC的外角∠CBF和∠BCE的平分线的交点，试说明∠P=90°-∠A.

例2如图3，点P是∠ABC的平分线和∠ACE的平分线的交点，试说明∠P=∠A.

[解析：]可利用三角形外角的性质、角平分线的性质解题.

∵∠PCE是△PBC的外角，

∴∠PCE=∠PBC+∠P.

故∠P=∠PCE-∠PBC.

∵∠ACE是△ABC的外角，

∴∠ACE=∠ABC+∠A.

故∠A=∠ACE-∠ABC.

∵∠ACE=2∠PCE，∠ABC=2∠PBC，

∴∠A=2∠PCE-2∠PBC=2（∠PCE-∠PBC）.

又∠P=∠PCE-∠PBC，

∴∠A=2∠P，即∠P=∠A.

三角变换中“1”的妙用 篇7

第一, 三角函数式如含有1时可将1变换为sin2α+cos2α.

【例1】已知, 求sin2α+sinαcosα+2的值.

分析:由已知可以求出tanα, 再由同角三角函数关系式可以求得sinα和cosα, 进而求出关系式的值, 但实际操作中, 往往借助题目条件的特殊性来整体考虑使用条件.

评析:形如asin2α+bsinαcosα+ccos2α的式子称为关于sinα、cosα的二次齐次式, 对涉及它们的三角式通常利用1=sin2α+cos2α进行变换.

【例2】若sinθ、cosθ是关于方程8x2+6kx+2k+1=0的两个实根, 求k的值.

解:由题意知

第二, 三角式中有1和secα、tanα时, 则利用sec2α-tan2α=1进行变换.

第三, 在含有根号的三角函数等式的变形中, 1±sinα、1±cosα时1可以不变, 但为“脱”去根号常借助三角函数的平方关系.

分析:利用同角三角函数平方关系式化简.

评析:解该题时易犯的错误是缺少对cosα、sinα正负的讨论, 直接“脱去”分母中的绝对值符号, 或是不注意正、余函数的有界性, 盲目对1±sinα、1±cosα的正负进行讨论.

第四, 三角式中有1和tanα, 有时把1换成tan45°.

【例5】化简.

第五, 三角式中含有1±cosα, 则有时不宜变动1, 而将1+cosα化为, 将1-cosα化为.

解:原式

第六, sin2α+cos2α=1的妙用.

【例7】已知实数x, y满足x2+ (y-1) 2=1, 若对满足条件的任意x, y都有x+y-c≤0恒成立, 求参数c的取值范围.

解:设x=cosθ, y-1=sinθ,

即x=cosθ, y=1+sinθ.

则x+y-c≤0恒成立转化为cosθ+sinθ+1-c≤0恒成立,

即c≥cosθ+sinθ+1恒成立.

则c≥cosθ+sinθ+1恒成立等价于c≥zmax.

下面我们求函数z=cosθ+sinθ+1的最大值.

由正弦函数的有界性知

当时, 函数取得最大值, 即, 所以.

即c取值范围是.

中三角 篇8

知识点本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角的正弦、余弦公式,两角和的余弦公式以及正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等基础知识,考查基本运算求解能力.

二、求边长问题

知识点本题主要考查同角三角函数的基本关系、三角形内角和定理、两角和的正弦公式及正弦定理的应用,考查考生的运算求解能力.

三、给条件求面积问题以及最值问题

例3(2015全国卷1)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin Asin C.

知识点本题主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式、勾股定理等基础知识,考查学生的运算能力、逻辑思维能力.

四、判断三角形的形状

例4(2013陕西卷)设△ABC内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC是()

A.直角三角形B.直角三角形

C.直角三角形D.直角三角形

解题思路根据正弦定理把已知条件bcos C+ccos B=asin A中的边化为角的正弦得sin(B+C)=sin Bcos C+sin Ccos B,再利用两角和的正弦公式化简求得sin A=1,从而判断出三角形的形状.

通过对2015年全国各省高考题分析可发现,从题型上来讲,有关三角函数与解三角形的内容占总分的15%,不论文理,都是考查的热点和重点之一,主要考查的知识点有正弦定理、余弦定理及三角形面积公式、勾股定理、同角三角函数的基本关系、三角形内角和定理、两角和(差)的正弦(余弦)公式、二倍角公式等知识,因此在教学或学生学习方面都必须掌握此知识点的结合,为了更好地备考高考,因此广大学子们有必要专题练习该题型,以便在高考中立于不败之地.相关练习如下:

1.(求三角函数值题型)(2015湖南卷理)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角.求sin A+sin C的取值范围.

4.(判断三角形的形状题型)(2013四川模拟)在△ABC中,若sin A-sin Acos C=cos Asin C,则△ABC是()

A.正三角形B.等腰三角形

三角变换中的和谐统一 篇9

众所周知, 三角函数有一个特点就是公式多, 给我们的记忆造成了很大的麻烦.很多人在平时学习三角函数的时候不愿意花时间费脑力去理解公式, 喜欢死记硬背, 由于学习新知识的时候作业也较简单, 涉及其他公式不多, 综合性也不强, 所以基本上使用刚刚学过的公式就能解决问题!但是, 三角函数是一个整块的内容, 在解题中不可避免地要涉及三角函数知识的综合运用, 也就不可避免需要涉及很多公式, 不仅需要把公式给记住, 而且必须理解, 不光要记住其形, 还要从各方面对公式进行记忆、理解!这样, 问题就来了, 很多人一遇到三角函数变换问题就一筹莫展, 甚至有点恐惧了!

怎样解决三角函数变换问题呢?

碰运气, 靠题海战术?在现在的素质教育和高考的指导方向上, 都可以看出不大可行, 而且效果肯定也不好!那到底该怎样去进行三角变换呢?

波利亚四步解题的第一步就是弄清题意:一个三角变换题目, 目标是什么?你发现了什么?有什么问题要解决?

其实, 对于三角变换问题, 书本有提示, 只不过很多人都没有注意到而已.在人教A版教材必修4《3.2简单的三角恒等变换》例题2上边, 写了这样一句话:代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.

所以在三角变换中, 弄清题意, 主要就是弄清式子结构形式.

式子结构形式的说法太笼统, 这就造成了很多人没有注意或理解书本上的这一句话.

我们再从书本上的这句话继续往下看:对于三角变换, 由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异, 而且还会有所包含的角以及这些角的三角函数种类方面的差异, 因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系, 并以此为依据, 选择可以联系他们的适当公式, 这是三角式恒等变换的重要特点.

从上面这一段话可以找到关键词:角、函数 (名、种类) 、结构形式 (幂次数、形式等) .

所以, “代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换”我们可以理解成“代数式变换往往着眼于角、函数名 (种类) 、幂次数、结构的变换”.

可以看出, 解决三角变换只要从“角”的变化、“函数名”的变化、“幂次数”、“结构”的变化四个方面去分析就可以了!解决三角变换问题的过程, 就是达到“四个统一”的过程:“角”的统一, “函数名 (种类) ”的统一, “幂次数”的统一, “结构”的统一.

下面, 我们试着从几个具体例子来看一下用“四个统一”的思想指导我们解题.

一、“角”的统一

三角变换中, 往往会出现好几个不同的角, 这时我们应该减少不同角的个数, 使问题获解

分析:目标是什么?一个具体数值!发现了什么?角有3个!有什么问题要解决?统一三个角!三个角如果不统一, 将很难得到一个具体数值!所以应该从角统一入手

解题反思:三角函数一般应从角开始分析, 必须达到角的统一.

二、“函数名”的统一

新课程教材中涉及三角函数包括3种, 所以, 对于含有多种三角函数的问题, 需要选择恰当的三角函数公式, 通过变换减少三角函数的种类, 以达到统一函数名的目的.

分析:目标是什么?一个具体数值!发现了什么问题?角有2个, 函数种类包括弦与切!需要解决什么?统一角及函数名!

解题反思:函数名不统一时, 正切化成正余弦或正余弦化成正切非常常见.

三、“幂次数”的统一

三角函数问题中, 由于次数的不统一导致很难化简证明

分析:目标是一个具体数值, 发现角有2个、幂次数最高达到3此, 需要我们统一角, 需要降低幂次数, 而降低幂次数最常用的公式是二倍角公式的变形!

四、“结构”的统一

可能分母不一致很难化简证明, 可能加、减、乘、除不一致很难化简证明, 可能是左右项数不一致很难证明, 这些归根到底就是结构的不统一.结构不统一时, 需要对条件或结论的结构进行调整, 或重新分组, 或移项, 或乘除互换, 分解因式, 配方等等.

分析:目标是左右相等, 发现角是统一的, 但结构形式不一致, 需要将左右结构变成一致.可从左边开始证明与右边一致, 可以从右边开始证明与左边一致, 也可以从两边同时开始变形到同一个式子, 一般从复杂的一边开始证明.

解题反思:证明题主要达到左右两边结构的统一, 分式因式主要从分母统一入手.

分析:注意到角有4个, 必须化成一致;函数名不一致, 应该将正切化成正余弦;幂次数不一致, 应该将分母的根号通过构造完全平方去掉;结构不一致, 分子与分母需要统一.

解题反思:有函数名不统一的时候, 常见的是先将正切化成正余弦;分母太复杂的, 也应该尽量简化.

三角形中的向量 篇10

关键词：搭建,反惠,突破,风靡,压轴

向量体系的搭建, 离不开三角形, 如向量的加、减法则都包含着三角形法则; 向量的数量积更是直接依赖于三角中的余弦函数……因此, 要想轻松学好向量, 三角的基础知识必须扎实!

“赠人玫瑰, 手留余香”, 向量也能反惠于三角形的相关知识:

A. 余弦定理的证明。三角体系中传统的证明方法有三种: 一是结合三角函数的定义, 结合两点距离来证明; 二是反复利用平面几何的勾股定理, 而且要分成三种情形加以讨论; 三是多次借助于射影公式: a =bcosC +ccosB, 巧妙变形来完成。与向量法比起来都相形见拙:

所成的角是B的补角, 又

B. 三角形重心坐标的推导

以A ( x1, y1) 、B ( x2, y2) 、C ( x3, y3) 为顶点的三角形ABC的重心G的坐标 (x1+ x2+ x3/3, y1+ y2+ y3/3) 的推导, 在传统的教学中, 是一次运用中点公式, 一次运用λ =2的定比分点公式, 经过计算完成推导。向量法利用“点G是平面ABC内的一点, , 则点G是三角形的重心”, 就能轻松地搞定。

C. 三角形中位线定理

平面几何中, 三角形中位线定理的证明是构造平行四边形, 利用全等三角形的判定与性质, 是平几推理证明的经典。用向量简直事半功倍:

若M是AB的中点, N是AC的中点, 则

向量在三角形中的运用起初多见于图形的形状的判断。前些年, 不少试题就已有所突破:

例1: △ABC中, 点D为BC上一点, 若AB2+ CD2=AC2+ BD2, 求证: AD⊥BC

【分析】众所周知, 向量中证两线垂直, 十之八九要证相关的数量积为0:。目标虽然明确, 但能将之突破的学生并不多。

【证明】已知式移项, 变成平方差:

结合三角形法则, 可得

2008年前后, 国外向量中常见的与三角形的外心O结合的习题开始在江苏各类高考模拟题中风靡一时, 如今成了全国数学试题的“常客”。

【分析】与与AB、AC之间如何去关联, 是本题的障碍。

【解答】取线段BC的中点, 则线段AM为△ABC的中线, 易得。因为O为△ABC的外心, 所以OM⊥BC, 于是

【说明】作为填空题, 可构造以A为顶点的RT△ABC, 再以A为原点建立坐标系, 巧得B ( 12, 0) , C ( 0, 8) , 外心O ( 6, 4) , 用坐标进行运算就一蹴而就了。

近年, 这类习题的升华没有停止过, 不仅有了变题“点O为△ABC的外心, , 求的范围”, 而且出现了作为填空题压轴题的试题。

例3: O点为△ABC的外心, , 试用A的函数表示m。

【说明】此题曾让不少名师“丢了脸面”, 笔者多花点笔墨, 只求抛砖引玉!

【分析1】O为△ABC的外心, 则OA = OB, 注意到, 计算量偏大的法一, 就水到渠成了。

因为O为△ABC的外心, 所以, 从而

【分析2】考虑到外心是三角形的三条垂直平分线的交点, 取AB中点D, 必有OD⊥AB, 于是, 法二也就信手拈来了。

【法二】取AB中点D, 则有

于是变形为

因为OD⊥AB, 所以, 上式两边同乘→AB, 可得

【分析3】已知式中出现了三个向量, 能不能借助于化归思维, 全部转为与外心关联的呢? 注意到的夹角为2∠C, 法三就不觉得空穴来风了。

【法三】设外接圆半径为R, 则B, 可化为:

于是结合二倍角公式, 可得

【分析4】利用例3中的

【法四】两边同乘, 可得

进一步变形, 得

从例3的解答, 可以清楚地发现, 建立在三角形基础上的向量的试题, 无论答题的视野, 还是数学知识的综合应用, 都有了较大的突破。那些认为向量都比较容易的人, 该有何想呢?

三角变形中基本公式的活用 篇11

1．平方关系

这个公式要从两个方向进行理解.

从左到右，左边有变量[α]，右边没有，我们说这个公式叫消去律.不仅如此，它还为我们沟通[sinα±cosα]和[sinαcosα]提供了方便.

[∵(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα]，

[(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα]，

[∴sinαcosα=(sinα+cosα)2-12]

[=1-(sinα-cosα)22.]

还可以这样理解：

[(sinα+cosα)2-2sinαcosα=1]，

[(sinα-cosα)2+2sinαcosα=1].

反过来，[1=sin2α+cos2α]，这可看作1的妙用之一：添加律. 即将“1”看成同角的正、余弦的平方和，在应用中不能拘泥于[α]，可能有：[1=sin2β+cos2β][=sin22α+cos22α=sin2α2+cos2α2=]…

2．倍角公式

三个倍角公式中，余弦的倍角公式最重要，选取哪种形式，取决于已知函数的名称. 如果能将平方关系、倍角公式、和角公式综合起来应用，会有更多意想不到的变化.[sin2α=2sinαcosα]，将右边看成分式，分母是1，再用添加律，将1改写为[sin2α+cos2α]，有[sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α]，右边是一个“齐次式”，可以上下同除以[cos2α]：[sin2α=2sinαcosαcos2αsin2αcos2α+cos2αcos2α][=2tanαtan2α+1.]

用同样的方法可得到：

[cos2α=cos2α-sin2αcos2α+sin2α][=1-tan2α1+tan2α.]

公式学活了，可以随心所欲地变形：

[1+sin2α=1+2sinαcosα]

[=sin2α+2sinαcosα+cos2α][=(sinα+cosα)2]，

[1-sin2α=(sinα-cosα)2]等.

例 求证：[1+sin2θ-cos2θ1+sin2θ+cos2θ][=tanθ].

证明 方法一（化弦为切）：

左边[=1+2tanθ1+tan2θ-1-tan2θ1+tanθ1+2tanθ1+tan2θ+1-tan2θ1+tan2θ]

[=1+tan2θ+2tanθ-1+tan2θ1+tan2θ+2tanθ+1-tan2θ]

[=2(1+tanθ)tanθ2(1+tanθ)=tanθ=右边.]

[∴]原式成立.

方法二（切化弦）：

结论[⇔1+sin2θ-cos2θsinθ=1+sin2θ+cos2θcosθ]

[⇔1-cos2θ+sin2θsinθ][=1+cos2θ+sin2θcosθ]

[⇔2sin2θ+2sinθcosθsinθ][=2cos2θ+2sinθcosθcosθ]

[⇔2sinθ+2cosθ=2cosθ+2sinθ].

显然成立，因此原式成立.

方法三（倍角化单角）：

左边[=1+2sinθcosθ-cos2θ+sin2θ1+2sinθcosθ+cos2θ-sin2θ]

[=(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)(sinθ+cosθ)(sinθ+cosθ)2+(cosθ-sinθ)(cosθ+sinθ)]

[=sinθ+cosθ+sinθ-cosθsinθ+cosθ+cosθ-sinθ]

[=2sinθ2cosθ][=tanθ]＝右边.

∴原式成立.

方法四（降幂）：

左边[=sin2θ2+1-cos2θ2sin2θ2+1+cos2θ2]

[=sinθcosθ+sin2θsinθcosθ+cos2θ][=sinθ(sinθ+cosθ)cosθ(sinθ+cosθ)]

[=tanθ]＝右边.

∴原式成立.

方法五（比例性质）：

由[sin22θ=1-cos22θ]得，

[1-cos2θsin2θ=sin2θ1+cos2θ=tanθ]，

由等比定理得，

[1-cos2θ+sin2θsin2θ+1+cos2θ=tanθ]，

即[1+sin2θ-cos2θ1+sin2θ+cos2θ=tanθ].

方法六（1的妙用）：

将1代换为[sin22θ+cos22θ]，对分母，

[1+sin2θ+cos2θ]

[=(sin22θ+cos22θ)+(sin2θ+cos2θ)]

[=(sin22θ+sin2θ)+(cos22θ+cos2θ)]

[=sin2θ(sin2θ+1)+cos2θ(cos2θ+1)]

[=sin2θ(sinθ+cosθ)2+(cosθ-sinθ)× (cosθ+sinθ)×2cos2θ]

[=2cosθ(sinθ+cosθ)[sinθ(sinθ+cosθ) +cosθ(cosθ-sinθ)]]

[=2cosθ(sinθ+cosθ)].

同理，对分子，

[1+sin2θ-cos2θ=2sinθ(sinθ+cosθ)]

∴左边[=tanθ=]右边，原式成立.

方法七（引入辅助角）：

左边= [1+2sin(2θ-π4)1+2sin(2θ+π4)]

[=2[sinπ4+sin(2θ-π4)]2[sinπ4-sin(2θ+π4)]][=2sinθcos(π4-θ)2sin(π4+θ)cosθ]

[=sinθcosθ]（这里用到了和差化积公式）[=tanθ]

[=]右边.

∴原式成立.

方法八（方程思想的应用）：

设 [sinθ+cosθ=x,sinθ-cosθ=y]，

则[x+yx-y=2sinθ2cosθ=tanθ].

左边[=(sinθ+cosθ)2-(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)(sinθ+cosθ)2+(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)]

[=x2+xyx2-xy=x+yx-y=tanθ][=]右边.

∴原式成立.

直角三角形中隐含的三角公式 篇12

(限于篇幅, 这里仅推导正、余弦, 正切可由商数关系即得.)

1. 同角公式

1.1 商数和倒数关系

如图1, 在Rt△ABC中, 令∠C=Rt∠, ∠A=α, AB=1, 则AC=cosα, BC=sinα.由锐角三角函数定义, 易得商数和倒数的关系 (此略) .

1.2 平方关系

在图1中, sinα, cosα, 1是一组勾股数, 因α为锐角, 故sinα, cosα均为小于1的正数, 由勾股数性质也是勾股数, 即tanα, 1, secα和1, tanα, secα都是勾股数, 于是有:

sin2α+cos2α=1;1+tan2α=sec2α;1+cot2α=csc2α.

2. 二倍角公式

2.1 二倍角的正弦

在图1中, 取AB的中点D, 连接CD, 作CE⊥AB于点E (如图2) , 则, ∠CDE=2α, ∠BCE=∠A=α.

即sin2α=2sinαcosα. (S2α)

2.2 二倍角的余弦

即cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. (C2α)

3. 和角公式

3.1 和角的正弦

在图1中, 以A为顶点, AC为一边在∠BAC的外部作∠CAD=β, 另一边AD交BC延长线于点D (为利用锐角三角函数定义, 使α+β为锐角) , 作BE⊥AD于点E交AC于点F (图3) , 则∠FBC=β.

于是sin (α+β) =BE=BDcosβ= (BC+CD) cosβ= (sinα+cosαtanβ) cosβ=sinαcosβ+cosαsinβ.

即sin (α+β) =sinαcosβ+cosαsinβ. (Sα+β)

3.2 和角的余弦

在图3中, cos (α+β) =AE.

∵CF=sinαtanβ, ∴AF=AC-CF=cosα-sinαtanβ,

∴cos (α+β) =cosβ (cosα-sinαtanβ) =cosαcosβ-sinαsinβ.

即cos (α+β) =cosαcosβ-sinαsinβ. (Cα+β)

4. 差角公式

在图1中, 以A为顶点, AC为一边, 在∠BAC的内部作∠CAD=β.另一边AD交BC于点D, 作DE⊥AB于E (图4) , 则∠BAD=α-β, ∠BDE=α.

即sin (α-β) =sinαcosβ-cosαsinβ. (Sα-β)

类似的可以推出cos (α-β) =cosαcosβ+sinαsinβ. (Cα-β)