同步坐标变换（共7篇）
同步坐标变换 篇1
电压跌落是由系统短路故障、过负荷或大型电机启动引起的电压短时快速下降。由于冲击性和非线性负荷的广泛应用，系统电压跌落现象时常出现，目前已成为最重要的电能质量问题，并给一些敏感负荷带来了严重影响和危害[1]。因此，电压跌落的快速、精确的检测(包括检测速度，跌幅等)已成为治理的首要课题。电压跌落大多由突发短路引起，尤以不对称故障为主[2]。当系统发生不对称短路或者较大幅度的电压跌落时，三相电压将出现较大比重的负序和零序分量[3]。目前主要以基于d q变换的算法因能迅速精确检测电压跌落而广泛使用。通过正负序双同步旋转坐标变换获得正、负序变量，并且构造出检测量，较常规算法有更快的电压跌落检测速度。
1 常规的检测算法
1.1 d q坐标变换检测算法[4]
令系统三相电压uabc为：
式(2)三相电压uabc经dq变换后：
由于三相测量电压中还包含谐波分量和测量误差，常将式(4)通过低通滤波器(LPF)，如图1所示。理论上dq坐标变换检测算法的判断量为：
1.2 基于αβ坐标变换检测算法
文献[5]提出一种只基于αβ坐标变换的检测算法，通过电压的α、β分量构造同步旋转坐标变换，模拟d q变换检测算法，并可省去锁相环节和三角函数计算。将dq变换矩阵P可分解为
式中：θ=ωt。故uabc可分2次变换：
同步旋转角θ可用电压矢量uαβ表示：
将式(11)代入式(10)，同步电压矢量udq为：
将式(12)代入式(4)，得
式(13)与式(4)相同，即基于αβ坐标变换的检测算法与dq变换检测算法等效，其检测原理如图3。理论上αβ坐标变换检测算法的判断量为：
1.3 带陷波器的d q坐标变换检测算法
观察式(3)，三相不对称电压的正序基频分量转换成直流量，而基频负序分量转换成2次分量。为分离基波正序分量，可采用陷波器(Notch)，其传递函数为：
式中：ω0为陷波角频率，设为2ωf(ωf为基频角频率);ζ为阻尼比。带陷波器的d q坐标变换检测算法如图4所示。理论上该算法的判断量为：
2 基于正负序双旋转坐标变换检测算法
传统dq坐标变换是正序同步旋转坐标变换，考虑构造负序同步旋转坐标变换，将-θ代入式(8)，则：
将uαβ通过上述负序同步旋转坐标变换，得
式中：ud N,uq N为三相电压在负序同步坐标下的d、q分量。正负序双同步旋转坐标变换检测算法如图5所示。理论上该算法的判断量为：
3 仿真分析与比较
利用PSCAD通过单相接地短路对传统d q变换算法和αβ变换算法的检测性能进行仿真比较。仿真中设定三相380 V系统中a相0.2 s时发生接地短路，仿真波形如图6所示。
图6中：Ua,Ub和Uc为三相电压;Vd q,Vαβ，VP,VP-N分别为d q坐标变换，αβ坐标变换，带陷波器d q坐标变换和正负序双同步旋转坐标变换四类检测算法的检测量;VN为负序同步旋转坐标变换检测到的负序分量;Vref为判跌门限，三相系统中设为0.38×90%=0.342 kV;F_trig为故障发生逻辑，Detect_d q,Detect_αβ，Detect_P,Detect_P-N分别为上述4类检测算法的检测逻辑，0表示未发生或未检测到，1表示发生或检测到。
不同故障情况下各类检测算法仿真结果如表1所示，仿真结果由电压跌落检测时间和稳态值2部分组成，单位分别为ms和kV。由于αβ坐标变换和d q坐标变换的检测性能极为相似，故将其数据列为一类。
4 结束语
正负序双同步旋转坐标变换算法，通过构造一个由正序和负序2个分量构成的检测量，当发生各类对称故障时，所构成的检测量具有更快的下降速度，并且普遍适用于各类故障情况。因此，具有较常规的dq变换检测算法更快的检测速度。
摘要：电压跌落的快速准确检测对于电能质量的监测与治理具有重要意义。通过进行正序和负序的同步旋转坐标变换,构造一个由正序和负序2个分量构成的检测量,用于电压跌落的检测。5种情况下的跌落检测仿真均验证了该算法的有效性,并且较其他算法具有更高的检测精度和更快的检测速度。
关键词：电压跌落,dq变换,αβ变换,正负序双同步旋转坐标变换
参考文献
[1]孙连旗.电网电压瞬间跌落的危害和防范措施[J].天津电力技术,2006,(2):28-29.
[2]金钊,刘炳.电压跌落分析与对策[J].电力设备,2006,7(4):63-66.
[3]李光琦.电力系统暂态分析[M].北京:中国电力出版社,1995.
[4]肖湘宁,徐永海,刘昊.电压凹陷特征量检测算法研究[J].电力自动化设备,2002,22(1):19-22.
[5]毛玉芳,杨振宇.基于αβ变换的电压跌落检测算法研究[J].江苏电机工程,2007,26(6):44-46.
坐标变换方法探讨 篇2
1 坐标变换的原理与方法
1.1 三维直角坐标变换原理
约定:[a, b;c, d]表示矩阵;表示对角元素为a、b、c的对角型阵;tanC表示正切值为C的方位角;distance (f→g) |di表示曲面f上的点di与“f在di处的法线与曲面g的交点”间的距离。
坐标变换常用欧拉 (Euler) 旋转, 其原理为:
设原点相同的两个右手直角坐标系O-XYZ、O-X′Y′Z′, 点P在两坐标系中的坐标分别为 (x, y, z) 、 (x′, y′, z′) ;X′、Y′、Z′轴在O-XYZ坐标系中的方向余弦为:X′:r11, r21, r31;Y′:r12, r22, r32;Z′:r13, r23, r33。
令旋转矩阵R= (rij) , 则有:[x;y;z]=R[x′;y′;z′]若X′Y′Z′坐标系原点在XYZ坐标系中的坐标为 (X0, Y0, Z0) , 则有:[x;y;z]=[x0;y0;z0]+R[x′;y′;z′]。这就是同时平移和旋转的情况。
绕X、Y、Z轴的旋转矩阵分别为:
Rx (θ) =[1, 0, 0;0, cosθ, -sinθ;0, sinθ, cosθ]
Ry (θ) =[cosθ, 0, sinθ;0, 1, 0;-sinθ, 0, cosθ]
Rz (θ) =[cosθ, -sinθ, 0;sinθ, cosθ, 0;0, 0, 1]
上述旋转矩阵规定θ角为正旋转 (右手坐标系) , 当左手坐标系与右手坐标系转换时, 有反向矩阵:P1=diag (-1, 1, 1) ;P2=diag (1, -1, 1) ;P3=diag (1, 1, -1) ;
当旋转阵奇异时, 可采用Kardan旋转等方法。
空间大地测量使用左手坐标系, 并顾及两坐标系长度单位的比值K大, 则有:
式中, 称为7个坐标转换参数。
1.2 顾及测量误差的坐标变换方法
坐标变换有Bursa、Molodensky、Veis等模型, 抗差解法等也逐渐应用于大地坐标转换, 但求解坐标转换参数的手段基本相似, 均可通过平移、旋转、缩放等建立空间任意两坐标系间的关系。在工程测量中, 坐标变换常按平面直角坐标变换和高程变换分别进行。
1.3 不同“测量坐标系/高程基准”间变换—拟合
GPS平面控制测量可获得很高的测量精度, 在高程测量方面, GPS直接测量往往难以获得满足实际需要的正常高结果。在测区内, 通常用几何水准测量的方法联测若干个GPS点的正常高, 或者在等级水准点上设站进行高精度GPS测量并解算其大地高, 通过计算联测点的高程异常差, 并根据联测点的平面坐标值, 选用某种数学模型便可以拟合得到测区各GPS点的高程异常值, 进而确定出这些点的正常高。高程变换实质是通过某点大地高数值, 加上该点处的高程异常distance (f→g) |di, 即泛函意义上的平移。
2 坐标变换在数字测图中的应用
一些商用软件有WGS84坐标系与当地坐标系、高程基准的变换 (拟合) 功能, 所以, 对GPS测图中的坐标变换在此不再进行详细探讨。但是, 在遮蔽、强反射、强电磁等不宜使用GPS的区域, 全站仪数字测图有其独特优势。因此, 着重探讨全站仪数字测图中的坐标变换。
数字测图较平板仪测图的优势之一是其成果为数据, 易于编辑应用以及坐标和高程变换, 且一般精度较高。因此, 可对设站错误而导致全部数据出错的情况进行分析改正, 也可将一些以前难以利用的数据成果通过变换成为有用成果。
2.1 数字测图的整体思路
完成设计后, 将测区划分为若干小区域, 即在各区域进行数字测图。测图中应测若干转换点, 必要时, 对各转换点进行投影改正和平差, 并变换到成果要求的坐标系, 以建立统一坐标系下的控制点。将测量数据或变换数据导入Microstation等绘图软件, 自动展绘和标注所测各点, 或将展绘的各区域图形逐块拼贴后再变换到成果所要求的坐标系, 编辑整饰后即为成果图, 直至完成整个测区的测图。
2.2 数字测图中坐标变换方式
有操作数据、操作图形、操作数据+操作图形三种方式。操作数据, 即按照坐标平移、旋转、缩放或综合变换公式编写计算程序, 根据单点、两点和多点数据, 把采集的数据转换到所要求的坐标系和高程基准。具有变换结果确定唯一的特点, 三维坐标变换和高程变换宜采用此方式;操作图形, 即利用制图程序功能, 将图形变换到要求的坐标系和比例尺。具有变换过程直观的特点, 适于已展绘或不同比例尺图形的变换, 单点、双点时的变换较方便且结果确定唯一, 但多点匹配时不易控制图形变形;操作数据+操作图形, 即先利用数据变换某些点, 展绘后, 分别根据单点、双点和多点变换各块图形, 此方式一般需分块进行。
2.3 注意点
(1) 使用本文方法外业时, 各小区域间联系点的坐标测量和变换可选用RTK拟合方式。测量水下地形时, 若涉及深度基准面, 测深与高程系统的联系一般要通过水位观测的措施, 则高程变换还应考虑水位变化的归算等。但仅测量水下地形而不涉及深度基准面时, 则不必验潮, 由测点的三维坐标沿Z轴向下平移相同时刻测得的水深值即可获得水下地形点数据。
(2) 利用能满足精度要求但坐标 (高程) 系统或比例尺不同的其他已成图资料时, 除需注意坐标变换外还应注意通过制图综合等方法进行图式符号变换等。
3 结语
基于坐标变换的视轴稳瞄算法 篇3
1 稳瞄系统工作原理
稳瞄系统实际为两轴伺服转台及与之配套的光电设备。转台由方位和俯仰2个控制通道来分别完成2个自由度的角运动。如图1所示,方位环通过轴承与基座相连,俯仰环安装在方位环内。其中,G1为俯仰陀螺;G2为方位陀螺;G3为方位光栅;G4为俯仰光栅;M1为方位力矩电机;M2为俯仰力矩电机。瞄准线即视轴与y轴平行,所谓稳瞄即通过实时地调整俯仰角和方位角来保持y轴的空间指向稳定。
单通道控制回路如图2所示,包含位置外环和速度内环2个闭合回路。其中,速度环的反馈元件为光纤速率陀螺,位置环的反馈元件为光栅,分别测量运动角速度和角度。速度环主要实现稳定功能,但是由于陀螺零漂的存在,视轴还是会随着时间变化有缓慢偏移,而位置环则主要实现对零漂作用的抑制,并进一步提高稳定精度。以下只讨论应用于位置环的视轴稳瞄算法。
2 基于坐标变换的稳瞄算法
2.1 坐标系定义
后面用到的3个坐标系,分别为:(1)地理坐标系OXYZ:原点O为转台重心在地面上的投影,OX轴指向正东,OY轴指向正北,且XOY构成当地水平面,OZ轴当地沿地理垂线指向上方,与另外两轴构成右手直角坐标系。(2)车体坐标系o1x1y1z1:原点o1为车体重心,o1x1轴沿车体横轴指向右侧,o1y1轴沿车体纵轴指向前方,o1z1轴与另外两轴构成右手直角坐标系并指向上方为正。(3)转台坐标系oxyz:原点o为转台2个旋转轴的几何交点,ox轴沿转台俯仰轴指向右侧,oy轴沿转台视线轴指向前方,oz轴沿转台方位轴与另外两轴构成右手直角坐标系,且指向上方为正。
在实际应用中,车体的姿态信息能够被车载惯性导航装置精确测量。但是由于安装误差的存在,转台坐标系和车体坐标系是不重合的,所以惯性导航装置测量到的车体的姿态数据不能直接用于转台控制,需要考虑消除安装误差的影响,下面进行分析。
2.2 安装误差分析
一个向量在2个不同直角坐标系的投影之间存在的变换关系用矩阵表达为
式中,α,β,γ分别为绕三个坐标轴旋转过的角度。坐标变换采用“312”转序,即先绕z轴转过α角度,再绕x轴转过β角度,最后绕y轴转过γ角度,对应的旋转矩阵如下
于是,地理坐标系、转台坐标系和车体坐标系三者之间的关系如图3所示。
取地理坐标系中某一向量[x0y0z0]T,按照图3中所表示的关系,折算到车体坐标系中为
折算到转台坐标系中为
由式(5)和式(6)可以得到从车体坐标系到转台坐标系之间的转换关系
从式(7)可以看出,要想求得L3,需要同时知道车体和转台的姿态信息,车体姿态信息可以直接由车载惯性导航设备测得,下面介绍一种转台姿态信息的测量方法。
首先,需要寻找一个与方位轴垂直的基准面,借助千分表是一种比较简单实用的方法。千分表可以将测杆直线位移转变为角位移,并通过刻度表盘指针来显示。如图4所示,将千分表固定安装,并使测头与俯仰顶盖(平面度较好)良好接触,调整俯仰轴位置(俯仰轴与方位轴垂直,所以只需要调整俯仰就可以找到垂直面),并将方位轴旋转一周,如果指针读数无变化,说明对应的平面与方位轴垂直,转台的俯仰轴和视轴均在这一平面内,此平面即为基准面。
然后,将转台的方位轴旋转到光栅零位固定,并在基准面上安装一个小型惯性导航装置,记录下当时的3个姿态角数据α20,β20,γ20,同时记录车载惯性导航设备的姿态角数据α10,β10,B10,由式(7)可得
记为
式中L3即表征了由于安装误差导致的车体坐标系和转台坐标系之间的不重合度,是一个固定关系。进而得到地理坐标系和转台坐标系之间的关系为
2.3 坐标正变换稳瞄算法
在实际工作过程中,视轴的稳定控制只依赖于车上惯性导航设备的数据α1、β1、γ1,分别为偏航角、俯仰角和滚转角的数值,于是有
根据式(10)和式(11)就可以计算出为保持视轴稳定转台的2个轴应该转过的角度αr和βr,具体求解过程如下:
定义地理坐标系中一个单位矢量V0,并用方位角α0和俯仰角β0表示
则在姿态数为α1、β1、γ1时,向量V0在转台坐标系中的投影为
于是,可以得到
其物理意义为:欲将视轴稳定在地理空间中方位α0和俯仰β0所代表的方向,当车体姿态为α1、β1和γ1时,转台的方位和俯仰需要转到的角度分别为αr和βr。
由于方位角的角度范围为0~360°,所以在求解αr的值时需要进行象限判断,如图5所示。
为了避免分母为零情况,可处理如下
其中,Δ>0且其取值不能影响计算精度,例如可取Δ=1×10-10。
则有
对应到图2所示的控制框图而言,αr和βr相当于输入指令θr。此时的θr是一个依赖于α1、β1、γ1的实时变化量,控制系统根据θr动作即可实现视轴稳定。
2.4 坐标逆变换稳瞄算法
所谓逆变换是指将转台坐标系中描述的矢量转换到地理坐标系中,相对于上述变换是一个逆过程。同理,在转台坐标系中的一个单位矢量Vg可以由2个旋转轴的光栅读数αg和βg来描述
将Vg折算到地理坐标系中为
可以得到
其物理意义为:欲将视轴稳定在地理空间中方位α0和俯仰β0所代表的方向,当车体的空间姿态为α1、β1和γ1时,转台的方位和俯仰需要转到这样一个位置,使得矢量Vg逆变换到地理空间后对应角度为αf和βf,且有αf=α0和βf=β0。
同样利用式(16)和式(17)对αf进行象限判断处理。
将逆变换算法应用到控制系统如图6所示,即将逆变换加到反馈通道中,此时输入指令θr为一个地理空间的给定量,是恒定不变的,而反馈量θf则是一个与姿态信息α1、β1,γ1相关的实时变化量,给定量θr和反馈量θf之间的误差使得转台2个轴的电机动作直至误差消除,进而实现视轴稳定。
3 结束语
针对两轴伺服转台提出了基于坐标正变换和逆变换的2种视轴稳瞄算法,并给出了对应的控制方案。从控制系统角度而言,正变换稳瞄算法对应的控制框图是在转台坐标系中描述的,而逆变换稳瞄算法对应的控制框图则是在地理坐标系中描述的,但实际上二者是等价的,可以通过坐标变换建立联系。上述2种基于坐标变换的稳瞄算法均已成功运用到实际的稳瞄伺服控制系统中,并结合PID控制算法和前馈、滤波等技术手段取得了良好的稳定效果。实践证明应用了视轴稳瞄算法的控制系统能够克服车体机动给转台带来的扰动作用,实现了视轴的空间指向稳定,同时验证了算法的准确性。
参考文献
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[5]秦永元.惯性导航[M].北京:科学出版社,2007.
同步坐标变换 篇4
航磁矢量测量由三分量磁力仪和惯性导航设备构成;其中三分量磁力仪专门用于测量矢量空间的磁场值, 其测量的磁场值是基于设本身的姿态信息 (翻滚角、俯仰角、方位角) , 该姿态信息基于地理坐标系, 该坐标系为设备本身的载体坐标系, 随设备姿态变化而变化。惯性导航设备用于测量地理坐标系, 不随设备本身的姿态变化而变化, 因此地理坐标系在航磁测量中被普遍采用作为基准坐标系。
要实现航空磁测姿态坐标变换, 首先就要解决飞行器载体坐标系和地理坐标系之间的相互转换问题。文献[1]对大地坐标和船体坐标之间的相互转换进行了推导, 文献[2]对舰载雷达电子稳定方程的推导进行了分析, 称现有的几种推导方法具有一致性。文献[1]所提出的船体摇摆变换方法是现在广泛采用的方法, 文献[3]是对文献[1]的结论展开进一步的研究。但以上方法都是针对舰船姿态变换而言所进行的姿态变换研究。
本文介绍了一种新的姿态坐标变换方法, 推导出实用的航磁姿态坐标变换公式, 为航磁测量系统姿态坐标变换的实现提供必要的理论依据, 并通过实测数据验证了该坐标变换公式的正确性。
1 航磁测量姿态控制中的相关坐标系的定义
1.1 地理坐标系
地理坐标系XdYdZd (图1) 的原点设在飞行器质量中心在地球对应表面的投影点处。Zd轴沿着地球地心与该坐标系原点的连接线指向天, 并垂直与该点大地水平面。Xd和Yd轴与大地水平面重合, 并分别水平指向东、水平指向北。地理坐标系随着地球自转相对惯性坐标系运动, 并随飞行体的运行相对惯性坐标系运动, 其原点位置由纬度角及经度角确定。
1.2 载体坐标系
载体坐标系 (图2) 是用于描述载体本身的坐标体系, 其随飞行器本身的姿态变化而变化。设载体坐标系XzYzZz的原点位于飞行器质量中心, Yz轴与飞行器纵轴重合并指向首部, Xz轴与飞行器横轴重合并指向右翼, Zz轴与Xz和Yz轴构成右手直角坐标系, 指向飞行器上方。
2 坐标之间变换方法介绍
文献[1]采用的方法是先让坐标各轴分别变换, 得到变换方程后再将三个分别变换后的转换方程合在一起。即首先分析各角度参数中只有一个进行变化, 其它两个角度不变, 然后将三个参数一起变化时的状态综合在一起考虑。若仅考虑翻滚角时, 设翻滚角为α (图3) , 地理坐标系XdYdZd绕Xd轴旋转α角, 则对于飞行器坐标系XrYrZr, 其变换矩阵Tr为:
若仅考虑俯仰角时, 设俯仰角为β时, 地理坐标系XdYdZd绕Yd轴旋转β角, 则对于飞行器坐标系XpYpZp, 其变换矩阵Tp为:
若仅考虑偏航角时, 设偏航角为γ时, 地理坐标系XdYdZd绕Zd轴旋转γ角, 则对于飞行器坐标系XhYhZh, 其变换矩阵Th为:
当翻滚、俯仰和偏航角同时改变时, 应用式 (1) ~式 (3) , 地理坐标系与飞行器载体坐标系之间的变换矩阵Ta为:
飞行器载体坐标系与地理坐标系之间的变换方法与上面相同, 分别使载体坐标系反方向旋转α, β, γ, 得到旋转后的旋转矩阵分别为:
仅旋转翻滚角时:
仅旋转俯仰角时:
仅旋转方位角时:
应用式 (5) ~式 (7) , 飞行器载体坐标系与地理坐标系之间的变换矩阵Tb为:
然而在实际过程中, 坐标变换应该具有对称性, 先翻滚再俯仰和先俯仰再翻滚效果一样, 按照该思路, 如下姿态变换公式是先俯仰变换, 再翻滚变换, 最后考虑方位变换, 得到的坐标变换公式为:
可以看出, 结果式 (4) 和式 (9) 并不相等, 在文献[4]中指出, 上述姿态变换方法并不准确, 表明地理坐标系到载体坐标系之间由于变换顺序不同, 而推导出的过渡矩阵不同, 因此变换方法是不严密的。
文献[5]中指出, 实际只有在小角度的情况下, 坐标轴的旋转变换才与绕坐标轴的次序无关。即当翻滚角α、俯仰角β、方位角γ均为小角度时, cosk≈1, sink≈k, k为α, β或γ, 无论采用哪种变换次序, 忽略高阶项, 坐标变换矩阵T均可简化为:
然而飞行器实际飞行过程中, 姿态改变是随机的, 且不可能是小角度的变化, 因而文献[1]中推导的坐标变换方法不适用于航空磁测姿态变换。
3 航磁姿态坐标变换分析及验证
3.1 航空姿态角度测量
飞行器的姿态由其自身的载体坐标系XzYzZz与地理坐标系XdYdZd之间的转角 (欧拉角) 决定, 如图4所示。
设飞行器载体坐标系初始状态与地理坐标系重合, 则飞行器的方位角以OZd轴为旋转轴, OXd轴在XdOYd平面偏转的γ角, 即图4中所示∠XdOX1。若在实际过程中, 飞行器因姿态的改变使OX1轴不在水平面上, 则方位角为OX1轴在水平面的投影线与OXd轴之间的夹角, 即方位角的旋转轴始终为铅垂线, 且沿逆时针方向旋转为正, 顺时针方向为负。
飞行器俯仰角的定义为OX1轴与水平面的夹角, 以OY1轴为旋转轴, OX1轴在X1OZd平面偏转β角至OX2, 即∠X1OX2为俯仰角。且OX2轴在水平面XdOYd之上时为正, 在水平面之下时为负。在此基础上, 以OX2轴为旋转轴, OY1轴在Y1OZ2平面偏转α角至OY2, 称∠Y1OY2为翻滚角。不难看出, 翻滚角α一般并不位于铅垂面内, 但始终位于飞行器的纵向平面Y1OZ2内, 其测量轴为OX2轴。
3.2 地理坐标系到飞行器载体坐标系变换
飞行器姿态变换的实质是地理坐标系与载体坐标系之间的矩阵变换, 尽管飞行器在飞行过程中的姿态是任意的, 其顺序并不固定, 但在姿态变换过程中遵循一定的顺序变换, 能够起到将误差减小到最小程度的效果[6—8]。通过以上分析得出, 方位角γ是以OZd轴为旋转轴, OXd轴在XdOYd平面偏转的角度, 其旋转轴垂直于水平面;俯仰角β是以OY1轴为旋转轴, OX1轴在X1OZd平面偏转的角度, 其旋转轴位于水平面;翻滚角α是以OX2轴为旋转轴, OY1轴在Y1OZ2平面偏转的角度, 若俯仰角β为0的话, 则翻滚角α对应的旋转轴将位于水平面内, 若俯仰角β不为0的话, 则翻滚角α对应的旋转轴将位于X1OZd面内。
据此可以推出, 在姿态变换时, 若先进行翻滚角变换, 则地理坐标系在变换后其Zd轴就不垂直于水平面了, 进而进行方位角变换时就会因为Zd轴不垂直而引入误差。因此应首先进行方位角变换, 然后进行俯仰角变换, 其旋转轴为OY1轴, 方位角变换后该轴仍然在水平面内, 因此不会引入姿态变换误差, 最后进行翻滚角变换, 其旋转轴OX1轴位于X1OZd平面内。经过该种顺序的姿态变换 (方位—俯仰—翻滚) , 才与实际情况相符, 且引入的误差最小。
如下对各角度变换进行单独分析, 并得到各自的变换矩阵, 方位角变换如图5中左上图所示, 设点D为空间中任意一点, 其在地理坐标系下坐标为D (Xd, Yd, Zd) , 经过姿态变换后在载体坐标系下坐标为D (X1, Y1, Z1) , 则根据推导得到:
矩阵形式为:
Tγ即为方位角变换的转换矩阵。
同理, 根据图5所示, 分别得到俯仰变换和翻滚变换的矩阵形式为:
将式 (14) ~式 (16) 合并在一起, 由地理坐标系到飞行器载体坐标系的变换矩阵形式为:
式 (17) 中:
将矩阵合并变换后得到:
3.3 飞行器载体坐标系到地理坐标系变换
飞行器载体坐标系到地理坐标系的变换是地理坐标系到载体坐标系姿态变换的逆变换, 由先前分析可知, 由地理坐标系到载体坐标系的姿态变换顺序是先进行方位角变换, 再进行俯仰角变换, 最后进行翻滚角变换, 因此由载体坐标系到地理坐标系的姿态变换顺序是先进行翻滚角变换, 以OX2轴为旋转轴, 顺时针旋转α, 使OZz轴与OZz轴重合;再进行俯仰角变换, 以OY1轴为旋转轴, 反方向旋转β, 使OZ2轴与OZd轴重合;最后进行方位角变换, 以OZd轴为旋转轴, 反方向旋转γ, 使载体坐标系与地理坐标系重合。
与式 (19) 的推导过程类似, 由载体坐标系到地理坐标系姿态变换过程中, 翻滚角变换矩阵Tα1、俯仰角变换矩阵Tβ1、方位角变换矩阵Tγ1分别为:
由飞行器载体坐标系到地理坐标系姿态变换矩阵TD1为:
将矩阵合并变换后得到:
在航磁测量过程中, 根据测得的空间某一点任意姿态的磁场三分量值, 再结合上面推导的由飞行器载体坐标系到地理坐标系姿态变换矩阵, 将磁场三分量值变换到基于基准坐标系 (地理坐标系) 下的磁场三分量数据, 以便于在航磁测量的顺利进行。
3.4 实验验证及分析
为验证上述姿态变换矩阵的正确性, 根据野外实际测试的数据对姿态变换矩阵进行了验证。实验中用于测量飞行器姿态数据的陀螺仪装置和测量空间磁场数据的三分量磁力仪传感器装置安装示意图如图6所示。
设三分量磁力仪装置采集的磁场数据为Dm (x, y, z) , 经过姿态变换后地理坐标系下的磁场数据为Dd (x1, y1, z1) , 则根据图6的两坐标系对应关系, 地理坐标系Xd轴对应磁场分量数据为-z, Yd轴对应磁场分量数据为x, Zd轴对应磁场分量数据为-y。Dm与Dd的关系方程为:
式 (25) 中:TD1为从飞行器载体坐标系到地理坐标系姿态变换关系矩阵。
在实验过程中, 所选野外场地磁场环境稳定, 周围无其它磁场源干扰, 磁力仪装置在该环境中静止测量时所记录的总磁场值基本为一恒定值。
实验步骤为:
(1) 使设备按照预定轨迹前进, 并不断改变设备的姿态, 记录并保存数据, 解算后的磁场各分量与总场值如图7所示, 通过图形可以看出, 因为载体坐标系姿态变换的随意性, 磁力仪各分量的磁场值也呈现对应变化, 而总磁场数据基本不变。
图8为各磁场分量值与对应轴姿态变化对比曲线, 其中每幅图形的横坐标表示实验记录时间, 左纵坐标表示磁场分量信息, 右纵坐标表示姿态角度变化信息, 可知二者的参数信息变化趋势一致。
(2) 野外实验场地磁场环境稳定, 经过理论计算, 当对各分量磁场进行姿态变换至地理坐标系下时, 各分量磁场值为恒定值。将基于载体坐标系下的磁场各分量实测数据代入公式 (25) 后, 转换到基于地理坐标系下的磁场数据, 如图9所示, 其中, 左纵坐标为磁场分量在载体坐标系下的曲线, 右纵坐标为经过姿态变换到地理坐标系下对应的磁场数据。
通过图形曲线分析, 经过姿态矩阵变换后地理坐标系下各分量磁场曲线为 (或近似为) 直线, 姿态变换前后的改善率可达到57倍, 和理论计算的结果相符, 验证了姿态变换矩阵的准确性。
图中观察到地理坐标系下各分量磁场曲线并非完全是直线, 原因是设备在测量过程中, 陀螺仪装置和磁力仪探头都有一定的测量偏差, 并不能完全精确测量, 而且实验场地的磁场环境也并非绝对稳定, 这些都会带来最终结果的误差。
实验表明, 本文所建立的从飞行器载体坐标系到地理坐标系以及从地理坐标系到飞行器载体坐标系的姿态变换公式是准确可靠的。
4 结语
(1) 航磁姿态变换的实质就是飞行器载体坐标系与地理坐标系之间的角度变换;飞行器方位角的旋转轴垂直于水平面, 俯仰角的旋转轴在水平面内, 翻滚角的旋转轴不在水平面内。因此虽然说飞行器的姿态变化是随机的, 但是从地理坐标系到载体坐标系的坐标变换时, 按照一定顺序变换会使失真最小, 姿态变换前后的改善率可达到57倍, 变换顺序为方位角—俯仰角—翻滚角。
(2) 由于从飞行器载体坐标系到地理坐标系的姿态变换是按照一定的顺序进行, 则从地理坐标线到飞行器载体坐标系的姿态变换也必须按照一定的顺序进行, 变换顺序为:翻滚角—俯仰角—方位角。
(3) 建立了符合航磁测量的从飞行器载体坐标系到地理坐标系以及从地理坐标系到飞行器载体坐标系之间的姿态变换公式。
本文的姿态坐标变换技术研究, 是航磁矢量测量中的关键技术, 为航磁矢量测量奠定了坚实的基础。
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椭球变换与建立独立坐标系的探讨 篇5
根据具体情况, 在采用GPS技术建立独立坐标系下的控制网时, 可采用如下方法进行:先进行GPS网的无约束平差, 得到地心地固系下的坐标, 再将GPS测定三维坐标投影到独立坐标系所在的平均高程面或指定高程的高程面上, 最后, 再进行平移和旋转变换, 得出最终的坐标。要得到指定高程面上的平面坐标, 可以采用标准的投影过程, 不过投影时参考椭球的定位或参考椭球的参数需要进行相应的变换, 参数变换常用的方法有椭球平移法、椭球膨胀法和椭球变形法。
一、椭球变换的方法
1. 椭球平移法。
椭球平移法的基本思想是将国家参考椭球沿独立坐标系的原点 (局部局域的中心点) 所在的法线进行平移, 使椭球面与该点相切, 将坐标转换到基于平移后的参考椭球的坐标参照系, 再以平移后的椭球为依据, 对坐标进行投影变换, 得到指定高程面上的平面坐标。变换过程如下。、
(1) 椭球中心在空间三维变化量的确定。按下列式子计算。
式 (1) 、 (2) 、 (3) 中, B0为基准点纬度, L0为基准点经度, Δh为大地高的变化量。
(2) 确定项目中心区域 (基准点) 的大地坐标 (纬度B和经度L) 。根据GPS测量得到的基准点大地高, 将大地坐标转换成空间直角坐标, 利用 (1) 式计算出新椭球的计算椭球中心的平移量 (d X0, d Y0, d Z0) , 然后以新椭球为基准进行投影, 得出指定高程面下的坐标。数据特性如下。
式 (4) 、 (5) 、 (6) 中, d X0、d Y0、d Z0分别为椭球中心的在空间的三维变化量, M为子午圈曲率半径, N为卯酉圈曲率半径, H为大地高, 其余同式 (1) 、 (2) 、 (3) 。
可见, 椭球平移法变换前后, 各点对经纬度和大地高均发生变化。
2. 椭球膨胀法。
椭球膨胀法的基本思想是膨胀前后椭球中心保持不动, 椭球扁率保持不变, 椭球长半轴变化, 对椭球进行缩放, 使得缩放之后的参考椭球的椭球面与独立坐标系所选定的平面相切。变换过程如下。
(1) 确定项目中心区域 (基准点) 的大地坐标 (纬度B和经度L) , 根据GPS测量得到的基准点大地高, 计算出新椭球的长半轴变化量和新椭球的长半轴, 然后以新椭球为基准进行投影, 得出指定高程面下的坐标。
(2) 根据椭球大地测量学的变换模型, 椭球膨胀法变换前后的数据特性如下:
式 (7) 、 (8) 、 (9) 中, M为子午圈曲率半径, N为卯酉圈曲率半径, a为椭球长半轴, Δa为椭球长半轴的变化量, H为大地高, 其余同式 (1) 、 (2) 、 (3) 。
可见, 椭球膨胀法变换前后, 各点的经度并不发生变化。
3. 椭球变形法。
椭球变形法的基本思想是先将椭球面沿基准点的法线方向膨胀到所定义的参考面, 椭球中心保持不动, 再变化新椭球的扁率α, 使得基准点处的法线方向派生前后重合。基准点的经纬度不发生变化。
确定项目中心区域 (基准点) 的大地坐标 (纬度B和经度L) , 将大地坐标转换成空间直角坐标, 计算出新椭球长半轴的变化量和新的椭球扁率, 确定新椭球的各项参数, 然后以新椭球为基准进行投影, 得出新椭球下的坐标。
式 (10) 、 (11) 、 (12) 中, M, N, H, B, e, a含义同椭球膨胀法, α为椭球扁率, △α为扁率变化量, △a为椭球长半轴的变化量, 椭球变形法变换前后, 各点的经度同样不发生变化。
二、数据分析
1. 实例。
某山区道路长300km, 平均海拔为1 500m, 最大高差为2 000m。采用GPS测量得到了1980西安坐标系坐标, 为满足道路放线需要, 分段建立了该区域独立坐标系。为控制投影变形并满足规范要求, 采用区域椭球理论建立了区域独立控制网, 较好地解决了这个问题。
2. 数据处理。
分别用上述三种方法建立区域独立坐标系。数据处理使用Trimble公司的TGO1.63软件, 通过式 (2) 、 (3) 、 (4) 计算确定椭球元素, 然后利用该元素自定义椭球, 最后通过变换系统基准达到重新投影的目的。数据表明采用椭球膨胀法、椭球平移法和椭球变形法建立区域独立坐标系是等价的, 其投影变形的结果近似。在使用过程中应注意高差不宜超过200m, 否则会造成边长投影变形过大的问题。根据测算, 在150km×90km的某城市辖区范围内, 利用区域椭球建立的地方独立坐标系, 其投影变形得到了较好的控制, 达到了1/40 000的要求。边长变形值见表1。
数据显示, 离开基准点越远其投影变形越大, 但基准点附近的变形值并非最小。较小的变形值是基准点附近按环形分布的。高斯坐标的变化经过综合比较, 三种方法中, 以椭球平移法建立的独立坐标系其坐标变化最为均匀, 其余两种方法投影后, 坐标变化呈由一端向另一端逐渐增大的趋势。需要说明的是, 采用上述三种方法建立区域独立坐标系是基于单基点的情况, 事实上, 其投影面仍不能与区域椭球面完全重合, 两个面之间尚存在偏离。而采用多基点定位区域椭球, 可使两个面更为接近。从而更有效的控制投影变形。
四、结论与建议
本文较详细综述了目前较为常见的几种地方参考椭球变换的基本理论与方法, 并对各方法的特点进行了相应的归纳与分析, 从理论上证明了上述各种椭球变换方法所得到的独立坐标系椭球面与平均高程面的关系。从独立坐标系与国家坐标相衔接而言, 椭球变形法保持独立坐标系点大地经纬度不变, 从这点来说椭球变形法比其他方法具有优越性;由于椭球面发生的变化, 椭球参数与点的大地经纬度也发生变化, 故应采用新的大地经纬度按新椭球元素进行高斯投影。不改变参考椭球面原有大地经纬度, 从理论上讲是不严密的, 但对于较小的测区而言, 其影响较小。从表1可知, 椭球膨胀法与椭球变形法较接近, 平移法与其他方法比较坐标在数值上相差较大。但在原独立坐标系的约束下, 所有椭球变换方法所得到的新独立坐标是基本一致的。
例谈坐标伸缩变换在解题中的应用 篇6
定义：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ:的作用下，点P(x,y)对应到点P′(x′，y′)，则称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
若能充分挖掘伸缩变换φ的性质，并应用于解析几何的解题过程中，有时可以大大地减少计算量。伸缩变换φ的常见性质有：
性质1：φ保持结合性不变，即若在φ的作用下点P对应点P′，曲线f(x,y)=0对应到曲线F(x,y)=0，则点P′在曲线F(x,y)=0上的充要条件是点P在曲线f(x,y)=0上.
性质2：若在φ的作用下A,B两点对应到A′，B′，若直线AB的斜率为k，直线A′B′的斜率为k′，则
性质3：若在φ的作用下，共线的三点A,B,C对应到共线的三点A′，B′，C′，则点C分的比等于点C′分的比.
性质4：若在φ的作用下，△ABC对应到△A′B′C′，则
二、下面给予性质3和性质4的证明过程
性质3的证明：
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，则A′(λx1，μy1),B′(λx2，μy2),C′(λx3,μy3).
性质4的证明：
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则A′(λx1,μy1),B′(λx2,μy2),C′(λx3,μy3)
三、下面举例说明上述性质的应用
例1.北京奥运会主体育场“鸟巢”的钢结构俯视图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC、BD，设内层椭圆方程为,外层椭圆方程可设为,若AC与BD的斜率之积为-916,求椭圆的离心率.
解:定义伸缩变换:,则在φ的作用下内外层椭圆分别对应圆,点A,B,C,D分别对应点A′,B′,C′,D′,如图2。
由性质1知A′C′，B′D′是圆x2+y2=a2b2的切线.
由已知,由圆的性质易知A′C′⊥B′D′,即kA′C′k B′D′=-1
由性质2得,从而
可得离心率
例2.如图3,已知P是椭圆上的任意一点,O是坐标原点,,过M作直线交椭圆于A,B两点,且AM=BM,探索△PAB的面积是否为定值,若是,求出该定值;若不是,求出它的最大值.圻圻
解：定义伸缩变换：，则在φ的作用下椭圆对应圆x2+y2=a2b2，设点A,B,P,M分别对应点A′，B′，P′，M′，如图4:
由性质3,A′M′=M′B′,,故O为△P′A′B′的重心;又O为△P′A′B′的外心,从而△P′A′B′为正三角形.易得圆x2+y2=a2b2的内接正三角形的面积为定值
由性质4,,从而为定值.
例3.(2008年安徽省数学竞赛)如图5，设点A(1,1)，点B,C在椭圆x2+3y2=4上，求S△ABC的最大值，并求出取得最大值时直线BC的方程.
解：显然点A在椭圆x2+3y2=4上，△ABC为此椭圆的内接三角形，
定义伸缩变换：φ:，则在φ的作用下椭圆x2+3y2=4对应圆x2+y2=4，如图6，点A(1,1)对应点，设点B,C对应点B′，C′，则由性质1知△A′B′C′为圆x2+y2=4的内接三角形.
由性质4知,所以当S△A′B′C′最大时,S△ABC取得最大值.
由平面几何中的常见结论：圆的内接三角形中，正三角形的面积最大，并注意到∠A′Ox=60°，易得当B′(-2,0),时，△A′B′C′为正三角形，S△A′B′C′取得最大值，故S△ABC的最大值为3，此时B(-2,0),C(1，-1)，直线BC的方程为x+3y+2=0.
例4.如图7，已知抛物线C:y2=2px(p>0)，过点A(p,0)的直线与抛物线C交于M、N两点,且过点M,N向直线x=-p作垂线,垂足分别为P、Q,△MAP、△NAQ的面积分别记为S1,S2,求
解:定义伸缩变换:φ:,则抛物线C:y2=2px对应为抛物线,如图8,点A对应的点仍为A,直线x=-p仍对应直线x=-p，设点M,N,P,Q分别对应点M′，N′，P′，Q′，由yp=yM知yP′=yM′，故P′M′与直线x=-p仍垂直，同理，N′Q′与直线x=-p也垂直.
易知点A为抛物线C′的焦点，直线x=-p为抛物线C′的准线，则M′P′=M′A,N′Q′=N′A;
由性质3知M′A∶N′A=MA∶NA=2∶1
记△M′AP′，△N′AQ′的面积分别为S1′和S2′，则
同步坐标变换 篇7
2002 年Deb等人提出了一种改进型非支配排序遗传算法( Non - Dominated Sorting Genetic Algorithm,NSGA - II)[3]。算法先对种群中的个体按照支配关系进行分层,处于同一层上的各个个体都是彼此非支配的,且层级序值小的个体支配层级序值大的个体。然而,NSGA - II中使用的变异算子属于单点变异,个体的变异范围在线性范围内变异。这就导致种群在进化工程中的种群多样性受到影响,最终降低非劣最优解集的多样性。为克服单点变异带来的不足,本文提出了极坐标变换的变异算子,该算子可使个体在一个超球体范围内随机变异,能够有效增加种群多样性。最终可增加非劣最优解集的多样性。
1 多目标优化问题描述
多目标优化问题用文字描述为D个决策变量参数、N个目y标函数、m + n个约束条件组成一个优化问题,决策变量与目标函数、约束条件是函数关系。在非劣解集中决策者只能根据具体问题要求选择令其满意的一个非劣解作为最终解。多目标优化问题的数学形式可以描述为[3,4]
其中,x为D维决策向量; y为目标向量; N为优化目标总数; fn( x) 为第n个目标函数; X是决策向量形成的决定空间; xd_max和xd_min为每维向量搜索的上下限。
对于多目标优化问题中非劣最优解可进行如下定义:
定义1(Pareto支配)[4]
对任意的d∈[1,D]满足x*d≤xd且存在d0∈[1,D]有x*d0<xd0,则向量X*=[x*1,x*2,…,x*D]Pareto支配向量X=[x1,x2,…,xD]。记作。
f( X*) 支配f( X) 必须满足以下两个条件
当时。
定义2(Pareto最优解)[5]
Pareto最优解是不被可行解集中的任何解支配的解,若X*是搜索空间中的一点,则X*为非劣最优解,当且仅当不存在X(在搜索空间可行域中)使得fn(X)≤fn(X*)成立,n=1,2,…,N。
定义3(Pareto前沿)
由所有非劣最优解组成的集合称为多目标优化问题的最优解集,也称为可接受解集或有效解集。
2 基于极坐标变换的变异算子
对于多目标优化问题的解,具有良好多样性的解集是更加理想的解集。为使文中获得分布范围更加均匀的解集,可通过修改变异算子来增加种群的多样性,从而获得具有更好多样性的解集。在传统的NSGA - II算法中采用性能较差的单点变异算子,单点变异算子的功能简单,但同时带来的问题是,使用单点变异算子限制了个体的变异范围,不利于增加种群的多样性,使得最终解的多样性变差。在空间中使用极坐标变换可使种群中的个体在围绕个体的整个超球体内随机变异,是个体变异范围更加广泛。因此,本文在NSGA - II算法的基础上对NSGA - II算法的变异算子的进行了改进。
极坐标: 在平面内取一个定点O,叫极点,引一条射线Ox,叫做极轴,再选定一个长度单位和角度的正方向( 通常取逆时针方向) 。用 ρ 表示线段OM的长度,θ 表示从Ox到OM的角度,有序数对( ρ,θ) 就叫点M的极坐标。极坐标到直角坐标的转换如下: x1=ρcosθ; x2= ρsinθ。对于种群中的每个个体X = [x1,x2,…,xd,…,xD],xi是个体中的一维,对于xi的变换采用极坐标变换xi= ρcosθ,其中 ρ = max ( xd_max- xi,xi-xd_min) 。对于 θ,为提高 θ 的精度,θ 是[0,2π]之间的随机数。
本文提出了一个新的变异算子,对于个体X =[x1,x2,…,xd,…,xD],变异算子如下
通过该变异算子,可使原个体变异在围绕 ρ =max( xd_max- xi,xi- xd_min) 不规则超球体体内随机变异,通过
2. 1 基于极坐标变换的改进NSGA - II算法
2. 1. 1 选择算子
选择过程采用基于局部竞争机制的二元联赛选择算子[6],其先在种群中随机选择个个体进行比较,然后根据两者的支配关系选择一个个体,这种选择机制使得个体被选择的概率不与适应度值大小直接成比例,可避免新种群中的个体太聚集。
2. 1. 2 杂交算子
交叉采用SBX方式[7],SBX算子可将父体中优良个体基因遗传到下一代某个子串中,确保遗传算法跳出局部最优解收敛于全局最优解,个体i和个体j的第k位基因Ii,k和Ij,k按如下方式进行交叉
其中
其中,r是[0,1]的随机数; ηc是分布指数。
2. 2 算法过程
基于极坐标变换的改进NSGA - II算法( PNSGA -II) 的步骤如下:
步骤1令t = 0,初始化种群P ( t) ,种群个数为N;
步骤2 计算P( t) 中每个个体的适应度值;
步骤3 用二元联赛选择算子从种群P( t) 中选择N /2 个个体;
步骤4 对选择的N/2 个个体进行模拟二进制杂交操作,对产生的N/2 个新个体与步骤3 中的个体进行合并,产生N个个体的种群;
步骤5 对步骤4 产生的种群个体进行极坐标变异操作;
步骤6 将种群P( t) 中的N个个体和步骤3 中产生的N个后代,合并成规模为2N的种群P'( t) ;
步骤7 计算P'( t) 中每个个体的适应度值,根据快速非支配排序[8]的结果,选择N个个体;
步骤8 若满足终止条件则算法停止; 否则,则转步骤3,令t = t + 1。
3 仿真实验
3. 1 测试函数选择
本文通过测试4 个典型的测试函数( ZDT1、ZDT2、ZDT3 和ZDT6 函数)[9,10],对比算法NSGA - II和PNSGA - II来验证所提算法的有效性。各测试函数的表达式如下
其中
本文所选用测试函数的理想Pareto Front如下所示。由图可看出,ZDT1的Pareto Front是个凸曲线,ZDT2的Pareto Front是一个凹曲线,ZDT3的Pareto Front是一个离散的曲线,ZDT6的曲线也是一个凹曲线。
3. 2 实验结果
为保证实验结果的准确性,设定如下实验参数: 种群规模为300; 迭代次数为1 000; 每个函数的测试次数为30; 种群变异概率为0. 3; 种群杂交概率为0. 8。对上述4 个测试函数进行实验,得到测试结果如下。
3. 3 实验分析
由实验结果可看出,PNSGA - II算法可使各个测试函数达到理想的Pareto Front。同时,相比较于NSGA - II算法,PNSGA - II算法得到的Pareto Front分布更加广泛。因此,与NSGA - II相同,PNSGA - II求出的Pareto最优解接近Pareto最优边界,收敛速度更快更稳定,且这些Pareto最优解在整个Pareto最优边界上分布更均匀。因此,算法PNSGA - II在解决多目标函数优化问题时优于算法NSGA - II,表明了所提算法PNSGA - II的有效性。
4 结束语
NSGA - II作为求解多目标优化问题理想的方法之一,表现出了良好的性能。但NSGA - II在最优解的多样性方面仍存在一些,如最优解分布不广泛等缺点。因此,本文基于极坐标变换提出了一种改进的NSGA - II算法,将极坐标运用于遗传算法的变异算子,并在此基础上提出了PNSGA - II算法。实验证明了所提算法PNSGA - II的有效性。
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