坐标变换方法

坐标变换方法（共8篇）

坐标变换方法 篇1

针对数字地图可快速方便地存取、显示、缩放、移动、修改、量测、分析和叠加等特点, 如何利用坐标 (高程) 变换改进数字测图模式, 从而减少外业工作量、提高工效、实现数字测图中多源数据的统一, 作者结合某地区大比例尺数字测图对此进行探讨。

1 坐标变换的原理与方法

1.1 三维直角坐标变换原理

约定:[a, b;c, d]表示矩阵;表示对角元素为a、b、c的对角型阵;tanC表示正切值为C的方位角;distance (f→g) |di表示曲面f上的点di与“f在di处的法线与曲面g的交点”间的距离。

坐标变换常用欧拉 (Euler) 旋转, 其原理为:

设原点相同的两个右手直角坐标系O-XYZ、O-X′Y′Z′, 点P在两坐标系中的坐标分别为 (x, y, z) 、 (x′, y′, z′) ;X′、Y′、Z′轴在O-XYZ坐标系中的方向余弦为:X′:r11, r21, r31;Y′:r12, r22, r32;Z′:r13, r23, r33。

令旋转矩阵R= (rij) , 则有:[x;y;z]=R[x′;y′;z′]若X′Y′Z′坐标系原点在XYZ坐标系中的坐标为 (X0, Y0, Z0) , 则有:[x;y;z]=[x0;y0;z0]+R[x′;y′;z′]。这就是同时平移和旋转的情况。

绕X、Y、Z轴的旋转矩阵分别为:

Rx (θ) =[1, 0, 0;0, cosθ, -sinθ;0, sinθ, cosθ]

Ry (θ) =[cosθ, 0, sinθ;0, 1, 0;-sinθ, 0, cosθ]

Rz (θ) =[cosθ, -sinθ, 0;sinθ, cosθ, 0;0, 0, 1]

上述旋转矩阵规定θ角为正旋转 (右手坐标系) , 当左手坐标系与右手坐标系转换时, 有反向矩阵:P1=diag (-1, 1, 1) ;P2=diag (1, -1, 1) ;P3=diag (1, 1, -1) ;

当旋转阵奇异时, 可采用Kardan旋转等方法。

空间大地测量使用左手坐标系, 并顾及两坐标系长度单位的比值K大, 则有:

式中, 称为7个坐标转换参数。

1.2 顾及测量误差的坐标变换方法

坐标变换有Bursa、Molodensky、Veis等模型, 抗差解法等也逐渐应用于大地坐标转换, 但求解坐标转换参数的手段基本相似, 均可通过平移、旋转、缩放等建立空间任意两坐标系间的关系。在工程测量中, 坐标变换常按平面直角坐标变换和高程变换分别进行。

1.3 不同“测量坐标系/高程基准”间变换—拟合

GPS平面控制测量可获得很高的测量精度, 在高程测量方面, GPS直接测量往往难以获得满足实际需要的正常高结果。在测区内, 通常用几何水准测量的方法联测若干个GPS点的正常高, 或者在等级水准点上设站进行高精度GPS测量并解算其大地高, 通过计算联测点的高程异常差, 并根据联测点的平面坐标值, 选用某种数学模型便可以拟合得到测区各GPS点的高程异常值, 进而确定出这些点的正常高。高程变换实质是通过某点大地高数值, 加上该点处的高程异常distance (f→g) |di, 即泛函意义上的平移。

2 坐标变换在数字测图中的应用

一些商用软件有WGS84坐标系与当地坐标系、高程基准的变换 (拟合) 功能, 所以, 对GPS测图中的坐标变换在此不再进行详细探讨。但是, 在遮蔽、强反射、强电磁等不宜使用GPS的区域, 全站仪数字测图有其独特优势。因此, 着重探讨全站仪数字测图中的坐标变换。

数字测图较平板仪测图的优势之一是其成果为数据, 易于编辑应用以及坐标和高程变换, 且一般精度较高。因此, 可对设站错误而导致全部数据出错的情况进行分析改正, 也可将一些以前难以利用的数据成果通过变换成为有用成果。

2.1 数字测图的整体思路

完成设计后, 将测区划分为若干小区域, 即在各区域进行数字测图。测图中应测若干转换点, 必要时, 对各转换点进行投影改正和平差, 并变换到成果要求的坐标系, 以建立统一坐标系下的控制点。将测量数据或变换数据导入Microstation等绘图软件, 自动展绘和标注所测各点, 或将展绘的各区域图形逐块拼贴后再变换到成果所要求的坐标系, 编辑整饰后即为成果图, 直至完成整个测区的测图。

2.2 数字测图中坐标变换方式

有操作数据、操作图形、操作数据+操作图形三种方式。操作数据, 即按照坐标平移、旋转、缩放或综合变换公式编写计算程序, 根据单点、两点和多点数据, 把采集的数据转换到所要求的坐标系和高程基准。具有变换结果确定唯一的特点, 三维坐标变换和高程变换宜采用此方式;操作图形, 即利用制图程序功能, 将图形变换到要求的坐标系和比例尺。具有变换过程直观的特点, 适于已展绘或不同比例尺图形的变换, 单点、双点时的变换较方便且结果确定唯一, 但多点匹配时不易控制图形变形;操作数据+操作图形, 即先利用数据变换某些点, 展绘后, 分别根据单点、双点和多点变换各块图形, 此方式一般需分块进行。

2.3 注意点

(1) 使用本文方法外业时, 各小区域间联系点的坐标测量和变换可选用RTK拟合方式。测量水下地形时, 若涉及深度基准面, 测深与高程系统的联系一般要通过水位观测的措施, 则高程变换还应考虑水位变化的归算等。但仅测量水下地形而不涉及深度基准面时, 则不必验潮, 由测点的三维坐标沿Z轴向下平移相同时刻测得的水深值即可获得水下地形点数据。

(2) 利用能满足精度要求但坐标 (高程) 系统或比例尺不同的其他已成图资料时, 除需注意坐标变换外还应注意通过制图综合等方法进行图式符号变换等。

3 结语

针对数字测图的特点, 灵活运用坐标变换方法, 可改变需先进行控制测量的传统测图模式。小面积测图可不必进行单独的控制测量, 大面积测图可以控制、测图同时或交叉进行, 甚至先测图再控制测量。测图时, 测站不一定设在图根控制点上, 可设在利于测图的任意位置;也可充分利用各种满足精度要求的已有测量数据和数字图进行数字化成图, 实现多坐标系统、高程基准的数据统一。经多次作业任务证明, 综合使用上述方法, 可减少外业工作量, 明显缩短工期, 提高数字测图的效益, 尤其对紧急任务具有较大的意义。

坐标变换方法 篇2

关键词；工程测量；坐标系变换；精度分析

一、前言

北京54坐标系的来源是前苏联1942坐标系的延伸，但是该坐标系的不足就是误差比较大并且定位的偏斜也大，后来建立了西安80坐标系以及基于GPS技术建立的2000国家坐标系。随着我国科技的不断发展，科学家越来越重视不同坐标系变换的方法以及精度分析的研究，并且该方法能够在研究的过程中提供有力的支持以及数据的保障，下面首先我们简要介绍几种基本的方法，然后再对精度进行科学的分析，为往后我国在相关领域的发展奠定良好的基础，并且通过循序渐进的方法来使我国在该领域能够平稳地进行过渡。

二、简述坐标系的类型和常见的变换方法

由我国在不同坐标系变换的领域可知我国目前最常用的几种方法就是大地坐标对平面直角坐标，北京54、西安80以及2000国家坐标系之间的转换，任意两空间坐标系的转换以及十进制角度和度、分、秒格式之间的相互转换。并且随着科技的不断发展，在该领域出现了越来越多新型的方法。这对于坐标系变换的发展极其有利，首先我们介绍大地坐标对平面直角坐标的方法，第一步就是先按照普遍的方法来找到变换的参数，主要的参数有椭球参数以及分带标准和中央子午线的经度等，并且将我们求得的参数输入到软件当中，这样就能以最快的速度并且准确地实现坐标系之间的转换。接着就是北京54西安80以及2000国家坐标系之间的转换，通常都是将地球的质心作为坐标的原点，也就是地心坐标系，Z轴为世界时间确定的地球极的方向，X轴就是零子午面以及赤道的交点，三个坐标系构成了右手坐标系，并且这个系统使用起来十分方便，还因为使用的基准是椭圆的，跟国内的使用原则十分相似，所以在国内十分受欢迎。然后就是任意两空间坐标系的转换，我们可知不同的坐标系的标准以及基准都不一样，但是有些通用的标准肯定是相似的，就是确定至少三个重合点，因为知道三个重合点并且代入布尔莎公式求解起来十分简便。最后就是十进制的方法，如果要使用这种方法，往往数据都比较多并且难以处理，人工的操作不多，所以要使用这种方法一般都会用到软件，将相关数据输入，等待软件对数据进行转换即可。

三、如何确定不同坐标系的变换的精度测量

由我国现状可知，我国目前应用最廣泛的一种变换技术就是GPS技术，主要是因为其准确度高并且灵活以及工作效率非常高，并且帮助很多城市工程进行高精度的测量以及计算，并且其在进行测量的时候并不需要大面积的空地，这样就降低了仪器对于地面情况的依赖性，并且在一定程度上避免了不必要的人力以及物力，还缩短了工作的时间从而减少投入的资金，并且转变的效率也比以前的方法更高，所以该技术十分普遍，虽然话说该技术的精确度高，但是绝对来说并没有那么准确，因为科技水平有限，坐标系变换的多种方法中每一种方法都有自己的不足，GPS其实就是一个卫星的定位系统，我国只是将其和坐标系变换有机结合在了一起，就是用GPS技术来实现坐标的变换，首先就是确定两者的交点，并且根据两个坐标系的参数保证转换的准确以及迅速，但是这种方法之所以会使最终的测量以及变换与实际值出现一定程度的偏差以及精度不高的原因就是其有的局限性，并且在求某些参数以及公共点和三维坐标的时候都不能准确算出或者找出，但是相信随着在该方面科技的不断发展，相关技术会有一个质的飞跃。

四、几种常见的关键的坐标系转换的方法

几种比较重要的坐标系转换就是北京54坐标以及西安80坐标和2000国家坐标三个坐标系之间的两两互相转换。对于54以及80坐标系来说，两种坐标系是在两个不一样的椭球，所以要想进行变换就要找到两个椭球的交点，并且将数据在链各个坐标系的相应的坐标输入到软件之中完成变换，其中比较关键的就是四参数或者七参数，变换的流程简述如下：第一步就是将这两个坐标系转换为直角坐标系，并且通过四参数或者七参数来得到变换参数，第二步就是根据实际情况可以将直角坐标系变换为大地坐标，并且可以利用下述的公式进行变换：X=（N+H）cosBcosLY=（N+H）cosBsinLz=[N（1-e2）+H]sinB；L=arctan（YX/）B=arctan{Z（N+H）/[（X2+Y2）1/2（N（1-e2）+H）]}H=Z/sinB-N（1-e2）上述两个式子中L和B就是大地经纬度，H是大地的高程，N就是该点的卯酉圈曲率半径，a是大地坐标系对应的椭球的长半轴，e就是大地坐标系对应的椭球的偏心率。对于54坐标系以及2000坐标系来说，就是使用布尔莎公式来求得两个坐标系各自的转换参数，并且知道相对应的坐标从而完成坐标系之间的变换。对于2000坐标系以及80坐标系来说，因为80坐标系是参心的坐标系，而2000坐标系是地心的坐标系，所以两个坐标系之间没有比较一样的变换公式，这就要求我们确定几个同名点的坐标并且计算出相关的参数，在此基础上实现坐标系之间的变换。由上述我们可知在对各个坐标系进行相互转变的过程中，其本质是一样的，就是找到两个坐标系之间的共同点以及求得相关的转换参数，将对应点的坐标在对应的坐标系中进行标出，最终要想实现坐标系之间的相互变换就要用到专业的仪器以及测绘工具来完成。

五、如何保证不同坐标系转换的精确度

要想使各个坐标系之间的变换更加精确的话，最关键的要点就是在同一个椭圆中进行，之所以变换不是在同一个椭圆中不严谨是因为他们分别在不一样的体系当中，并且最终的变换的结果不是绝对的准确，例如2000坐标系以及54坐标系在两个不一样的椭圆体系中变换，如果他们本身所确定的变换参数就不太准确，从而导致在相应的坐标系中求得的各个点的坐标也不够准确，这种情况下要想实现两个坐标系之间的变换的话就只能通过两个椭圆体系的交点来进行，这样求得的结果使得整个坐标系中每一个坐标点的数值都不是很准确，并且坐标不准确的坐标点可能还不是一个两个，所以综合上述所说，如果我们要想所求得的坐标系能够更加准确的话，首先就应该在政府专业的测绘部门获得准确度比较高的数据，接着就是我们在寻找以及计算的过程当中多做几遍以及多记录几组数据，并且根据相关公式求得相应的变换参数，从而在不同的坐标系的情况下求得相应的坐标值，要想变换再准确一点的话，可以利用求平均值的方法来进行计算，并且这种方法通常在使用的情况下对实验结果的影响太小，通常我们可以不用考虑其产生的误差。

六、结束语

综上所述我们可知，我们之所以要研究坐标系变换以及精度分析是因为其能使变换更加准确并且增强我国的勘测能力，所以我们应该加强变换仪器的准确以及灵活，是因为环境是在不断变化当中的，要在最大程度上保障仪器在变换的仪器中也能保证数据的准确，并且我国政府也应该加强对测绘的研究，只有技术以及方法过关，才能帮助坐标系变换以及工程测绘有更好的发展。

【参考文献】

[1]杨同辉：不同坐标系综合变换法一一该武汉大学（信息科学版）》2010：年06期

[2]金东：常用大地坐标系相互转换的设计与实现一一该电子科技大学》2012年

[3]丁石军：几种不同坐标变换方法问题的研究[J]；四川测绘；2015年01期

[4]龙小文：浅谈2011国家大地坐标系统—（（矿山测量》2011年06期

作者简介：袁大群，男，43岁，高级工程师，注册测绘师，河南省交通规划勘察设计院有限责任公司

坐标变换方法 篇3

若将极轴Ox看成一条绕着极点O移动的动直线,动直线Ox逆时针旋转的角度视为正角,动直线顺时针旋转的角度视为负角,逆时针移动动直线Ox从正角α开始接触积分区域到正角β结束刚好完全扫过积分区域,因此角θ的范围为α≤θ≤β.

下面举例说明:

分析:如图1,逆时针和顺时针旋转极轴Ox才能将区域D完整覆盖,转动最大角90°和最小角-90°,因此角θ的范围是-90°到90°,从极点(原点)出发引射线交区域D于两点,其中一点与O重合,此时r为0,另外一点所在的曲线为x2+y2=2ax(a>0),其中x=rcosθ,y=rsinθ,转化成极坐标系下的曲线为r=2acosθ,因此0≤r≤2acosθ.

总结对于用极坐标变换x=rcosθ,y=rsinθ解决直角坐标系下的二重积分计算问题,只要认清极点和极轴在直角坐标系中的位置,通过绕极点移动极轴使它刚好覆盖积分区域,观察它的角度变化范围便得到角θ的范围,过极点引射线观察射线与积分区域交点,交点所在的曲线来定的上下限,在实际解题过程中,这种方法不容易出错且易于掌握.

摘要：在用极坐标变换法计算二重积分时,对于如何转换积分限是难点,本文提出了一种容易理解和掌握的方法.

关键词：极坐标,二重积分,转换

参考文献

基于坐标变换的视轴稳瞄算法 篇4

1 稳瞄系统工作原理

稳瞄系统实际为两轴伺服转台及与之配套的光电设备。转台由方位和俯仰2个控制通道来分别完成2个自由度的角运动。如图1所示,方位环通过轴承与基座相连,俯仰环安装在方位环内。其中,G1为俯仰陀螺;G2为方位陀螺;G3为方位光栅;G4为俯仰光栅;M1为方位力矩电机;M2为俯仰力矩电机。瞄准线即视轴与y轴平行,所谓稳瞄即通过实时地调整俯仰角和方位角来保持y轴的空间指向稳定。

单通道控制回路如图2所示,包含位置外环和速度内环2个闭合回路。其中,速度环的反馈元件为光纤速率陀螺,位置环的反馈元件为光栅,分别测量运动角速度和角度。速度环主要实现稳定功能,但是由于陀螺零漂的存在,视轴还是会随着时间变化有缓慢偏移,而位置环则主要实现对零漂作用的抑制,并进一步提高稳定精度。以下只讨论应用于位置环的视轴稳瞄算法。

2 基于坐标变换的稳瞄算法

2.1 坐标系定义

后面用到的3个坐标系,分别为:(1)地理坐标系OXYZ:原点O为转台重心在地面上的投影,OX轴指向正东,OY轴指向正北,且XOY构成当地水平面,OZ轴当地沿地理垂线指向上方,与另外两轴构成右手直角坐标系。(2)车体坐标系o1x1y1z1:原点o1为车体重心,o1x1轴沿车体横轴指向右侧,o1y1轴沿车体纵轴指向前方,o1z1轴与另外两轴构成右手直角坐标系并指向上方为正。(3)转台坐标系oxyz:原点o为转台2个旋转轴的几何交点,ox轴沿转台俯仰轴指向右侧,oy轴沿转台视线轴指向前方,oz轴沿转台方位轴与另外两轴构成右手直角坐标系,且指向上方为正。

在实际应用中,车体的姿态信息能够被车载惯性导航装置精确测量。但是由于安装误差的存在,转台坐标系和车体坐标系是不重合的,所以惯性导航装置测量到的车体的姿态数据不能直接用于转台控制,需要考虑消除安装误差的影响,下面进行分析。

2.2 安装误差分析

一个向量在2个不同直角坐标系的投影之间存在的变换关系用矩阵表达为

式中,α,β,γ分别为绕三个坐标轴旋转过的角度。坐标变换采用“312”转序,即先绕z轴转过α角度,再绕x轴转过β角度,最后绕y轴转过γ角度,对应的旋转矩阵如下

于是,地理坐标系、转台坐标系和车体坐标系三者之间的关系如图3所示。

取地理坐标系中某一向量[x0y0z0]T,按照图3中所表示的关系,折算到车体坐标系中为

折算到转台坐标系中为

由式(5)和式(6)可以得到从车体坐标系到转台坐标系之间的转换关系

从式(7)可以看出,要想求得L3,需要同时知道车体和转台的姿态信息,车体姿态信息可以直接由车载惯性导航设备测得,下面介绍一种转台姿态信息的测量方法。

首先,需要寻找一个与方位轴垂直的基准面,借助千分表是一种比较简单实用的方法。千分表可以将测杆直线位移转变为角位移,并通过刻度表盘指针来显示。如图4所示,将千分表固定安装,并使测头与俯仰顶盖(平面度较好)良好接触,调整俯仰轴位置(俯仰轴与方位轴垂直,所以只需要调整俯仰就可以找到垂直面),并将方位轴旋转一周,如果指针读数无变化,说明对应的平面与方位轴垂直,转台的俯仰轴和视轴均在这一平面内,此平面即为基准面。

然后,将转台的方位轴旋转到光栅零位固定,并在基准面上安装一个小型惯性导航装置,记录下当时的3个姿态角数据α20,β20,γ20,同时记录车载惯性导航设备的姿态角数据α10,β10,B10,由式(7)可得

记为

式中L3即表征了由于安装误差导致的车体坐标系和转台坐标系之间的不重合度,是一个固定关系。进而得到地理坐标系和转台坐标系之间的关系为

2.3 坐标正变换稳瞄算法

在实际工作过程中,视轴的稳定控制只依赖于车上惯性导航设备的数据α1、β1、γ1,分别为偏航角、俯仰角和滚转角的数值,于是有

根据式(10)和式(11)就可以计算出为保持视轴稳定转台的2个轴应该转过的角度αr和βr,具体求解过程如下:

定义地理坐标系中一个单位矢量V0,并用方位角α0和俯仰角β0表示

则在姿态数为α1、β1、γ1时,向量V0在转台坐标系中的投影为

于是,可以得到

其物理意义为:欲将视轴稳定在地理空间中方位α0和俯仰β0所代表的方向,当车体姿态为α1、β1和γ1时,转台的方位和俯仰需要转到的角度分别为αr和βr。

由于方位角的角度范围为0~360°,所以在求解αr的值时需要进行象限判断,如图5所示。

为了避免分母为零情况,可处理如下

其中,Δ>0且其取值不能影响计算精度,例如可取Δ=1×10-10。

则有

对应到图2所示的控制框图而言,αr和βr相当于输入指令θr。此时的θr是一个依赖于α1、β1、γ1的实时变化量,控制系统根据θr动作即可实现视轴稳定。

2.4 坐标逆变换稳瞄算法

所谓逆变换是指将转台坐标系中描述的矢量转换到地理坐标系中,相对于上述变换是一个逆过程。同理,在转台坐标系中的一个单位矢量Vg可以由2个旋转轴的光栅读数αg和βg来描述

将Vg折算到地理坐标系中为

可以得到

其物理意义为:欲将视轴稳定在地理空间中方位α0和俯仰β0所代表的方向,当车体的空间姿态为α1、β1和γ1时,转台的方位和俯仰需要转到这样一个位置,使得矢量Vg逆变换到地理空间后对应角度为αf和βf,且有αf=α0和βf=β0。

同样利用式(16)和式(17)对αf进行象限判断处理。

将逆变换算法应用到控制系统如图6所示,即将逆变换加到反馈通道中,此时输入指令θr为一个地理空间的给定量,是恒定不变的,而反馈量θf则是一个与姿态信息α1、β1,γ1相关的实时变化量,给定量θr和反馈量θf之间的误差使得转台2个轴的电机动作直至误差消除,进而实现视轴稳定。

3 结束语

针对两轴伺服转台提出了基于坐标正变换和逆变换的2种视轴稳瞄算法,并给出了对应的控制方案。从控制系统角度而言,正变换稳瞄算法对应的控制框图是在转台坐标系中描述的,而逆变换稳瞄算法对应的控制框图则是在地理坐标系中描述的,但实际上二者是等价的,可以通过坐标变换建立联系。上述2种基于坐标变换的稳瞄算法均已成功运用到实际的稳瞄伺服控制系统中,并结合PID控制算法和前馈、滤波等技术手段取得了良好的稳定效果。实践证明应用了视轴稳瞄算法的控制系统能够克服车体机动给转台带来的扰动作用,实现了视轴的空间指向稳定,同时验证了算法的准确性。

参考文献

[1]范大鹏,张智永,范世珣,等.光电稳定跟踪装置的稳定机理分析研究[J].光学精密工程,2006,14(4):674-679.

[2]秦继荣,曹晖.车载高精度稳瞄系统的满意度设计[J].火力与指挥控制,2006,31(6):65-67.

[3]罗兵,黄国忠.行进间瞄准线稳定技术[J].中国惯性技术学报,2004,12(2):9-12.

[4]施峥嵘.车载设备视轴稳定与跟踪技术研究[D].南京:东南大学,2006.

[5]秦永元.惯性导航[M].北京:科学出版社,2007.

坐标变换方法 篇5

航磁矢量测量由三分量磁力仪和惯性导航设备构成;其中三分量磁力仪专门用于测量矢量空间的磁场值, 其测量的磁场值是基于设本身的姿态信息 (翻滚角、俯仰角、方位角) , 该姿态信息基于地理坐标系, 该坐标系为设备本身的载体坐标系, 随设备姿态变化而变化。惯性导航设备用于测量地理坐标系, 不随设备本身的姿态变化而变化, 因此地理坐标系在航磁测量中被普遍采用作为基准坐标系。

要实现航空磁测姿态坐标变换, 首先就要解决飞行器载体坐标系和地理坐标系之间的相互转换问题。文献[1]对大地坐标和船体坐标之间的相互转换进行了推导, 文献[2]对舰载雷达电子稳定方程的推导进行了分析, 称现有的几种推导方法具有一致性。文献[1]所提出的船体摇摆变换方法是现在广泛采用的方法, 文献[3]是对文献[1]的结论展开进一步的研究。但以上方法都是针对舰船姿态变换而言所进行的姿态变换研究。

本文介绍了一种新的姿态坐标变换方法, 推导出实用的航磁姿态坐标变换公式, 为航磁测量系统姿态坐标变换的实现提供必要的理论依据, 并通过实测数据验证了该坐标变换公式的正确性。

1 航磁测量姿态控制中的相关坐标系的定义

1.1 地理坐标系

地理坐标系XdYdZd (图1) 的原点设在飞行器质量中心在地球对应表面的投影点处。Zd轴沿着地球地心与该坐标系原点的连接线指向天, 并垂直与该点大地水平面。Xd和Yd轴与大地水平面重合, 并分别水平指向东、水平指向北。地理坐标系随着地球自转相对惯性坐标系运动, 并随飞行体的运行相对惯性坐标系运动, 其原点位置由纬度角及经度角确定。

1.2 载体坐标系

载体坐标系 (图2) 是用于描述载体本身的坐标体系, 其随飞行器本身的姿态变化而变化。设载体坐标系XzYzZz的原点位于飞行器质量中心, Yz轴与飞行器纵轴重合并指向首部, Xz轴与飞行器横轴重合并指向右翼, Zz轴与Xz和Yz轴构成右手直角坐标系, 指向飞行器上方。

2 坐标之间变换方法介绍

文献[1]采用的方法是先让坐标各轴分别变换, 得到变换方程后再将三个分别变换后的转换方程合在一起。即首先分析各角度参数中只有一个进行变化, 其它两个角度不变, 然后将三个参数一起变化时的状态综合在一起考虑。若仅考虑翻滚角时, 设翻滚角为α (图3) , 地理坐标系XdYdZd绕Xd轴旋转α角, 则对于飞行器坐标系XrYrZr, 其变换矩阵Tr为:

若仅考虑俯仰角时, 设俯仰角为β时, 地理坐标系XdYdZd绕Yd轴旋转β角, 则对于飞行器坐标系XpYpZp, 其变换矩阵Tp为:

若仅考虑偏航角时, 设偏航角为γ时, 地理坐标系XdYdZd绕Zd轴旋转γ角, 则对于飞行器坐标系XhYhZh, 其变换矩阵Th为:

当翻滚、俯仰和偏航角同时改变时, 应用式 (1) ~式 (3) , 地理坐标系与飞行器载体坐标系之间的变换矩阵Ta为:

飞行器载体坐标系与地理坐标系之间的变换方法与上面相同, 分别使载体坐标系反方向旋转α, β, γ, 得到旋转后的旋转矩阵分别为:

仅旋转翻滚角时:

仅旋转俯仰角时:

仅旋转方位角时:

应用式 (5) ~式 (7) , 飞行器载体坐标系与地理坐标系之间的变换矩阵Tb为:

然而在实际过程中, 坐标变换应该具有对称性, 先翻滚再俯仰和先俯仰再翻滚效果一样, 按照该思路, 如下姿态变换公式是先俯仰变换, 再翻滚变换, 最后考虑方位变换, 得到的坐标变换公式为:

可以看出, 结果式 (4) 和式 (9) 并不相等, 在文献[4]中指出, 上述姿态变换方法并不准确, 表明地理坐标系到载体坐标系之间由于变换顺序不同, 而推导出的过渡矩阵不同, 因此变换方法是不严密的。

文献[5]中指出, 实际只有在小角度的情况下, 坐标轴的旋转变换才与绕坐标轴的次序无关。即当翻滚角α、俯仰角β、方位角γ均为小角度时, cosk≈1, sink≈k, k为α, β或γ, 无论采用哪种变换次序, 忽略高阶项, 坐标变换矩阵T均可简化为:

然而飞行器实际飞行过程中, 姿态改变是随机的, 且不可能是小角度的变化, 因而文献[1]中推导的坐标变换方法不适用于航空磁测姿态变换。

3 航磁姿态坐标变换分析及验证

3.1 航空姿态角度测量

飞行器的姿态由其自身的载体坐标系XzYzZz与地理坐标系XdYdZd之间的转角 (欧拉角) 决定, 如图4所示。

设飞行器载体坐标系初始状态与地理坐标系重合, 则飞行器的方位角以OZd轴为旋转轴, OXd轴在XdOYd平面偏转的γ角, 即图4中所示∠XdOX1。若在实际过程中, 飞行器因姿态的改变使OX1轴不在水平面上, 则方位角为OX1轴在水平面的投影线与OXd轴之间的夹角, 即方位角的旋转轴始终为铅垂线, 且沿逆时针方向旋转为正, 顺时针方向为负。

飞行器俯仰角的定义为OX1轴与水平面的夹角, 以OY1轴为旋转轴, OX1轴在X1OZd平面偏转β角至OX2, 即∠X1OX2为俯仰角。且OX2轴在水平面XdOYd之上时为正, 在水平面之下时为负。在此基础上, 以OX2轴为旋转轴, OY1轴在Y1OZ2平面偏转α角至OY2, 称∠Y1OY2为翻滚角。不难看出, 翻滚角α一般并不位于铅垂面内, 但始终位于飞行器的纵向平面Y1OZ2内, 其测量轴为OX2轴。

3.2 地理坐标系到飞行器载体坐标系变换

飞行器姿态变换的实质是地理坐标系与载体坐标系之间的矩阵变换, 尽管飞行器在飞行过程中的姿态是任意的, 其顺序并不固定, 但在姿态变换过程中遵循一定的顺序变换, 能够起到将误差减小到最小程度的效果[6—8]。通过以上分析得出, 方位角γ是以OZd轴为旋转轴, OXd轴在XdOYd平面偏转的角度, 其旋转轴垂直于水平面;俯仰角β是以OY1轴为旋转轴, OX1轴在X1OZd平面偏转的角度, 其旋转轴位于水平面;翻滚角α是以OX2轴为旋转轴, OY1轴在Y1OZ2平面偏转的角度, 若俯仰角β为0的话, 则翻滚角α对应的旋转轴将位于水平面内, 若俯仰角β不为0的话, 则翻滚角α对应的旋转轴将位于X1OZd面内。

据此可以推出, 在姿态变换时, 若先进行翻滚角变换, 则地理坐标系在变换后其Zd轴就不垂直于水平面了, 进而进行方位角变换时就会因为Zd轴不垂直而引入误差。因此应首先进行方位角变换, 然后进行俯仰角变换, 其旋转轴为OY1轴, 方位角变换后该轴仍然在水平面内, 因此不会引入姿态变换误差, 最后进行翻滚角变换, 其旋转轴OX1轴位于X1OZd平面内。经过该种顺序的姿态变换 (方位—俯仰—翻滚) , 才与实际情况相符, 且引入的误差最小。

如下对各角度变换进行单独分析, 并得到各自的变换矩阵, 方位角变换如图5中左上图所示, 设点D为空间中任意一点, 其在地理坐标系下坐标为D (Xd, Yd, Zd) , 经过姿态变换后在载体坐标系下坐标为D (X1, Y1, Z1) , 则根据推导得到:

矩阵形式为:

Tγ即为方位角变换的转换矩阵。

同理, 根据图5所示, 分别得到俯仰变换和翻滚变换的矩阵形式为:

将式 (14) ~式 (16) 合并在一起, 由地理坐标系到飞行器载体坐标系的变换矩阵形式为:

式 (17) 中:

将矩阵合并变换后得到:

3.3 飞行器载体坐标系到地理坐标系变换

飞行器载体坐标系到地理坐标系的变换是地理坐标系到载体坐标系姿态变换的逆变换, 由先前分析可知, 由地理坐标系到载体坐标系的姿态变换顺序是先进行方位角变换, 再进行俯仰角变换, 最后进行翻滚角变换, 因此由载体坐标系到地理坐标系的姿态变换顺序是先进行翻滚角变换, 以OX2轴为旋转轴, 顺时针旋转α, 使OZz轴与OZz轴重合;再进行俯仰角变换, 以OY1轴为旋转轴, 反方向旋转β, 使OZ2轴与OZd轴重合;最后进行方位角变换, 以OZd轴为旋转轴, 反方向旋转γ, 使载体坐标系与地理坐标系重合。

与式 (19) 的推导过程类似, 由载体坐标系到地理坐标系姿态变换过程中, 翻滚角变换矩阵Tα1、俯仰角变换矩阵Tβ1、方位角变换矩阵Tγ1分别为:

由飞行器载体坐标系到地理坐标系姿态变换矩阵TD1为:

将矩阵合并变换后得到:

在航磁测量过程中, 根据测得的空间某一点任意姿态的磁场三分量值, 再结合上面推导的由飞行器载体坐标系到地理坐标系姿态变换矩阵, 将磁场三分量值变换到基于基准坐标系 (地理坐标系) 下的磁场三分量数据, 以便于在航磁测量的顺利进行。

3.4 实验验证及分析

为验证上述姿态变换矩阵的正确性, 根据野外实际测试的数据对姿态变换矩阵进行了验证。实验中用于测量飞行器姿态数据的陀螺仪装置和测量空间磁场数据的三分量磁力仪传感器装置安装示意图如图6所示。

设三分量磁力仪装置采集的磁场数据为Dm (x, y, z) , 经过姿态变换后地理坐标系下的磁场数据为Dd (x1, y1, z1) , 则根据图6的两坐标系对应关系, 地理坐标系Xd轴对应磁场分量数据为-z, Yd轴对应磁场分量数据为x, Zd轴对应磁场分量数据为-y。Dm与Dd的关系方程为:

式 (25) 中:TD1为从飞行器载体坐标系到地理坐标系姿态变换关系矩阵。

在实验过程中, 所选野外场地磁场环境稳定, 周围无其它磁场源干扰, 磁力仪装置在该环境中静止测量时所记录的总磁场值基本为一恒定值。

实验步骤为:

(1) 使设备按照预定轨迹前进, 并不断改变设备的姿态, 记录并保存数据, 解算后的磁场各分量与总场值如图7所示, 通过图形可以看出, 因为载体坐标系姿态变换的随意性, 磁力仪各分量的磁场值也呈现对应变化, 而总磁场数据基本不变。

图8为各磁场分量值与对应轴姿态变化对比曲线, 其中每幅图形的横坐标表示实验记录时间, 左纵坐标表示磁场分量信息, 右纵坐标表示姿态角度变化信息, 可知二者的参数信息变化趋势一致。

(2) 野外实验场地磁场环境稳定, 经过理论计算, 当对各分量磁场进行姿态变换至地理坐标系下时, 各分量磁场值为恒定值。将基于载体坐标系下的磁场各分量实测数据代入公式 (25) 后, 转换到基于地理坐标系下的磁场数据, 如图9所示, 其中, 左纵坐标为磁场分量在载体坐标系下的曲线, 右纵坐标为经过姿态变换到地理坐标系下对应的磁场数据。

通过图形曲线分析, 经过姿态矩阵变换后地理坐标系下各分量磁场曲线为 (或近似为) 直线, 姿态变换前后的改善率可达到57倍, 和理论计算的结果相符, 验证了姿态变换矩阵的准确性。

图中观察到地理坐标系下各分量磁场曲线并非完全是直线, 原因是设备在测量过程中, 陀螺仪装置和磁力仪探头都有一定的测量偏差, 并不能完全精确测量, 而且实验场地的磁场环境也并非绝对稳定, 这些都会带来最终结果的误差。

实验表明, 本文所建立的从飞行器载体坐标系到地理坐标系以及从地理坐标系到飞行器载体坐标系的姿态变换公式是准确可靠的。

4 结语

(1) 航磁姿态变换的实质就是飞行器载体坐标系与地理坐标系之间的角度变换;飞行器方位角的旋转轴垂直于水平面, 俯仰角的旋转轴在水平面内, 翻滚角的旋转轴不在水平面内。因此虽然说飞行器的姿态变化是随机的, 但是从地理坐标系到载体坐标系的坐标变换时, 按照一定顺序变换会使失真最小, 姿态变换前后的改善率可达到57倍, 变换顺序为方位角—俯仰角—翻滚角。

(2) 由于从飞行器载体坐标系到地理坐标系的姿态变换是按照一定的顺序进行, 则从地理坐标线到飞行器载体坐标系的姿态变换也必须按照一定的顺序进行, 变换顺序为:翻滚角—俯仰角—方位角。

(3) 建立了符合航磁测量的从飞行器载体坐标系到地理坐标系以及从地理坐标系到飞行器载体坐标系之间的姿态变换公式。

本文的姿态坐标变换技术研究, 是航磁矢量测量中的关键技术, 为航磁矢量测量奠定了坚实的基础。

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椭球变换与建立独立坐标系的探讨 篇6

根据具体情况, 在采用GPS技术建立独立坐标系下的控制网时, 可采用如下方法进行:先进行GPS网的无约束平差, 得到地心地固系下的坐标, 再将GPS测定三维坐标投影到独立坐标系所在的平均高程面或指定高程的高程面上, 最后, 再进行平移和旋转变换, 得出最终的坐标。要得到指定高程面上的平面坐标, 可以采用标准的投影过程, 不过投影时参考椭球的定位或参考椭球的参数需要进行相应的变换, 参数变换常用的方法有椭球平移法、椭球膨胀法和椭球变形法。

一、椭球变换的方法

1. 椭球平移法。

椭球平移法的基本思想是将国家参考椭球沿独立坐标系的原点 (局部局域的中心点) 所在的法线进行平移, 使椭球面与该点相切, 将坐标转换到基于平移后的参考椭球的坐标参照系, 再以平移后的椭球为依据, 对坐标进行投影变换, 得到指定高程面上的平面坐标。变换过程如下。、

(1) 椭球中心在空间三维变化量的确定。按下列式子计算。

式 (1) 、 (2) 、 (3) 中, B0为基准点纬度, L0为基准点经度, Δh为大地高的变化量。

(2) 确定项目中心区域 (基准点) 的大地坐标 (纬度B和经度L) 。根据GPS测量得到的基准点大地高, 将大地坐标转换成空间直角坐标, 利用 (1) 式计算出新椭球的计算椭球中心的平移量 (d X0, d Y0, d Z0) , 然后以新椭球为基准进行投影, 得出指定高程面下的坐标。数据特性如下。

式 (4) 、 (5) 、 (6) 中, d X0、d Y0、d Z0分别为椭球中心的在空间的三维变化量, M为子午圈曲率半径, N为卯酉圈曲率半径, H为大地高, 其余同式 (1) 、 (2) 、 (3) 。

可见, 椭球平移法变换前后, 各点对经纬度和大地高均发生变化。

2. 椭球膨胀法。

椭球膨胀法的基本思想是膨胀前后椭球中心保持不动, 椭球扁率保持不变, 椭球长半轴变化, 对椭球进行缩放, 使得缩放之后的参考椭球的椭球面与独立坐标系所选定的平面相切。变换过程如下。

(1) 确定项目中心区域 (基准点) 的大地坐标 (纬度B和经度L) , 根据GPS测量得到的基准点大地高, 计算出新椭球的长半轴变化量和新椭球的长半轴, 然后以新椭球为基准进行投影, 得出指定高程面下的坐标。

(2) 根据椭球大地测量学的变换模型, 椭球膨胀法变换前后的数据特性如下:

式 (7) 、 (8) 、 (9) 中, M为子午圈曲率半径, N为卯酉圈曲率半径, a为椭球长半轴, Δa为椭球长半轴的变化量, H为大地高, 其余同式 (1) 、 (2) 、 (3) 。

可见, 椭球膨胀法变换前后, 各点的经度并不发生变化。

3. 椭球变形法。

椭球变形法的基本思想是先将椭球面沿基准点的法线方向膨胀到所定义的参考面, 椭球中心保持不动, 再变化新椭球的扁率α, 使得基准点处的法线方向派生前后重合。基准点的经纬度不发生变化。

确定项目中心区域 (基准点) 的大地坐标 (纬度B和经度L) , 将大地坐标转换成空间直角坐标, 计算出新椭球长半轴的变化量和新的椭球扁率, 确定新椭球的各项参数, 然后以新椭球为基准进行投影, 得出新椭球下的坐标。

式 (10) 、 (11) 、 (12) 中, M, N, H, B, e, a含义同椭球膨胀法, α为椭球扁率, △α为扁率变化量, △a为椭球长半轴的变化量, 椭球变形法变换前后, 各点的经度同样不发生变化。

二、数据分析

1. 实例。

某山区道路长300km, 平均海拔为1 500m, 最大高差为2 000m。采用GPS测量得到了1980西安坐标系坐标, 为满足道路放线需要, 分段建立了该区域独立坐标系。为控制投影变形并满足规范要求, 采用区域椭球理论建立了区域独立控制网, 较好地解决了这个问题。

2. 数据处理。

分别用上述三种方法建立区域独立坐标系。数据处理使用Trimble公司的TGO1.63软件, 通过式 (2) 、 (3) 、 (4) 计算确定椭球元素, 然后利用该元素自定义椭球, 最后通过变换系统基准达到重新投影的目的。数据表明采用椭球膨胀法、椭球平移法和椭球变形法建立区域独立坐标系是等价的, 其投影变形的结果近似。在使用过程中应注意高差不宜超过200m, 否则会造成边长投影变形过大的问题。根据测算, 在150km×90km的某城市辖区范围内, 利用区域椭球建立的地方独立坐标系, 其投影变形得到了较好的控制, 达到了1/40 000的要求。边长变形值见表1。

数据显示, 离开基准点越远其投影变形越大, 但基准点附近的变形值并非最小。较小的变形值是基准点附近按环形分布的。高斯坐标的变化经过综合比较, 三种方法中, 以椭球平移法建立的独立坐标系其坐标变化最为均匀, 其余两种方法投影后, 坐标变化呈由一端向另一端逐渐增大的趋势。需要说明的是, 采用上述三种方法建立区域独立坐标系是基于单基点的情况, 事实上, 其投影面仍不能与区域椭球面完全重合, 两个面之间尚存在偏离。而采用多基点定位区域椭球, 可使两个面更为接近。从而更有效的控制投影变形。

四、结论与建议

本文较详细综述了目前较为常见的几种地方参考椭球变换的基本理论与方法, 并对各方法的特点进行了相应的归纳与分析, 从理论上证明了上述各种椭球变换方法所得到的独立坐标系椭球面与平均高程面的关系。从独立坐标系与国家坐标相衔接而言, 椭球变形法保持独立坐标系点大地经纬度不变, 从这点来说椭球变形法比其他方法具有优越性;由于椭球面发生的变化, 椭球参数与点的大地经纬度也发生变化, 故应采用新的大地经纬度按新椭球元素进行高斯投影。不改变参考椭球面原有大地经纬度, 从理论上讲是不严密的, 但对于较小的测区而言, 其影响较小。从表1可知, 椭球膨胀法与椭球变形法较接近, 平移法与其他方法比较坐标在数值上相差较大。但在原独立坐标系的约束下, 所有椭球变换方法所得到的新独立坐标是基本一致的。

例谈坐标伸缩变换在解题中的应用 篇7

定义：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ:的作用下，点P(x,y)对应到点P′(x′，y′)，则称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

若能充分挖掘伸缩变换φ的性质，并应用于解析几何的解题过程中，有时可以大大地减少计算量。伸缩变换φ的常见性质有：

性质1：φ保持结合性不变，即若在φ的作用下点P对应点P′，曲线f(x,y)=0对应到曲线F(x,y)=0，则点P′在曲线F(x,y)=0上的充要条件是点P在曲线f(x,y)=0上.

性质2：若在φ的作用下A,B两点对应到A′，B′，若直线AB的斜率为k，直线A′B′的斜率为k′，则

性质3：若在φ的作用下，共线的三点A,B,C对应到共线的三点A′，B′，C′，则点C分的比等于点C′分的比.

性质4：若在φ的作用下，△ABC对应到△A′B′C′，则

二、下面给予性质3和性质4的证明过程

性质3的证明：

设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，则A′(λx1，μy1),B′(λx2，μy2),C′(λx3,μy3).

性质4的证明：

设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则A′(λx1,μy1),B′(λx2,μy2),C′(λx3,μy3)

三、下面举例说明上述性质的应用

例1.北京奥运会主体育场“鸟巢”的钢结构俯视图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC、BD，设内层椭圆方程为,外层椭圆方程可设为,若AC与BD的斜率之积为-916,求椭圆的离心率.

解:定义伸缩变换:,则在φ的作用下内外层椭圆分别对应圆,点A,B,C,D分别对应点A′,B′,C′,D′,如图2。

由性质1知A′C′，B′D′是圆x2+y2=a2b2的切线.

由已知,由圆的性质易知A′C′⊥B′D′,即kA′C′k B′D′=-1

由性质2得,从而

可得离心率

例2.如图3,已知P是椭圆上的任意一点,O是坐标原点,,过M作直线交椭圆于A,B两点,且AM=BM,探索△PAB的面积是否为定值,若是,求出该定值;若不是,求出它的最大值.圻圻

解：定义伸缩变换：，则在φ的作用下椭圆对应圆x2+y2=a2b2，设点A,B,P,M分别对应点A′，B′，P′，M′，如图4:

由性质3,A′M′=M′B′,,故O为△P′A′B′的重心;又O为△P′A′B′的外心,从而△P′A′B′为正三角形.易得圆x2+y2=a2b2的内接正三角形的面积为定值

由性质4,,从而为定值.

例3.(2008年安徽省数学竞赛)如图5，设点A(1,1)，点B,C在椭圆x2+3y2=4上，求S△ABC的最大值，并求出取得最大值时直线BC的方程.

解：显然点A在椭圆x2+3y2=4上，△ABC为此椭圆的内接三角形，

定义伸缩变换：φ:，则在φ的作用下椭圆x2+3y2=4对应圆x2+y2=4，如图6，点A(1,1)对应点，设点B,C对应点B′，C′，则由性质1知△A′B′C′为圆x2+y2=4的内接三角形.

由性质4知,所以当S△A′B′C′最大时,S△ABC取得最大值.

由平面几何中的常见结论：圆的内接三角形中，正三角形的面积最大，并注意到∠A′Ox=60°，易得当B′(-2,0),时，△A′B′C′为正三角形，S△A′B′C′取得最大值，故S△ABC的最大值为3，此时B(-2,0),C(1，-1)，直线BC的方程为x+3y+2=0.

例4.如图7，已知抛物线C:y2=2px(p>0)，过点A(p,0)的直线与抛物线C交于M、N两点,且过点M,N向直线x=-p作垂线,垂足分别为P、Q,△MAP、△NAQ的面积分别记为S1,S2,求

解:定义伸缩变换:φ:,则抛物线C:y2=2px对应为抛物线,如图8,点A对应的点仍为A,直线x=-p仍对应直线x=-p，设点M,N,P,Q分别对应点M′，N′，P′，Q′，由yp=yM知yP′=yM′，故P′M′与直线x=-p仍垂直，同理，N′Q′与直线x=-p也垂直.

易知点A为抛物线C′的焦点，直线x=-p为抛物线C′的准线，则M′P′=M′A,N′Q′=N′A;

由性质3知M′A∶N′A=MA∶NA=2∶1

记△M′AP′，△N′AQ′的面积分别为S1′和S2′，则

坐标变换方法 篇8

2002 年Deb等人提出了一种改进型非支配排序遗传算法( Non - Dominated Sorting Genetic Algorithm,NSGA - II)[3]。算法先对种群中的个体按照支配关系进行分层,处于同一层上的各个个体都是彼此非支配的,且层级序值小的个体支配层级序值大的个体。然而,NSGA - II中使用的变异算子属于单点变异,个体的变异范围在线性范围内变异。这就导致种群在进化工程中的种群多样性受到影响,最终降低非劣最优解集的多样性。为克服单点变异带来的不足,本文提出了极坐标变换的变异算子,该算子可使个体在一个超球体范围内随机变异,能够有效增加种群多样性。最终可增加非劣最优解集的多样性。

1 多目标优化问题描述

多目标优化问题用文字描述为D个决策变量参数、N个目y标函数、m + n个约束条件组成一个优化问题,决策变量与目标函数、约束条件是函数关系。在非劣解集中决策者只能根据具体问题要求选择令其满意的一个非劣解作为最终解。多目标优化问题的数学形式可以描述为[3,4]

其中,x为D维决策向量; y为目标向量; N为优化目标总数; fn( x) 为第n个目标函数; X是决策向量形成的决定空间; xd_max和xd_min为每维向量搜索的上下限。

对于多目标优化问题中非劣最优解可进行如下定义:

定义1(Pareto支配)[4]

对任意的d∈[1,D]满足x*d≤xd且存在d0∈[1,D]有x*d0<xd0,则向量X*=[x*1,x*2,…,x*D]Pareto支配向量X=[x1,x2,…,xD]。记作。

f( X*) 支配f( X) 必须满足以下两个条件

当时。

定义2(Pareto最优解)[5]

Pareto最优解是不被可行解集中的任何解支配的解,若X*是搜索空间中的一点,则X*为非劣最优解,当且仅当不存在X(在搜索空间可行域中)使得fn(X)≤fn(X*)成立,n=1,2,…,N。

定义3(Pareto前沿)

由所有非劣最优解组成的集合称为多目标优化问题的最优解集,也称为可接受解集或有效解集。

2 基于极坐标变换的变异算子

对于多目标优化问题的解,具有良好多样性的解集是更加理想的解集。为使文中获得分布范围更加均匀的解集,可通过修改变异算子来增加种群的多样性,从而获得具有更好多样性的解集。在传统的NSGA - II算法中采用性能较差的单点变异算子,单点变异算子的功能简单,但同时带来的问题是,使用单点变异算子限制了个体的变异范围,不利于增加种群的多样性,使得最终解的多样性变差。在空间中使用极坐标变换可使种群中的个体在围绕个体的整个超球体内随机变异,是个体变异范围更加广泛。因此,本文在NSGA - II算法的基础上对NSGA - II算法的变异算子的进行了改进。

极坐标: 在平面内取一个定点O,叫极点,引一条射线Ox,叫做极轴,再选定一个长度单位和角度的正方向( 通常取逆时针方向) 。用 ρ 表示线段OM的长度,θ 表示从Ox到OM的角度,有序数对( ρ,θ) 就叫点M的极坐标。极坐标到直角坐标的转换如下: x1=ρcosθ; x2= ρsinθ。对于种群中的每个个体X = [x1,x2,…,xd,…,xD],xi是个体中的一维,对于xi的变换采用极坐标变换xi= ρcosθ,其中 ρ = max ( xd_max- xi,xi-xd_min) 。对于 θ,为提高 θ 的精度,θ 是[0,2π]之间的随机数。

本文提出了一个新的变异算子,对于个体X =[x1,x2,…,xd,…,xD],变异算子如下

通过该变异算子,可使原个体变异在围绕 ρ =max( xd_max- xi,xi- xd_min) 不规则超球体体内随机变异,通过

可使种群个体不会超出可行域。保证了解的有效性。通过这样的变异算子可以增大种群的多样性,使得最终解具有更好的多样性。

2. 1 基于极坐标变换的改进NSGA - II算法

2. 1. 1 选择算子

选择过程采用基于局部竞争机制的二元联赛选择算子[6],其先在种群中随机选择个个体进行比较,然后根据两者的支配关系选择一个个体,这种选择机制使得个体被选择的概率不与适应度值大小直接成比例,可避免新种群中的个体太聚集。

2. 1. 2 杂交算子

交叉采用SBX方式[7],SBX算子可将父体中优良个体基因遗传到下一代某个子串中,确保遗传算法跳出局部最优解收敛于全局最优解,个体i和个体j的第k位基因Ii,k和Ij,k按如下方式进行交叉

其中

其中,r是[0,1]的随机数; ηc是分布指数。

2. 2 算法过程

基于极坐标变换的改进NSGA - II算法( PNSGA -II) 的步骤如下:

步骤1令t = 0,初始化种群P ( t) ,种群个数为N;

步骤2 计算P( t) 中每个个体的适应度值;

步骤3 用二元联赛选择算子从种群P( t) 中选择N /2 个个体;

步骤4 对选择的N/2 个个体进行模拟二进制杂交操作,对产生的N/2 个新个体与步骤3 中的个体进行合并,产生N个个体的种群;

步骤5 对步骤4 产生的种群个体进行极坐标变异操作;

步骤6 将种群P( t) 中的N个个体和步骤3 中产生的N个后代,合并成规模为2N的种群P'( t) ;

步骤7 计算P'( t) 中每个个体的适应度值,根据快速非支配排序[8]的结果,选择N个个体;

步骤8 若满足终止条件则算法停止; 否则,则转步骤3,令t = t + 1。

3 仿真实验

3. 1 测试函数选择

本文通过测试4 个典型的测试函数( ZDT1、ZDT2、ZDT3 和ZDT6 函数)[9,10],对比算法NSGA - II和PNSGA - II来验证所提算法的有效性。各测试函数的表达式如下

其中

本文所选用测试函数的理想Pareto Front如下所示。由图可看出,ZDT1的Pareto Front是个凸曲线,ZDT2的Pareto Front是一个凹曲线,ZDT3的Pareto Front是一个离散的曲线,ZDT6的曲线也是一个凹曲线。

3. 2 实验结果

为保证实验结果的准确性,设定如下实验参数: 种群规模为300; 迭代次数为1 000; 每个函数的测试次数为30; 种群变异概率为0. 3; 种群杂交概率为0. 8。对上述4 个测试函数进行实验,得到测试结果如下。

3. 3 实验分析

由实验结果可看出,PNSGA - II算法可使各个测试函数达到理想的Pareto Front。同时,相比较于NSGA - II算法,PNSGA - II算法得到的Pareto Front分布更加广泛。因此,与NSGA - II相同,PNSGA - II求出的Pareto最优解接近Pareto最优边界,收敛速度更快更稳定,且这些Pareto最优解在整个Pareto最优边界上分布更均匀。因此,算法PNSGA - II在解决多目标函数优化问题时优于算法NSGA - II,表明了所提算法PNSGA - II的有效性。

4 结束语

NSGA - II作为求解多目标优化问题理想的方法之一,表现出了良好的性能。但NSGA - II在最优解的多样性方面仍存在一些,如最优解分布不广泛等缺点。因此,本文基于极坐标变换提出了一种改进的NSGA - II算法,将极坐标运用于遗传算法的变异算子,并在此基础上提出了PNSGA - II算法。实验证明了所提算法PNSGA - II的有效性。

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