参数(坐标)（通用11篇）
参数(坐标) 篇1
目前国内所用GNSS (Global Navigation Satellite System) 即全球卫星导航系统, 已经发展到多星, 尤其随着北斗导航系统的逐步完善, 正在向CGCS2000椭球过渡, 但还是以WGS-84坐标系统为主流, 即仍以美国GPS为主, 所发布的星历参数也是基于此坐标系统。WGS-84坐标系统 (World Geodetic System-84, 世界大地坐标系-84) 的坐标原点位于地球的质心, Z轴指向BIH1984.0定义的协议地球极方向, X轴指向BIH1984.0的启始子午面和赤道的交点, Y轴与X轴和Z轴构成右手系。WGS-84系所采用椭球参数为:长半轴6378137;扁率1:298.257223563。而我国目前广泛采用的大地测量坐标系有3种:
(1) 北京1954坐标系。该坐标系采用的参考椭球是克拉索夫斯基椭球, 该椭球的主要参数为:长半轴6378245;扁率1:298.3。
(2) 1980年国家大地坐标系。该坐标系是参心坐标系, 采用地球椭球基本参数为1975年国际大地测量与地球物理联合会第十六届大会推荐的数据, 大地原点设在我国中部的陕西省泾阳县永乐镇, 也称西安80坐标系。长半轴6378140±5;扁率1:298.257。
(3) 2000中国大地坐标系。该坐标系是地心坐标系, 与WGS-84坐标类似。原点在包括海洋和大气的整个地球的质量中心;定向在1984.0时与BIH (国际时间局) 。长半轴6378137.0;扁率1:298.257 222 101。
各坐标系之间的转换是工作中的经常遇到的问题, 主要的转换方法有三参数、四参数和七参数法, 而这三种方法中, 七参数是一种空间直角坐标系的转换模型, 是基于椭球间的三维转换, 精度最高。
如果用七参数法来实现WGS84坐标系与1980年国家家大地坐标系的转换, 求解前必须确定控制网中各点对的距距离。如果两点间距离超过15公里, 必须考虑曲面因素即两两种不同坐标系的椭球参数, 避免因椭球的差异, 导致转换换后所得坐标残差过大, 精度过低, 为了保证精度必须采用用七参数法。如果两点的距离小于10公里, 曲面因素影响几几乎可以忽略, 所以采用四参数等精度较低的转换方法来转转换。
七参数转换主要有以下方法:
(1) 通过卫星定位接收机测得WGS-84大地坐标并转换换至西安80大地坐标, 再通过高斯投影将西安80的大地坐坐标转换到西安80平面直角坐标。
(2) 通过卫星定位接收机测得WGS-84大地坐标, 先以高高斯投影将其变换至同椭球下的平面直坐标X、Y、h84, 之后后在平面坐标系中将WGS84下的平面坐标转换成西安880平面直角坐标。
方法一采用的是不同大地坐标系的转换模型, 七参数包括3个旋转参数、3个平移参数和1个尺度参数, 但是考虑到两种大地坐标的椭球参数的不同, 为了提高精度, 减少不同椭球引起的变化, 还需要增加两个变换参数。而方法二的原理是不同空间直角坐标系的转换模型, 通常采用布尔沙 (Bursa) 模型, 参数由3个平移参数、3个旋转参数和1个尺度参数组成。通过GNSS静态观测获得的WGS84大地坐标, 通过转换可得同一椭球系的空间直角坐标, 再结合其他椭球至少3个已知控制点成果的公共点, 采用间接平差法, 通过高斯投影转换为西安80坐标系大地坐标;最后再转换得到空间直角坐标。七参数转换公式如下:
m:尺度变化参数;
ΔX0ΔY0ΔZ0:平移变化参数;
εXεYεZ:旋转参数。
如下例:
某工程设计将WGS84转至基于西安80椭球的独立坐标, 公共点如表1、表2。
通过数据统计, 两种方法在平面位置转换精度基本一致, 但高程方向存在一定差异。因此在实际工作中建议根据工程实际情况, 两种方法综合考虑, 互为校核。
通过分析上述两种方法, 最终转换结果即西安80坐标系平面坐标与七参数求解的途径、方法和计算过程都有关系, 会对其有较大的影响。求解七参数的必要条件是已知两个椭球坐标系的三个公共点, 一种是GNSS观测中直接获得的WGS-84椭球下的大地坐标经纬度 (B, L, H) , 另一种是工程测量中使用的是高斯投影后的平面直角坐标 (x, y, h) 或其他椭球的平面直角坐标。即已知的三个公共控制点的坐标成果必须使用这两种形式来表示的。
七参数转换后的坐标残差, 与选用的数学模型和求解转换参数的公共点坐标精度有关, 也和点位组成的形状及数量有很大关系。因此, 当测区范围较大时, 坐标转换必须分区域进行, 区域之间的公共点需有重叠部分, 通过这种方式来提高坐标转换的精度。
目前, GNSS测量仍然以WGS-84椭球和其大地坐标系为主, 点的绝对坐标也以大地经度、纬度和大地高描述。无论采用上述的哪种方法, 为将椭球系统中的三维坐标转换为高斯平面直角坐标的西安80坐标系, 也为了保证椭球面上两点的距离与高斯平面上的边长一致, 必须已知测区的中央子午线等椭球参数。中央子午线可以通过测量测区范围的大地坐标, 取其差值来确定, 这属于任意坐标系或工程独立坐标系;同样根据国家3°带或6°带的规定, 也能反算其中央子午线。
外业工程完成后, 要选择合适的GNSS基线解算软件, 把椭球参数和测得的基线观测数据导入软件中。首先进行基线的初步处理, 剔除不合格基线, 再进行三维无约束平差, 最后与已知点联系, 求解参数并进行强制转换。基线解算软件在三维无约束平差时, 随机选取网中一个单点定位的WGS-84坐标作为固定点, 然后进行网平差。因此, 相同的基线观测原始数据, 软件随机选择不同的固定点, 求出的七个参数具体数值也不尽相同, 但无论哪组数值, 都不影响整体转换的坐标结果, 主要原因是, 网中所有观测点之间的相对位置不变, 无约束平差不会改变点位的相对关系。再者, 不论随机选取的固定点定位精度高或低, 最后都必须通过两个椭球间的已知公共点的坐标强制转换。而且七个转换参数都有参考限值, X、Y、Z轴旋转一般都必须达到秒级 (一般小于10秒) ;X、Y、Z轴平移一般小于1000。若求出的七个参数不在限值以内, 一般不能使用的。这一限制比较苛刻, 因此在具体使用七参数还是四参数时要根据具体的施工情况而定。
七参数的应用范围一般大于50平方公里, 在计算转换参数时需要注意如下几个方面:公共点的选取位置应位于测区四周和中心, 分布合理均匀。为提高转换精度, 尽量采用多个公共点, 让这些点位能完全并均匀覆盖整个转换区域。并留取几个检查点, 作为检核。如果测区周围有高精度的西安80平面控制网 (必须包括部分高程控制网点) 或独立坐标系控制点, 采用GNSS定位系统对这些公共控制点 (必须包括高程点) 进行静态观测, 得到它们对应的WGS-84大地坐标, 采用方法一用坐标转换的应用程序或基线解算软件, 如南方数据后处理软件, 通过强制拟合法求取七参数, 进而求得西安80平面坐标。如果项目甲方没有提供WGS-84大地坐标与西安80大地坐标的转换参数, 可用方法二求得。
通过多次求解和实践丈量证明, 在平面位置的计算精度上, 两种七参数转换法残差较小;但高程方面, 空间直角坐标转换方法精度相对较高。在选择坐标转换软件或基线解算软件时, 根据实际情况相互验证两种方法, 才能选择出符合精度等级要求的软件。
七参数转换是测绘生产中常用的坐标转换方式。涉及不同椭球间的转换, 必须根据测点之间的距离、测区面积和点位密度, 采用文中两种方法, 相互验证。并从中选择适合的计算方法。另外需要特别说明的是, 上述方法在椭球面上的各点之间边长和方位, 必须与平面投影中的数值保持一致, 否则会影响网形和坐标转换的精度。只有保证了一致性, 才能克服固有误差, 减少偶然误差, 简化计算方案, 从根本上杜绝GNSS网形的扭曲和变形, 进而保证工程精度要求。
摘要：文章给出了获取七参数的不同方法, 介绍了如何转换西安80坐标系坐标, 比较了两种方法的不同, 强调了各种实际情况下应该注意的问题。
关键词：RTK,七参数,测量
参考文献
[1]陈俊勇.中国现代大地基准-中国大地坐标系统2000 (CGC S2000) 及其框架[J].测绘学报, 2008, 37 (3) :269-271.
[2]李征航, 魏二虎, 王正涛等.空间大地测量学[M].武汉大学出版社, 2010:79-84.
[3]杨大勇, 王坚, 王彬, 孟祥超.GPS网基准点在空间坐标系下的稳定性检验[J].测绘科学, 2013, 38 (2) :89-91.
[4]陈宇, 白征东, 罗腾.基于改进的布尔沙模型的坐标转换方法[J].大地测量与地球动力学, 2010, 30 (3) :71-73.
[5]倪飞, 赵长胜, 郭洋洋.不同大地坐标系间相互转换的病态解决及抗差算法[J].测绘科学, 2011 (04) .
[6]谢宁.GPS坐标转换方法的精度对比分析[J].硅谷, 2011 (4) .
[7]孔祥元.控制测量学[M].武汉大学出版社, 1996.
[8]孔祥元, 郭际明, 刘宗泉.大地测量学基础[M].武汉大学出版社, 2010.
参数(坐标) 篇2
教学目标
1．理解建立直线和圆的极坐标方程的关键是将已知条件表示成ρ与θ之间的关系式．2．初步掌握求曲线的极坐标方程的应用方法和步骤．
3．了解在极坐标系内，一个方程只能与一条曲线对应，但一条曲线即可与多个方程对应． 教学重点与难点
建立直线和圆的极坐标方程． 教学过程
师：前面我们学习了极坐标系的有关概念，了解到极坐标系是不同于直角坐标系的另一种坐标系，那么在极坐标系下可以解决点的轨迹问题吗？
问题：求过定圆内一定点，且与定圆相切的圆的圆心的轨迹方程．
师：探求轨迹方程的前提是在坐标系下，请你据题设先合理地建立一个坐标系．(巡视后，选定两个做示意图，(如图3-8，图3-9)，画在黑板上．)
解 设定圆半径为R，A(m，0)，轨迹上任一点P(x，y)(或P(ρ，θ))．(1)在直角坐标系下：|ρA|=R-|Oρ|，(两边再平方，学生都感到等式的右边太繁了．)师：在直角坐标系下，求点P的轨迹方程的化简过程很麻烦．我们看在极坐标系下会如何呢？(2)在极坐标系下：在△AOP中
|AP|2=|OA|2+|OP|2-2|OA|·|OP|·cosθ，即(R-ρ)2=m2+ρ2-2mρ·cosθ． 化简整理，得
2mρ·cosθ-2Rρ=m2-R2，师：对比两种解法可知，有些轨迹问题在极坐标系下解起来反而简
坐标方程有什么不同呢？这就是今天这节课的讨论内容．
一、曲线的极坐标方程的概念
师：在直角坐标系中，曲线用含有变量x和y的方程f(x，y)=0表示．那么在极坐标系中，曲线用含有变量ρ和θ的方程f(ρ，θ)=0来表示，也就是说方程f(ρ，θ)=0应称为极坐标方程，如上面问题中的：ρ=
(投影)定义：一般地，在直角坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)=0的实数解建立了如下的关系：
1．曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
2．以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
师：前面的学习知道，坐标(ρ，θ)只与一个点M对应，但反过来，点M的极坐标都不止一个．推而广之，曲线上的点的极坐标有无穷多个．这无穷多个极坐标都能适合方程f(ρ，θ)=吗？如曲线ρ=θ上有一点(π，π)，它的另一种形式(-π，0)就不适合ρ=θ方程，这就是说点(π，π)适合方程，但点(π，π)的另一种表示方法(-π，0)就不适合．而(-π，0)不适合方程，它表示的点却在曲线ρ=θ上．因而在定义曲线的极坐标方程时，会与曲线的直角坐标方程有所不同．
(先让学生参照曲线的直角坐标方程的定义叙述曲线的极坐标方程的定义，再修正，最后打出投影：曲线的极坐标方程的定义)曲线的极坐标方程定义：
如果极坐标系中的曲线C和方程f(ρ，0)=0之间建立了如下关系：
1．曲线C上任一点的无穷多个极坐标中至少有一个适合方程f(ρ，θ)=0；
2．坐标满足f(ρ，θ)=0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)=0叫做曲线C的极坐标方程． 师：下面我们学习最简单的曲线：直线和圆的极坐标方程．
求直线和圆的极坐标方程的方法和步骤应与求直线和圆的直角坐标方程的方法和步骤类似，关键是将已知条件表示成ρ和θ之间的关系式．
解 设M(ρ，θ)为射线上任意一点，因为∠xOM=θ，师：过极点的射线的极坐标方程的形式你能归纳一下吗？
生：是．
师：一条曲线可与多个方程对应．这是极坐标方程的一个特点．你能猜想一下过极点的直线的极坐标方程是什么形式吗？
学生讨论后，得出：θ=θ0(θ0是倾斜角，ρ∈R)是过极点的直线的极坐标方程．师：把你认为在极坐标系下，有特殊位置的直线都画出来．
例2 求适合下列条件的极坐标方程：(1)过点A(3，π)并和极轴垂直的直线；
解(1)设M(ρ，θ)是直线上一点(如图3-15)，即ρcosθ=-3为所示．
解(2)设M(ρ，θ)是直线上一点，过M作MN⊥Ox于N，则|MN|是点B到Ox的距离，师：不过极点也不垂直极轴、不平行极轴的直线的极坐标方程如何确立呢？
例3 求极坐标平面内任意位置上的一条直线l的极坐标方程(如图3-17，图3-18)．
让学生根据以上两个图形讨论确定l的元素是什么？
结论直线l的倾斜角α，极点到直线l的距离|ON|可确定直线l的位置．
解设直线l与极轴的夹角为α，极点O到直线l的距离为p(极点O到直线l的距离是唯一的定值，故α、p都是常数)．
直线l上任一点M(ρ，θ)，则在Rt△MNO中|OM|·sin∠OMN=|ON|，即ρsin(α-θ)=p为直线l的极坐标方程．(如图3-19，图3-20)
师：直线的极坐标方程的一般式：ρsin(α-θ)=p，其中α是直线的倾斜角，p是极点到l的距离，当α、p取什么值时，直线的位置是特殊情形呢？
当α=π时，ρsinθ=p，直线平行极轴； 当p=0时，θ=α，是过极点的直线．
师：以上我们研究了极坐标系内的直线的极坐标方程．在极坐标系中的圆的方程如何确立呢？如图3-21：
圆上任一点M(r，θ)，即指θ∈R时圆上任一点到极点的距离总是r，于是ρ=r是以极点为圆心r为半径的一个圆的极坐标方程．
师：和在直角坐标系中，把x=a和y=b看作是二元方程一样，θ=θ0及ρ=r也应看作是二元方程．在方程θ=θ0中，ρ不出现，说明ρ可取任何非负实数值；同样，在方程ρ=r中，θ不出现，说明θ可取任何实数值．
例4 求圆心是A(a，0)，半径是a的圆的极坐标方程．(让学生画图，教师巡视参与意见)解设⊙A交极轴于B，则|OB|=2a，圆上任意一点M(ρ，θ)，则据直径上的圆周角是直角可知：OM⊥MB，于是在Rt△OBM中，|OM|=|OB|cosθ，即ρ=2acosθ就是所求圆的极坐标方程．如图3-22．
师：在极坐标系下，目前我们理解下面几种情形下的圆的极坐标方程即可． 让学生自己得出极坐标方程．
图3-23：ρ=2rcosθ； 图3-24：ρ=-2rcosθ； 图3-25：ρ=2rsinθ； 图3-26：ρ=-2rsinθ．
师：建立直线和圆的极坐标方程的步骤与建立直线和圆的直角坐标方程的步骤一样，你能小结一下吗？(投影)分4个步骤：
(1)用(ρ，θ)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件ρ的点M的集合P=｛M|p(M)｝；(3)用坐标表示条件ρ(M)，列出方程f(ρ，θ)=0；(4)化方程f(ρ，θ)=0为最简形式．
练习：分别作出下列极坐标方程表示的曲线
(2)ρcosθ=sin2θ(cosθ=0或ρ=2sinθ)；
设计说明
《坐标系与参数方程》考点精析 篇3
1．极坐标系与点的极坐标
【定义】：苏教版选修4-4课本P7
【注】：极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况①给定有序实数对
（ρ，θ），在极坐标平面内有唯一确定的点M；
②给定极坐标平面内的一点M.，有无数个极坐标与之对应；
③如果限定ρ>0,0≤θ<2π，那么除去极点外，平面上的点就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)一一对应；
④一般地，若(ρ,θ)是某点的极坐标，则(ρ,θ+2kπ),(-ρ,θ+(2k+1)π),k∈Z都可以作为该点的极坐标.
【约定】：极点的极坐标中，极径ρ=0，极角θ可取任意值.
二、掌握简单图形的极坐标方程
1．直线
① 经过点A(a,0)且与极轴垂直的直线ρcosθ=a
②经过点A(a,π2)且与极轴平行的直线ρsinθ=a
③经过A(ρ1,θ1)点，且倾斜角为α的直线ρsin(θ-α)=ρ1sin(θ1-α)
2．圆
① 圆心在A(a,0)且过极点的圆ρ=2acosθ
②圆心在A(a,π2)且过极点的圆ρ=2asinθ
③圆心在A(ρ0,θ0)，半径为r的圆ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ20-r2=0
3．圆锥曲线的统一的极坐标方程ρ=ep1-ecosθ
0
三、掌握极坐标方程与直角坐标方程的互化
【互化的前提条件】：① 极点与直角坐标系的原点重合；② 极轴与x轴正方向重合；③ 两种坐标系取相同的单位长度.
【互化公式】：设点M的直角坐标为(x,y)，它的极坐标为(ρ,θ)，则
x=ρcosθy=ρsinθ或
ρ2=x2+y2tanθ=yx
通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ>0,0≤θ<2π.
【注】：把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点M所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ.
例1（2010江苏）在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值.
解：ρ2=2ρcosθ，圆ρ=2cosθ的普通方程为：x2+y2=2x,(x－1)2+y2=1，
直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：3x+4y+a=0，又圆与直线相切，所以|3·1+4·0+a|32+42=1,解得：a=2或a=－8.
四、参数方程
1． 曲线的参数方程
【定义】：苏教版选修4-4课本P43
五、直线、圆和椭圆的参数方程
1．经过点P（x0,y0），
倾斜角为α的直线的参数方程为x=x0+tcosαy=y0+tsinα(t为参数)
其中t表示有向线段P0P的数量，|t|=|P0P|
2．以C(x0,y0)为圆心，r为半径的圆的参数方程x=x0+rcosαy=y0+rsinα(α为参数).
注意与直线的参数方程进行比较.
3．椭圆、双曲线、抛物线的参数方程
椭圆x2a2+y2b2=1的参数方程为
x=acosθy=bsinθ(θ为参数)
双曲线x2a2-y2b2=1的参数方程为
x=acosφy=btanφ(φ为参数)
抛物线y2=2px的参数方程为
x=2pt2y=2pt(t为参数)
注意：参数方程与普通方程互化时，要注意变量的范围有无变化.
六、掌握参数方程与普通方程的互化
1．消去参数方程中的参数就得到普通方程，但要注意到普通方程中变量x,y的取值范围应与参数方程中相应的取值范围一致.消去参数的具体方法要根据参数方程的特点来考虑.
消参方法：①代人消去法由其中一式解出t，代人另一式.②加减消去法由两式加减（平方加或减）或乘除消去参数.③换元法通过代数或三角换元消去参数.
2．普通方程化为参数方程，要恰当地选择参数t和函数x=f(t)，并且使x=f(t)的值域与普通方程中变量x的范围一致，然后将x=f(t)，代人普通方程中解出y=g(t)，
即得参数方程x=f(t)y=g(t).普通方程化为参数方程，通常参数是给定的.
例2（江苏2009）已知曲线C的参数方程为x=t－1ty=3(t+1t) ,（t为参数，t>0）.求曲线C的普通方程.
解：因为x2=t+1t－2,所以x2+2=t+1t=y3,
故曲线C的普通方程为：3x2－y+6=0.
七、参数方程的简单应用
例3（江苏2008）在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆x23+y2=1上的一个动点，求S=x+y的最大值．
解： 因椭圆x23+y2=1的参数方程为x=3cosφy=sinφ (φ为参数）故可设动点P的坐标为(3cosφ,sinφ），其中0≤φ<2π.
因此S=x+y=3cosφ+sinφ=2(32cosφ+12sinφ)=2sin(φ+π3)所以，当φ=π6时，S取最大值2.
八、知识综合应用
例4（江苏2011）
在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆x=5cosφy=3sinφ （φ为参数）的右焦点且与直线x=4－2ty=3－t （t为参数）平行的直线的普通方程.
解析：椭圆的普通方程为x225+y29=1,右焦点为（4，0），直线x=4－2ty=3－t （t为参数）的普通方程为2y－x=2，斜率为12；所求直线方程为：y=12(x－4),即x－2y－4=0
例5直线l的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=22，求点A(4,5π6)到直线l的距离.
解：在以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴的直角坐标系中，A(4,5π6)的直角坐标为A(4cos5π6,4sin5π6)即A(－23,2)，
直线l的极坐标方程 ρsin(θ+π4)=ρ(22sinθ+22cosθ)=22，∴ρsinθ+ρcosθ=1，
化为直角坐标方程为 x+y－1=0.
点A(－23,2)到直线x+y－1=0的距离d=|－23+2－1|2=6－22，
∴点A(4,5π6)到直线l的距离为6－22.
例6在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=22sin(θ－π4)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为x=1+45ty=－1－35t （t为参数），求直线l被曲线C所截得的弦长.
解：将曲线C的极坐标方程ρ=22sin(θ－π4)化为直角坐标方程为x2+y2+2x－2y=0.直线l的参数方程 x=1+45ty=－1－35t 化为普通方程：3x+4y+1=0.
由曲线C的圆心为C(－1,1)，半径为2，所以圆心C到直线l的距离为25，故所求弦长为22－(25)2=2465.
（作者：晏良江，江苏省新沂市高级中学)
参数(坐标) 篇4
1 利用曲线的参数方程求有关最值(范围)问题
利用曲线的参数方程求解两曲线间的最值问题,是非常简捷、方便的,是我们解决这类问题最常用、最普遍的好方法.因此必须熟悉常见曲线的参数方程、参普方程的互化以及参数方程的简单应用;数形结合,根据图形优化解题策略,是用参数法还是普通方程法.
(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;
(Ⅱ)过曲线C上任一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.
分析(Ⅰ)利用椭圆的普通方程及直线的参数的特征进行参普互化.
解(Ⅰ)曲线C的参数方程为
直线l的普通方程为
(Ⅱ)如图1,在曲线C上任意取一点P(2cosθ,3sinθ)到l的距离为
评注将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数,常用的技巧有代入消参、加减消参、整体消参、平方后加减消参等.一般地,如果题目中涉及圆、椭圆上的动点求相关最值(范围)问题时,可考虑用其参数方程设出点的坐标,将问题转化为三角函数问题得以解决,使解题的过程简单明了.
(Ⅰ)写出圆C的直角坐标方程;
(Ⅱ)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.
从而有
如图2,故当t=0时,|PC|取最小值,此时P点的直角坐标为(3,0).
评注求最值问题通常转化为函数问题解答,难点是确定变量及建立函数关系式,几何问题也常常数形结合,根据几何意义确定最值点.
2 利用直线参数方程中t的几何意义求与距离有关的问题
若A,B为直线l上两点,其对应的参数分别为t1与t2,线段AB的中点为M,点M对应的参数为t0,则以下结论经常用到:
这些结论重在数形结合,理解记忆,切忌生搬硬套,牵强附会.
(Ⅰ)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(Ⅱ)将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程,借助图形,利用参数的几何意义结合韦达定理即可求解.
设这个方程的两个实数根分别为t1,t2,则
评注直线上与定点距离有关的问题,利用直线参数方程中参数t的几何意义,能避免通过解方程组找交点繁琐的运算,使问题得到简化.
(Ⅰ)求直线AF2的极坐标方程;
解析(Ⅰ)先利用三角函数中的平方关系消去参数α即可将椭圆化为普通方程
利用互化公式化为极坐标方程为
最后利用t的几何意义求得
3 利用极坐标中ρ的几何意义求有关距离或相关问题
“坐标系与参数方程”通常的解题思路是把极坐标方程、参数方程都化为直角坐标方程,用普通方程的方法解决,但也不尽然.
大家知道,极坐标中的ρ为极径,表示曲线上这一点与原点O之间的距离,为此与原点O有关的距离、面积等问题都可首先考虑运用极坐标中ρ的几何意义解决它,这不仅是一种解题思路,更多时候它要比化为直角坐标运算简便的多,是一种优化策略,可谓事半功倍.
(Ⅰ)求C2与C1交点的直角坐标;
(Ⅱ)若C2与C1相交于点A,C3与C1相交于点B,求|AB|的最大值.
分析(Ⅰ)将曲线C2与C1的极坐标方程化为直角坐标方程,联立求交点,得其交点的直角坐标,也可以直接联立极坐标方程,求得交点的极坐标,再化为直角坐标.
(Ⅱ)分别联立C2与C1和C3与C1的极坐标方程,求得A,B的极坐标,由极径的概念将|AB|表示,转化为三角函数的最大值问题处理.
解(Ⅰ)曲线C2的直角坐标方程为
曲线C3的直角坐标方程为
(Ⅱ)如图6所示,曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α≤π.因此得到A的极坐标为(2sinα,α),B的极坐标为(2槡3cosα,α).所以
评注求得A,B的极坐标,由极径的概念将|AB|表示,转化为三角函数的最大值问题处理;否则,化为直角坐标处理,将深陷泥潭,事倍功半.高考试卷加大了极坐标方程中极径和极角的概念考查力度,复习时要克服把所有问题直角坐标化的误区.
例6(2015年高考全国卷Ⅰ理科第23题)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程;
分析(Ⅰ)根据公式
解析(Ⅰ)因为
所以C1的极坐标方程为
C2的极坐标方程为
因为C2的半径为1,则△C2MN的面积
4 与其它知识交汇问题
高考注重在知识的交汇点处命题,故“坐标系与参数方程”有可能与集合、向量、概率、函数、线性规划、数列、定积分、程序框图等交汇.
解析(Ⅰ)在ρ=cosθ两边同乘ρ,得ρ2=ρcosθ,化成直角坐标方程,得
(Ⅱ)由题意知,直线l的普通方程为x-y+4=0.因为曲线C上所有点均在直线l的右下方,故对θ∈R,有
恒成立,即
评注剥去集合、极坐标与参数方程的华丽外衣,等价转化为直角坐标,暴露出它的数学实质,化陌生为熟悉,通过数形结合,更使问题明朗化.本题利用结论:f(x)>A在区域D上恒成立,等价于[f(x)]min>A;f(x)<A在区域D上恒成立,等价于[f(x)]max>A.
随着高考的不断改革,我们有理由相信,“坐标系与参数方程”在以上个4方面的考查会越来越突出,这应引起教者与学者的足够重视,学习和研究它们的解题方法、规律、技巧、思想.
参考文献
参数(坐标) 篇5
十三、坐标系与参数方程
一、单选题
1．（2019·北京（理））已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1,0）到直线l的距离是
A．
B．
C．
D．
二、解答题
2．（2021·全国（文））在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出Р的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点．
3．（2021·全国（理））在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．
（1）写出的一个参数方程;
（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
4．（2020·江苏）在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上（其中，）．
（1）求，的值
（2）求出直线与圆的公共点的极坐标．
5．（2020·全国（文））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点.（1）求||：
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.6．（2020·全国（理））在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）当时，是什么曲线？
（2）当时，求与的公共点的直角坐标．
7．（2020·全国（理））已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：（θ为参数），C2：（t为参数）.（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.8．（2019·江苏）在极坐标系中，已知两点，直线l的方程为.（1）求A，B两点间的距离；
（2）求点B到直线l的距离.9．（2019·全国（理））如图，在极坐标系中，，，弧，所在圆的圆心分别是，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.（1）分别写出，的极坐标方程；
（2）曲线由，构成，若点在上，且，求的极坐标.10．（2019·全国（文））在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P.（1）当时，求及l的极坐标方程；
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.11．（2019·全国（文））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
12．（2018·江苏）
在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长．
13．（2018·全国（文））
在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的直角坐标方程；
（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.14．（2018·全国（理））
在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．
（1）求的取值范围；
（2）求中点的轨迹的参数方程．
15．（2018·全国（文））在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.（1）求和的直角坐标方程；
（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
16．（2017·全国（理））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为
．
（1）若，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求．
17．（2017·全国（理））
在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M的极径.18．（2017·全国（理））在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；
（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．
19．（2017·全国（理））在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；
（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．
20．（2017·江苏）已知直线l的参考方程为（t为参数）,曲线C的参数方程为（s为参数）．设p为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值
三、填空题
21．（2019·天津（理））设，直线和圆（为参数）相切，则的值为____.22．（2018·北京（理））在极坐标系中，直线与圆相切，则__________．
23．（2018·天津（理））已知圆的圆心为，直线（为参数）与该圆相交于、两点，则的面积为___________.24．（2017·天津（理））在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为___________.25．（2017·北京（理））在极坐标系中，点在圆上，点的坐标为，则的最小值为__________．
近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编
十三、坐标系与参数方程（答案解析）
1．D
【分析】
首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可.【解析】
直线的普通方程为,即,点到直线的距离,故选D.【小结】
本题考查直线参数方程与普通方程的转化,点到直线的距离,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.2．（1）；（2）P的轨迹的参数方程为（为参数），C与没有公共点.【分析】
（1）将曲线C的极坐标方程化为，将代入可得；
（2）设，设，根据向量关系即可求得P的轨迹的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.【解析】
（1）由曲线C的极坐标方程可得，将代入可得，即，即曲线C的直角坐标方程为；
（2）设，设，则，即，故P的轨迹的参数方程为（为参数）
曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2，则圆心距为，两圆内含，故曲线C与没有公共点.【小结】
本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出的参数坐标，利用向量关系求解.3．（1），（为参数）；（2）或.【分析】
（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；
（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.【解析】
（1）由题意，的普通方程为，所以的参数方程为，（为参数）
（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于1可得，解得，所以切线方程为或，将，代入化简得
或
【小结】
本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.4．（1）（2）
【分析】
(1)将A,B点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果.【解析】
（1）以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，因为点为直线上，故其直角坐标方程为，又对应的圆的直角坐标方程为：，由解得或，对应的点为，故对应的极径为或.（2），当时；
当时，舍；即所求交点坐标为当
【小结】
本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题.5．（1）（2）
【分析】
（1）由参数方程得出的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出的值；
（2）由的坐标得出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【解析】
（1）令，则，解得或（舍），则，即.令，则，解得或（舍），则，即.；
（2）由（1）可知，则直线的方程为，即.由可得，直线的极坐标方程为.【小结】
本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.6．（1）曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）.【分析】
（1）利用消去参数，求出曲线的普通方程，即可得出结论；
（2）当时，曲线的参数方程化为
为参数），两式相加消去参数，得普通方程，由，将曲线
化为直角坐标方程，联立方程，即可求解.【解析】
（1）当时，曲线的参数方程为为参数），两式平方相加得，所以曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；
（2）当时，曲线的参数方程为为参数），所以，曲线的参数方程化为为参数），两式相加得曲线方程为，得，平方得，曲线的极坐标方程为，曲线直角坐标方程为，联立方程，整理得，解得或
（舍去），公共点的直角坐标为
.【小结】
本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关键，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.7．（1）；；（2）.【分析】
（1）分别消去参数和即可得到所求普通方程；
（2）两方程联立求得点，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【解析】
（1）由得的普通方程为：；
由得：，两式作差可得的普通方程为：.（2）由得：，即；
设所求圆圆心的直角坐标为，其中，则，解得：，所求圆的半径，所求圆的直角坐标方程为：，即，所求圆的极坐标方程为.【小结】
本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.8．（1）；
（2）2.【分析】
(1)由题意，在中，利用余弦定理求解的长度即可；
(2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标，然后结合点B的坐标结合几何性质可得点B到直线的距离.【解析】
（1）设极点为O.在△OAB中，A（3，），B（，），由余弦定理，得AB=.（2）因为直线l的方程为，则直线l过点，倾斜角为．
又，所以点B到直线l的距离为.【小结】
本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．
9．(1)，,(2)，,.【分析】
(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中的取值范围.(2)根据条件逐个方程代入求解，最后解出点的极坐标.【解析】
(1)由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.，,.(2)解方程得，此时P的极坐标为
解方程得或，此时P的极坐标为或
解方程得，此时P的极坐标为
故P的极坐标为，,.【小结】
此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题.10．（1），l的极坐标方程为；（2）
【分析】
（1）先由题意，将代入即可求出；根据题意求出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可；
（2）先由题意得到P点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围.【解析】
（1）因为点在曲线上，所以；
即，所以，因为直线l过点且与垂直，所以直线的直角坐标方程为，即；
因此，其极坐标方程为，即l的极坐标方程为；
（2）设，则，由题意，所以，故，整理得，因为P在线段OM上，M在C上运动，所以，所以，P点轨迹的极坐标方程为，即.【小结】
本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.11．（1）；；（2）
【分析】
（1）利用代入消元法，可求得的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.【解析】
（1）由得：，又
整理可得的直角坐标方程为：
又，的直角坐标方程为：
（2）设上点的坐标为：
则上的点到直线的距离
当时，取最小值
则
【小结】
本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.12．直线l被曲线C截得的弦长为
【解析】
分析：先根据直线与圆极坐标方程得直线与圆的一个交点为A（4，0），且OA为直径.设直线与圆的另一个交点为B，根据直线倾斜角得∠OAB=．最后根据直角三角形OBA求弦长.解析：因为曲线C的极坐标方程为，所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．
因为直线l的极坐标方程为，则直线l过A（4，0），倾斜角为，所以A为直线l与圆C的一个交点．
设另一个交点为B，则∠OAB=．
连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=，所以．
因此，直线l被曲线C截得的弦长为．
小结：本题考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力.13．(1)
.(2)
.【解析】
分析：(1)就根据，以及，将方程中的相关的量代换，求得直角坐标方程；
(2)结合方程的形式，可以断定曲线是圆心为，半径为的圆，是过点且关于轴对称的两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直线与圆的位置关系，得到k所满足的关系式，从而求得结果.解析：（1）由，得的直角坐标方程为
．
（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．
由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．
经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．
经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．
综上，所求的方程为．
小结：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果.14．（1）
（2）为参数，【解析】
分析：（1）由圆与直线相交，圆心到直线距离可得．
（2）联立方程，由根与系数的关系求解
解析：（1）的直角坐标方程为．
当时，与交于两点．
当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．
综上，的取值范围是．
（2）的参数方程为为参数，．
设，对应的参数分别为，，则，且，满足．
于是，．又点的坐标满足
所以点的轨迹的参数方程是
为参数，．
小结：本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的参数方程，考查求点的轨迹方程，属于中档题．
15．（1），当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为；（2）
【分析】
分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分
与两种情况.(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得之间关系，求得，即得的斜率．
【解析】
解析：（1）曲线的直角坐标方程为．
当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．
（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程
．①
因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，则．
又由①得，故，于是直线的斜率．
16．（1），；（2）或．
【解析】
试题分析：（1）直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立解交点坐标；（2）利用椭圆参数方程，设点，由点到直线距离公式求参数．
试题解析：（1）曲线的普通方程为.当时，直线的普通方程为.由解得或.从而与的交点坐标为，.（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为
.当时，的最大值为.由题设得，所以；
当时，的最大值为.由题设得，所以.综上，或.小结:本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表示出椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数的值．
17．（1）（2）
【解析】
（1）消去参数得的普通方程；消去参数m得l2的普通方程.设,由题设得，消去k得.所以C的普通方程为.（2）C的极坐标方程为.联立得.故，从而.代入得，所以交点M的极径为.【名师小结】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.18．（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）设出P的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为；
（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得面积的最大值为.试题解析：解：（1）设P的极坐标为（）（＞0），M的极坐标为（）由题设知
|OP|=，=.由|OP|=16得的极坐标方程
因此的直角坐标方程为.（2）设点B的极坐标为
（）.由题设知|OA|=2，于是△OAB面积
当时，S取得最大值.所以△OAB面积的最大值为.小结:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.19．（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）设出P的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为；
（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得面积的最大值为.试题解析：解：（1）设P的极坐标为（）（＞0），M的极坐标为（）由题设知
|OP|=，=.由|OP|=16得的极坐标方程
因此的直角坐标方程为.（2）设点B的极坐标为
（）.由题设知|OA|=2，于是△OAB面积
当时，S取得最大值.所以△OAB面积的最大值为.小结:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.20．.【解析】
直线的普通方程为.因为点在曲线上，设，从而点到直线的的距离，当时，.因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值.21．
【分析】
根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出满足的方程，解之解得．
【解析】
圆化为普通方程为，圆心坐标为，圆的半径为，由直线与圆相切，则有，解得．
【小结】
直线与圆的位置关系可以使用判别式法，但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小作出判断．
22．【分析】
根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出.【解析】
因为，由，得，由，得，即，即，因为直线与圆相切，所以
【小结】
（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式及直接代入并化简即可；
（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.23．
【分析】
由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积即可.【解析】
由题意可得圆的标准方程为：，直线的直角坐标方程为：，即，则圆心到直线的距离：，由弦长公式可得：，则.【小结】
处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
24．2
【解析】
直线为，圆为，因为，所以有两个交点
【考点】极坐标
【名师小结】再利用公式
把极坐标方程化为直角坐标方程，再解联立方程组根据判别式判断出交点的个数，极坐标与参数方程为选修课程，要求灵活使用公式进行坐标变换及方程变换.25．1
【解析】
试题分析：将圆的极坐标方程化为普通方程为，整理为，圆心为，点是圆外一点，所以的最小值就是.【考点】极坐标与直角坐标方程的互化，点与圆的位置关系
参数(坐标) 篇6
坐标系与参数方程命题的重点是两种形式方程的转化以及直线和圆、直线与椭圆的位置关系，这主要包括特殊曲线的极坐标方程的求解以及极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化等，这也是高考命题的主要热点.
二、知识整理
1.极坐标
（1）极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点，从O点引出一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及正方向（通常取逆时针方向），这样就确定了一极坐标系.设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ，有序数对（ρ，θ）叫做点M的极坐标，记作M（ρ，θ）.
（2）极坐标与直角坐标的互化：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是（x，y），极坐标为（ρ，θ），则它们之间的关系为x=ρcosθ，y=ρsinθ，又可得到关系式：ρ2=x2+y2，tanθ=yx.
2.直线的极坐标方程
（1）若直线过点M（ρ0，θ0），且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：
ρsin（θ-α）=ρ0sin（θ0-α）.
（2）几个特殊位置的直线的极坐标方程
θ=α（ρ∈R）表示过极点且与极轴成α角的直线（如图①）;ρcosθ=a表示过（a，0）且垂直于极轴的直线（如图②）;ρsinθ=b表示过（b，π2）且平行于极轴的直线（如图③）.
3.圆的极坐标方程
（1）若圆心为M（ρ0，θ0），半径为r的圆方程为ρ2-2ρ0ρcos（θ-θ0）+ρ20-r2=0.
（2）几个特殊位置的圆的极坐标方程
ρ=r表示圆心在极点，半径为r的圆（如图④）.
ρ=2rcosθ表示圆心在（r，0），半径为r的圆（如图⑤）.ρ=2rsinθ表示圆心在（r，π2），半径为r的圆（如图⑥）.
4.曲线的参数方程
在平面直角坐标系xOy中，如果曲线上任意一点坐标x，y都是某个变量t的函数x=f（t）
y=g（t）并且对于t的每一个允许值，上式所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，则称上式为该曲线的参数方程，其中变量t称为参数.
5.一些常见曲线的参数方程
（1）过点P0（x0，y0），且倾斜角为α的直线的参数方程为x=x0+tcosα
y=y0+tsinα（t为参数），设P是直线上的任一点，则t表示有向线段P0P的数量.
（2）圆的方程（x-a）2+（y-b）2=r2的参数方程为x=a+rcosθ
y=b+rsinθ（θ为参数）.
（3）椭圆方程x2a2+y2b2=1（a>b>0）的参数方程为x=acosθ
y=bsinθ（θ为参数）.
（4）抛物线方程y2=2px（p>0）的参数方程为x=2pt2
y=2pt（t为参数）.
二、复习指导
（1）准确把握一个区别：极坐标系与直角坐标系是两种不同的坐标系，不能把直角坐标系中的公式直接应用到极坐标中，如直角坐标系中的两点间距离公式就不能在极坐系中使用.
（2）熟练掌握两个转化：一是参数方程向普通方程转化的基本方法就是消参数法，但要注意参数的取值范围对普通方程中变量的限制;二是极坐标与直角坐标的转化，要准确记忆相应公式，这是转化的基础.
（3）灵活应用一个性质，即在解决直线和圆的位置关系时，要注意灵活利用几何性质——即平面几何中有关圆的结论来求解，减少运算量，提高解题的速度和准确度.
三、典例全解
1.求解参数方程相关问题的简便方法
例1 将参数方程x=3t-5
y=-2t+1（t为参数），化成普通方程，并判断它是什么曲线？
分析：参数方程中的两个方程都是关于t的一次方程，由其中任意一个都可以解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程即可，也可以将两个方程分别乘上某个数，把t的系数化成相同，然后两式相减即可.
解析：法一：由x=3t-5，得t=x+53，把t=x+53代入y=-2t+1，得y=-2·x+53+1，整理得2x+3y+7=0，即所求曲线的普通方程为2x+3y+7=0，它是一条直线.
法二：参数方程可变形为2x=6t-10
-3y=6t-3，消去t，得2x+3y+7=0，即所求曲线的普通方程为2x+3y+7=0，它是一条直线.
点评：代入消参法与加减消参法是解决参数方程化为普通方程最常用的两种方法，本例的解法一就是代入消参法，从参数方程中选出x=3t-5，解出参数t=x+53，然后把参数t的表达式代入y=-2t+1，消去参数t，即可把已知参数方程化为普通方程;解法二采用的是加减消参法，将参数方程中的两个方程分别乘上某个常数，把t的系数化相同，然后两式相减即可.注意：不是所有的参数方程都可以化成普通方程，化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，这种消参的过程不能增加或减少曲线上的点，即要求参数方程和普通方程是等价的，因此在消参时要注意以下两个方面：（1）根据参数条件，明确x，y的取值范围;（2）消去参数后，普通方程要与原参数方程的取值范围保持一致，为了防止转化过程中出现范围的变化，也可以先由参数方程讨论出x，y的变化范围，再对方程进行转化.
2.参数方程与极坐标方程的综合问题
例2 已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，设直线l的参数方程是x=-35t+2
y=45t（t为参数），（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;（2）设直线l与x轴的交点是M，N为曲线C上一动点，求|MN|的最大值.
分析：第（1）问利用极坐标公式x2+y2=ρ2，y=ρsinθ把曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程;第（2）问的方法比较多，可以利用数形结合法求解，可以通过圆的参数方程求解，也可以利用参数法、极坐标法或整体代换法求解.
解析：（1）曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ，又x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0.
（2）法一（几何法）将直线l的参数方程转化为普通方程，得y=-43（x-2），令y=0，得x=2，即M点的坐标为（2，0），又由（1），知曲线C为圆，圆心C的坐标为（0，1），半径r=1，所以|MC|=5，利用数形结合，可知|MN|≤|MC|+r=5+1，即|MN|的最大值为5+1.
法二（参数法）由（1）知曲线C即圆x2+y2-2y=0的标准方程为x2+（y-1）2=1，圆的参数方程为x=cosα
y=1+sinα（α为参数），N为曲线C上一动点，设N（cosα，1+sinα），由直线l的参数方程是
x=-35t+2
y=45t，知直线l过点M（2，0），所以
|MN|=（cosα-2）2+（1+sinα）2
=6+2（sinα-2cosα）=6+25sin（α-φ）
≤6+25=5+1，
即|MN|的最大值为5+1.
法三（极坐标法）由直线l的参数方程是
x=-35t+2
y=45t，知直线l过点M（2，0），在极坐标系中，M（2，0），N（ρ，θ）且ρ=2sinθ，由余弦定理可得
|MN|2=ρ2+4-2×2ρcosθ=（2sinθ）2+4-4×2sinθcosθ=4sin2θ+4-4sin2θ=2-2cos2θ-4sin2θ+4=6-2（2sin2θ+cos2θ）=6-25sin（2θ+φ）≤6+25=（5+1）2，（其中tanφ=12），所以|MN|的最大值为5+1.
点评：圆上的动点到定点距离的最值问题可用代数法或几何法求解，代数法就是设圆上动点的坐标，利用圆的方程以及距离公式建立目标函数，转化为函数的最值问题求解，如本例第（2）问中的解法二就是利用圆的参数方程，将其转化为求解三角函数的最值问题;而解法三直接利用圆的极坐标方程和余弦定理建立关于极角的目标函数求解最值.几何法就是利用圆的性质直接判断最值，如本例中第（2）问中的解法一直接利用圆心到定点的距离和圆的半径表示最值，显然利用几何法求解更为简捷直观.
3.巧选“定点” 妙用参数方程的典例赏析
过定点P0（x0，y0），倾斜角为α的直线的参数方程x=x0+tcosα
y=y0+tsinα（t为参数）有着广泛的应用，深刻理解参数t的几何意义，恰当选择方程中的“定点”，是灵活运用直线参数方程解题的关键，下面例说巧妙选择定点的几种常见路径.
（1）选已知点为定点
如果直线或直线系经过已知点，那么可尝试以该已知点为方程中的“定点”.
例3 如图，已知焦点在x轴上的椭圆长轴|A1A2|=6，焦距|F1F2|=42，过椭圆焦点F1作一直线交椭圆于两点M、N，设∠MF1F2=α（0≤α<π），当α为何值时，|MN|等于椭圆短轴的长？
解析：建立如图所示的坐标系，则椭圆方程为
x29+y2=1，F1（-22，0），设MN：x=-22+tcosα
y=tsinα
（t为参数），将其代入椭圆方程得：
（cos2α+9sin2α）t2-42tcosα-1=0，
由|MN|=（y2-y1）2+（x2-x1）2=|t1-t2|=（t1+t2）2-4t1·t2=61+8sin2α及|MN|=2，得sinα=±12，∵α∈[0，π），∴α=π6或α=5π6.
（2）选动弦的中点为“定点”
如果以动弦的中点为方程中的“定点”，那么由参数t的几何意义可得t1+t2=0，用好这一关系式常可使求解大为简化.
例4 已知椭圆C：x24+y23=1，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x+m，C上有不同两点关于l对称.
解析：设两对称点为A、B，线段AB的中点为M（x0，4x0+m），则AB：x=x0+tcosα
y=4x0+m+tsinα（t为参数），将其代入x24+y23=1，得（3cos2α+4sin2α）t2+2[3x0cosα+4（4x0+m）sinα]t+3x20+4（4x0+m）2-12=0，∵tA+tB=0，∴3x0cosα+4（4x0+m）sinα=0，又∵AB⊥l，∴tanα=-14，代入上式得3x0+4（4x0+m）（-14）=0，即x0=-m ①，由tA·tB<03x20+4（4x0+m）2-12<0，将①代入上式，得3m2+4·9m2-12<0，解得m∈（-21313，21313）.
（3）选弦的定比分点为“定点”
如果以弦AB的定比分点P（λ=APPB）为方程中的“定点”，那么由t的几何意义可将定比条件转化为相应参数间的关系式tAtB=λ.
例5 已知椭圆C：x24+y23=1，若过C的右焦点F的直线l与C交于A（x1，y1），B（x2，y2），（其中y1>y2），且|AF||BF|=2，求直线l的方程.
解析：F（1，0），设l的方程为x=1+tcosα
y=tsinα（t为参数，α为钝角），将其代入C的方程，得（3cos2α+4sin2α）t2+6tcosα-9=0，设A、B对应参数为t1，t2，则
t1+t2=-6cosα3cos2α+4sin2α ①，
t1·t2=-93cos2α+4sin2α<0 ②，
又|AF||BF|=|t1t2|=-t1t2=2，即t1=-2t2 ③，
将③分别代入①、②，得t2=6cosα3cos2α+4sin2α，2t22=93cos2α+4sin2α，∴8cos2α=3cos2α+4sin2αtanα=±52，由y1>y2，得tanα<0，
故l的方程为y=-52（x-1）.
（4）选所求点为“定点”
如果选取所求点为方程中的“定点”，那么可将该点所满足的几何性质直接用相应的参数t去刻划.
例6 已知直线y=x+m与曲线x2+2y2+4y-1=0交于A、B两点，P是这条直线上的点，且|PA|·|PB|=2，求当m变化时，点P的轨迹方程.
解析：设P（x0，y0），直线y=x+m的参数方程为x=x0+22t
y=y0+22t（t为参数），代入曲线方程，得32t2+2（x0+2y0+2）t+x20+2y20+4y0-1=0（），
由|PA|·|PB|=|t1t2|=2，得
2（x20+2y20+4y0-1）3=2，
或2（x20+2y20+4y0-1）3=-2.
即x206+（y0+1）23=1，或x0=0，y0=-1.
又方程（）中Δ≥02（x0-y0）2+4（y0-x0）-7≤0，由y0=x0+m，代入上式得2m2+4m-7≤0，
即-322-1≤m≤322-1，
故P点的轨迹是椭圆x26+（y+1）23=1界于两条直线y=x-1+322与y=x-1-322之间的部分及点（0，-1）.
从上述各例可以看出，直线参数方程中的“定点”蕴含着“动”与“静”的辩证性，若能根据问题的特点及参数t的几何意义，适当选取方程中的“定点”，灵活运用直线参数方程，对简化解题过程、开阔解题思路大有裨益.
参数(坐标) 篇7
一、考查点或曲线的极坐标与直角坐标的互化
例1 ( 2007年新课标) ⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ = 4cosθ, ρ = - 4sinθ.
( 1) 把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程;
( 2) 求经过⊙O1和⊙O2交点的直线的直角坐标方程.
解析以极点为原点, 极轴为x轴正半轴, 建立平面直角坐标系, 两坐标系中取相同的长度单位.
( 1) x = ρcosθ, y = ρsinθ, 由ρ = 4cosθ得ρ2= 4ρcosθ.所以x2+ y2= 4x. 即x2+ y2- 4x = 0为⊙O1的直角坐标方程. 同理x2+ y2+ 4y = 0为⊙O2的直角坐标方程.
( 2) 由即⊙O1, ⊙O2交于点 ( 0, 0) 和 ( 2, - 2) . 过交点的直线的直角坐标方程为y = - x.
方法总结1. 要抓住极坐标与直角坐标互化公式这个关键点, 这样就可以把极坐标问题转化为直角坐标问题解决. 2.对点的极坐标与直角坐标的互化要抓住公式, 但要注意把点的直角坐标化为极坐标, 求极角θ时, 应注意判断点P所在的象限, 以便正确地求出角θ, 当点位于直角坐标轴上时, 可以充分利用数形结合的思想直接写出点的极坐标.
二、考查曲线的参数方程和普通方程的互化
例2 ( 2008年新课标) 已知曲线C1:
( 1) 指出C1, C2各是什么曲线, 并说明C1与C2公共点的个数;
( 2) 若把C1, C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半, 分别得到曲线C'1, C'2. 写出C'1, C'2的参数方程. C'1与C'2公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同?说明你的理由.
解析 ( 1) C1是圆, C2是直线. C1的普通方程为的距离为1, 所以C2与C1只有一个公共点.
( 2) 压缩后的参数方程分别为C'1:, 故压缩后的直线C'2与椭圆C'1只有一个公共点, 和C1与C2公共点个数相同.
方法总结将参数方程化为普通方程的关键是消去参数: 一要熟练掌握常用的消参方法 ( 如整体代换、代入消去法、加减消去法、恒等式 ( 三角的或代数的) 消去法) , 二要注意参数的取值范围的一致性.
三、考查点的轨迹的参数方程
例3 ( 2010年新课标 卷 ) 已知直线C1:
( 1) 当α =π/3时, 求C1与C2的交点坐标;
( 2) 过坐标原点O作C1的垂线, 垂足为A, P为OA中点, 当α变化时, 求P点的轨迹的参数方程, 并指出它是什么曲线.
解析 ( 1) 当α =π/3时, C1的普通方程为. 联立方程组, 解得C1与C2的交点为
( 2) C1的普通方程为xsinα - ycosα - sinα = 0. A点坐标为sin2α - cosαsin (α) , 故当α变化时, P点轨迹的参数方程为, 故P点轨迹是圆心为 (1/4, ) 0 , 半径为1/4的圆.
方法总结用参数法求点的轨迹方程, 是通过已知条件把所求的点的横、纵坐标分别表示为某个参数 ( 该参数通常是角度) 的函数, 但要注意参数的取值范围.
参数(坐标) 篇8
目前的便携式测量机结构参数标定方法,对标定过程中采样策略并未做具体研究,如标准杆件法,石英棒在空间放置位置具有一定的随机性。为得到理想的标定结果,只能无谓地增加标定次数。文中以标准杆件法为例,通过研究高斯—牛顿矩阵性态问题得出条件数对参数辨识性的影响,并通过模拟实验找出了采样点的各关节角度范围与条件数的关系,以此提出一种优化的采样策略。
1 标定过程中参数可辨识性
用D-H方法推出的测量机测量方程式中包含21项待辨识的参数:杆件长度l1、l2、l3、l4、l5;杆件扭角α1、α2、α3、α4、α5;关节转角θ2、θ3、θ4、θ5、θ6;杆件偏置量d2、d3、d4、d5、d6;测头偏置量l6,21项参数记为b1,b2,…,b21。对于可观测性的量x与y有[2]
y=f(x;b1,b2,…,bn) (1)
式中,x是自变量;y为变量,向量b=(b1,b2,…,bn)为n维待辨识的参数,n=21。要标定出这21项参数,则要通过m(m>n)组观测数据(x1,y1)…(xm,ym)寻求参数向量b的最佳估计值,这是典型的参数辨识问题。向量b的最佳估计值就是使得残差r=yi-fi,i=1,…,m最小。于是有目标函数[3,4]
采用高斯—牛顿法将上式的非线性问题转化为线性问题得线性方程
(ATA)Δ=ATr (3)
式中,A为m×21(m>21)阶Jacobin矩阵;Δ=[Δ1,Δ2,…,Δ21]T为21项待辨识的结构误差参数增量。可看出Jacobin矩阵A与残差r直接决定了方程组的解;矩阵A的性态决定了方程组解对干扰的敏感性,残差r的大小取决于参数初值的选取以及测量机系统的稳定性等因素。
对于线性方程组Ax=b,关于矩阵性态有如不等式[5]
式中,cond(A)为矩阵A的条件数;
2 模拟实验
在实际进行便携式坐标测量机的参数标定时,采样点坐标决定Jacobin矩阵的条件数。这里做个模拟实验,采用基于两点距离的高斯—牛顿法对测量机参数辨识,给出两组柔性坐标测量机的关节空间坐标值A组和B组,其中A组数据各个关节变化范围大,B组数据则将各个关节坐标值变化控制在很小的范围内。将21项误差初始值取相同值,发现用A组数据计算得出的Jacobin矩阵的条件数量级在103,用B组数据计算得出的Jacobin矩阵的条件数量级在106,由此可见在柔性坐标测量机的实际应用中,能够通过增大测量机各关节空间的取值范围来有效的改善Jacobin矩阵的条件数。
3 优化采样策略
锥孔标准杆件标定法是分别记录下探测锥孔标准杆两端时关节式坐标测量机的姿态,并以两端锥孔时球心之间的距离作为基准量来逆解测量机的21项参数[6]。
根据以上理论研究及模拟实验的结论,为增大采样的各个关节的变化范围提出一种采样策略:将标准件在测量机测量范围内均匀放置,并在每一个位置采样时均匀旋转锥窝标准杆,可有效增大各个关节的取值范围。为验证这一策略的有效性,分别对比一下3种采样策略。
(1)A组实验将标准杆基座固定在与坐标机同一平面上,距离a=40 cm处,固定石英棒采样500组数据,如图1所示。处理所得结构参数如表1所示。
(2)B组实验将标准杆件基座固定在与坐标机同一平面上,距离同样为40 cm处在空间内均匀旋转石英棒采样500组数据,处理所得结构参数如表2所示。
具体采样方法如图2所示。图中粗直线为两头带锥孔的石英棒,即标准杆件。在标定时,将石英棒在不同平面内均匀旋转采样,例如每隔10°放置标准杆并采样,同可得到36组比对结果,接着,依次在平面2、平面3、…、平面n内均匀采样,一直延续到整个测量空间[7]。
(3)C组实验将标准杆件基座固定在与坐标机同一平面,保持测量机位置固定不动,标准杆件以测量机底座为圆心,40 cm为半径旋转,如图3所示,每隔60°放置一个位置采样500组数据,采样时石英棒的旋转类似于步骤(2)。处理所得结构参数如表3所示。
将所求得的3组参数带入坐标测量机,并对300 mm的量块进行50次测量,量块摆放位置任意选定。测量数据处理结果如表4所示。由表4可得C组中在保证标准杆件基座与坐标测量机距离与采样次数均相同的情况下,空间内尽量均匀旋转整个标准件和石英棒这种采样策略标定得来的结果,相比另外两种采样策略要好得多,所得参数带入测量机后,测量值更加接近真实值。
4 结束语
针对便携式坐标测量机参数标定过程中运用高斯—牛顿法时矩阵性态的问题,指出了在标定柔性坐标测量机21项结构参数时,应减小Jacobin矩阵的条件数。为减小Jacobin矩阵的条件数,提出了一种增大各个关节取值范围的采样策略。以锥孔标准杆标定法为例,将标准件在测量机测量范围内均匀放置,并在每一个位置采样时均匀旋转锥窝标准杆,有效增大了各关节的取值范围。最后通过精度对比试验验证了这一策略增强了测量机参数系统误差的可辨识性,保证了便携式坐标测量机的精度。
参考文献
[1]于连栋,程文涛,费业泰.基于激光跟踪仪的关节式坐标测量机参数标定[J].中国科学技术大学学报,2009,39(12):1329-1332.
[2]程文涛.关节式坐标测量机标定技术研究[D].合肥:合肥工业大学,2011.
[3]BAI YING,WANG DALI.On the comparison of interpolationtechniques for robotics position compensation[C].IEEE In-ternational Conference on Robotics&Automation,2003:3384-3389.
[4]邓乃扬.无约束最优化计算方法[M].北京:科学出版社,1982.
[5]陈志平,徐成贤.不精确高斯-牛顿法的收敛性[J].工程数学学报,1997,14(4):1-7.
[6]郑大腾.柔性坐标测量机空间误差模型及最佳测量区研究[D].合肥:合肥工业大学,2010.
参数(坐标) 篇9
一、高考数学考试大纲分析
(1) 了解坐标系的作用, 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况;
(2) 了解极坐标的基本概念, 会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置, 能进行极坐标和直角坐标的互化;
(3) 能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程;
(4) 了解参数方程, 了解参数的意义;
(5) 能选择恰当的参数写出直线, 圆和椭圆的参数方程。
二、剖析新课标全国卷历年坐标系与参数方程题目
(1) 求点A, B, C, D的直角坐标;
(2) 设P为C1上任意一点, 求PA 2+PB 2+PC 2+PD 2的取值范围。
(2) 过坐标原点O做C1的垂线, 垂足为A, P为OA中点, 当α变化时, 求P点的轨迹的参数方程, 并指出它是什么曲线。
(1) 指出C1, C2各是什么曲线, 并说明C1与C2公共点的个数;
(2) 若把C1, C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半, 分别得到曲线C′1, C′2, 写出C′1, C′2的参数方程, C′1与C′2公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同?说明你的理由。
解: (1) C1是圆, C2是直线。C1的普通方程为x2+y2=1, 圆心C1 (0, 0) , 半径r=1。
所以, 压缩后的直线C′2与椭圆C′1仍然只有一个公共点, 和C1与C2公共点个数相同。
三、几点感想
纵观近五年对坐标系与参数方程的分析, 我们对这一块的复习抓住以下几点:
(1) 明确课标要求把握教学难度。如, 对球坐标系和柱坐标系只要求学生通过实例了解, 对双曲线和抛物线的参数方程由于三角函数难度的降低也应随之降低要求;
(2) 在坐标系的教学中可以引导学生自己尝试建立坐标系, 说明建立坐标系的原则, 激励学生的发散思维和创新思维, 并通过具体事例说明这样建立坐标系有哪些方便之处;
(3) 可以通过对具体物理现象的分析引入参数方程, 使学生了解参数的作用;
(4) 应鼓励学生应用已有的平面向量, 三角函数知识选择恰当的参数建立参数方程;
参数(坐标) 篇10
在现有的多媒体教学和商业PPT展示中激光笔的作用仅仅局限在指示与翻页作用的局限下, 我们项目组对激光的作用进行了延伸性的研究, 提出了一种基于图像捕捉的多媒体远距离操控的研究, 研究项目中, 由于机械安装或是非可控因素的干扰, 采集到的图像与原图像相比不可避免的会有轻微倾斜与旋转, 而对摄像机进行必要的标定和将采集到的红外激光点在图像校正的技术上进行相应的坐标转换是项目总最为关键的一部分。
1 图像变形校正
要实现对激光点的准确定位, 必须对摄像头采集到的图像进行边界提取, 可以通过设定阈值来实现, 继而可得激光点相对边界的坐标, 但如果摄像机拍摄得到的图像本身就有一定的线性倾斜形变, 即有原来的竖直线变成了倾斜线, 有原来规则的长方形平面变成了菱形平面[1], 如图1所示, 那么我们得到激光点相对坐标就无法代表激光点原本的几何位置信息, 如果我们能先对摄像头进行标定[2], 得到倾斜后的图像与原图像的坐标转换关系, 就可以将提取到的相对坐标还原回真实物理坐标。
通过大量查阅资料, 目前图像倾斜角检测的方法最典型的, 最流行的主要分为三大类:Hough变换法[3]、投影变换法和Fourier变换法。
其中, Hough变换是将图像中的共线点变换到参数空间中为一簇相较于某点的直线。若能在参数空间中检测出该交点P, 即局部最大值[3], 可以有效识别直线, 它的优点是受噪声曲线间断的影响较小, 但其巨大的运算量成为图像处理的一个瓶颈。
另外, 投影变换法是指沿着某一个特定方向, 统计出黑像素点的个数的统计图, 可以计算出图像的水平倾角和垂直倾角, 算法简单, 但是基于投影法的倾角检测算法需要通过比较投影统计值来确定倾斜的角度, 导致计算需要量非常大, 并随倾角的增大。
上述几种为了更好的实现系统的准确定位与控制, 并建立在不过多占用CPU处理时间的基础上, 在大量查阅资料建立起摄像头标定模型的基础上, 笔者在下文中针对项目组系统创新性的提出了一种基于待定参数法的摄像头标定与坐标转换方法。
2 摄像头标定模型与坐标转换
如图1所示的图形倾斜形变模型可以分解为如图2、3的水平倾斜和垂直倾斜。
在水平倾斜的情况下, 图像不存在, 错位偏移, 只是被测对像平面的水平轴X'和图像平面X轴有一定的倾斜角a, 只要求取水平倾斜角度a, 将图片旋转-a角度实现图像的水平校正, 其中旋转公式为式1;在垂直倾斜的情况下, 这是的倾斜实际上是同一行间像素的错位偏移, 只要检测到垂直倾斜角度, 再进行错位偏移校正即可, 转换公式为式2
将两式进行矩阵相乘后可得到图一所示的旋转模型-式3。
这种情况下, 若要求得坐标转换模型, 则需要通过Hough变换法、投影变换法或者Fourier变换法来求得两个角度, 计算量大, 严重影响系统运行速度。但笔者发现, 由于是二维转换, 上诉的矩阵模型可抽象成带四个待定参数的方程组, 若能在安装投影仪和摄像头初期, 或者是在系统需要校准的时候对摄像头进行标定, 理论情况下, 只需采集四组对应坐标, 即可通过高斯迭代法, 求二元一次方程, 这极大的减少了程序的算法复杂度, 优化了程序, 使运算更快速。
进入摄像头标定模式后, 在投影仪中投影出长宽已知, 格点边长已知的棋盘图样, 如图4右所示, 采集整幅图像, 经过滤波去噪处理后, 通过逐行逐列扫描检测边缘跳变, 可以辨识棋盘角点坐标, 为增强参数的可靠性, 系统标定时会采集相对多的数据, 通过与实际几何图像的坐标意义对应关系求出适应不同环境的参数a、b、c、d。从而有效的实现了系统的倾斜变形还原。
3 结束语
笔者针对项目组的系统建立了固定参数模型, 为适应不同环境投影仪上的摄像头的倾斜程度不一, 可在系统中加入摄像头标定, 将坐标转换参数设为可调, 根据不同的环境参数只需标定一次即可投入使用, 若因后期非确定因素干扰导致的环境参数变动而使系统定位不准确, 只需进入校准模式, 重新标定摄像头, 调整可调参数并保存即可。实验证明, 此方法在适应不同的倾斜程度上有良好的校正效果。
摘要：文章提出的图像校正模型建立在摄像头采集图像并捕获红外激光点的基础上, 在分析讨论了几种经典图像校正方法后, 提出了一种简单易行的基于待定参数法的图像校正的坐标转换公式, 并进行了理论性分析与验证。
关键词：图像校正,坐标转换,摄像头标定,待定参数法
参考文献
[1]张广军.机器视觉[M].北京:科学出版社, 2004.
[2]杨必武, 郭晓松.摄像机镜头非线性畸变校正方法综述[J].中国图像图形学报, 2005, 10 (3) :269-274
参数(坐标) 篇11
一、玫瑰线
玫瑰线源于欧洲航海图, 又称指引方向的线.玫瑰线的极坐标方程 为 :ρ=asin (nθ) , ρ=acos (nθ) . 直角坐标 系方程为 :.根据三角函数的性质可知 , 玫瑰线是具有周期性质的圆弧曲线, 参数的取值决定了大小, 叶子数和周期的可变性.课本中给出了列表法, Excel作图法.我们也可以在此基础上用Excel法作出四叶线等.四叶的玫瑰线是当n=2时, 三叶的是当n=3时.可以改变E2单元格内的n的值, 你会发现我们可以作出不同的玫瑰线.
从外形上看, 玫瑰线的外形很像一朵花, 我们可以根据它的生成规则构造出很多美丽的图案.这种在纺织品中 (图1) , 艺术品的设计中, 雷达图的绘制 (图2) , 在涡轮叶片中的应用也非常广泛.如下图:
二、螺线
课后阅读中有等速螺线 (阿基米德螺线) , 双曲螺线 (图3) , 对数螺线 ( 斐波纳契螺线 ) . 螺线有很多种 , 我以对数螺线ρ=aeθ (ρ是极径 , e是自然对数的底 ) .Excel作出的图如下 :
三、通过事例反思
如果仔细观察, 就会发现在自然界中任何地方都存在这种数学与自然的完美结合. 有时学生会问老师学习数学有什么用, 它和我们的生活有什么关系? 对数学不感兴趣的学生更是觉得数学枯燥无味, 为什么? 教师更多的是沉浸在自己的教学中, 疲于应付高考, 不断地解题, 然后让学生做大量的题目.学生上了大学后还有几个能真正记住数学? 更多的学生是因为高考要考数学才学习数学的. 我们能否在教学过程中让学生体会数学的美感, 感受自然和数学的完美结合呢?
教材中课后阅读给出了很多的相关材料, 我们基本都没用过.为什么? 事实上有很多事物都能用于解释数学与自然的结合.没有数学科学得不到进步, 文明得不到发展.如果我们用数学的眼光重新认识这个世界, 就会发现一个处处充满数字模式的新世界.
比如《达·芬奇 密码》一 书中一直 提到1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 , ... 这个神奇的斐波纳契数列 . 还有黄金分割比例关系 , 我们上网能查到很多关于这样的 资料. 又如车前 划草这种 植物的叶子的生长为什么会这样排列? 外国的建筑师按这样的比例建造的房屋结果每个房间都能得到充 足的阳光. (例子很多不一一列举) 那么我们能不能在上课过程中穿插一些实际生活中的例子呢? 让学生从数学的角度了解这个世界, 是否更能让他们喜欢数学? 可能我们做老师的都有一个评价标准, 那就是成绩.目前的教学状况是:教学目标“功 利多, 兴趣少”;学习过程“重复多, 快乐少”;学习主动性“被动多, 主动少”.