解三角形知识点总结

2024-07-04

解三角形知识点总结（通用15篇）

解三角形知识点总结篇1

解直角三角形知识点总结

【知识梳理】

1.解直角三角形的依据(1)角的关系:两个锐角互余;(2)边的关系:勾股定理;(3)边角关系:锐角三角函数

2.解直角三角形的基本类型及解法：(1)已知斜边和一个锐角解直角三角形;(2)已知一条直角边和一个锐角解直角三角形;(3)已知两边解直角三角形.

3.解直角三角形的应用：关键是把实际问题转化为数学问题来解决

【课前预习】

1、在Rt△ABC中，∠C=90°，根据已知量，填出下列表中的未知量：

a b c ∠A ∠B

6 30°

10 45°

2、所示，在△ABC中，∠A=30°，，AC= ，则AB= .

变式：若已知AB，如何求AC?

3、在离大楼15m的地面上看大楼顶部仰角65°，则大楼高约 m.

(精确到1m， )

4、铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为1：，顶宽为3米，路基高为4米，

则坡角= °，腰AD= ,路基的下底CD= .

5、王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地 m.

【解题指导】

例1 在Rt△ ABC中，∠C=90°，AD=2AC=2BD，且DE⊥AB.

(1)求tanB;(2)若DE=1，求CE的长.

例2 34-4所示，某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼的一楼是高6m的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面15m处要盖一栋高20m的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时.

(1)问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么?

(2)若新楼的影子刚好部落在居民楼上，则两楼应相距多少米?

(结果保留整数，参考数据： )

例3某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中，34-6所示，测得树底部中心A到斜坡底C的水平距离为8.8m.在阳光下某一时刻测得1m的标杆影长为0.8m，树影落在斜坡上的部分CD=3.2m.已知斜坡CD的坡比，求树高AB.(结果保留整数，参考数据 )

例4 一副直角三角板放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长.

【巩固练习】

1、某坡面的坡度为1: ，则坡角是_______度.

2、已知一斜坡的坡度为1:4，水平距离为20m，则该斜坡的垂直高度为 .

3、河堤的横断面1所示，堤高BC是5m，迎水斜坡AB长13m，那么斜坡AB的坡度等于 .

4、菱形在平面直角坐标系中的位置2所示, ,则点的坐标为 .

5、先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为 .

6、一巡逻艇航行至海面处时,得知其正北方向上处一渔船发生故障.已知港口处在处的北偏西方向上,距处20海里; 处在A处的北偏东方向上,求之间的距离(结果精确到0.1海里)

【课后作业】

一、必做题：

1、4,已知△ABC中,AB=5cm,BC=12cm,AC=13cm,那么AC边上的中线BD的长为 cm.

2、某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米,此时他与水平地面的垂直距离为米,则这个坡面的坡度为__________.

3、已知5,在△ABC中,∠A=30°,tanB= ,BC= ,则AB的长为__ ___.

4、6,将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△ ，使点与C重合，连结，则的值为 .

5、7所示，在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km到达B地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西30°方向，则A、C两地的距离为( )

(A) (B) (C) (D)

6、8，小明要测量河内岛B到河边公路l的距离，在A测得，在C测得，米，则岛B到公路l的距离为( )米.

(A)25 (B) (C) (D)

7、9所示，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西10°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距( ).

(A)30海里 (B)40海里 (C)50海里 (D)60海里

8、是一水库大坝横断面的一部分，坝高h=6m，迎水斜坡AB=10m，斜坡的坡角为α，则tanα的值为( )

(A) (B) (C) (D)

9、11，A，B是公路l(l为东西走向)两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC=1km，B村到公路l的距离BD=2km，B村在A村的南偏东45°方向上.

(1)求出A，B两村之间的距离;

(2)为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置(保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法).

10、是一个半圆形桥洞截面示意图,圆心为O,直径AB是河底线,弦CD是水位线,CD∥AB,且CD = 24 m,OE⊥CD于点E.已测得sin∠DOE = .(1)求半径OD;(2)根据需要,水面要以每小时0.5 m的速度下降,则经过多长时间才能将水排干?

11、所示，A、B两城市相距100km. 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上. 已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内. 请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区?为什么?(参考数据：， )

12、，斜坡AC的坡度(坡比)为1: ，AC=10米.坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB=14米.试求旗杆BC的高度.

二、选做题：

13、,某货船以每小时20海里的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处,经过16小时的航行到达.此时,接到气象部门的通知,一台风中心正以40海里每小时的速度由A向北偏西60o方向移动,距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响.⑴ B处是否会受到台风的影响?请说明理由.⑵ 为避免受到台风的影响，该船应在到达后多少小时内卸完货物?

14、所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.

(1)当∠B=30°时，连接AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长;

(2)若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值;

(3)若tan∠BPD= ，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.

解三角形知识点总结篇2

一、平面向量与三角恒等变换

此类问题是以平面向量为背景进行三角恒等变形, 如二倍角公式、两角和与差公式的使用, 求具体的两个向量的数量积。

例1.已知向量的夹角是80°, 则的值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

解析:

本题利用数量积的定义并建立成为三角求值问题, 是一种常见的题型。

二、平面向量与三角函数整合求向量模的最值

将平面向量的坐标形式用三角函数值表示, 求有关向量的线性式的模的问题, 常常用然后化成有关参变量的函数形式, 再利用恰当的数学思想方法求最值。

例2.已知向量向量与向量的夹角为135°, 且 (1) 求向量; (2) 设向量向量的取值范围。

解析: (1) 令可得

(2) 由

本题以平面向量为背景, 研究三角函数的取值范围问题, 主要是利用模建立关于变量的函数式, 再利用三角函数的有界性求出模的取值范围。

三、平面向量与三角函数的图象整合求值

利用平面向量的数量积建立有关三角函数式, 已知一个三角函数的值, 利用两角和与差的三角公式再求另一个三角函数式的值, 并研究最值、周期、图象变换、对称等, 解决这类问题, 往往需要三角函数恒等变换。

例3.已知向量

(1) 若求cos4x的值;

(2) 设△ABC的三边a、b、c满足b2=ac, 且边b所对的角为x, 若关于x的方程:有且仅有一个实根, 求实数m的值.

解析: (1) 因为

(2) 因为b2=ac, 在△ABC中, 由余弦定理得:

又因为余弦函数在 (0, π) 上是减函数, 所以

令在同一坐标系中作出两个函数的图象如上图所示, 可知:m=1或

本题是关于向量、三角、不等式等知识的一道综合题.运用三角函数的图象数形结合来解简单的三角方程是一种常用的解题手段.

四、平面向量与解三角形整合

平面向量与三角形整合的试题, 主要考查三角恒等变换, 研究角间关系, 推断三角形的形状等。

例4在△ABC中, a、b、c分别为角A、B、C的对边, 已知

(1) 求角C;

(2) 若△ABC的面积求a+b的值;

(3) 求的最小值.

解析: (1) 依题意:

(2) 且

又

(3) ∵C=120°∴A+B=60°, B=60°-A.

∴当且仅当2A+30°=90°, 即A=30°时, 有最小值为2姨3.

相似三角形的知识点总结篇3

对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形

比值与比的概念

比值是一个具体的数字如：AB/EF=2

而比不是一个具体的数字如：AB/EF=2：1判定方法

证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。

方法一(预备定理)

全等三角形知识点总结及复习篇4

（2）大小相等的图形；

即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；

(3)有公共边的，公共边一定是对应边；

(4)有公共角的，角一定是对应角；

(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角；

2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；

（2）全等三角形对应角相等；

3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

（1）已知条件中有两角对应相等，可找：

①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS)（2）已知条件中有两边对应相等，可找 ①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找 ①任一组角相等(AAS 或 ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)（三）经典例题例1.已知：如图所示，AB=AC，求证：.例2.如图所示，已知：AF=AE，AC=AD，CF与DE交于点B。求证：。

例3.如图所示，AC=BD，AB=DC，求证：。

例4.如图所示，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，且求证：BD=CE。

例5：已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD、CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180°。

求证：AE=AD+BE 分析：从上面例题，可以看出，有时为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截长补短”的添加辅助线，本题是否仍可考虑这样“截长补短”的方法呢？由于AC是角平分线，所以在AE上截AF=AD，连结FC，可证出DADC≌DAFC，问题就可以得到解决。

证明（一）：

在AE上截取AF=AD，连结FC。

在DAFC和DADC中 ∴DAFC≌DADC（边角边）∴∠AFC=∠D（全等三角形对应角相等）∵∠B+∠D=180°（已知）∴∠B=∠EFC（等角的补角相等）在DCEB和DCEF中 ∴DCEB≌DCEF（角角边）∴BE=EF ∵AE=AF+EF ∴AE=AD+BE（等量代换）证明（二）：

在线段EA上截EF=BE，连结FC（如右图）。

小结：在几何证明过程中，如果现成的三角形不可以证明，则需要我们选出所需要的三角形，这就需要我们恰到好处的添加辅助线。

（四）全等三角形复习练习题一、选择题 1．如图，给出下列四组条件：

①；

②；

③；

④．其中，能使的条件共有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 2.如图，分别为的，边的中点，将此三角形沿折叠，使点落在边上的点处．若，则等于（）3.如图（四），点是上任意一点，还应补充一个条件，才能推出．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出的是（）A． B． C． D． C A D P B 图（四）A． B． C ． D． 1题图 2题图 4.如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是()(A)∠B=∠E,BC=EF（B）BC=EF，AC=DF(C)∠A=∠D，∠B=∠E（D）∠A=∠D，BC=EF 5．如图，△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若AC = 10cm，则△DBE的周长等于()A．10cm B．8cm C．6cm D．9cm 6．如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）Ａ．1处Ｂ．2处Ｃ．3处Ｄ．4处 ④ ① ② ③ 6题图 4题图 5题图 7．某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②③去 8．如图，在中，是的垂直平分线，交于点，交于点．已知，则的度数为（）A． B． C． D． 9．如图，=30°，则的度数为（）A．20° B．30° C．35° D．40° 10．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C A B 1题图C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB A D C E B 8题图 7题图 8题图 10题图 11．尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（）A．SAS B．ASA C．AASD．SSS 12.如图, ∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为()A.5cm B.3cm C.2cm D.不能确定 13．如图，OP平分，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A． B．平分 C． D．垂直平分 14.如图，已知那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（）A．　 B． C． D． O D P C A B A B C D 14题图 O 13题图 B A P 11题图 12题图二、填空题 1.如图，已知，要使 ≌，可补充的条件是（写出一个即可）_______________． 2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=5cm,则△DEB的周长为 ________ 3.如图，请你添加一个条件：

，使（只添一个即可）． 4.如图，在ΔABC中，∠C=90°∠ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，则点D到直线AB的距离是__________厘米。

D O C B AB A C E B D 1题图 2题图 3题图 4题图 5.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有个． 6.已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝________度.7如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；

②PQ∥AE；

③AP=BQ；

④DE=DP；

⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有_______________________（把你认为正确的序号都填上）。

8.如图所示，AB = AD，∠1 = ∠2，添加一个适当的条件，使△ABC ≌ △ADE，则需要添加的条件是________.O A B C D E 6题图 7 题图 8 题图 A B D E C 三、解答题 1.如图，已知AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE.2.如图，在中，分别以为边作两个等腰直角三角形和，使．（1）求的度数；

（2）求证：． 3.如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC, BC、DE交于点O.求证：(1)△ABC≌△AED；

(2)OB＝OE.E D C B A 4.如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由． 5.如图，在△ABC和△DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M． B C A D M N（1）求证：△ABC≌△DCB ；

（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段 BN与CN的数量关系，并证明你的结论． 6.如图，四边形的对角线与相交于点，．求证：（1）；

D C B A O 1 2 3 4（2）． 7．如图，在和中，现给出如下三个论断：①；

②；

③．请选择其中两个论断为条件，另一个论断为结论，构造一个命题． 2 1 ＡＣＤＢ（1）写出所有的真命题（写成“”形式，用序号表示）：

．（2）请选择一个真命题加以证明．　你选择的真命题是：．证明：

8.已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB＝DC，BE＝CF，∠B＝∠C．求证：OA＝OD． 9．如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE． B D C F A　郜 E 10.如图，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明． 11．已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，（1）求证：△AED≌△EBC．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：

12．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；

若不成立请说明理由． 13已知：如图A、D、C、B在同一直线上，AC=BD，AE=BF，CE=DF 求证：（1）DF∥CE（2）DE=CF A D F E C E B 14.如图，已知在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两条边上的高，在BE上截取BD = AC，在CF的延长线上截取CG = AB，连结AD、AG，则AG与AD有何关系？试证明你的结论 15.如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB=AC．求证：AD平分∠BAC． 16.如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB． 17.如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB =∠DBC = 90º，E是BC的中点，EF⊥AB，垂足为F，且AB = DE．１8.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接EF，EF与AD交于G，AD与EG垂直吗？证明你的结论。

19．如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O．试说明AE+CD=AC．．如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O．试说明AE+CD=AC． 20.如图，已知E是正方形ABCD的边CD 的中点，点F在BC上，且∠DAE=∠FAE.求证：AF=AD+CF。

A B F C E D １４．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,AE是过点A的一条直线，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于E,(1)当直线AE处于如图①的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由；

（2）当直线AE处于如图②的位置时，则BD,DE,CE的关系如何？请说明理由；

（3）归纳（1）（2），请用简洁的语言表达BD,DE,CE之间的关系。

高中数学三角函数知识点总结篇5

sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

tant=B/A

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B降幂公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

灵活运用公式解三角形问题篇6

解关于三角形问题是高考考查中的一个热点, 需要灵活运用正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式、三角公式和三角函数的性质来解决问题。

例1:在△ABC中, 假若sin2A+sin2B

解:由正弦定理, ∴代入已知条件中, ∴a2+b2

例2:在△ABC中, B=60°, , 则AB+2BC最大值为 () 。

解:设AC=b, BC=a, AB=c, 由正弦定理, 即a=2sinA, c=2sinC, 又∵sin C=sin[180°- (A+B) ]=sin (A+B) , ∴c=2sin (A+60°) =2 (sinAcos60°+cos Asin60°) , 即, 即AB+2BC的最大值是.分析:用正弦定理把所求边的关系转化为角的关系, 注意△ABC中A+B+C=180°这个隐含条件, 从而运用, 求出最大值为.

例3:已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边, . (1) 求A. (2) 若a=2, △ABC的面积为, 求b、c.

解: (1) 由正弦定理, ∴a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC代入已知条件, ∴, 即, 又∵A+B+C=180°, ∴sinB=sin[180°- (A+C) ]=sina (A+C) , 即, 又∵sin (A+C) =sinAcosC+cosAsinC, sinC≠0, 化简得, ∴, ∴, 即, 即.

(2) 由三角形的面积公式S=21bcsinA, ∴, 即bc=4, ∵a=2, 再由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA, ∴, 即, ∴ (b+c) 2-2bc=8, (b+c) 2=16, 即b+c=4, 解得b=c=2.

总之, 在解三角形时, 要交叉运用好正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式将边化为角或将角化为边的关系。

老师教案12 解三角形篇7

一、课前检测

1.在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A．b10，A45，C70

B．a60，c48，B60

C．a7，b5，A80

D．a14，b16，A4

52.在△ABC中，已知B30，b503，c150，那么这个三角形一定是 _________三角形。答案：等腰或直角三角形

|3.在ABC中，已知|AB||AC2且,ABAC1,则这个三角形的BC边的长为．答案：6

二、知识梳理

1．角与角关系：A+B+C = π，由A＝π－（B＋C）可得：

1）sinA＝sin（B＋C），cosA＝－cos（B＋C）． 2）A22BC2．有：sinA2cosBC2，cosA2sinBC2．

解读：

2．正弦定理

①a:b:csinA:sinB:sinC；

②a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC； ③asinAbsinBcsinCabcsinAsinBsinC；

④a:b:csinA:sinB:sinC。

解读：

3．射影定理：

a＝b·cosC＋c·cosB，b＝a·cosC＋c·cosA，c＝a·cosB＋c·cosA．

解读：

三、典型例题分析

例1．在△ABC中，若acosBbcosA，则这个三角形是__________ 三角形答案：等腰三角形

变式训练

在△ABC中，若答案：等边三角形

小结与拓展：

例2．a:b:c1:3:2，求A，B，C

acosAbcosBccosC，则这个三角形是__________ 三角形

答案：A=30°，B=60°，C=90°

变式训练： a:b:c2:6:(31)，求A，B，C

答案：A=45°，B=60°，C=75°

小结与拓展：

例3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c求角A，C，边a及三角形的面积答案：A=30°，C=30°，SABC322，b6，B120。

a8，b6，变式训练：在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且SABC123，求c

答案：c=8或c=237

小结与拓展：

四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）

1.知识：

2.思想与方法：

3.易错点：

解三角形练习题及答案篇8

解三角形是恶魔学习数学的时候需要学到的，一起看看下面的解三角形练习题及答案吧!

解三角形练习题及答案

1.有关正弦定理的叙述：

①正弦定理仅适用于锐角三角形;②正弦定理不适用于直角三角形;③正弦定理仅适用于钝角三角形;④在给定三角形中，各边与它的对角的`正弦的比为定值;⑤在△ABC中，sinAsinBsinC=abc.

其中正确的个数是( )

A.1 B.2

C.3 D.4

解析 ①②③不正确，④⑤正确.

答案 B

2.在△ABC中，若A=60°，B=45°，BC=32，则AC=( )

A.43 B.23

C.3 D.32

解析由正弦定理，得ACsinB=BCsinA，即AC=BCsinBsinA=32×sin45°sin60°=23.

答案 B

3.在△ABC中，已知b=2，c=1，B=45°，则a等于( )

A.6-22 B.6+22

C.2+1 D.3-2

解析由正弦定理，得sinC=csinBb=sin45°2=12，又b>c，

∴C=30°，从而A=180°-(B+C)=105°，∴a=bsinAsinB，得a=6+22.

答案 B

4.在△ABC中，已知3b=23asinB，cosB=cosC，则△ABC的形状是( )

A.直角三角形 B.等腰三角形

C.等边三角形 D.等腰直角三角形

解析利用正弦定理及第一个等式，可得sinA=32，A=π3，或2π3，但由第二个等式及B与C的范围，知B=C，故△ABC必为等腰三角形.

答案 B

5.在△ABC中，若3a=2bsinA，则B等于( )

A.30° B.60°

C.30°或150° D.60°或120°

解析 ∵3a=2bsinA，

∴3sinA=2sinBsinA.

∵sinA≠0，∴sinB=32，

又0°

答案 D

6.在△ABC中，已知a：b：c=4：3：5，则2sinA-sinBsinC=________.

解析设a=4k，b=3k，c=5k(k>0)，由正弦定理，得

2sinA-sinBsinC=2×4k-3k5k=1.

答案 1

7.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A=105°，B=45°，b=22，则边c=________.

解析由A+B+C=180°，知C=30°，

由csinC=bsinB，得c=bsinCsinB=22×1222=2.

答案 2

8.在△ABC中，若tanA=13，C=150°，BC=1，则AB=________.

解析 ∵tanA=13，∴sinA=110 .

在△ABC中，ABsinC=BCsinA，

∴AB=BCsinAsinC=10×12=102.

答案 102

9.在△ABC中，若A：B：C=1：2：3，则abc=________.

解析由A+B+C=180°及A：B：C=1:2:3，知A=180°×16=30°，B=180°×26=60°，C=180°×36=90°.

∴a：b：c=sin30°：sin60°：sin90°=12：32：1=1：3：2.

答案 1：3：2

10.如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2.

(1)求cos∠CBE的值;

(2)求AE.

解 (1)∵∠BCD=90°+60°=150°，CB=AC=CD，

∴∠CBE=15°.

∴cos∠CBE=cos15°=cos(45°-30°)=6+24.

(2)在△ABE中，AB=2，

由正弦定理，得

AEsin45°-15°=2sin90°+15°，

故AE=2sin30°sin75°=2×126+24=6-2.

11.△ABC三边各不相等，角A，B，C的对边分别为a，b，c且acosA=bcosB，求a+bc的取值范围.

解 ∵acosA=bcosB，∴sinAcosA=sinBcosB，

∴sin2A=sin2B.

∵2A,2B∈(0,2π)，∴2A=2B，或2A+2B=π，

∴A=B，或A+B=π2.

如果A=B，那么a=b不合题意，∴A+B=π2.

∴a+bc=sinA+sinBsinC=sinA+sinB=sinA+cosA

=2sinA+π4.

∵a≠b，C=π2，∴A∈0，π2，且A≠π4，

∴a+bc∈(1，2).

12.在△ABC中，sin(C-A)=1，sinB=13.

(1)求sinA;

(2)设AC=6，求△ABC的面积.

解 (1)∵sin(C-A)=1，-π

∴C-A=π2.

∵A+B+C=π，∴A+B+A+π2=π，

∴B=π2-2A，∴sinB=sinπ2-2A=cos2A=13.

∴1-2sin2A=13.

∴sin2A=13，∴sinA=33.

(2)由(1)知，A为锐角，∴cosA=63，

sinC=sinπ2+A=cosA=63，

由正弦定理得AB=ACsinCsinB=66313=6.

一道高考解三角形题的简析篇9

本题在知识上主要考查解三角形中正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式及三角的恒等变形, 在方法上主要考查转化与化归的思想, 在能力上主要考查学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.

一、第一问解题思路分析及解法

思路一:由已知条件和正弦定理进行边化角, 转化为三角函数的变形和化简问题解决.

思路二:由已知条件和余弦定理进行角化边, 转化为边的关系式化简, 再应用正弦定理即可解决问题.

思路三:把已知条件化积 (cosA-2cosC) b= (2c-a) cosB, 整理为bcosA+acosB=2 (bcosA+ccosB) , 再由△ABC的射影公式c=bcosA+acosB和a=bcosC+ccosB, 转化为边的关系式, 最后应用正弦定理即可解决问题.

思路四:由已知条件和正弦定理进行边化角, 转化为 (cosA-2cosC) sinB= (2sinC-sinA) cosB, 再利用A+B+C=π把B消去, 最后进行三角函数的变形和化简.

二、第二问解题思路分析及解法

思路一:由已知条件和余弦定理, 求出a与c的值, 再由同角三角函数的关系求出sinB, 代入三角形的面积公式即可.

思路二:由已知条件和射影公式, 求出a与c的值, 代入求三角形面积的海伦公式即可.

思路三:由射影公式、正弦定理和同角三角函数关系, 求出a与c的值, 代入三角形的面积公式即可.

思路四:由正、余弦定理得, 再结合cosBcosB=和, 求出sinA、sinC、a, 进而确4定三角形的面积.222

巧构等腰三角形妙解三角问题篇10

巧构等腰三角形妙解三角问题

等腰三角形,看似简单平常,实则魅力无穷.许多三角问题与等腰三角形密切相关,解题中若能根据题意恰当构造,则可使一些三角问题别开生面地得以解决,更给人一种形象直观、流畅清晰、解法优美之感.

作者：马伟开作者单位：江苏省阜宁县明达中学,224400刊名：数学通报 PKU英文刊名：BULLETIN DES SCIENCES MATHEMATICS年，卷(期)：48(10)分类号：O1关键词：

解直角三角形教学反思篇11

第二，本节课的设计，力求体现新课程理念。给学生自主探索的时间，给学生宽松和谐的氛围，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养探索能力、创新精神、合作精神，激发学生学习数学的积极性、主动性。

第三，教师是课堂教学的组织者、引导者、合作者、帮助者。在学生选择解直角三角形的诸多方法的过程中，我并没有过多地干预学生的思维，而是通过问题引导学生自己想办法解决问题，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，而后选择了一种解法进行板演。

通过本节课的实践，我觉得也存在一些需要自己深刻反思和改进的地方。比如，在探讨解直角三角形的依据时，处理的有些过于仓促，应该让学生从理论上深刻地理解其中的数学原理；再如，在探索解直角三角形需要具备的条件与三角形全等的判定的内在联系时，问题的指向性太明确，过多地关注问题的预设而忽视了即时的生成，如果放手让学生自己去想，可能效果更好；又如，课堂总结时，总想把现成的规律性结论用学生喜欢的形式告知他们，但忽视了学生在没有亲身体验与感受的情况下，老师的努力将大打折扣。在今后的教学中，我将更多地关注学生的发展与提升。

总之，本节课教学力争体现新课标的教学理念，对新课标下的新课堂的丰富内涵进行积极的探索与有益的尝试。着力做到新课堂是数学活动的场所，是讨论交流的学堂，是渗透德育的基地，是学生发现创造展示自我的舞台！

如何运用正切方法解斜三角形问题篇12

我们在解决一个多三角形的复杂图形问题时,不要眼睛只盯着目标三角形.试想,我们是不是可以将思维发散一点,通过其他三角形或利用几个三角形之间的关系来达到我们的目的呢?

【例1】如图1,已知正方形ABCD边长为1,在BC、CD上各有一点M 、N.如果 △CMN的周长为2.求∠MAN的大小.

解析:很多学生第一眼就是盯住 △AMN,想利用余弦定理变形公式求出角的余弦值,从而求角.其实我们可以设∠MAB=α,∠NAD=β,这样由Rt△ABM和Rt△ADN两直角边易知,利用正切可以求出tan(α+ β),再根据∠DAB是直角,从而间接求出∠MAN.

因为α、β都是锐角,所以α+β=45°,即∠MAN= 45°.

【例2】如图2,一幅1.4m高的画BC挂在墙上,它的底边高于观察者的眼睛A点1.8m,问观察者站在离墙多远的地方,看得最清楚?(即视角最大)

分析:对于本题,我们同样可以把目标∠BAC用∠CAH - ∠BAH表示出来.在锐角范围内,正切值与角成正比,且易知直角边,所以可利用正切表示.

其实,本题略作修改,我们还可以用同样的方法来解决此类问题.

变式:一幅2m高的画BC挂在墙上,它的底边高于观察者的眼睛A点2m,画与墙成37°的角.问观察者站在离墙多远的地方,看得最清楚?

解析:本题的解法和上题基本上是一样的.如图3,我们可以设∠CAO = α,∠BAH =β,若要∠BAC最大,只需tan∠BAC=tan (α-β)最大即可.

由题意知BC=2 m,BH =2 m,BM=1.2m,CM=1.6m.

当且仅当x≈1.854m时,即观察者离墙大约1.854 m时,视角最大,看得最清楚.

《解直角三角形》教学设计篇13

彬县公刘中学郭江平

一、教学内容分析

本课时的内容是解直角三角形，为了引起学生对教学内容的兴趣，所以在本课时的开头引入了一个实际问题，从而自然过度到直角三角形中，已知两个元素求其他元素的情境中.通过例题的讲解后引出什么是解直角三角形，从而了解解直角三角形的意义。通过讨论直角三角形的边与角之间的关系，到解直角三角形过程中，使学生能掌握解直角三角形的知识.以及在解直角三角形时，选择合适的工具解，即优选关系式.从而能提高分析问题和解决问题的能力.二、教学目标

1.知道解直角三角形的概念、理解直角三角形中五个元素的关系。

2.通过综合运用勾股定理，掌握解直角三角形，逐步形成分析问题、解决问题的能力.3．渗透数形结合的数学思想，养成良好的学习习惯．

三、教学重点及难点

教学重点：掌握利用直角三角形边角关系解直角三角形教学难点：锐角三角比在解直角三角形中的灵活运用

四、教学用具准备黑板、多媒体设备.五、教学过程设计

一、创设情景

引入新课：如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中倒下，树干断处离地面3米且树干与地面的夹角是30°。大树在折断之前高多少米？

由30°直角边等于斜边的一半就可得AB=6米。分析树高是AB+AC=9米。由勾股定理容易得出BC的长为3 米。当然对于特殊锐角的解题用几何定理比较简单，也可以用锐角三角函数来解此题。

注意:在解直角三角形的过程中,常会遇到近似计算,除特别说明外,边长保留四个有效数字.２.学习概念

定义：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.３．例题分析

例题2 在Rt△ABC中，∠C=90，c=7.34，a=5.28，解这个直角三角形.分析：本题如图，已知直角三角形的一条直角边和斜边，当然首先用勾股定理求第三边，怎样求锐角问题，要记住解决问题最好用原始数据求解，避免用间接数据求出误差较大的结论.（板书）解：

∵∠C=90，∴a＋b＝c ∴b= ∵sinA= ∴∠A 460′

∴∠B=90－∠A≈90－460′=440′.注意:在解直角三角形的过程中,常会遇到近似计算,除特别说明外,边长保留四个有效数字,角度精确到1′。

4、学会归纳

通过上述解题，思考对于一个直角三角形,除直角外的五个元素中,至少需要知道几个元素,才能求出其他元素？

想一想：如果知道两个锐角，能够全部求出其他元素吗？如果只知道五个元素中的一个元素,能够全部求出其他元素吗? 归纳结论：在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个元素.[说明] 我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了00

《解直角三角形的应用》说课稿篇14

一、教材分析

(一)教材地位

直角三角形是最简单、最基本的几何图形，在生活中随处可见，是研究其他图形的基础，在解决实际问题中也有着广泛的应用.《解直角三角形的应用》是第28章锐角三角函数的延续，渗透着数形结合思想、方程思想、转化思想。因此本课无论是在本章还是在整个初中数学教材中都具有重要的地位。

(二)教学目标

这节课，我说面对的是初三学生，从人的认知规律看，他们已经具有初步的探究能力和逻辑思维能力。但直角三角形的应用题型较多，他们对建立直角三角形模型上可能会有困难。针对上述学生情况，确定本节课的教学目标如下：

1.通过观察、交流等活动，会建立直角三角形模型。

2.经历解直角三角形中作高的过程，懂得解直角三角形的三种基本模型，进一步渗透数形结合思想、方程思想、转化(化归)思想，激发学生的学习兴趣.

(三)重点难点

1.重点：熟练运用有关三角函数知识.

2.难点：如何添作辅助线解决实际问题.

二、教法学法

1.教法：采用“研究体验式”创新教学法，这其实是“学程导航”模式下的一种教法，主要是教给学生一种学习方法，使他们学会自己主动探索知识并发现规律。

2.学法：主要是发挥学生的主观能动性。学生在课前做好预习作业，课堂上则要积极参与讨论，课后根据老师布置的课外作业进行巩固和迁移。

三、教学程序

(一)准备阶段

我主要的准备工作是备好课，在上课前一天布置学生做好预习作业。

预习作业：

1. 如图，Rt⊿ABC中，你知道∠A的哪几种锐角三角函数?能给出定义吗?

2. 填表：锐角α 三角函数

3. 已知：从热气球A看一栋高楼顶部的仰角α为300，看这栋高楼底部的俯角β为600，若热气球与高楼的.水平距离为 m，求这栋高楼有多高?

4. 如图：AB=200m，在A处测得点C在北偏西300的方向上，在 B处测得点C在北偏西600的方向上，你能求出C到AB的距离吗?

5. 如图：梯形ABCD中，BC∥AD,AB=13,且tan∠BAE= ,求BE的长。

(二)课堂教学过程

1.预习作业的交流

小组交流预习作业并由学生代表展示。

2.新知探究

(1)教师出示问题1、

如图：要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN。已知点C周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东450方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西600方向上。问：MN是否穿过原始森林保护区?为什么?

追问：你还能求出其他问题吗?若提不出问题，可给出问题：若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天?

(2)出示问题2、

如图，一艘轮船以每小时20千米的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西300方向，航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西600方向。当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，求此时轮船与灯塔C的距离(结果保留根号)。

追问：如果改变若干条件，你能设计出其他问题吗?

(3)出示问题3、

气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛(设为点O)的南偏东450方向的B点生成，测得OB= km，台风中心从B点以40km/h的速度向正北方向移动。经5h后到达海面上的点C处，因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km/h的速度向北偏西600方向继续移动。以O为原点建立如图所示的直角坐标系。

如：(1)台风中心生成点B的坐标为，台风中心转折点C的坐标为 (结果保留根号)。

(2)已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭。如果某城市(设为点A)位于O的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间?

3.巩固练习

飞机在高空中的A处测得地面C的俯角为450，水平飞行2km，再测其俯角为300，求飞机飞行的高度。(精确到0.1km，参考数据： 1.73)

4.课堂小结

请学生围绕下列问题进行反思总结：

(1)解直角三角形有哪些基本模型?

(2)本节课涉及到哪些数学思想?

(3)你觉得如何解直角三角形的实际问题?

5、布置作业

复习第29章《投影与视图》具体见试卷

6、课堂检测

1.如图，直升飞机在高为200米的大楼AB左侧P点处，测得大楼的顶部仰角为45°,测得大楼底部俯角为30°，求飞机与大楼之间的水平距离.

2. 如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .

3.如图所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD=2.5m，坝高4m，背水坡AB的坡度是1︰1，迎水坡CD的坡度1︰1.5，求坝底宽BC.

四、设计思路

构建合理模型解三角篇15

模型一、数列模型

【例1】已知: 2cosθ+sinθ=1, 求 $y = \frac{\cos θ - \sin θ}{\cos θ + \sin θ}$ 的值.

解:由 $2 \cos θ + \sin θ = 2 \times \frac{1}{2}$ , 可看作 $2 \cos θ ‚ \frac{1}{2} ‚ \sin θ$ 成等差数列, 故可说 $2 \cos θ = \frac{1}{2} - d, \sin θ = \frac{1}{2} + d$ , 其中d为公差.于是 $\cos θ = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} d .$

由cos2θ+sin2θ=1, 有 $(\frac{1}{4} - \frac{1}{2} d)^{2} + (\frac{1}{2} + d)^{2} = 1$ , 解得 $d = - \frac{11}{10}$ , 或

$\begin{array}{l} d = \frac{1}{2} . \\ y = \frac{\cos θ - \sin θ}{\cos θ + \sin θ} = \frac{\frac{1}{4} - \frac{1}{2} d - (\frac{1}{2} + d)}{\frac{1}{4} - \frac{1}{2} d + (\frac{1}{2} + d)} = \frac{- 1 - 6 d}{3 + 2 d} . \end{array}$

将 $d = - \frac{11}{10}$ , 或 $d = \frac{1}{2}$ 代入上式, 得 $y = \frac{\cos θ - \sin θ}{\cos θ + \sin θ} = 7$ 或-1.

模型二、向量模型

【例2】求cos5°+cos77°+cos149°+cos221°+cos293°的值.

解:观察角的变化, 前后相差72°, 正好是正五边形的一个内角, 因此作一个边长为1的正五边形A1A2A3A4A5 (如右图) , 且 $\vec{A_{1} A_{2}}$ 与x轴的夹角为5° , 则 $\vec{A_{1} A_{2}} = (\cos 5 °, \sin 5 °) ‚ \vec{A_{2} A_{3}} = (\cos 77 °, \sin 77 °) ‚ \vec{A_{3} A_{4}} = (\cos 149 °, \sin 149 °) ‚ \vec{A_{4} A_{5}} = (\cos 221 °, \sin 221 °) ‚ \vec{A_{5} A_{1}} = (\cos 293 °, \sin 293 °) .$

由 $\vec{A_{1} A_{2}} + \vec{A_{2} A_{3}} + \vec{A_{3} A_{4}} + \vec{A_{4} A_{5}} + \vec{A_{5} A_{1}} = 0$ 知

cos5°+cos77°+cos149°+cos221°+cos239°=0.

模型三、不等式模型

【例3】已知: $\frac{\sin^{4} A}{\sin^{2} B} + \frac{\cos^{4} A}{\cos^{2} B} = 1$ , 求证: $\frac{\sin^{4} B}{\sin^{2} A} + \frac{\cos^{4} B}{\cos^{2} A} = 1 .$

证明:由 $(\sin^{2} B + \cos^{2} B) (\frac{\sin^{4} A}{\sin^{2} B} + \frac{\cos^{4} A}{\cos^{4} B}) \geq (\sin B \cdot \frac{\sin^{2} A}{s i n B} + \cos B \cdot \frac{\cos^{2} A}{c o s B})^{2} = 1$ , 等号当且仅当sin2B∶sin2A=cos2B∶cos2A时成立.由此得tan2B=tan2A, 进而推得sin2A=sin2B, cos2A=cos2B, 于是

$\begin{array}{l} \frac{\sin^{4} B}{\sin^{2} A} + \frac{\cos^{4} B}{\cos^{2} A} = \sin^{2} B \cdot \frac{\sin^{2} B}{\sin^{2} A} + \cos^{2} B \cdot \frac{\cos^{2} B}{\cos^{2} A} \\ = \sin^{2} B + \cos^{2} B = 1 . \end{array}$