对称变换

对称变换（共7篇）

对称变换 篇1

新年伊始, 我有幸参加了东营市名师评选活动, 在说课环节中接到评委提供的教材《轴对称变换》, 引起了我的深思。新的教学内容与原来的教学内容有哪些不同?如何设计教学过程使学生从生活走进数学?如何使数学的学习感到有趣、有用?如何引发学生学习的激情等。根据自己对教材的理解, 我带着这些问题仔细思考新课程理念, 从学生学习的视角, 探讨了这节课内容的教学设计, 下面从几个方面谈一下:

一、走进教材, 感悟新课程理念, 是设计教学的第一步

《数学新课程标准》提出:“数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论, 并进行广泛应用开发的过程。数学教学活动必须建立在认知发展水平和已有的知识教育基础上。”这里肯定了学生原有知识在学习中的重要性。走进教材, 才能有效地使用教材;走进教材, 才能感悟教材内含的思想方法;走进教材, 才能把编者的思想转化为自己的教育思想。从本节内容的编排上看, 注重了学生的认知过程, 体现了学习“生活中的数学”这一理念, 引导学生从现象中建构知识, 反映了把学习的主动权交给学生的教育观。内容的编排大致有下列几个步骤: (1) 认识现象, 数学来源于生活; (2) 感悟现象, 在动手中由生活走进知识; (3) 思考归纳, 建构知识; (4) 尝试应用, 拓展与完善知识; (5) 应用探究, 使知识走进生活。

二、走进学生, 让学生把数学嚼得有滋有味

“为学生的学习设计教学”是现代教学设计理论倡导的理念, 也是新课程教材中所隐含的因素。新课标指出:“让孩子学习有价值的数学”, 即对学生的进一步学习有用。要实现这一目的, 首先要走进学生的知识世界, 了解学生“学习需要的起点行为”。起点行为作为成功学习新任务所必须的初始条件, 着重看与学生实际所具备的认知基础是否吻合, 如有差距, 要研究如何进行有效补偿。如《轴对称变换》是学生在已有轴对称图形、对称轴、轴对称的性质等知识的基础上而进行的, 学生的知识已经具备, 而这部分内容也是以后学习旋转变换的基础。其二要走进学生的认知世界。关注学生的认知方式, 才能使有意义的学习落到实处。大量的研究与实践证明, 由于不同学生获得知识的信息渠道不同, 有的是听觉型、还有视觉型、也有靠通过交流获得知识。根据学生学习类型的区别, 在设计上应有教师的引导讲解, 也要安排学生自学、讨论、思考、交流和动手做一做, 同时安排趣味性的应用探究等, 形式多样。其三是走进学生的生活世界。数学知识来源于生活世界, 但学生的生活经历、对周围事物观察的积累是否满足本节的需要, 是教师在设计教学时应仔细考虑的, 否则的话不是教师限于课本提供的生活事例, 就是学生被动的跟进教师的生活世界, 加重认知负担。

三、有针对性的积累生活事例, 为引发学习的激情做铺垫

研究表明:当数学学习与学生已有的知识和生活经验相联系时, 数学才富有生命力, 才能激发学生的兴趣, 因此数学教学要从学生的生活经验和已有的体验开始, 从直观的和容易引起想像的问题出发, 让数学背景包含在学生熟悉的事物和具体的情境之中, 使学生在解决现实的、有意义的、富有挑战性的数学问题过程中, 体会数学的趣味性和作用。走进学生的生活世界, 了解他们能够观察到哪些现象, 这样可达到生活与数学浑然一体的效果。本节可采用提前安排观察的方法, 有目的的积累生活知识, 如市场上花布图案、地板砖图案、小狗快跑时四爪的痕迹图案等, 使学生对身边的事例引起有意注意。促使学生经历收集、观察、比较、欣赏图案的过程, 培养分析图形的能力、数学语言的表达能力。让学生带着兴趣、热情、成就感进入本节的学习, 易于集中精力。这样在上课开始阶段, 就能够把学生的思绪吸引到教学主题上来。

四、把教学生学、体验学习过程的乐趣作为设计的重头戏

有位哲学家说, 数学就是在看似简单的事物背后探寻美丽的规律。传统教学重结论、重练习, 忽视了学生的认知过程, 能做题目就是达到了目标, 把学生可持续发展建立在了应用规律做题目上, 现代教育理念认为, 学生的认知过程是充满智慧的生活, 在过程中能引起思维火花的碰撞。我国著名数学家、中科院院士张景中在谈到培养数学兴趣时指出:我认为, 最糟糕的教学就是让学生在学习一个公式后做几个类似的题目……教师应该下功夫研究在课本之外有没有与众不同的、更好的表达方式, 不但教学生用学过的知识解释模拟情景的问题, 更要教学生想。

没有认知过程的教学, 学生只会记忆与机械应用。如何把认知过程交给学生, 本节可采用生活材料分析———使学生感觉到生活事实的用途、欣赏轴对称变换带来的乐趣、讨论思考由此带来的数学规律, 使学生在观察感知、动手感悟、思维交流中, 亲身经历学习过程, 由此激发学生“学习责任者”的意识。

五、使学生在探究中体会数学的美

教学实践使我体会到, 数学所给予学生的不仅仅是逻辑思维和计算能力, 更要有内容和直觉所带来的发现的冲动和情感的迸发, 只有这样, 学生成为学习的主体才不是一句空话, 学生的个性才能在学习活动中尽情舒展, 学生的思绪才能在激情中自由飞翔。

数学教学要通过数学活动, 让学生亲身经历对现实进行数学化的过程, “没有数学化的数学教学, 没有给学生提供探究和思维空间的教学不是真正有效的教学”。本节在把感性材料转化为数学知识方面, 可设计探究活动:取你观察的一个图案 (任意做一个图) , 然后任意取对称轴做一幅图案, 比较对称的两图, 你能得到什么规律?这样由做到思考, 增强了活动的目的性, 也纠正了学生只做不想的肤浅态度。在集中解决《轴对称变换》的知识后, 应设计第二个思维活动的高潮———应用探究, 把模拟情境的问题抛给学生, 组织他们思考、讨论、探究, 使探究成为启迪学生思考、发展能力的有效形式, 从而体会数学在生活中的美。

摘要：如何贯彻数学新课程的教育思想, 使新的教学理念落实在课堂教学中, 教学设计作为备课的关键起着举足轻重的作用。结合《轴对称变换》一节的教学设计, 我是这样思考的:走进教材, 感悟新课程理念, 是设计教学的第一步;走进学生, 让学生把数学嚼得有滋有味;有针对性的积累生活事例, 为引发学习的激情做铺垫;把教学生学、体验学习过程的乐趣作为设计的重头戏;使学生在探究中体会数学的美。

关键词：新课程理念,价值,情景

参考文献

[1]邓官朝.谈课改环境下的备课.石油教育[J].2006, (2) .

坐标系中的轴对称变换 篇2

例1（2007年·内江）已知点A（m-1，3）与点B（2，n+1）关于x轴对称，则m=______，n=_____．

解析：根据关于x轴对称的点的坐标的关系“横坐标相同，纵坐标互为相反数”，得m-1=2，n+1=-3．解得m=3，n=-4．

例2（2007年·怀化）若点P（-2，

3）关于y轴的对称点为Q（a，b），则a+b的值是（）.

A． 1B． -1C． 5D． -5

解析：因为点P与点Q关于y轴对称，故其关系为“纵坐标相同，横坐标互为相反数”，所以a=-（-2）=2，b=3，则a+b=5，故应选C．

例3（2007年·鹤岗）已知点P（2m-3，3-m）关于y轴对称的点在第二象限，则符合条件的整数m的值有_____个．

解析：本题考查对称点的知识，可根据点所在的象限列不等式求解．

由于点P关于y轴的对称点在第二象限，则点P在第一象限.

依题意，得2m-3>0，3-m>0，解得3/2

因为m为整数，所以m=2．

所以符合条件的整数m的值只有1个．

例4（2007年·金华）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图2所示．

（1）请画出△ABC关于y轴对称的图形△A′B′C′（其中A′、B′、C′分别是A、B、C的对应点，不必写画法）；

（2）若每个小正方形的边长为1，请直接写出A′、B′、C′三点的坐标．

解析：先确定出A，B，C三点的坐标：A（0，4），B（-2，2），C（-1，1）.再根据关于y轴对称的点的坐标的关系“纵坐标相同，横坐标互为相反数”，得A′（0，4），B′（2，2），C′（1，1）．顺次连接A′、B′、C′三点，即得要画的△A′B′C′（图略）．

同步练习

1. 图3是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长为1.请在所给网格中按下列要求操作.

（1）请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为（-2，4），B点坐标为（-４，2）.

（2）在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，则C点有几个？坐标是______．

2. 在如图4所示的平面直角坐标系中（每个小正方形的边长为1）：

（1）请作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标.

（2）将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的图形△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标.

一道轴对称变换题讲评方法的研究 篇3

A.2个B.3个

C.4个D.5个

1.对答案式讲评法

师:请某×同学将自己画的轴对称图形画到黑板上.

学生忙着抄, 将题目改正.

教学评价:表面上非常符合现在的“以学生为主体, 学生会的教师不讲”的课标理念, 但实际上学生除了对这位同学的敬佩外一无所获, 根本不知为何要这样画, 是如何想到的.

2.凑答案式讲评法

师:请同学们想一想一个正方形有几条对称轴?

生:4条.

师:这4条对称轴可以分为斜的、水平的和垂直的, 请你根据轴的特征, 在图中寻找对称轴, 并画出第4个小正方形.

学生小组讨论开始凑对称轴, 并画图.

师:请某×同学将自己画的轴对称图形画到黑板上.

学生校对, 完成改正.

教学评价:学生有了先找轴, 再画图的思考方向, 但仅仅靠“轴是斜的、水平的和垂直的”就可以找到本题需要的轴吗?因此, 答案仍是学生凑出来的, 学生仍不懂怎样解, 当然更不用说进行知识的迁移, 学会这一类题了.

3.科学讲评法

师:如何画出轴对称图形的对称轴?

生:对称点连线的垂直平分线.

师:轴对称图形的本质是什么?

生:轴分成的图形的左右两边重合.

教学评价:回顾知识, 为解题打下知识基础.

师:根据轴对称图形的本质, 本题的4个小正方形与轴有怎样的位置关系?

生:轴的左右各两个.

师:若将三个小正方形按顺序从左到右编号 (1) (2) (3) , 将补画的正方形编为 (4) 号, 请你按照轴的两侧各两个正方形, 画出草图分类.

师:画轴对称图形的关键是找到轴, 你能根据已知的、在两侧的两个正方形画出轴吗?

学生寻找能构成轴对称的正方形, 并画出轴.

师:根据你所画的轴, 你能补画第四个正方形吗?

学生作图.

教学评价:问题环环相扣, 步步引导, 教学生解题的方法, 让学生形成解题的能力.

师:若将题目中的轴对称图形改成中心对称图形, 你还能画吗?

学生自主练习、巩固.

教学评价:没有同类题型的检验, 就不知学生是不是学会了解题方法;没有知识的拓展, 学生就不能形成能力.

教学简录:

1.欣赏, 感受对称

师:欣赏生活中收集到的具有对称性质的图片.你有什么感觉?请仔细观察, 发现它们身上共同的特点.

生:对称.

师:你真了不起, 还知道这个词, 你是怎样理解“对称”的呢?

生:两边一样.

教师小结:像这样两边形状大小完全相同的物体, 我们就说它们是对称的.

2.认识对称图形

师:是不是所有的图形都是对称的?它们又是怎样对称的?我们怎样来证明它们是不是对称图形?这就是我们这节课要研究的内容.为了研究这些问题, 老师还带来了一些平面图形.

教师出示平面图形, 学生小组讨论分类.

师:请判断自己的分类是否正确, 并用“折”的办法证明图形轴对称.

引导学生用同样的方法把对称图形都来折一折, 并说说其中的发现.

生1:我发现, 对折后边上齐齐的, 不多也不少.

生2:两边合在一起了.

……

师:也就是说对折后, 左右两边完全重合了.

3.认识对称轴

师:现在把我们折过的对称图形打开看看, 你又有什么新的发现?

生:有折痕.

师:折痕的左右两边是“完全重合”.

对称变换 篇4

例:已知对一切x∈R都有f(x)=-f(2-x)且方程f(x)=0有五个不同的根,则这五个根的和为多少?

分析:函数y=f(x)满足对x∈R都有f(x)=-f(2-x),所以函数y=f(x)关于点(1,0)对称.

设方程f(x)=0五个不同的根分别为x1<x2<x3<x4<x5,有对称性得

x3=1,x1+x5=2,x2+x4=2,所以x1+x2+x3+x4+x5=5.

3.若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是其一个周期.

4.若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,0)和点B(b,0)成中心对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是其一个周期.

例:定义在R上的函数y=f(x)满足f(-x)=-f(x),f(1+x)=-f(1-x),且x∈(-1,0)时f(x)=2x,则f(log220)=?

分析:利用周期和对称性把log220化为属于(-1,0)的值即可.

所以函数同时关于点(0,0)和点(1,0)对称,则周期T=2

又因为x∈(-1,0)时f(x)=2x,

5.若函数y=f(x)图像既关于点A(a,0)成中心对称又关于直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且4|a-b|是其一个周期.

分析:函数y=f(x)在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x)(关于原点对称)且f(0)=0,

所以周期T=2,

6.函数y=|f(x)|的图像的作法:作出y=f(x)的图像,将图像位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方,上方的图像不变.

7.函数y=f(|x|)的图像的作法(该函数是偶函数):作出y=f(x)的图像,将图像位于轴左边的图像擦掉,以y轴为对称轴将y轴右边的图像翻折到y轴左边,得到y=f(|x|)在y轴左边的图像,右边的部分不变.

对称变换 篇5

函数图象的轴对称变换是函数图象变换中常见的一种变换,比如作某函数关于x轴、y轴、某直线对称函数的图象是我们常见的教学内容. 我们怎样能直观形象地向学生展示变换过程, 使学生加深对相关知识的理解是教师应思考的问题.笔者认为“几何画板”是一个较好的展示平台.下面就从指数函数图象与对数函数图象的关系入手来说明这一变换的实施过程,希望能达到抛砖引玉的效果.

一、画出指数函数(以 y=2x 为例)的图象

1.启 动 “几何画板 ”程序 (以 4.06 版 为例 ),新建一个名为“图象变换.gsp”文件.

2.点击 【图表 】菜单 ,选择 【定义坐标系 】选项卡 ,并拖动坐标原点将坐标系向左移一点.

3.点击【图表】菜单 ,选择【绘制新函数】选项卡 ,在弹出的对话框中输入“2x”, 单击“确定” 按钮就可以画出函数y=2x的图象.

二、用对称方法画出对数函数(以 y=log2x 为 例 )的图象

由于指数函数y=ax(a>0且a≠1) 与对数函数y=logax(a>0且a≠1) 互为反函数 , 根据互为反函数两个函数的图象关于直线y=x对称这一性质, 只要画出函数y=2x的图象关于直线y=x对称的图象就可以得到函数y=log2x的图象.具体画法如下 :

1.画 直线 y=x.这 里用过两点作直线的方法来作图. 可点击 【图表】菜单,选择【绘制点】选项卡,由于对话框中默认横、纵坐标都为1,所以单击【绘制】按钮,就可以绘出 点A(1,1),单击【完成】按钮退出对话框,同时选择点A与坐标原点O,点击【作图】菜单,选择【直线】选项卡,就画出了直线y=x.

2.标记“镜面 ” ( 也就是对称轴 ). 选择直线y=x,点击【变换】菜单,选择【标记镜面】选项卡(或直接双击直线y=x),这样就可以将直线y=x定义为当前的对称轴.

3.作出函数y=2x 的图象关于直线y=x的对称图象,即就是函数y=log2x的图象 .选择函数y=2x 的图象,点击【作图】菜单,选择【对象上的点】选项卡,这样就在y=2x的图象上任取了一点B,选择点B,点击【变换】菜单 ,选择【反射】 选项卡 , 就可作出点B关于直线y=x对称的点B′,同时选定点B及B′,点击【作图】菜单 ,选择【轨迹】选项卡 ,这样就作出了函数y=log2x的图象.

三、 实现从函数 y=2x 的图象变换出函数 y=log2的图象的动态过程

关于动态过程的实现,主要用到“几何画板”的“轨迹”与“移动”功能 ,具体制作过程如下 :

1. 同 时选定点 B 及 B′ , 点 击 【 作图 】 菜单 , 选择【 线段 】 选项卡 , 作 出线段BB′, 选择线段BB′ , 点击【作 图】菜单, 选择【线段上的点】选项卡,这就在线段BB′上任取了一点C, 同时选定B及C,点击【作图】菜单 ,选择【轨迹】选项卡 ,就可以作出从函数y=2x的图象变换出函数y=log2x的图象的过程图形, 在线段BB′上来回拖动C点就可观察到从函数y=2x的图象变换出函数y=log2x的图象的动态过程.

对称变换 篇6

本文针对四相交错并联双向DC/DC变换器运行在Buck模式的情况,对非对称耦合电感进行分析,推导出等效电感的数学表达式;建立包括磁轭磁阻和绕组外面空气磁阻的精确磁路模型和绕组外面空气磁阻的计算公式,从而得到了精确的电感计算公式;分析了非对称耦合电感对变换器稳态和暂态电流纹波的影响;根据等效电感表达式对四相非对称耦合电感进行对称化研究。

1 四相非对称耦合电感分析

由于反向耦合可以提高变换器的动态性,本文采用反向耦合进行分析和设计。四相耦合电感结构如图1所示。分析可知,该耦合电感结构具有四相磁路不平衡、四相耦合电感不对称的特点,因此可称该结构耦合电感为四相非对称耦合电感。

本文在占空比小于1/4的情况下对各相等效电感进行分析;结合变换器的拓扑结构和控制方案及楞次定律,可得如下方程式:

式中D为占空比。

其电压方程为:

式中,v1、v2、v3、v4分别为加在4个通道电感绕组上的电压,i1、i2、i3、i4分别为流过4个通道电感绕组的电流,L1、L2、L3、L4分别为四相电感绕组的自感,Mij(i,j=1,2,3,4)为各相之间的互感,由于是反向耦合,所以Mij<0。下面对非对称结构进行讨论,令L1=L3

式中j代表所对应的工作模态。

设vin、vo分别为变换器的高压侧和低压侧电压,则变换器第一通道的8个工作模态的等效电感如下:

2 四相非对称耦合电感精确磁路模型

图1所示的耦合电感结构由2个“I”片和2个“E”片组成,在传统设计时忽略磁轭磁阻、绕组外侧的空气磁阻的影响。忽略两者设计的磁芯对变换器性能影响较大,尤其是忽略磁轭磁阻严重影响变换器输出电流纹波。本文在考虑磁轭磁阻、绕组外侧的空气磁阻情况下,提出如图2所示的精确等效磁路模型,其中R1为磁轭磁阻,R2为“E”片侧柱磁阻,RC为“E”片中柱绕组磁阻和气隙磁阻之和,Rair1、Rair2、Rair3、Rair4为各电感绕组外面的空气磁阻。

2.1 空气磁阻

对耦合电感绕组产生在外面空气磁场进行分析,根据参考文献[10]可得到耦合电感各相绕组外面空气磁场所对应的磁阻分布如图3(a)所示。于是可得各相绕组外面空气磁阻Rair1、Rair2、Rair3、Rair4为:

磁阻Rt的计算模型如图3(b)所示,并有:

式中,“”为磁阻区域平均磁路长度,“”为磁阻区域平均截面积,μ0为空气磁导率,并有:。其中Vt为磁阻区域体积。

2.2 电感计算

得到耦合电感各相绕组外面空气磁阻的计算公式后,设R2=m R1,Rc=nR1,推得精确磁路模型对应的电感表达式如下:

式中,为磁芯材料的相对磁导率,a、e分别为磁芯各部分的长度,h为磁芯宽度。

3 四相非对称耦合电感对称化研究

图1所示的耦合电感结构在各电感绕组所在磁柱开相同气隙或不开气隙(传统设计方法)情况下,各相电感不相等。由暂态电感和稳态电感表达式,可知磁件等效电感不对称,从而导致变换器输出电流稳态纹波峰值大小不同。在N=1情况下,磁芯参数:a=2.5 mm、b=5 mm、c=2.5 mm、d=3 mm、e=6 mm、h=15.5 mm、μr=1 200;电路仿真参数:输入电压DC 12 V,输出电压DC 1.2 V,电感值见表1,电路仿真结果如图4所示。仿真结果验证了理论分析的正确性。绕组外面空气磁阻对耦合电感对称性没有影响,因此,在探讨对称化方案时可将其忽略。假设N=1,L=λ/R1,将其代入式(8)～(13),可得λ随m、n的变化关系,如图5所示。

分析图5可知,适当地调节耦合磁芯各磁柱磁阻的大小可以满足各相电感的自感相等、互感近似相等。为了满足机械稳定性和易加工的要求,选择磁芯侧柱不开气隙、中柱开气隙的方案来实现电感对称化。改变磁芯中柱气隙lg的磁场仿真结果如图6所示,在中柱气隙lg=3.6μm时,耦合电感的自感相等、互感近似相等,耦合电感可近似对称;lg=3.6μm时,电路仿真结果如图7所示,变换器输出电流纹波峰值近似相等,峰峰值变小,验证了方案的可行性。

4 实验验证

4.1 磁件验证

根据上述理论分析,制作电感样机如图8(a)所示;样机测试结果如表2所示。表2数据可验证理论分析和仿真结果的正确性。

4.2 电路实验验证

实验平台为ADP3163芯片控制的实验板,输入电压DC 12 V,输出电压DC 1.2 V,开关频率500 kHz。电流测试采用闭环霍尔电流传感器CHB-25NP,匝比n=1/1 000,测试电阻RM,通过示波器测试的电流,其中V为示波器上显示的电压值。轻载电流为10 A时的实验波形如图8所示。分析图8可知,对称化后变换器输出电流纹波峰值稳定性较好,从而可以降低变换器损耗、提高效率。

本文提出的耦合电感结构和四相交错并联双向DC/DC变换器,对Buck工作模态下的四相非对称耦合电感进行了分析,得出各相电感在不同工作模态下的等效电感的数学表达式,从而得到等效稳态电感和等效暂态电感的表达式;对四相非对称耦合电感设计方法进行了分析,建立了精确等效磁路模型;推导出更加准确的自感和互感数学表达式,并结合各等效电感的数学表达式对四相非对称耦合电感进行了对称化研究。在保留四相耦合电感结构简单的优点情况下,实现了耦合电感参数的对称化,为多相非对称耦合电感的对称化研究提供了思路。本文利用磁场和电路仿真验证了方案的正确性和可行性,对称化后的耦合电感不仅可以满足变换器输出电流纹波峰值近似相等,同时可以使电流纹波峰峰值变小。实验结果验证了理论分析和仿真结果的正确性。

摘要：为了提高交错并联变换器的性能,对四相交错并联双向DC/DC变换器中不对称耦合电感进行分析,推导出等效稳态电感和等效暂态电感的数学表达式。结合提出的耦合电感结构进行不对称耦合电感对称化研究。通过Saber和3D Maxwell软件进行仿真验证和样机实验,验证了理论分析和仿真结果的正确性。

关键词：交错并联变换器,不对称耦合电感,等效电感,磁路模型,对称化

参考文献

[1]陈为,卢增艺,王凯.电压调整模块耦合电感性能分析与设计[J].中国电机工程学报,2009,24(1):127-132.

[2]Li Hongzhu,Chen Zhengyi,Yang Yugang.Application studyof multi-phase coupled array integrated magnetic in VRM[C].IEEE PEDG2010,2010(6):214-219.

[3]Yan Dong.Investigation of multiphase coupled-inductorbuck converters in point-of-load applications[D].Polytechnic Institute and State University,2009:1-283.

[4]WU W,LEE N,SCHUELLEIN G.Multi-phase converterdesign with two-phase coupled inductors[C].IEEE APEC,2006:487-492.

[5]WONG P,XU P,YANG B,et al.Performance improvementsof interleaving VRMs with coupling inductors[C].CPESAnnual Seminar,2000:317-324.

[6]WONG P,WU Q,XU P,et al.Investigating couplinginductor in interleaving QSW VRM[C].IEEE APEC,2000:973-978.

[7]杨玉岗,李洪珠,王健林,等.可消减直流偏磁集成磁件在DC/DC变换器中的应用[J].中国电机工程学报,2005,25(11):50-54.

[8]杨玉岗,于庆广,李洪珠,等.四相电压调整模块中平面型可消除直流偏磁集成磁件研究[J].中国电机工程学报,2006,26(24):179-185.

[9]LI J,STRATAKOS A,SCHULTZ A,et al.Using coupled-inductors to enhance transient performance of multi-phasebuck converters[C].IEEE APEC,2004:1289-1293.

对称变换 篇7

数学教学在改革与反思中确立了以数学知识为资源和手段来“育”人的教育学立场.它意味着数学教学既要传递教材中的符号化知识, 也要在传递过程中使学生经历和体验人类创造知识的生动过程.但日常调研发现:课堂教学普遍存在着“过程” (概念的形成过程、原理的发现与推导过程、问题的探索过程、解题方法的思考与优化过程、思想方法的概括过程等) 短暂或缺失的现象, 导致隐去了蕴涵在“过程”中生动活泼的思维活动, 从而失去了学生在“过程”中体会思维方法和思想方法以及在“过程”中发展能力和个性的机会.这种扼杀学生智慧和摧残学生个性的教学, 有悖于数学教学的教育学立场.基于教育学立场的数学教学怎样操作?本文以“轴对称变换” (浙教版《数学》七年级 (下) 第2章第2节的内容) 为载体进行了探索并在课后进行了反思, 供读者参考与研究.

2 教学过程简录

第1阶段:课前预习——自主探索

课前, 教师设计如下的“先行组织者”供学生课前预习 (允许合作研讨) .

题1 先指出图1-6的运动特点 (从△ABC到△A′B′C′) , 再按运动特点将其分类.

题2 生活中有类似于图1、图4的运动现象吗?或有用图1、图4的思想方法 (局部到整体) 来解决问题的例子吗?如果有的话, 请你举出尽可能多的实例!

第2阶段:汇报交流——矫正互学

上课一开始, 教师出示课前布置的问题, 并要求学生汇报预习成果.同时教师倾听学生的汇报、交流, 必要时, 教师进行追问、激励、评析.在此基础上教师进行总结:

1) 图1与图4, 图形的运动特点是翻折 (运动前后的两个图形关于某条直线成轴对称) ;图2与图6, 图形的运动特点是定向移动 (运动前后的两个图形的对应点连线平行) ;图3与图5, 图形的运动特点是绕定点旋转 (运动前后的两个图形的对应点旋转相同的角度) .

2) 图形的翻折运动具有丰富的现实情景, 如“剪纸”、“刻印章”等运用了翻折的思想, 又如汽车牌照与它在水中的倒影、物体与印在镜中的像等都是生活中的翻折运动现象.并且研究几何经常要利用翻折前后两个图形的关系.

第3阶段:引导探究——交流合作

教师:正因为这样的图形改变 (翻折) 有丰富的现实情景和广泛的应用价值, 就决定了从数学角度研究这样的图形改变的必要性.这节课的研究对象就是这样的图形改变 (翻折) . (揭示课题)

教师:现在老师提出一个具有挑战性的问题:如图1、图4, 这样的图形改变 (翻折) 的本质特征是什么?请大家合作研讨并发表自己的观点.

学生1:改变前后的两个图形关于某条直线成轴对称.

学生2:原图形上任一点关于直线的对称点在新图形上.

教师:好!现在请大家先观察图7-10改变前后的两个图形, 再回答问题:

题3 分别指出图7-10改变前后两个图形中点、边、角的对应关系?改变前后两个图形的不变关系 (位置关系和数量关系)

(提示:可从整体 (着眼于图形) 和局部 (着眼于边、角、点) 多个视角进行观察)

(学生合作研讨, 约3分钟后进行交流、评价)

教师:现在老师再提出一个具有挑战性的问题:怎样确定改变后的新图形?

题4 如图11, 已知△ABC和直线m.以直线m为对称轴, 怎样作△ABC经翻折后的图形?请大家合作研讨并发表自己的观点.

学生3:先将△ABC沿着直线m翻转180°, 再用笔尖刺点A, B, C, 设在纸上留下的对应点为A′, B′, C′, 连结A′B′, B′C′, C′A′.△A′B′C′就是得到的新图形.

教师:这是着眼于宏观, 并运用了一般到特殊的思维方法.这说明图形翻折可以转化为点翻折.

学生4:作点A, B, C关于直线m的对称点A′, B′, C′, 连结A′B′, B′C′, C′A′.△A′B′C′就是得到的新图形.

教师:这是着眼于微观, 并运用了特殊到一般的思维方法, 这说明点翻折可以转化为图形翻折.

第4阶段:建构理论——综合概括

教师:现在我们先用文字形式来表述图形翻折运动的本质特征并给它一个名称, 再归纳整理一下研讨的结果:

1) 轴对称变换的概念:由一个图形变为另一个图形, 并使这两个图形关于某一条直线成轴对称, 这样的图形改变叫做图形的轴对称变换, 也叫反射变换, 简称反射.经变换所得的新图形叫做原图形的像.轴对称变换与轴对称图形的区别:轴对称变换是过程性概念, 描述的是图形的改变方式和变换前后两个图形的关系, 轴对称图形描述的是图形的特征 (一个图形) ;它们的联系:把反射变换前后的两个图形看成一个整体 (一个图形) , 这个图形是轴对称图形.

2) 反射变换的性质:反射变换不改变图形的形状和大小——反射前后的两个图形的对应边相等、对应角相等;反射前后的两个图形的对应点连线段被对称轴垂直平分.

3) 确定反射变换后像的方法:①操作法——图形整体反射 (依据是反射的含义) , 这种方法的优点是直观, 缺点是操作不方便;②作图法——图形反射化归为点反射 (依据是反射的特征) , 这种方法的优点是操作方便 (更有“数学味”) , 缺点是抽象.但两种思想方法都有应用价值, 不可偏废.

4) 轴对称变换是一种重要的几何变换!它蕴涵的一般到特殊 (图形运动转化为点运动) 和特殊到一般 (点运动转化为图形运动) 的思维方法对学习其它几何变换有指导作用;它蕴涵的局部到整体的思想方法具有广泛的应用价值;它蕴涵的变换前后的不变关系是进一步认识几何的理论基础.

第5阶段:尝试运用——检测评价

教师:现在请大家解决下列问题:

题5 如图12, 已知点A和直线m, 以直线m为对称轴, 作点A经轴对称变换后的像.

题6 如图13, 已知线段AB和直线m, 以直线m为对称轴, 作线段AB经轴对称变换后的像.

题7 如图14, 已知△ABC和直线m, 以直线m为对称轴, 作△ABC经轴对称变换后的像.

(学生操作, 教师巡视指导.约3分钟后进行交流、评价.在此基础上, 教师概括思维策略:图形反射→点反射→特殊点反射)

教师:现在老师提出一个与日常生活有关的问题:

题8 用数学的眼光看图15, 小女孩与镜中的像是什么关系?请大家合作研讨并发表自己的观点.

学生1:小女孩与它在镜子中的像构成轴对称关系.

教师:这是生活中的轴对称变换, 称为镜面对称 (也叫镜面反射) .

用数学的眼光看镜面反射, 也可以把它看成是轴对称变换, 对称轴是镜面所在的直线.课后请大家通过把物体放在镜前的不同位置来探索镜面反射的规律.

教师:现在再请大家解决下列问题:

题9 如图16、图17分别是镜中的像, 则图16、图17原来的图形分别是什么?

题10 如图18, 要在燃气管道l上修建一个泵站, 分别向A, B两镇供气, 泵站修在管道的什么地方, 可使所用的输气管最短?为什么?

(学生独立学习, 教师巡视指导, 约2分钟后进行交流、评价)

第6阶段:反思总结——回顾思考

教师:现在请大家完成下列“问题清单”:

1) 学习反射变换有何意义?反射变换有何特征?反射变换有何特性?

2) 描述反射变换有几种方法?确定反射变换后所得的像有几种方法?

3) 轴对称变换的概念与轴对称图形的概念有何区别与联系?

4) 你在学习过程中, 感受到了哪些思维方法?获得了哪些数学活动的经验?

5) 你在学习过程中, 感受到了哪些思想方法?碰到了哪些困难?有何感触?

(学生在思考基础上进行交流, 教师在倾听基础上进行总结)

3 教后反思

像古生物学家依据动物一个牙齿化石恢复已灭绝动物的全貌一样, 我们从这个课例中也可以得到以下基于教育学立场的数学教学的几点启示:

1) 基于教育学立场的数学教学需要教师理解学习内容.反射变换是在学生学习了轴对称图形的基础上提出来的.它与其它几何变换是“并列结合关系”, 与轴对称图形的概念是“并列结合关系”, 与生活中的反射现象是“总括关系”.内容蕴涵的局部到整体的思想和变换前后两个图形的关系对解决有关问题有重要作用;内容蕴涵的思维方法和数学活动经验对学习其它几何变换有指导作用并能发展学生的智力;反射变换特征和特性的发现过程、确定像的方法的探索过程、思维方法和思想方法的概括过程、反射变换理论的应用过程, 有能力发展点、个性和创新精神培养点.如果不能从数学上把握好学习内容的整体性和内在联系性, 不明确蕴涵在内容中的育人价值, 就会导致“过程”短暂或缺失, 从而不能发挥数学的育人功能.

2) 基于教育学立场的数学教学需要教师创造性处理教材.图形反射变换的切入, 大多数教师采用经验到理论的方式——在现实生活中的翻折现象中抽象概括出图形翻折的概念.其实, 这种引入方式有两个问题:一是容易使学生把现实生活中的翻折现象与图形翻折发生混淆, 导致学生对图形翻折的概念认识不够清晰;二是从现实生活中的翻折现象抽象出图形翻折的过程, 一般由多媒体或教师来替代完成, 学生很难真实地经历这个抽象的过程.这节课先让学生整体感悟和认识图形变换的各种运动形态, 再引导学生将图形运动的知识拓展到现实生活中去.这不但能实现书本知识与现实生活的沟通, 而且能将图形“运动”与现实生活中的“运动”现象进行区分, 同时知识之间联系更密切、更有利于学生认知.如果教学决策之前不经历“多选一”的过程, 就不能提高课堂教学的立意.

3) 基于教育学立场的数学教学需要教师构建合适的教学过程结构.发展学生的能力和个性需要合适的情境与过程, 这个教学过程, 既要遵循数学的发展规律 (数学的发现、数学的完善、数学的应用) 和学生学习数学的认知规律 (特殊到一般、具体到抽象、现象到本质) , 也要遵循教育的规律 (在数学学习活动的过程中, 体验思维方法和思想方法, 发展能力和个性) .如这节课以数学知识发生发展过程为载体的学生认知过程和以学生为主体的数学活动过程作为教学的基本过程, 不但简单、自然, 而且有内涵和思想, 能使学生在获得知识的同时, 也能发展能力和个性.

4) 基于教育学立场的数学教学需要教师采用课内外结合的策略.尽管探索反射变换的特征和特性以及确定像的方法有能力发展点、个性和创新精神培养点, 有组织学生合作研讨的必要.但需要学生尽快打开理性思维的“闸门”, 否则会产生探究学习过程节奏缓慢, 对按时完成教学任务带来挑战的矛盾.而课前预习“先行组织者”, 能有效地解决这个矛盾.因为导入性学习活动移至课前, 课内能节省许多时间;因为课前预习提供了学生有深度思维所需要的学习条件, 能使学生在课内能较快打开理性思维的“闸门”, 从而能加快课堂教学的节奏.

5) 基于教育学立场的数学教学需要教师运用价值引导与自主建构相结合的方法.“学生是数学学习的主人”, 但教师价值引导 (问题暗示、元认知提示语发问、点拨、积极的认知干预、激励与评价、适时反馈等) 非常重要, 否则会出现思维停滞或迷失前进方向的局面, 导致教学难以展开.如探索反射变换的特征和特性以及确定像的方法, 是高级思维活动, 如果教师在必要时不作适当暗示与启发, 教学过程就不能顺利推进.本节课教师采用的“先行组织者”引导下的学生自主探索、具有挑战性问题引导下的学生交流合作、评价性问题引导下的学生独立学习与交流合作、“问题清单”引导下的学生回顾与思考, 以及以思维跨度大时的问题暗示、困惑或认识模糊时的点拨、思维受阻时的“元认知提示语”发问、思维混乱时的辨析、思维偏离方向时的干预、观念碰撞时的评价、方法多样化时的价值分析、回答不完善时的追问、回答有创意时的激励等, 就体现了价值引导与自主建构相结合的理念, 较好地处理好了指导学习与自主学习的辨证关系.

总之, 基于教育学立场的数学教学的基本策略是:知识教学为基点, 能力培养为核心, 个性教养为肯綮.而发展能力和个性需要合适的情境与过程, 经历过程又需要课内外结合以及教师的价值引导.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.全日制义务教育《数学课程标准》 (实验稿) [S].北京:北京师范大学出版社, 2001.