坐标旋转变换

坐标旋转变换（共9篇）

坐标旋转变换 篇1

电压跌落是由系统短路故障、过负荷或大型电机启动引起的电压短时快速下降。由于冲击性和非线性负荷的广泛应用，系统电压跌落现象时常出现，目前已成为最重要的电能质量问题，并给一些敏感负荷带来了严重影响和危害[1]。因此，电压跌落的快速、精确的检测(包括检测速度，跌幅等)已成为治理的首要课题。电压跌落大多由突发短路引起，尤以不对称故障为主[2]。当系统发生不对称短路或者较大幅度的电压跌落时，三相电压将出现较大比重的负序和零序分量[3]。目前主要以基于d q变换的算法因能迅速精确检测电压跌落而广泛使用。通过正负序双同步旋转坐标变换获得正、负序变量，并且构造出检测量，较常规算法有更快的电压跌落检测速度。

1 常规的检测算法

1.1 d q坐标变换检测算法[4]

令系统三相电压uabc为：

式(2)三相电压uabc经dq变换后：

由于三相测量电压中还包含谐波分量和测量误差，常将式(4)通过低通滤波器(LPF)，如图1所示。理论上dq坐标变换检测算法的判断量为：

1.2 基于αβ坐标变换检测算法

文献[5]提出一种只基于αβ坐标变换的检测算法，通过电压的α、β分量构造同步旋转坐标变换，模拟d q变换检测算法，并可省去锁相环节和三角函数计算。将dq变换矩阵P可分解为

式中：θ=ωt。故uabc可分2次变换：

同步旋转角θ可用电压矢量uαβ表示：

将式(11)代入式(10)，同步电压矢量udq为：

将式(12)代入式(4)，得

式(13)与式(4)相同，即基于αβ坐标变换的检测算法与dq变换检测算法等效，其检测原理如图3。理论上αβ坐标变换检测算法的判断量为：

1.3 带陷波器的d q坐标变换检测算法

观察式(3)，三相不对称电压的正序基频分量转换成直流量，而基频负序分量转换成2次分量。为分离基波正序分量，可采用陷波器(Notch)，其传递函数为：

式中：ω0为陷波角频率，设为2ωf(ωf为基频角频率);ζ为阻尼比。带陷波器的d q坐标变换检测算法如图4所示。理论上该算法的判断量为：

2 基于正负序双旋转坐标变换检测算法

传统dq坐标变换是正序同步旋转坐标变换，考虑构造负序同步旋转坐标变换，将-θ代入式(8)，则：

将uαβ通过上述负序同步旋转坐标变换，得

式中：ud N,uq N为三相电压在负序同步坐标下的d、q分量。正负序双同步旋转坐标变换检测算法如图5所示。理论上该算法的判断量为：

3 仿真分析与比较

利用PSCAD通过单相接地短路对传统d q变换算法和αβ变换算法的检测性能进行仿真比较。仿真中设定三相380 V系统中a相0.2 s时发生接地短路，仿真波形如图6所示。

图6中：Ua,Ub和Uc为三相电压;Vd q,Vαβ，VP,VP-N分别为d q坐标变换，αβ坐标变换，带陷波器d q坐标变换和正负序双同步旋转坐标变换四类检测算法的检测量;VN为负序同步旋转坐标变换检测到的负序分量;Vref为判跌门限，三相系统中设为0.38×90%=0.342 kV;F_trig为故障发生逻辑，Detect_d q,Detect_αβ，Detect_P,Detect_P-N分别为上述4类检测算法的检测逻辑，0表示未发生或未检测到，1表示发生或检测到。

不同故障情况下各类检测算法仿真结果如表1所示，仿真结果由电压跌落检测时间和稳态值2部分组成，单位分别为ms和kV。由于αβ坐标变换和d q坐标变换的检测性能极为相似，故将其数据列为一类。

4 结束语

正负序双同步旋转坐标变换算法，通过构造一个由正序和负序2个分量构成的检测量，当发生各类对称故障时，所构成的检测量具有更快的下降速度，并且普遍适用于各类故障情况。因此，具有较常规的dq变换检测算法更快的检测速度。

摘要：电压跌落的快速准确检测对于电能质量的监测与治理具有重要意义。通过进行正序和负序的同步旋转坐标变换,构造一个由正序和负序2个分量构成的检测量,用于电压跌落的检测。5种情况下的跌落检测仿真均验证了该算法的有效性,并且较其他算法具有更高的检测精度和更快的检测速度。

关键词：电压跌落,dq变换,αβ变换,正负序双同步旋转坐标变换

参考文献

[1]孙连旗.电网电压瞬间跌落的危害和防范措施[J].天津电力技术,2006,(2):28-29.

[2]金钊,刘炳.电压跌落分析与对策[J].电力设备,2006,7(4):63-66.

[3]李光琦.电力系统暂态分析[M].北京:中国电力出版社,1995.

[4]肖湘宁,徐永海,刘昊.电压凹陷特征量检测算法研究[J].电力自动化设备,2002,22(1):19-22.

[5]毛玉芳,杨振宇.基于αβ变换的电压跌落检测算法研究[J].江苏电机工程,2007,26(6):44-46.

坐标旋转变换 篇2

#import “ViewController.h”

@interface ViewController

@property (nonatomic,weak) UIView * rectView;

@end

@implementation ViewController

- (void)viewDidLoad {

[super viewDidLoad];

//“点我” 控制按钮

UIButton * button=[UIButton buttonWithType:UIButtonTypeCustom];

[button setTitle:@“点我” forState:UIControlStateNormal];

button.frame=CGRectMake(self.view.frame.size.width-110, 20, 100, 44);

button.backgroundColor=[UIColor redColor];

//添加点击事件

[button addTarget:self action:@selector(clickMeAction) forControlEvents:UIControlEventTouchUpInside];

[self.view addSubview:button];

UIView * rectView = [[UIView alloc]initWithFrame.:CGRectMake(0, 0, 150, 150)];

rectView.center=self.view.center;

rectView.backgroundColor=[UIColor greenColor];

self.rectView=rectView;

[self.view addSubview:rectView];

}

#pragma mark - clickAction

- (void) clickMeAction

{

//仿射变换移动

//1.从当前位置，向右移动50，向下移动100 (直接变换)

/*

self.rectView.transform=CGAffineTransformMakeTranslation(50, 100);

*/

//2.(方法一)从当前位置，向右移动50，向下移动100 (0.5秒钟时延)

/*

[UIView animateWithDuration:0.5 animations:^{

self.rectView.transform=CGAffineTransformMakeTranslation(50, 100);

}];

*/

//3.(方法二)从当前位置，向右移动50，向下移动100 (0.5秒钟时延)

/*

[UIView animateWithDuration:0.5 animations:^{

//self.rectView.transform=CGAffineTransformMakeTranslation(50, 100);

self.rectView.transform=CGAffineTransformTranslate(self.rectView.transform, 100, 100);

}];

*/

//仿射变换比例

//1.中心点不变，宽度缩小为原来的0.1倍，高度缩短为原来的0.5倍

/*

[UIView animateWithDuration:0.5 animations:^{

self.rectView.transform=CGAffineTransformMakeScale(0.1, 0.5);

}];

*/

//2.中心点不变，扩大为原来的5倍

/*

[UIView animateWithDuration:0.5 animations:^{

self.rectView.transform=CGAffineTransformMakeScale(5, 5);

}];

*/

//3.(方法一)向右向下各移动100

/*

[UIView animateWithDuration:0.5 animations:^{

self.rectView.transform=CGAffineTransformMakeTranslation(100, 100);

}];

*/

//4.(方法二)向右向下各移动100

/*

[UIView animateWithDuration:0.5 animations:^{

self.rectView.transform=CGAffineTransformMakeTranslation(100, 100);

}];

*/

//5.在前一个位置的基础之上，向右向下分别移动1个距离

/*

[UIView animateWithDuration:0.5 animations:^{

self.rectView.transform=CGAffineTransformTranslate(self.rectView.transform,1,1);

}];

*/

//6.在前一个位置的基础之上，向右向下分别移动100个距离

/*

[UIView animateWithDuration:0.5 animations:^{

CGAffineTransform. form=self.rectView.transform;

self.rectView.transform=CGAffineTransformTranslate(form,100,100);

}];

*/

//7.来回弹跳切换着向右下角移动10个单位

/*

[UIView animateWithDuration:0.5 animations:^{

CGAffineTransform. form=self.rectView.transform;

self.rectView.transform=CGAffineTransformMakeScale(2, 2);

self.rectView.transform=CGAffineTransformTranslate(form,10,10);

}];

*/

//仿射变换---旋转

//1.顺时针旋转90度

/*

[UIView animateWithDuration:0.5 animations:^{

self.rectView.transform=CGAffineTransformMakeRotation(M_PI_2);

}];

*/

//2.在前一个位置的基础之上,顺时针旋转45度

/*

[UIView animateWithDuration:0.5 animations:^{

CGAffineTransform. form=self.rectView.transform;

self.rectView.transform=CGAffineTransformRotate(form,M_PI_4);

}];

*/

//3.在前一个位置的基础之上,逆时针旋转45度

/*

[UIView animateWithDuration:0.5 animations:^{

CGAffineTransform. form=self.rectView.transform;

self.rectView.transform=CGAffineTransformRotate(form,-M_PI_4);

}];

*/

//4.在前一个位置的基础之上,顺时针旋转确定的度数

[UIView animateWithDuration:0.5 animations:^{

CGAffineTransform. form=self.rectView.transform;

self.rectView.transform=CGAffineTransformRotate(form,9/100.0*M_PI);

}];

}

坐标旋转变换 篇3

一般高等数学、数学分析教材中, 只给由平面曲线绕坐标轴旋转所得旋转体体积的积分公式, 但是, 根据几何体体积的积分公式可以推证, 平面曲线y=f (x) 上介于M, N两点间的曲线段绕同平面直线L:Ax+By+C=0旋转所得旋转体体积的一般积分公式为:

$V=\frac{\text{π}}{(A{}^2+B{}^2){}^{\frac{3}{2}}}$∫${}_a^b$[Ax+Bf (x) +C]2|Af′ (x) -B|dx. (a)

其中a, b分别为M, N两点所对应的x值.

依此公式, 不仅可简化曲线段绕一般直线旋转所得旋转体体积的计算, 同时, 坐标轴作为坐标平面直线L的特殊形式, 由平面曲线绕坐标轴旋转所得旋转体体积的积分公式, 自然也可作为公式 (a) 的特殊形式而得到.公式 (a) 的推导有多种方法, 通过坐标变换推导, 不失为其中方法之一.

一、公式的坐标变换法推导

在直线L:Ax+By+C=0的任意一条垂线与曲线y=f (x) 至多有一个交点的假定条件下, 若B≠0, 直线L与y轴的交点为$\left(0,-\frac{C}{B}\right)$, 设直线L在坐标系xOy上的倾斜角为θ, 则$\tan \theta =-\frac{A}{B}$, 且

(1) 若A≥0, B>0, 则

(2) 若A<0, B>0, 则$\sin \theta =-\frac{A}{\sqrt{A{}^2+B{}^2}},\cos \theta =\frac{B}{\sqrt{A{}^2+B{}^2}}$;

(3) 若A≥0, B<0, 则

(4) 若A<0, B<0, 则$\sin \theta =-\frac{A}{\sqrt{A{}^2+B{}^2}},\cos \theta =\frac{B}{\sqrt{A{}^2+B{}^2}}.$

在 (2) (3) 情形下, 直线L的倾斜角θ为一锐角或为零角, 通过坐标轴移轴、转轴的复合变换

$\{\begin{array}{l}\overline{x}=x\text{c}\text{o}\text{s}\theta +\left(y+\frac{C}{B}\right)\sin \theta ,\\ \overline{y}=-x\text{s}\text{i}\text{n}\theta +\left(y+\frac{C}{B}\right)\cos \theta ,\end{array}$

可使直线L与$\overline{x}$轴重合.而在 (1) (4) 情形下, 直线L的倾斜角θ为一钝角, 通过变换

$\{\begin{array}{l}\overline{x}=x\text{c}\text{o}\text{s}[-(\text{π}-\theta )]+\left(y+\frac{C}{B}\right)\sin [-(\text{π}-\theta )],\\ \overline{y}=-x\text{s}\text{i}\text{n}[-(\text{π}-\theta )]+\left(y+\frac{C}{B}\right)\cos [-(\text{π}-\theta )]‚\end{array}$

即

$\{\begin{array}{l}\overline{x}=-x\text{c}\text{o}\text{s}\theta -\left(y+\frac{C}{B}\right)\sin \theta ,\\ \overline{y}=x\text{s}\text{i}\text{n}\theta -\left(y+\frac{C}{B}\right)\cos \theta ‚\end{array}$

也可使直线L与$\overline{x}$轴重合.

如图1, 经过上述坐标变换, 设曲线y=f (x) 上M, N两点所对应的x值分别为a, b, 所对应的$\overline{x}$值分别为α, β, 根据已有的已知截面面积A (x) 的几何体体积公式V=∫${}_a^b$A (x) dx可知, M, N两点间的曲线段绕直线L旋转所得的旋转体体积为V=∫${}_{\alpha }^{\beta }$$\text{π}\overline{y}{}^2\text{d}\overline{x}.$

其中$|\overline{y}|$为曲线上的点P到$\overline{x}$轴的距离, 也是P点到直线L的距离, 即

$|\overline{y}|=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A{}^2+B{}^2}}=\frac{|Ax+Bf(x)+C|}{\sqrt{A{}^2+B{}^2}}.$

在 (2) (3) 情形的变换下$\text{d}\overline{x}=[\cos \theta +f^{\prime }(x)\sin \theta ]\text{d}x.$

而在 (1) (4) 情形的变换下$\text{d}\overline{x}=[-\cos \theta -f^{\prime }(x)\sin \theta ]\text{d}x.$

以不同情形下的sinθ, cosθ的值分别代入, 有

$(1)\text{d}\overline{x}=\frac{1}{\sqrt{A{}^2+B{}^2}}[B-A{f}^{\prime }(x)]\text{d}x;$

$(2)\text{d}\overline{x}=\frac{1}{\sqrt{A{}^2+B{}^2}}[B-A{f}^{\prime }(x)]\text{d}x;$

$(3)\text{d}\overline{x}=\frac{1}{\sqrt{A{}^2+B{}^2}}[-B+A{f}^{\prime }(x)]\text{d}x;$

$(4)\text{d}\overline{x}=\frac{1}{\sqrt{A{}^2+B{}^2}}[-B+A{f}^{\prime }(x)]\text{d}x.$

综上, 有

$\text{d}\overline{x}=\frac{1}{\sqrt{A{}^2+B{}^2}}|A{f}^{\prime }(x)-B|\text{d}x.$

从而

$\begin{array}{l}V={\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }\text{π}}\overline{y}{}^2\text{d}\overline{x}\\ =\frac{\text{π}}{(A{}^2+B{}^2){}^{\frac{3}{2}}}\end{array}$

∫${}_a^b$[Ax+Bf (x) +C]2|Af′ (x) -B|dx.

若B=0, 直线L的方程为Ax+C=0, 即$x=-\frac{C}{A}$, 如图2, 不难看到, 曲线段绕直线L旋转所得的旋转体的体积为

$$

∫${}_a^b$[Ax+0·f (x) +C]2|Af′ (x) -0|dx.

于是$V=\frac{\text{π}}{(A{}^2+B{}^2){}^{\frac{3}{2}}}$∫${}_a^b$[Ax+Bf (x) +C]2|Af′ (x) -B|dx便可作为曲线y=f (x) 上M, N两点间的曲线段绕直线L旋转所得的旋转体体积的一般积分公式.

特别地, 若直线L为x轴, 直线方程为y=0, 即A=0, B=1, C=0, 由以上公式有

V=∫${}_a^b$πf2 (x) dx. (b)

而当直线L为y轴时, 直线方程为x=0, 即A=1, B=0, C=0, 则有

V=∫${}_a^b$πx2|f′ (x) |dx. (c)

二、应用举例

例1 求由y=x, y=x2所围的图形绕直线L:x+y+1=0旋转而成的旋转体的体积.

解 如图3, y=x与直线L:x+y+1=0垂直, y=x2在点$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)$处的切线与y=x平行, 所以

例2 求由y=x2及y=0, x=1所围成的区域绕x=1旋转所得旋转体的体积.

解 旋转轴方程为x-1=0, 如图4, 由公式 (a) 即得

V=π∫${}_0^1$ (x-1) 2|2x|dx

$\begin{array}{l}=\text{π}{\displaystyle {\int }_0^1(}x{}^2-2x+1)2x\text{d}x\\ =\frac{1}{6}\text{π}.\end{array}$

例3 求由y=sinx, y=0 (0≤x≤π) 所围成的区域绕y轴旋转所得旋转体的体积.

解 如图5, 由公式 (c) 得

作为更一般的例子, 由y=f (x) , x=a, x=b及y=0所围成区域绕y轴旋转所得旋转体体积公式, 也可由 (c) 推出.

参考文献

[1]同济大学应用数学系.高等数学 (第五版) [M].北京:高等教育出版社, 2002.

[2]复旦大学数学系.数学分析 (第三版) [M].北京:高等教育出版社, 2007.

[3]陈抚良, 张振兰, 黄浩然.解析几何[M].北京:科学出版社, 2005.

[4]龚冬保.高等数学典型题解法、技巧、注释[M].西安:西安交通大学出版社, 2000.

图形的平移、旋转、全等变换教案 篇4

平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小。

平移的特点：

①平移是指整个图形平行移动，包括图形的每一条线段，每一个点。经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离。

②平移不改变图形的形状、大小，方向，只改变图形的位置。

平移的基本性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。

简单的平移作图

1．在方格纸上平移图形时，把一个图形向某个方向平移几格，就是指原图形的每个顶点都向这一方向平移几格。

2．在方格纸上平移图形时，可以把这个图形的各个顶点按指定的方向平移到新位置，先分别描出各点，再把各点按原来的顺序连接起来，成为按要求平移后得到的新图形。

图形的旋转

旋转的概念：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形的大小和形状。

注意：“将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度”意味着图形上的每个点同时都按相同的方式转动相同的角度。在物体绕着一个定点转动时，它的形状和大小不变。因此，旋转具有不改变图形的大小和形状的特征。

2．旋转的性质

（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前、后的图形全等；

（4）图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定。

简单图形的旋转作图

1、作出图形的几个关键点旋转后的对应点；

2、顺次连接各点得到旋转后的图形。

组合图案的形成

（1）确定图案中的“基本图案”。

（2）发现该图案各组成部分之间的内在联系。

（3）探索该图案的形成过程：运用平移、旋转、轴对称分析各个组成部分如何通过“基本图案”演变成“形”的。

图形的全等变换

任意旋转角坐标转换的简便模型 篇5

空间直角坐标系的转换在大地测量、工程测量以及摄影测量、三维激光扫描等领域之中扮演着重要的角色。在大地测量中,经常会用到世界大地坐标系WGS-84与我国北京54/西安80坐标系之间的坐标转换或与地方坐标系之间的坐标转换[1];在工程测量中,经常会用到国家/地方坐标系与工程坐标系之间的坐标转换[2];在摄影测量中,空间后方交会、共线方程的建立都要用到空间直角坐标的转换[3];在三维激光扫描中,不同测站之间的点云拼接都要用到坐标转换[4]。基本的坐标转换模型包括布尔沙-沃尔夫(Bursa-Wolf)转换模型、莫洛金斯基转换模型(Molodensky-Badekas)和范士转换模型等,但它们都是基于小旋转角的转换[5]。

在以往的工作中,往往采用小旋转角的空间直角坐标转换模型,即使有大旋转角的转换,一般对作业方法进行改进,使大旋转角变成小旋转角;或先将大旋转角近似地改正后转换成小旋转角,再采用小旋转角的空间直角坐标转换模型。例如,在航空摄影测量中,一般要求做到垂直摄影,然后将地面大地坐标系转到与航线方向基本一致的方向,再进行空间直角坐标的转换。这样做的主要原因是在大旋转角的空间直角坐标转换中,需要处理非线性的问题。若采用独立未知数,即3个平移参数、3个旋转参数、1个尺度参数,而旋转矩阵中的9个参数中,仅有3个是独立的,其余6个是非独立的,且与独立旋转参数的关系较为复杂,处理较繁琐;当旋转角为小角度时,旋转矩阵可简化,则空间直角坐标转换为布尔沙(Bursa) 模型,实现起来比较方便[6],但整体过程而言比较复杂繁琐。基于此,本文提出一种可适用于任意旋转角坐标转换的简便模型。

1 坐标转换数学模型

1.1 坐标转换原理

设有n个点,表示为Pi(i=1,2,…,n)。 如图1所示,点Pi在空间直角坐标系O-XYZ中的坐标为(Xi,Yi,Zi),在空间直角坐标系o-xyz中的坐标为(xi,yi,zi)。

假设这n个点在坐标系O-XYZ和o-xyz中的重心坐标为(Xg,Yg,Zg)和(xg,yg,zg),其计算公方式为:

重心化后的坐标分别记为(X′i,Y′i,Z′i)和(x′i,y′i,z′i),其计算公式为:

认为存在如下的关系:

1.2 转换矩阵R的求解

不妨设在O-XYZ坐标系中的n个点的三维坐标表示为A,在o-xyz坐标系中表示为B,其中,

公式(3)可表示为:

在约束

下求转换矩阵R

将公式(4)右乘BT3×n,得到:

然后可以得到:

1.3 精度评定

本文的方法理论上最少用3个点即恰可进行转换。如果用三个点进行转换也可以用如下公式计算R:

故坐标转换的点位中误差m0可用下式进行计算

2 模拟算例

在[(0,200m),(0,200m),(0,200m)]范围内随机生成10个点的三维坐标,记为B,经过尺度缩放1.002倍,绕Z、Y、X轴分别旋转π/6,π/4,π/3,平移(50m,100m,150m),并且加入N(0,0.02m)的随机误差之后得到10个点的三维坐标,相当于加入了0.035m的随机点位误差,记为A。10个点的模拟数据如表1所示。

按照公式(1)计算得到A的重心坐标为:(226.6709,175.1881,159.5385),B的重心坐标为(99.3975,123.1784,118.0861)。重心化后按照公式(7)可解求得到转换矩阵R,

坐标转换所得的残差序列如图2所示。

按照公式(9)计算得到,m0=0.031m,这同加入的0.035m的点位随机误差也是基本一致的。

理论上,本文的方法最少用3个点即可进行转换,但是由于没有多余观测,很可能导致矩阵病态,故建议最少用4个点进行转换。分别用3~10个点进行坐标转换并且用所有的10个点进行精度评定,用矩阵的条件数来分析矩阵的病态情况,得到如表2的结果。

3 工程实例以及应用

3.1 工程实例

为了增强说服力,本文采用了已发表文献中的一个工程实例,该实例为参考文献[6]中的工程实例,并且将本文提出的方法取得的结果与原文中采用的方法得到的转换结果进行对比。该工程实例中共计17个点,具体坐标数据请见原文。两种坐标转换方式转换得到的残差序列如图3所示。

由图4可看出,采用本文方法得到的残差序列与参考文献原文中得到的残差序列基本上是一致的。原文献中作者用13参数方法进行坐标转换后作精度评定得到转换点的中误差为14.6mm,采用本文的方法进行坐标转换后进行精度评定得到m0=14.0mm,可以认为两种方法得到的转换精度相当,但是本文的转换模型要简便得多。

3.2 工程实际应用

采用本文提出的适用于任意旋转角的坐标转换简便模型,利用盾构机内固定的6个参考点测得的基于盾构机轴线的局部坐标系坐标与在施工坐标系中的实际三维坐标,两套坐标数据见表3,即可按照坐标转换模型求取两种空间直角坐标系的转换参数。图4所示为坐标转换后的残差序列。

按照公式(9)进行精度评定,采用本文方法得到的坐标转换点位精度为3.5mm。

求出坐标系的转换参数后,将盾构机的盾首、盾尾的轴线局部坐标系三维坐标转换成实际三维坐标,再与盾首盾尾的设计三维坐标进行轴线偏差计算,以确定盾构机的实时姿态。盾首、盾尾中心坐标转换结果如表4所示。

由转换后的坐标进一步求得盾构轴线偏差结果,如表5所示。

4 结语

本文提出了一种适合任意旋转角的坐标转换的简便模型。同现有的坐标转换方法相比,本文提出的方法具有简便快捷、精度较高的特点,其最大的运算仅是一个3阶矩阵的求逆,手工计算即可完成,

采用一个模拟算例研究了本文模型的精度和可靠性,认为在大于等于4个点的情况下,本文的坐标转换模型能够取得满意的效果。用一个已发表文献中的工程实例,将本文方法得到的坐标转换结果同原文的坐标转换结果进行比较,得出本文的转换模型能够取得与参考文献中的大旋转角13参数模型等价的结果,但是本文提出的模型的运算量和复杂程度大大降低。

将本文提出的方法应用到地铁盾构姿态控制中,实际应用结果表明,本文提出的坐标转换模型具有较好的实用价值。

摘要：本文提出了一种适合于任意旋转角坐标转换的简便模型,该模型的原理是首先对两套坐标系下各点的坐标进行重心化,而后求得转换矩阵。在一个模拟算例和一个工程实例中应用本文的方法进行坐标转换并对结果进行分析和比较,说明了本文提出的简便方法的实施过程和有效性。将本文提出的方法用于地铁盾构的姿态控制,取得了令人满意的效果。

关键词：坐标转换,简易模型,任意旋转角,重心化,转换矩阵,转换精度估计

参考文献

[1]B.Hofmann-Wellenhof,H.Lichtenegger,J.Collins.GlobalPositioning System:Theory and Practice[M].New York:Springer-Verlag,2001.

[2]潘国荣,谷川,施贵刚.空间圆形物体检测方法与数据处理[J].大地测量与地球动力学,2007,27(3):28~30.

[3]李德仁,郑肇葆.解析摄影测量[M].北京:测绘出版社,1992.

[4]蔡润彬,潘国荣.三维激光扫描多视点云拼接新方法[J].同济大学学报(自然科学版),2006,34(7):913~918.

[5]潘国荣,周莹,张德海.坐标转换模型在盾构姿态计算中的应用[J].大地测量与地球动力学,2006,26(3):84~87.

坐标旋转变换 篇6

关键词：旋转坐标系算法,电压畸变,电流检测,简化计算量

0 引言

为了提高电能质量,静止同步发生器和有源滤波器等装置被广泛应用补偿电流中的无功、谐波及负序分量[1,2],这些装置的核心技术是电流的检测和控制。目前常用的电流检测算法主要有Fourier分析检测算法[3],基于瞬时无功理论的p-q法[4,5]以及对其进一步发展的p-q-r法[6]。

本文针对瞬时无功理论存在的不足提出一种变速旋转坐标系算法。当电压和电流畸变且不平衡时,该算法可准确检测出基波正序电流和相对于基波正序电压的电流有功及无功分量。通过调整算法中旋转坐标系的转向和转速,可检测出指定次正负序电流和相对于指定次正负序电压的电流有功及无功分量。

1 变速旋转坐标系算法原理

1.1 基波正序电流检测

对于三相三线电网系统,当电流处于畸变且不平衡时其瞬时值表达式为:

从矢量角度看,电流是由各个幅值、转速和转向的矢量合成,各矢量在图1所示的abc三相对称坐标系中的值就是各次电流瞬时值。将电流瞬时值用基波正序转换矩阵T+1xy/abc变换到图1所示的逆时针旋转且角速度为ω的基波正序旋转坐标系上。

基波正序转换矩阵为:

电流在基波正序旋转坐标系的坐标为:

通过分析发现转换后基波正序电流的坐标值为直流量,应用低通滤波器提取得:

基波反转换矩阵为:

基波正序电流的瞬时值为:

在进行坐标系变换过程中应用的基波正序转换矩阵和反转换矩阵由sin(ωt+)和cos(ωt+)及其初相角滞后2/3π和4/3π的正余弦三角函数组成。

1.2 指定次正负序电流检测

设指定次电流为l次负序电流,相对的指定次电压为h次正序电压。将电压瞬时值用h次正序转换矩阵T+hxy/abc变换到图2所示逆时针旋转且角速度为hω的h次正序旋转坐标系上。

h次正序转换矩阵为:

将电流瞬时值用l次负序转换矩阵T-1xy/abc变换到图2所示顺时针旋转且角速度为lω的l次负序旋转坐标系上。l次负序转换矩阵为:

对电流的转换坐标值用低通滤波器提取得h次正序电压和l次负序电流为:

应用瞬时无功理论推导l次负序电流相对于h次正序电压的有功和无功分量。同样地,就可以计算出l次负序电流相对于h次正序电压的有功和无功分量在l次负序旋转坐标系上的坐标值。

h次正序反转换矩阵为:

对l次负序电流以及电流的各个分量用l次负序反转换矩阵T-1abc/xy分别进行转换计算得到电流及其各分量瞬时值。l次负序反转换矩阵为:

l次负序电流的瞬时值为:

2 仿真验证

为了验证变速旋转坐标系算法的准确性和有效性,应用PSCAD软件进行仿真研究。在仿真系统中电网电压由不平衡的基波、3次谐波和5次谐波电压叠加。负载为阻容性负载。用系统电网电压中叠加的原始基波正序电压单独作用于系统的阻容负载,得到原始基波正序电流。如图3所示将该电流波形与用变速旋转坐标系算法检测得到的基波正序电流进行对比,发现两者相同。这说明变速旋转坐标系算法对于基波正序电流的检测是有效且准确的。

如图4所示将检测到的a相基波正序电流应用变速旋转坐标系算法得到相对于基波正序电压的有功分量I+1ap和无功分量I+1aq。为了方便波形比较,图中电压V+1a/10为a相原始基波正序电压缩小10倍的波形。电流无功分量与电压比较相位可以看出为容性无功,与负载为阻容性质是一致的。这说明变速旋转坐标系算法对基波正序电流有功和无功分量的检测是有效的。

将检测到的a相基波正序电流有功与无功分量相加得到波形I+1ap+I+1aq。如图5所示将该波形与a相原始基波正序电流对比,发现两者相同。这说明变速旋转坐标系算法对基波正序电流有功和无功分量的检测是准确的。

同样地,将该波形与用变速旋转坐标系算法检测得到的5次负序电流进行对比,发现两者相同,这说明变速旋转坐标系算法对于负序指定次电量的检测是有效且准确的。此外,将检测到的a相5次负序电流应用变速旋转坐标系算法得到相对于3次正序电压的有功分量I-5ap和无功分量I-5aq,通过对比发现电流的有功分量周期与电压周期相同,无功分量周期超前电压90º为容性无功,与负载为阻容性质相一致。这说明变速旋转坐标系算法对指定次电流相对于指定次电压有功和无功分量的检测是有效的。

3 结论

本文提出一种在电网电压畸变且不平衡时进行电流各分量检测的变速旋转坐标系算法。该算法可以检测任意指定次正负序电流以及相对于任意指定次正负序电压的电流有功和无功分量。另外该算法在计算时仅需要知道电压和电流瞬时值,与类似算法相比不需要知道电压矢量与旋转坐标系的夹角。这有效的降低了计算量,简化了电流检测硬件电路,便于在实际工程应用中实现。

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坐标旋转变换 篇7

圆柱面是在各类机械零件中应用最广的几何要素, 其形状误差 (圆柱度) 直接影响零件的整体性能和使用寿命, 因此实现圆柱度误差准确快速的评定具有重要的实际意义。

圆柱度误差的评定方法有最小二乘法、最小区域法及近似的评定方法 (最小外接圆柱法、最大内接圆柱法) 。最小二乘法圆柱度误差是在以各测点距该理想圆柱面轴线的径向距离与理想圆柱面半径之差的平方和为最小的条件下得来的, 因而用最小二乘法评价的圆柱度误差值是唯一的, 但其评定原理存在缺陷, 不能得到精确的圆柱度误差值。最小区域法是以空间直径差最小的两个同轴圆柱面去包容被测实际圆柱面, 是符合定义的圆柱度评价方法。由于圆柱度误差是具有四维描述变量的形状误差, 数据处理复杂, 学者们创造了许多近似和相对准确的评定算法, 比较有代表性的优化算法有遗传算法、牛顿迭代法、线性/非线性变换法和半径法[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]等。这些评定算法的目标函数是非线性的, 优化的参数也比较多, 需经过复杂的转换规则来评定圆柱度误差, 且算法复杂、不易编程实现。本文根据圆柱度误差的定义, 提出一种基于坐标变换的圆柱度误差评定算法, 该算法可实现任意放置的圆柱形零件形状误差的评定, 可得到最大内接圆柱法、最小外接圆柱法和最小区域法的圆柱度误差值。

1 圆柱度误差坐标变换评定原理

从文献[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]介绍的算法中可以看出, 圆柱度误差评定方法 (最小区域法、最小外接圆柱法和最大内接圆柱法) 的核心就是根据被测圆柱轮廓上的点解算出包容实际轮廓的理想圆柱面的轴线方程, 这些理想轴线一定在最小二乘轴线的周围[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]。如果在最小二乘轴线两端点周围的特定区域内布置一系列网格点, 并将最小二乘轴线两端点周围的网格点两两连线, 则可在最小二乘轴线附近构成一直线群, 此直线群中必有某条直线与包容被测点的最小区域的理想轴线最接近或者重合, 同理, 此直线群中也会有与最小外接圆柱、最大内接圆柱的轴线最接近或者重合的直线。由于最小二乘轴线两端点周围的网格点是按一定规则人为设定的, 故直线群中每一条直线的参数都可计算出来。

设测量点在测量坐标系OXYZ (原始坐标系) 中的坐标为Pi (xi, yi, zi) (xi、yi为测点的径向坐标, zi为测点的轴向坐标) , 将测量坐标系通过平移和旋转使坐标原点O与某网格点重合, OZ轴线与该网格点有关联的直线中的任意一条直线重合, 形成一新坐标系——误差评定坐标系OjXjYjZj, 并计算出测量点在该坐标系内的坐标及测量点的半径值, 可得到最大半径Rjmax、最小半径Rjmin和半径极差ΔR;若在最小二乘轴线的两端点周围各布置n2个网格点, 则构成的直线群中就会有n4条直线, 因而可得到n4个最大半径、最小半径和半径极差。

按最小区域法、最小外接圆柱法、最大内接圆柱法评定圆柱度误差的定义可以知道:n4个半径极差值中的最小者即为最小区域法定义的最小区域法圆柱度误差;n4个最大半径值中的最小者即为最小外接圆柱评定法定义的最小外接圆柱面半径, 其对应的误差评定坐标系的Zj轴即为最小外接圆柱面的轴线, 在此误差评定坐标系内测量点的最大半径与最小半径的差值即为最小外接圆柱法圆柱度误差;n4个最小半径值中的最大者即为最大内接圆柱评定法定义的最大内接圆柱面半径, 其对应的误差评定坐标系的Zj轴即为最大内接圆柱面的轴线, 在此误差评定坐标系内测量点的最大半径与最小半径的差值即为最大内接圆柱法圆柱度误差。

2 圆柱度误差坐标变换评定步骤

(1) 确定最小二乘轴线的参数及最小二乘圆柱度误差。设圆柱面面上各测点的坐标为Pi (xi, yi, zi) , (i=1, 2, …, N) , 被测圆柱面最小二乘轴线与测量坐标系坐标平面OXY的交点为A (a, b, 0) , 方向数为 (P, Q, 1) , 最小二乘圆柱度误差为f。

(2) 计算最小二乘轴线与测量起始、终止截面的交点坐标。被测圆柱面最小二乘轴线方程为

那么, 最小二乘轴线与测量起始点截面 (OXY坐标平面) 的交点坐标A0 (x0, y0, z0) 、终止点截面 (z=zM平面) 的交点坐标AM (xM, yM, zM) 分别为

(3) 构造网格点。如图1所示, 以端点A0 (x0, y0, z0) 为基准点, 在OXY平面内设置一边长为最小二乘圆柱度误差f的小正方形区域, 将该正方形的边长n等分并与对边对应等分点两两连线, 连线的交点构成网格点, 则各网格点的坐标dhk (xdh, ydk, z′0) 为

同理, 以端点AM (XM, YM, ZM) 为基准点构造的网格点的坐标elm (xel, yem, zz) 为

这样在z=0、z=zM平面内分别构造了n×n个网格点 (图1) 。

(4) 坐标系转换并计算测量点的新坐标。依次以初始截面上的网格点dhk (xdh, ydk, z′0) 为起始点, 遍历连接终止测量截面 (z=zM平面) 上的网格点elm (xel, yem, zz) , 则可构造n4条直线;对测量坐标系OXYZ进行变换, 使得测量坐标系的Z轴与构造的直线重合, 并且新坐标系的坐标原点与网格点dhk (xdh, ydk, z′0) 重合, 这样, 可形成n4个新坐标系OhklmXhklmYhklmZhklm (误差评定坐标系) 。那么, 依据坐标变换原理, 可以得到测量点Pi (xi, yi, zi) 在误差评定坐标系内的坐标Phklmi (xhklmi, yhklmi, zhklmi) :

(5) 计算误差评定坐标系内测量点的半径。计算每一个误差评定坐标系内测量点的半径值:

从所有测点中找出半径极差ΔRhklm、最大半径Rhklm max和最小半径Rhklm min;因有n4个误差评定坐标系, 那么就可以得到n4个半径极差ΔRhklm、最大半径Rhklm max和最小半径Rhklm min。

(6) 最小区域法圆柱度误差。对n4个半径极差ΔRhklm进行比较, 其中最小者就是包容所有测点的最小区域圆柱度误差, 用符号farea表示, 则最小区域法圆柱度误差为

farea=minΔRhklm (8)

(7) 最小外接圆柱法圆柱度误差。对n4个最大半径Rhklm max进行比较, 其中最小者 (用Rout, min表示) 为包容被测点的最小外接圆柱面半径, 此时的误差评定坐标系的Z轴为最小外接圆柱的轴线, 与此轴线相对应的所有测点的最小半径用rout, min表示, 则最小外接圆柱法圆柱度误差fout为

fout=Rout, min-rout, min (9)

(8) 最大内接圆柱法圆柱度误差。对n4个最小半径Rhklm min进行比较, 其中最大者 (用rin, max表示) 为包容被测点的最大内接圆柱面半径, 此时的误差评定坐标系的Z轴为最大内接圆柱的轴线, 与此轴线相对应的所有测点的最大半径用Rin, max表示, 则最大内接圆柱法圆柱度误差fin为

fin=Rin, max-rin, max (10)

以上得到的圆柱度误差与实际误差的接近程度与布置的正方形边长、等分点数有关, 边长越小、等分点数越多, 计算出的圆柱度误差值就越接近于真值, 但边长值太小有可能使构造的网格连线不能包含被测圆柱面的理想轴线, 等分点数过多会导致计算量大, 影响计算速度。一般先以最小二乘法圆柱度误差值为边长, 等分点数取少一些 (如n=10) , 计算出的圆柱度误差 (最大外接圆柱法、最小内接圆柱法、最小区域法) , 再以其中的最大值为边长, 细化网格, 重复上述步骤;当最小极差与次最小极差非常接近 (如小于1%) 时, 可以认为此时的半径最大值中的最小者构成最小外接圆柱, 半径最小值中的最大者构成最大内接圆柱, 极差中的最小者为最小区域法圆柱度误差。图2为算法程序流程图。

3 计算实例

(1) 圆柱度的三坐标测量。

将被测圆柱体的一端任意放置在三坐标测量机 (Brown Sharpe, Global Status574) 的工作台上, 在被测圆柱体上端面及圆柱面上取一定点数, 建立测量坐标系, 然后手动测点, 在数据处理系统中提取的测量点坐标及处理结果如表1、表2所示。表2中, x、y、z为轴线的起始点坐标;i、j、k为轴向的方向数。

mm

mm

(2) 圆柱度误差的坐标变换评定。

以表2中最小二乘轴线为基准、最小二乘法圆度误差0.0195mm为边长设置正方形区域, 将边长分别20、30等分, 按本文提出的方法对测量数据进行处理, 处理结果如表3所示。

mm

(3) 实例结果分析。

对比表3和表2中的轴线参数可以看出, 对于同一种评定方法, 采用坐标变换评定算法得到的轴线参数与三坐标测量机上的数值基本一致;对比表3与表2的圆柱度误差数值可以看出, 对于同一种评定方法, 采用坐标变换评定算法得到的圆柱度误差值与三坐标测量机上得到的数值规律是一致的且高于坐标测量机的评定精度;从表3可以看出, 在最小二乘轴线端点所设置的区域内, 边长的等分点数越多, 误差的评定精度越高;一般情况下, 等分点数在[15, 20]之内时, 已可以实现圆柱度误差的精确评定。实例对比表明, 本文提出的坐标变换算法可以实现圆柱度误差的精确评定。

4 结论

(1) 本文解决了直角坐标采样时, 圆柱度误差的评定问题, 建立了在任意位置放置、直角坐标采样、各离散采样点之间不要求为等角度间隔情况下, 可同时实现圆柱度误差的最小区域法、最小外接圆柱法和最大内接圆柱法评定的坐标变换法评定模型。

(2) 在使用本算法时, 只要网格点足够多, 可求得符合最小条件的圆柱度误差, 为发生争议时提供仲裁的依据。

(3) 该算法简单直观, 不存在小偏差假设及优化算法问题, 属于纯粹的空间几何运算, 编写计算机程序简单, 可用于三坐标测量机或其他智能量仪测量零件的圆柱度误差。

摘要：提出了一种基于坐标变换的圆柱度误差评定算法。在任意位置放置、直角坐标采样、各离散采样点之间不要求为等角度间隔情况下, 建立了可同时实现圆柱度误差的最小区域法、最小外接圆柱法和最大内接圆柱法评定的坐标变换法评定模型。详细阐述了利用坐标变换求解圆柱度误差的原理和步骤, 给出了数学计算公式及计算机程序流程图。试验结果表明, 该算法可以有效、正确地评定圆柱度误差。

关键词：误差评定,圆柱度误差,坐标变换,最小区域,最小外接圆柱,最大内接圆柱

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基于坐标变换的视轴稳瞄算法 篇8

1 稳瞄系统工作原理

稳瞄系统实际为两轴伺服转台及与之配套的光电设备。转台由方位和俯仰2个控制通道来分别完成2个自由度的角运动。如图1所示,方位环通过轴承与基座相连,俯仰环安装在方位环内。其中,G1为俯仰陀螺;G2为方位陀螺;G3为方位光栅;G4为俯仰光栅;M1为方位力矩电机;M2为俯仰力矩电机。瞄准线即视轴与y轴平行,所谓稳瞄即通过实时地调整俯仰角和方位角来保持y轴的空间指向稳定。

单通道控制回路如图2所示,包含位置外环和速度内环2个闭合回路。其中,速度环的反馈元件为光纤速率陀螺,位置环的反馈元件为光栅,分别测量运动角速度和角度。速度环主要实现稳定功能,但是由于陀螺零漂的存在,视轴还是会随着时间变化有缓慢偏移,而位置环则主要实现对零漂作用的抑制,并进一步提高稳定精度。以下只讨论应用于位置环的视轴稳瞄算法。

2 基于坐标变换的稳瞄算法

2.1 坐标系定义

后面用到的3个坐标系,分别为:(1)地理坐标系OXYZ:原点O为转台重心在地面上的投影,OX轴指向正东,OY轴指向正北,且XOY构成当地水平面,OZ轴当地沿地理垂线指向上方,与另外两轴构成右手直角坐标系。(2)车体坐标系o1x1y1z1:原点o1为车体重心,o1x1轴沿车体横轴指向右侧,o1y1轴沿车体纵轴指向前方,o1z1轴与另外两轴构成右手直角坐标系并指向上方为正。(3)转台坐标系oxyz:原点o为转台2个旋转轴的几何交点,ox轴沿转台俯仰轴指向右侧,oy轴沿转台视线轴指向前方,oz轴沿转台方位轴与另外两轴构成右手直角坐标系,且指向上方为正。

在实际应用中,车体的姿态信息能够被车载惯性导航装置精确测量。但是由于安装误差的存在,转台坐标系和车体坐标系是不重合的,所以惯性导航装置测量到的车体的姿态数据不能直接用于转台控制,需要考虑消除安装误差的影响,下面进行分析。

2.2 安装误差分析

一个向量在2个不同直角坐标系的投影之间存在的变换关系用矩阵表达为

式中,α,β,γ分别为绕三个坐标轴旋转过的角度。坐标变换采用“312”转序,即先绕z轴转过α角度,再绕x轴转过β角度,最后绕y轴转过γ角度,对应的旋转矩阵如下

于是,地理坐标系、转台坐标系和车体坐标系三者之间的关系如图3所示。

取地理坐标系中某一向量[x0y0z0]T,按照图3中所表示的关系,折算到车体坐标系中为

折算到转台坐标系中为

由式(5)和式(6)可以得到从车体坐标系到转台坐标系之间的转换关系

从式(7)可以看出,要想求得L3,需要同时知道车体和转台的姿态信息,车体姿态信息可以直接由车载惯性导航设备测得,下面介绍一种转台姿态信息的测量方法。

首先,需要寻找一个与方位轴垂直的基准面,借助千分表是一种比较简单实用的方法。千分表可以将测杆直线位移转变为角位移,并通过刻度表盘指针来显示。如图4所示,将千分表固定安装,并使测头与俯仰顶盖(平面度较好)良好接触,调整俯仰轴位置(俯仰轴与方位轴垂直,所以只需要调整俯仰就可以找到垂直面),并将方位轴旋转一周,如果指针读数无变化,说明对应的平面与方位轴垂直,转台的俯仰轴和视轴均在这一平面内,此平面即为基准面。

然后,将转台的方位轴旋转到光栅零位固定,并在基准面上安装一个小型惯性导航装置,记录下当时的3个姿态角数据α20,β20,γ20,同时记录车载惯性导航设备的姿态角数据α10,β10,B10,由式(7)可得

记为

式中L3即表征了由于安装误差导致的车体坐标系和转台坐标系之间的不重合度,是一个固定关系。进而得到地理坐标系和转台坐标系之间的关系为

2.3 坐标正变换稳瞄算法

在实际工作过程中,视轴的稳定控制只依赖于车上惯性导航设备的数据α1、β1、γ1,分别为偏航角、俯仰角和滚转角的数值,于是有

根据式(10)和式(11)就可以计算出为保持视轴稳定转台的2个轴应该转过的角度αr和βr,具体求解过程如下:

定义地理坐标系中一个单位矢量V0,并用方位角α0和俯仰角β0表示

则在姿态数为α1、β1、γ1时,向量V0在转台坐标系中的投影为

于是,可以得到

其物理意义为:欲将视轴稳定在地理空间中方位α0和俯仰β0所代表的方向,当车体姿态为α1、β1和γ1时,转台的方位和俯仰需要转到的角度分别为αr和βr。

由于方位角的角度范围为0~360°,所以在求解αr的值时需要进行象限判断,如图5所示。

为了避免分母为零情况,可处理如下

其中,Δ>0且其取值不能影响计算精度,例如可取Δ=1×10-10。

则有

对应到图2所示的控制框图而言,αr和βr相当于输入指令θr。此时的θr是一个依赖于α1、β1、γ1的实时变化量,控制系统根据θr动作即可实现视轴稳定。

2.4 坐标逆变换稳瞄算法

所谓逆变换是指将转台坐标系中描述的矢量转换到地理坐标系中,相对于上述变换是一个逆过程。同理,在转台坐标系中的一个单位矢量Vg可以由2个旋转轴的光栅读数αg和βg来描述

将Vg折算到地理坐标系中为

可以得到

其物理意义为:欲将视轴稳定在地理空间中方位α0和俯仰β0所代表的方向,当车体的空间姿态为α1、β1和γ1时,转台的方位和俯仰需要转到这样一个位置,使得矢量Vg逆变换到地理空间后对应角度为αf和βf,且有αf=α0和βf=β0。

同样利用式(16)和式(17)对αf进行象限判断处理。

将逆变换算法应用到控制系统如图6所示,即将逆变换加到反馈通道中,此时输入指令θr为一个地理空间的给定量,是恒定不变的,而反馈量θf则是一个与姿态信息α1、β1,γ1相关的实时变化量,给定量θr和反馈量θf之间的误差使得转台2个轴的电机动作直至误差消除,进而实现视轴稳定。

3 结束语

针对两轴伺服转台提出了基于坐标正变换和逆变换的2种视轴稳瞄算法,并给出了对应的控制方案。从控制系统角度而言,正变换稳瞄算法对应的控制框图是在转台坐标系中描述的,而逆变换稳瞄算法对应的控制框图则是在地理坐标系中描述的,但实际上二者是等价的,可以通过坐标变换建立联系。上述2种基于坐标变换的稳瞄算法均已成功运用到实际的稳瞄伺服控制系统中,并结合PID控制算法和前馈、滤波等技术手段取得了良好的稳定效果。实践证明应用了视轴稳瞄算法的控制系统能够克服车体机动给转台带来的扰动作用,实现了视轴的空间指向稳定,同时验证了算法的准确性。

参考文献

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坐标变换在高等数学中的应用 篇9

坐标变换是解决某些实际问题的有力工具, 现已广泛应用于物理学、计算机、地理学、光学等各个领域。高等数学中坐标变换应用也十分广泛, 如计算二重积分时, 若积分区域为圆域 (或一部分) 或被积函数中含有x2+y2, 一般用到极坐标变换;计算三重积分时, 若积分区域为球域 (或一部分) 或被积函数中含有x2+y2+z2时, 一般需要用球面坐标变换来简化计算, 但是对初学高等数学的人而言, 大多对坐标变换的本质和用途感到迷惑。高等数学中求一条曲线绕坐标轴旋转所得旋转体的体积可以直接代入公式得到, 但对于一条曲线绕非坐标轴的定直线旋转所得旋转体的体积, 多数人觉得无计可施;解析几何中一个曲面被平面所截得的图形形状是什么, 这可以通过具体的实物实验得到, 但却是不严谨的, 如何得到所得截面图形的方程呢?当前关于坐标变换的横向发展应用的研究文献相当广泛, 如文献[1-5], 但对其纵向发展应用, 尤其对以上所提问题的基础研究文献少之又少, 基于此, 文章结合高等数学中一些重难点问题从三个具体方面深刻讨论了坐标平移变换和坐标旋转变换的本质和应用, 解决了高等数学中这些难点问题和大家对坐标变换应用的疑惑。

坐标平移变换是指坐标系沿某个方向移动一定的距离, 平移变换中坐标轴的方向不变, 只是坐标原点的位置变化。平面直角坐标系xoy沿某一方向平移后变为x′o′y′坐标系, 坐标变换公式为, 空间直角坐标系坐标平移公式类似。

坐标旋转变换是指原坐标系绕固定点 (固定轴线) 旋转一个定角, 变成新的坐标系。平面直角坐标系xoy绕原点沿逆时针旋转 θ 角度变为x′oy′坐标系 (如图1) , 坐标变换公式为

类似地, 空间直角坐标系oxyz绕x轴、y轴和z轴沿逆时针旋转 θ 角度变为ox′y′z′坐标系, 坐标变换公式分别为:

下面本文结合高等数学中的实例, 说明坐标平移和旋转变换在三个方面的应用。

1 二重积分的计算

例1 计算, 其中D={ (x, y) │ (x-1) 2+ (y-1) 2≤1}

分析:此积分区域为圆心在点 (1, 1) , 半径为1的圆域, 需先经过坐标平移变换, 把坐标原点平移到圆的圆心, 再去解新坐标系下的二重积分。

解:令, 则在新坐标系x′oy′下D:x′2+y′2≤1 (如图2) , 且dx′=dx, dy′=dy, 此时积分区域为圆心在坐标原点的圆域, 再结合极坐标变换, 令, 故

注在高等数学中, 我们一般直接将上述两个坐标变换的过程合并为

例2计算, 其中D=D ({x, y) │x+y≤1}

解:积分区域如图3, 作坐标旋转变换, 逆时针旋转π/4, 则由得出新坐标下, 且，故.

结论:坐标平移变换和坐标旋转变换在二重积分的计算中不改变面积微元。

证明:坐标平移变换显然可得。

由坐标旋转变换

得

2 平面曲线段绕定直线旋转所得旋转体的体积

例3:求曲线段y=x2 (0燮x燮1) 绕x=1 旋转一周所得立体体积。

分析:此旋转并非绕坐标轴而得, 故不能直接代入高等数学中所学旋转体的体积公式, 因此可以先对坐标系进行平移。

解:如图4, 作坐标平移变换, 在新坐标系下曲线段方程为y′= (x′+1) 2 (-1≤x′≤0) , 直线方程为x′=0 即y′轴, 此时转化为曲线段绕坐标轴y′轴旋转所得, 故

例4:求圆x2+ (y-2) 2=1 及其内部所围平面图形绕直线y=x旋转一周所得立体体积。

解:由点到直线的距离公式得, 圆心 (0, 2) 到直线y=x的距离, 故直线在圆的外侧, 无交点。首先将坐标系沿逆时针方向旋转 π/4, 由坐标旋转变换公式, 得出圆在新坐标系下方程为;直线的方程为y′=0, 即x′轴。

此时, 要求的是新坐标系下圆绕x′轴旋转一周所得立体体积。

3 解析几何中确定所截图形的几何形状

例5说明圆柱面x2+y2=1被平面y=z所截得的图形。

分析:根据几何学知识, 所截得的交线的一般方程为:, 但是并不能直观的说明是什么图形, 由于y=z为母线平行于x轴的柱面, 准线为yoz平面上的直线y=z, 所以我们将空间直角坐标系绕x轴逆时针方向旋转π/4, 使y=z落在新坐标系ox′y′z′的x′oy′面上。

解:因为平面y=z与xoy面的夹角为 π/4, 所以将空间直角坐标系绕x轴逆时针方向旋转 π/4 (投影图如图5) , 由坐标旋转变换公式

, 代入交线的一般方程

得

化简得出在新的空间直角坐标系ox′y′z′下, 交线的方程为。

可见, 在ox′y′z′坐标系下, 交线x′oy′为平面上的椭圆。 因为此方法只是对坐标进行旋转变换, 并没有改变图形的形状和大小, 因此原题中的交线也是这个椭圆。

文章基于高等数学中的几个重难点问题, 结合具体实例深刻剖析了坐标平移变换和旋转变换的本质, 得到了坐标平移和旋转变换在二重积分的计算中不改变面积微元的结论, 以解决复杂的二重积分的计算问题;在掌握坐标平移和旋转变换的本质的基础上, 利用坐标变换就可以比较容易地解决一条曲线段绕非坐标轴的定直线所得旋转体的体积问题以及较严谨地确定解析几何中空间曲面被平面所截得的交线的形状问题。坐标变换是高等数学中计算复杂问题的一种有力工具, 它能够增强人们学习高等数学的兴趣, 提高学习的积极性。

摘要：坐标变换是高等数学中解决一些具体问题的有力工具, 如在重积分的计算中, 常用的有极坐标变换、球面坐标变换等.本文主要介绍坐标平移变换和坐标旋转变换在二重积分的计算、曲线段绕定直线旋转所得旋转体的体积以及解析几何中确定所截图形的几何形状三个方面的应用, 并得出坐标平移和旋转变换在二重积分计算中的一个好用的结论。

关键词：坐标平移变换,坐标旋转变换,旋转体

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