坐标运算（通用7篇）
坐标运算 篇1
1.利用向量坐标运算求参数
分析非零向量共线时有两种情况:同向或反向, 因此需要对求出的n值进行讨论且验证.在已知两向量求参数的问题中, 参数一般设置在两个位置, 一是向量坐标中, 二是相关向量用已知两个向量的含参关系式表示, 解题时可根据本题中共线且同向的特点来解决.
解由题设得
2.利用向量坐标运算解平几题
例2已知平行四边形ABCD的三个顶点A, B, C的坐标分别是 (-2, 1) , (-1, 3) , (3, 4) , 求顶点D的坐标.
分析1利用“两个向量相等, 则它们的坐标相等”, 解题过程中应用了方程思想.
3.利用向量坐标运算解三点共线问题
例3已知A (-1, -1) , B (1, 3) , C (2, 5) , 试判断A, B, C三点之间的位置关系.
分析先要探究三个点组合成两个向量, 然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线.
解在平面直角坐标系中作出A, B, C三点, 观察图形, 我们猜想A, B, C三点共线.下面给出证明.
且直线AB, AC有公共点A,
故A, B, C三点共线.
4.利用向量求解解析几何问题
分析本题是向量的相等且是向量的数乘关系, 由向量关系转化为坐标关系, 建立关于x, y的方程, 则可以把该问题转化为解析几何问题求解.
解可设P (x0, y0) , Q (x, y) , 则
点D的坐标为D (x0, 0) ,
5.利用向量的坐标运算求解关于向量的信息题
例5已知向量u= (x, y) , 与向量v= (y, 2y-x) 的对应关系用v=f (u) 表示,
(2) 求使f (c) = (p, q) (p, q为常数) 的向量c的坐标.
分析本题需要找出映射v=f (u) 的对应关系, 此处的变量为向量的坐标, 因此可通过坐标运算来解决问题.
坐标运算 篇2
【教学目标】
1．理解平面向量的坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量；
2．掌握平面向量的坐标运算，能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力；
3．会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线；
4．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力.【重点难点分析】
本节的重点理解平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算，向量平行的充要条件的坐标表示．向量的坐标表示为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，向量的坐标表示实际是向量的代数表示，使向量的运算完全代数化，为几何问题的解决又提供了一种方法．
本节的难点是对平面向量坐标表示的理解．向量的坐标表示中，根据平面向量基本定理可选择特殊的基底将向量坐标化．学生理解向量与坐标间对应关系的理解有些困难，由于这里是自由向量，可以规定起点，从而使向量与坐标之间形成一一对应关系，使向量的坐标表示具有完备性．
【教学过程】
1、复习向量的加法和减法，然后把向量放入坐标系中研究。
2、然后给出两点坐标，让学生知道如何求向量的坐标
向量本身的坐标运算B(6.5)A(2,1)AB=终点－起点AB=?
3、让学生理解向量与坐标间对应关系，并分别指出：向量不同坐标之间有什么区别，向量坐标相同有有什么意义。
4、做对应的练习，使学生掌握如何求向量的坐标。
5、在知道如何求向量的坐标及它的意义后，开始讲解向量间坐标的运算
向量间的坐标运算已知：a(x1,y1),b(x2,y2),则ab(x1x2,y1y2).ab(x1x2,y1y2).a(x1,y1)
6、做对应的练习，使学生掌握向量坐标间的运算。
7、能力提高题。
8、小结。
坐标运算 篇3
平面向量的基本定理是平面向量的重要定理，它是向量的坐标表示的理论基础.平面向量基本定理及坐标表示沟通向量与代数的桥梁，为解决向量问题提供了一种全新的方法——坐标化方法.平面向量基本定理和坐标表示大多数都是与向量的运算结合考查，考查它们的应用，基础题、中档题、难题都有可能.从考试内容来看，近三年湖北卷的考题只涉及到向量的坐标表示及坐标运算，属基础过关题，未涉及平面向量的基本定理的应用，预测2015年高考湖北卷在平面向量的基本定理的应用上会有所作为.
命题特点
1. 坐标表示考查重运算、重应用
平面向量的坐标表示的考查，以稳定为主，以基础为主，题型常规，难度不大，考查通性通法，考查运算能力.平面向量的坐标运算及用坐标表示向量共线的条件.以选择题、填空题的形式出现进行考查，以中低档题为主.向量的坐标运算及共线条件，常与三角函数、解析几何等知识结合，以解答题为主，属中档题.
例1 已知[A（-2，4）]，[B（3，-1）]，[C（-3，-4）]，设[AB=a]，[BC=b]，[CA=c]，且[CM=3c]，[CN=-2b].
（1）求[3a+b-3c]；
（2）求满足[a=mb+nc]的实数[m，n]；
（3）求点[M]，[N]的坐标及向量[MN]的坐标；
（4）若向量[d]满足[（a+c）]∥[（d-b）]，且[b+3d=35]，求[d].
解析 （1）∵[AB=OB-OA]，
∴[a=（3，-1）-（-2，4）=（5，-5）].
同理，[b=（-6，-3）]，[c=（1，8）].
∴[3a+b-3c=3（5，-5）+（-6，-3）-3（1，8）=（6，-42）].
（2）∵[mb+nc=（-6m+n，-3m+8n）]，
∴[-6m+n=5]且[-3m+8n=-5]，
解得[m=n=-1].
（3）∵[OM=OC+CM]，
∴[OM=（-3，-4）+3（1，8）=（0，20）]，即点[M]的坐标为[（0，20）].
同理点[N]的坐标为[（9，2）]，
所以向量[MN]的坐标为[（9，-18）].
（4）设[d]的坐标为[（x，y）]，
由题意得，[3（x+6）=6（y+3），（3x-6）2+（3y-3）2=35.]
解得，[x=y=0]或[x=4]，[y=2].
∴[d]为[0]或[（4，2）].
点拨 在向量的坐标表示中，要掌握向量坐标形式的线性运算法则，熟练掌握坐标形式的向量平行的充要条件.区分向量坐标与点的坐标的区别与联系，向量坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标，只有当起点在坐标系原点时，终点坐标才等于向量坐标.区分向量平行条件的两种形式区别与联系：对应坐标成比例则两向量平行，反之不然；坐标交叉相乘相等是两向量平行的充要条件.由于数学中的向量是自由向量，所以平移对向量的坐标不影响.
例2 已知[a=cosα，sinα]，[b=cosβ，sinβ]，[0<β<α<π].
（1） 若[a-b=2]，求证：[a⊥b]；
（2） 设[c=0，1]，若[a+b=c]，求[α]，[β]的值.
解析 （1）法一：[∵a-b=（cosα-cosβ，sinα-sinβ），]
[∴（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2=2].
展开得[cosαcosβ+sinαsinβ=0]，
即[a·b=0]，[∴a⊥b].
法二：由已知得，[a=b=1]，又[a-b=2]，
所以[（a-b）2=2]，展开得[a2-2a·b+b2=2].
即[a·b=0]，[∴a⊥b].
（2）由[a+b=c]得， [cosα+cosβ=0，]且[sinα+sinβ=1]，
利用平方关系得，[sinα=sinβ=12].
又[0<β<α<π]，所以[α=5π6，β=π6].
点拨 平面向量的坐标表示与三角函数、解析几何结合，一直是近几年考查的重点和热点. 这类问题往往以向量为载体，考查三角函数或解析几何知识. 解决这类问题的一般方法：利用向量的坐标表示或坐标运算，脱去向量这件外衣，转化为三角问题或解析几何问题.
2. 基本定理考查重几何应用
平面向量基本定理的考查，稳中求新，稳中求活，以选择题或填空题为主，难度有加大趋势. 主要考查基本定理的应用，有两种方式考查：一是坐标形式，二是几何形式.
例3 设[D，E]分别是[△ABC]的边[AB，AC]上的点， [AD=12AB]，[BE=23BC]，若[DE=λ1AB+λ2AC]（[λ1，λ2]为实数），则[λ1+λ2]的值为 .
解析 如图，[DE=BE-BD=23BC-12BA]
[=23（AC-AB）+12AB=-16AB+23AC]，
又[DE=λ1AB+λ2AC]，且[AB]与[AC]不共线，
所以[λ1=-16]，[λ2=23]，即[λ1+λ2=12].
答案 [12]
点拨 平面向量基本定理反映了平面向量的基本性质，任一向量总可以用两个不共线的向量（基底）线性表示；体现了重要的数学思想——化归思想，即可以把同一平面内纷繁复杂的多个向量问题转化为两个向量的问题.平面向量基本定理也可以看作是向量分解定理，但要注意三点：一是基底不共线，否则不能作基底；二是基底不惟一，凡平面内不共线的两个向量均可作为基底；三是基底不同，表达式不同，基底一确定，表达式惟一.对于基本定理通过几何方式考查时，通常利用图形中三点共线，得到同一向量的两个表达式，由基本定理知对应系数相等，从而使问题获解.
nlc202309032007
3. 坐标法考查重交汇、重创新
坐标化思想的考查，力度在不断加大，题目灵活多变，推陈出新，综合性较强，难度较大.
例4 向量[a，b，c]在正方形网格中的位置如图所示，若[c=λa+μb（λ，μ∈R）]，则[λμ]= .
解析 以向量[a]的终点为原点，以水平方向和竖直方向的网格线分别x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系，则[a=（-1，1）]，[b=（6，2）]，[c=（-1，-3）].
由[c=λa+μb]得，[-1=-λ+6μ，-3=λ+2μ，]
解得[λ=-2，μ=-12]，所以[λμ=4].
答案 4
点拨 某些以几何形式出现的向量问题，运用几何运算法则较复杂时，可考虑建系用坐标法来解决. 特别是图形中有垂直关系或特殊角时，建立直角坐标系，将向量运算转化坐标运算可使问题轻松获解.
备考指南
1. 加强平面向量的基本定理的理解，注意定理的条件和结论.加强基本定理的应用，就是用已知向量来表示未知向量，实质上就是利用平行四边形法则或三角形法则，进行向量的加减运算或进行数乘运算.在解决与向量有关的具体问题时，注意合理选择基底，如在解决与三角形有关的问题时，往往选择两边所在的向量作为基底.
2. 熟练掌握向量的坐标表示及坐标运算，特别是向量共线的坐标表示.解题过程中，利用“向量相等则坐标相同”这一原则列方程（组），注意方程思想的应用.
3. 深化对坐标化思想的认识，坐标法是解决向量问题的一种有效的方法，适用范围广，有很多无从下手或很复杂的纯向量问题，通过建系设坐标，可使问题简化.
限时训练
1. 已知点[A（1，3），B（4，-1）]则与[AB]同方向的单位向量是 （ ）
A. [（35，-45）] B. [（45，-35）]
C. [（-35，45）] D. [（-45，35）]
2. 已知[a，b]是不共线的向量，[AB=λa+b]，[AC=][a+μb][（λ，μ∈R）]，那么[A，B，C]三点共线的充要条件为 （ ）
A. [λ+μ=2] B. [λ-μ=1]
C. [λμ=-1] D. [λμ=1]
3. 已知向量[a=（2，1）]，[b=（x，2）]，若[a∥b]，则[a+b]= （ ）
A. （-2，-1） B. （2，1）
C. （3，-1） D. （-3，1）
4. 已知[OA=（1，-3），OB=（2，-1），OC=（m+1，m-2）]，若点[A，B，C]能构成三角形，则实数m应满足 （ ）
A. [m≠-2] B. [m≠12]
C. [m≠1] D. [m≠-1]
5. 已知正方形[ABCD]边长为1，[AB=a]，[BC=b]，[AC=c]，则[a+b+c]= （ ）
A. 0 B. 3
C. [2] D. [22]
6. 已知[OA=（2，1），OB=（1，2）]，将[OB]绕点O逆时针旋转[π6]得到[OC]，则[OA·OC]= （ ）
A. [23-32] B. [23+32]
C. [2-232] D. [2+232]
7. 已知向量[a=（5，-3）]，[b=（9，-6-cosα）]，[α]是第二象限角，[a∥（2a-b）]则[tanα=] （ ）
A. [43] B. [-43]
C. [34] D. [-34]
8. 已知向量[a，b，c]互不平行，且[λ1a+λ2b+λ3c=0，][（λ1，λ2，λ3∈R）]，则 （ ）
A. [λ1，λ2，λ3]不一定全为0.
B. [λ1，λ2，λ3]中至少有一个为0.
C. [λ1，λ2，λ3]全不为0.
D. [λ1，λ2，λ3]的值只有一组.
9. 给出以下结论：①在四边形[ABCD]中，若[AC=AB+AD]，则[ABCD]是平行四边形；②已知正方形[ABCD]的边长为1，[AB+BC+AC=22]；③已知[AB=a+5b，BC=-2a+8b]， [CD=3（a-b）]，则[A，B，D]三点共线.其中正确结论个数为 （ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
10. 平面直角坐标系中，[O]为坐标原点，已知点[A（-2，1）][，B（-1，1），C（m-2，m）]若[α，β]满足[OC=αOA+βOB]且[0≤α≤1 ， 0≤β≤1]，则[α2+β2]的最大值为 （ ）
A. 1 B. [413]
C. [23] D. [21313]
11. 在[△ABC]中，[D为BC]边上的任意一点，[E]是[AD]上的点，且满足[AE=2ED]，若[AE=λAB+μAC]，则[λ+μ]的值为 .
12. 若D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足[PA+2BP+2CP=0]，设[APPD=λ]，则[λ]的值为 .
13. 如图，矩形[ORTM]内放置5个大小相同的正方形，其中[A，B，C，D]都在矩形边上，若向量[BD=xAE+yAF]，则[x2+y2=] .
14. 如图，己知[OA=2，OB=1]，[∠AOB]为锐角，[OM]平分[∠AOB]，点[N]为线段[AB]的中点，[OP=xOA+yOB]，若点[P]在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于[x，y]的式子中，满足题设条件的为 （写出所有正确式子的序号）.
①x≥0，y≥0； ②x-y≥0； ③x-y≤0；
④x-2y≥0； ⑤2x-y≥0.
15. [D是△ABC中BC]边上的中点，过[D]作一条直线分别交直线[AB，AC]于点[M，N]，设[AM=mAB]，[AN=nAC，][AB=a，AC=b]，且m>0，n>0.
（1）分别用向量[a，b]，表示向量[MD]与[MN]；
（2）求证：[1m+1n]是定值.
16. 平面内给定三个向量[a=（3，2），b=（-1，2），c=（4，1）]，回答下列问题：
（1）求满足[a=mb+nc]的实数m，n；
（2）若[（a+kc）∥（2b-a）]求实数k；
（3）若向量[d]满足[（d-c）∥（a+b）]，且[d-c=5]，求[d].
17. 已知向量[a=（sinθ，cosθ-2sinθ） ， b=（1，2）].
（1）若[a∥b]，求[tanθ]的值.
（2）若[a=b ， 0<θ<π]，求[θ]的值.
18. 如图在直角梯形[ABCD]中，[AD=DC=1，][AB⊥AD，][AB=3]，动点[P]在以点[C]为圆心且与[BD]相切的圆内运动，设[AP=αAD+βAB]，[α，β∈R]，则求[α+β]的取值范围.
解读平面向量的坐标运算 篇4
重点1平面向量的坐标表示
在直角坐标系内, 分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i軆、j軆作为基底, 任一向量a軆.由平面向量的基本定理可知, 有且只有一对实数x、y, 使得a軆=xi軆+yj軆, 则 (x, y) 叫做向量a軆的 (直角) 坐标, 记作a軆= (x, y) .其中x叫做a軆在x轴上的坐标, y叫做a軆在y轴上的坐标, a軆= (x, y) 叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为 (x, y) .
疑难点分析:
(1) 在直角坐标平面内, 以原点O为起点的向量, 点A的位置被向量唯一确定, 所以的坐标就是点A的坐标, 反之也对.
(2) 向量的坐标表示, 实质上就是向量的代数表示, 引入向量的坐标表示后, 可使向量运算完全代数化, 达到数形的统一, 从而使许多几何问题的证明转化为数量运算, 使证明得以简化.
例如:已知ABCD是正方形, BE//AC, AC=CE, EC的延长线交BA的延长线于F.求证:AF=AE.
分析:运用向量知, 欲证:AF=AE, 即证:.为此, 可以建立平面直角坐标系, 求出E、F的坐标.
证明:以正方形ABCD的边CD所在直线为x轴, C点为原点建立直角坐标系, 设正方形的边长为1, 则A (-1, 1) , B (0, 1) , 设E (x, y) , 则
又由AC=CE及CE及A (-1, 1) , C (0, 0) , E (x, y)
可得:x2+y2=2 (2)
点评:本题是一个由向量的坐标运算解决平面几何问题的典例, 关键在于建立坐标系, 设出各项观点, 将问题转化为坐标运算问题.
(3) 特例
重点2平面向量的坐标运算
(1) 两个向量和与差的坐标运算:若
(2) 实数与向量积的坐标运算:若
(3) 向量的坐标表示:若A (x1, y1) , B (x2, y2) 则向量
疑难点分析:
Ⅰ.有了以上运算法则就可以将向量的运算从几何运算转化到代数运算上来, 那将是很熟悉、很简单的事情.
Ⅱ.在进行坐标运算时, 要注意向量的坐标与点的坐标不是一回事, 向量的坐标等于表示向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.只有起点在原点时, 向量的坐标才与终点的坐标相同.
Ⅲ.相同的向量, 坐标是相同的, 也就是说, 向量通过平移, 尽管起点与终点都变了, 但平移的向量的坐标是不变的.
Ⅳ.求一个向量时, 可以先求出这一向量的起点和终点坐标.
重点3向量平行的坐标表示
若.凡遇到与平行有关的问题时, 一般要考虑运用向量的充要条件, 这是用向量化证明平面问题的方法.运用得当, 将事半功倍.
疑难点分析:
本节的难点有两处: (1) 关于向量平移前后的坐标不变问题; (2) 如何把向量问题转化为坐标问题来解决.即需要将题目中的几何问题解析化.上面所举这一例题说明了这一点.
难点剖析:
只要是相等向量, 它们的坐标依然相等.这一点在坐题中往往被忽略, 特别是学习了平移知识后, 很容易把问题忽略, 在此特别提醒学生注意.
本内容的数学思想方法是数形结合的思想方法, 向量的坐标表示实际上是向量的代数表示.引入向量的坐标表示后, 使向量运算完全代数化.向量运算转化为代数运算, 实现了数形的紧密结合.
一一对应原理:任何一个平面向量都有唯一的坐标表示, 但是每一个坐标表示的向量却不唯一.也就是说, 向量的坐标表示和向量不是一一对应的关系, 但和起点为坐标原点的向量是一一对应的关系.
坐标运算 篇5
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线 教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性 授课类型：新授课 课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：
一、复习引入：
1向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法
向量加法的三角形法则和平行四边形法则 2．向量加法的交换律：a+b=b+a
3．向量加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)4．向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差即：a b = a +(b)5．差向量的意义： OA= a, OB= b, 则BA= a b
即a b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量 6．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λ（1）|λ=0时λ
（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λa|=|λ||a|；
a
a=0
7．运算定律 λ(μa)=(λμ)a，(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb 8． 向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa
9．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ
1e1+λ2e2
(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量 10平面向量的坐标表示
于直线CD吗？
解：∵AB=(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4), CD=(2-1,7-5)=(1,2)又 ∵2×2-4×1=0 ∴AB∥CD
又 ∵ AC=(1-(-1), 5-(-1))=(2,6)AB=(2, 4)2×4-2×60 ∴AC与AB不平行
∴A，B，C不共线 ∴AB与CD不重合 ∴AB∥CD
四、课堂练习：
1若a=(2,3),b=(4,-1+y)，且a∥b，则y=（）
A6 B5 C7 D8 2若A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线，则x的值为（） A-3 B-1 C1 D3 3若AB=i+2j, DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量)AB与DC共线，则x、y的值可能分别为（）
A1，2 B2，2 C3，2 D2，4 4已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b，则y= 5已知a=(1,2),b=(x,1),若a+2b与2a-b平行,则x的值为
6已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3,x),C(2,3),D(4,x)，则x= 参考答案：1C 2B 3B 4 3 5 6 5
2五、小结 向量平行的充要条件（坐标表示）
六、课后作业：
1若a=(x１,y１)，b=(x２，y２)，且a∥b,则坐标满足的条件为（） Ax１x２－ｙ１ｙ２＝０ Bｘ１ｙ１－ｘ２ｙ２＝０ Cｘ１ｙ２＋ｘ２ｙ１＝０ Dｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝０ 2设a=(31，sinα)，b=(ｃｏｓα，)，且a∥b，则锐角α为（）23A30° B60° C45° D75°
3设k∈Ｒ，下列向量中，与向量a=(1,-1)一定不平行的向量是（） A(k,k)B(-k,-k)２２２２C(k＋１，ｋ＋１)D（ｋ－１，ｋ－１）4若A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)三点共线，则x= 5已知a=(3,2),b=(2,-1),若λa+b与a+λb（λ∈Ｒ）平行，则λ＝ 6若a=(-1,x)与b=(-x,2)共线且方向相同，则x= 7已知a=(1,2),b=(-3,2)，当k为何值时ka+b与a-3b平行?
8已知A、B、C、D四点坐标分别为A(1,0),B(4,3),C(2,4),D(0,2)，试证明：四边形ABCD是梯形
9已知A、B、C三点坐标分别为(-1,0)、(3，-1)、(1，2)，AE=
坐标运算 篇6
诊断学生预习情况, 让学生通过自学掌握内容, 教师课堂不讲解, 以提高课堂效率。
师:结合预习, 请同学们5分钟时间完成反思诊断。
师:由平面向量基本定理, 平面内的任意一个向量都可以用任意一组不共线的向量唯一的表示, 那么, 平面内的基底有多少组?
生:无数组。
师:如何选择一组方便我们计算的基底?基底的模是多少方便我们计算?
生:模是1。
师:基底的夹角是多少我们最熟悉?
生:90度。
师:因此我们选定这组单位正交基底a, d。建立平面直角坐标系, 平面内的任意向量a就可以唯一的表示成:a (28) xi (10) yj。我们把 (x, y) 定义为向量a的坐标, 记作:a (28) (x, y) .这也是我们这节课要研究的第一部分知识。
二、自学探求
自学探求的意图让学生熟悉和深入理解向量坐标的概念。
师:将向量平移, 请问它的大小和方向变了吗?
生:没有。
师:向量的坐标变了吗?即一个向量对应的坐标?
生:唯一的。
师:反之, 一个坐标对应的向量呢?请同学们看例1中的向量的坐标。
生:一个坐标对应无数个相等的向量。
师:将向量平移到起点为坐标原点, 向量的终点由它唯一确定, 请同学们观察向量的坐标与其终点坐标的关系。
生:相等。
师:我们能否换一种方法求出向量的坐标?请同学们观察向量的起点终点坐标关系。
生:用终点坐标减起点坐标。
师:同学们猜想的很合理, 这是求向量坐标的又一种方法。接下来我们进一步证明。
三、讨论展示
讨论展示的意图是学生通过合作推导出结论, 亲身经历知识发生发展的过程, 加深公式记忆, 体会知识间的相互联系, 培养小组合作精神。知者加速是给学有余力的同学, 课堂不讲, 教师只出示答案。
师:请同学们小组合作推导学案上的自学探求二的内容。五分钟后请展示的小组到黑板上展示。 (抽签决定哪个小组的几号同学展示, 这样每个小组每个人都有动力和压力, 避免提前确定展示的组和个人, 有些组和个人就将自己束之高阁了。)
例2:向量坐标运算的例子学生再次练习 (此处放一个稍有难度的题目) 。
学生小组讨论时, 教师巡视答疑, 控制讨论的节奏。师生一起总结公式的推导方法与特点, 帮助学生记忆。
四、重点讲解
重点讲解的意图是让学生发散思维充分利用已有的知识解决问题, 学生的方法会有很多, 体现一题多解的思想, 但教师最后收在向量相等的方法上, 引导学生择优解题。
例3:一直平行四边形形ABCD的三个顶点点A、B、C的坐标分别是 (-2, 1) 、 (-1, 3) 、 (3, 4) , 试求顶点D的坐标。
生1:利用向量, 求得D点坐标。
生2:利用向量加法的平行四边形法则, 三角形法则, 也可以求。
生3:刚才生2已经利用平行四边形法则求得, 直接利用向量的终点D坐标减起点B的坐标就可以求了。
生4:平行四边形中, 线段AC与线段BD的中点相同, 利用中点坐标公式也可以求。
师:这些同学们的积极发言展现了自己的不同的解题思路, 对比一下, 哪个同学的做法计算更简捷?
生:生1。
师:很好, 平行四边形对边平行且相等, 我们有四组相等向量可以利用, 同学们要掌握好这种方法。接下来请同学们思考变式与例3的区别与联系。思考后请同学小组交流自己的想法。
五、练习讲评
变式:一直平行的三个顶点的坐标分别是 (-2, 1) 、 (-1, 3) 、 (3, 4) , 试求第四个顶点的坐标。
波利亚在《怎样解题》一书中指出:“教师可以启发学生思考, ‘你是否见过相同的问题而形式稍有不同?以前的研究方法和结果能否加以利用?’”经过小组讨论, 学生基本能够找到两题区别在于例题给了顶点顺序, 而变式没有给顶点顺序, 这样第四个顶点坐标就会有三个答案, 学生动手通过求第四个顶点的三个坐标, 从而练习本节课学习的方法。
六、总结拓展
总结拓展的意图是, 如果说例3的变式是对学生审清题意方面的训练, 例3的拓展则要求学生在根据题意作图的基础上, 结合前面的向量共线的知识充分理解和运用我们这节课所学习的向量的坐标运算进行解题。这是本节课的一个难点, 也是本节课的高潮和闪光点。教师采用小组竞赛的方法激发学生学习的积极性.言在总结意在拓展, 教师最后的打油诗, 不仅是情感与人文的熏陶更是对后续学习的指引。
1.例3拓展, 将AD线段延长至E点, 使AE=2AD, 请求E点坐标。
2.课堂小结: (学生先思考后自由发言。)
教师总结:窗外小树枝枝芽, 窗内学识节节拔, 今日坐标来运算, 明日共线还靠它。
七、课后反思
“六步三点”新授课模式旨在课堂先诊断学生学的情况, 以学定教, 学生能自学会的, 小组讨论能解决的, 老师不教, 在设计与组织教学的过程中, 笔者也尽量体现这一点。小组讨论解决的不了的, 或者重点需要强调的, 老师再重点讲解。一讲一练, 当堂巩固, 在熟练的基础上在横向拓展与纵向加深。此六个环节并不一定每堂课具备, 也可根据内容进行调整先后顺序, 例如本节课的自学探求与讨论展示是放在一起的, 先进行例题拓展, 再小结。所谓“三点”即情感先行, 知者加速, 补读帮困。情感先行, 是建立在学生理解老师, 老师理解学生的基础上。首先教师要下功夫研究采用何种方式方法导入新课能激发学生的学习兴趣, 提高课堂的亲和力。其次学生要揣摩教师的讲课意图, 教师要把握好学生的认知能力, 知识水平, 哪些学生能做, 哪些学生困难, 提问的语言如何表述即如何“智问”能更好的帮助学生理解老师, 与老师进行课堂互动。知者加速是课堂上留给学有余力的同学的题目, 保证部分快的同学能“吃饱”。教师只提供答案, 并不在课堂上对这部分题目统一做解答。补读帮困, 应是针对学习困难的部分同学的, 如何进行补读帮困, 发挥小组的互助学习作用, 还需要继续探讨。
我们的教学始终以学生为中心, 以学生学为目的, 以学生学好为目标。犹如农民种地, 辛勤耕耘只盼有个好收成。我们盼着在我们的课堂上学生都有所发展, 有所进步。
摘要：我校积极深化课堂教学改革, 将课堂教学基本模式提炼为“六步三点”。“六步”即课堂教学六个环节, 分别为“反思诊断, 自学探求, 讨论展示, 重点讲解, 练习讲评, 总结拓展”, “三点”为情感先行, 知者加速, 补读帮困。《平面向量的坐标表示及坐标运算》是笔者做的一次课堂模式探讨, 希望在探索的过程中能有更深的体会。
坐标运算 篇7
课题引入:在平面直角坐标系内, 平面内的每一个点都可以怎样表示?作图提示 (用横、纵坐标x, y来表示) , 有了坐标就建立了几何与代数的联系.
1. 平面向量的坐标表示
问题1前面讲了平面向量的加、减、数乘运算, 它们都属于几何运算, 那么能否类比点的坐标也用实数来表示向量呢? (复习平面向量基本定理)
问题2能否将起点在原点的向量e1, e2换成与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i, j?
类比点的坐标, 用x, y分别代换λ1, λ2得有且只有一对实数x, y, 使得a=x i+y j, 我们把 (x, y) 叫做向量的 (直角) 坐标, 简记作a= (x, y) , 称为向量的坐标表示.
问题3 (1) i, j, 0的坐标是什么?
(2) 下列各图中a, b, c, d的坐标分别为多少?
问题4起点不在原点的向量的坐标是什么?
注 (1) :作, 点A的坐标 (x, y) 就是向量的坐标;
注 (2) :不是每个向量的坐标都可以用它的终点坐标表示由于平移不改变向量, 所以相等的两个向量坐标相同, 故在平面直角坐标系内, 每个平面向量都可以用一对有序实数 (x, y) 唯一表示, 称为的坐标表示.
例1 (教材例题略)
2. 平面向量的坐标运算
问题5两个向量和与差的坐标怎样用a= (x1, x2) , b= (x2, y2) 表示?
已知a= (x, x) 和实数λ, 那么λa=λ (x·i+y·j) =λx i+λy·j, 即λa= (λx, λy) , 即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量相应坐标.
例2 (教材例题略)
问题6有了向量的坐标运算公式以后, 对于起点不在原点的向量, 有没有更为直接的方法呢?
即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.
例3已知荀ABCD的三个顶点A, B, C的坐标分别为 (-2, 1) , (-1, 3) , (3, 4) , 求顶点D的坐标.
问题7例3有别的解法吗?
二、教学反思
1. 成功之处
(1) 关于教学设计
本课之前的内容主要研究向量的几何特性, 5.4节是用代数方法, 特别是用坐标法研究向量的起始课, 教学设计通过由浅入深的问题及课件引导, 为学生理解概念进行了较细的铺垫, 突出概念的形成过程, 不断从数和形两个角度分析, 期望学生在概念的形成过程中体会类比思想、转化思想、数形结合思想方法.学生情绪饱满, 回答问题积极.向量的坐标运算从结构和形式上比较自然、美观, 学生尽管不一定能准确理解, 但比较容易接受, 例习题难度不大, 主要是能应用概念, 熟悉运算法则, 故例题采用师生共做, 学生口答, 练习采用学生独立完成的形式进行.
(2) 关注学生
笔者对学生的思维特点、常见想法和做法有一定的预见性, 今天课堂上不仅有齐答, 个别的提问也有十余次, 笔者在巡视学生练习时, 既有在下面的个别点拨, 也有课上的当众批改.
(3) 合理使用多媒体课件
课件显得朴实、实用.
(4) 分层教学的意识
教师应该正视学生的水平、思考问题的速度及学习习惯的差异, 教学时既考虑多数同学的接受方式, 也兼顾优秀生和学困生.分层教学的意识在教学设计中的问题设置、教具演示、教学语言等方面均有体现.
2. 关于教学中的不足和改进的设想
(1) 以学生为主体的思想体现不足
本节课的大部分时间花在概念的分析和讲解上, 学生独立活动的时间相对不足, 知识的建构主要在教师的引导下完成, 自主的元素少了一些.
(2) 教学节奏略显缓慢
(1) 例3讲解有些急促, 未提及拓展性问题“已知平行四边形三个顶点的坐标, 求第四个顶点的坐标”.
(2) 未将学生的课堂练习中的错误“已知A (x1, y1) , B (x2, y2) , 则”向全班说明并改正, 以满足学困生或粗心的学生的需要.