空间直角坐标系

空间直角坐标系（精选12篇）

空间直角坐标系 篇1

摘要：通过对大地坐标系和空间直角坐标系之间的关系的研究, 根据大地坐标与空间直角坐标之间的转换关系, 利用V isual Basic 6.0编程语言编写了适用于不同椭球的大地坐标转空间直角坐标的转换程序, 经分析转换结果进而验证了转换公式和转换程序的正确性。

关键词：椭球,椭球参数,大地坐标,空间直角坐标,VisualBasic6.0编程

目前在军事、导航、测绘工程建设等方面大地坐标和空间直角坐标的应用比较广泛。特别是GPS系统采用的WGS-84坐标系的应用已深入到社会发展的各个层面。随着2008年2000国家大地坐标系的应用, 地心坐标系在我国的应用将越来越广泛, 大地坐标和空间直角坐标的转换应用也将越来越广泛。本文通过对大地坐标和空间直角坐标之间关系的研究, 利用大地坐标和空间直角坐标之间的转换公式, 使用VisualBasic 6.0编写了适用于2000国家大地坐标系和WGS-84坐标系的大地坐标与空间直角坐标转换程序。

2000国家大地坐标系与WGS-84坐标系的地球椭球参数如表1所示。

2000国家大地坐标系及WGS-84均为地心坐标系, 其大地坐标与空间直角坐标的数学关系相同, 如图1所示。

图1中P点为测量点, P0为其在地球椭球上的投影点。由图1测量点P点大地坐标P (B, L, Hn) 与空间直角坐标P (X, Y, Z) 的几何关系通过简单矢量运算和三角函数运算即可得出大地坐标 (B, L, H) 转换到空间直角坐标 (X, Y, Z) 的公式:

其中, N为卯酉圈曲率半径;e为椭球第一偏心率。

同理, 通过上述空间关系可较易得出经度L与大地高H的反算公式:

其中, N为卯酉圈曲率半径, N=Wa, W=1-e2sin2B, a为参考椭球长半轴;e为第一偏心率。

纬度求取可参考武汉大学出版社《大地测量学基础》中相关迭代公式, 设:ti=tanB, 则迭代公式如下:

其中,

由ti=tanB可得:B=arctanti。

本次大地坐标和空间直角坐标转换程序使用VisualBasic 6.0进行编程。

其中大地坐标到空间直角坐标的转换代码如下:

其中空间直角坐标到大地坐标的转换代码如下:

程序编写完成后, 随机选取了纬度39°, 经度115°附近的8个点的2000国家大地坐标系坐标 (度.分.秒格式) 进行了大地坐标和空间直角坐标的转换, 转换结果如表2, 表3所示。

以上转换结果的对比验证了转换公式及转换程序的正确性。

参考文献

[1]孔祥元, 郭际明, 刘宗泉.大地测量学基础[M].武汉:武汉大学出版社, 2001:36-39.

[2]唐勇.GPS坐标向地方坐标转换的两种方法精度比较[J].山西建筑, 2009, 35 (5) :353-354.

空间直角坐标系 篇2

1、教材的地位和作用

本节课为高中一年级第四章《平面解析几何初步》的第三节第一，二课时的内容。

本节课是在学生已经学过的二维的平面直角坐标系的基础上的推广。

学生在九年制义务教育阶段已经画过长方体的直观图，在高一第一章中又画过棱柱与棱锥的直观图，在此基础上，我只作了适当的点拨，学生就自然而然地得出了空间直角坐标系的画法。

在研究过程中，我充分运用了类比、化归、数形结合等数学思想方法，有效地培养学生的思想品质。在求空间直角坐标系中点的坐标时，学生不仅会很自然地运用类比的思想方法，同时也锻炼了他们的空间思维能力。这节课是为以后的《空间向量及其运算》打基础的。同时，在第二章《空间中点、直线、平面的位置关系》第一节《异面直线》学习时，有些求异面直线所成的角的大小，借助于空间向量来解答，要容易得多，所以，本节课为沟通高中各部分知识，完善学生的认知结构，起到很重要的作用。

2、教学目标

根据课标的要求和学生的实际水平，确定了本节课的教学目标

a在知识上：1，掌握空间直角坐标系的有关概念；会根据坐标找相应的点，会写一些简单几何体的有关坐标。

2，掌握空间两点的距离公式，会应用距离公式解决有关问题。

b在能力上：通过空间直角坐标系的建立，空间两点距离公式的推导，使学生初步意识到：将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思想方法；通过本节的学习，培养学生类比，迁移，化归的能力。

c在情感上：解析几何是用代数方法研究解决几何问题的一问数学学科，在教学过程中要让学生充分体会数形结合的思想，进行辩证唯物主义思想的教育和对立统一思想的教育；培养学生积极参与，大胆探索的精神。

3、教学重点和难点

（1）空间直角坐标系的有关概念

（2）一些简单几何题顶点坐标的写法；

（3）空间两点的距离公式的推导

二、学情分析

对于高一学生，已经具备了一定知识积累（如数轴上一点坐标用实数表示；直角坐标平面上一点坐标用有序实数（x,y）表示；及其平面内两点间的距离公式），有了这些知识的储备，今天来学习空间直角坐标系就容易的多。所以我在授课时注重类比思想的应用以符合学生的现有知识水平的特点，从而促进思维能力的`进一步发展。

三、教学方法和教材处理：

对于高一学生，已经具备了一定知识积累。所以我在授课时注重引导、启发、总结和归纳，把类比思想，化归思想贯穿始终以符合学生的现有知识水平的特点，从而促进思维能力的进一步发展。

四、教学流程图：

（一）基础回顾

数轴上的点集 实数集

若数轴有两点：

则： （向量）

中点

平面：

平面上的点集 有序实数对

若点P与实数对对应，则叫做P点的坐标。

其中，是如何确定的？

平面内两点的距离公式：

中点公式：

则中点M的坐标为

（二）新课导入

大家先来思考这样一个问题，天上的飞机，飞机的速度非常的快，即使民航飞机速度也非常快，有很多飞机时速都在1000km以上，而全世界又这么多，这些飞机在空中风驰电掣，速度是如此的快，岂不是很容易撞机吗？但事实上，飞机的失事率是极低的，比火车，汽车要低得多，原因是，飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行，而在划定某条航线时，不仅要指出航线在地面上的经度和纬度，还要指出航线距离地面的高度。

确定空间点的位置需要几个量？三个。

这就是本节课我们要研究的问题———空间直角坐标系。

阅读课本134-135例一以前的内容。

一，填充下面的表格：

数轴上的点

平面上的点

空间中的点

借助的工具

“平面直角坐标系”导学 篇3

1.坐标是对点的位置的数量化表示.

任何几何图形都可以看作点的集合，几何巾的点本身没有大小，只表示特定的位置，如何精确地描述点的位置？这是数学中的一个基本问题.

如果要研究的点恰好都在同一条直线上，那么我们可以选这条直线为数轴，取它上面的一个定点作为原点，再规定出单位长度和正、负方向，则这条直线上原点之外的任一点P到原点的距离及点P在原点的哪一侧就随之确定了，于是，点P的位置就能用它对应的数x表示了，x的绝对值表示点P到原点的距离，x的正负表示点P在原点的哪一侧，x叫作点P在这条数轴上的坐标，我们已经知道，数轴上任一点都对应一个确定的实数，反过来，任一实数都对应数轴上唯一的点，因此，数轴是能精确地描述同一条直线上点的位置的数学工具，数轴上的所有点与全体实数有一一对应的关系.

如果要研究的点都在同一平面内，但不都在同一条直线上，那么用一条数轴就无法描述这些点的位置了.于是，有人想到用两条数轴解决问题，如图1，画一条水平方向的数轴，取向右为正方向，记作x轴；过x轴的原点O再画一条竖直方向的数轴，也以点（）为原点，取向上为正方向，记作y轴，这就组成了一个平面直角坐标系.从平面直角坐标系内的一点P，分别向x轴和y，轴作垂线，垂足分别对应x轴上的数x0和y轴上的数Yo，这样点P就与有序数对（xo，yo）对应起来了，（xo，yo）即为点P在这个平面直角坐标系内的坐标，按照这种方法，平面内任一点都有一个有序数对（x，y）形式的坐标，而且不同的点的坐标不相同：反过来，任一有序数对（x，y）在平面内只对应唯一的点.因此，平面直角坐标系是能精确地描述平面内点的位置的数学工具，一个平面内的所有点与全体有序实数对有一一对应的关系，

比较上述两类问题，可以发现：确定直线上点的位置时，用一条数轴，点的坐标为一个实数，这叫作一维坐标；确定平面内点的位置时，用两条数轴，点的坐标为两个有序的实数，且不同位置上的实数各自有着特殊的意义，这叫作二维坐标.可以进一步想到，确定空间中点的位置时，要用三条数轴，点的坐标为三个有序的实数，且不同位置上的实数各自有着特殊的意义，这叫作三维坐标，这些坐标都是在不同条件下对于点的位置的数量化表示，且在日常生活中都有所体现.例如，在沿一条画好的直线植树时，如果给出了这条直线上的一个定点作为参照点，那么只用一个数就能表示某个植树点在参照点的哪一侧，离参照点有多远：在一张方格纸上描点时，只用两个数分别表示行号和列号，就能准确地描述要描的点的位置：去一个楼上、楼下都有座位的电影院看电影时，根据电影票上分别表示楼层、排号和列号的三个数，就能准确地找到自己的座位.

2.坐标方法是重要的数学方法，

数学研究的主要对象是数量关系和空间形式，这两者不是截然分离的，而是密切相关的.坐标方法的作用并不局限于给出点的位置的数量化表示，也不仅是能对平移等图形变化给出数量化描述.坐标方法的重要贡献在于为形与数的转化提供了有效途径，从而建立了点与坐标的对应关系，这不仅把点的位置用数的形式表示了，而且也给用数量关系刻画几何图形提供了方便，例如，等式y=2x表示y与x的数量关系，当x分别取0、±1、±2、…时，y的值分别是0、±2、±4、….我们把有这种关系的x和y分别作为点的横坐标和纵坐标（x和y也叫坐标分量），则以这样的有序数对（x，y）为坐标的点包括（-2，-4），（-1，-2），（0，0），（1，2），（2，4）等，所有满足y=2x的点（x，y）在平面直角坐标系内构成一条直线（如图2），我们称它为直线y=2x.于是我们既可以利用这条直线直观地研究y=2x这一数量关系，又可以利用y=2x这一式子研究这条直线.

坐标方法的出现，使几何问题可以代数化，即找出图形上点的坐标分量应满足的数量关系，从而得到图形对应的方程，通过讨论方程来研究图形.这种方法的创立者是法国的哲学家和数学家笛卡儿（Descartes.1596-1650）.他的哲学著作《方法论》的附录《几何学》，集中反映了平面坐标方法和变量思想.尽管笛卡儿最初提出的平面坐标系与现行的平面直角坐标系在具体形式上有差别，但是他的思想引导了解析几何的诞生.解析几何这一用代数方程研究几何图形的数学分支，又为微积分的诞生创造了条件.恩格斯对此的评价是：“笛卡儿变数（即坐标）的出现，是数学中的转折点，从此运动和辩证法进入了数学，微积分的出现也成为必然.”

数学家华罗庚认为，数无形，不直观，形无数，难人微，在后续学习中大家会看到，坐标方法既可以为函数建立图象，使得抽象的数量关系得到直观的几何解释，又可以将几何图形数量化地表示出来，通过对数量关系的定量研究更细微地认识图形.坐标方法有如此重要的作用，是因为它把数与形完美地结合起来，使得它们优势互补、相得益彰.

3.坐标方法的应用一例，

坐标方法有着广泛的应用，本章中主要介绍了用坐标表示地理位置和平移变换，除了平面直角坐标，还有极坐标等可以确定点在平面内的位置，极坐标也是有序数对，其中两个坐标分量分别表示距离和角度，教科书第74页“思考”中的问题就适合用这种形式的坐标解决.虽然它与平面直角坐标有区别，但是它们的基本思想是相同的.

有了坐标方法，可以使解决问题的思路更宽广，甚至可以通过精确的作图代替复杂的计算.下面的问题如果不用坐标方法，则要等我们到高中学习了正弦定理等知识以后才能解决，但是如能灵活运用坐标方法，我们现在也能解决它.

问题从海岸上A地测得小岛C在北偏东40°方向，从海岸上B地测得小岛C在北偏西50°方向，A地在B地的正西方向，两地相距lkm.你能否求出小岛C到A、B两地的距离？

分析：已知条件中有两个方位角和一个距离，要求两个距离，可以先建立适当的平面直角坐标系，表示出A、B两地的位置，再进一步确定小岛C的位置.

解：如图3，以A地为原点，以正东方向为x轴的正方向，以正北方向为y轴的正方向，以1个单位长度表示1km，建立平面直角坐标系，

根据A地在B地的正西方向，两地相距1km，可确定点B在x轴上，它的坐标为（1，0）.

自点A画出北偏东40°方向的线，白点B画出北偏西50°方向的线，两线的交点即为小岛C所在的位置.度量图中线段AC、BC、AB的长度，并以图中线段AB的实际长度为1个单位长度进行同比例换算，可得AC≈0.64，BC≈0.77，从而可知小岛C到A、B两地的距离分别约是0.64km、0.77km.

上面的解答先利用坐标方法确定点的位置，再通过度量线段的长度并计算，解决了问题，这种方法在实际测量中也经常用到.

空间直角坐标系 篇4

关键词：直角坐标,大地坐标,EXCEL,坐标转换

经国务院批准,自2008年7月1日起,我国将全面启用2000国家大地坐标系(CGCS2000)。该坐标系是全球地心坐标系在我国的具体体现,其原点为包括海洋和大气的整个地球的质量中心。该坐标系实施以后,将克服现行的二维、非地心的坐标系的缺陷,彻底解决地理空间信息的精确表达问题,解决各种先进的空间技术的广泛应用问题,可以全面满足当今气象、地震、交通、水利等部门对高精度测绘地理信息服务的需求,而且也利于与国际上民航、海图的有效衔接。

2000国家大地坐标系与现行的坐标系相比,会将表现形式由平面的二维坐标改变为三维坐标。而在地心坐标系中,空间直角坐标与大地坐标是其三维坐标的两种表现形式,二者间的转换计算较为复杂,非专业技术人员很难掌握。笔者参考国内相关文献,介绍一组既简单又具有很高精度的计算公式,并可利用EXCEL轻松实现各种椭球间空间直角坐标与大地坐标间的相互转换,其转换精度完全满足各种用户需要。

1 空间直角与大地坐标的转换公式

由大地测量学知,在相同基准下,空间直角坐标(x,y,z)与大地坐标(B,L,H)间的关系为

$\left[\begin{array}{cc}\text{x}& \\ \text{y}& \\ \text{z}& \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}(\text{Ν}+\text{Η})\text{c}\text{o}\text{s}\text{B}\text{c}\text{o}\text{s}\text{L}& \\ (\text{Ν}+\text{Η})\text{c}\text{o}\text{s}\text{B}\text{s}\text{i}\text{n}\text{L}& \\ \left[\text{Ν}(1-\text{e}{}^2)+\text{Η}\right]\text{s}\text{i}\text{n}\text{B}& \end{array}\right](1)$

其中:N为卯酉圈的半径,$\text{Ν}=\frac{\text{a}}{\sqrt{1-\text{e}{}^2\sin {}^2\text{B}}}‚\text{e}{}^2=\frac{\text{a}{}^2-\text{b}{}^2}{\text{a}{}^2}‚{\text{e}}^{\prime }{}^2=\frac{\text{a}{}^2-\text{b}{}^2}{\text{b}{}^2}‚\text{a}$为地球椭球长半轴,b为地球椭球的短半轴。

可以看出,由大地坐标换算空间直角的正算问题,可由式(1)直接加以解算,而且易于各种编程计算,包括利用EXCEL直接进行计算。而对于由空间直角坐标换算大地坐标的反算题,则可以通过式(2)、式(3)来实现。

$\begin{array}{l}\text{L}=\text{a}\text{r}\text{c}\text{t}\text{g}\left(\frac{\text{y}}{\text{x}}\right)(2)\\ \begin{array}{l}\text{t}\text{g}\text{B}=\frac{\text{z}}{\text{x}{}^2+\text{y}{}^2}\left(1+\frac{\text{Ν}\text{e}{}^2}{\text{z}}sin\text{B}\right)\\ \text{Η}=\frac{\text{z}}{\text{s}\text{i}\text{n}\text{B}}-\text{Ν}\left(1-\text{e}{}^2\right)\end{array}\}(3)\end{array}$

需要指出的是,按照式(3)解算大地纬度大地高需要进行迭代计算。若要达到0.0001″的精度,需要做4～5次的迭代运算,需要专门编程方可完成该项计算工作。

国内学者通过不断研究,推出了一组直接解算大地纬度的计算公式:

如图1所示,P为地球外部空间的某一点,P′为P点在椭球面上垂足点,OP为地心径向,a、b分别表示椭球的长短半轴,ψ表示地心纬度,u表示归化纬度,r2=x2+y2。椭圆方程可表示为:

r=acosu;z=bsinu (4)

P和Q点的地心纬度可用式(5)表示

$\text{t}\text{g}\text{Ψ}=\frac{\text{z}}{\text{r}}(5)$

Q点的归化纬度可表示为

$\text{t}\text{g}\text{u}{}_{\text{Q}}=\frac{\text{a}}{\text{b}}\text{t}\text{g}\text{Ψ}{}_{\text{Q}}=\frac{\text{a}\text{z}}{\text{b}\text{r}}(6)$

设M点为子午圈在P′的曲率中心,M′点为子午圈在Q点的曲率中心。由解析几何学并综合式(4)得到M点和M′点的坐标为

$\begin{array}{l}\text{r}{}_{\text{Μ}}=\text{e}{}^2\text{a}\text{c}\text{o}\text{s}{}^3\text{u}{}_{{\text{Ρ}}^{\prime }}\\ \text{z}{}_{\text{Μ}}=-\text{e}{}^2\text{b}\text{s}\text{i}\text{n}{}^3\text{u}{}_{{\text{Ρ}}^{\prime }}\\ \text{r}{}_{\text{Μ}}=\text{e}{}^2\text{a}\text{c}\text{o}\text{s}{}^3\text{u}{}_{\text{Q}}\\ \text{r}{}_{{\text{Μ}}^{\prime }}=-\text{e}{}^2\text{a}\text{s}\text{i}\text{n}{}^3\text{u}{}_{\text{Q}}\end{array}\}(7)$

结合图1,得到

$\text{t}\text{g}\text{B}=\frac{\text{z}{}_{\text{Ρ}}-\text{z}{}_{\text{Μ}}}{\text{r}{}_{\text{Ρ}}-\text{r}{}_{\text{Μ}}}=\frac{\text{z}{}_{\text{e}}+{\text{e}}^{\prime }{}^2\text{b}\text{s}\text{i}\text{n}{}^3\text{u}{}_{{\text{Ρ}}^{\prime }}}{\text{r}{}_{\text{Ρ}}-\text{e}{}^2\text{a}\text{c}\text{o}\text{s}{}^3\text{u}{}_{{\text{Ρ}}^{\prime }}}(8)$

在式(8)中,B为待求量,也是未知量,可见由式(8)还不能直接解算B。为此,有关学者提出用M′点坐标代替M点坐标,即用Q点的归化纬度代替P′点的规划纬度,于是,式(8)可变化为

$\text{t}\text{g}\text{B}=\frac{\text{z}{}_{\text{Ρ}}+{\text{e}}^{\prime }{}^2\text{b}\text{s}\text{i}\text{n}{}^3\text{u}{}_{\text{Q}}}{\text{r}{}_{\text{Ρ}}-\text{e}{}^2\text{a}\text{c}\text{o}\text{s}{}^3\text{u}{}_{\text{Q}}}(9)$

式中的uQ由(6)可以得到。当H=0时,P、P′和Q三点重合,式(9)严格成立;当H≠0时,式(9)为近似公式。考虑H>0时,近似取uP′≈ΨQ,顾及R2=r2+z2,根据u与B的转换关系,得到uP′的更为可靠的近似值

$\text{t}\text{g}\text{u}{}_{{\text{Ρ}}^{\prime }}=\frac{\text{b}}{\text{a}}\text{t}\text{g}\text{B}\approx \frac{\text{b}\text{z}}{\text{a}\text{r}}\left(1+{\text{e}}^{\prime }{}^2\frac{\text{b}}{\text{r}}\right)(10)$

通过式(10)与式(8)(或式(9),二者相同),即可联合解算出大地纬度B,且可以保证对于任何位置上的P点,计算精度都高于千分之一角秒,完全满足各个行业及部门需要。

2 利用EXCEL实现空间直角坐标与大地坐标的转换

通过上述分析,特别是通过式(10)与式(8)可以直接解算出大地纬度B,因此可以利用EXCEL来实现空间直角坐标与大地坐标间的相互转换,而且使用上较为方便。

由式(1)看到,只要已知各种椭球的长短半轴(a,b)值,就可计算出e2和e′2。

在EXCEL中,利用L=degrees$\left(\text{a}\text{t}\text{a}\text{n}\left(\frac{\text{y}}{\text{x}}\right)\right)+180$即可求出大地经度L,并保证其为正值。利用式(10),可首先计算出辅助角,然后利用式(8)或式(9)即可求出大地纬度B,通过B进而求出大地高H。

大地高除可利用式(3)求得以外,还可通过严密公式(11)求得。

$\text{Η}=\text{r}\text{c}\text{o}\text{s}\text{B}+\text{z}\text{s}\text{i}\text{n}\text{B}-\text{a}\sqrt{1-\text{e}{}^2\sin {}^2\text{B}}(11)$

需要指出的是,求出的L和B均为度的十进制,通常使用度分秒形式来表示经纬度,所以需要将十进制度的形式转换为度分秒形式,以L为例,其转换过程为:

利用EXCEL中的TRUNC函数,首先将度的整数部分求出:在相应的单元格内用TRUNC(L计算,0)表示即可完成。

然后将不足整数的十进制度化为分的形式,同样在相应的单元格内用$\left[\text{L}{}_{\text{计}\text{算}}-\text{Τ}\text{R}\text{U}\text{Ν}\text{C}\left(\text{L}{}_{\text{计}\text{算}}‚0\right)\right]\times 60^{\prime }$,将计算结果对应的单元格记为L′。

进一步将不足分的部分化为秒,在相应的单元格内用$\left[{\text{L}}^{\prime }-\text{Τ}\text{R}\text{U}\text{Ν}\text{C}\left({\text{L}}^{\prime },0\right)\right]\times 60^{″}$,将计算结果对应的单元格记为L″。

最终将三部分合并起来,即在相应的单元格内用TRUNC$\left(\text{L}{}_{\text{计}\text{算}}‚0\right)+\text{Τ}\text{R}\text{U}\text{Ν}\text{C}$$\left({\text{L}}^{\prime },0\right)\times 0.01+{\text{L}}^{″}\times 0.0001$表示即可。

大地纬度B转换度分秒方法与L相同,在此不做累述。表1为空间直角坐标与大地坐标的正反算(反算)有关参数,表2为某两点的具体计算示例。

3 结语

空间直角坐标与大地坐标的转换计算不仅适用于2000国家大地坐标系,同样适用于国际上公认的、GPS定位采用的WGS84坐标系。随着2000国家大地坐标系由推广使用阶段过渡到强制使用时期,三维测绘基准将融入到我们生活的各个方面,空间直角坐标与大地坐标的转换计算也将趋于日常化。希望本文所介绍的方法能给专业、非专业技术人员及所需用户带来一定的帮助。

参考文献

空间直角坐标系 篇5

1.空间直角坐标系/笛卡尔坐标系

坐标轴相互正交的坐标系被称作笛卡尔坐标系。三维笛卡尔坐标系也被称为空间直角坐标系。在空间直角坐标系下，点的坐标可以用该点所对应的矢径在三个坐标轴上的投影长度来表示，只有确定了原地、三个坐标轴的指向和尺度，就定义了一个在三维空间描述点的位置的空间直角坐标系。

以椭球体中心O为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴，在赤道面上与X轴正交的方向为Y轴，椭球体的旋转轴为Z轴构成右手坐标系O.XYZ，在该坐标系中，P点的位置用X,Y,Z表示。

在测量应用中，常将地球空间直角坐标系的坐标原点选在地球质心（地心坐标系）或参考椭球中心（参心坐标系），z轴指向地球北极，x轴指向起始子午面与地球赤道的交点，y轴垂直于XOZ面并构成右手坐标系。

空间直角坐标系

2.空间大地坐标系

由于空间直角坐标无法明确反映出点与地球之间的空间关系，为了解决这一问题，在测量中引入了大地基准，并据此定义了大地坐标系。大地基准指的是用于定义地球参考椭球的一系列参数，包括如下常量：

2.1椭球的大小和形状

2.2椭球的短半轴的指向：通常与地球的平自转轴平息。

2.3椭球中心的位置：根据需要确定。若为地心椭球，则其中心位于地球质心。

2.4本初子午线：通过固定平极和经度原点的天文子午线，通常为格林尼治子午线。

以大地基准为基础建立的坐标系被称为大地坐标系。由于大地基准又以参考椭球为基准，因此，大地坐标系又被称为椭球坐标系。大地坐标系是参心坐标系，其坐标原点位于参考椭球中心，以参考椭球面为基准面，用大地经度L、纬度B和大地高H表示地面点位置。过地面点P的子午面与起始子午面间的夹角叫P点的大地经度。由起始子午面起算，向东为正，叫东经（0°~180°），向西为负，叫西经（0°~-180°）。过P点的椭球法线与赤道面的夹角叫P点的大地纬度。由赤道面起算，向北为正，叫北纬（0°~90°），向南为负，叫南纬（0°~-90°）。从地面点P沿椭球法线到椭球面的距离叫大地高。大地坐标坐标系中，P点的位置用L,B表示。如果点不在椭球面上，表示点的位置除L,B外，还要附加另一参数——大地高H。

空间大地坐标系

3.空间直角坐标与大地坐标间的转换

3.1大地坐标转换为空间直角坐标

将同一坐标系下的大地坐标(B、L、H)转换成空间直角坐标(X、Y、Z)的转换公式为:

式中N为卯酉圈的半径，a为参考椭球的长半轴；b为参考椭球的短半轴；e为参考椭球的第一偏心率；并且有

若点在椭球面上，则大地高H=0，上式可简化为：

3.2空间直角坐标转换为空间大地坐标

将同一坐标系下的空间直角坐标（X、Y、Z）转换为空间大地坐标（B、L、H）的公式为：

在使用上式进行空间直角坐标到大地坐标的转换过程中，由于计算大地纬度

口时用到大地高Ⅳ，而计算大地高时又需要用到大地纬度口．因此不能直接由空间直角坐标计算出大地坐标，而需要采用迭代计算的方法。具体计算时，可先根据下式求出大地纬度口的初值：

然后利用该初值来求出H、N的初值，再利用所求出的H和N初值再次求出B值．如此反复，直至求出的及日、Ⅳ收敛为止。

4.算例

本文根据以上公式在Microsoft VC++6.0环境下编写了一段程序（见附录）。算例中的坐标采用的是武汉大学信息学部友谊广场上的某点的大地坐标作为已知值，然后经过转换函数CRDGEODETICtoCRDCARTESEAN(pcg, pcc, dSemiMajorAxis,dFlatning)把大地坐标转换为空间直角坐标得到坐标X、Y、Z。由得到的空间直角坐标X、Y、Z，经过转换函数

CRDCARTESIANtoCRDGEODETIC(pcc,pcg,dSemiMajorAxis,dFlatning)把空间直角坐标还原成空间大地坐标，计算结果如下图所示：

计算结果

从上图可以看出结果比较满意，高程和精度基本能完全还原，而纬度还原后有较大的误差，在测量中这种误差不允许的，需要修改算法，完善结果。可能引起的原因有可能是由于纬度计算公式并不完善，还有可能是由于计算机的截断误差引起的，还要找时间继续修改、完善。

5.心得体会

这次编程自认为很简单，但真动手自己亲自编写，还是或多或少遇到了一些问题，并分析问题，最终解决问题。虽然这次作业很简单，但经过自己这样一步一步的编写出来，还是有很多收获，加强了运用VC++编写程序的能力，也充分认识到了学习VC++的重要性，更找到了自己的一些缺点与不足。

6.附录（程序源代码）

#include #include using namespace std;#define M_PI 3.1415926 typedef struct tagCRDCARTESIAN {

double x;double y;double z;}CRDCARTESIAN;typedef CRDCARTESIAN *PCRDCARTESIAN;typedef struct tagCRDGEODETIC {

double longitude;double latitude;double height;}CRDGEODETIC;

typedef CRDGEODETIC *PCRDGEODETIC;void DMS_RAD(double DMS,double *Rad){

} int Deg,Min;double Sec;Deg=(int)DMS;Min=(int)((DMS-Deg)*100);Sec=((DMS-Deg)*100-Min)*100;*Rad=(Deg+Min/60.0+Sec/3600.0)/180.0*M_PI;return;

void RAD_DMS(double Rad,double *DMS){

} bool

CRDCARTESIANtoCRDGEODETIC(PCRDCARTESIAN int Deg,Min;double Sec;double AR,AM;AR=Rad;if(Rad<0)AR=-Rad;AR=AR+1.0e-10;AR=AR*180.0/M_PI;Deg=(int)AR;AM=(AR-Deg)*60.0;Min=(int)AM;Sec=(AM-Min)*60;*DMS=Deg+Min/100.0+Sec/10000.0;if(Rad<0)

return;*DMS=-*DMS;pcc,PCRDGEODETIC pcg,double dSemiMajorAxis,double dFlattening){

double B0,R,N;double B_,L_;double X=pcc->x;double Y=pcc->y;double Z=pcc->z;

R=sqrt(X*X+Y*Y);

B0=atan2(Z,R);while(1){ N=dSemiMajorAxis/sqrt(1.0-dFlattening*(2-dFlattening)*sin(B0)*sin(B0));

} bool

CRDGEODETICtoCRDCARTESEAN(PCRDGEODETIC

} L_=atan2(Y,X);pcg->height=R/cos(B_)-N;

RAD_DMS(B_,&pcg->latitude);RAD_DMS(L_,&pcg->longitude);return true;B_=atan2(Z+N*dFlattening*(2-dFlattening)*sin(B0),R);if(fabs(B_-B0)<1.0e-10)break;B0=B_;pcg,PCRDCARTESIAN pcc,double dSemiMajorAxis,double dFlattening){

double N;double B_,L_;

double B=pcg->latitude;double L=pcg->longitude;double H=pcg->height;

DMS_RAD(B,&B_);DMS_RAD(L,&L_);

N=dSemiMajorAxis/sqrt(1.0-dFlattening*(2-dFlattening)*sin(B_)*sin(B_));pcc->x=(N+H)*cos(B_)*cos(L_);pcc->y=(N+H)*cos(B_)*sin(L_);pcc->z=(N*(1.0-dFlattening*(2-dFlattening))+H)*sin(B_);return true;} void main(){ PCRDCARTESIAN pcc=new CRDCARTESIAN;PCRDGEODETIC pcg=new CRDGEODETIC;//B=30.31.40.23

L=114.21.20.51 h=41 double rad;rad=(30*3600+31*60+40.23)/3600;pcg->latitude=rad;rad=(114*3600+21*60+20.51)/3600;pcg->height=41;pcg->longitude=rad;

double dSemiMajorAxis=6378137;double dFlatning=1/298.257223563;

cout<

cout<<“转换前已知的大地坐标：”<

度)=”<

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度)=”<

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CRDCARTESIANtoCRDGEODETIC(pcc,pcg,dSemiMajorAxis,dFlatning);度)=”<

longitude<<“

”<<“B(纬度)=”<

latitude<

“平面直角坐标系”检测题 篇6

1. 根据下列描述，能够确定一个点的位置的是（）.

A. 国家大剧院第三排B. 北偏东30°

C. 东经114°，北纬35.5°D. 郑州市机场南路

2. 在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在图1中的阴影区域内，则该目标的坐标可能是（）.

A. （-3，300） B. （7，-500）

C. （9，600） D. （-2，-800）

3. 如图2，下列说法正确的是（）.

A. 点A与点D的横坐标相同

B. 点C与点D的横坐标相同

C. 点B与点C的纵坐标相同

D. 点B与点D的纵坐标相同

4. 已知点A（x，y），且xy=0，则点A（）.

A. 在原点 B. 在x轴上

C. 在y轴上 D. 在x轴上或在y轴上

5. 已知点M（3，-2）与点N（a，b）在同一条平行于x 轴的直线上，且点N到y轴的距离等于4，那么点N的坐标是（）.

A. （4，2）或（-4，2） B. （4，-2）或（-4，-2）

C. （4，-2）或（-5，-2） D. （4，-2）或（-1，-2）

6. 有下列说法：①在平面直角坐标系中，x轴上的点的纵坐标为0；②点P（a，b）到x轴的距离是b，到y轴的距离是a；③点P（m，n）是平面直角坐标系中的点，如果mn>0，则点P在第一象限或第三象限；④到两坐标轴的距离相等的点在第一象限；⑤ y轴负半轴上的点属于第四象限．上述说法中正确的有（）.

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

7. 点（x，x-1）不可能在（）.

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

8. 在平面直角坐标系中，点P（4-2a，a-4）在第三象限，则（）.

A. a >2B. a<4

C. 2

9. 已知点A的坐标为（a，b），若a+b<0，ab>0，则点A在（）.

A. 第一象限B. 第二象限

C. 第三象限D. 第四象限

10. 设P（x，y）在第二象限，且|x+1|=2，|y-2|=3，则点P的坐标为（）.

A. （-3，5） B. （1，-1）

C. （-3，-1） D. （1，5）

11. 在平面直角坐标系中，点（-1，m2+1）一定在（）.

A. 第一象限B. 第二象限

C. 第三象限D. 第四象限

12. 若点P（2-a，3a+6）到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（）.

A. （3，3） B. （3，-3）

C. （6，-6）D. （3，3）或（6，-6）

二、填空题

13. 如果用（7，1）表示七（1）班，（8，2）表示八（2）班，那么八（4）班可表示成.

14. 若点P到x轴、y轴的距离分别是2和3，则点P的坐标为．

15. 若规定向东和向北的方向为正方向，向西和向南的方向为负方向，向东走4 m，向北走6 m，可表示为（4，6），则向西走5 m，向北走3 m，可表示为.

16. 按照一定的规律排列的有序数对（1，2），（4，5），（7，8）……中，第5个数对为.

17. 在平面直角坐标系内，点A（5，4）到点B（-2，4）的距离是，点C（3，-2）到点D（3，4）的距离是.

18. 点P在第二象限，它的横坐标和纵坐标之和为

-5，点P的坐标是.（写出一个即可）

19. 在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（-2，1），（-3，-1），（1，-1）．若四边形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是．（写出一个即可）

20. 如图3，一个机器人从O点出发，向正东方向走3 m到达A1点，再向正北方向走6 m到达A2点，再向正西方向走9 m到达A3点，再向正南方向走12 m到达A4点，再向正东方向走15 m到达A5点……按如此规律走下去，当机器人走到A6点时，A6点的坐标是.

三、解答题

21. 在图4所示的棋盘中，有4颗棋子的位置分别是A（b，3），B（d，5），C（f，7），D（h，2），请在图中描出它们的位置.

22. 某教室中有9排5列座位，请根据下面同学的描述，在图5中标出5号同学的位置．

1号同学说：“5号在我的右后方．”2号同学说：“5号在我的左后方．”3号同学说：“5号在我的左前方．”4号同学说：“5号到1号和3号的距离一样远．”

23. 在图6所示的平面直角坐标系中描出下列各点，用线段将这些点顺次连起来，并将最后一个点与第1个点连起来，请给得到的图形起一个名字.

24. 如图7，在贪食蛇游戏中，你控制的小蛇将从原点出发，沿箭头所示的方向前进，到符号“▲”处结束，请你将行进的路线用有序数对表示出来.

第5章平面直角坐标系 篇7

【名师箴言】

从学习平面直角坐标系开始,就进入到初中代数很重要的一个大的领域———函数这部分了. 平面直角坐标系作为研究函数性质的一个重要工具,在整个数学学习的过程中有着举足轻重的地位. 平面直角坐标系是数轴的演变,实现了从一维到二维的发展. 这一部分主要有3个必须掌握的内容:1. 平面直角坐标系的一系列基本概念,比如坐标轴、象限、点的坐标等. 这部分内容不难,但希望同学们刚开始学习时一定要打下一个好的基础,学扎实. 2. 坐标的对称. 这部分内容中有一个难点,就是某个点关于另一个点的对称点的求法,需要同学们多下一点工夫. 3. 坐标的平移. 在学习时大家要真正理解平移的内涵,会灵活运用.

空间直角坐标系 篇8

我把这节内容的起始课尝试学习电台主持人的风格，设计成游戏形式，取得较好的效果.现把教学过程记录下来，与同行交流.

一、报数游戏，初闯新境地

本节课一开始，我让某一横行的同学迅速地报数，再让竖列的同学也迅速报数，并用多媒体演示横放及竖放的数轴.对比刚才一行一列交叉的报数同学，形象而且生动.学生兴趣浓厚，大家争相抢着要参与，学生的思维很快进入了运转状态.接着我提问教室里在座的几位同学的行、列数，就这样及其自然地把同学们引入到了新的“游戏”阵地———“平面直角坐标系”.我再引导学生了解这个问题的背景知识.请学生看课件演示，简略地介绍了法国数学家笛卡儿如何创建平面直角坐标系的过程，并由此产生了一个新的数学分支———解析几何.学生们眼睛瞪得大大的，表现出对学习“平面直角坐标系”的渴望.

【设计意图】课前引入的关键就是激趣和恰如其分地引入正题.通过这样的游戏形式导入，把教学内容转化为具有潜在意义的趣味问题，让学生产生强烈的问题意识和参与意识，从情境感受进入理性的思考中.通过课件可使学生产生“自己此刻正与一个伟大的数学家研究同一个问题”的感觉，这激发了他们浓厚的学习兴趣.而笛卡儿在重病的情况下，仍然在思考数学问题的精神也激励了学生学习数学乃至做事都得坚持不懈，这体现了本节课情感态度目标的设计思想.

二、协调合作，勇闯主阵营

了解了平面直角坐标系的产生和笛卡儿的生平事迹后，学生们对“平面直角坐标系”有了初步的认识.接着学生跟随着课件的演示，练习画直角坐标系，并确定所给点的位置及所在象限.对平面直角坐标系的相关概念有了更清晰的认识.在这里利用多媒体课件把知识点进一步运用到实际的题目中.突出了本节课的知识重点，实现了知识与技能、过程与方法的三维目标.

其次，在黑板上展示我预先制作的中国象棋棋盘，横、列标上数字.然后，把全班同学按三人一组分成若干小组，轮流让各小组中两名同学上台对弈，另一名同学解说，每个小组对弈三个回合.

【设计意图】采取这种游戏形式，可以让全体同学都参与进来，把静态的知识，变成动态的游戏，不仅能锻炼学生的反应能力和判断能力，还能使学生在轻松愉快的游戏中巩固对平面直角坐标系的认识，气氛变得相当活跃.

三、动手实践，增强新体验

为了巩固概念，我也采取了游戏形式.通过课件演示，要求学生在平面直角坐标系中描出下列各点：Q (2, 3）, S（-2, 3）, R (3，-2）, T（-3, 2）, M（-1.5，-2.5），再顺次连结起来.用课件演示描点的步骤，学生跟随课件的演示动手完成Q点后，独立快速地在我事先准备好的平面直角坐标系图纸上描出其余点.在学生掌握了描点的方法后，我宣布现在正式进入游戏做练习.“在平面直角坐标系中描出下列四组点（题目略），并将各组内的点用线段依次连接起来.观察所得的图形，你觉得它像什么？”在这里我把全班同学分成四组，每组各做一个图形，并且分别派代表用视频展台展示自己组的成果，并看看别的小组同学作出的是什么图形……描点连线完毕后，各小组代表踊跃发言，气氛浓厚，决不亚于电视节目的现场.

【设计意图】通过这个活动可以让学生练习在平面直角坐标系中确定点的位置，通过连线绘制图形的形式去完成这一练习.目的在于把枯燥的练习转变为充满趣味的绘图，同时进一步渗透了数形结合的数学思想，突破了难点.

四、发挥个性，展我真风采

运用课件展示平面直角坐标系及上面的一些点后，让学生回答下列问题：

(1) 图上哪些点之间的位置比较特殊？是什么特殊关系？

(2) 坐标轴上的点的坐标有何特征？

(3) 象限中角平分线上的点的坐标有何特征？

最后把本课内容小结了一下，并布置“有兴趣的同学可以课后通过图书馆和网络查找相关的资料，拓展知识面”.

【设计意图】让学生在“互动”中学习.培养学生的观察能力和与人合作交往的能力，激发学生的学习积极性、主动性，深化对坐标平面上的点的规律性的认识.

五、课后反思

我们知道，许多节目都由媒体来表现，除了主持人的串词、衔接以外，大部分都由现场的嘉宾观众或事先准备好的场外镜头片段来充实内容.这正像现代教学模式中的多媒体组合教学的方式.避免了传统教学的“一言堂”、“满堂灌”.从而我以这种方式尝试类似数学课堂主持人的模式上了一堂课.自我感觉如下：

1. 切入自然.从学生已有的知识和经验出发进行教学是数学教学的基本规律，也是数学新课程大力提倡的.苏联著名的数学家辛钦，在其《数学分析简明教程》的序言中有这样一段话：“我想尽力做到在引进新概念、新理论时，学生先有准备，能尽可能地看到这些新概念、新理论的引进是很自然的，甚至是不可避免的.我认为只有利用这种方法，在学生方面才能非形式化地理解并掌握所学到的东西.”这段话非常精辟，它说出了引入新知识的一个重要原则———学生的资源教学的起点.

2. 形式多样.本课运用激发情趣、启发诱导、实施积极的认知干预等方法，让学生在情境中去活动，在活动中去感受、在感受中去体验.这里有自主学习，也有合作交流.我觉得教师通过营造良好的教学氛围，使接受性学习与发现性学习能够有机结合，让数学学习成为有意义的学习，这应该是数学教学的基本走向.

3. 过程过于“开放”.本课每个环节体现了互动性特点，给学生充分的“自由学习”的时间和空间，为学生思维的自由驰骋奠定了基础.但在第二关中，通过学生的象棋对弈来学习“平面内点的坐标表示”时，学生们兴致太过高涨，直接导致后续的学习中相当部分学生的心思一时难以收回.“开放”要适度，教师作为主持人的角色，要把这个度掌握好，网撒下了，该收时必须及时把它收回.

4. 课堂欠完整.整个教学过程总体上比较顺利，学生学习兴趣浓厚，十分投入.但是时间上把握得不够理想，在互动合作的环节中时间占用过多，导致结尾草草收场.另外对于难点剖析不够透彻，有些地方还应该及时当堂讲解，进行必要的指导，不可完全放手给学生.

直角坐标系中点的规律探索题赏析 篇9

例1 (2013·聊城) 如图1, 在平面直角坐标系中, 一动点从原点O出发, 按向上, 向右, 向下, 向右的方向不断地移动, 每移动一个单位, 得到点A1 (0, 1) , A2 (1, 1) , A3 ( 1, 0) , A4 ( 2, 0) , …, 那么点A4n+1 ( n为自然数) 的坐标为 (用n表示) _______.

【解析】根据向上, 向右, 向下, 向右的方向每次移动一个单位, 所得点的横坐标依次是0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, …, 特别是点A1、A5、A9、A13的横坐标分别为0, 2, 4, 6, 由此推知点A4n+1的横坐标为2n;所得点的纵坐标依次是1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, …, 特别是点A1、A5、A9、A13的纵坐标分别为1, 1, 1, 1, 由此推知点A4n+1的纵坐标为1, 所以点A4n+1 (n为自然数) 的坐标为 (2n, 1) .

【点评】对于点的运动, 一方面可从图形中观察点的位置的变化, 另一方面可分别寻找点的横坐标与纵坐标的变化规律, 即探索序号与横坐标的规律、序号与纵坐标的规律的双重关系, 本题还需注意点An与点A4n+1的区别.

例2 (2014·株洲) 在平面直角坐标系中, 孔明做走棋的游戏, 其走法是:棋子从原点出发, 第1 步向右走1 个单位, 第2步向右走2 个单位, 第3 步向上走1 个单位, 第4 步向右走1 个单位…依此类推, 第n步的走法是:当n能被3 整除时, 则向上走1 个单位;当n被3 除, 余数为1 时, 则向右走1 个单位;当n被3 除, 余数为2时, 则向右走2 个单位. 当走完第100 步时, 棋子所处位置的坐标是 () .

A. (66, 34) B. (67, 33)

C. (100, 33) D. (99, 34)

【解析】根据走法, 每3 步为一个循环组依次循环, 且一个循环组内向右3 个单位, 向上1 个单位, 用100 除以3, 然后根据商和余数的情况确定出所处位置的横坐标与纵坐标即可.

解:由题意得, 每3 步为一个循环组依次循环, 且一个循环组内向右3 个单位, 向上1 个单位, ∵100÷3=33 余1, ∴ 走完第100 步, 为第34 个循环组的第1 步, 所处位置的横坐标为33×3+1=100, 纵坐标为33×1=33, ∴ 棋子所处位置的坐标是 (100, 33) .故选C.本题考查了坐标确定位置, 点的坐标的规律变化, 读懂题目信息并理解每3步为一个循环组依次循环是解题的关键.

例3 (2015·河南) 如图2, 在平面直角坐标系中, 半径均为1 个单位长度的半圆O1, O2, O3……组成一条平滑的曲线, 点P从原点O出发, 沿这条曲线向右运动, 速度为每秒π/2个单位长度, 则第2015 秒时, 点P的坐标是 () .

A. (2014, 0) B. (2015, -1)

C. (2015, 1) D. (2016, 0)

【解析】本题考查直角坐标系中点坐标的规律探索.

∵ 半圆的半径r=1, ∴ 半圆长度=π,

∴ 第2015 秒点P运动的路径长为: (π/2) ×2015,

∴ 点P位于第1008 个半圆的中点上, 且这个半圆在x轴的下方.

∴ 此时点P的横坐标为:1008×2-1=2015, 纵坐标为-1, ∴ 点P (2015, -1) .

练习

1.如图3, 在平面直角坐标系中, 将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置, 点B、O分别落在点B1、C1处, 点B1在x轴上, 再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置, 点C2在x轴上, 将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置, 点A2在x轴上, 依次进行下去….若点, B (0, 4) , 则点B2014的横坐标为_______.

简化直角坐标系下二重积分的运算 篇10

1、凡积分区域D的边界线中至少有一条平行于x轴 (或y轴) 的直线段, 又平行于x轴 (或y轴) 且穿过D内部的任何直线与D的边界曲线的交点不少于两点, 则先对x (或y) 积分。

例1积分区域如图所示:

2、积分区域D的边界线中没有平行于坐标轴的直线段, 常以D不分块或少分块为原则, 选择积分次序。

例2积分区域如图所示:

解:由题意的

二、利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性简化计算

1、若f (x, y) 在积分区域D上连续, 且D关于y轴 (或x轴) 对称, 则

(1) 当f (x, y) 在D上关于x (或y) 的奇函数时, 有

(2) 当f (x, y) 在D上关于x (或y) 的偶函数时, 有

其中1D是D落在y轴 (或x轴) 一侧的那一部分区域。

例3:设D域是x2+y2≤4, 则

解:D关于x轴对称, 关于y为奇函数, 则

2、设积分区域D对称于原点, 对称于原点的两部分区域为1D和2D, 若f (-x, -y) =f (x, y) , 则

若f (-x, -y) =-f (x, y) , 则

注意只有当积分区域和被积函数都具有相应的对称性时, 才能利用㈠, ㈡简化计算。

三、作坐标变换

作坐标变换是简化二重积分计算的重要方法。当积分区域的边界为圆弧或是过原点的射线 (段) , 而被积函数为之形状时, 常坐标变换x=ρcosϕ, y=ρsinϕ利用极坐标计算二重积分。

当圆心不在原点时, 有时还可以考虑作平移变换：在此变换下, 可把x Oy平面上的有界闭区域D变成μOv平面上的一个区域D`。在平移变换下区域D的形状与面积保持不变, 例如D: (x-1) 2+ (y-1) 2≤1在平移变换μ=x-1, v=y-1下, D变成D`:μ2+v2≤1, 但被积函数的形状发生变化:

这时就可以根据μO'v平面上的积分区域D'的对称性 (关于μ轴, v轴所围成的第一象限内的闭区域。

内由x2+y2=2x, y=x-, 1y=0围成的区域。

解:区域的图形如图, 由题意的

设x=1+rcosθ, y=rsinθ, 则

令r2=u, 则

注意不能因为极点O在积分域的边界上, 就误认为上式中对ρ积分的积分下限是0。定ρ的积分限应当是先把ϕ在内固定, 然后以原点为起点作射线。该射线与两个半圆相交, 并从ρ=2cosϕ穿进D从ρ=2穿出D。原点O虽在D的边界上, 但ϕ在中的射线并不从O点进入D, 所以域D的极坐标表示是:。因此, ρ的积分上限为上式所示。

摘要：由于二重积分有着广泛的应用, 可以用来计算曲面的面积, 平面薄片重心, 平面薄片转动惯量, 平面薄片对质点的引力等等。与此同时二重积分在实际生活, 比如无线电中也被广泛应用。所以在进行一系列研究计算得时候, 如何合理性的简化直角坐标系下二重积分的运算成了一个关键问题。本文试图在这方面做一些粗浅的讨论。希望对读者有所帮助。

关键词：二重积分,简化运算,直角坐标系

参考文献

[1]高等数学中的典型问题与解法, 同济大学出版社。

[2]张天德:《高等数学辅导》, 山东科学技术出版社。

[3]李静:《高等数学解题指导》 (下册) , 北京大学出版社。

变式学习“平面直角坐标系” 篇11

例1（源自第64页）如图l，若第2列第3排记为（2，3），请以下座位的同学今天放学后参加数学问题讨论：（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），（5，6）.其中（2，4）和（4，2）在同一个位置吗？

解析：略

变式1“怪兽吃豆豆”是一种计算机游戏，图2中的“.”表示“怪兽”先后经过的几个位置.如果用（1，2）表示“怪兽”经过的第2个位置，那么你能用同样的方法表示出图中“怪兽”经过的其他几个位置吗？

解析：由（1，2）表示的位置可知，前一个数表示纵列，后一个数表示横排.因此，“怪兽”经过的其他几个位置分别为（1，1），（3，2），（3，3），（4，3），（4，5），（5，5），（5，4），（7，4），（7，3），（8，3）.

变式2（第65页练习）如图3，甲处表示2街与5巷的十字路口，乙处表示5街与2巷的十字路口.如果用（2，5）表示甲处的位置，那么“（2，5）→（3，5）→（4，5）→（5，5）→（5，4）→（5，3）→（5，2）”表示从甲处到乙处的一条路线，请你用这种形式写出两条从甲处到乙处的路线.

解析：所给路线是从甲处先向右再向下.

也可以从甲处先向下再向右，即沿路线“（2，5）→（2，4）→（2，3）→（2，2）→（3，2）→（4，2）→（5，2）”走，

还可以先向下走到4巷，再向右走到4街，然后再向下走到2巷，最后再向右走到5街，即沿路线“（2，5）→（2，4）→（3，4）→（4，4）→（4，3）→（4，2）→（5，2）”走.

变式3如图4，如果（C，3）表示“天”，那么按以下方式排列分别能组成一句什么话？

（1）（A，5），（A，3），（C，4），（E，5），（B，1），（C，2），（B，4）.

（2）（B，4），（C，2），（D，4），（C，5），（A，1），（D，3），（E，1）.

解析：根据题意可知列在前，行在后，按照题中的表示方法找出相应的汉字，组成一句话即可.

（1）组成的一句话是“可爱的女孩是我”.

（2）组成的一句话是“我是一个小帅哥”.

变式4如图5，在中国象棋的棋盘中，若黑“马”现在的位置用（3，7）表示，且黑“马”下一步不能走到（2，5），（4，5），（5，8）所示的位置，请你用有序数对表示出黑“马”下一步可以走到的位置.

解析：黑“马”现在的位置用（3，7）表示，可知前一个数表示列，后一个数表示行.因为“马”走“日”字，所以黑“马”下一步有5个位置可以走，分别是（1，6），（1，8），（2，9），（4，9），（5，6）.

例2（第71页第13题）如图6，右边的“笑脸”是由左边的“笑脸”平移得到的，找出几对特殊的对应点，分别写出它们的坐标，你能发现什么规律吗？

解析：如图7，点A'、B'、C'、D'分别是由点A、B、C、D平移得到的，观察图形可得A （-5，4），B（-3，4），C（-5，2），D（-3，2），A'（4，4），B'（6，4），C'（4，2），D'（6，2）.

可以发现，将图形向右平移9个单位长度，图形中各点的横坐标都增加9，纵坐标不变.

变式1（第78页第3题）如图8，长方形ABCD的四个顶点分别是A（-3，2），B（-3，-2），C（3，-2），D（3，2）.将长方形向左平移2个单位长度，各个顶点的坐标变为什么？将它向上平移3个单位长度呢？分别画出平移后的图形.

解析：将长方形ABCD向左平移2个单位长度后，顶点A、B、C、D的坐标分别变为（-5，2），（-5，-2），（1，-2），（1，2）；将长方形ABCD向上平移3个单位长度后，顶点A、B、C、D的坐标分别变为（-3，5），（-3，1），（3，1），（3，5）.图略.

变式2（第79页第4题）如图9，将三角形先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标分别是（）.

A.（2，2），（3，4），（1，7）

B.（-2，2），（4，3），（1，7）

C.（-2，2），（3，4），（1，7）

D.（2，-2），（3，3），（1，7）

解析：过程略，选C.

变式3（第79页第8题）如图10，三角形ABC中任意一点P（xo，Yo）经平移后对应点为P1（xo+5，yo+3），将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1求点A1、B1、C1的坐标.

解析：三角形ABC中任意一点P（xo，yo）经平移后对应点为P1 （xo+5，yo+3），横坐标增加了5，说明点P向右平移了5个单位长度，纵坐标增加了3，说明点P向上平移了3个单位长度.

所以三角形ABC也应向右平移5个单位长度，向上平移3个单位长度，从而可得点A1（3，6），B1（1，2），C1（7，3）.

变式4求图11中三角形ABC的面积.

解析：参照图12所示的方式作辅助线，得到长方形BDEF

拓展：在平面直角坐标系中，点的横坐标、纵坐标都是整数时，我们称这个点为格点（也叫整点）.所有顶点都是格点的多边形称为格点多边形.显然，图11中的三角形ABC就是格点三角形.

通过观察，我们发现：在图11中，三角形ABC的内部有10个格点，三角形ABC的边界上有4个格点，且10+4/2-1=11.难道格点多边形内的格点个数、边界上的格点个数与格点多边形的面积有关？我们一起来探究.

（1）在平面直角坐标系中尽可能多地画出内部只有1个格点的格点三角形、格点四边形、格点五边形，计算这些格点多边形的面积S，并数出边界上的格点个数n，你能发现S与n之间有什么关系吗？

（2）在平面直角坐标系中尽可能多地画出内部只有2个格点的格点三角形、格点四边形、格点五边形，计算这些格点多边形的面积S.并数出边界上的格点个数n，你能发现S与n之间有什么关系吗？

（3）在平面直角坐标系中尽可能多地画出内部只有3个格点的格点三角形、格点四边形、格点五边形，计算这些格点多边形的面积S，并数出边界上的格点个数n，你能发现S与n之间有什么关系吗？

（4）-般地，如果格点多边形的面积为S，其内部的格点个数为m，边界上的格点个数为n，你能根据（1）（2）（3）所得结果猜测S、m、n之间的关系吗？再任意画几个格点多边形试一试.

空间直角坐标系 篇12

$\{\begin{array}{l}X=({\rm N}+{\rm H})\text{c}\text{o}\text{s}B\text{c}\text{o}\text{s}L\\ Y=({\rm N}+{\rm H})\text{c}\text{o}\text{s}B\text{s}\text{i}\text{n}L\\ {\rm Z}=[{\rm N}(1-e{}^2)+{\rm H}]\text{s}\text{i}\text{n}B\end{array}$

(1)

式中, B代表纬度;L代表经度;H代表高度[1];e代表偏心率。

而地心空间直角坐标转化为大地坐标的反解无法通过上式直接解算。反解算法按照计算方式主要分为迭代法和直接法两类[2]。文中就是对基于Bowring思想推导的直接算法进行分析和改进, 并推导出计算高程的一种高精度的解算算法。

后面的计算全部采用WGS84椭球, 其有关参数, 如表1所示[1]。

1 Bowring算法

为了提高计算的速度, 国内外大地测量学者曾以不同的途径, 相继推导出了多种直接解算公式。经过全面的分析和比较, 发现Bowring研究思路导出的一组转换公式以其计算简捷且精度高的特点, 而备受工程人员的推崇。下面先讲解该算法的思路, 而后对其进行分析和改进。

1.1 经度计算算法

经度可以通过式 (2) 直接解算

$L=\arctan \frac{Y}{X}$ (1)

计算得到的结果取值范围在$\left(-\frac{\text{π}}{2},\frac{\text{π}}{2}\right)$区间, 须将该结果按照表2进行换算才能解得经度。

1.2 纬度计算算法

建立子午面直角坐标系[3], 如图1所示。图中外圆是以地球长轴a为半径的辅助圆。

图中A是地球外部空间某一点, 其地心空间直角坐标 (X, Y, Z) , P为A点在椭球面上的垂足点, Q为A点和地心O的连线OA与椭球面的交点。Φ表示地心纬度[1], U表示规划纬度[1], B为大地纬度, r=X2+Y2。设M点为子午圈在P点的曲率中心, M′点为子午圈在Q点的曲率中心。由解析几何得知, 椭圆上某点的参数方程以及M和M′点的坐标分别如式 (3) ～式 (5) 所示。

$\{\begin{array}{l}r=a\cos U\\ {\rm Z}=b\sin U\end{array}$

(3)

$\{\begin{array}{l}r{}_{{\rm M}}=e{}^{2}a\left(\frac{r{}_{{\rm P}}}{a}\right){}^3=e{}^{2}a\cos {}^{3}U{}_{{\rm P}}\\ {\rm Z}{}_{{\rm M}}=-e^{\prime }{}^{2}b\left(\frac{{\rm Z}{}_{{\rm P}}}{b}\right){}^3=-e^{\prime }{}^{2}b\sin U{}_{{\rm P}}\end{array}$

(4)

$\{\begin{array}{l}r{}_{{{\rm M}}^{\prime }}=e^{\prime }{}^{2}a\left(\frac{r{}_Q}{a}\right){}^3=e{}^{2}a\cos {}^{3}U{}_Q\\ {\rm Z}{}_{{\rm M}}=-e^{\prime }{}^{2}b\left(\frac{{\rm Z}{}_Q}{b}\right){}^3=-e^{\prime }{}^{2}b\sin U{}_Q\end{array}$

(5)

由图1得出

$\tan B=\frac{{\rm Z}{}_A-{\rm Z}{}_{{\rm M}}}{r{}_A-r{}_{{\rm M}}}=\frac{{\rm Z}+e^{\prime }{}^{2}b\sin {}^{3}U{}_{{\rm P}}}{\sqrt{x{}^2+y{}^2-e{}^{2}a\cos {}^{3}U{}_{{\rm P}}}}$ (6)

式 (6) [4]中B和UP都是未知量, 所以不能直接求解。然而UQ却是可以直接计算得到的, 于是Bowring提出了用M′点坐标代替M点坐标的想法, 也就是用UQ代替UP计算B。UQ可用式 (7) 直接计算得到。

$\tan U{}_{{\rm P}}=\frac{a}{b}\tan \Phi =\frac{az}{b\sqrt{x{}^2+y{}^2}}$ (7)

计算得到UQ后代入式 (8) 估算纬度B。

$\tan B=\frac{z{}_{{\rm P}}-z{}_{{\rm M}}}{r{}_{{\rm P}}-r{}_{{\rm M}}}=\frac{z+e^{\prime }{}^{2}b\sin {}^{3}U{}_Q}{\sqrt{x{}^2+y{}^2-e{}^{2}a\cos {}^{3}U{}_Q}}$ (8)

当H=0时, A, P, Q这3点重合, 式 (8) 严格成立;当H>0, 尤其是H>1 000 km时, 式 (8) 计算精度下降。

1.3 高程计算算法

高程计算公式如式 (9) [5]和式 (10) [6]两种形式。

${\rm H}=\frac{{\rm Z}}{\text{s}\text{i}\text{n}B}-{\rm N}(1-e{}^2)$ (9)

${\rm H}=\frac{\sqrt{x{}^2+y{}^2}}{\text{c}\text{o}\text{s}B}-{\rm N}$ (10)

2 算法改进

可见, 经度算法不需要改进, 下面论述对纬度和高程算法的改进。为了使其在H很大时也能保持算法精度的稳定性, 下面进一步对Bowring算法进行改进。

2.1 纬度算法的改进

对于某个固定的纬度B, 当高程H不一样时, 利用式 (8) 估算得到的纬度记为B*。B*与B之间的差值会随着H的增加变换。另一方面, B在[-90, 90]范围变化也会对B*有影响。因此引入一个修正系数q=B*/B, q是B和H的函数。将B和H在取值范围内进行划分, 由于篇幅关系只取了整个划分中的部分数据点, 如表3所示。因为经度L对计算结果没有任何影响, 所以可以任意设置一个L值, 表3是在L=45°时计算得到的。

从计算结果可以看出, 当高程>1 000 km时, 其计算误差也会跟着加大, 这是因为Bowring算法是只有当空间点在椭球面上时才严格成立。为了保证在高精度定位领域中, 解算算法的精度能稳定在一定的范围之内, 而不会随着高程恶化的问题, 下面说明运用二维线性插值法来修正式 (8) 的计算结果。

该方法主要是估算校正系数q。假设待求的纬度为B, 高度为H, 通过查表3可知B和H所属的区间, Bi-1<B<Bi, Hj-1<H<Hj (i表示行号, j表示列号) 。设由 (Bi-1, Hj-1) , (Bi-1, Hj) , (Bi, Hj-1) , (Bi, Hj) 确定的q分别为qi-1, j-1, qi-1, j, qi, j-1, qi, j。由二维线性插值的性质可推出下列公式

$q{}_{j-1}=\frac{(q{}_{i,j-1}-q{}_{i-1,j-1})B+B{}_{i}q{}_{i-1,j-1}-B{}_{i-1}q{}_{i,j-1}}{B{}_i-B{}_{i-1}}$ (11)

$q{}_j=\frac{(q{}_{i,j}-q{}_{i-1,j})B+B{}_{i}q{}_{i-1,j}-B{}_{i-1}q{}_{i,j}}{B{}_i-B{}_{i-1}}$ (12)

$q=\frac{(q{}_j-q{}_{j-1}){\rm H}+{\rm H}{}_{j}q{}_{j-1}-{\rm H}{}_{j-1}q{}_j}{{\rm H}{}_j-{\rm H}{}_{j-1}}$ (13)

上面的推导过程是在假设纬度B和高程H都已知的条件下进行的, 之后这两个量为待求的未知量, 所以在实际运用中需要先用式 (8) 估算纬度, 得到估值B*, 而后代入式 (9) 或式 (10) 估算高程, 得到估值H*。用B*和H*分别代替上面的B和H, 完成查表和线性插值等运算。最后可以计算得到q的估值q*, 代入式 (14) 即可得到校正后的B值。

B=B*/q* (14)

2.2 高程算法的改进

从前面介绍的高程计算式 (9) 和式 (10) 的分母分别包含sinB和cosB可以看出, 当B→0°时, 式 (9) 不再适用, 而当B→90°时, 式 (10) 不适用。为此对式 (9) 和式 (10) 稍加变形和运算, 以得到一个通用公式。

将式 (9) 和式 (10) 分别乘以sin2B和cos2B, 再将两式相加, 整理后得

${\rm H}=\sqrt{x{}^2+y{}^2}\cos B+z\sin B-a\sqrt{1-e{}^2\sin {}^{2}B}$ (15)

利用式 (15) 对B求偏导数, 如式 (16) 所示

$\frac{\partial {\rm H}}{\partial B}\triangleq -\sqrt{x{}^2+y{}^2}\sin B+z\cos B-e{}^2{\rm N}\cdot \sin B\cdot \cos B$ (16)

根据式 (1) 可推导出如下结果

$\sqrt{x{}^2+y{}^2}=({\rm N}+{\rm H})\cos B$ (17)

将式 (17) 和公式z=[N (1-e2) +H]sinB代入式 (16) 得$\frac{\partial {\rm H}}{\partial B}=0$。

说明式 (16) 不受纬度B计算误差的一阶无穷小项的影响, 且该公式在B的整个取值范围上都适用, 算法稳定性好。

3 仿真计算

文中的仿真计算是对式 (8) 计算得到的纬度B和修正后的结果进行比较, 以验证该二维插值算法的有效性。

由表4中数据可以看出, 直接用式 (8) 计算得到的纬度, 其误差会随着高程的增加明显增加。而经修正后的纬度值其误差被有效地控制在10-5量级以下, 而且不会随着高程增加而恶化, 保证了计算算法的稳定性。但是该二维插值算法会在每次换算中增加12次加法、9次乘法和3次除法, 另外还有查表操作, 给运算带来额外的负担, 所以该算法应作为Bowring算法的补充, 工程人员可在实现算法时对用Bowring算法估算的高程结果进行判断, 当高程>1 000 km时才采用该算法以保证算法稳定性。

4 结束语

文中重点是讲解基于Bowring思路的直接算法, 以及针对该直接算法的修正算法。分析了Bowring算法在高程>1 000 km时, 其计算误差随高程增加而加大, 提出了用二维线性插值的方法来提高该算法的精度和稳定性, 并通过仿真给予验证, 该修正算法可作为对Bowring算法的补充, 建议在高程>100 km时使用。另外, 文中提出的高程计算公式对B的整个取值范围都适用, 且其计算精度受纬度计算误差的影响小, 具有计算简单、适用范围广、精度高的特点。

参考文献

[1]边少锋.大地坐标系与大地基准[M].北京:国防工业出版社, 2005.

[2]徐绍铨.大地测量学[M].武汉:武汉测绘科技大学出版社, 1996.

[3]Bowring B R.Transformation From Spatial to Geographical Coordinates[J].Survey Review, 1976 (23) :323-327.

[4]束蝉方, 李斐, 沈飞.空间直角坐标向大地坐标转换的新算法[J].武汉大学学报:信息科学版, 2009 (5) :561-563.

[5]崔永俊.空间直角坐标与大地坐标之间的变换方法研究[J].华北工学院学报, 2003 (1) :73-75.