三角变换

三角变换（精选12篇）

三角变换 篇1

三角变换重在变, 初学的人往往觉得很难, 但多年教学下来我发现变换规律是显见的, 角的异同, 式子的结构, 函数名的种类, 很多三角函数的求值、化简与证明题往往表现为角的多变性, 结构的繁杂性, 函数名称的多样并存, 要解决好这类问题就必须着眼于数学上的基本思想:化归思想、统一思想、类比思想、整体与局部的思想、常量思想等.

一、看三角函数中的角

本着化归与和谐统一的原则, 如果三角函数中的角不统一时, 我们通过看角的“和、差、倍、分”及诱导公式等努力使角向和谐统一的方向发展, 常会收到意想不到的效果.如:若$\tan \left(\frac{5\text{π}}{3}-\alpha \right)=-5$, 则$\tan \left(\frac{\text{π}}{3}+\alpha \right)=$.本题只要看出:$2\text{π}-\left(\frac{\text{π}}{3}+\alpha \right)=\frac{5\text{π}}{3}-\alpha$满足诱导公式问题就会解决.

二, 看式子的结构

看到一个数学题首先要仔细分析:条件与结构的关系;题目隐含着的各种信息;它属于哪部分知识;要用到什么样的数学方法得到.看式子的结构附着的数学信息, 如与哪个公式接近、运用哪个公式易化简、是否与常见题型相联系等.如看到$\frac{1+\tan \alpha }{1-\tan \alpha }$就联想到$\tan \left(\alpha +\frac{\text{π}}{4}\right)$, 看到asinα+bcosα容易想到$\sqrt{a{}^2+b{}^2}\sin (\alpha +\phi )$等.如“已知a, b∈R且a≠0, 若$\frac{b\text{c}\text{o}\text{s}\frac{\text{π}}{5}-a\text{s}\text{i}\text{n}\frac{\text{π}}{5}}{b\text{s}\text{i}\text{n}\frac{\text{π}}{5}+a\text{c}\text{o}\text{s}\frac{\text{π}}{5}}=\tan \frac{2\text{π}}{15}$, 求$\frac{b}{a}$的值”, 许多学生都知道变形求$\frac{b}{a}$的值, 但过程较繁, 其实这里只要研究结构, 联想两角差的正切公式$\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }(※)$并与之类比可得如下简捷解法:把已知等式左边的分子分母同除以$a\cos \frac{\text{π}}{5}$, 可

得$\frac{\frac{b}{a}-\tan \frac{\text{π}}{5}}{1+\frac{b}{a}\tan \frac{\text{π}}{5}}=\tan \frac{2\text{π}}{15}$, 类比联想公式 (※) , 令$\frac{b}{a}=\tan \theta$, 则$\tan \left(\theta -\frac{\text{π}}{5}\right)=\tan \frac{2\text{π}}{15}$, 所以$\theta -\frac{\text{π}}{5}=k\text{π}+\frac{2\text{π}}{15}(k\in \mathbf{{\rm Z}})$, 即$\theta =k\text{π}+\frac{\text{π}}{3}(k\in \mathbf{{\rm Z}})$, 故$\frac{b}{a}=\tan \theta =\sqrt{3}.$

三、函数的名称统一化解题

根据化归的和谐统一性原则, 解决数学问题就要使待解决问题在表现形式上趋于和谐, 向和数量关系方面趋于统一的方向进行, 使问题的条件与结论表现得更匀称.这就要求我们在解三函数化简、求值、证明问题时, 如果三角函数的种类较多, 应当利用各种关系化归函数的种类, 达到力求统一的目的.经常运用的有“弦化”和“切化”等.如:tanα, tanβ是方程x2-5x+6=0的两个根, 求2sin2 (α+β) -3sin (α+β) ·cos (α+β) +cos2 (α+β) 的值.本题由条件易知tan (α+β) =-1, 但要求的结论却全是弦函数, 怎么办?秒用“1”弦化切易解.具体地:原式$=\frac{2\tan {}^2(\alpha +\beta )-3\tan (\alpha +\beta )+1}{\tan {}^2(\alpha +\beta )+1}$, 即可解.

四、善换元法巧变换

众所周知, 换元法是解决数学问题的一种重要方法, 三角换元更显优势, 如:求函数$y=\sin \theta +\cos \theta +\sin \theta \cos \theta ,\theta \in \left[0,\frac{\text{π}}{2}\right]$的值域.可设$t=\sin \theta +\cos \theta =\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\text{π}}{4}\right)\in [1,\sqrt{2}]$, 而$\sin \theta \cdot \cos \theta =\frac{t{}^2-1}{2}$代入后转化为给定区间的二次函数求值域问题, 从而易解决.

五、妙用“1”

大家都知“1”在解题中作用很大, 在三角中函数中作用也显见.如, 求$\frac{1+\tan 15°}{1-\tan 15°}$的值, 此题只要将“1”用tan45°代换即行解决, 过程为$\frac{1+\tan 45°}{1-\tan 45°}=\frac{\tan 45°+\tan 15°}{1-\tan 45°\tan 15°}=\tan 60°=\sqrt{3}$.

三角变换 篇2

（一）一．教学目标

1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。

2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。

3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．

二、教学重点与难点

教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．

教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．

三、教学设想：

（一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式

（二）新课讲授：

1、由二倍角公式引导学生思考：与2有什么样的关系？

学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．

例

1、试以cos表示sin22,cos22,tan222．

解：我们可以通过二倍角cos2cos因为cos12sin因为cos2cos22221和cos12sin21cos； 22来做此题．

2，可以得到sin221，可以得到cos221cos． 2又因为tan2221cos． 1coscos22sin2思考：代数式变换与三角变换有什么不同？

代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点． 例2．已知sin例

3、求证：（１）、sincos5，且在第三象限，求tan的值。

2131sinsin； 2（２）、sinsin2sin2cos2．

证明：（１）因为sin和sin是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．

sinsincoscossinsinsincoscossin．

两式相加得2sincossinsin； 即sincos；

1sinsin； 2（２）由（１）得sinsin2sincos①；设,，那么2,2．

把,的值代入①式中得sinsin2sin思考：在例3证明中用到哪些数学思想？

2cos2．

例3证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．

三．练习：P142面1、2、3题。

四．小结：要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．

三角变换的六大策略 篇3

一、 变角

在三角函数的化简、求值与证明中，已知条件与待求结论中往往出现较多的相异角，此时可根据角与角之间的和、差、倍、半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解.常见的角的变换有：单角化复角，倍角化复角，复角化复角.

例1 化简：sin7°+cos15°sin8°cos7°-sin15°sin8°

分析：将7°角，化为15°、8°角，和谐统一.

解：原式=sin(15°-8°)+cos15°sin8°cos(15°-8°)-sin15°sin8°=sin15°cos8°cos15°cos8°=tan15°=2-3

例2 已知8cos（2α+β）+5cosβ=0，求tan(α+β)·tanα的值.

分析：观察出现的角2α+β，β,α+β,α可以发现条件角2α+β,β可以用结构角α+β,α的和与差表示.

解：∵ 2α+β=(α+β)+α,β=(α+β)-α,∴ 8cos［(α+β)-α］+5cos［(α+β)-α］=0

∴ 13cos（α+β）cosα=3sin（α+β)sinα

∴ tan(α+β)·tanα=133

二、 变名

由于三角函数包括六种形式，因此在三角问题中经常不同名的三角函数，这时我们要从题目中所给的各函数间的关系入手，寻求统一函数名称的变换途径，正确选用变换公式，使问题得到快速的解决.变名的依据是同角三角函数的基本关系和诱导公式，切割化弦、化弦为切是对函数名称进行转化的最常见、最基本的方法.

例3 已知tanα=-13，计算12sinαcosα+cos2α

解：原式=sin2α+cos2α2sinαcosα+cos2α=tan2α+12tanα+1=19+1-23+1=103

评注：将所求问题变换关于tanα式子，简洁明了，和谐统一.

例4 化简：tan2x(sin2x+tanx·tanx2+cos2x)·1-tan2x1+tan2x

解：原式=sin2xcos2x·1+sinxcosx·sinx2cosx2·1-sin2xcos2x1+sin2xcos2x=2sinx·cosxcos2x·cosx-x2cosx·cosx2·（cos2x-sin2x）=2sinx·cosxcos2x·cosx2cosx·cosx2·cos2x=2sinx

三、 变常数

对于题目中所给的常数，如1，22,32，3等，对照特殊角的三角函数值，将它们变为相应的三角函数，参与其他三角函数的运算，在解题中往往起着十分巧妙的作用.

例5 化简：1-sin6α-cos6α1-sin4α-cos4α

解：原式=(sin2α+cos2α)3-sin6α-cos6α(sin2α+cos2α)4-sin4α-cos4α=3sin2αcos2α(sin2α+cos2α)2sin2αcos2α=32

评注：三角函数式化简中要对“1”灵活变换，常将“1”化为sin2α+cos2α,tan45°等

四、 变次数

若三角函数中各项幂的次数不同，或者解题需要，可通过升幂或降幂促成问题的解决，由cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α,可得cos2α=1+cos2α2,sin2α=1-cos2α2常用来降幂，或者用上面公式将一次式化为二次式，便于进行因式分解.

例6 已知3π4＜α＜π,tanα+1tanα=-103

（1） 求tanα的值；

（2） 求5sin2α2+8sinα2cosα2+11cos2α2-82sinα-π2的值

解：（1） tanα=-13（过程略）

（2） 原式=5(1-cosα)2+4sinα+11(1+cosα)2-8-2cosα=5-5cosα+8sinα+11+11cosα-16-22cosα=8sinα+6cosα-22cosα=8tanα+6-22=-526

五、 变公式

三角公式是三角变换的依据，我们经常正用公式，但有时也需要逆用和变用公式，以开拓解题思路，达到化难为易的目的.

例7 求tan20°+tan40°+3tan20°·tan40°的值

解：原式=tan60°(1-tan20°tan40°)+3tan20°tan40°=3

评注：公式tan（α±β）=tanα±tanβ1tanα·tanβ在解题中需灵活应用，经常变形为tanα±tanβ=tan(α±β)(1tanα·tanβ)使用.

六、 变结构

在三角变换中，常常对条件、结论的结构施行调整，或重新分组，或移项，或变乘为除，或求差等，对有些特殊结构的三角函数式，根据题的特点，还可以通协定构造对偶式的方法求解.

例8 化简：sin6°·sin42°·sin66°·sin78°

解：原式=sin6°·cos48°·cos24°·cos12°=16cos6°·sin6°·cos24°·cos48°16cos6°=sin96°16cos6°=116

评注：本题分子、分母同乘以16cos6°，从而在分子上连续逆向使用倍角公式，从而达到化多角为单角的目的.

例9 求sin20°+cos280°+3sin20°·cos80°的值

解：设原式=x，y=cos220°+sin280°+3cos20°·sin80°

则x+y=2+3sin100°=2+3sin80°(1)

y-x=cos40°-cos160°+3sin60°=cos40°+cos20°+32

=cos(30°+10°)+cos(30°-10°)+32=2cos30°cos10°+32=32+3sin80°(2)

由（1）—（2）得x=14，故原式=14

三角变换中“1”的妙用 篇4

第一, 三角函数式如含有1时可将1变换为sin2α+cos2α.

【例1】已知, 求sin2α+sinαcosα+2的值.

分析:由已知可以求出tanα, 再由同角三角函数关系式可以求得sinα和cosα, 进而求出关系式的值, 但实际操作中, 往往借助题目条件的特殊性来整体考虑使用条件.

评析:形如asin2α+bsinαcosα+ccos2α的式子称为关于sinα、cosα的二次齐次式, 对涉及它们的三角式通常利用1=sin2α+cos2α进行变换.

【例2】若sinθ、cosθ是关于方程8x2+6kx+2k+1=0的两个实根, 求k的值.

解:由题意知

第二, 三角式中有1和secα、tanα时, 则利用sec2α-tan2α=1进行变换.

第三, 在含有根号的三角函数等式的变形中, 1±sinα、1±cosα时1可以不变, 但为“脱”去根号常借助三角函数的平方关系.

分析:利用同角三角函数平方关系式化简.

评析:解该题时易犯的错误是缺少对cosα、sinα正负的讨论, 直接“脱去”分母中的绝对值符号, 或是不注意正、余函数的有界性, 盲目对1±sinα、1±cosα的正负进行讨论.

第四, 三角式中有1和tanα, 有时把1换成tan45°.

【例5】化简.

第五, 三角式中含有1±cosα, 则有时不宜变动1, 而将1+cosα化为, 将1-cosα化为.

解:原式

第六, sin2α+cos2α=1的妙用.

【例7】已知实数x, y满足x2+ (y-1) 2=1, 若对满足条件的任意x, y都有x+y-c≤0恒成立, 求参数c的取值范围.

解:设x=cosθ, y-1=sinθ,

即x=cosθ, y=1+sinθ.

则x+y-c≤0恒成立转化为cosθ+sinθ+1-c≤0恒成立,

即c≥cosθ+sinθ+1恒成立.

则c≥cosθ+sinθ+1恒成立等价于c≥zmax.

下面我们求函数z=cosθ+sinθ+1的最大值.

由正弦函数的有界性知

当时, 函数取得最大值, 即, 所以.

即c取值范围是.

从高考数学题谈三角恒等变换之法 篇5

从高考数学题谈三角恒等变换之法

研究历年的高考数学试卷,其中关于三角函数部分的考题一般为1～2个左右的`客观题和1个解答题,分值在10～20分左右.客观题为必然出现,一般考查三角化简求值以及三角函数的图像与性质,而解答题出现的概率在70%左右,且一般是位居解答题的第一个,属于中档题的难度,主要以研究三角函数的性质为主.在解答这些三角考题时,一般都需要进行适当的三角恒等变换,考查我们的推理和运算能力.

作 者：陈粤怀 作者单位：中山市五桂山学校刊 名：广东教育(高中版)英文刊名：GUANGDONG EDUCATION年，卷(期)：“”(12)分类号：关键词：

“三角恒等变换”问题探析 篇6

变角优先，这是三角变换的基本原则.

但我还是意犹未尽：探索角之间的关系，是一般的方法，还是巧合？解题时我们能否容易想到？我们回头再思考上述解法考虑所求的角与它的关系吗？既如此，可以用换元的方法进行更为简捷的表述：对你来说可能是小菜一碟了，化归，举重若轻；转化，多么有力！

我的感言是：已知和（差）角的三角函数，一般不要轻易展开，要考虑角的变换，用换元的方法，将问题转化为容易解决的问题.贸然展开，将像潘多拉的盒子，会有一些令人讨厌的“捣蛋鬼”出现.

观察所证等式的特点.记住，观察代数式的要素组成与结构特征，任何时候都是非常重要的！母要变化为“只含”cos2B的式子.怎么变？这么简单的问题，我就不多哕嗦了.

可否从条件出发呢？那就要更加关注条件与所证结论之间的差异，

变角优先，我们还是看角的差异：条件中的角是A，B，所证结论中的角是A-B，B.故“变角”的大方向是消A，留B，出现A-B.根据条件特点，我们可以一步到位：A=（A—B）+B.即把条件改写为2tan[（A-B）+B]=3tan B，展开可得，

注意，等式中只含有角A，A-B了，达到了变角的目标.

下面该怎么变化呢？还是要抬头看路，结论的形式是怎样的？tan（A-B）用含角B的三角函数式来表示.上式能达到这一目标吗？把tan（A-B）看作一个未知数，对了，解关于tan（A-B）的方程……我建议你亲自试下去吧，一定会有成功的喜悦，意外发现的惊喜.

三角函数式的变换 篇7

一、一题多解、开阔思路

三角函数式的变形公式,包括同角的三角函数关系和不同角的三角函数关系两大类,含有非常丰富的知识内容.大量的公式虽然使理解和记忆增加了一些困难,但由于它揭示了众多三角函数间的内在联系,从而为我们进行恒等变形,提供了较多可选择的途径.因此要注意在学习中采用一题多解的方法,积累解题经验,提高正确、灵活使用公式的能力.

此例题告诉我们学习数学不是仅满足于会做几道题,一个题会做了,绝不是学习的完结.要从解一个题中探索得到更多的收获.不能单纯去追求所谓的“高难”题目,而忽视从“简单”的题目中体会更深刻的道理.一题多解可以开阔思路,有助于复习和应用所学的知识,特别是能在“灵活”应用公式上做文章,有利于能力的培养、智力的开发,是一种行之有效的学习方法.

二、吃透公式,灵活应用变形公式

要在解题中做到思路广、方法多,首先要吃透公式,了解各组公式所揭示的三角函数间的关系,掌握它们的使用条件和方法.

下面着重剖析两组公式:

1.余弦的倍角公式

三、应用和差与积的互化变换三角函数式

和差化积与积化和差公式给出了三角函数式(正弦、余弦)和积互化的一般规律,即正弦函数、余弦函数进行加、减、乘运算法则.因此它们在三角函数式的恒等变形中起着重要的作用.为了化简,常把函数式化为连乘积的形式,除了利用代数式因式分解的一般方法,和差化积公式给出了重要的办法.这两组公式是互逆的,它们也揭示了不同角的三角函数关系.经常也用它把不同角的函数关系转化为同角的函数关系.

此外,和差公式、倍角公式、半角公式、万能置换公式等也揭示了不同角之间所具有的特殊关系,要深入领会,注意它们的使用,特别是余弦的倍角公式常用于把函数式降次或升幂.

四、对于具体角度的三角函数式的变形,要注意分析角之间的关系,变形中,通常尽量化为特殊角的函数值,使问题简化

角之间的特殊关系一般有两种:一是和差为,这时注意用诱导公式;二是和差为60°、45°、30°,这时用特殊角函数值.

例4求tan(29°-α) tan(57°+β) tan(61°+α)tan(147°+β)的值.

解:因为(29°-α)+(61°+α=90°,(147°+β)-(57°+β)=90°,

所以原式=tan(29°-α)cot(29°-α)tan(57°+β)[-cot(57°+β)]=-1.

五、善于总结、掌握方法

吃透公式,掌握公式的使用条件和方法,是熟练进行恒等变形的重要前提.同时,还要善于在练习过程中多思考、勤总结,掌握常见的基本类型题目的解题方法,为解决综合性题目打下坚实的基础.

三角恒等变形也是证明三角不等式的重要基础,这里不再一一列举.

三角变换中的和谐统一 篇8

众所周知, 三角函数有一个特点就是公式多, 给我们的记忆造成了很大的麻烦.很多人在平时学习三角函数的时候不愿意花时间费脑力去理解公式, 喜欢死记硬背, 由于学习新知识的时候作业也较简单, 涉及其他公式不多, 综合性也不强, 所以基本上使用刚刚学过的公式就能解决问题!但是, 三角函数是一个整块的内容, 在解题中不可避免地要涉及三角函数知识的综合运用, 也就不可避免需要涉及很多公式, 不仅需要把公式给记住, 而且必须理解, 不光要记住其形, 还要从各方面对公式进行记忆、理解!这样, 问题就来了, 很多人一遇到三角函数变换问题就一筹莫展, 甚至有点恐惧了!

怎样解决三角函数变换问题呢?

碰运气, 靠题海战术?在现在的素质教育和高考的指导方向上, 都可以看出不大可行, 而且效果肯定也不好!那到底该怎样去进行三角变换呢?

波利亚四步解题的第一步就是弄清题意:一个三角变换题目, 目标是什么?你发现了什么?有什么问题要解决?

其实, 对于三角变换问题, 书本有提示, 只不过很多人都没有注意到而已.在人教A版教材必修4《3.2简单的三角恒等变换》例题2上边, 写了这样一句话:代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.

所以在三角变换中, 弄清题意, 主要就是弄清式子结构形式.

式子结构形式的说法太笼统, 这就造成了很多人没有注意或理解书本上的这一句话.

我们再从书本上的这句话继续往下看:对于三角变换, 由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异, 而且还会有所包含的角以及这些角的三角函数种类方面的差异, 因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系, 并以此为依据, 选择可以联系他们的适当公式, 这是三角式恒等变换的重要特点.

从上面这一段话可以找到关键词:角、函数 (名、种类) 、结构形式 (幂次数、形式等) .

所以, “代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换”我们可以理解成“代数式变换往往着眼于角、函数名 (种类) 、幂次数、结构的变换”.

可以看出, 解决三角变换只要从“角”的变化、“函数名”的变化、“幂次数”、“结构”的变化四个方面去分析就可以了!解决三角变换问题的过程, 就是达到“四个统一”的过程:“角”的统一, “函数名 (种类) ”的统一, “幂次数”的统一, “结构”的统一.

下面, 我们试着从几个具体例子来看一下用“四个统一”的思想指导我们解题.

一、“角”的统一

三角变换中, 往往会出现好几个不同的角, 这时我们应该减少不同角的个数, 使问题获解

分析:目标是什么?一个具体数值!发现了什么?角有3个!有什么问题要解决?统一三个角!三个角如果不统一, 将很难得到一个具体数值!所以应该从角统一入手

解题反思:三角函数一般应从角开始分析, 必须达到角的统一.

二、“函数名”的统一

新课程教材中涉及三角函数包括3种, 所以, 对于含有多种三角函数的问题, 需要选择恰当的三角函数公式, 通过变换减少三角函数的种类, 以达到统一函数名的目的.

分析:目标是什么?一个具体数值!发现了什么问题?角有2个, 函数种类包括弦与切!需要解决什么?统一角及函数名!

解题反思:函数名不统一时, 正切化成正余弦或正余弦化成正切非常常见.

三、“幂次数”的统一

三角函数问题中, 由于次数的不统一导致很难化简证明

分析:目标是一个具体数值, 发现角有2个、幂次数最高达到3此, 需要我们统一角, 需要降低幂次数, 而降低幂次数最常用的公式是二倍角公式的变形!

四、“结构”的统一

可能分母不一致很难化简证明, 可能加、减、乘、除不一致很难化简证明, 可能是左右项数不一致很难证明, 这些归根到底就是结构的不统一.结构不统一时, 需要对条件或结论的结构进行调整, 或重新分组, 或移项, 或乘除互换, 分解因式, 配方等等.

分析:目标是左右相等, 发现角是统一的, 但结构形式不一致, 需要将左右结构变成一致.可从左边开始证明与右边一致, 可以从右边开始证明与左边一致, 也可以从两边同时开始变形到同一个式子, 一般从复杂的一边开始证明.

解题反思:证明题主要达到左右两边结构的统一, 分式因式主要从分母统一入手.

分析:注意到角有4个, 必须化成一致;函数名不一致, 应该将正切化成正余弦;幂次数不一致, 应该将分母的根号通过构造完全平方去掉;结构不一致, 分子与分母需要统一.

解题反思:有函数名不统一的时候, 常见的是先将正切化成正余弦;分母太复杂的, 也应该尽量简化.

三角变换 篇9

undefined

(焦点在x轴上的椭圆) 或┣┣ (中) 作者单位┫┫ (焦点在x轴上的双曲线) 巧作变换, 问题便会迎刃而解.

一、求三角形面积

例1 如图1, 已知点P在椭圆undefined上undefined是椭圆的右焦点, 若△POF1是等边三角形, 则△POF1的面积是 .

解析:若按通性通法解需求等边三角形的边长即c.根据椭圆的定义及其性质可求出. (读者可尝试) 本题若借助焦点三角形面积公式, 无需求a, c便可迅速求解.连结PF2由题意知OP=OF1=OF2=c, 故undefined

二、求渐近线

例2 (2010年浙江省文数) 设O为坐标原点, F1、F2是双曲线undefined的焦点, 若在双曲线上存在点P, 满足undefined, 则该双曲线的渐近线方程为 ( )

undefined

解析:本题将解析几何与三角知识相结合, 主要考察了双曲线的定义、标准方程, 几何图形、几何性质、渐近线方程, 以及斜三角形的解法.常规解法较为繁琐 (读者不妨尝试一下) 若巧借面积作变换问题可迎刃而解.设P (x, y) 由面积公式可得:

undefined, 所以

undefined, 所以undefined, 解得undefined, 又x2+y2=OP2, 即undefined化简得:b2=2a2.所以undefined

所以渐近线方程为undefined

三、求离心率

例3 (2009年江西卷) 过椭圆undefined的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P, F2为右焦点, 若∠F1PF2=60°, 则椭圆的离心率为 ( )

undefined

解析:由S△F1PF2得undefined得undefined, 所以undefined

例4 已知双曲线undefined的左右焦点分别是F1、F2, , 并且满足PF1⊥PF2, |PF1|·|PF2|=4ab, 则双曲线的离心率为 .

解析:由undefined得

undefined

例5 已知F1和F2是两个定点, 点P是以F1和F2公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点, 并且PF1⊥PF2, e1和e2分别是椭圆和双曲线的离心率, 则undefined.

解析:由焦点三角形的面积 得S△F1PF2=bundefinedtan45°=bundefinedcot45°得b1=b2.

由椭圆、双曲线性质可得 (1) aundefined=bundefined+cundefined, (2) aundefined=cundefined-bundefined, (1) + (2) 得aundefined+aundefined=2cundefined.两边同除以cundefined, 即有undefined

四、求值

例6 (2010全国卷1文数8) 已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点, 点P在C上, ∠F1PF2=60°, 则|PF1|·|PF2|= ( )

(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8

由焦点三角形面积公式得:undefined

例7 (2010全国卷1理数) 已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点, 点P在C上, ∠F1PF2=60°, 则P到x轴的距离为 ( )

undefined

解析:由undefined, 得undefined, 所以undefined

例8 设椭圆undefined和双曲线undefined的公共焦点为F1, F2, P为椭圆与双曲线的一个交点, 则cotF1PF2=____.

解析:通法由定义求出PF1, PF2再用余弦定理求解.若借助焦点三角形面积, 则有undefined

三角恒等变换的“八遇八想” 篇10

一、遇切 (割) 想到与弦的互化

1. 切 (割) 化弦

在同一问题中, 既有正 (余) 弦函数又有正 (余) 切、正 (余) 割函数, 常用切 (割) 化弦的方法, 统一成正 (余) 弦函数来解决.

例1 (四川卷) (tanx+cotx) cos2x等于 ()

2. 弦化切 (割)

有时根据题目的实际需要, 要将正 (余) 弦函数化为正 (余) 切、正 (余) 割函数, 这样有利于问题的解决.

说明:例1与例2主要考查同角三角函数的基本关系式, 三角恒等式及齐次式的化简, 注意三角代换常用整体考虑的方法求解.

二、遇复角想到角的变化

在解决三角变换问题时, 一定要注意已知角与所求角之间的关系, 恰当地运用拆角, 拼角技巧, 如等.

说明已知某些角的三角函数值求另外一些角的三角函数值, 应认真分析已知式中角与未知式中角的关系, 避免盲目处理, 要认真考虑角的整体运用.

三、遇高次想到降次

例4 (重庆卷) 设函数f (x) = (sinωx+cosωx) 2+2cos2ωx (ω>0) 的最小正周期为, 求ω的值.

说明:本题主要考查三角函数的图象和性质等基础知识, 要求学生熟记有关三角公式, 能够运用公式进行灵活变形.

四、遇多元想到消元

对于三角变换的多元问题, 不少题目的结论往往比条件少一些元, 这时尽量将多元向单元 (或二元) 转化, 防止多元变量对我们解题的干扰.

说明:对于已知sinα±sinβ=m, cosa±cosβ=n, 其中m、n为常数, 求α±β的三角函数, 常用平方相加的方法来解决.

五、遇异名函数想到化为同名函数

在三角函数的化简、求值、证明中, 常常要对条件和结论进行合理变换, 转化沟通和求关系, 一般可以从变化函数名称入手, 尽量将异名函数化为同名函数.

说明:本题运用二倍角公式, 诱导公式等将异名三角函数化为同名三角函数, 将非统一的问题转化为统一的问题来解答.

六、遇一般 (角) 想到特殊 (角)

在三角函数的问题中, 所给出的角都是非特殊角, 但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的联系, 通过对角和函数名称合理转化为特殊角来解答.

说明:该题中注意到10°, 20°与特殊角30°的关系, 30°-20°=10°, 考虑利用拆分角的方法求解.

七、遇“1”想到恒等式的运用

说明:这里对1的代换很灵活, 分子部分的1用tan45°代换, 而分母部分的1并没有代换, 为使用公式的方便, 将系数1用tan45°代换, 可巧妙地化简.

八、遇特殊结构想到构造法

在解题中利用已知条件和数学知识, 通过观察, 联想, 构造出满足条件的数学对象, 使问题转化, 巧妙地获得解决.

三角恒等变换创新题剖析 篇11

一、信息迁移型

信息迁移题指的是不便于直接运用所学数学知识解决问题，而需要从所给材料中获取信息，并用于新问题解决的一类问题.这一类问题，往往出现在一个较新的背景之下，题型新颖，形式多样，融综合性、应用性、开放性、创新性于一体.信息迁移型题可分为定义信息型、图表信息型、图形图象信息型等.

例1（2014·福建模拟）定义一种运算S=ab，在框图所表达的算法中揭示了这种运算“”的含义.那么，按照运算“”的含义，计算tan15°tan30°+tan30°tan15°=.

分析：先由tan45°=tan（15°+30°），利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正切函数公式化简，整理后得到tan15°+tan30°=1-tan15°tan30°，然后根据题中的选择结构将所求式子的新定义运算转化为普通运算，整理后将tan15°+tan30°=1-tan15°tan30°代入，即可求出值.

解析：∵tan45°=tan（15°+30°）=tan15°+tan30°1-tan15°·tan30°=1，∴tan15°+tan30°=1-tan15°tan30°，

根据题意得：tan15°tan30°+tan30°tan15°

=tan15°tan30°+tan15°+tan30°

=tan15°tan30°+1-tan15°tan30°

=1.故答案为：1

点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，利用了整体代入的思想，属于新定义的题型，理解本题的选择结构是解本题的关键.

例2常数e=2.71828…，定义函数f（x）=ex-e-x2为双曲正弦函数，记为sinhx，定义函数g（x）=ex+e-x2为双曲余弦函数，记为coshx.则以下三个命题正确的是.（只需填正确命题序号）.

（1）cosh（x+y）=coshx·coshy-sinhx·sinhy；

（2）sinh（x+y）=sinhx·coshy+coshx·sinhy；

（3）（sinhx）2-（coshx）2=1.

分析：根据题中的新定义分别表示出题目所求式子，利用同底数幂的乘法法则及多项式的乘法则即可作出判断.

解析：（1）cosh（x+y）=ex+y+e-（x+y）2，

coshx·coshy-sinhx·sinhy=ex+e-x2·ey+e-y2-ex-e-x2·ey-e-y2=ex-y+ey-x2，

∴cosh（x+y）≠coshx·coshy-sinhx·sinhy，故本选项错误；

（2）sinh（x+y）=ex+y-e-（y+x）2，

sinhx·coshy+coshx·sinhy=ex-e-x2·ey+e-y2+ex+e-x2·ey-e-y2=ex+y-e-（y+x）2，故本选项正确；

（3）（sinhx）2-（coshx）2=（ex-e-x2）2-（ex+e-x2）2=-1≠1，

故本选项错误，则三个命题正确的是（2）.故答案为：（2）

点评：此题考查了新定义的理解，解答此类题要切实对题中的新定义加以正确的理解，这样才能对新定义下的运算熟练运用，注意新定义下对普通运算不一定成立，比如本题（1）对于两角和与差的余弦函数公式不成立，灵活运用题中的新定义是解本题的关键.

二、入手基础，深挖概念内涵

例3如图，直线与圆x2+y2=1分别在第一和第二象限内交于P1，P2两点，若点P1的横坐标为35，∠P1OP2=π3，则点P2的横坐标为.

分析：利用圆的方程与点P1的横坐标，求出∠xOP1的正弦值与余弦值，通过两角和的三角函数公式求出P2的横坐标即可.

解析：因为直线与圆x2+y2=1分别在第一和第二象限内交于P1，P2两点，若点P1的横坐标为35，所以cos∠xOP1=35，sin∠xOP1=45，又∠P1OP2=π3，

所以cos（∠xOP1+π3）=cos∠xOP1cosπ3-sin∠xOP1sinπ3

=35×12-45×32

=3-4310.

所以P2的横坐标为：3-4310.

故答案为：3-4310.

点评：本题考查任意角的三角函数的定义，两角和与差的余弦函数公式，考查计算能力.

三、综合交汇

高考三角函数的考题在高考中常考常新，是既考知识又考能力的好题型，在高考备考中有较高的训练价值，同时这类问题在高考中频频出现，是历年高考试题中不容忽视的一个考点.

例4已知m=（2sinx，2cosx），n=（3cosx，cosx），f（x）=m·n-1.

（1）求函数y=f（x）的最小正周期和单调递增区间；

（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的13，把所得到的图象再向右平移π12单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[0，π12]上的最大值.

分析：利用两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用函数的性质求解.

解析：（1）因为f（x）=23sinx·cosx+2cos2x-1=3sin2x+cos2x=2sin（2x+π6），∴函数f（x）的最小正周期为T=π.又由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2（k∈Z），可得kπ-π3≤x≤kπ+π6（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为每一个[kπ-π3，kπ+π6]（k∈Z）.

（2）根据条件得g（x）=2sin[6（x-π12）+π6]=2sin（6x-π3），当x∈[0，π12]时，6x-π3∈[-π3，π6]，-32≤sin（6x-π3）≤12，所以当x=π12时，g（x）max=1.

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性的求法，正弦函数的单调性、定义域和值域，函数y=Asin（ωx+θ）的图象变换规律，属于中档题.

四、探索性问题

给出了题目的结论，但没有给出满足结论的条件，并且这类条件常常是不唯一的，一般是从结论出发去判断，并通过推理予以确认.

例5已知函数f（x）=sin（2x+θ）+3cos（2x+θ）（x∈R）满足2014f（-x）=12014f（x），且f（x）在[0，π4]上是减函数，则θ的一个可能值是.

分析：利用三角恒等变换可求得f（x）=2sin（2x+θ+π3），2014f（-x）=12014f（x）f（-x）=-f（x），于是可得θ=kπ-π3（k∈Z），再由f（x）在[0，π4]上是减函数，即可求得答案.

解析：∵f（x）=sin（2x+θ）+3cos（2x+θ）=2sin（2x+θ+π3），又2014f（-x）=12014f（x），∴f（-x）=-f（x），∴f（x）=2sin（2x+θ+π3）为奇函数，∴θ+π3=kπ（k∈Z），∴θ=kπ-π3（k∈Z）.又f（x）在[0，π4]上是减函数，∴k为奇数，当k=1时，θ=π-π3=2π3，符合题意.本题答案不唯一.

点评：本题考查两角和与差的正弦函数公式，着重考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于中档题.endprint

以三角函数为背景的创新题，试题情境新颖、构思精巧、解法灵活，显示了数学的活力和魅力.下面剖析这类三角函数问题的创新题.

一、信息迁移型

信息迁移题指的是不便于直接运用所学数学知识解决问题，而需要从所给材料中获取信息，并用于新问题解决的一类问题.这一类问题，往往出现在一个较新的背景之下，题型新颖，形式多样，融综合性、应用性、开放性、创新性于一体.信息迁移型题可分为定义信息型、图表信息型、图形图象信息型等.

例1（2014·福建模拟）定义一种运算S=ab，在框图所表达的算法中揭示了这种运算“”的含义.那么，按照运算“”的含义，计算tan15°tan30°+tan30°tan15°=.

分析：先由tan45°=tan（15°+30°），利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正切函数公式化简，整理后得到tan15°+tan30°=1-tan15°tan30°，然后根据题中的选择结构将所求式子的新定义运算转化为普通运算，整理后将tan15°+tan30°=1-tan15°tan30°代入，即可求出值.

解析：∵tan45°=tan（15°+30°）=tan15°+tan30°1-tan15°·tan30°=1，∴tan15°+tan30°=1-tan15°tan30°，

根据题意得：tan15°tan30°+tan30°tan15°

=tan15°tan30°+tan15°+tan30°

=tan15°tan30°+1-tan15°tan30°

=1.故答案为：1

点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，利用了整体代入的思想，属于新定义的题型，理解本题的选择结构是解本题的关键.

例2常数e=2.71828…，定义函数f（x）=ex-e-x2为双曲正弦函数，记为sinhx，定义函数g（x）=ex+e-x2为双曲余弦函数，记为coshx.则以下三个命题正确的是.（只需填正确命题序号）.

（1）cosh（x+y）=coshx·coshy-sinhx·sinhy；

（2）sinh（x+y）=sinhx·coshy+coshx·sinhy；

（3）（sinhx）2-（coshx）2=1.

分析：根据题中的新定义分别表示出题目所求式子，利用同底数幂的乘法法则及多项式的乘法则即可作出判断.

解析：（1）cosh（x+y）=ex+y+e-（x+y）2，

coshx·coshy-sinhx·sinhy=ex+e-x2·ey+e-y2-ex-e-x2·ey-e-y2=ex-y+ey-x2，

∴cosh（x+y）≠coshx·coshy-sinhx·sinhy，故本选项错误；

（2）sinh（x+y）=ex+y-e-（y+x）2，

sinhx·coshy+coshx·sinhy=ex-e-x2·ey+e-y2+ex+e-x2·ey-e-y2=ex+y-e-（y+x）2，故本选项正确；

（3）（sinhx）2-（coshx）2=（ex-e-x2）2-（ex+e-x2）2=-1≠1，

故本选项错误，则三个命题正确的是（2）.故答案为：（2）

点评：此题考查了新定义的理解，解答此类题要切实对题中的新定义加以正确的理解，这样才能对新定义下的运算熟练运用，注意新定义下对普通运算不一定成立，比如本题（1）对于两角和与差的余弦函数公式不成立，灵活运用题中的新定义是解本题的关键.

二、入手基础，深挖概念内涵

例3如图，直线与圆x2+y2=1分别在第一和第二象限内交于P1，P2两点，若点P1的横坐标为35，∠P1OP2=π3，则点P2的横坐标为.

分析：利用圆的方程与点P1的横坐标，求出∠xOP1的正弦值与余弦值，通过两角和的三角函数公式求出P2的横坐标即可.

解析：因为直线与圆x2+y2=1分别在第一和第二象限内交于P1，P2两点，若点P1的横坐标为35，所以cos∠xOP1=35，sin∠xOP1=45，又∠P1OP2=π3，

所以cos（∠xOP1+π3）=cos∠xOP1cosπ3-sin∠xOP1sinπ3

=35×12-45×32

=3-4310.

所以P2的横坐标为：3-4310.

故答案为：3-4310.

点评：本题考查任意角的三角函数的定义，两角和与差的余弦函数公式，考查计算能力.

三、综合交汇

高考三角函数的考题在高考中常考常新，是既考知识又考能力的好题型，在高考备考中有较高的训练价值，同时这类问题在高考中频频出现，是历年高考试题中不容忽视的一个考点.

例4已知m=（2sinx，2cosx），n=（3cosx，cosx），f（x）=m·n-1.

（1）求函数y=f（x）的最小正周期和单调递增区间；

（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的13，把所得到的图象再向右平移π12单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[0，π12]上的最大值.

分析：利用两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用函数的性质求解.

解析：（1）因为f（x）=23sinx·cosx+2cos2x-1=3sin2x+cos2x=2sin（2x+π6），∴函数f（x）的最小正周期为T=π.又由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2（k∈Z），可得kπ-π3≤x≤kπ+π6（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为每一个[kπ-π3，kπ+π6]（k∈Z）.

（2）根据条件得g（x）=2sin[6（x-π12）+π6]=2sin（6x-π3），当x∈[0，π12]时，6x-π3∈[-π3，π6]，-32≤sin（6x-π3）≤12，所以当x=π12时，g（x）max=1.

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性的求法，正弦函数的单调性、定义域和值域，函数y=Asin（ωx+θ）的图象变换规律，属于中档题.

四、探索性问题

给出了题目的结论，但没有给出满足结论的条件，并且这类条件常常是不唯一的，一般是从结论出发去判断，并通过推理予以确认.

例5已知函数f（x）=sin（2x+θ）+3cos（2x+θ）（x∈R）满足2014f（-x）=12014f（x），且f（x）在[0，π4]上是减函数，则θ的一个可能值是.

分析：利用三角恒等变换可求得f（x）=2sin（2x+θ+π3），2014f（-x）=12014f（x）f（-x）=-f（x），于是可得θ=kπ-π3（k∈Z），再由f（x）在[0，π4]上是减函数，即可求得答案.

解析：∵f（x）=sin（2x+θ）+3cos（2x+θ）=2sin（2x+θ+π3），又2014f（-x）=12014f（x），∴f（-x）=-f（x），∴f（x）=2sin（2x+θ+π3）为奇函数，∴θ+π3=kπ（k∈Z），∴θ=kπ-π3（k∈Z）.又f（x）在[0，π4]上是减函数，∴k为奇数，当k=1时，θ=π-π3=2π3，符合题意.本题答案不唯一.

点评：本题考查两角和与差的正弦函数公式，着重考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于中档题.endprint

以三角函数为背景的创新题，试题情境新颖、构思精巧、解法灵活，显示了数学的活力和魅力.下面剖析这类三角函数问题的创新题.

一、信息迁移型

信息迁移题指的是不便于直接运用所学数学知识解决问题，而需要从所给材料中获取信息，并用于新问题解决的一类问题.这一类问题，往往出现在一个较新的背景之下，题型新颖，形式多样，融综合性、应用性、开放性、创新性于一体.信息迁移型题可分为定义信息型、图表信息型、图形图象信息型等.

例1（2014·福建模拟）定义一种运算S=ab，在框图所表达的算法中揭示了这种运算“”的含义.那么，按照运算“”的含义，计算tan15°tan30°+tan30°tan15°=.

分析：先由tan45°=tan（15°+30°），利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正切函数公式化简，整理后得到tan15°+tan30°=1-tan15°tan30°，然后根据题中的选择结构将所求式子的新定义运算转化为普通运算，整理后将tan15°+tan30°=1-tan15°tan30°代入，即可求出值.

解析：∵tan45°=tan（15°+30°）=tan15°+tan30°1-tan15°·tan30°=1，∴tan15°+tan30°=1-tan15°tan30°，

根据题意得：tan15°tan30°+tan30°tan15°

=tan15°tan30°+tan15°+tan30°

=tan15°tan30°+1-tan15°tan30°

=1.故答案为：1

点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，利用了整体代入的思想，属于新定义的题型，理解本题的选择结构是解本题的关键.

例2常数e=2.71828…，定义函数f（x）=ex-e-x2为双曲正弦函数，记为sinhx，定义函数g（x）=ex+e-x2为双曲余弦函数，记为coshx.则以下三个命题正确的是.（只需填正确命题序号）.

（1）cosh（x+y）=coshx·coshy-sinhx·sinhy；

（2）sinh（x+y）=sinhx·coshy+coshx·sinhy；

（3）（sinhx）2-（coshx）2=1.

分析：根据题中的新定义分别表示出题目所求式子，利用同底数幂的乘法法则及多项式的乘法则即可作出判断.

解析：（1）cosh（x+y）=ex+y+e-（x+y）2，

coshx·coshy-sinhx·sinhy=ex+e-x2·ey+e-y2-ex-e-x2·ey-e-y2=ex-y+ey-x2，

∴cosh（x+y）≠coshx·coshy-sinhx·sinhy，故本选项错误；

（2）sinh（x+y）=ex+y-e-（y+x）2，

sinhx·coshy+coshx·sinhy=ex-e-x2·ey+e-y2+ex+e-x2·ey-e-y2=ex+y-e-（y+x）2，故本选项正确；

（3）（sinhx）2-（coshx）2=（ex-e-x2）2-（ex+e-x2）2=-1≠1，

故本选项错误，则三个命题正确的是（2）.故答案为：（2）

点评：此题考查了新定义的理解，解答此类题要切实对题中的新定义加以正确的理解，这样才能对新定义下的运算熟练运用，注意新定义下对普通运算不一定成立，比如本题（1）对于两角和与差的余弦函数公式不成立，灵活运用题中的新定义是解本题的关键.

二、入手基础，深挖概念内涵

例3如图，直线与圆x2+y2=1分别在第一和第二象限内交于P1，P2两点，若点P1的横坐标为35，∠P1OP2=π3，则点P2的横坐标为.

分析：利用圆的方程与点P1的横坐标，求出∠xOP1的正弦值与余弦值，通过两角和的三角函数公式求出P2的横坐标即可.

解析：因为直线与圆x2+y2=1分别在第一和第二象限内交于P1，P2两点，若点P1的横坐标为35，所以cos∠xOP1=35，sin∠xOP1=45，又∠P1OP2=π3，

所以cos（∠xOP1+π3）=cos∠xOP1cosπ3-sin∠xOP1sinπ3

=35×12-45×32

=3-4310.

所以P2的横坐标为：3-4310.

故答案为：3-4310.

点评：本题考查任意角的三角函数的定义，两角和与差的余弦函数公式，考查计算能力.

三、综合交汇

高考三角函数的考题在高考中常考常新，是既考知识又考能力的好题型，在高考备考中有较高的训练价值，同时这类问题在高考中频频出现，是历年高考试题中不容忽视的一个考点.

例4已知m=（2sinx，2cosx），n=（3cosx，cosx），f（x）=m·n-1.

（1）求函数y=f（x）的最小正周期和单调递增区间；

（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的13，把所得到的图象再向右平移π12单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[0，π12]上的最大值.

分析：利用两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用函数的性质求解.

解析：（1）因为f（x）=23sinx·cosx+2cos2x-1=3sin2x+cos2x=2sin（2x+π6），∴函数f（x）的最小正周期为T=π.又由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2（k∈Z），可得kπ-π3≤x≤kπ+π6（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为每一个[kπ-π3，kπ+π6]（k∈Z）.

（2）根据条件得g（x）=2sin[6（x-π12）+π6]=2sin（6x-π3），当x∈[0，π12]时，6x-π3∈[-π3，π6]，-32≤sin（6x-π3）≤12，所以当x=π12时，g（x）max=1.

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性的求法，正弦函数的单调性、定义域和值域，函数y=Asin（ωx+θ）的图象变换规律，属于中档题.

四、探索性问题

给出了题目的结论，但没有给出满足结论的条件，并且这类条件常常是不唯一的，一般是从结论出发去判断，并通过推理予以确认.

例5已知函数f（x）=sin（2x+θ）+3cos（2x+θ）（x∈R）满足2014f（-x）=12014f（x），且f（x）在[0，π4]上是减函数，则θ的一个可能值是.

分析：利用三角恒等变换可求得f（x）=2sin（2x+θ+π3），2014f（-x）=12014f（x）f（-x）=-f（x），于是可得θ=kπ-π3（k∈Z），再由f（x）在[0，π4]上是减函数，即可求得答案.

解析：∵f（x）=sin（2x+θ）+3cos（2x+θ）=2sin（2x+θ+π3），又2014f（-x）=12014f（x），∴f（-x）=-f（x），∴f（x）=2sin（2x+θ+π3）为奇函数，∴θ+π3=kπ（k∈Z），∴θ=kπ-π3（k∈Z）.又f（x）在[0，π4]上是减函数，∴k为奇数，当k=1时，θ=π-π3=2π3，符合题意.本题答案不唯一.

由高考谈三角恒等变换及应用 篇12

(1) 常用方法:

①直接应用公式进行降次、消项;②切割化弦, 齐次弦化切, 异名化同名, 异角化同角;③三角公式的逆用;④常数的变换等.

(2) 化简要求:

①能求出值的应求出值;②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数.

例1 (1995年全国理) 求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值.

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例2 化简:

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分析 若注意到化简式是开平方根, 2α是α的二倍, α是undefined的二倍以及其范围, 不难找到解题的突破口.

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点评 在二倍角公式中, 两个角的倍数关系, 不仅限于2α是α的二倍, 要熟悉多种形式的两个角的倍数关系, 同时还要注意undefined三个角的内在联系和作用, undefined是常用的三角变换.

二、三角函数的求值类型有三类

(1) 给角求值:

一般所给出的角都是非特殊角, 要观察所给角与特殊角间的关系, 利用三角变换消去非特殊角, 转化为求特殊角的三角函数值问题.

(2) 给值求值:

给出某些角的三角函数式的值, 求另外一些角的三角函数值, 解题的关键在于“变角”, 把所求角用含已知角的式子表示, 求解时要注意角的范围的讨论.

(3) 给值求角:

实质上转化为“给值求值”问题, 由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角.

三、三角等式的证明

(1) 三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征, 通过三角恒等变换, 应用化繁为简、左右同一等方法, 使等式两端化“异”为“同”.

(2) 三角条件等式的证题思路是通过观察, 发现已知条件和待证等式间的关系, 采用代入法、消参法或分析法进行证明.

例3 已知tanα, tanβ是方程x2-5x+6=0的两个实根, 求2sin2 (α+β) -3sin (α+β) cos (α+β) +cos2 (α+β) 的值.

分析 由韦达定理可得到tanα+tanβ及tanα·tanβ的值, 进而可以求出tan (α+β) 的值, 再将所求值的三角函数式用tan (α+β) 表示便可知其值.

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于是有undefined,

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点评 好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构, 从而寻找解答本题的知识“最近发展区”.

参考文献

[1]数学课程标准[S].北京:人民教育出版社, 2003.