变换思想（精选10篇）
变换思想 篇1
重积分的计算, 往往要进行变量替换, 怎样选择变量代换可以使我们的计算得到简化是我们所关心的。本文介绍了一些关于变量变换选择的思想方法供读者参考。首先, 请看如下几个定理:
1 理论基础
定理1设K为Rn中的开集, Ω⊂K是可测闭区域, T为Ω⊂K上的正则变换, T∈C1 (K) , f∈C (T (Ω) ) , 则
为便于应用, 我们给出定理1的特殊情况:
上述为三重积分的变量替换定理。
下面我们以二维平面为例, 试图从几何的角度进一步阐述定理1及2中一一变换T的涵义:
定理3设F (x, y, σ) =0, G (x, y, γ) =0 (1)
为两族分别扫过区域内Ω每一点曲线族, 其中σ, γ为参数。当我们取定Ω中某一点 (x0, y0) , 存在唯一的曲线F (x0, y0, σ) =0和唯一的一条曲线G (x0, y0, γ) =0使得二者的交点为 (x0, y0) ;当然取定参数 (σ0, γ0) ∈Ω'也可由方程组确定相应的两条曲线F (x, y, σ0) =0, G (x, y, γ0) =0的唯一交点 (x, y) ∈Ω.则曲线族 (1) 确定了从Ω'到Ω的一个双射函数 (变换) T。该定理的结论是显然的。
2 实例说明
1) 定理3即是通过几何图形来寻找双射函数T, 将该思想渗透进重积分变量变换的过程中, 可以帮助我们解决一些常见的积分变换问题。谨以下例加以说明:
(t≠0) , 其中D为抛物线y2=αx, y2=βx和x2=ay, x2=by (x>0) 所围成的区域。 (0<α<β, 0
解:从图形中我们发现, 对于两族抛物线y2=σx和x2=γy (0<α≤σ≤β, 0
因此, 根据定理1的内容我们有
2) 在求二重积分时, 采用数形结合的思想固然十分便捷, 但在求三重及更多重积分时, 画图便稍显繁锁, 我们可以采用一些现成的坐标变换公式, 如平面极坐标变换, 空间柱、球坐标变换公式等。下面举的例子中所采用的变换公式与球坐标变换极为相似, 请读者细细品味其中的差异:
例2.设a≥0, b≥0, c≥0, r≥0, 证明
3 结论
在重积分的计算过程中, 多数情况下需要通过适当的变量代换将其转化为累次积分来计算, 对于二重或三重积分, 我们可以采用数形结合的思想确定变换T;而对于更高重的积分, 我们不妨利用现有的变换公示或相类似的变换公示来进行积分变换, 当然变换的形式并不一定唯一, 希望读者能够灵活地选择变换以期更快捷地计算重积分。
摘要：本文总结了在多重积分计算中选择变量变换的一些可行的思想方法, 如在求一些重数较低的重积分时可以利用数形结合的方法确定积分变换, 而对于更高重积分则可以直接利用一些现成的积分变换来将其降为累次积分进行计算, 利用这些思想方法可以使计算过程得到简化。
关键词：重积分,一一变换,积分区域,球坐标变换
参考文献
[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].3版.高等教育出版社, 2001.
[2]常庚哲, 史怀济.数学分析[M].北京:高等教育出版社, 2003.
[3]裴礼文主编.数学分析中的典型问题与方法.2版.
[4]贾建华, 王克芬编著.微积分证明方法初析.南开大学出版社, 1989, 8:177-217.
[5]魏国强编著.高等数学研究.西北工业大学出版社, 2002, 2:58-60.
变换思想 篇2
第一部分 两种变换的背景。
首先是傅里叶变换的背景。这个背景想必大家在高数课，电分课和之前的信号与系统课上已经阅读过了，那么在这里大家可以稍稍再重温一遍。
接下来是拉普拉斯变换的背景。
大家一定没有想到，拉普拉斯变换并不是由拉普拉斯发明的，而是由这为Heaviside先生发明的。拉普拉斯对这项变换的贡献是进行了严密的数学定义，确定其可行性后进行了推广。因此这项变换被称为拉普拉斯变换。
说一句额外的话，在准备内容时，我本指望能像傅里叶变换一样，找到有关拉普拉斯变换发展的波澜历史，却因拉普拉斯变换并不是被其发明者命名，所以有关Heaviside先生如何得到这种变换的资料少之又少，而拉普拉斯对其定义的过程相对来说又很枯燥，并没有什么值得记载的故事，因此大家可以从刚刚这段说明中看出拉普拉斯的发展历史只是草草陈述。这也告诉我们，做事一定要完备，知识一定要渊博，否则发现了什么却忘记对其进行推广，或者知道要去推广却因数学功底不足而无法给出严格定义以及证明，流芳百世的机会也只能拱手让人。
因为现实生活中的信号多为因果信号，因此在此考虑拉普拉斯的现实意义，引入拉普拉斯单边变换。下述有关拉普拉斯变换的讨论均基于拉普拉斯单边变换。
第二部分
两种变换带来的便利。
首先是傅里叶变换带给我们的方便。求解线性电路有了通法。面对三角函数信号，以及电容电感这类原件，时域中求解电路状态变得十分困难。但通过电分的学习，我们掌握了频域解法。又通过傅里叶变换，我们可以将任何信号变成虚指数或者说三角函数形式，对于线性系统，我们可以依次求解这些三角函数分量作用时的电路状态，再加和。所以只要是线性系统我们都可以求解！
我们能够从一个不随时间变换的空间中观察函数或者信号。傅里叶就是通往这个世界的大门，把时域信号转换至频域。在这个域中，时间不是变量，频率才是变量。并且在这个域中，人们可以方便地观察不同频率的信号分量。
其次是拉普拉斯变换带给我们的便利。其实这两项优点是同一项，求解微分方程十分便利。大家可以回想一下学习高数时，用经典法求解常系数微分方程时的痛苦。现在拉普拉斯变换将微分方程统统化成简单的多项式方程，并且把用于求解特解的初值自动引入，可谓是十分便利。
下面是最后一部分
两种变换之间的区别
首先是两种变换后得到的信号从频域角度来看是否直观。
以这个信号为例，利用matlab对其进行傅里叶展开。这幅图是其幅度频谱。（在黑板上写出傅里叶展开的f(t)12F(j)ejtd）从这张图以及相位频谱，各位就可以描述
jtF(j)e出F(j)的表达式。又知道，f（t）即由一系列的d加和得到，所以从频域上我们可以直观看出不同频率的各个三角函数分量。这一点是拉普拉斯变换所不能企及的。这也是为什么傅里叶变换多用于针对信号的分析和处理，主要是频谱分析。
第二个方面是求解微分方程的简易性差别
一方面是可以将时域内的微分与积分的运算转换为乘法与除法的运算，将微分积分方程转换为代数方程，从而使计算量大大减少。这一点个大家都十分清楚，在许多书中也给出了证明。
另一方面是可以将初始状态包含到微分方程中直接求解。主要利用的就是时域微分性质。这里，我查阅许多资料与书籍发现都没有这个性质的证明，只是告诉我们如何使用，但这里我们需要从最本质的地方探究傅里叶与拉普拉斯在求解微分方程简易程度上的差别，因此课后通过推导，在这里给出证明：
而傅里叶的时域微分性质如下：
可以看到一个包含了初始状态，一个并没有。
最后一个就是拉普拉斯变换相比傅里叶变换可以对更多函数进行变换，这也是我们最后一个，也是最显著的一个区别。我们稍后再谈。
综上，可以发现拉普拉斯变换在求解微分方程上更占优势
我们来到了最后一个差别，也是最本质的差别，处理的函数范围不同。
在查阅了高等数学教材后，得到了数学上对傅里叶变换成立的收敛定理，如下： 1 函数f(x)在每个有限区间上可积;2 存在数M>0,当|x|≥M时，f(x)单调，且
lim
f(x)=0。
那么对于一些函数，例如eαtu(t)(α>0)，无法满足上述收敛定理，因此不存在傅里叶变换 下面是利用matlab进行求解的过程，可以看到，对于e^3t这个函数，无法求解出其傅里叶变换。与此同时，一些函数并不满足绝对可积条件，从而不能直接从定义而导出它们的傅里叶变换。虽然通过求极限的方法可以求得它们的傅里叶变换，但其变换式中常常含有冲激函数，使分析计算较为麻烦。
以斜坡信号tu(t)为例，对其用matlab进行求解，可以看到包含了dirac函数，也就是冲激函数。
因此我们在信号后乘上一个衰减速度十分快的衰减因子et，使得信号容易满足绝对可积条件，而得到的变换式也即拉普拉斯变换式
好的，接下来让我们看看同样的函数，使用拉普拉斯变换看会得到什么样的结果。对于e^3t*u(t)，得到了1/（s-3）； 对于tu（t），得到了1/s^2。
傅里叶变换与拉普拉斯变换广泛应用于工程实际问题中,不仅仅在数学领域有着应用，在测试技术及控制工程领域应用更为广泛，搞清两者的应用特点，对将来会频繁使用这两种变换的我们极其重要。希望本文指出的一些方面能给各位带来一些启发以及想法，在未来给各位带来些许帮助。
变换思想 篇3
1通过图形变换，引导学生体验转化的解题思想
“转化”是几何变换一个重要思想.这里的“转化”是指将图形进行变换，实现图形位置的转化，把一般情形转化为特殊情形，使问题化难为易.它是一种以变化的、运动的观点来处理孤立的、离散问题的思想.
例如，我们常常通过三角形全等来证明线段和角相等，然而在图形中并不刚好总有合适的全等三角形，因此构造合适的全等三角形，常常成为添加辅助线的考虑目标.怎样才能构造出图1合适的全等三角形呢？我们可以用运动的观点来考虑[2].
所以，P是到三个顶点距离之和最小的点.
这个例子告诉我们，通过图形的旋转，可以帮助我们构造出合适的全等三角形.那么为什么借助图形旋转能有效求解？从教学的角度来看，这才是教学的核心和根本.所以问题解决之后，教师要善于引导学生把题目所隐含的数学内容的实质揭示出来.
本题欲证PA+PB+PC为最小值，而这三条线段位于三个不同的三角形中，一个自然的想法就是能否将这三条线段首位相接.上述方法，将“将△APC绕点C顺时针方向旋转60°”就可以将“PA”搬到“P1E”的位置，将“PC”搬到“PP1”位置.由此可见，使用图形旋转的方法，不仅实现了线段的位置转化，而且同时实现了线段的位置重组，把原本分散的条件集中到一条线段，然后运用极端原理找出问题解决的办法.
上述问题说明，在几何问题解决中，常常需要搬动图形（角、线段、三角形等），实现了线段或角的位置的转化和重组，把原本分散的条件集中到一条线段或一个三角形中，而旋转是搬动图形最常用的方法之一，特别是当图形中有等腰三角形，正三角形或正方形时，更为旋转提供了方便的条件.例如，对于等腰三角形，把一腰绕顶点旋转顶角这么大的角度，就可与另一腰重合；对于正三角形，把一边绕该边的一个端点旋转60°，就可与它的邻边重合；对于正方形，则需旋转90°.在上述这些旋转下，与被旋转的线段相连的有关图形，例如某个三角形，也跟随一起旋转，即可得到一个与之全等的三角形，可见运用旋转可以帮助我们构造出合适的全等三角形.
2通过图形变换，引导学生发现“变中不变”规律
“变中不变”是几何变换的基本思想之一，这里的“变”通常是指图形的位置有规则的发生“变”化，“不变”是指（图形）经过变换后不改变的性质和量，也称为不变量思想.“变中不变”是动态几何的精髓.
教学中，我们通常结合图形运动变换的定义和性质的教学，让学生在经历各种图形运动的过程中，理解图形的形状和大小的不变性.进而体会图形变换的基本性质，如图形旋转过程中，图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段、对应角都相等，图形的形状、大小都不发生变化.
上述证明过程不仅适用于特殊情况的证明，而且可以适用于一般情况的证明（如图5），△CEM是等腰直角三角形，揭示了规律背后的本质.
上述例子告诉我们，通过图形的运动变换，不仅可以引导学生发现“变中不变”的结论，而且可以发现“变中不变”的解题方法，进而提高学生动态思维的能力，学会用运动的观点去观察、分析、猜想、验证图形的位置关系和数量关系.让学生在经历各种图形运动的过程中，能够形成动态研究图形的意识.在教学中，教师与其寻找、编造不同花样的题目，不如深入研究例习题特征，有目的引导学生进行变式、拓展、探究，深入挖掘其中潜在的数学思想方法，揭示其内在的本质和规律.
3通过图形变换，引导学生用运动的观点认识图形的对称性
对称是一种重要的数学思想方法.“对称”狭义理解通常指图形或物体对某个点、直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应关系.自然界中有许许多多的事物都具有绚丽多彩的对称性，它是自然美的直接展示.在几何图形中，大量几何图形也都有鲜明的对称性，如轴自对称图形、中心自对称图形、旋转自对称图形等，同样给人以美的直观的享受.而作为一种数学思想，“对称”的内涵要丰富得多.在几何“识图”中，知道图形“一半”的性质，就能知道图形“另一半”的性质.在数学解题中，平等的条件及元素在思考过程中应当平等对待，并且由此及彼，已知条件中“对称”的元素在结果的表达式中也应当对称.也即数学对称常常给我们带来事半功倍的愉悦，事半功倍才是数学上对称美的本质[4].
对称思想在数学里运用非常广泛.在初中几何学习中，我们常常会遇到一些对称问题，如几何里的中心对称、轴对称等，教学中，引导学生用对称的观点去观察，有助于从整体上把握图形对称的结构，认识图形的性质.
例如，平行四边形的性质教学，教材给出的性质有（1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等；（3）平行四边形的对角线相互平分；（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点.性质（1）（2）（3）反映的是图形“局部”特征，静态特征，性质（4）反应的是图形的“整体”特征，“动态”特征，它“统领”其他性质，有了中心对称的思想，对边相等、对角相等、对角线相互平分就成了对称图形对应线段、对应角相等的具体体现.而且在此基础上，还可以发现更为一般的性质，经过对称中心的任意直线EF将图形分为关于“O”点对称的两个部分（如图7），对角线是其特殊情况.这样，通过旋转对称（中心对称），可以对平行四边形的性质有更深刻的认识.
对称思想在函数的学习中，同样有重要的地位和作用.研究函数的形态，往往要研究图象的形状、大小和对称性.同一函数图象，根据对称性（轴对称或旋转对称），往往会事半功倍，只要知道一半的性质，就能知道另一半的性质；而形状、大小完全相同、只有位置不同的两个函数图象，由于可通过平移、旋转等运动达到重合，因而可由一个函数的解析式确定另一个函数的解析式.
由此可见，这种运动变化的思想体现在几何教学中，不仅可以把原来静止的图形能看成运动变化的结果，而且，用对称的思想认识图形，为学习带来事半功倍的效果.
值得注意的是，教学中，教师要善于选择典型的“例子”说明旋转变换的教学意义，使学生真正认识到图形运动变换是认识图形、探索规律、解决问题的有力工具，而不是绞尽脑汁制造繁、难、偏、怪的问题，徒然增加学生的负担.
参考文献
[1]上海市教育委员会.上海市中小学数学课程标准（试行稿）[M].上海：上海教育出版社，2004.12.
[2]王敬庚.几何变换漫谈[M].长沙：湖南教育出版社长沙，2000.06.
[3]吴华，周玉霄.变易理论驱动下的动态几何“变中不变”[J].数学教育学报，2010（12）.
[4]潘勇.教学反思重在过程，贵在深刻[J].数学通报，2012（07）.
《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》明确规定了“图形的运动”的教学内容和要求.教材中“图形运动”的本质是几何变换，例如，翻折运动、旋转运动、中心对称运动和平移运动，在本质上分别是轴对称变换、旋转变换、中心对称变换和平移变换.教学要求是“在丰富实例的背景下，在观察、操作的活动中，发现和归纳图形的平移、翻转、旋转等运动各自的基本特征和它们保持图形的形状大小不变的共性，学习和总结平行线、轴对称图形、旋转对称图形的有关知识.充分利用计算机和多媒体技术，展示图形的运动和变化.初步体会图形变换的思想，初步形成动态地研究图形的意识.”[1]课改以来，这部分内容受到普遍重视，已成为中考中的热点、难点.但教学实践中，教师们普遍关注通过变换进行解题研究，且在解题教学中，存在“为变而变”、人为制造难点的倾向.忽略或淡化了蕴含在图形运动背后的数学思想，如转化思想、不变量思想、对称思想等.本文以图形旋转变换为例，阐述对这部分内容的认识和实践.
1通过图形变换，引导学生体验转化的解题思想
“转化”是几何变换一个重要思想.这里的“转化”是指将图形进行变换，实现图形位置的转化，把一般情形转化为特殊情形，使问题化难为易.它是一种以变化的、运动的观点来处理孤立的、离散问题的思想.
例如，我们常常通过三角形全等来证明线段和角相等，然而在图形中并不刚好总有合适的全等三角形，因此构造合适的全等三角形，常常成为添加辅助线的考虑目标.怎样才能构造出图1合适的全等三角形呢？我们可以用运动的观点来考虑[2].
所以，P是到三个顶点距离之和最小的点.
这个例子告诉我们，通过图形的旋转，可以帮助我们构造出合适的全等三角形.那么为什么借助图形旋转能有效求解？从教学的角度来看，这才是教学的核心和根本.所以问题解决之后，教师要善于引导学生把题目所隐含的数学内容的实质揭示出来.
本题欲证PA+PB+PC为最小值，而这三条线段位于三个不同的三角形中，一个自然的想法就是能否将这三条线段首位相接.上述方法，将“将△APC绕点C顺时针方向旋转60°”就可以将“PA”搬到“P1E”的位置，将“PC”搬到“PP1”位置.由此可见，使用图形旋转的方法，不仅实现了线段的位置转化，而且同时实现了线段的位置重组，把原本分散的条件集中到一条线段，然后运用极端原理找出问题解决的办法.
上述问题说明，在几何问题解决中，常常需要搬动图形（角、线段、三角形等），实现了线段或角的位置的转化和重组，把原本分散的条件集中到一条线段或一个三角形中，而旋转是搬动图形最常用的方法之一，特别是当图形中有等腰三角形，正三角形或正方形时，更为旋转提供了方便的条件.例如，对于等腰三角形，把一腰绕顶点旋转顶角这么大的角度，就可与另一腰重合；对于正三角形，把一边绕该边的一个端点旋转60°，就可与它的邻边重合；对于正方形，则需旋转90°.在上述这些旋转下，与被旋转的线段相连的有关图形，例如某个三角形，也跟随一起旋转，即可得到一个与之全等的三角形，可见运用旋转可以帮助我们构造出合适的全等三角形.
2通过图形变换，引导学生发现“变中不变”规律
“变中不变”是几何变换的基本思想之一，这里的“变”通常是指图形的位置有规则的发生“变”化，“不变”是指（图形）经过变换后不改变的性质和量，也称为不变量思想.“变中不变”是动态几何的精髓.
教学中，我们通常结合图形运动变换的定义和性质的教学，让学生在经历各种图形运动的过程中，理解图形的形状和大小的不变性.进而体会图形变换的基本性质，如图形旋转过程中，图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段、对应角都相等，图形的形状、大小都不发生变化.
上述证明过程不仅适用于特殊情况的证明，而且可以适用于一般情况的证明（如图5），△CEM是等腰直角三角形，揭示了规律背后的本质.
上述例子告诉我们，通过图形的运动变换，不仅可以引导学生发现“变中不变”的结论，而且可以发现“变中不变”的解题方法，进而提高学生动态思维的能力，学会用运动的观点去观察、分析、猜想、验证图形的位置关系和数量关系.让学生在经历各种图形运动的过程中，能够形成动态研究图形的意识.在教学中，教师与其寻找、编造不同花样的题目，不如深入研究例习题特征，有目的引导学生进行变式、拓展、探究，深入挖掘其中潜在的数学思想方法，揭示其内在的本质和规律.
3通过图形变换，引导学生用运动的观点认识图形的对称性
对称是一种重要的数学思想方法.“对称”狭义理解通常指图形或物体对某个点、直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应关系.自然界中有许许多多的事物都具有绚丽多彩的对称性，它是自然美的直接展示.在几何图形中，大量几何图形也都有鲜明的对称性，如轴自对称图形、中心自对称图形、旋转自对称图形等，同样给人以美的直观的享受.而作为一种数学思想，“对称”的内涵要丰富得多.在几何“识图”中，知道图形“一半”的性质，就能知道图形“另一半”的性质.在数学解题中，平等的条件及元素在思考过程中应当平等对待，并且由此及彼，已知条件中“对称”的元素在结果的表达式中也应当对称.也即数学对称常常给我们带来事半功倍的愉悦，事半功倍才是数学上对称美的本质[4].
对称思想在数学里运用非常广泛.在初中几何学习中，我们常常会遇到一些对称问题，如几何里的中心对称、轴对称等，教学中，引导学生用对称的观点去观察，有助于从整体上把握图形对称的结构，认识图形的性质.
例如，平行四边形的性质教学，教材给出的性质有（1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等；（3）平行四边形的对角线相互平分；（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点.性质（1）（2）（3）反映的是图形“局部”特征，静态特征，性质（4）反应的是图形的“整体”特征，“动态”特征，它“统领”其他性质，有了中心对称的思想，对边相等、对角相等、对角线相互平分就成了对称图形对应线段、对应角相等的具体体现.而且在此基础上，还可以发现更为一般的性质，经过对称中心的任意直线EF将图形分为关于“O”点对称的两个部分（如图7），对角线是其特殊情况.这样，通过旋转对称（中心对称），可以对平行四边形的性质有更深刻的认识.
对称思想在函数的学习中，同样有重要的地位和作用.研究函数的形态，往往要研究图象的形状、大小和对称性.同一函数图象，根据对称性（轴对称或旋转对称），往往会事半功倍，只要知道一半的性质，就能知道另一半的性质；而形状、大小完全相同、只有位置不同的两个函数图象，由于可通过平移、旋转等运动达到重合，因而可由一个函数的解析式确定另一个函数的解析式.
由此可见，这种运动变化的思想体现在几何教学中，不仅可以把原来静止的图形能看成运动变化的结果，而且，用对称的思想认识图形，为学习带来事半功倍的效果.
值得注意的是，教学中，教师要善于选择典型的“例子”说明旋转变换的教学意义，使学生真正认识到图形运动变换是认识图形、探索规律、解决问题的有力工具，而不是绞尽脑汁制造繁、难、偏、怪的问题，徒然增加学生的负担.
参考文献
[1]上海市教育委员会.上海市中小学数学课程标准（试行稿）[M].上海：上海教育出版社，2004.12.
[2]王敬庚.几何变换漫谈[M].长沙：湖南教育出版社长沙，2000.06.
[3]吴华，周玉霄.变易理论驱动下的动态几何“变中不变”[J].数学教育学报，2010（12）.
[4]潘勇.教学反思重在过程，贵在深刻[J].数学通报，2012（07）.
《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》明确规定了“图形的运动”的教学内容和要求.教材中“图形运动”的本质是几何变换，例如，翻折运动、旋转运动、中心对称运动和平移运动，在本质上分别是轴对称变换、旋转变换、中心对称变换和平移变换.教学要求是“在丰富实例的背景下，在观察、操作的活动中，发现和归纳图形的平移、翻转、旋转等运动各自的基本特征和它们保持图形的形状大小不变的共性，学习和总结平行线、轴对称图形、旋转对称图形的有关知识.充分利用计算机和多媒体技术，展示图形的运动和变化.初步体会图形变换的思想，初步形成动态地研究图形的意识.”[1]课改以来，这部分内容受到普遍重视，已成为中考中的热点、难点.但教学实践中，教师们普遍关注通过变换进行解题研究，且在解题教学中，存在“为变而变”、人为制造难点的倾向.忽略或淡化了蕴含在图形运动背后的数学思想，如转化思想、不变量思想、对称思想等.本文以图形旋转变换为例，阐述对这部分内容的认识和实践.
1通过图形变换，引导学生体验转化的解题思想
“转化”是几何变换一个重要思想.这里的“转化”是指将图形进行变换，实现图形位置的转化，把一般情形转化为特殊情形，使问题化难为易.它是一种以变化的、运动的观点来处理孤立的、离散问题的思想.
例如，我们常常通过三角形全等来证明线段和角相等，然而在图形中并不刚好总有合适的全等三角形，因此构造合适的全等三角形，常常成为添加辅助线的考虑目标.怎样才能构造出图1合适的全等三角形呢？我们可以用运动的观点来考虑[2].
所以，P是到三个顶点距离之和最小的点.
这个例子告诉我们，通过图形的旋转，可以帮助我们构造出合适的全等三角形.那么为什么借助图形旋转能有效求解？从教学的角度来看，这才是教学的核心和根本.所以问题解决之后，教师要善于引导学生把题目所隐含的数学内容的实质揭示出来.
本题欲证PA+PB+PC为最小值，而这三条线段位于三个不同的三角形中，一个自然的想法就是能否将这三条线段首位相接.上述方法，将“将△APC绕点C顺时针方向旋转60°”就可以将“PA”搬到“P1E”的位置，将“PC”搬到“PP1”位置.由此可见，使用图形旋转的方法，不仅实现了线段的位置转化，而且同时实现了线段的位置重组，把原本分散的条件集中到一条线段，然后运用极端原理找出问题解决的办法.
上述问题说明，在几何问题解决中，常常需要搬动图形（角、线段、三角形等），实现了线段或角的位置的转化和重组，把原本分散的条件集中到一条线段或一个三角形中，而旋转是搬动图形最常用的方法之一，特别是当图形中有等腰三角形，正三角形或正方形时，更为旋转提供了方便的条件.例如，对于等腰三角形，把一腰绕顶点旋转顶角这么大的角度，就可与另一腰重合；对于正三角形，把一边绕该边的一个端点旋转60°，就可与它的邻边重合；对于正方形，则需旋转90°.在上述这些旋转下，与被旋转的线段相连的有关图形，例如某个三角形，也跟随一起旋转，即可得到一个与之全等的三角形，可见运用旋转可以帮助我们构造出合适的全等三角形.
2通过图形变换，引导学生发现“变中不变”规律
“变中不变”是几何变换的基本思想之一，这里的“变”通常是指图形的位置有规则的发生“变”化，“不变”是指（图形）经过变换后不改变的性质和量，也称为不变量思想.“变中不变”是动态几何的精髓.
教学中，我们通常结合图形运动变换的定义和性质的教学，让学生在经历各种图形运动的过程中，理解图形的形状和大小的不变性.进而体会图形变换的基本性质，如图形旋转过程中，图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段、对应角都相等，图形的形状、大小都不发生变化.
上述证明过程不仅适用于特殊情况的证明，而且可以适用于一般情况的证明（如图5），△CEM是等腰直角三角形，揭示了规律背后的本质.
上述例子告诉我们，通过图形的运动变换，不仅可以引导学生发现“变中不变”的结论，而且可以发现“变中不变”的解题方法，进而提高学生动态思维的能力，学会用运动的观点去观察、分析、猜想、验证图形的位置关系和数量关系.让学生在经历各种图形运动的过程中，能够形成动态研究图形的意识.在教学中，教师与其寻找、编造不同花样的题目，不如深入研究例习题特征，有目的引导学生进行变式、拓展、探究，深入挖掘其中潜在的数学思想方法，揭示其内在的本质和规律.
3通过图形变换，引导学生用运动的观点认识图形的对称性
对称是一种重要的数学思想方法.“对称”狭义理解通常指图形或物体对某个点、直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应关系.自然界中有许许多多的事物都具有绚丽多彩的对称性，它是自然美的直接展示.在几何图形中，大量几何图形也都有鲜明的对称性，如轴自对称图形、中心自对称图形、旋转自对称图形等，同样给人以美的直观的享受.而作为一种数学思想，“对称”的内涵要丰富得多.在几何“识图”中，知道图形“一半”的性质，就能知道图形“另一半”的性质.在数学解题中，平等的条件及元素在思考过程中应当平等对待，并且由此及彼，已知条件中“对称”的元素在结果的表达式中也应当对称.也即数学对称常常给我们带来事半功倍的愉悦，事半功倍才是数学上对称美的本质[4].
对称思想在数学里运用非常广泛.在初中几何学习中，我们常常会遇到一些对称问题，如几何里的中心对称、轴对称等，教学中，引导学生用对称的观点去观察，有助于从整体上把握图形对称的结构，认识图形的性质.
例如，平行四边形的性质教学，教材给出的性质有（1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等；（3）平行四边形的对角线相互平分；（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点.性质（1）（2）（3）反映的是图形“局部”特征，静态特征，性质（4）反应的是图形的“整体”特征，“动态”特征，它“统领”其他性质，有了中心对称的思想，对边相等、对角相等、对角线相互平分就成了对称图形对应线段、对应角相等的具体体现.而且在此基础上，还可以发现更为一般的性质，经过对称中心的任意直线EF将图形分为关于“O”点对称的两个部分（如图7），对角线是其特殊情况.这样，通过旋转对称（中心对称），可以对平行四边形的性质有更深刻的认识.
对称思想在函数的学习中，同样有重要的地位和作用.研究函数的形态，往往要研究图象的形状、大小和对称性.同一函数图象，根据对称性（轴对称或旋转对称），往往会事半功倍，只要知道一半的性质，就能知道另一半的性质；而形状、大小完全相同、只有位置不同的两个函数图象，由于可通过平移、旋转等运动达到重合，因而可由一个函数的解析式确定另一个函数的解析式.
由此可见，这种运动变化的思想体现在几何教学中，不仅可以把原来静止的图形能看成运动变化的结果，而且，用对称的思想认识图形，为学习带来事半功倍的效果.
值得注意的是，教学中，教师要善于选择典型的“例子”说明旋转变换的教学意义，使学生真正认识到图形运动变换是认识图形、探索规律、解决问题的有力工具，而不是绞尽脑汁制造繁、难、偏、怪的问题，徒然增加学生的负担.
参考文献
[1]上海市教育委员会.上海市中小学数学课程标准（试行稿）[M].上海：上海教育出版社，2004.12.
[2]王敬庚.几何变换漫谈[M].长沙：湖南教育出版社长沙，2000.06.
[3]吴华，周玉霄.变易理论驱动下的动态几何“变中不变”[J].数学教育学报，2010（12）.
变换思想 篇4
拉普拉斯变换法是一种间接求解的数学思想, 在数学中利用这种数学思想解决实际问题的实例有很多[1]。掌握这种数学思想有利于灵活的解决工程中复杂问题。
1.1解方程:x1.85=3
分析:由于方程中的幂指数不是整数, 直接计算比较麻烦。可以通过某种变换将其简化, 对方程两边取对数得:
通过以上分析可以看出拉普拉斯变换法通过一定的变换方式将原来比较复杂的问题简化为容易解决的问题, 这种变换思想在电路分析中也多有体现, 因此, 熟练掌握拉普拉斯变换法对于分析复杂的动态网络具有重要意义。
2拉普拉斯变换
求函数的拉普拉斯变换的方法比较多, 总结起来有:
(2) 利用已知函数的拉普拉斯变换方法及拉普拉斯性质求解。
(3) 查表法。
求解拉普拉斯变换方程显然比求解高阶微分方程方便得多, 并且方法灵活, 根据基本的拉普拉斯变换对结合拉普拉斯性质和欧拉公式可以很方便地求解复杂问题。
3拉普拉斯变换的应用
利用拉普拉斯变换将电路各元件s域模型化后, 可以把电路的叠加定理、电源变换、戴维宁定理、诺顿定理等都可以应用到s域中, 将大大方便对电路的分析, 同时利用拉普拉斯变换法分析网络传输函数, 对分析电路结构有重要意义。拉普拉斯变换S=σ+jw可以对电路频率响应进行分析, 与傅里叶变换相比, 拉普拉斯变换条件更弱, 适用性更广。拉普拉斯的主要应用总结为下列几种:
3.1网络传输函数
拉普拉斯变换在电路分析上的另一个重要应用是求解网络传递函数。网络函数是一个一个非常重要的概念:
(1) 一旦知道了电路的传输函数在任何输入条件下都很容易求出相应的输出。
(2) 传输函数的表达形式包含很多信息, 它们反应的是我们想要了解的电路 (或系统) 的行为。
图1为网络的传递函数变换到s域
求出其传递函数:
根据网络函数可以对不同输入情况下的输出进行方便求解。在信号分析中拉普拉斯变换应用更显示出其优越性, 根据拉普拉斯变换可以得到零状态响应与零输入响应之和, 而借助网络函数求解零状态响应对网络信号分析更加方便、实用。
3.2利用拉普拉斯变换求解频率特性
进而可得幅频特性:
4拉普拉斯变换及其数学思想的优点和推广
4.1拉普拉斯变换法优点[2]
4.1.1拉氏变换将高阶线性常微分方程变换为容易处理的线性多项式方程。
4.1.2拉氏变换将电压电流的初始条件自动引入到多项式中在变换过程中初始条件的处理变成变换的一部分。
4.1.3可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。
4.1.4方便分析网络幅频特性, 且拉普拉斯变换比傅里叶适用性更广。
4.2数学思想的推广
拉普拉斯变换法的数学思想是化繁为简、曲线求解的思想, 无论是再电路分析中还是在其他工程上都广泛应用。
5结语
拉普拉斯变换在电路分析中大大简化了繁琐的计算过程, 在引进电路分析方法时更要注重其数学思想的应用, 本文侧重分析了拉普拉斯变换的应用以及对其数学思想的阐述, 熟练掌握拉普拉斯变换分析方法对复杂电路分析具有重要意义, 同时要注意变换法的思想推广, 也是本文给出一种灵活解决工程中的实际问题的新思路。
摘要：拉普拉斯变换在数学、物理以及工程技术中有着广泛的应用, 尤其在研究电路中是一个常用的工具。本文主要探讨拉普拉斯的数学思想到拉普拉斯变换在电路分析中的实际应用, 阐述了拉普拉斯变换在电路分析中的重要意义。
关键词：拉普拉斯变换,数学思想,电路分析
参考文献
句式变换整编 篇5
(2013年天津)24.阅读《春暖花开》歌词片段，按要求作答。（５分）
春暖花开，这是我的世界。
每次怒放，都是心中喷发的爱。
风儿吹来，是我和天空的对白。
其实幸福，一直与我们同在。
春暖花开，这是我的世界。
生命如水，有时平静，有时澎湃。
穿越阴霾，一直与我们同在。
（１）将“风儿吹来，是我和天空的对白”这句话扩写为一段散文，限６０字内。（３分）
答：______________________________________________________________________________________（２）仿照“生命如水，有时平静，有时澎湃,写一句歌词，注意押韵。（２分）
答：______________________________________________________________________________________（2013年大纲卷广西卷）19．把下面这个长句改写成几个较短的句子，可以改变语序、增删词语，但不得改变原意。（4分）
教练在赛后分析会上对我在比赛中的表现进行的深入剖析，使我对自己在这次比赛中由于骄傲自大、轻视对手导致的严重失误有了更进一步的认识，并作出了坚决改正错误，争取在下一次比赛中取得好成绩的保证。
答：______________________________________________________________________________________
20．仿照下面的示例，自选话题，；另写一句话，要求使用比喻的修辞手法，局式与示例相同。（6分）
平和犹如绿叶，春天衬万紫千红却无妒意，秋天托累累硕果而不张扬。
答：______________________________________________________________________________________（2013年辽宁卷）17.仿照下面的示例，自选话题，另写三个句子，要求修辞手法、句式与示例相同。（6分）
小草伸出稚嫩的纤手，向你描绘原野的新绿；
树叶掬起温润的阳光，向你展示森林的生机；
溪流吟唱欢快的歌曲，向你诉说春天的故事。
答：______________________________________________________________________________________（2013山东卷）17.以下是某中学庆祝教师节文艺演出的一段主持词。仿照画线部分的句式，在空缺处补写相应的语句。要求：句式一致，字数相等，语意相关。（4分）学生甲：老师，您坚守一方净土，用粉笔书写忠诚，默默无闻；
学生乙：老师，您耕耘三尺讲台，①； 学生甲：加减乘除，算不尽您付出的辛劳；
学生乙：②。
18.对下面这段文字提供的信息进行筛选、整合，给“创造”下定义，不超过30字。（4分）
作为人的一种活动，创造包括思维活动和行为活动。创造一定要获得成果。形形色色的创造成果可以分为两种类型：一类是精神性的，即新的认识；另一类是物质性的，即新的事物。这些创造成果不管以何种形式表现出来，都必须具备“首次获得”这个必要条件。
答：______________________________________________________________________________________(2013年浙江卷)7．请参照示例，用比喻的手法描述一组事物，要求合乎事理，句式和结构与示例相似，不得以“青天”“月亮”“芭蕉叶”“露珠”作为描述对象。（5分）
青天，是一片芭蕉叶。
月亮是一滴露珠。
手指，轻轻一点，它就落了。
答：______________________________________________________________________________________（2013年重庆卷）20.依照下面的示例，自选两种自然风景，另写两句话。要求：运用拟人手法，句式与例句相同。
例句：身后的那片鲜花，可能是听了小草讲的笑话，乐得裂开了嘴，嬉闹在明媚的阳光里。
答：______________________________________________________________________________________(2009年高考海南·宁夏卷)仿照下面的示例，自拟一个描写对象，写一组句子，要求所写句子使用夸张、比喻和拟人的修辞手法。(6分)
这满山遍野的桃花，开得热火朝天，惊天动地，是一幅立体的画，一首无声的诗，把青春挥洒得淋漓尽致。答：_____________________________________________________________________________
(2009年重庆卷)用“帕格尼尼”作为首句的开头，将下列长句改成由4个短句组成的句子。要求：保持原意，语句通顺，语意连贯，可适当增减个别词语。
世界级小提琴家帕格尼尼是一位从上帝那里同时接受天赋与苦难两项馈赠而又善于用苦难的琴弦把天赋演绎到极致的奇人。
答：______________________________________________________________________________________(2009年福建高三(下)第一次质检)古人常以花草树木来比喻人的美好品质，请仿照“君当如兰，幽谷长风，宁静致远”句式，以竹、菊或梅为喻体，写一句话。
答：______________________________________________________________________________________(2009～2010学年厦门市适应性考试)著名的“乡愁诗人”余光中先生祖籍泉州永春，21岁时离开大陆到了台湾，64岁才得以回乡探亲。少小离家老大回，诗人百感交集，吟诵了一副对联以寄心声。请根据上联，对出下联。
上联：掉头一去风吹黑发
下联：___________________________________________________
(2010年全国名校大联考第四次联考)运用排比和比喻修辞扩写下面一段文字，使之句式整齐，富有文采，且有韵律感，不少于50字。
一张张落叶，轻轻悠悠地飘向原野、大道，也飘在人们的身上。
答：_____________________________________________________
(2009年全国重点名校模拟)一种意思，可以形象表达，也可以抽象表达，不同的表达有不同的效果。请仿照示例，根据要求，在下列横线处填写出相应内容。
示例：形象表达：快刀斩乱麻
抽象表达：做事果断
(1)形象表达：__________________________抽象表达：大度宽容
(2)形象表达：眉毛胡子一把抓抽象表达：_________________________________
(3)形象表达：__________________________抽象表达：事物彼此毫不相干
(2009年福建省高考自主命题模拟)汉字中有不少会意字，今人也可结合个人的感悟进行新的理解，有的还不止一种理解。请仿照示例，对下列两个会意字进行重新“会意”，每个字写出两种不同的理解。选：①走在前面的人，更有选择的余地。②被挑选出来的人，应该是事事走在别人前面的人。
舒：_____________________________________________________
劣：_____________________________________________________
(2008～2009学厦门外国语学校适应卷)请根据上下文意，仿照画线的语句，给空缺处补上适当的句子。
一位作家遇到一位房地产商人，房地产商人问他从事什么工作，作家回答说：“我其实跟你是同行，只不过你为人们的身体建造遮风挡雨的房子，我为人们的心灵搭建憩息休整的空间。”
变换思想 篇6
Virtools是法国达索公司推出的一款三维虚拟现实开发软件,已经被广泛地应用到了游戏开发、工业仿真和虚拟教学培训等领域。目前市场上进行虚拟现实开发的软件平台有许多种,如Unity3D等,这些软件平台需要开发者有很好的软件编程语言基础,如C#、Java等,而Virtools与其他开发软件平台最大的不同之处在于,Virtools不需要使用者编写代码,而是按照一定的逻辑关系,将一些具有特性功能的Building Blocks (简称BB),采用拖放的方式,放置到特定对象(Object)或者角色(Character)的脚本(Script)编辑区域,并用连线将这些BB按照一定的动作逻辑关系连接起来,从而形成一个完整的虚拟交互功能。当开发的项目需要更加复杂的功能,而BB实现过于繁杂时,Virtools提供了VSL脚本语言和SDK开发包。通过结合BB,VSL脚本语言和SDK开发包,可以更方便和出色地完成项目的工作。基于以上的优点,Virtools在理论教学和实践教学中得到了广泛的应用。
2 Virtools在教学中的应用现状
Virtools虚拟现实平台因其开发的便利性而在高校的虚拟实践教学中得到了广泛的应用。钱琨等[1]基于Virtools构建了虚拟的数字设备与装备,用于完成技能鉴定、考核和联系的需要;岳青松等[2]基于Virtools开发了水电机组的虚拟拆装操作系统用于培训检修人员的专业技能;王盼盼[3]基于Virtools开发了虚拟测绘系统用于教学实践中。戚晓利等[4]基于V irtools开发了辊式破碎机虚拟实验教学平台;陈浩[5]等基于Virtools开发了机械装备的虚拟拆卸平台用于生产培训。在类似这些项目中,常常需要通过电脑的鼠标来操控虚拟现实作品中的物体,鼠标光标在二维屏幕平面上移动,而物体处在三维坐标系表示的虚拟空间中,要实现二维的鼠标移动来拖拽三维空间物体运动。而在Virtools平台中,没有现成BB可用,要实现鼠标点选操作虚拟三维空间物体移动的功能,要采用Virtools的编程语言VSL写程序代码,在程序的开发过程中需要运用透视变换和逆透视变换技术。
3 透视变换和逆透视变换
透视变换的原理就是通过一系列的转换,将虚拟三维空间中的物体,形成一个二维的画面显示在屏幕上。通过人从窗口看屋外风景的例子来描述其透视变换过程为:假设处在房间内的某人通过窗户上的玻璃来观察外面的风景如图1所示。如果将玻璃作为计算机屏幕,来临摹窗外所看到的景物,可以得到如图2所示的窗户上的临摹图和窗外实际风景图的对比,通过图2可知,窗户外边是现实的三维世界,而窗户玻璃上是平面图形。三维世界的物体就这样被映射到了二维的画面上。通过程序来实现这样的功能,称为透视变换。
在虚拟现实中实现透视变换,窗外的风景相当于虚拟现实场景中的3D模型,观察人的位置相当于虚拟三维世界中摄像机的位置,而窗户相当于屏幕。通过三点共线原理(如图3所示),使得虚拟三维世界中的物体与摄像机之间的连线与屏幕之间的交点,就可以得出三维空间的物体在二维屏幕上的位置。
逆透视变换是透视变换的逆过程,就是将屏幕上二维鼠标的运动转换到虚拟三维世界中物体的运动。在程序中实现的基本过程是,先得到鼠标单击点出的屏幕坐标,通过摄像机和鼠标点击处形成一条射入虚拟场景中的射线,如果该射线与虚拟场景中的3D物体相交,则获取该物体的信息,包括物体的名称、交点的位置、方向及交点与摄像机之间的距离。这样就实现了通过屏幕上二维鼠标确定虚拟现实场景中三维物体的方法。
4 Virtools中的实现
在Virtools中有两种透视变换方法,分别是“透视投影”和“平行投影”。透视投影中离摄像机越远的物体投影到屏幕上后越小,距离摄像机越近的物体投影到屏幕后就越大,这很符合人类眼睛看世界的规律;而平行投影是把三维场景投影成一张平面地图,没有远近大小之分。绝大多数虚拟现实项目采用的是透视投影。
在Virtools中,实现透视变换和逆透视变换,并能够通过鼠标控制零件移动所涉及的程序指令为:GetInputManagerGuid (),它的作用是得到输入设备的全局唯一标识符,将该标示符作为输入参数传给函数bc.GetMangerByGuid ()就可以得到输入设备iM标示的输入设备。函数iM.GetMousePosition (pos2D,FALSE)中的第一个参数可以得到鼠标的位置,但是这个位置的值由第二个参数设置,如果为true,则鼠标的(0,0)是显示器的左上角的(0,0)位置;如果为false则鼠标的(0,0)位置是当前程序窗口的(0,0)位置。ScreenToViewpoint这个函数的功能是根据2D的屏幕坐标求一个3D的坐标,这种用法一般用在一些3D物体固定在摄影机前的位置,跟随摄影机一起移动,该算法是以摄影机为起点,以鼠标制定的场景中某一点求一条射线。
rcx.ScreenToViewpoint (pos2D,pos3D,FALSE)就是把屏幕的2D位置转换成3D位置的函数,第一参数使输入一个要转换的2D位置,比如鼠标的位置;第二个参数使一个Vector变量,当函数调用成功后,转换的结果存储在这个变量中;第三个变量为bool型,当其为true时,表示第一个参数的鼠标位置是以桌面左上角的(0,0)为原点的坐标位置;当其为false时,表示第一个参数的鼠标位置是以应用程序窗口左上角的(0,0)为原点的鼠标位置。
根据屏幕的2D位置得到3D位置,反过来也可以通过场景中的3D位置得到屏幕坐标,方法就是调用函数Transform即可。
参考文献
[1]钱琨,谭耀洲,陈文红.基于Virtools软件构建的职业技能鉴定模拟考试与训练系统[J].科技创业月刊,2016(3).
[2]岳青松,叶建波,谢红彪,等.水电机组虚拟检修培训系统软件平台开发[J].水电与新能源,2016(1):7-11.
[3]王盼盼.基于Virtools的虚拟测绘系统的设计[J].实验技术与管理,2015,32(3):148-151.
[4]戚晓利,许健,潘紫微.基于Virtools的虚拟实验教学研究[J].中国信息技术教育,2015(18):72-75.
变换思想 篇7
FFT被提出后在工程背景当中起着巨大的作用。20世纪以来随着计算机技术的迅猛发展进而对DFT和FFT产生了深刻的影响, 进而使得FFT在通信领域应用更加广泛。虽然分数FFT的定义及数学理论很早就被提出, 并且逐渐完善, 但是它在通信领域的应用却迟迟到来。究其因有两方面:一方面是分数FFT的现实应用还清楚, 分数域的量纲含义不清晰;另一方面是没有出现像FFT这样易于快速算法。但是随着分数FFT在信号通信领域的研究逐渐深入, 近年来将其与通信结合的研究逐渐兴起。
1.图像矩阵的线性变换
正交变换和酉变换都是线性变换, DFT、DCT等都是变换核矩阵的不同特列。为了讨论二维傅里叶变换, 下面先给出变换的一般表达式, 然后讨论傅里叶变换。
1.1标量表达式
图像[f (m, n) ]M×N线性变换的标量表达式为:
图像线性反变换的标量表达式为:
其中:k, m, l, n=0, 1, 2, …N-1;=0, 1, …N-1, g和h分别称为正变换核和反变换核, 不同的线性变换其变换核也不同, 变换核集中反映了变换的性质。
1.2矢量表示
为了便于书写, 把线性变换表示为:
其中:G称为变换矩阵, , f是行向量或是列向量。当f是行向量时, 标量对应的关系式为:
其中:k, m, l, n=0, 1, 2, …N-1
1.3矩阵表示
如果变换核是可分的, 即:
则上式可以改写为:
1.4基平面
如果变换是可你的, 则有:
如果A和B分别用矢量表示出来, (7) 可以改写为:
把矩阵αiβj′称为一个基平面, F (i, j) 是f在平面上的坐标。
当图像的尺寸确定后。傅里叶变换的中基图像也就确定了, 以上是探讨图像变换的一般表达式, 下面探讨二维傅里叶变换的表达式。
2.傅里叶变换技术
是非常重要的数学工具, 它在工程领域到广泛的应用。在数字图像分析中, 二维傅里叶变换技术同样有着非常重要的作用。数字图像是一个空间域上的二维函数, 同时包含周期性成分、非周期性成分、噪声及背景。因为在空间领域中, 各种成分往往紧密交织在一起, 所以有时在空间领域上分离和处理这些成分是很困难, 有时是不可能实现。因此利用FFT技术可以将空间领域的图像转变为复频域的函数, 然后根据图像灰度特征的变化寻找反映空间领域中具有周期特征的点。
已知, 信号f (x) 的经典傅里叶变换形式如下:
如果信号f (x) 是实函数, 则变换后就变为复函数, 即:
这里, R (ω) 为F (ω) 的实部, I (ω) 为F (ω) 的虚部。
或将其表示为指数形式:
把 (12) 式进行推广, 使其维数扩展到二维, 就能得到:
而在实际的图像处理操作时, 应用到的往往都是傅里叶变换的离散形式。
下面, 给出经典傅里叶变换的一维离散表达形式:
将其维数推广到二维, 得到:
其中:k1=0, 1, 2…M-1;k2=0, 1, 2…N-1
其中:n1=0, 1, 2…M-1;n2=0, 1, 2…N-1
在对二维离散傅里叶变换进行运算时, 可将其转变为一维DFT的形式求解, 即先按行进行一维傅氏变换, 然后再按列进行一维FT。而在变换时, 如果人工计算其计算量可想而知, 因此人们开发了FFT, FT的结果得以图像的形式表现出来。
3.图像在傅里叶变换域的幅度和相位信息
对于人眼而言, 对相位变化比幅值信息变化更为直观, 然而相位信息比幅值信息更加重要, 而且相位信息在传输过程中容易受到影响, 相位的变化实质上反映图像的频率大小变化。下面我们一个离散矩形函数并做出其DFT的幅度对数图和相位图。在计算离散函数的DFT时, 可以对该函数进行补零来提高高高分分分辨辨辨率率率如如如图图图333所所所示示示。。。
4.实验结果及分析
在图像处理的广泛领域中, FT起着相当重要的作用, 包括图像的效果增强、图像分析、图像复原和图像压缩等。在图像数据的数字处理中常用的是二维FFT, 它能把空间领域的图像转变到复频域上进行研究, 从而能容易地对图像的各空间频域成分进行计算处理。在这里图像分析中的图像定位做本篇文章的实验结论, 首先用户期望在图像text.png中找到字母“a”, 如图5所示, 可以应用下面的办法来定位:将包含字母“a”的图像与图像text.png进行“与”运算, 也就是对包含字母“a”的图像和图像text.png进行FT, 同时利用快速卷积的办法, 处理字母“a”和图像text.png的卷积, 提取卷积运算的峰值, 即得到在图像text.png中对应字母“a”的结果。其次所谓将模板“a”和图像text.png进行相应运算, 就是先分别对其作FFT, 然后利用快速卷积的方法, 计算模板和图像text.png的卷积, 如图7所示, 并提取卷积运算的最大值, 即图8的白色亮点, 即得到图像text.png中字母“a”的定位结果。
参考文献
[1]张德丰等著.MATLAB数字图像处理[M].机械工业出版社, 2012.3第2版
[2]丁玉美、高西全编著.数字信号处理[M]西电出版社, 2005.5第二版
[3]孟凡文, 吴禄慎.基于FTP的二维傅里叶变换的研究[J], 激光与红外, 2008.9第9期
[4]田瑞卿, 基于分数傅里叶变换的图像数字水印[D], 北京化工大学硕士论文, 2006.6
[5]孔令军编著.MATLAB小波分析超级学习手册[M], 人民邮电出版社, 2014.5
变换思想 篇8
关键词：Walsh变换,DCT变换,峰值信噪比,Matlab
随着成像技术、计算机技术和信息技术的发展以及离散数学理论的不断完善, 使得图像处理技术得到了迅速发展。图像变换是图像处理的基础, 也是图像压缩编码中的关键环节, 其发展同样受到广泛关注。基于各种数学函数变换的图像变换技术有多种多样, 如傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换等, 这些变换的复杂程度和效果也不一样。文中将对Walsh和DCT两种变换原理进行简要分析, 并通过实验对比两种变换, 得出Walsh变换性能不亚于DCT变换, 它有着广泛的应用前景。
1 Walsh函数及其变换
沃尔什 (Walsh) 函数[1]是一个完备正交函数系, 其值只取+1和-1。沃尔什函数有三种不同的编号形式, 分别是Walsh编号、Paley编号和Hadamard编号, 并且定义的表达形式也有多种, 文中统一采用Rademacher 函数表达形式。由于这三种编号的沃尔什函数可以按照一定的关系相互转换, 所以, 本文仅将分析Walsh编号的沃尔什函数及其正交变换。
1.1 Walsh 函数
数学家Walsh将不完备的Rademacher 函数加以完备化, 形成了一组完备的正交矩形函数, 称为Walsh 函数。在归一化时, 即函数在正交区间[0, 1]内定义为:
undefined
式中:n=0, 1, 2, …, p是n的二进制编码位数, 指数gm则是n的格雷码 (Gray码) 的第m位数值。如n=6就叫第6号Walsh函数, 二进制为110, p就等于3。Walsh编号的Walsh函数指数形式为:
undefined
由式 (2) 所定义的函数是+1 或-1的连乘积, 其图形如图1所示。
从图1所示Walsh函数的前8个波形可以看出, 每一个波形的正负变更次数 (即过零点的次数) 正好为n。类似正弦信号中频率的概念, 定义过零点数的一半为列率。若n为奇数, 则定义等于 (n-1) /2。若将[0, 1) 区间分为N等分 (N=2p) , 然后在各个区间对波形取样, 便可得到一个离散函数值矩阵。对比图1按8等分区间取样结果的8×8矩阵为:
undefined
式中:记号Wal8表示8次取样的离散Walsh函数;参数T表示取样序号, 自左向右依次为0次, 1次, 2次, …, 第7次。连续Walsh 函数表达式wal (n, t) 与离散表达式WalN (n, T) 的参数有所不同, t是小于1 的时间参数, 其二进制表示也为小数, 位序号自左向右排;T是大于1 的整数, 其二进制表示位序号应自右向左排。离散Walsh函数的指数表达式为:
undefined
1.2 Walsh变换
离散Walsh 编号的函数定义由式 (4) 给出。Walsh 矩阵有如下性质 (为书写简便起见, 记为WalN (n, T) WN, N=2p) :对称性;正交性;与其逆矩阵成正比例。在这些性质的基础上, N维向量XT= (x1, x2, …, xN) 的Walsh变换为:
undefined
逆变换为:
undefined
二维空间的矩阵变换为:
undefined
逆变换为:
undefined
式中:X为数据矩阵;Y为变换后矩阵, 其运算只有加减法。例:对于均匀分布的二维图像信号:
undefined
做Walsh变换, 可得:
undefined
从上述来看, Walsh变换计算比较简单, 只涉及到加减运算, 电路实现起来比较容易。
2 DCT函数及其变换
离散余弦变换 (Discrete Cosine Tranform, DCT) [2,3]是一种与傅里叶变换[4]紧密相关的数学运算。在傅里叶级数展开式中, 如果被展开的函数式是偶函数, 那么其傅立叶级数中只包含余弦项, 再将其离散化可导出余弦变换。离散余弦变换是一种实数域变换。
2.1 DCT函数定义
如果以{X (m) }表示N 个有限的实值或复值信号序列的集合, m = 0, 1, 2, …, N -1, 则离散或有限傅里叶变换为:
undefined
式中:当k=0时, Y (0) 为实数, 表达式保留不变;当k为其他值时, 为了实现实数域运算, 需对式 (9) 做如下修改:
undefined
因为信号序列是中心对称的, X (i) =X (-i) , 并且sin (-a ) = -sin a, 可知式 (10) 指数展开并相加之后, 所有sin a项都抵消, 式 (10) 变为:
undefined
这就是离散余弦变换的变换关系。
2.2 DCT变换
用矩阵形式表示变换关系比较方便, 为此, 将式 (11) 展开:
undefined
上式中:等号左边可以写成Y的矢量, 右边可以写成X的矢量乘积, 即:
undefined
undefined
可以验证矩阵式 (12) 具有归一化正交持性, 因此, 其逆变换关系为:
undefined
从上面分析可知, DCT变换计算较为复杂, 涉及到加减乘除运算, 它对硬件的要求要比Walsh变换的要高, 其运算速度也要比Walsh变换的慢。经过DCT变换后的矩阵, 其非零元素主要集中于某一个区域, 通常是左上角, 而右下角大部分是零, 利用这一特点就可以实现图像压缩。在实际传输时, 可以仅取代表低频成份的左上角, 对其进行量化编码, 由于大多数图像的高频分量都较小, 相应于图像高频分量的系数经常为零, 加上人眼对高频成分的失真不太敏感, 所以, 右下角的高频成分可以去掉或少传, 反变换时, 把去掉部分填零处理, 这样就可达到图像压缩的目的。
3 PSNR质量评估
图像在经过压缩处理之后, 复原的图像都会在某种程度上与原始图像不一样。图像算法虽能确定图像的最优嵌入能量, 但给不出一个最佳量化的指标[5]。为了衡量经过处理后的图像质量, 通常会参考峰值信噪比即 (Peak Signal to Noise Ratio, PSNR) 值来确定某个处理方法是否令人满意。PSNR是一种评价图像质量的客观指标, 它代表峰值信号与噪声的比值, 单位为dB。PSNR值越大, 失真就越小。PSNR定义为:
undefined
式中:undefined分别表示原图像和变化后的图像。
4 图像量化及压缩编码
4.1 图像量化
经过取样的图像, 只是在空间上被离散为像素 (样本) 的阵列, 而每一个样本灰度值还是一个有无穷多个取值的连续变化量, 必须将其转化为有限个离散值赋于不同码字才能真正成为数字图像, 再由计算机或其他数字设备进行处理运算, 这样的转化过程称其为量化。将样本连续灰度值等间隔分级量化的方式称为均匀量化, 不等间隔分级量化方式称为非均匀量化[6]。量化是以有限个离散值来近似表示无限多个连续量, 因此量化会产生误差。对均匀量化来讲, 量化级数越多, 量化误差就越小, 但编码时占用比特数就越多。在一定比特数下, 为了减少量化误差, 往往需要采用非均匀量化, 如按图像灰度值出现的概率大小进行非均匀量化, 灰度值出现概率大的区域细量化, 反之进行粗量化。
4.2 图像压缩编码
在满足一定图像质量要求的前提下, 能获得减少数据量的编码称为压缩编码。数据压缩技术有多种不同的分类方法。一种是按压缩技术所依据和使用的数学理论和计算方法进行分类, 此种分类可分为统计编码、预测编码和变换编码三大类;另一种是根据压缩过程的可逆性进行分类, 通常分为熵压缩和冗余度压缩两种[7,8]。熵压缩是不可逆压缩, 即在其压缩过程中, 会丢失一部分信息, 因此熵压缩又称为有损压缩, 它是以丢失部分信息为代价而获得相应的压缩效果。冗余度压缩是可逆的压缩, 冗余度压缩的机理是完全除去或尽量除去原始数据中重复的部分, 不丢失其中任何有用信息, 从而保证被压缩数据还原后与压缩前数据完全一致, 因此可逆压缩又称为无损编码。图像数据的压缩编解码过程如图2所示。
5 Matlab实验对比分析
在取相同变换量的情况下, 用Matlab[9,10]分别对测试图像进行Walsh变换与DCT变换, 对所取得的数据进行对比分析, 求出相对应的PSNR, 同时, 在不同量化级下, 对测试图像也分别进行Walsh变换与DCT变换, 求出相对应的PSNR, 并进行比较, 如图3～图5所示。将测试图像分割成8×8块, 分别对每一块作变换, 如下:
从以上实验数据中可以看出, 当量化级数K=32时, 除阈值取0外, 其余取值的DCT变换的PSNR都要低于Walsh变换的PSNR, 而且都低于量化级为16的同类DCT变换。这表明在K=32时, DCT变换图像质量不理想, 在应用DCT变换时应尽量避开这一量化级。当K=64时, Walsh变换后图像的PSNR值较低, 大多都低于量化级为32的PSNR值, 即K=64时Walsh变换后图像质量不理想, 在应用Walsh变换时应尽量避免这一量化级数。在保留上三角的变换中, Walsh变换的图像质量比DCT变换的图像质量稍差 (K=32除外) 。在取阈值的变换中, 当K>128时, Walsh变换和DCT变换的PSNR值比较逼近。在K=1 024, 保留上三角54个数据时, Walsh变换和DCT变换的PSNR值都大于40, 可视为无损变换。
所有试验结果如下表1所示。
6 结 语
通过在不同量化等级下对两种变换结果的对比, 得出在量化级数K=32、保留上三角数据时的Walsh变换明显优于DCT变换, 可用Walsh变换代替DCT变换。这类图像变换可用于对图像质量要求不高的卫星定位、导弹指导等;在K=1 024, 保留上三角54个数据时, Walsh变换与DCT变换都可视为图像的无损变换, 这类图像变换可用于CT、核磁共振等医学图像分析和生物的细胞分析等。虽然在多数量化级上, Walsh变换的PSNR略逊于DCT变换的PSNR, 但比值已相当逼近。由于Walsh变换只有加减法运算, 它的运算比DCT变换的简单得多, 快得多, 硬件实现起来也比较容易, 图像的存储和处理所耗资源较少, 可以大大节约成本, 有着广泛的应用前景。
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变换思想 篇9
“水移热等温变换技术”主要是利用埋在催化剂床层内部的移热水管束将催化剂床层反应热及系统多余的低品位热能转化为高品位蒸汽,同时降低催化剂床层温度,提高反应推动力,有效降低变换系统蒸汽添加量。蒸汽单耗减少带来湿基半水煤气体积缩小,系统阻力降低,同样阻力工况下,变换装置产能大幅度增加。出催化剂床层水气比降低、露点腐蚀减少,减缓回收系统多余显热和潜热的换热设备腐蚀速率,有效降低设备维修费用。“水移热等温变换技术”开发成功为我国低水气比变换装置节能扩产改造及新建大型合成氨低水气比变换装置的技术路线选定带来一条光明之路。
1 现有低水气比半水煤气变换装置状况及存在的问题
我国早期化肥行业所建的低水气比半水煤气变换装置从压力上分有0.8～1.8 MPa及1.8 MPa以上压力等级。从工艺路线上分有中串低、中低低、全低变等工艺。0.8～1.8 MPa装置基本上以带有饱和热水塔的中串低、中低低工艺居多,部分为全低变工艺;压力在1.8 MPa以上压力等级的变换装置以无饱和热水塔的全低变工艺居多。
带有饱和热水塔的中串低、中低低或全低变工艺存在以下问题。
(1)中变铁系催化剂起活温度高、床层出口温度高,蒸汽消耗高,变换系统蒸汽过剩,需要外移热量多。
(2)中变铁系催化剂在水气比较低时容易发生费托反应。
(3)无论是中变铁系催化剂床层还是低变钴钼系催化剂床层均为绝热反应,床层出口温度高于进口温度,添加蒸汽量大,变换气夹带蒸汽量高,造成系统热量过剩。
(4)催化剂床层为绝热反应,每床层进口均需要设置移热设备,绝热反应放出的热量除维持催化剂床层热量平衡之外,需要通过循环热水带入饱和热水塔。
(5)饱和热水塔作为带有饱和热水塔变换系统显热和潜热回收终端设备,往往存在热水塔热量过剩,热水塔出口变换气温度高,大量热量从热水塔带出等问题,不仅造成蒸汽消耗高,而且造成变换冷却水量大。已有部分厂家采用二级热水塔来回收变换气中低品位的显热,但半水煤气在一定温度和压力下饱和蒸汽含量是一定的,低品位潜热回收效果甚微,白白增加系统阻力和工程投资。
(6)小热交(或预腐蚀器)、第二水加热器、变换冷却器、饱和塔热水塔或一段冷却器、二段冷却器等换热设备腐蚀速度快,设备维修费用高。
(7)大部分厂家采用脱盐水来回收热水塔出口变换气显热,回收脱盐水的温度较低,无处可用,低品位热源过剩,难以进一步降低合成氨综合能耗。
(8)系统补入的热水蒸发后,盐类物质附着在催化剂床层表面,造成催化剂活性下降,床层阻力大。
(9)催化剂床层均在4段以上,段数多,移热手段多,流程长,工程投资大。
无饱和热水塔的全低变工艺回收系统过剩显热和潜热一般采用列管式换热器间接回收。存在以下问题。
(1)系统阻力远高于有饱和热水塔的工艺,带来压缩机功耗增加。
(2)虽然采取多段水冷激,但蒸汽消耗远高于有饱和热水塔的工艺。
(3)催化剂床层段数多,再者出末端催化剂床层的变换气一般分两路,一路维持系统热平衡,一路用于加热脱盐水,低品位热能远多于有饱和热水塔的全低变工艺,更容易造成低品位热能过剩,合成氨综合能耗进一步升高。
(4)一段及二段钴钼系催化剂床层超温,出现反硫化,造成催化剂使用寿命缩短。
(5)喷水冷激器及部分换热设备材质要求高,设备造价高。
(6)受轴向催化剂床层高径比限制,单套装置难以实现大型化,不仅带来工程投资大,也带来操作费用高,设备维修费用高等问题。
以上问题始终困扰着低水气比的煤化工企业,这些煤化工企业也在不断寻找低能耗低阻力低投资的变换新技术。
2 “水移热等温变换技术”适用现有高能耗各类低水气比变换工艺节能扩产改造
南京敦先化工科技有限公司开发的“水移热等温变换技术”在湖南安乡晋煤金牛化工有限公司成功运行表明,仅在现有带饱和热水塔的中串低、中低低、全低变装置或无饱和热水塔的全低变装置上增加一台“水移热等温变换炉” ,就能够实现节能扩产,热水循环及硫化电炉全部利用系统原有装置,工程投资小,建设周期短。项目施工过程对有效生产日没有影响,仅利用停车检修机会从原流程中抽出5个管头,“水移热等温变换炉”的安装、硫化均可单独实施,待“水移热等温变换炉”硫化结束,直接打开并网阀门关闭近路阀门即可投入运行。
根据湖南安乡晋煤金牛化工有限公司实际工程投资及运行带来的节能效果效益核算,不计建设周期,装置投运后4个月内可以回收全部工程投资。南京敦先化工科技有限公司开发的“水移热等温变换技术”适用于国内现任何一种低水气比的变换工艺节能扩产改造。
3 “水移热等温变换技术”适用新建大型合成氨低水气比变换装置
目前,国内采用固定床间歇式生产半水煤气的新建大型合成氨系统,其低水气比无饱和热水塔的全低变工艺完全可以选用南京敦先化工科技有限公司开发的“水移热等温变换技术”,该专利技术与现有1.8MPa以上无饱和热水塔的全低变工艺相比,具有以下优点。
(1)单套装置生产能力可以达到400～600kt/a合成氨,不仅占地面积小,而且工程投资小,有效减少正常操作费用及设备维修费。
(2)从运行成本上来看,“水移热等温变换技术”吨氨可副产1.6～2.5MPa的饱和蒸汽437kg,减少外供蒸汽250kg。
(3)吨氨减少冷却水用量1.84m3。
(4)可将脱盐水加热至104℃后直接去热力除氧而无需再添加蒸汽,系统无低品位的热能产生,另外催化剂使用寿命可延长1.5倍以上,有效降低了运行成本。按蒸汽150元/t、循环水折电为0.385kW·h/m3、电0.69元/(kW·h)计,吨合成氨可以节省成本38.39元。
4结论
变换思想 篇10
图像融合方法从层次上可分为像素级、特征级和决策级三个层次[1]。像素级的融合方法主要包括:IHS变换法、主成分变换法、加权融合法、比值融合法、小波变换法等[2—5]。
1 融合方法
典型的图像融合方法也是比较简单的图像融合方法,但也是目前应用最广泛的图像融合方法。
1.1 基于IHS变换的图像融合
目前,常用的颜色模型一种是通常采用的红、黄、绿(RGB)三原色模型。另外一种广泛应用的颜色模型是强度、色调、饱和度(IHS)颜色模型。IHS颜色模型适合于人的直觉的配色方法,因而成为彩色图像处理最常用的颜色模型。强度表示光谱的整体亮度大小,对应于图像的空间分辨率,色调描述纯色的属性,决定与光谱的主波长,是光谱在质的方面的区别,饱和度表征光谱的主波长在强度中的比例,色调和饱和度代表图像的光谱分辨率。传统的IHS图像融合[6]方法基本思想是将IHS空间中的低分辨率亮度成分I0用具有较高空间分辨率的灰度图像的亮度成分I所代替。
1.1.1 IHS变换公式
RGB转化为IHS(正变换):
相应的逆变换:
1.1.2 IHS变换算法流程
如图1所示:
基于IHS空间的图像融合方法的一般步骤为:
①将多光谱图像的R、G、B三个波段转换到IHS空间,得到I、H、S三个分量;
②将全色图像与多光谱图像经IHS变换后得到的亮度分量I,在一定的融合规则下进行融合,得到新的亮度分量(融合分量)I';
③用第2步得到的融合分量I'代替亮度分量,并同H、S分量图像一起转换到RGB空间,最后得到融合图像。
在上述步骤中,第2步的融合规则可以选取直方图匹配法,以I分量图像为参考,对全色图像进行直方图匹配,使得匹配后的图像Inew与原多光谱图像保持较高的相关性,然后用Inew分量替换多光谱图像中原来的I分量,再转换到RGB空间,得到最终的融合结果。
传统的IHS变换融合方法虽然大大提高了融合图像的空间分辨率,但它存在严重的光谱畸变现象。IHS变换可以提高影像的地物纹理特性,增强其空间细节表现能量,但是由于在变换中I分量被高分辨率全色影像取代,因此变换的结果会产生较大的光谱失真,融合后图像识别精度不高。
1.2 基于主成分变换法(PCA)的数据融合
PCA(Principal Component Analysis)[7]也叫主分量分析、K-L变换等,是统计特征基础上的多维正交线性变换,是通过一种降维技术,把多个分量约化为少数几个综合分量的方法。PCA广泛应用于图像压缩、图像增强、图像编码、随机噪声信号的去除及图像旋转等各种应用。
对图像数据进行主成分变换首先需要计算出一个标准变换矩阵,通过变换矩阵使图像数据转换成一组新的图像数据-主成分数据,从而提高图像的主成分特征,由此构造出的每个新特征都是原特征的线性函数。其变换公式可以用下式表示:
式中:X—待变换图像的数据矩阵;Y—变换后图像的数据矩阵;T—变换矩阵。
若T是正交矩阵,并且由待变换图像的数据矩阵的协方差矩阵C的特征矢量所组成,则此变换称为K-L变换,称变换的数据矩阵的每一行矢量为K-L变换的一个主分量。对低分辨率多光谱图像与高空间分辨率图像融合时,主成分变换的融合方法的基本思想是:首先对多光谱图像进行主成分变换,然后用拉伸的高空间分辨率图像代替第一主分量进行逆主分量变换,得到融合的图像。
1.2.1 基于PCA变换的图像融合方法流程
如图2所示:
1.2.2 PCA算法
主要步骤如下:
①对参加融合的源图像进行配准。
②计算多光谱图像的主成分变换矩阵的特征值与对应的特征向量。
③将特征值按从大到小的顺序排序,相应的特征向量也要跟着变动,将最终的结果记为λ1,λ2,...,λn,φ1,φ2,...,φn。
④各主分量按如下方式计算:
⑤将全色图像和第一主分量图像进行直方图匹配,然后将第一主分量用全色图像替换。
⑥做逆主分量变换,得到融合图像。
PCA变换融合法[8]的主要优点是:融合后的图像光谱特性保持好,尤其在波段数较多的情况下;缺点是:由于要对自相关矩阵求特征值和特征向量,计算量非常大,实时性比较差。
本文采用替代法进行PCA变换融合,因为主成分变换后的前几个主分量包含了主要的地物信息,噪声相对较少;而随着信息量的逐渐减少,最后的主分量几乎全部是噪声信息。因此,主成分突出了主要信息,抑制了噪声,达到了图像增强的目的。
1.3 改进的方法
主成分变换是建立在图像统计特征基础上的多维线性变换,具有方差信息浓缩,数据压缩的作用。变换后的第一主成分包含了总信息量的绝大部分(一般在80%以上),并且第一主成分相当于原来各波段的加权和,反映了地物总的辐射强度,而且降低了噪声,有利于细部特征的增强和分析。
综合IHS变换和主成分变换PCA的优点,本文利用主成分变换对IHS变换法进行了改进,采用改进后方法进行融合的流程如图3。
2 图像融合实验及分析
所用的图像实例为卫星对地面同一场景所拍摄的全色图和多光谱图,利用上述的融合方法所得的融合图像如图4所示。
分别计算融合后图像的信息熵、均值、方差、平均梯度和信噪比[9,10],结果如表1所示。
由目测可以看出,基于IHS变换的图像融合产生了较大的光谱失真,融合后的图像识别精度不够。由表中的数据可以看出取大、取小、均值这三种融合法的相差不大,图像融合后的清晰度有待提高,融合效果有待改善;基于IHS变换的图像融合的均值和方差比较大,反映了图像的空间分辨率有较大的提高,但是其信噪比较小(4.229),反映了图像的融合效果比较差;基于主分量PCA变换融合的数据显示,其具有较大的信噪比(7.088 5),表明融合后图像的质量和效果有较大的提高,但是由于平均梯度比较低(6.278 3),其清晰度下降;基于IHS-PCA变换的图像融合的实验数据表明,在提高了图像的清晰度(平均梯度为7.260 4)时还保持了较好的空间分辨率(优于PCA变换融合),同时也提高了融合后的图像的质量(信噪比为7.258 7,优于IHS变换融合、PCA变换融合)和保持了较好的图像的信息量(信息熵大于其它变换融合的信息熵),从而得到了较好的融合效果,这样说明了改进算法在保持了基于IHS变换融合的较好的空间分辨率的同时,同时也保持了基于PCA变换融合的细节的表现能力,同时也提高了融合的效果。
综合上述的实验结果,可以看出本章提出的基于IHS变换和PCA变换相结合的图像融合比经典的IHS变换、PCA变换融合的效果要好。
3 小结
并针对IHS变换的融合算法和PCA变换的融合算法的优缺点,提出了一种将两者相结合的算法,通过实验结果和选取了信息熵、均值、方差、平均梯度和信噪比等5个指标作为融合图像的性能指标,对不同的融合结果进行比较,得出本章提出的算法具有较好的融合效果。
摘要：研究了IHS变换和主成分分析(PCA)变换的图像融合方法,并针对IHS变换的融合算法和PCA变换的融合算法的优缺点,提出了一种将两者相结合的算法。通过分析实验数据,验证了改进算法优于原来的基于IHS变换融合算法和基于PCA变换融合算法。
关键词：IHS变换,PCA变换,图像融合
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