三角形边的关系

2024-08-28

三角形边的关系（共7篇）

三角形边的关系篇1

教学内容:人教版四年级下册第82页。

教学过程:

一、预习展示, 小组合作

1. 问题导入。

师:同学们, 上节课我们已经认识了三角形, 知道“三角形是由三条线段围成的图形”, 课前老师让大家用这些小棒代替线段 (课件出示:3厘米、4厘米、5厘米、8厘米和9厘米的线段) , 任意选择其中的三根试摆三角形, 你有什么发现?

生:任意三条线段不一定能围成三角形。

师:哪三条线段能围成三角形?哪三条线段不能围成三角形?

2. 合作交流。

师:为了让大家都有表现的机会, 下面进行小组合作学习, 把自己的发现在小组内进行交流。课件出示活动要求: (1) 在小组内汇报自己的研究结果, 组长填写实验记录单 (不要重复) , 看看有几种围法。 (2) 如果相同的三根小棒围的结果不一样, 再利用小棒重新摆一摆。

学生快速阅读活动要求。

师:大家明白怎么做了吗?还有什么疑问吗?比一比哪个小组配合得最默契, 合作得又快又好!

学生活动, 教师巡视。

设计意图:课前虽然学生已经进行了动手操作, 但是从5条线段中任意选择3条会出现10种不同的组合方式, 很少有学生能有序进行组合, 进行全部的动手操作。由于学生已有操作基础, 有强烈的展示欲望, 这时采取小组合作学习, 可以让每位学生充分发表意见, 在讨论中相互补充、相互启发, 从而生成新的知识, 使自己对数学问题的认识更加丰富和全面。

3. 汇报成果。

师:下面首先交流哪三条线段不能围成三角形, 哪个小组愿意汇报你们的发现? (让一个组汇报, 提示其他组认真听, 做好评价和补充的准备)

小组1: (1) 3厘米、4厘米和8厘米 (2) 3厘米、4厘米和9厘米

(3) 3厘米、5厘米和9厘米这3组线段不能围成三角形。 (教师及时板书)

师:对于这个组的汇报, 其他组有不同的意见吗? (预设:如果结果不一样, 全班同学再利用小棒围一围)

小组2:我们组还发现 (4) 3厘米、5厘米和8厘米 (5) 4厘米、5厘米和9厘米这2组线段也不能围成三角形。 (教师及时板书)

师:其他组还有不同意见吗? (学生齐摇头。)

师:一共有5组围不成三角形。咱们再来交流哪三条线段能围成三角形?哪个小组愿意汇报你们组的发现?

小组3: (1) 3厘米、4厘米和5厘米 (2) 4厘米、5厘米和8厘米

(3) 3厘米、8厘米和9厘米 (4) 4厘米、8厘米和9厘米这4组线段都能围成三角形。 (教师及时板书, 同时课件出示)

师:对于这个组的汇报, 其他组有不同的意见吗? (如果结果不一样, 全班同学再利用小棒围一围)

小组4:我们组还发现5厘米、8厘米和9厘米也能围成三角形。 (教师及时板书)

师:其他组还有不同的意见吗? (学生齐摇头) 看来也有5组能围成三角形。通过大家的共同努力, 一共研究了10种不同的组合方式, 发现有5组不能围成三角形, 有5组能围成三角形, 为了使同学们看得更清楚, 老师把这10组围成的图形呈现在屏幕上。

设计意图:课上进行预习展示, 让学生把预习情况在小组内进行汇报, 在交流中检查预习情况, 为进一步的探究提供素材, 在此基础上进行课堂教学研究。

二、精讲点拨, 解决问题

1. 探究三条线段围不成三角形的原因。

师:看着这两种不同的情况, 你们有什么问题吗?

生1:为什么前5组围不成三角形?

生2:三条线段在什么情况下才能围成三角形?

师:同学们真聪明, 提出了值得研究的问题。下面我们先来解决第一个问题:“为什么这5组围不成三角形呢?”老师选择其中的2组电脑演示围的过程。请同学们回想自己围的过程和课件演示, 你有什么发现?

生:两条边合起来, 比第三条边还短, 就围不成三角形。

师:你指的是哪两条线段?

(学生用手指出3cm、4cm这两条线段)

师:能用算式表示出你的想法吗?

生:3+4=7, 7<8。

师:我们可以把两个式子合起来, 直接写成3+4<8 (板书) , 这名同学认为这两条线段的和小于第三条线段, 所以围不成三角形。

(学生接着找第2组和第3组围不成的原因) (板书:3+4<9、3+5<9)

师:第4组呢?

生:3+5=8。

师:两条线段的和等于第三条线段也围不成三角形吗?

生:不能。

师:谁完整说一说第5组。

生:4+5=9, 这三条线段不能围成三角形。

师:你能用自己的话总结一下, 什么样的三条线段不能围成三角形?

生:当两条线段的和小于或等于第三条线段时围不成三角形。

2. 探究三角形三边的关系。

师:我们再来解决三条线段在什么情况下才能围成三角形。既然围成了三角形, 这三条线段可以叫作三角形的边, 这个问题也就是说:三角形的三边之间有什么关系?下面我们就重点研究“三角形的三边关系”。 (课件出示一个三角形)

师:以这个三角形为例, 研究三角形的三条边之间有什么关系?请大家想一想, 和同桌交流一下。

(学生讨论, 教师融入交流)

师:谁来汇报你的发现?

生:三角形两边之和大于第三边。

师:你指的是哪两条边的和?

(学生指出自己发现的某两条边的和)

师:好, 我们把你的发现用式子写出来:5+6>10。

师:这两边的和比第三边大, 那么另外的两条边的和大于第三条边吗? (教师根据学生回答板书:6+10>5, 5+10>6) 这个三角形三边存在这个关系, 其他的三角形三边有这样的关系吗?

(学生逐个汇报发现)

师:这么多三角形的三边之间都有这种关系, 谁能描述出三角形的三边关系?

学生补充后小结:三角形任意两边之和大于第三边。

3. 运用规律, 提升认识。

判断以下几组线段能否围成三角形。

学生做完第3组后, 师:许多同学判断得又对又快, 是不是有简便的比较方法?

生:用较短的两条线段的和与第三条线段的关系来检验就可以了。

师追问:为什么用较短的两条线段的和与第三条线段比较就可以判断呢?

生:较短的两条线段的和比第三条线段长, 那么较长的两条线段更大于第三条线段。

师:真聪明, 我们就用这个简单方法来判断第4组。

生:5+7>10, 这三条线段能围成三角形。

设计意图:由研究一个三角形一组边的关系到研究三组边的关系, 再由研究一个三角形到研究更多的三角形例子, 由选取三角形个例到分类选取三角形个例, 通过大量直观的感性认识, 形成鲜明的表象, 使“三角形中, 任意两边的和大于第三边”呼之欲出, 在此基础上引领学生归纳结论, 印象深刻, 记忆扎实。另一方面, 小步子, 多循环, 边认识, 边提高, 步步为营, 让学生不断汇报、比较, 对比中逐步发现规律, 建立数学模型, 不仅符合学生的认识规律, 也使学生充分感受到不完全归纳数学思想和分类讨论思想的运用。

三、当堂检测, 查缺补漏

1. 辨一辨。

判断下面每组中的三条线段能不能围成三角形。

(1) 1厘米、3厘米、5厘米 (2) 1厘米、2厘米、3厘米

(3) 2厘米、4厘米、5厘米 (4) 2厘米、2厘米、2厘米

2. 选一选。

(1) 下列各组木棒能首尾相连围成三角形的一组是 () 。

(2) 如果一个三角形的一边长是4cm, 另一边长是9cm, 第三条边长不能是 () 。

(3) 已知一个三角形的周长是20cm, 这个三角形最长边的长度应小于 () cm。

3. 写一写。

(1) 有长度为2厘米、3厘米、4厘米、5厘米的木棒各1根, 运用这些木棒可以围成多少个不同的三角形?把想到的都写出来。

(2) 有两根树干, 一根长12米, 另一根长8米, 要做一个三角形屋架。想一想, 第三根树干可能有多长?

4. 想一想。

观察上图, 小明从家到学校哪条路最近?为什么? (先让学生找一找共有几条路再比较)

设计意图:一节课的效果如何, 要看学生的掌握情况。在发现规律、完成新知后进行当堂检测, 在检测和交流中加强对所学知识的理解和掌握, 使不同层次的学生有不同程度的提高。限时作业的设计分为基础练习、综合练习和拓展练习, 加强用数学知识解决生活中的实际问题 (如第4题) , 对限时作业及时评价, 发现问题, 及时反馈矫正, 避免知识缺陷的积累。

三角形边的关系篇2

在新授中我为每个小组提供6根小棒：3cm、3cm、4cm、6cm、3cm、2cm，让学生从6根小棒中任意取3根，试着摆三角形。并设计从中你有什么发现这样的问题情境，为学生自主学习搭建一个平台，让学生在更自由、更广阔的空间中去合作、探索和发现。

这样组织建模，学生在小组的合作与探究中发现：6根小棒通过不同的组合，有可以摆不成三角形，有得不能摆成三角形，事实推翻了学生头脑中以前的错误认知，激起了思维的矛盾，使学生不得不重新认识三角形三边之间的关系。这种重新认识是学生对三角形三边关系认识上的第一层次。我抓住这一契机巧妙设疑：为什么这样的三根小棒不能摆成一个三角形，怎样的三根小棒才能够摆成一个三角形呢?学生经历摆的过程直观的发现，两根小棒长度之和小于或等于第三根小棒时，不能摆成三角形，只有大于第三根小棒时，才能摆成三角形，得出了三角形两边之和大于第三边的结论。从而初步认识了三角形三边的关系。这种初步认识是学生对三角形三边关系认识上的第二层次，也是学生思维发展必然经历的一个阶段。原本以为这样的回答会得到我的肯定，然而，我的反应仅仅是是吗?二字，这使学生敏感的意识到这种表达可能有问题，问题出在哪呢?学生不得不深思。我适时引导学生思考，前两种情况中的三根小棒为什么摆不成三角形?你认为，对于三角形三边关系，怎样表达更严密?最后学生终于发现：三角形任意两边之和大于第三边。对任意二字的理解，使学生对三角形三边之间关系的认识得到了深化。这种深化的认识和理解是学生对三角形三边关系认识上的第三层次。

三角形边的关系篇3

教学内容：教育部审定2013义务教育教科书数学四年级下册第62页。

教学目标：

1. 使学生在探究三角形三边关系的过程中知道三角形任意两条边的和大于第三边。

2. 通过实践操作、猜想验证、合作探究，经历发现“三角形任意两边的和大于第三边”的活动过程，发展空间观念，培养逻辑思维能力，体验“做数学”的成功。

3. 感受数学思想在生活、学习中的应用。

教学重点：掌握三角形任意两边之和大于第三边。

教学难点：提高运用数学知识解决实际问题的能力。

教学过程：

一、谈话导入

师：同学们请看，屏幕上有许多长短不同的小棒。注意看，它们发生了什么变化？

生1：变成了三角形。

生2：围成了三角形。

师：对，是我们刚刚学过的三角形，那谁能说一说什么是三角形？

生：由3条线段围成的图形叫做三角形。

师：那这3条线段是怎样围成的？

师：看来大家对什么是三角形已经很清楚了，今天这节课我们继续研究三角形。

（板书：三角形。）

二、实践探究

1.独立操作，引出问题。

师：老师为同学们也准备了一些长短不同的小棒，（师手拿小棒说。）一共有4根，请你从中任意选出3根，在展板上拼一拼、摆一摆，也像屏幕上那样围成三角形，都听清楚了吗？

（学生操作。）

师：你们的动作真快！举起来互相看一看。非常好，大家都成功了。

师：（举起一块。）大家看他是用粉色、绿色和蓝色这3根小棒摆的，谁和他一样？（请这位同学到前面去。）还有用黄色、绿色、粉色这3根来摆的，谁和他一样？你也到前面去。还有用不同的小棒来摆的吗？现在请同学们将手中的学具放在一边，让我们共同来看一看。

师：我发现怎么没有选择黄、绿、蓝这3根小棒来围的呢？（师举一块板。）

生：我刚才用这3根小棒试过，围不成。

师：是不是像他说的这样呢？下面请同桌两个人合作，选择你们俩桌面上其中一块展板，用黄、绿、蓝这3根小棒来拼一拼、摆一摆，看看能不能围成三角形？

（学生操作。）

师：能围成吗？

生：不能。

师：大家都发现了，选择这3根小棒是不能围成三角形的。那么老师请大家想一想：为什么这3根小棒围不成三角形？要想围成三角形应该怎么办？别着急，先跟你周围的同学说说看。

（学生讨论。）

师：（分层反馈。）谁来说说为什么围不成？（准备好没围成的。）

生：有的小棒太短了，有的小棒太长了。

师：要想围成三角形怎么办？

生：边长点。

师：哪条边长点？只跟它有关系吗？跟这条长的有没有关系？再加长行不行？

师：看来能否围成三角形不是跟一条边有关系，而是跟每一条边的长短都有关系。那到底它们有什么关系呢？我们共同来研究三角形边的关系。（板书：三边关系。）

2.合作探究，解决问题。

师：现在每位同学的桌面上都有两组小棒，一组能围成三角形，一组围不成。下面请同学们以小组为单位先把围不成的3根小棒连一连、比一比，然后再把能围成三角形的3根小棒也像那样去比，看看你们又有什么新的发现。

（学生操作。）

师：你们能不能给同学们演示一下是怎么连的，又是怎么比的？

师：如果将围成的三角形中的两条边也像这样合起来去比，你又会发现什么？

生：能围成的两条小棒合起来比另一条小棒长，不能围成的两条小棒合起来比这根小棒短。

师：在这个三角形中，我们可以把围成三角形的3根小棒看做是它的三条边，请你看一看，这三条边之间有什么关系？

生：两条边合起来比第三条边长。

师：两条边合起来用数学的语言说就是这两边的和。（板书：两边的和。）

师：谁能用更准确的语言说一说？

生：两边的和大于第三边。（板书：大于第三边。）

师：两边的和大于第三边能不能围成三角形呢？

生：能。（板书：能。）

师：两边的和小于第三边能不能围成三角形？（板书：小于、不能。）

师：大家看，这块板上也有3根小棒，我们也用两边的和去与第三边比，出现了什么情况？

生：两边的和等于第三边。

师：（板书：等于。）能围成三角形吗？（板书：不能。）

师：通过操作我们发现只有三角形两边的和大于第三边才能围成三角形。下面我给你们3根小棒，判断一下能不能围成三角形。（课件出示小棒长度：40、20、30。）

生：能围成。

（师在展板上操作。）

师：请同学们快速算一算，在这个三角形中是不是两边的和大于第三边。

（生汇报。）

师：你是用两边的和与第三边比较的，有不同的选择吗？

（生汇报。）

师：还有不同的选择吗？没有了，通过3次比较，我们发现，真的是三角形两边的和大于第三边。下面，我再给大家3根小棒，你们也来判断一下。

（课件出示小棒长度：15、40、22。）

师：有的同学说能围成，说说你的理由。

生：15+40大于22。（师板书。）

生：不对，不能围成。

师：那你也说说为什么围不成？

生：因为15+22小于40。

师：到底谁说的对呢？我们也像刚才那样算一算，把两边的和与第三边比较一下。

师：大家看这三条边之间的关系，既有两边的和大于第三边的情况，又有两边的和小于第三边的情况。你们觉得这3根小棒能围成三角形吗？

生：不能。

师：不过这里也有两边和大于第三边的情况呀！

生：那也不行，要都大于第三边。

师：在什么情况下才能围成呀？（引导学生与第一块板比较。）

师：看来只说三角形两边的和大于第三边是不够严密的。怎样说更准确？（板书：任意。）请你说一遍，你也来说一遍。大家一起读一遍。

师：最后这组小棒的长度分别是30、20、10厘米，那么不能围成三角形的原因是什么？

生：10+20=30。

师：只有像这样任意两边的和都大于第三边才能围成三角形，是这样吗？

三、巩固练习

1.快速判断。

师：同学们真棒！你们通过动手操作，发现了三角形边之间的奥秘，下面我们进行一个判断练习。（电脑出示。）判断一下，这4组线段能否围成三角形。

（课件出示带上单位：4、8、6，3、4、5，2、6、1，3、3、5。）

师：先看第一组。咱们比一比谁判断得最快！

生：能围成。

师：说说你的想法。

生：4+6>8。

师：只验证这一次就可以正确判断了吗？

师：你为什么选择4厘米和6厘米的和与8厘米比较？

生：因为这两条边比较短，两条短边的和大于第三边，那么两条长边的和一定大于第三边。

师：对，用两条短边的和与第三边比。

师：就用这招，接着比赛。（学生判断后三组。）

师：看来什么都难不倒你们啊！你们不仅发现了三角形边之间的奥秘，还找到了解决问题的妙招，真是了不起！

2.确定第三边、探索区间。

师：现在，我想给你们出个难题，看看能不能难倒你们，行吗？

师：来，大家看看这道题。（课件出示：两根小棒，长度分别为4cm、7cm。）明白什么意思吗？为了研究方便，第三边只取整厘米数。大家可以先在小组里互相交流一下。

师：谁来试着说出一个范围，只要比几大比几小就可以。

生：比3大比11小。

师：为什么要比11小？11是怎么想到的？

生：7+4=11。

师：两边的和要大于第三边，对吧！那3是什么呢？（两边的差。）两边的差要小于第三边。

师：如果我们知道一个三角形中的两条边的长度，就可以用这样的方法来确定第三条边的范围了。

师总结：同学们，今天我们共同探索了三角形边之间的奥秘，生活中还有许多数学问题等待我们去发现、去探索。

评析：

三角形边的关系是在认识了三角形特性的基础上进行教学的。教学重点主要是探讨任意三根小棒能否围成三角形。本节课的教学主要是让学生经历一个探究解决问题的过程，引导学生发现问题、提出假设、实验验证、得出结论、实践应用的过程。

一、创造性使用教材，给学生广阔的探究空间

课前老师为学生精心准备两组小棒（每组4根），试着围三角形。教材是从生活情境中引出数学问题，再通过拼一拼、连一连、比一比探索出三角形三边之间任意两边之和一定要大于第三边，这是一种教学思路。黄老师在教材上进行增、删、改、创，不囿于教材，又跳出教材，让学生在用小棒摆三角形的游戏中产生思维冲突，激起学生的问题意识和探究意识，探究性问题不是教师提出来，而是在矛盾中、在行动中自然生成，符合学生的认识规律。能将书上的生活情境巧妙地放到推广应用环节，让学生体会到数学的学习价值。

二、让学生体验真实有效的探究过程

黄老师认为本节课的重点在于探究的过程与方法。课始，通过动手用三根小棒围三角形（有的能围成，有的围不成），使学生产生强烈的认知冲突，进而提出了“怎样的三根小棒一定能围成三角形”问题。接着，引导学生围绕问题主动地进行观察、实验、猜测、验证等数学探究活动，初步感悟到“当任意两边的和大于第三边时，能围成三角形”的规律。最后，运用得出的规律，设计了一个开放性环节：给两根长度分别为4cm 和7cm 的小棒配一根适当长度的小棒围成一个三角形。它的结果不是一个具体的数值而是一个数值范围，此时，抓住学生的问题进一步探究，既完善了规律，又分散了本节课的教学难点。整节课教学过程的推进是随着课堂上师生之间的交流与对话、学生思维发展的轨迹来进行的，知识的可信度与学生的情感体验有机地结合在一起，使探究过程显得真实而自然。

三、动手操作后的反思是提升学生数学思维水平的重要途径

对于操作活动本身而言，数学课更加重视操作活动后的反思和交流。本节课呈现了一连串的问题：“为什么这三根小棒围不成三角形？”“怎样的3根小棒能围成三角形？”“把不能围成三角形的3根小棒连一连、比一比？”引导学生发表自己的观点，并对他人的观点发表自己的意见，进行质疑。学生能通过一个个问题的解决深化对知识的理解，完善结论，使学生的思维得到提升，认知产生飞跃。

三角形角平分线与各边的长度关系篇4

如今, 有各种各样的建筑和设计都涉及了三角形, 因为三角形是最稳定的图形。为了使建筑更为美观, 在其中也会涉及三角形的一个重要部分——三角形角平分线.在实际建造时, 经常需要对三角形的三边及角平分线进行测量.

在数学教材关于三角形角平分线的内容中, 其只指出三角形角平分线分对边与各边的比例关系, 即三角形角平分线定理:三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例.但是, 对于三角形一角平分线段的长度的推算, 数学教材或相关资料中并没有涉及.本文介绍了一个新的、巧妙的方法, 仅利用三角形三边的长度就可以直接计算出任意角平分线段的长度, 从而避免对三角形角平分线的繁琐测量.

二、三角形角平分线与各边的长度关系

如图所示, 对于任意△ABC, AD为∠A的角平分线, AD交BC与D点, 则有AB·AC=AD2+BD·DC, 即.

三、以上关系的证明

(一) 所用定理:

(1) 同弧或等弧所对的圆周角相等;

(2) 相似三角形性质;

(3) 圆内的两条相交弦, 被交点分成的两条线段长的乘积相等.

(二) 证明:

如图, 对于任意的△ABC都可以作出其外接圆⊙O, 然后作出∠A的角平分线, 分别交BC、⊙O于D、E.

又AE平分∠BAC

∴∠BAE=∠EAC

∵∠C=∠E, ∠BAE=∠EAC

则AB·AC=AE·AD= (AD+DE) AD=AD2+AD·DE

∴AB·AC=AD2+AD·DE=AD2+BD·DC

所以则有AB·AC=AD2+BD·DC

变化得

得证.

四、实际运用

实际生活中, 三角形建筑繁多.在测量时, 三角形三边长度比较容易测量, 但角平分线的长度难以测量.以上关系式就可以避免此类麻烦, 通过测量各边的长度, 就直接计算出角平分线的长度.

例如:如图所示, 某公园的矩形湖面有两座观景桥AB和AC.为了吸引更多游客前来游玩, 公园今年拟建第三座观景桥AD, 且AD为∠ABC的角平分线.观赏桥AB、AC、AD共用同一桥墩A在湖的一侧, 桥墩B、D、C分别在湖的另一侧, 且B、D、C沿湖岸在同一条直线上.现用专业仪器精确测得观景桥AB长50米, 观赏桥AC长40米, 两桥墩BC间相距63米.为了确定观赏桥AD的建造所需材料, 预计观景桥AD的长度为多少?

解:根据三角形角平分线定理 (三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例)

又BC=63

根据本文中三角形角平分线与各边的长度关系

所以, 观景桥AD长31.94米.

《三角形边的关系》教学设计篇5

1、探究三角形三边的关系，理解三角形任意两边的和大于第三边;

2、能根据三角形三边的关系解释生活中的现象，提高解决实际问题的能力;

3、积极参与探究活动，获得成功体验，产生学习数学的兴趣。

二、教学重难点

重点：探索三角形三边之间的关系

难点：三角形任意两边的和大于第三边

三、教学过程

Ⅰ、创设情境，引入新课

师：同学们，昨天我们已经认识了三角形，谁能来告诉大家什么是三角形么?

生：由三条线段围成的图形叫做三角形。

师：讲得很好，也就是说三角形是由三条线段所围成的。那么是不是只要有三条线段，我们就一定能围成三角形呢?

生：是(有些答不是)。

师：现在同学们从老师发的5根小棒中选出3根，看看是否能围成三角形?好，开始。(板书：不能围成三角形能围成三角形)

生：摆一摆(上台展示)

师：任取三根小棒，有时能围成三角形，有时却围不成三角形，那么围成与围不成，跟三角形的什么有关系呢?

生：三角形的边。

师：大家回答得很好，三角形的边有什么样的关系呢?这就是我们今天要研究的问题。(板书：三角形边的关系)

Ⅱ、自主探究，提炼规律

师：下面让我们一起来完成这个探究活动，请齐读操作要求，开始!

生：进行实验并完成表格填写(教师进行指导)

组别小棒的长度能否围成三角形两边之和与第三边的大小关系

13583+5○8;3+8○5;5+8○3

245104+5○10;4+10○5;5+10○4

33453+4○5;3+5○4;4+5○3

458105+8○10;5+10○8;8+10○5

师：坐好。大家认为有哪几组是围不成三角形的呢?

生：前两组。

师：让我们一起来看看

生1，你发现的两边之和与第三边的关系是什么?

生1：3+5=8，3+8>5，5+8>3(课件展示：3、5、8，围不成)

师：很棒，我们继续来看第2组

生2，你发现了什么?(教师手指两边之和与第三边的关系)

生2：4+5<10，4+10>5，5+10>4(4，5，10，围不成)

师：为什么这两组的`小棒围不成三角形呢?

生：3+5=8，4+5<10(或有两条边的长度的和没有第三条边长)

师：说得很好，也就是说两边之和小于或等于第三边，所以这三根小棒围不成三角形。(板书：两边的和≤第三边)

师：那围成三角形的就是3、4组了，对吧?

生：对。

师：生3，你发现的两边之和与第三边的关系是什么?

生3：3+4>5，3+5>4，4+5>3看第三组的课件演示(3、4、5，围成)

师：这个呢?

生3：能围成，5+8>10，5+10>8，8+10>5

师：回答得非常棒，大家试一试将3、4组与1、2组进行对比，为什么3。4组能围成三角形?

生：它3个都是大于的(有些同学会回答：两边的和比第三条边大)。

师：那也就是说围成三角形是两边的和大于第三边(板书：两边的和>第三边?)

师：这个有问题么，大家看看屏幕，1、2组也有两边的和大于第三边呀?

生：都大于。

师：对!必须强调每组都是，即是“任意”，我们把它表示为：任意两边的和大于第三边。(板书：擦去?，补任意)

师：我们发现的规律就出现在课本的82页，大家把它画起来。(5秒)齐读。

生：三角形的任意两边之和大于第三边。(板书：三角形的任意两边之和大于第三边)

Ⅲ、巩固应用，变式提升

例判断下列三条线段是否能围成三角形?

(1)6，7，8(2)4，5，9(3)3，6，10

(学生先用三条式子来判断是否能围成三角形，教师再让学生讨论交流好方法)

通过比较任意两边之和是否大于第三边，来判断是否可以围成三角形。

教师指导学生：将两条短的边相加与最长的边相比，如果大于，就能围成三角形。

1、判断以下几组小棒能否围成三角形，能的打“√”，不能的打“×”，并说明理由。

(1)3cm4cm5cm

(2)3cm3cm3cm()

(3)2cm2cm6cm()

(4)3cm3cm5cm()

注：学生学会将两条短的边相加与最长的边相比，如果大于，就能围成三角形，从而提高做题速度。

2、生活中的数学

3、巩固提升

小明想要给他的小狗做一个房子，房顶的框架是三角形的，其中一根木条是3分米，另一根是5分米。

(1)第三根木条可以是多少分米?(取整数)

(2)第三边的木条的长度是a分米，那么a的取值范围是()<()

四、回忆新知，归纳总结

师：通过本节课的学习，你收获了什么?

生：三角形任意两边之和大于第三边。(等等)

五、板书设计

三角形边的关系

不能围成三角形能围成三角形

两边之和≤第三边任意两边之和>第三边

三角形边的三等分线的探究篇6

1904年英国数学家莫勒 (Morley) 发现了初等几何中的一条著名定理:三角形三个角的六个三等分线中, 相邻的 (不在同一个角上) 两条三等分线的交点, 是一个等边三角形的顶点.本文探讨的是三角形边的三等分线交点所构成的三角形性质.

引理如图1, AE1, AE2, BF1, BF2, CD1, CD2为△ABC边的三等分线, 则每条三等分线被其他四条三等分线所截的五条线段的长度至上而下 (从三角形顶点开始) 之比都为60∶24∶21∶15∶20.特别地, AA1∶A1A4∶A4B3∶B3B1∶B1E1=60∶24∶21∶15∶20.

证明连接D1F2分别交AE1, AE2于G1, G2.

则 $D_{1} G_{1} ∶ E_{1} C = \frac{1}{3} B E_{1} ∶ E_{1} C = 1 ∶ 6$ ,

得G1A1∶A1E1=1∶6, 从而

$\begin{array}{l} G_{1} A_{1} = \frac{1}{7} G_{1} E_{1} = \frac{1}{7} \times \frac{2}{3} A E_{1} = \frac{2}{21} A E_{1} ‚ \\ A A_{1} = A G_{1} + G_{1} A_{1} = \frac{1}{3} A E_{1} + \frac{2}{21} A E_{1} = \frac{3}{7} A E_{1} . \end{array}$

另一方面, 利用G1F2∶BE1=2∶3, 有

$\begin{array}{l} A_{1} A_{4} = G_{1} A_{4} - G_{1} A_{1} = \frac{2}{5} G_{1} E_{1} - \frac{2}{21} A E_{1} \\ = \frac{2}{5} \times \frac{2}{3} A E_{1} - \frac{2}{21} A E_{1} = \frac{6}{35} A E_{1} . \end{array}$

只要连接F1D2, 类似地, 可得

$\begin{array}{l} B_{1} E_{1} = \frac{1}{7} A E_{1} ‚ B_{3} B_{1} = \frac{3}{28} A E_{1} . \\ ∴ A_{4} B_{3} = A E_{1} - A A_{1} - A_{1} A_{4} - B_{3} B_{1} - B_{1} E_{1} = \frac{3}{20} A E_{1} . \end{array}$

因此, AA1∶A1A4∶A4B3∶B3B1∶B1E1=60∶24∶21∶15∶20.

同理, 其余的三等分线被△ABC三等分线所截的五条线段长度至上而下之比为60∶24∶21∶15∶20.

定理1 三角形边的六条三等分线中, 相邻的 (不在同一个角上) 两条三等分线的交点构成的三角形与原三角形相似, 且边的相似比为1∶5.

如图2, 已知△ABC边的三等分线AE1与BF2, BF1与CD2, CD1与AE2的交点分别为A4, B4, C4, 则△A4B4C4∽△ABC, 且边的相似比为1∶5.

证明由引理可知, A4C4//E1E2, B4C4//D1D2, A4B4//F1F2, 从而△A4B4C4∽△ABC, 且 $\frac{A_{4} C_{4}}{B C} = \frac{A_{4} C_{4}}{3 E_{1} E_{2}} = \frac{A A_{4}}{3 A E_{1}} = \frac{1}{5}$ .证毕.

根据引理, 类似定理1的证明, 还可以得到下面一个结论.

定理2 三角形边的六条三等分线中, 靠近三角形同一顶点的 (不在这个顶点上) 两条三等分线的交点构成的三角形与原三角形相似, 且边的相似比为1∶4.

如图3, 已知△ABC边的三等分线CD1与BF2, AE1与CD2, BF1与AE2的交点分别为A3, B3, C3, 则△A3B3C3∽△ABC, 且边的相似比为1∶4.

定理3 在等腰三角形边的六条三等分线中, 两组不相邻的三等分线交点形成的两个三角形全等.

如图4, 已知△ABC为等腰三角形, A1, B1, C1, A2, B2, C2分别是边的三等分线CD1与AE1, AE1与BF1, BF1与CD1, AE2与BF2, BF2与CD2, CD2与AE2的交点, 则△A1B1C1≌△A2C2B2.

证明由已知, 可得AE1=AE2, BF1=CD2, CD1=BF2.再根据引理, 有A1B1=A2C2, B1C1=C2B2, A1C1=A2B2, 所以△A1B1C1≌△A2C2B2.证毕.

另外, 纪保存在2000年还得到三角形各外角的三等分线中, 靠近每边的两条的交点 (共三个) 构成正三角形.虽然本文没得到与泰勒定理相关的性质, 但本文还发现了当考虑的三角形为等边三角形时, 图2所示的△A4B4C4, 图3所示的△A3B3C3以及图4所示的△A1B1C1, △A2B2C2均为等边三角形.

参考文献