《解直角三角形应用(一)》教学设计

《解直角三角形应用(一)》教学设计（精选14篇）

《解直角三角形应用(一)》教学设计 篇1

《解直角三角形的应用》及教学反思

课程分析：

整个教学过程主要分四部分：第一部分是考点整合——复习简单的解直角三角形，直角三角形得边角关系，解直角三角形得类型，解直角三角形得应用；第二部分是归类示例——通过三个类型三个例题讲解解直角三角形的应用；第三部分是课时小结———总结应用解直角三角形的方法解决实际问题的一般步骤；第四部分是课时作业———巩固本节所学。

与技能”上要求学生掌握其基本性质，和有关线段、面积的计算方法，能按照一定的规则和步骤进

归纳总结：

回顾本节课，虽然我花费了很多的心思合理设计了本课，但在实际教学的环节中，还是出现了一些问题：

1、教学中不能把学生的大脑看做“空瓶子”。我发现按照自己的意愿在往这些“空瓶子”里“灌输数学”，结果肯定会导致陷入误区，因为师生之间在数学知识、数学活动经验等方面存在很大的差异，这些差异使得他们对同一个教学活动的感觉通常是不一样的，所以是不是应该在教学过程中尽可能多的把学生的思维过程暴露出来，头脑中的问题“挤”出来，在碰撞中产生智慧的火花，这样才能找出症结所在，让学生理解的更加到位。

2、教学中应注重学生思维多样性的培养。数学教学的探究过程中，对于问题的结果应是一个从“求异”逐步走向“求同”的过程，而不是在一开始就让学生沿着教师预先设定好方向去思考，这样感觉像是整个课堂仅在我的掌握之中，每个环节步步指导，层层点拔，惟恐有所纰漏，实际上却是控制了学生思维的发展。再加上我是急性子，看到学生一道题目要思考很久才能探究出答案，我就每次都忍不住在他们即将做出答案的时候将方法告诉他们。这样容易造成学生对老师的依赖，不利于学生独立思考和新方法的形成。其实我也忽视了，教学时相长的，学生的思维本身就是一个资源库，他们说不定就会想出出人意料的好方法来。

另外，这一节课对我的启发是很大的。教学过程不是单一的引导的过程，是一个双向交流的过程。在教学设计中，教师有一个主线，即课堂教学的教学目标，学生可以通过教师的教学设计的思路达到，也可以通过教师的引导，以他们自己的方式来达到，而且效果甚至会更好。因为只有“想学才学得好，只有用自己喜欢的方式学才学的好”。因此，本人通过这次教学体会到，教师在备课时，不仅要“备教材、备学生”，还要针对教学目标整理思路，考虑到课堂上师生的双向交流；在教学过程中，要留出“交流”的空间，让学生自由发挥，要真正给他们“做课堂主人”的机会。

无论是对学生还是教师，每一个教学活动的开展都是有收获的，尤其是作为“引导学生在知识海洋里畅游”的教师，一个教学活动的结束，也意味着新的挑战的开始„„

总之，这一堂公开课，让我既收获了经验，又接受了教训，我想这些都将会是我今后教学的一笔宝贵财富。

解决策略：

1、通过复习实际生活中的角度问题，使学生能利用已知条件构造直角三角形；

2、形成“以锐角三角比知识建立数学模型解决复杂实际问题”的方法结构；

3、学生体验数学与现实生活的紧密联系，获取应用数学知识和方法解决实际问题的经验。在教学过程的设计中，希望通过3道由易到难的、与实际生活相关的题目的展开讨论，培养学生通过构造“直角三角形”解决问题的意识。第一道是简单的解直角三角形，是希望通过简单的解直角三角形问题激活学生思维，为以下的教学活动做铺垫。接下来两道题目，我设计了相对比较复杂的条件，学生需要通过对复杂的已知条件的分析，构建出直角三角形，并通过知识的综合运用解决问题。还有课堂小结，教师希望通过学生的小结一方面归纳本课时的重点：通过构建直角三角形解决实际生活中的问题，另一方面培养学生自我总结归纳的能力。

《解直角三角形应用(一)》教学设计 篇2

笔者拜读文【1】受益匪浅, 但对其中的一些观点不敢苟同, 想与同行们探讨, 不当之处请赐教.

文【1】中写到“虽然图解法比较直观, 但实际上感到很抽象, 求解时可操作性不强”, 事实真的是这样吗?

无论是全日制普通高级中学教科书 (必修第一册下) (即老教材2003年版第131页) , 还是普通高中课程标准实验教科书 (必修5) (即新教材2007年版第8页到第9页) 都详尽地对这一问题给出了准确易懂的解法.下面我们再来看看这个问题:

已知三角形两边和其中一边所对应的角, 判断三角形解的个数.

之所以产生这一问题主要是由于运用正弦定理求解时得出的正弦值在 (0, π) 内可能有两解, 而在三角形中又受到大边对大角及内角和等于π的控制, 因此才可能出现两解、一解及无解等三种情况.其实问题的本质就是圆与不包括端点的射线的交点个数.

已知三角形的两边长分别为m, n, 且长为n的边所对的角为α, 判断这个三角形有几个解?

具体操作过程:作∠EOF=α, 且OE=m, 过点E作EG⊥OF, 则EG=msinα, 现以E为圆心, 半径为n作圆, 则有:

(1) 当n<msinα时, 该圆与射线OF (注意:不包括端点O) 没有交点, 故无解;

(2) 当n=msinα, 或者n≥m时, 该圆与射线OF (注意:不包括端点O) 只有一个交点, 故只有一解;

(3) 当msinα<n<m时, 该圆与射线OF (注意:不包括端点O) 必有两个交点, 故有两解.

以下就以文【1】中的三个原例作为例子来加以说明.

例1 在△ABC中, $A=\frac{\text{π}}{3}‚a=\sqrt{6}‚b=4$, 则满足条件的△ABC ( ) .

A.不存在 B.有一个 C.有两个 D.不确定

由图1易知选A.

例2 在△ABC中, 根据下列条件, 分别判断解的个数.

分析 (1) 由图2易得一解. (2) 由图3易得一解. (3) 由图4易得两解.

例3 在△ABC中, $a=x‚b=2‚B=\frac{\text{π}}{4}.(1)$若△ABC有两解, 求x的取值范围; (2) 若△ABC只有一解, 求x的取值范围.

分析 (1) 由图5易得$\frac{\sqrt{2}}{2}x<2<x$, 即$2<x<2\sqrt{2}.$

(2) 由图6易得2≥x或$2=\frac{\sqrt{2}}{2}x$, 即0<x≤2或$x=2\sqrt{2}.$

多么简洁!多么易于操作!据此, 笔者愚见在此类问题上还是用图解法 (即数形结合) 为好, 图解法不仅直观、具体、简单, 而且操作性很强.著名的数学家华罗庚曾这样富于哲理地说:“数形本是相倚依, 怎能分作两边飞.数缺形时少直觉, 形缺数时难入微.数形结合百般好, 隔离分家万事休.几何代数统一体, 永远联系莫分离.”

从本质上来说, 数学思维过程, 即解决数学问题过程就是不断地把文字语言、符号语言、图形语言等价切换.这正是新课改所倡导的精髓:让学生自己动手操作, 从中感受简洁美、享受数学美!

参考文献

解直角三角形的应用教学设计 篇3

根据新课标的指导思想，结合注重开放与生成，构造充满生命活力的课堂教学体系的思想。改变课堂过于注重知识传授的倾向，强调形成积极主动的学习态度，关注学生的学习兴趣和体验，让学生主动参与学习活动，并引导学生在课堂活动中感悟知识的生成、发展与变化。在教学过程中由学生主动去发现、去思考，留有足够的时间让他们去操作，体现以学生为主体的原则；而教师为主导，采用启发探索法、讲授法、讨论法相结合的教学方法。这样，使学生通过讨论、实践，形成深刻印象，对知识的掌握比较牢靠，对难点也比较容易突破，同时也培养了学生的数学能力。

二、教学分析

1.地位与作用

解直角三角形的知识，可以被广泛地应用于测量、工程技术和物理中，主要是用来计算距离、高度和角度。教科书中的应用题，内容比较广泛，具有综合技术教育价值，解决这类问题需要进行运算，但三角中的运算和逻辑思维是密不可分的；为了便于运算，常需要先选择公式并进行变换，同时，解直角三角形的应用题和课题学习也有利于培养学生空间想象的能力，即要求学生通过对实物的观察，或根据文字语言中的某些条件画出适合它们的图形，总之，解三角形的应用题与课后学习可以培养学生的三大数学能力和分析解决问题的能力。

本章内容属于三角学，中学数学把三角学内容分成两部分，第一部分归入义务教育初中阶段，就是本章的解直角三角形。这主要是因为解直角三角形的知识有较多的应用，它的基础仅仅是锐角三角函数，这在学生学过相似三角形后不难接受。后一部分是三角内容的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和三角方程，将归入义务教育后的高中阶段。前一部分是后一部分的必要基础，只有学好锐角三角函数和直角三角形的解法，才能继续学习三角函数和斜三角形的解法。

同时，解直角三角形还有利于数形结合。通过这一章的学习，学生才能对直角三角形的概念有较为完整的认识。另外，有些简单的几何图形可分解为一些直角三角形的组合，从而也能用本章的知识加以处理。以后学生学习斜三角形的余弦定理、正弦定理和任意三角形的面积公式时，也要用到解直角三角形的知识。本节内容在这起到承上启下的作用。承上使学生对锐角三角形函数有更深的理解，更好地掌握。启下，通过对本节的学习为高中的知识打下基础。所以说，本节课的教学有着不可忽视的地位。

2.学情分析

学生在小学就接触过直角三角形，前几节已经学习了锐角三角函数，所以这节课内容学生可以接受。本节的学习使学生初步掌握解直角三角形的方法，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。同时让学生通过观察、思考、操作，体验转化过程，真正学会用数学知识解决实际的问题。

3.教学方式和教学手段

从学生最熟悉的实际生活创设问题情境，采用“引导—探究—解决—扩展”的教学方式，从学生活动出发，结合实物和多媒体教学，强调实用性。

4.技术准备

多媒体，三角板，半圆仪。

三、目标分析

学会用数学问题来解决实际问题，既是我们教学的目的，也是我们教学的归宿。本部分安排三节课，本节是第一节。根据课标的要求，要尽量把解直角三角形与实际问题联系，减少单纯解三角形的习题。在实际问题中，要使学生养成“先画图，再求解”的习惯，还要引导学生合理地选择所要用的边角关系。

1.知识目标：会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题。

2.能力目标：培养学生把实际问题转化为数学问题并进行解决的能力，进而提高学生的形象思维能力，渗透转化的思想。

3.情感目标：培养学生理论联系实际，敢于实践，勇于探索的精神。

重点：实际问题与数学问题之间的转化。

难点：如何把实际问题转化为数学问题。

四、教学过程

（一）创设情境，导入新课

在天安门广场的升旗仪式上，当嘹亮的中华人民共和国国歌响起，鲜艳的五星红旗高高飘扬的时候，心情激动的同时，你可曾想过，升起的国旗有多高呢？你能测量和计算它的高度吗？通过这节课的学习，我们又掌握了一种测量国旗高度的方法……

（教学意图：数学的教学要紧密联系生活实际，而学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的。呈现给学生现实生活实际的问题是为了激发学生主动探索的热情与兴趣，让学生有探索、解决问题的欲望。）

（二）新知导学

1.仰角和俯角的概念

我们站在低层的看台上，仰望升到顶端的国旗，视线在水平线的上方，这时视线与水平线所成的夹角，我们称为仰角（如图）。

站在高层的看台上，俯视升到顶端的国旗，视线在水平线的下方，这时视线与水平线所成的夹角，称为俯角（如图1）。

学生：通过看电脑展示结合图形理解仰角、俯角的概念。

老师：板书仰角和俯角的图形定义。

问题1：如图4，学生甲站在第1层看台的地面上，仰望升到顶端的国旗，已知他的双眼距地面1.5米，他的双脚距旗杆底部18米，看国旗的仰角为29°，你会利用这些条件计算国旗的高度吗？（结果精确到0.1米）如果这名学生继续往看台的上方走呢？

问题2：如图5，学生甲站在某一高层看台的地面上，俯视升到顶端的国旗，已知他的双眼距台阶1.5米，现在他的双脚距地面16米，距旗杆底部的水平距离为34米，看国旗的俯角为10°，你会利用这些条件计算国旗的高度吗？（结果精确到0.1米）

学生：根据所给图形，分析并列出式子。

1.5+18tan29°≈11.5（米）

问题3：学生甲站在看台的某层台阶上，请问：需要测量或补充哪些数据，才能计算出国旗的高度？

问题4：现在为了美观，旗杆AB下面摆设一些盆栽作装饰，即不能直接测量出人的双脚到旗杆底部B点的距离，当人站在C点时，测得旗杆顶A的仰角是16°，向旗杆的方向前进18米，在D处测得旗杆顶A的仰角为30°，求国旗的高度AB为多少米？（结果保留到0.1米）

1.5+16-34×tan10°≈11.5（米）

应用概念直接解题已知一个锐角和一个边和两个边的直角三角形的直角三角形都可解。加深问题的研究，扩展学生的思路，培养学生分析问题解决问题的能力，归纳总结出在直角三角形中已知一边和一个锐角，已知两边这样的直角三角形都是可解的。

（三）总结

解直角三角形的关键是找到与已知、未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构筑直角三角形；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角关系。

（四）巩固练习

如图8，山脚下有一棵小树AB，小强从点B沿山坡向上走了50米到达点D，用高为1.5米的测角仪CD测得树顶的仰角为10°，已知山坡坡角为15°，求树AB的高（结果保留到0.1米）

解：设AG=x，在Rt△AFG中，FG=AG/tan∠AFG=x/tan30°=x

Rt△AEG中，tan∠AEG=x/（x+18）x≈10.3

AB=AG+GB≈10.3+1.5=11.8m

板书设计：基础知识：

例3

例4

五、教学反馈，评价分析

本课设计中先安排一个引例，激发学生的兴趣，再设计有梯度的例题，让学生体验由实际问题转化为数学问题的过程。注重学生的思维过程，站在学生的角度思考问题，才能知道学生的问题出在哪里，这样不仅能让学生体验学习的乐趣，培养学生解决问题的能力。在活动的过程中，学生确实体验到数学在日常生活中无处不在，也让学生感悟到数学是有用的。在探索与交流中，让学生互问互检。注意学生的相互评价的作用，整节课学生都保持着较高的学习热情。

解直角三角形的应用教案 篇4

教学目标：1.使学生能运用解直角三角形模型，将斜三角形问题转化为解直角三角形。

2.通过对比练习，使学生体会到用斜三角形构造直角三角形，要构造为可解(含特殊角)的直角三角形。及方程思想的运用。

教学重点：

将斜三角形问题转化为解直角三角形和实际问题转化为数学模型。

教学难点：

将斜三角形问题转化为解直角三角形及方程思想的运用 教学过程：

一、让学生回忆解直角三角形的依据和哪两种情形？

依据：1.边的关系（勾股定理）2.锐角的关系（互余）3.边角关系（锐角三角函数关系式）情形有：1.已知两边，2，已知一边一锐角，二、练习直接解直角三角形

试一试：如图，在RtΔABC中，已知∠C=90°，(1)若AC=3,AB=5,求 sinA ；（已知两边）

A

(2)若AC=3, ∠A=60°,求BC；（已知一条直角边和一个锐角）

C

(3)若AB=5，∠A=60°,求BC.（已知斜边和一个锐角）

三、解斜三角形

变式：1）如图1，在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AC=4，求AB。2）图2 中，∠B=135°，∠C=30°，AC=4，求AB。

BA

BB

图1

CC图2

A

四、用解斜三角形解决实际问题

典型中考题赏析：

将实际问题化为解斜三角形

例：（2013遂宁）如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，船B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少?（结果保留根号）

方程思想的渗透

变式训练：如果将上题中“C在B的北偏东15°方向”改为“C在B的北偏东30°方向”,其它条件不变，你能解吗？

小结：解决与斜三角形有关的实际问题

北450AC北300B的方东

法是构造可解的直角三角形（1）形内构造（2）形外构造

练习：如图，海岛A四周45海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60˚，航行18海里到C，见岛A在北偏西45˚，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？

解直角三角形教学反思 篇5

第二，本节课的设计，力求体现新课程理念。给学生自主探索的时间，给学生宽松和谐的氛围，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养探索能力、创新精神、合作精神，激发学生学习数学的积极性、主动性。

第三，教师应该是课堂教学的`组织者、引导者、合作者、服务者。在学生选择解直角三角形的诸多方法的过程中，并没有过多地干预学生的思维，而是通过问题引导学生自己想办法解决问题，指导学生比较各种方法中选择了一种最好解法进行板演。

通过本节课的教学实践，发现一些需要反思和改进的地方。比如，在探讨解直角三角形的依据时，处理不当过于仓促，应该让学生从理论上理解其中的原理；再如，在探索解直角三角形需要具备的条件时，预设问题过于简单化，忽视了知识生成过程，如果放手让学生自己去想，可能效果更好；又如，课堂总结时，总是忽视了学生在没有体验与感受，直接把现成的小结讲给学生听，真是拔苗助长的做法。在今后的教学中，要关注学生知识再发现和生成过程。

总而言之，本节课体现新课标的教学理念，对新课标下的新课堂的丰富内涵进行积极的探索与有益的尝试。把数学课都上成数学活动课，是学生讨论交流的平台，同时注意渗透德育，是学生发现创造展示自我的舞台！

解三角形的教学反思 篇6

三角形中的几何计算的主要内容是利用正弦定理和余弦定理解斜三角形，是对正、余弦定理的拓展和强化，可看作前两节课的习题课。本节课的重点是运用正弦定理和余弦定理处理三角形中的计算问题，难点是如何在理解题意的基础上将实际问题数学化。在求解问题时，首先要确定与未知量之间相关联的量，把所求的问题转化为由已知条件可直接求解的量上来。为了突出重点，突破难点，结合学生的学习情况，我是从这几方面体现的：

我在这节课里所选择的例题就考常出现的三种题型：解三形、判断三角形形状及三角形面积，题目都是很有代表性的，并在学生练习过程中将例题变形让学生能观察到此类题的考点及易错点。这节课我试图根据新课标的精神去设计，去进行教学，试图以“问题”贯穿我的整个教学过程，努力改进自己的教学方法，让学生的接受式学习中融入问题解决的成份，企图把讲授式与活动式教学有机整合，希望在学生巩固基础知识的同时，能够发展学生的创新精神和实践能力，但我觉得自己还有如下几点做得还不够：①课堂容量中体来说比较适中，但由于学生的整体能力比较差，没有给出一定的时间让同学们进行讨论，把老师自己认为难的，学生不易懂得直接让优等生进行展示，学生缺乏对这几个题目事先认识，没有引起学生的共同参与，效果上有一定的折扣；②没有充分挖掘学生探索解题思路，对学生的解题思维只给出了点评，而没有引起学生对这一问题的深入研究，例如对于运用正弦定理求三角形的角的时候，出了给学生们常规方法外，还应给出老教材中关于三角形个数的方法，至少应介绍一下；③没有很好对学生的解题过程和方法进行点评，没起到“画龙点睛”的作用。④本来准备了一道练习题，但没能很好把握时间，而放弃了，说明了对这堂课准备不足，缺乏对学生很好的了解。

高中数学必修五《解三角形》第二节余弦定理教学反思

本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。

本课的教学应具有承上启下的目的。因此在教学设计时既要兼顾前后知识的联系，又要使学生明确本课学习的重点，将新旧知识逐渐地融为一体，构建比较完整的知识系统。所以在余弦定理的表现方式、结构特征上重加指导，只有当学生正确地理解了余弦定理的本质，才能更好地应用求解问题。本课教学设计力求在型（模型、类型），质（实质、本质），思（思维、思想方法）上达到教学效果。学生应用数学的意识不强，创造力不足、看待问题不深入，很大原因在于学生的知识系统不够完善。因此本课运用联系的观点，从多角度看待问题，在提出问题、思考分析问题、解决问题等多方面对学生进行示范引导，将旧知识与新知识进行重组拟合及提高，帮助学生建立自己的良好知识结构。

《几种常见的递推数列通项的求法》之教学反思

我在这几年的高中教学中，从每年各省的高考真题和模拟题中，发现“数列通项公式”求法在高中解题中占有很大的比重。求数列（特别是以递推关系式给出的数列）通项公式的确具有很强的技巧性，与我们所学的基本知识与技能、基本思想与方法有很大关系，因而在平日教与学的过程中，既要加强基本知识、、基本方法、基本技能和基本思想的学习，又要注意培养和提高数学素质与能力和创新精神。这就要求无论教师还是学生都必须提高课堂的教与学的效率，注意多加总结和反思，注意联想和对比分析，做到触类旁通，将一些看起来毫不起眼的基础性命题进行横向的拓宽与纵向的深入，通过弱化或强化条件与结论，揭示出它与某类问题的联系与区别并变更为出新的命题。这样无论从内容的发散，还是解题思维的深入，都能收到固本拓新之用，收到“秀枝一株，嫁接成林”之效，从而有利于形成和发展创新的思维。

与旧教材相比，现在高考对此类题型的考查难度有所降低。比如利用构造新数列求通项公式时一般会给出构造提示。2015年高考填空第16题就是对这种方法的考查，教学中要选择适合高考和学生实际的典型例题进行体会学习，掌握一般类型与方法。

数列求和的教学反思

这节课是高中数学必修5第二章数列的重要的内容之一，是在学习了等差、等比数列的前n项和的基础上，对一些非等差、等比数列的求和进行探讨。

内容是数列的求和是现阶段学习数列部分一项很重要的内容，在高考题中经常出现。等到高三复习时再讲还是在高一阶段就慢慢渗透给学生还是值得商榷的。我认为高中数学的学习应该是螺旋上升的，而不是直线型。在高一阶段学生能够掌握的知识是要渗透给学生，学生经历过的，形成一定的经验，到了高三复习阶段就能唤醒这些经验和记忆。关于数列的求和的方法有很多，常见的如倒序相加法、并项法、拆项法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法等。在本节课主要介绍了并项法和分组求和法，其目的是让学生先有一个经验，就是能够认识到一些非等差、等比数列都能转化为等差、等比数列后再分别求和。这样对后继学习裂项相消法、错位相减法做一些铺垫。

教学呈现方式的定位。这是很关键的环节，直接影响到本节课的成败。本节课设计上一个难点就是如何设计例题。不能求全而脱离学生实际，也不能一味搞成题海战术，因此结合本班学生的特点，选择设计的题目在难度和容量上较为侧重基础，以适应学生的认知水平，使学生在教学过程中能灵活应用，思维得到提高。

必修5《1.2 解三角形的应用》教学反思

根据教学内容的特点，这一课时的教学重点是结合实际，利用测量工具,解决生活中的测量问题，主要集中在距离和高度两个方面。在教学设计时，对教学的每一个环节都强调了学生的主体地位,无一不是由学生亲自参与，合作完成的，教师只是充当了指导者和合作伙伴的角色，形成了一个自由的、开放的课堂。这是一堂探究课，因此在进行教学设计时，我尽可能设置情境让学生更多的参与，而不是简单的教师提出问题，学生解答问题。首先，教材中的问题做了改变：测量距离,结合四川地震的灾后重建工作,及增加了学生的学习兴趣，又激发了了身为未来建设者的使命感，以及爱国热情；测量高度,从测量操场上的旗杆高度到迪拜的七星级酒店的高度,题目设计由易到难.课堂上学生分组讨论，直接参与方案的探寻、数据的获取与分析、结论的得出全过程，“实践出真知”，在获得真实的过程体验同时，也掌握了解决测量问题的方法。

这样的课堂教学，学生非常乐于参与，自然有了积极主动的学习态度。通过对问题的解决，使每一个参与者都深深地感受到了数学应用的灵活性、开放性。数学的应用价值和美学价值在这一刻获得了清晰地体现。但是本节教学还是有不尽如人意的地方：①由于时间关系，个别问题讨论不够充分；②最后应留一点时间，让学生反思这堂课所学的知识，自己总结教学内容。

基本不等式教学反思

根据新课标的要求，本节的重点是应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程，难点是用基本不等式求最值。本节课是基本不等式的第一课时。

在新课讲解方面，我仔细研读教材，发现本节课主要是让学生明白如何用基本不等式求最值。如何用好基本不等式，需要学生理解六字方针：一正二定三等。这是比较抽象的内容。尤其是“定”的相关变化比较灵活，不可能在一节课解决。因为我把这部分内容放到第二节课。本节课主要让学生掌握“正”“等”的意义。

我设计从例一入手，第一小题就能说明“积定和最小”，第二小题说明“和定积最大”。通过这道例题的讲解，让学生理解“一正二定三等”。然后再利用这六字方针就最值。这是再讲解例二，让学生熟悉用基本不等式解题的步骤。然后让学生自己解题。

巩固练习中设计了判断题，让学生理解六字方针的内涵。还从“和定”、“积定”两方面设计了相关练习，让学生逐步熟悉基本不等式求最值的方法。

课堂实施的过程中以学生为主体。包括课前预习，例题放手让学生做，还有练习让学生上台板书等环节，都让学生主动思考，并在发现问题的过程中展示典型错误，及时纠错，达到良好的效果。

不足之处是：复习引入的例子过难，有点不太符合文科学生的实际。且复习时花的时间太多，重复问题过多，讲解琐碎；例题分析时不够深入，由于担心时间不够，有些问题总是欲言又止。练习题讲解时间匆促，没有解释透彻。

循环语句教学发思

在教学过程中，注意通过在书本原有程序的基础上逐渐改变和增加条件的方法来提高同学的综合编程能力。例如，同学们在学习FOR循环时，书本内给出了一段求前100项自然数和的程序。这段程序在同学们弄懂FOR循环之后，理解起来是并不困难的，为了提高同学们的编程能力，我要求同学们对原程序做如下几种变化：（1）求1～100中所有偶数的和

（2）计算并输出1-3+5-7+„„-99+101的值

（3）在程序运行过程中任意输入一个自然数n，计算n的阶乘n!（n!= 1 × 2 × 3 „„ × n），并将结果输出。要求同学们能够把以前所学的知识综合起来运用，对刚刚学习编程的同学来说这还是有一定难度的，但通过练习同学们的综合编程能力可以得到训练提高。

四、程序设计教学中可以有意识的在以下几个方面给予比较多的关注：（1）对于一些比较简单的程序要求同学们直接写出结果；（2）对于有循环或判断结构的程序，要求同学们根据条件一步步向前走，把循环过程写下来；（3）故意给出一些错误的程序，给同学们设计一些陷阱，让同学们自己去发现；（4）让同学们把书本中程序编写错了的地方改正过来。

线性回归教学反思

错误率高的一题

1．1例 下图提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）

与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据右表提供数据，求出y关于 x的线性回归方程为y=0.7x+0.35，那么表中t的值为（）.x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 4.5 A．3

B．3．15

C．3．5

D．4．5 本以为这道题目很简单。改完试卷后，发现这道题目的得分率很低。问题出在哪里？

从反馈的结果看：只有26%的学生理解并算出正确结果，这些学生不仅掌握了基本知识点能很好的转换题意，还能准确计算。直接代入求结果，犯这类错误的学生占到37%，是比例最大的。看到直线方程就直接代入求解，思维还停留在普通直线方程上，根本就没想这题到底是考什么。由于计算出错的同学占到14%，说明整体上的计算能力还是有待加强。畏惧、怕难不去做的占到10%。总的来说，畏惧放弃、计算能力弱、不解题意、靠直觉，是造成错误最主要的几个原因。这种结果跟实际教学有没有关系？回顾、反思教学，发现还是有很多不足。

本节教学中，可以有意识的让学生们来自学，培养理解能力。在讲一些题目时，不要怕耽误时间，要停下来让学生来读题目找已知、未知，分析考查目的。这样就不会出现了本文问题背景中所提的那么多错解。再如2011年广东高考理科卷第13题：

3．1例 某数学老师身高176cm，他爷爷，父亲，儿子的身高分别为173cm，170cm，182cm，因为儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高是____cm.概率教学反思

1、“统计与概率”的内容与现实生活联系密切，必须结合具体案例组织教学。

概率的教学，离开了具体案例寸步难行，要让学生在具体案例中体验概率有关问题的情景，在案例中发现问题、解决问题，亲身体验案例情景，以激发兴趣。

在实际教学中一方面要尽量创设情境，采用案例教学的基本方式展开教学，通过大量的具体案例来帮助学生理解；另一方面要设计一些活动，让学生经历统计的全过程，在学生合作学过程中，学生既要独立思考，自主探索，又要在解决实际问题中与别人合作、交流。

“解三角形”教学研究 篇7

学生在已有知识的基础上, 通过对任意三角形边长和角度关系的探索, 掌握正弦定理、余弦定理, 能解决一些简单的三角形度量问题;, 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.可以看出, 教学分三个目标:探索、掌握和应用.

二、教学过程及策略

1. 在具体教学过程中教师要深入理解、研究和挖掘教材中的信息资源, 通过改变、补充、重组教材内容, 合理开发应用教材.从学生熟知的生活情景出发, 选择学生身边感兴趣的事物, 使学生初步感受数学与日常生活的密切关系, 形成问题情境, 实现课题引入, 既体现课题方向又体现了知识的实用价值问题情境是这样设置的:如果我们只有测角仪和卷尺, 如何解决下面的问题?

如图1, 设A、B两点在河的两岸, 要测量两点之间的距离, 测量者在A的同侧, 在所在的河岸边选定一点C, 测出AC的距离是55 m, ∠BAC=51°, ∠ACB=75°.求A、B两点的距离 (精确到0.1 m) .

这样的问题学生既有新鲜感而背景材料又熟悉, 一定会引发学生的求知欲, 让学生尝试解题后, 就会引起学生的兴趣.

2. 在已有知识的基础上, 就是掌握相关的知识, 知识是有关联的, 任何新知识的学习都是建立在已有知识的基础上.为了让学生顺理成章地接受新知识, 就要预习相关知识, 做好新旧知识的衔接.解三角形要用到以下知识: (1) 三角形的性质; (2) 三角形内角和定理; (3) 锐角三角函数定义; (4) 诱导公式; (5) 两角和差公式; (6) 向量加减法的几何意义; (7) 向量的数量积; (8) 三角形面积公式; (9) 直角三角形射影定理等.

3. 注重提高学生的数学思维能力是新课标的基本理念, 新教材注重学生在观察发现、归纳类比、演绎证明等思维活动过程中, 掌握新知识、新方法.从教学内容上可以看出:正弦定理的推出, 是从直角三角形切入, 延伸到斜三角形, 再化归为直角三角形, 从而证明对任意的三角形成立.这种特殊到一般, 一般到特殊的探究, 就是数学的研究方法, 符合认知规律, 有助于学生对数学问题的思考和探究, 教学中要给予重要的关注.

4. 正弦定理和余弦定理的学习为研究三角形的性质、边角关系提供了边角关系的准确量化.完成教材上的证明方法后, 可以引导学生构造向量, 用向量法证明正弦定理.

过点A作单位向量, 由向量的加法可得, 则, 所以, 即, 所以csin A=asin C, 即.同理, 过点C作, 可得, 从而.

这种延伸非常有利于学生发散思维, 由于三角形涉及到边和角, 正好吻合向量的两个基本量.向量法证明要搞清一个问题, 为什么过点A作单位向量j⊥AAAC?一个技巧, 先构造一个等量关系AAAB=AAAC+CAAB, 再两端同乘j, 通过向量的运算得到恒等式.

5. 数学教学的根本目的是在学习知识的同时, 提高分析问题和解决问题的能力.例题中所渗透的数学思想是实现这一目标的主要途径.正弦定理、余弦定理给出了三角形中的边长与角度之间的数量关系, 要引导学生探究定理的结构形式和特点及P3例1、例2;P7例3、例4的条件及求解的方法, 适时提出正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题?余弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题?然后让学生总结归纳出:

正弦定理能解决的解三角形问题: (1) 已知两角和任一边, 求其他边或角; (2) 已知两边和一边的对角, 求其他边或角.

余弦定理能解决的解三角形问题: (1) 已知两边及夹角求第三边和其它两角; (2) 已知三边, 求各角.

引导学生研究例题、习题, 不但可以掌握知识的内涵和外延, 还能掌握知识的重、难点, 进行题型归类, 使学生做到心中有数.

6. 教材在探究与发现中, 对解三角形作了进一步的讨论, 研究了已知三角形的两边和一边的对角求其他边和角的解的个数问题.教材首先通过P8的一个例题, 引发学生思考:是正弦定理有误?还是计算出错?这时让学生按所给的条件画三角形, 就可知这样的三角形是不存在的.因此用正弦定理解出一个矛盾的结果也就不奇怪了.这就是说已知两边和一边的对角解三角形可能无解.那么会不会有两个解呢?让学生画图实验并思考, (也可用几何画板演示) .不难得出以下结论:

(1) 在直角三角形和钝角三角形中, 根据大角对大边的性质, 如果有解就只有一解.

(2) 在锐角三角形中, 如图2所示, 三条线段 (BC、DC、AC) 的长度决定了解的个数:

BCAC一解.

三、“解三角形”旨在解决实际应用问题中的距离和角度问题

习题的主要作用是为了巩固基本知识, 掌握基本技能, 提高解决问题的能力, 学生通过“做数学”来真正领会知识的内涵, 明确概念的外延, 这是培养解题能力、抽象概括能力的重要手段.仔细研究习题, 不难发现, 教材要求学生必须具备三个基本能力:

1. 会根据边角条件解三角形、判断解的个数;

2. 会用正、余弦定理判断三角形的形状;

3. 会用经纬仪、卷尺等测量角和距离的工具, 结合实际问题搜集数据进行测量, 体会数学的应用价值.

应该让学生认真研读教材中的这一段话:“同学们在学习时可以考虑, 题中问什么要给出这些已知条件, 而不是其他条件?应该注意到, 例题及习题中的一组已知条件, 常隐含着对于这类测量问题在某一种特定情境和条件限制下的一个测量方案.在这种情境与条件限制下, 别的方案中的量可能无法测量出来, 因而不能实施别的测量方案.”让学生明白, 在实际测量中合理收集数据的重要性, 使知识得到再一次升华.

解直角三角形不可忽视的问题 篇8

一、 忽视正弦、余弦的有界性

例1 计算 - cos40°+.

【错解】原式=-cos40°+sin50°-1

=sin50°-sin50°-

=-.

【分析】应注意锐角三角函数的取值范围，即：

00. 且在0<α<45°内，cosα>sinα；在45°<α<90°内，cosα

【正解】原式=cos40°-+1-sin50°

=sin50°-sin50°+

=.

二、 函数值与边长大小无关

例2 在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大100倍，那么锐角A的正弦值（ ）.

A. 扩大100倍

B. 缩小为原来的

C. 没有变化

D. 不能确定

【错解】A.

【分析】误认为锐角的三角函数值随着各边长扩大100倍，其也扩大100倍. 实际上，锐角A的三角函数值只与它的度数有关，与其所在的直角三角形的大小无关，即只要锐角A的度数确定，其三角函数值也随之确定.

【正解】C.

三、 概念理解不清

例3 如图1，甲在60米高的大楼上A点看地面C点的乙的俯角为30°，则乙到大楼的距离CB为______米.

【错解】∵从A点看地面C点的乙的俯角为30°，

∴∠CAB=30°，

∴CB=ABtan30°=20（米），即乙到大楼的距离CB为20米.

【分析】在上面的解题过程中，由于对俯角的概念不清楚，错将俯角认为是∠CAB，而实际上俯角的定义是视线和水平线的夹角，即∠DAC=30°，故正确答案是60米.

四、 勾股数的误用

例4 在直角三角形中，∠B=90°，a=3，b=4，求边长c的值.

【错解】由勾股定理得，c===5.

∴c=5.

【分析】在上面的解题过程中，习惯于3，4，5是一组勾股数，c=5前提是在∠C=90°的直角三角形中，而本题∠B=90°，∴b是斜边，故正确答案是c==.

五、 忽视双直角三角形

例5 已知在△ABC中，∠A=30°，AB=40，BC=25，则S△ABC=______.

【错解】如图2，过点B作AC的延长线的垂线，垂足为D，

∵∠A=30°，AB=40，

∴BD=20，AD=20，

又BC=25，∴CD=15，∴AC=20-15，

∴S△ABC=×20-15×20=200-150.

【分析】因为已知条件是“角、边、边”，根据学过的全等三角形的知识，我们知道，只具备“角、边、边”不能确定一个三角形，也就是说还有另一个三角形，即如图3的情况.

易知此时S△ABC=200+150，

正确答案为S△ABC=200±150.

解直角三角形复习反思 篇9

这节课的基本结构为：基础知识回顾――习题讲解――练习应用三个环节。

1、基础知识回顾，共费时16分钟，所涉及的知识都是简单的记忆性知识，没有难度，通过对知识体系的复习，使学生们在心中对本章有一个整体的认识。能灵活的运用本章的知识来解决实际问题，也使学生对所学的知识有比较系统的掌握和理解。

2、对历年中考试题进行来精讲，因为根据对学生作业的了解，发现很多学生对解直角三角形的步骤和思路不清晰，步骤繁嗦，思路混乱，因此，我就将帮助学生分析解题的思路，和书写的严谨精炼作为本节复习课的重点来突破。我对这两道题进行一题多解的方法来进行讲解，给他们提供了三、四种不同的解法，让学生们在对这些方法进行比较的同时，总结出自己最擅长的方法，同时多吸收不同的方法为我所用。另外我将学生们普遍采用的比较多的那种方法的书写步骤进行了规范的板书，给学生一个清晰的认识，然后让他们进行订正，这两道题讲解完之后本节课正好结束。

3、通过对本节课的两道题的掌握，我发现第二天的作业质量明显的比第一天上升了一个台阶，所以我感觉复习课其实并不是拿着习题来讲解，而是要多发现学生的不足和弱势的地方，进行有重点的强调和补充，让学生们在复习的过程中不是单纯的会做题，而是会总结每一类题的做题方法和技巧，怎么能快速而准确的得到这道题的结果，同时会总结出不同的数学模型，看到哪一道题，就能迅速的想到用哪一种解题的方法来突破，这道题属于数学哪种模型，这样对训练学生的思维能力有很大的帮助。同时复习侧重于总结和提升，我们要把握准中考的动向和出题的切入点，以点带面，让学生的思维能力在深度和广度上都有质的飞跃才行，我们要善于从一道典型的例题中进行一题多解，或者是深入的横向和纵向的剖析，只有这样，我们的学生才能在大量的习题中跳出来，才能不被数学所吓倒，而是摸清数学的脾气，才能让数学在我们的手中变得不再刁蛮，才能慢慢的在解题中有游刃有余的快乐。

4、本节课不足的地方是我准备的一道练习题没有让学生来独立的完成，或许是前边讲解的比较多吧，不过我认为能让学生真正将陌生的知识学好，学扎实，即使少做一道题，也会是收获很多的。

《解直角三角形应用(一)》教学设计 篇10

教学目的：

1会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；

2搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系；

3理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等； 4通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力 教学重点：实际问题向数学问题的转化及解斜三角形的方法 教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定 授课类型：新授课 课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪 教学方法：启发式

在教学中引导学生分析题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，并启发学生在解三角形时正确选用正、余弦定理 教学过程：

一、复习引入： 1．正弦定理：abc2R sinAsinBsinC222b2c2a22．余弦定理：abc2bccosA,cosA

2bcc2a2b2 bca2cacosB,cosB2ca222a2b2c2 cab2abcosC，cosC

2ab2223．解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用

二、讲解范例：

例1 自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计顶杆BC的长度已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B支点A之间的距离为1．95ｍ，AB与水平线之间的夹角为20′，AC长为1．40ｍ，计算BC的长(保留三个有效数字)分析：求油泵顶杆BC的长度也就是在△ABC内，求边长BC的问题，而根据已知条件，AC＝1．40ｍ，AB＝1．95 ｍ，∠BAC＝60°＋6°20′＝66°20′相当于已知△ABC的两边和它们的夹角，所以求解BC可根据余弦定理解：由余弦定理，得

BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA

“解三角形”单元测试 篇11

1.（A）在△ABC中，若a2＝b2＋c2＋3bc，则A的度数为.

2.（A）在△ABC中，已知cosAa＝cosBb＝cosCc，则∠A等于.

3.（A）在△ABC中，若acosA＝bcosB，则△ABC是.（填序号）

①等腰三角形;②直角三角形;③等腰直角三角形;④等腰三角形或直角三角形.

4.（B）在△ABC中，若cb＝cosCcosB，则此三角形为.

①直角三角形；②等腰三角形；③等腰直角三角形；④正三角形.

第5题图

5.（B）如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，

AB＝120m，则河的宽度为.

6.（B）在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC＝7∶8∶13，则此三角形中最大内角的度数是.

7.（B）在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则AB•BC的值为.

8.（B）已知锐角三角形边长分别为2，3，x，则x的取值范围是.

9.（C）在△ABC中，∠A＝60°，b＝1，面积为3，则

a+b+csinA+sinB+sinC＝.

10.（C）在△ABC中，若∠B＝30°，AB＝23，AC＝2，则△ABC的面积为.

11.（C）给出下列四个命题：①若sin2A＝sin2B，则△ABC是等腰三角形；②若sinA＝cosB，则△ABC是直角三角形；③若a2－b2－c2＞0，则△ABC是钝角三角形；④若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)＝1，则△ABC是等边三角形.

以上正确命题的序号是.

12.（C）若△ABC中，∠C＝60°，a＋b＝1，则此三角形的面积S△ABC的取值范围是.

二、解答题

13.（A）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2-23x+2=0的两个根，且2cos(A＋B)＝1，求：

（1）角C的度数；

（2）线段AB的长度；

（3）△ABC的面积.

14.（B）在△ABC中，lga-lgc=lg（sinB）=-lg2，且B为锐角，试判断此三角形的形状.

第15题图

15.（C）如图，半圆O的半径为1，A为直径延长线上一点，OA＝2.B为半圆上任意一点（端点除外），

以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，设∠AOB＝α，将四边形OACB的面积表示为α的函数，并判定四边形OACB面积是否存在最大值与最小值?若存在，求出具体值；若不存在，说明理由.

《解直角三角形应用(一)》教学设计 篇12

一、知识点讲解：

1．解直角三角形的依据

在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么

（1）三边之间的关系为

（勾股定理）

（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90°

（3）边角之间的关系为

2．其他有关公式

面积公式：

3．解直角三角形的条件

（hc为c边上的高）

在除直角C外的五个元素中，只要已知其中两个元素（至少有一个是边）就可以求出其余三个元素。

4．解直角三角形的关键是正确选择关系式

在直角三角形中，锐角三角函数是勾通三角形边角关系的结合部，只要题目中已知加未知的三个元素中有边，有角，则一定使用锐角三角函数，应如何从三角函数的八个公式中迅速而准确地优选出所需要的公式呢？

（1）若求边：一般用未知边比已知边，去寻找已知角的某三角函数

（2）若求角：一般用已知边比已知边（斜边放在分母），去寻找未知角的某三角函数。

（3）在优选公式时，尽量利用已知数据，避免“一错再错”和“累积误差”。

5．解直角三角形时需要注意的几个问题

（1）在解直角三角形时，是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长度或角的大小，这是数形结合为一种形式，所以在分析问题时，一般先根据已知条件画出它的平面或截面示意图，按照图中边角之间的关系去进行计算，这样可以帮助思考，防止出错。

（2）有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形，从而把它们转化为直角三角形的问题来解决。

（3）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算

二、例题解析：

例

1、已知直角三角形的斜边与一条直角边的和是16cm，另一条直角边为8cm，求它的面积，解：设斜边为c，一条直角边为a，另一条直角边b=8cm，由勾股定理可得 由题意，有c+a=16，b=8，例

2、在△ABC中，解：

求：a、b、c的值及∠A。，由直角三角形的边角关系，得，即 又∵a+b=3+

例

3、已知△ABC中，∠C=90°，若△ABC的周长为30，它的面积等于30，求三边长。

解：设△ABC的三边分别为a、b、c，其中c是斜边。

由勾股定理，有

①

依题意，有a+b+c=30

②

及 ab=30

③

①、②、③联立，有

例

4、如图：△ABC中，∠ACB=90°CD⊥AB于D点，若∠A=60°，AB-CD=13，求BC及

解：∵∠ACB=90°，∠A=60°，∵CD⊥AB，设CD=x，则BC=2x

∴AB=13+x。

∴∠B=30°，∴BC=2CD。

∵AB-CD=13。

在△ABC中，∠ACB=90°，∴

∴ ∴BC=6+8

∴AB=16+4

∵∠B=30°，∴

例

5、如图：△ABC中，∠A=90°，D是AB上一点，若BD=8，且，求AC的长。

解：在△ABC中，∠A=90°，设AB=12x，BC=13x。，又

由勾股定理，有

∴AC=5x ∵AD=AB-BD ∴AD=12x-8

即

在△ADC中，∠A=90°，又，求三边的长。例

6、已知△ABC中，∠BAC=60°，AB∶AC=5∶2且

解：过C点作CD⊥AB于D点。

∴∠ADC=90°。

∵∠A=60°，∴∠ACD=30°。∵AB∶AC=5∶2，设AB=5x，AC=2x ∵AD=

由勾股定理，有

AC，∴AD=x

由勾股定理，有

∴BC=2

答：AB=10，AC=4，BC=2。

测试

选择题

A组：

1．已知在直角三角形中，锐角α的邻边是m，则斜边等于（）

A、B、C、D、2．RtΔABC中，AD是斜边BC上的高，若BC=a，∠B=α，则AD=（）

A、asinα

B、acosα

C、asinαcosα

D、asinαtanα

223．已知：CD是RtΔABC斜边AB上的高，CD=12，sinB= ,则AB的长为（）

A、15 B、16 C、20 D、25

4．已知RtΔABC中，∠C=90°，tanA=

A、480 B、120 C、60，ΔABC周长为120，则ΔABC的面积为（）

D、120

5．ΔABC中，∠A=105°，∠C=45°，AB=20

A、15,20

B、20, 10

C、20, 10

B组： +10

D、15, 10，则AC，BC分别为（）

6．在等腰ΔABC中，一腰上的高为（），这条高与底边的夹角为30°，则ΔABC的面积为

A、B、2

C、D、3

7．已知一直角三角形的面积为50 积为（），斜边长为20，则这个直角三角形两锐角的正弦之

A、B、C、D、8．直角三角形ΔABC的周长为2+

A、4 B、4，斜边上的中线CD长为1，求tanA+tanB的值（）

C、6 D、6

考题评析

1．(吉林省)在Rt△ABC中，若∠C＝90，∠A＝30，AC=3，则BC=__________

考点：解直角三角形。

0

0

评析思路，因三角形ABC是含30°角的直角三角形，根据三边关系a∶b∶c=1∶ 或边与角的关系利用30的正切都可以求出BC。答案为

00

∶2,2．（辽宁省）在△ABC中，∠C＝90，AC=3，AB＝5，则cosB＝_______。

考点：解直角三角形

评析思路：根据条件先求出BC（运用勾股定理）则 得求。答案为

3．(广州市）在△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB=_______

（A）

（B）

考点：解直角三角形

（C）

（D）

评析：由cosA= sinA=，设AC=3x，AB=5x，ÐC=90°，由勾股定理求BC的长。再求tanB，或由

及tanB=tan(90°－A)=cotA求出。答案为C。，和cotA=

4．（北京市海淀区）已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，∠BDC=45，DC＝6，求AB的长。

考点：解直角三角形

评析：首先弄清直角三角形中边角的关系。因D在AC上且

0，所以BC=DC=6而SinA=，所以AB得求。

解：在△BCD中，∠C=90°，∵∠BDC=45°，∴∠DBC=∠BDC=45°

∴DC=CB.∵DC=6，∴CB=6.在△ABC中，∠C=90°，∵sinA=

∴AB的长为15.=，∴AB= =15.5．（四川省）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，D是AC的中点，那么tan∠DBC的值是

.考点：解直角三角形。

评析：在Rt△ABC中，求出 的值，从而求得 的值，由正切函数定义获知此值即为答案，答案为

26．（四川省）若关于x的一元二次方程x-3(m+1)x+m-9m+20=0有两个实数根，又已知a、b、c分别是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边，∠C=90°，且cosB=，b-a=3.是否存在整数m，使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt△ABC的斜边c的平方？若存在，请求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∵cosB=，∴设a=3k，c=5k，则由勾股定理，有b=4k.∵b-a=3，即4k-3k=3，∴k=3.∴a=9，b=12，c=15.一元二次方程x-3(m+1)x+m-9m+20=0的两个实数根为x1、x2，则有

x1+x2=3(m+1)，x1x2=m-9m+20.∴x1+x2=(x1+x2)-2x1x2=[3(m+1)]-2(m-9m+20)

=7m+36m-31 由x1+x2=c，c=15，有7m+36m-31=225，即7m+36m-256=0.2

222

(7m+64)(m-4)=0，∴m1=4，m2=-

.时，不是整数，应舍去.∵当m=4时，△=(-15)-4(4-9×4+20)=225>0；当m=-

∴存在整数m=4，使方程两个实数根的平方和等于Rt△ABC的斜边c的平方.答案与解析

答案：A组：1.D 2.C 3.D 4.A 5.C B组：6.A 7.C 8.A

4、提示：设a=5k, b=12k, ∴c=13k, ∴a+b+c=5k+12k+13k=30k=120，k=4, ∴ a=20, b=48, ∴ SΔABC=

5、提示：作AD⊥BC于D，∠C=45，BD=10，ab=

0

×20×48=480.0

∠BAC=105∴∠B=30°，AB=20，则AD=10

∵∠C=45°，∴ AC= ·AD=20，CD=AD=10 +10

。，∴BC=BD+CD=10

6、如图，BD⊥AC，∠DBC=30°，∴∠C=60°，AB=AC，∴ΔABC是等边三角形，∵BC= = =2，∴ AC=BC=2，∴三角形的积为： ×2=

27、依题意：设直角三角形三边为a,b,c，∴ ab=50 , ∴ab=100 , ∵c=20，∴ sinA·sinB= · = = =。

8、如图，RtΔABC中，∠ACB=90°，CD是斜边中线，则AB=2，设

2∠A、∠B、∠C所对的边分别为a,b,c，由周长是2+，得a+b=.又∵a+b=4, 2ab=(a+b)-(a+b)=6-4=2, ∴ ab=1, ∴tanA+tanB= 222

解三角形专项题型及高考题 篇13

两种途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；

(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．

例1.在中，a,b,c 分别表示三个内角A,B,C的对边，如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，判断三角形的形状．

例2.在△ABC中，已知atanBbtanA，试判断此三角形的形状。

【同类型强化】1.在ABC中,若acosAbcosB,试判断ABC的形状

2BC【同类型强化】2.（2010上海文数）若ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC5:11:13，则A

（）

A．一定是锐角三角形.B．一定是直角三角形.C．一定是钝角三角形.D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

【同类型强化】3．△ABC中，2sinAcosB=sinC，则此三角形的形状是（）

(A)等腰△(B)等腰或者直角△(C)等腰直角△(D)直角△

题型2：利用正余弦定理求三角形的面积

三角形一般由三个条件确定，比如已知三边a，b，c，或两边a，b及夹角C，可以将a，b，c或a，b，C作为解三角形的基本要素，根据已知条件，通过正弦定理、余弦定理、面积公式等利用解方程组等手段进行求解，必要时可考虑作辅助线，将所给条件置于同一三角形中．

例3．在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足

(1)

求△ABC的面积；(2)若c＝1，求a的值．

例4.(2010·辽宁营口检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足

3sin A－cos A＝0，cos B＝，b＝23.5(1)求sin C的值；(2)求△ABC的面积．

例5.(2009·安徽)在△ABC中，sin(C－A)＝1，sin B＝(1)求sin A的值；(2)设AC＝

【同类型强化】1.在△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别是a、b、c，边c

tanAtanBtanA

tanB3△

ABC

1.3ABC的面积．

7，且

2，求ab的值．

【同类型强化】2.在锐角三角形中，边a、b是方

程x220的两根，角A、B满足2sin

AB，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积． 0

【同类型强化】3.（2009湖北卷文）（本小题满分12分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且3a2csinA(Ⅰ)确定角C的大小（Ⅱ）若c＝,且△ABC的面积为＋b的值。

【同类型强化】4.（2009浙江理）（本题满分14分）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，3

3,求a

且满足cos值．

A，ABAC3．（I）求ABC的面积；（II）若bc6，求a的

2【同类型强化】5.（2009北京理）（本小题共13分）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,B

，cosA,b（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求ABC的面积.题型3：与三角函数结合的综合问题

三角函数作为联系代数与几何问题的纽带和桥梁，往往出现在综合题中——解三角形就是这样一种常见而又典型的问题，在三角形的三角变换中，正、余弦定理是解题的基础． 例6.△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tan C＝

sin(B－A)＝cos C.(1)求A，C；(2)若S△ABC＝3＋，求a，c.【同类型强化】(2009·山东卷)已知函数f(x)＝2sin xcos2＋cos xsin －sin x(0＜＜π)在x＝π处

取最小值．(1)求的值；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．已知a＝1，b＝，f(A)＝

C.3题型4：实际问题

例7.(2009·福建厦门调研)在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A3－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2n mile的C处的缉私船奉命以103n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10n mile/h的速度从B处向北偏东 30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？

例8.要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边选取相距1003 米的C、D两地，并测得∠ADC=30°∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45°，A、B、C、D四点在同一平面上，求A、B两地的距离。

【同类型强化】2.某海轮以30海里∕时的速度航行，在A点测得海平面上油井P在南偏东60，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30，海轮改为东偏北60在航行80分钟到达C点，求P、C间的距离。

解三角形【2011高考题再现】

cosA-2cosC2c-a

=

cosBb． 1.（山东理17）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sinC

1（I）求sinA的值；II）若cosB=4，b=2，ABC的面积S。

2.（江苏15）在△ABC中，角A、B、C所对应的边为a,b,c

sin(A

（1）若



6)2cosA,cosA,b3c求A的值；（2）若，求sinC的值.1a1.b2.cosC.3.设ABC的内角A、B、C、所对的边分别为a、b、c，已知

（Ⅰ）求ABC的周长（Ⅱ）求

4.（湖南理17）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC．

cosAC的值



（Ⅰ）求角C的大小；

（B+4）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。

5.（全国大纲理17）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知A-C=90°，求C．

6.（陕西理18）叙述并证明余弦定理。

7.（浙江理18）在ABC中，角A.B.C所对的边分别为a,b,c．已知

sinAsinCpsinBpR,且

15acb2p,b

14．4（Ⅰ）当时，求a,c的值；（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围；

（ab）c24，且C=60°，则ab1.（重庆理6）若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足

42的值为A．3B．8C． 1D．3

2.（四川理6）在ABC中．sinAsinBsinCsinBsinC．则A的取值范围是



A．（0，6]



D．[ 3，）

B．[ 6，）C．（0，3]

3.（全国新课标理16）ABC中，B60,AC，则AB+2BC的最大值为_________． 4.（福建理14）如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于______。

5.（北京理9）在ABC中。若b=5，B



高考中解三角形的题型与解法例析 篇14

解三角形是在原有的三角函数和三角恒等变换的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，用数量关系对三角形进行进一步的研究，主要内容是揭示三角形边角关系的正弦定理、余弦定理以及正、余弦定理在测量和几何计算中的应用，是高考命题的一个热点内容．

在高考试题中出现有关解三角形方面的试题大多数为容易题、中档题，主要考查正、余弦定理及其应用、三角恒等变形的能力、运算能力及转化思想的应用能力．本文选用2010年全国各地高考试卷为研究材料，归纳出解三角形的考查题型与解法．

一、 正、余弦定理及其应用

利用正、余弦定理可以解决四类三角形问题：（1） 已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2） 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；（3） 已知三边，求三个角；（4） 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．即已知一个三角形三个角三条边中的任意三个条件（其中至少有一边），就可以解这个三角形．在解三角形时，常常将正、余弦定理结合在一起使用，要注意恰当的选取定理，简化运算过程，提高计算速度，同时注意与平面几何中的有关性质、定理相结合．

（1） 边角的求解问题

在边角求解时一般要注意几解的问题，一般用正、余弦定理或结合三角形内角和定理、大边对大角等性质来判断几解问题．在求角的大小时一定要注意两个条件：① 角的范围；② 角的某一个三角函数的值．在由三角函数值来判断角的大小时，一定要注意角的范围及三角函数的单调性．

例1 （2010江苏卷）在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，ba+ab=6cosC，则tanCtanA+tanCtanB= ．

解析：本题考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想，一题多解．

解：（法一）ba+ab=6cosC6abcosC=a2+b2，6ab•a2+b2-c22ab=a2+b2，a2+b2=3c22，

tanCtanA+tanCtanB=sinCcosC•cosBsinA+sinBcosAsinAsinB=sinCcosC•sin(A+B)sinAsinB=1cosC•sin2CsinAsinB=2aba2+b2-c2•c2cb=2c2a2+b2-c2=4.

（法二） 考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性．

当A=B或a=b时满足题意，如图：取a=b=1则cosC=13，则tanC=22

由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=43，则AB=c=233=2AD，则tanA=tanB=CDAD=2，tanCtanA+tanCtanB= 4．

（2） 判断三角形的形状问题

判断三角形的形状时应围绕三角形的边角关系进行思考，解题思路主要从边和角两方面入手，将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系或边边关系（化边为角、化角为边），要注意转化的等价性，再用三角变换或代数式的恒等关系变形求解，同时要注意三角形中的一些隐含条件．

例2 （2010辽宁文数）在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且2asinA=（2a+c）sinB+(2c+b)sinC．

（1） 求A的大小；

（2） 若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状．

解析：本题考查解三角形中的正、余弦定理在边角方面的转化应用．

解：（1）由已知，根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c，即a2=b2+c2+bc，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，故cosA=-12，又0＜A＜π，∴ A=120°．

（2） 由（1）得：sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC，又sinB+sinC=1，得sinB=sinC=12，∵ 0＜B＜π2，0＜C＜π2，∴ B=C，∴ △ABC是等腰的钝角三角形．

（3） 求与面积有关的问题

通过三角形的常用面积公式，选择恰当的面积公式可以建立边角关系式，结合其他一些条件，运用正、余弦定理以及三角形的性质、三角恒等变换来解决这类问题．

例3 （2010浙江文数）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足S=34（a2+b2-c2）．

（1） 求角C的大小；

（2） 求sinA+sinB的最大值．

解析：本题考查正、余弦定理、三角面积公式、三角恒等变换等基础知识，同时考查三角运算求解能力．

解：（1） 由题意 S=34（a2+b2-c2）=34•2abcosC=12absinC，

∴ tanC=3，

∵ 0＜C＜π，∴ C=π3.

（2） sinA+sinB=sinA+sin2π3-A=sinA+32cosA+12sinA=3sinA+π6

∵0＜A＜2π3，∴ A=π3时sinA+sinB的最大值为3

二、 解三角形在实际中的应用

解三角形的方法在度量工件、测量距离和高度及工程建筑等生产实际、有关向量的计算、物理学中都有广泛的应用．近年的高考题中，以解三角形为背景的应用题又开始成为命题的热点，可以说这是还原三角学的本质了．

解三角形应用题的一般步骤：

（1） 审清题意

分析题意、准确理解题意，分清已知与所求，尤其理解应用题中的有关名词、术语，如：视角、仰角、俯角、方向角、方位角、象限角、坡度等，并能准确地找出这些角．

（2） 建立数学模型

① 根据题意画出图形或示意图；

② 将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，建立数学模型．

（3） 解决数学模型

合理运用正弦定理、余弦定理、三角公式以及平面几何中的性质正确求解．

（4） 回归实际问题

检验解出的答案是否具有实际意义，作出应用题的答案．

例4 （2010江苏卷）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．

（1） 该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；

（2） 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α-β最大？

解析：本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及基本不等式的应用，考查数学建摸能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力．

解：（1） HAD=tanβAD=Htanβ，同理：AB=Htanα，BD=htanβ．

AD—AB=DB，故得Htanβ-Htanα=htanβ，解得： H=htanαtanβ-tanα=4×124124-120=124．

因此，算出的电视塔的高度H是124m．

（2） 由题设知d=AB，得tanα=Hd，tanβ=HAD=hDB=H-hd，tan（α-β）=tanα-tanβ1+tanα•tanβ=Hd-H-hd1+Hd•H-hd=hdd2+H（H-h）=hd+H(H-h)dd+H（H-h）d≥2H（H-h），（当且仅当d=H(H-h)=125×121=555时，取等号）

故当d=555时， tan（α-β）最大．