全等三角形

全等三角形（精选12篇）

全等三角形 篇1

苏科版教材七年级数学第十一章是《图形的全等》, 本章的重点是“全等三角形”。笔者在教学三角形全等这节内容时, 紧扣课标要求紧密联系学生实际, 关注中考对于全等知识的考查, 对这节内容的教学做了以下探讨。

一、培养学生的动手能力, 促进知识的消化吸收

俗话说“智慧就在你的手指尖上”, 学生通过动手操作得来的知识总是记忆犹新。为此笔者在教学中特别重视学生动手能力的培养。比如, 初探三角形全等条件“边角边”时, 让学生充分动手折叠、剪拼、度量、作图, 通过学生参与把握三角形全等的条件, 通过多感官的刺激, 增强他们的感性认识, 从而为上升为理性认识做好有力的铺垫。学生们学得轻松, 教学效果斐然。在后来探讨三角形全等其他条件的时候, 笔者一直坚持这样的思路, 收效都特别明显, 全等各种条件的认识自然就水到渠成了。

二、培养语言的转换能力, 促进有条理思考表达

在几何教学中“图形语言、符号语言、文字语言”这三种语言的转换占据着特别重要的地位。笔者在教学中重视培养学生三种语言的切换能力, 要求学生能够自由切换, 以打通学生的思维, 寻找正确的解题通道。在每一种全等三角形条件探索时无不如此, 如教学直角三角形全等的条件“HL”时, 从文字语言“斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等, 简写为‘斜边, 直角边’或‘HL’”。这对于刚接触直角三角形全等的学生来说, 文字语言过于抽象, 学生不能形成深刻的印象, 于是笔者出示下列图形辅助理解, 再用符号语言来表述, 这样学生就能从多个角度理解了“斜边、直角边”这一说明两个直角三角形全等的方法, 为将来运用它来解决实际问题做好了准备。

三、培养正确的解题方法, 努力提高解题技巧

1. 分析法、综合法

在全等三角形的教学中, 如何打开解题思路是一个很重要的问题。在教学中笔者主要渗透的是两种方法:一个执果索因的分析法, 也就是通常所说的由结论想条件;另一个执因索果的综合法即由条件想结论。新课程标准中, 全等的要求没有传统教材的要求高, 一般用一种方法就可以奏效。对于复杂一点的问题两种方法都运用, 这样降低了问题的难度, 同时也能够提高学生学习的兴趣。

2. 分离法

对于难度较小的问题学生解决起来不费吹灰之力, 但是对于图形复杂、条件比较繁杂的问题, 就不能那么轻松了, 就要讲究方式方法了。笔者根据多年的新课程的教学实践中, 努力探索研究发现, 分离图形是一个很好的方法, 就是说要善于从复杂图形中, 分离出重点三角形, 单独对其进行研究, 这样目标明确, 已知条件与缺少的条件一目了然, 从而做到了有的放矢。

四、有机整合多媒体手段, 促进应变能力的提高

随着新课程改革的逐渐深入, 现代化教学手段越来越得到广泛的运用。通过多媒体手段的整合让图形动起来, 利用几何画板等软件编辑动画, 有意识地渗透平移、翻折、旋转变换思想, 极大地提高了学生学习数学的兴趣, 增强了学生的识图能力, 发展了学生的空间观念。教学实践笔者注意渗透下列变换:

1. 平移

例1:已知:如图, A、D、C、F在同一直线上AB∥EF, BC=DE, 且AD=FC。

(1) AB与FE相等吗?请说明理由。

(2) 若△ABC向右平移一定距离, 说明AB与FE相等吗?请说明理由。

通过几何画板演示, 学生从图 (1) 过渡到图 (2) , 清楚地认识到对应边AC、FD的相等关系, 应该根据不同的情况如何进行转换, 从而有效地提高了学生的应变能力。

2. 翻折

江苏省2010年中考数学题中, 对这方面就有一定的考查。所出的问题虽然难度不大, 但是对翻折的重视可见一斑。在教学中我们也进行了相关训练:

例2:已知:如图, AB=AC, AD=AE, ∠BAE=∠CAD, BD与CE相等吗?为什么?

在翻折的变换中, 运用动画的手法, 让学生充分领悟图形变化的规律, 正确应对变化灵活解题。

3. 旋转

近年的中考信息表明, 图形变换的例子到处可见。其中旋转变换也是最有难度的一种变换。而利用多媒体手段旋转变换, 这类问题也就迎刃而解。

例3:如图, 等腰Rt△COD和Rt△AOB有公共端点O, (1) 如图1时, AC与BD数量关系如何?位置关系又如何? (2) 当Rt△AOB绕点旋转到如图位置时, AC与BD数量关系如何?位置关系又如何?

在教学上述例题时, 笔者在学生仔细审题之后得出第 (1) 问的结果, 然后引导学生根据几何画板的动画演示, 猜想线段AC、BD之间的数量及位置是否仍然成立?进而进行验证、推理。学生理解起来很轻松。教学由于旋转变换最能激活学生的思维, 笔者进行了题组教学出示下面一个例题:

例4:两个不全等的△ABC和Rt△ADE叠放在一起, 并且有公共点A, 将图 (1) 中的Rt△ABC绕点A顺时针旋转一个锐角, 连结BD、CE, 得到图 (2) 。

(1) 请判断图 (2) 中线段BD、CE的数量关系, 并说明理由。

(2) 在图 (2) 中, 直线BD、CE所成的锐角是_________度。

当然, 全等变换的形式不是单一的, 有时候是几种变换同时都存在, 比如例4中就是利用旋转构建的翻折。在教学中必须注意正确引导, 从而让学生以静制动, 学会以不变应万变。

总而言之, 全等三角形的教学在苏教版初一数学教材中地位特殊, 它是今后进一步学习的基础, 这部分知识对于初一的学生来说是有一定难度的。笔者认为, 只要教师能够充分地把握新课程理念, 始终能站在学生的角度思考问题, 注意不断地激发学生学习数学兴趣, 运用一切教学手段刺激学生的多种感官, 激发学生的思维, 让学生在愉悦的情绪下学习, 就一定能让学生不同程度的都有收获。

全等三角形 篇2

【教学目标】

1.使学生理 解边边边公理的 内容，能运用边边边公理证明三角形全等，为证明线段相等或角相等创造条件；

2.继续培养学生画图、实 验，发现新知识的能力.【重点难点】

1.难点：让学生掌握边边边 公理的内容和运用公理 的自觉性；

2.重点：灵活运用SSS判定两个三角形是否全等.【教学过程 】

一、创设问题情境，引入新课

请问同学，老师在黑板上画得两个三角形，△ ABC与△ 全等吗？ 你是如何判定的.（同学们各抒己见，如：动手用纸剪下一个三角形，剪下叠到另一个三角形上，是否完全重合；测量两个三角形的所有边与角，观 察是否有三条边对应相等，三个角对应相等.）

上一节课我们已经探讨了两个三角形只满足一个或两个边、角对应相等条件时，两个三角形不一定全

等.满足三个条件时，两个三 角形是否全等呢？现在，我们就一起来探讨研究.二、实践探索，总结规律

1、问题1：如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形会全等吗？做一做：给你三条线段、、，分别为、、，你能画出这个三角形吗？

先请几位同学说说画图思路后，教师指导，同学们动手画，教师演示并叙述书写出步骤.步骤：

（1）画一线段AB使 它的长度等于c（4.8cm）.（2）以点A为圆心，以线段b（3cm）的长为半径画圆弧；以点B为圆心，以线段a（4cm）的长为半径画圆弧；两弧交于点C.（3）连结AC、BC.△ABC即为所求

把你画的三角形与其他同学的图形叠合在一起，你们会发现什么？

换三条线段，再试试看，是否有同样的 结论

请你结合画图、对比，说说你发现了什么？

同学们各抒己见，教师总结：给定三条线段，如果它们能组 成三角形，那么所画的三角形都是全等的.这样我们就得到判定三角形全等的一种简便 的方法： 如果两个三角形的 三 条边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写为“边边边”，或简记为（S.S.S.）.2、问题2：你能用 相似三角形的判定法解释这个（SSS）三角形全等的判定法吗？

（我们已经知道，三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，三条边就分别对应相等了，这两个三角形不但形状相同，而且大小都一样，即为全等三角形.）

3、问题

3、你用这个“SSS”三角形全等的判定法解释三角形具有稳定性吗？

（只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了）

4、范例：

例1 如图19.2.2，四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝DC，试说明△ABC≌△CDA.解：已知 AD＝BC，AB＝DC，又因为AC是公共边，由（S.S.S.）全等判定法，可知 △ABC≌△CDA5、练习：

6、试一试：已知一个三角形的三个内 角分别为、、，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画的进行比较，你发现了什么？

（所画出的三角形都是相似的，但大小不一定相 同）.三个对应角相等的两个三角形不一定全等.三、加强练习，巩固知识

1、如图，△ABC≌△DCB全等吗？为什么？

2、如图，AD是△ABC的中线，.与 相等吗？请说明理由.四、小结

全等三角形考题精选 篇3

A. 1对 B. 2对

C. 3对 D. 4对

2. （2015·浙江绍兴）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线.此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是（ ）.

A. SAS B. ASA

C. AAS D. SSS

3. （2015·江西省）如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA=OB.则图中有_______对全等三角形.

4. （2015·湖南娄底）已知AB=BC，要使△ABD≌△CBD，还需要加一个条件，你添加的条件是_______.（只需写一个，不添加辅助线）

5. （2015·湖南永州）如下图，在△ABC中，己知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=________.

6. （2015·福建福州）如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD.

7. （2015·四川宜宾）如图，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE.求证：∠A=∠D.

8. （2015·湖南永州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC，延长AD到E点，使DE=AB.

（1） 求证：∠ABC=∠EDC；

（2） 求证：△ABC≌△EDC.

9. （2015·四川南充）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE.

求证：（1） △AEF≌△CEB；（2） AF=2CD.

参考答案

1. D 2. D 3. 3

4. AD=CD或∠ABD=∠CBD

5. CE=3.

6. 证明：∵∠3=∠4，

∴∠ABC=∠ABD.

在△ABC和△ABD中，

∠1=∠2，

AB=AB，

∠ABC=∠ABD，

∴△ABC≌△ABD（ASA）.

∴AC=AD.

7. 证明：∵∠ACD=∠BCE，

∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE，

即∠DCE=∠ACB.

在△ACB和△DCE中，

AC=DC，∠DCE=∠ACB，BC=EC，

∴△ACB≌△DCE（SAS），∴∠A=∠D.

8. （1） 证明：在四边形ABCD中，

∵∠A=∠BCD=90°，

∴∠B+∠ADC=180°.

又∵∠ADC+∠EDC=180°，

∴∠ABC=∠EDC.

（2） 证明：连接AC.

∵BC=DC，

∠ABC=∠EDC，

AB=DE，

∴△ABC≌△EDC（SAS）.

9. 解：（1） ∵AD⊥BC，

∴∠B+∠BAD=90°.

∵CE⊥AB，

∴∠B+∠BCE=90°.

∴∠EAF=∠ECB.

在△AEF和△CEB中，

∠AEF=∠CEB，

AE=CE，

∠EAF=∠BCE，

∴△AEF≌△CEB（ASA）.

（2） ∵△AEF≌△CEB，

∴AF=BC.

∵AB=AC，AD⊥BC.

∴CD=BD，BC=2CD.

“全等三角形”题型解析 篇4

一、条件开放型

例1:如图, △ABC与△ABD中, AD与BC相交于O点, ∠1=∠2, 请你添加一个条件 (不再添加其他线段, 不再标注或使用其他字母) , 使AC=BD, 并给出证明.

你添加的条件是:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

证明:

分析:此题答案不唯一, 若按照以下方式之一来添加条件: (1) BC=AD, (2) ∠C=∠D, (3) ∠CAD=∠DBC, (4) ∠CAB=∠DBA, 都可得△CAB≌△DBA, 从而有AC=BD.

点评:本题考查了全等三角形的判定和性质, 要由已知条件结合图形通过逆向思维找出合适的条件, 有一定的开放性和思考性.

二、结论开放型

例2:如右上图, 已知AB=AD, BC=CD, AC、BD相交于E.由这些条件可以得到若干结论, 请你写出其中三个正确的结论. (不要添加字母和辅助线, 不要求证明.)

结论1:

结论2:

结论3:筝桦川县第二中学刘芳琪

分析:由已知条件不难得到△ABC≌△ADC、△ABE≌△ADE、△BEC≌△DEC, 同时有∠DAE=∠BAE、∠DCA=∠BCA、∠ADC=∠ABC, AC平分∠DAB与∠DCB且垂直平分DB等.以上是解决本题的关键所在, 也都可以作为最后结论.

点评:本题是源于课本而高于课本的一道基本题, 可解题思路具有多项发散性, 体现了新课程下对双基的考查毫不动摇, 且更具有灵活性.

三、综合开放型

例3:如图, 点E在AB上, AC=AD, 请你添加一个条件, 使图中存在全等三角形, 并给予证明.所添条件＿＿＿＿.你得到的一对全等三角形是△＿＿＿＿＿＿＿＿≌△＿＿＿＿＿＿＿＿.

分析与证明:在已知条件中已有一组边相等, 另外图形中还有一组公共边.因此只要添加以下条件之一: (1) CE=DE, (2) CB=DB, (3) ∠CAE=∠DAE, 都可以直接根据SSS或SAS证得△CAB≌△DAB或△CAE≌△DAE;并且在此基础上又可以进一步得到△CEB≌△DEB.

点评:本题属于条件和结论同时开放的一道好题目, 题目本身并不复杂, 但开放程度较高, 能激起学生的发散思维, 值得重视.

四、构造命题型

例4:如图, 在△ABD和△ACE中, 有下列四个等式: (1) AB=AC, (2) AD=AE, (3) ∠1=∠2, (4) BD=CE.请你以其中3个等式作为题设, 余下的作为结论, 写出一个真命题 (要求写出已知、求证及证明过程) .

分析:根据三角形全等的条件和全等三角形的特征, 本题有以下两种组合方式:组合一:条件 (1) (2) (3) 结论: (4) ;组合二:条件 (1) (2) (4) 结论: (3) .值得一提的是, 若以 (2) (3) (4) 或 (1) (3) (4) 为条件, 此时属于SSA的对应关系, 则不能证得△ABC≌△DEF, 也就不能组成真命题.

评析:几何演绎推理论证该如何考?一直是大家所关注的.本题颇有新意, 提供了一种较新的考查方式, 让学生自主构造问题, 自行设计命题并加以论证, 给学生创造了一个自主探究的机会, 具有一定的挑战性.这种考查的形式值得重视.

五、猜想证明型

例5:如下图, E、F分别是平行四边形ABCD对角线BD所在直线上两点, DE=BF, 请你以F为一个端点, 和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段, 猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等 (只需研究一组线段相等即可) .

(1) 连结＿＿＿＿＿＿＿＿＿;

(2) 猜想:＿＿＿＿＿＿＿＿＿;

(3) 证明:

(说明:写出证明过程的重要依据。)

分析:连接FC, 猜想:AC=CF.由平行四边形对边平行且相等, 有AB//CD, AD//BC, AB=CD, AD=BC;再加上DE=BF, 因此, 只要连接FC, 根据全等三角形的判定定理SAS, 容易证得△ABE≌△CDF或△ADE≌△CBF, 从而得到AE=CF.

点评:此题为探索、猜想、并证明的试题.猜想是一种高层次的思维活动, 在先观察的基础上, 提出一个可能性的猜想, 再尝试能够证明它, 符合学生的认知规律.本题难度不大, 但结构较新, 改变了传统的固有模式.

六、判断说理型

例6:两个全等的含30°, 60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置, E, A, C三点在一条直线上, 连结BD, 取BD的中点M, 连结ME, MC.试判断△EMC的形状, 并说明理由.

分析与解答:△EMC是等腰直角三角形.由已知条件可以得到:

DE=AC, ∠DAE+∠BAC=90°, ∠DAB=90°.

连接AM, 由DM=MB可知MA=DM, ∠MDA=∠MAB=45°.

从而∠MDE=∠MAC=105°, 即△EDM≌△CAM.

因此EM=MC, ∠DME=∠AMC,

又易得∠EMC=90°,

所以△EMC是等腰直角三角形.

点评:本题以三角板为载体, 没有采取原有的那种过于死板的形式, 在一定程度上能激发学生的解题欲望.先判断, 再说理, 试题平中见奇, 奇而不怪, 独具匠心, 堪称好题.

七、拼图证明型

例7:一张矩形纸片沿对角线剪开, 得到两张直角三角形纸片, 再将这两张三角形纸片摆成如下右图形式, 使点B、F、C、D在同一条直线上, 且DE交AB于P.且 (1) 求证AB⊥ED; (2) 若PB=BC.请找出图中与此条件有关的一对全等三角形, 并给予证明.

分析: (1) 在已知条件的背景下, 显然有△ABC≌△DEF, 故∠A=∠D, 因而不难得∠APN=∠DCN=90°, 即AB⊥ED.

(2) 由AB⊥ED可得∠BPD=∠EFD=90°,

又PB=BC及∠PBD=∠CBA.

根据ASA有△PBD≌△CBA, 在此基础上, 就不难得到△PNA≌△CND、△PEM≌△FMB.

点评:本题将几何证明融入到剪纸活动中, 让学生在剪、拼等操作中去发现几何结论, 较好地体现了新课程下“做数学”的理念. (2) 题结论开放, 而且结论丰富, 学生可以从不同的角度去进行探索, 在参与图形的变化过程及探究活动中创造性地激活了思维, 令人回味.

八、阅读归纳型

例8:我们知道, 两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等.那么在什么情况下, 它们会全等吗?

(1) 阅读与证明:

对于这两个三角形均为直角三角形, 显然它们全等.

对于这两个三角形均为钝角三角形, 可证它们全等 (证明略)

对于这两个三角形均为锐角三角形, 它们也全等, 可证明如下:

已知:△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形, AB=A1B1, BC=B1C1, ∠C=∠C1.

求证:△ABC≌△A1B1C1. (请你将下列证明过程补充完整.)

证明:分别过点B, B1作BD⊥CA于D,

B1D1⊥C1A1于D1,

则∠BDC=∠B1D1C1=90°.

∵BC=B1C1, ∠C=∠C1,

∴△BCD≌△B1C1D1.

∴BD=B1D1.

(2) 归纳与叙述:

由 (1) 可得到一个正确结论, 请你写出这个结论.

分析: (1) 由条件AB=A1B1, ∠ADB=∠A1D1B1=90°.

易得△ADB≌△A1D1B1, 因此∠A=∠A1,

又由∠C=∠C1, BC=B1C1,

从而得到△ABC≌△A1B1C1.

(2) 归纳为:两边及其中一边的对角分别对应相等的两个锐角三角形 (或直角三角形或钝角三角形) 是全等的.

点评:边边角问题是全等三角形判定中的难点, 也是学生易出错的内容, 要涉及三角形形状的分类.本题构思新颖, 创造性地设计了阅读情境, 引领学生跨越障碍, 引导学生合情推理并总结概括, 考查了学生阅读理解、类比、概括等综合能力, 同时也培养了学生灵活、精细、严谨的数学思维品质.

九、作图证明型

例9:已知Rt△ABC中, ∠C=90°.

(1) 根据要求作图 (尺规作图, 保留作图痕迹, 不写画法) (1) 作∠BAC的平分线AD交BC于D; (2) 作线段AD的垂直平分线交AB于E, 交AC于F, 垂足为H; (3) 连接ED.

(2) 在 (1) 的基础上写出一对全等三角形:△＿＿＿＿＿＿＿≌△＿＿＿＿＿＿＿并加以证明.

分析: (1) 按照要求用尺规作∠BAC的平分线AD、作线段AD的垂直平分线, 并连接相关线段.

(2) 由AD平分∠BAC,

可以得到∠BAD=∠DAC;由EF垂直平分线段AD,

可以得到∠EHA=∠FHA=∠EHD=90°, EA=ED,

从而有∠EAD=∠EDA=∠FAH, 再加上公共边,

从而有△AEH≌△AFH≌△DEH.以上三组中任选一组即可.

点评:作角平分线和线段的垂直平分线是新课标中明确提出的基本作图之一, 动手作图, 使学生在操作活动的过程中感受知识的自然呈现, 体验数学的神秘与乐趣, 并实现数学的再创造, 从而进一步感受数学的无限魅力, 促进数学学习.

全等三角形教案 篇5

五常市牛家中学

王冬梅

《全等三角形》说课

一.教材分析

《全等三角形》是八年级上册数学教材第十一章第一节的教学内容。本节课是“全等三角形”的开篇,也是进一步学习其它图形的基础之一。通过本章的学习,可以丰富和加深学生对已学图形的认识,同时为学习其它图形知识打好基础。

本节教材在编排上意在通过全等图案引入新课教学,在新课教学中又由直观演示图形的平移、翻折、旋转过渡,学生容易接受。根据课程标准,确定本节课的目标为:(一)、教学目标:

一、知识与技能

1、了解全等形和全等三角形的概念,掌握全等三角形的性质。

2、能正确表示两个全等三角形,能找出全等三角形的对应元素。

二、过程与方法

通过观察、拼图以及三角形的平移、旋转和翻折等活动,来感知两个三角形全等,以及全等三角形的性质。

三、情感态度与价值观

通过全等形和全等三角形的学习,认识和熟悉生活中的全等图形,认识生活和数学的关系,激发学生学习数学的兴趣。通过感受全等三角形的对应美,培养学生热爱科学、勇于创新的精神和多方位审视问题的能力与技巧。(二)、说教学重点、难点

重点:全等三角形的概念、性质

难点:找对应顶点、对应边和对应角

二、说教法

1、引导发现法

在教学过程中,有意创设诱人的知识情景,增加学生的好奇心、求知欲,产生自觉学习的内在动机,不断提高学生的智慧,发挥其潜力,促进学生的智能发展。

2、谈话法

在师生对话、问答的过程中,用谈话的方式引导学生积极思考、探索,从而使学生在师生之间的交流、同学之间的交流中获得知识。

三、说学法

1、通过接触身边环境中的数学信息,激发学生的学习兴趣,产生自觉学习的内在动机,引导学生踏上自主学习之路。

2、看听结合,形成表象。

3、手脑结合,自主探究。

四、教学流程设计

1、情景导入

课前展示背景为悉尼歌剧院的倒影的图片(目的引起学生们的兴趣:全等三角形和歌剧院有什么联系?)展示庐山风景,使学生的思维很快处于兴奋状态,这样,引导学生积极思维,让学生们认识到全等图形就在我们身边,以利于培养学生的探索性思维能力,激发学生的求知欲。

2、探求新知

通过观察、操作让学生感受完全重合的图形有很多,从而得出全等形的概念。

3、通过演示让学生体会出全等三角形的概念和对应顶点、对应边、对应角的概念以及全等三角形的性质,并以图形变换的形式在练指出对应顶点、对应边、对应角,由此去理解“对应顶点写在对应的位置上”的含义。

4、通过学生对全等三角形的观察,合作交流,从而得出找全等三角形的对应边、对应角的方法。

5、小结提高

通过今天的学习,同学们有哪些收获?(由学生自我完成知识的体系,纳入已有的知识体系,逐步形成解决问题的技能和思想)

6、拓展与延伸(合作交流完成探究题)

7、板书设计 13.1全等三角形

1、全等三角形的概念

2、△ABC≌△DEF

3、对应顶点、对应边.、对应角

4、全等三角形的性质

5、找对应元素的方法 《全等三角形》教案

教学目标

一、知识与技能

1、了解全等形和全等三角形的概念,掌握全等三角形的性质。

2、能正确表示两个全等三角形,能找出全等三角形的对应元素。

二、过程与方法

通过观察、拼图以及三角形的平移、旋转和翻折等活动,来感知两个三角形全等,以及全等三角形的性质。

三、情感态度与价值观

通过全等形和全等三角形的学习,认识和熟悉生活中的全等图形,认识生活和数学的关系,激发学生学习数学的兴趣。

教学重点 在通过观察、实际操作来感知全等形和全等三角形的基础上,形成理性认识,理解并掌握全等三角形的性质

教学难点 正确寻找全等三角形的对应元素

教学关键

通过拼图、对三角形进行平移、旋转、翻折等活动,让学生在动手操作的过程中,感知全等三角形图形变换中的对应元素的变化规律,以寻找全等三角形的对应点、对应边、对应角。

课前准备: 三角板、一对全等三角形硬纸版

学生------白纸一张 硬纸三角形一个 教学过程设计

一、全等形和全等三角形的概念

(一)导课:课前展示背景为悉尼歌剧院的倒影的图片

展示庐山风景,以诗“横看成岭侧成峰,远近高低各不同,不识庐山真面目,只缘身在此山中”指出大自然中庐山的唯一性,但是我们可以通过摄影把庐山的美景拍下来,可以洗出千万张一模一样的庐山相片。

(二)全等形的定义

象这样的图片,形状和大小都相同。你还能说一说自己身边还有哪些形状和大小都相同的图形吗?[学生举例,集体评析] 动手操作1---在白纸上任意撕一个图形,观察这个图形和纸上的空心部分的图形有什么关系?你怎么知道的? [板书:能够完全重合] 命名:给这样的图形起个名称----全等形。[板书:全等形] 刚才大家所举的各种各样的形状大小都相同的图形,放在一起也能够完全重合,这样的图形也都是全等形。(三)全等三角形的定义

动手操作2---制作一个和自己手里的三角形能够完全重合的三角形。

定义全等三角形:能够完全重合的两个三角形,叫全等三角形。[板书课题:13.1全等三角形,]

二、全等三角形的对应元素及表示

(一)自学课本: 2页的 内容(时间5分钟)可以在小组内交流。(二)检测: 1.动手操作

以课本P3页的思考的操作步骤,抽三个学生上黑板完成(即把三角形平移、翻折、旋转后得到新的三角形)思考:把三角形平移、翻折、旋转后,什么发生了变化,什么没有变? 归纳:旋转前后的两个三角形,位置变化了,但形状大小都没有变,它们依然全等。

2.全等三角形中的对应元素

(以黑板上的图形为例,图

一、图二、三学生独立找,集体交流)(1)对应的顶点(三个)---重合的顶点(2)对应边(三条)---重合的边(3)对应角(三个)---重合的角

图一(平移)，图二(翻折)，图三(旋转)归纳:方法一：全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;方法二：全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角。另外:有公共边的,公共边一定是对应边;有对顶角的,对顶角一定是对应角。

3.用符号表示全等三角形

抽学生表示图

一、图二、三的全等三角形。4.全等三角形的性质

思考:全等三角形的对应边、对应角有什么关系?为什么? 归纳:全等三角形的对应边相等、对应角相等。

请写出平移、翻折后两个全等三角形中相等的角,相等的边。

三、课堂训练

1.下面的每对三角形分别全等,观察是怎么变化而成的,说出对应边、对应角。

2.将△ABC沿直线BC平移,得到△DEF(如图)(1)线段AB、DE是对应线段,有什么关系?线段AC和DF呢?(2)线段BE和CF有什么关系?为什么?(3)若∠A=50°∠B=30°,你知道其他各角的度数吗?为什么? 3.议一议:△ABE≌△ACD,AB与AC,AD与AE是对应边,∠A=40°,∠B=30°,求∠ADC的大小。

四、谈谈学习本节课的收获与感受

五、作业:课本4页习题11.1 第2题、3题、4题。

板书设计:

1、全等三角形的概念

2、△ABC≌△DEF

3、对应顶点、对应边.、对应角

4、全等三角形的性质

5、找对应元素的方法

《三角形全等的判定》教学设计

五常市牛家中学

王冬梅

一、教材分析（说教材）：

1.教材所处的地位和作用：

《三角形全等的判定》是初中《数学》人教版教材，八年级上册第十一章第二节的内容。在此之前学生已学习了全等三角形的定义、性质，对全等三角形有了一定的了解，这为过渡到本节的深入学习起着铺垫作用。本节内容是在本章内容中，占据重要的的地位。以及为其他学科和今后的几何学习打下基础。

2.教育教学目标：

根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：

1)知识与技能：

1、掌握“边边边”条件的内容。

2、能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全等。2)过程与方法：使学生探索三角形全等的条件的过程，体验用操作、归纳得出数学结论的过程。

3)情感态度与价值观：通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探究的良好品质以及发现问题的能力。

教学重点：掌握并理解三角形全等的判定方法

教学难点：探究三角形全等的条件

二、教学策略（说教法）

1.教学手段： 为了让学生充分理解和掌握三角形判定定理，突破难点，我在教学过程中，采用两探究引出定理，两个运用定理的例子，来进行教学。探究中主要用尺规作全等三角形的方法中引出全等三角形的条件，进而得出定理。这样学生就更容易理解和掌握定理。在用两个练习巩固知识。

2.教学方法及其理论依据：为了调动学生学习的积极性，充分体现课堂教学的主体性，我采用自学、议论、引导教学法，以学生为主体，老师为主导，引导学生运用观察、分析、概括的方法学习这部分内容，在整个教学过程当中，贯穿以学生为主体的原则，充分鼓励和表扬同学。

3.学情分析：（说学法）

1、八年级学生的思维已逐步从直观的形象思维为主向抽象的逻辑思维过渡，而且具备一定的信息收集的能力。

2、学生自主探索，思考问题，获取知识，掌握方法，真正成为学习的主体。

3、学生在在讨论学习中体验学习的快乐。讨论交流的友好氛围，让学生更有机会体验自己与他人的想法，从而掌握知识，发展技能，获得愉快的心理体验。

4.教学程序：

（1）复习回顾上节课内容：

定义：能够完全重合的三角形叫做全等三角形，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角

性质：全等三角形对应边和对应角相等

三角形全等的性质让我们知道AB=A’B’ BC=B’C’ AC=A’C’∠A=∠A’ ∠B=∠B’ ∠C=∠C’，满足六个条件中这一部分，能确定△ABC≌△A’B’C’，先让学生画出△ABD，再让学生在画△A’B’C’过程中明白，确定一个条件或两个条件下不能确定两个三角形全等，通过适当时间的引导探究得出得出，当 AB=A’B’ BC=B’C’ AC=A’C’时，只能画出一个A’B’C’满足条件，于是得出定理：三个对应边相等的两个三角形全等，简写成SSS。

（3）得出定理，我通过讲解简单的例题，让学生懂得定理SSS定理的运用。

（4）小结：通过本节课的学习，你有哪些收获？

（5）我的板书：我会把复习内容和这节课的定理用红色粉笔标明在左边，中间板书探究和例题的内容，右边板书练习的参考答案。

（6）布置作业：P15, 第1，3题，预习P10-P12的内容。

《三角形全等的条件》教案（1课时）

教学目标：

知识与技能：掌握“边边边”条件的内容。能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全等。

过程与方法：使学生探索三角形全等的条件的过程，体验用操作、归纳得出数学结论的过程。

情感态度与价值观：通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探究的良好品质以及发现问题的能力。

教学重点：“边边边”定理。教学难点：探究三角形全等的条件。

教学方法：创设情境—提出问题—分类探究—自主验证—合作交流

教学过程: 温故知新：全等三角形定义及性质 [探究活动1]: 问题：（1）如果△ABC≌△ABC，点A与点A，点B与点B是对应点，试找出其中相等的线段和角。

（2）如果△ABC与△A’B’C’满足三条边对应相等、三个角对应相等，即AB﹦A’B’，BC﹦B’C’，CA﹦C’A’，∠A﹦∠A’，∠B﹦∠B’，∠C﹦∠C’这六个条件就能保证两个三角形全等吗？

（3）△ABC与△ABC全等是不是一定要六个条件呢？满足上述六个条件中的一部分是否能保证两个三角形全等呢？

该活动的设计意图为：明确探究方向，激发探究欲望。[探究活动2]: 问题：（1）△ABC与△ABC满足上述六个条件的一个有几种情形？满足上述六个条件中的两个有几种情形？

（2）先任意画一个△ABC，再画△ABC，使△ABC与△ABC 满足上述六个条件中的一个或两个。你画出的△ABC与△ABC 一定全等吗？试一试。该活动的设计意图为：

1、通过学生实践，形成认知：只给出一个条件或两个条件不能保证所画的三角形一定全等。

2、让学生在合作学习中共同解决问题，使学生主动探究三角形全等的条件，培养学生分析、探究问题的能力。

[探究活动3]: 问题：（1）、满足上述条件中的三个条件，能保证△ABC与△ABC全等情况讨论，有哪几种情况？

（2）、我们先探究两个三角形三边分别相等这种情况：先任意画一

△ABC，再画△ABC，AB﹦AB，BC﹦BC，CA﹦CA。（3）、你能画出满足上述条件的△ABC（4）、把画好的△ABC ABC上，它们全等吗？

（5）、上面的探究反映了什么规律？(引出规律：三边对应相等的两个三角形全等。可以简写成“边边边”或“SSS”)（6）、我们曾经做个这样的实验：将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架的形状、大小就不变了。你能解释其中的道理吗？

该活动的设计意图为：

1、让学生明确满足条件中的三个有哪几种情形，为以后的学习埋下伏笔。

2、以学生画图活动为主线展开探究活动，注重“SSS”条件的发生过程和学生的亲身体验，从实践中获取“SSS”条件，培养学生探索、发现、概括规律的能力。

[探究活动4]：

问题：例

1、如图，△ABC是一个钢架，AB﹦AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证：△ABD≌△ACD。

证明：∵ D点是BC的中点

∴ BD﹦CD 在△ABD与△ACD中

AB﹦AC BD﹦CD AD﹦AD ∴△ABD≌△ACD 练习题：工人师傅常用角尺平分一个任意角。做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM﹦ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合。过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线。为什么？

该活动的设计意图为：

1、培养学生的逻辑推理能力，学会运用“SSS“条件判定三角形全等。

2、培养学生的独立分析能力，会运用“SSS“条件判断三角形全等，规范地书写证过程。

[学生活动5]：思考题：如图：已知AC﹦FE，BC﹦DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD﹦FB，要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC﹦FE，BC﹦DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？

附加题：如图，四边形ABCD中，AB﹦CD，AD﹦BC，你能把四边形ABCD分成两个相互全等的三角形吗？你能证明你的方法吗？试一试。

该环节的设计意图：培养学生观察图形的能力和分析问题的能力，会从问题中的条件出发，获得运用“SSS”条件所需的条件。

课堂小结：从本节课的学习中你有何收获？

用全等三角形研究“筝形” 篇6

1. 让学生运用已有的平面图形的学习经验，特别是利用三角形全等研究“筝形”的性质；

2. 在研究“筝形”性质时，引导学生充分利用已有的研究图形的经验，比如画图、测量、折纸等方法猜想图形的可能的性质，并通过推理论证证明图形的性质；

3. 通过对陌生图形性质的探索研究，培养学生探索未知领域的能力.

二、 活动流程

（一） 定义筝形

我们把两组邻边分别相等的四边形称为“筝形”.如图，已知AD=CD，AB=CB.

活动预设：定义之后，由学生画一个筝形，标注出相等的边，小组内展示、对比.

（二） 研究筝形

带着问题去研究：筝形的边、角、对角线有哪些性质？建议同学们用测量、折纸等方法猜想，然后试着用全等三角形的知识证明自己的猜想.

活动预设：学生可能提出邻边之间的等量关系，有一组对角相等，对角线互相垂直，有一条对角线平分另一条对角线等等；先在小组内交流、完善、条理化，然后在大组汇报展示各组的成果.教师可在学生汇报某种性质之后，现场追问其他小组同学是否理解他们的探究心理.

（三） 问题拓展

思考：若AC=6 cm，BD=8 cm，求筝形ABCD的面积.

预设：由前面的探索，学生已知道对角线互相垂直，则可以利用这一性质来求筝形的面积.

（四） 完成小论文

全等三角形的概念透析 篇7

一、全等形与全等三角形

形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合. 能够完全重合的两个图形叫做全等形. 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.

注意:一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但形状、大小都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 两个全等形的周长相等,面积相等.

例1下列每组中的两个图形,是全等图形的为( ).

【答案】A

【解析】B、C、D选项中形状相同,但大小不等.

【评注】是不是全等形,既要看形状是否相同,还要看大小是否相等.

【变式】如图,在5个条形方格图中,图中由实线围成的图形与1全等的有_____.

【答案】2、4

提示:找出与1形状、大小相同的图形.

二、对应顶点、对应边、对应角

1. 对应顶点、对应边、对应角的定义

两个全等三角形重合在一起,重合的顶点叫对应顶点,重合的边叫对应边,重合的角叫对应角.

在写两个三角形全等时,通常把对应顶点的字母写在对应位置上,这样容易找出对应边和对应角. 如下图,△ABC与△DEF全等,记作△ABC≌△DEF,其中点A和点D、点B和点E、点C和点F是对应顶点;AB和DE、BC和EF、AC和DF是对应边;∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F是对应角.

2. 找对应边、对应角的方法

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;

(2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角;

(3)有公共边的,公共边是对应边;

(4)有公共角的,公共角是对应角;

(5)有对顶角的,对顶角一定是对应角;

(6)两个全等三角形中一对最长的边(或最大的角)是对应边(或角),一对最短的边(或最小的角)是对应边(或角),等等.

例2如图,△ABN≌△ACM,∠B和∠C是对应角,AB与AC是对应边,写出其他对应边和对应角.

【答案与解析】对应边:AN与AM、BN与CM.

对应角:∠BAN与∠CAM、∠ANB与∠AMC.

【评注】全等三角形对应角所对的边是对应边;全等三角形对应边所对的角是对应角.

【变式】如图 ,△ABD≌△ACE,AB=AC,写出图中的对应边和对应角.

【答案】AB和AC是对应边,AD和AE、BD和CE是对应边,∠BAD和∠CAE是对应角,∠B和∠C,∠ADB和∠AEC是对应角. 在找对应边和对应角时可以根据图形进行,即最长边与最长边是对应边,最短边与最短边是对应边,最大角与最大角是对应角,最小角与最小角是对应角. 最关键是找出对应字母,按照字母来找对应线段和对应角. 这就要求我们平时在书写时一定要注意规范,按照字母的对应方式书写全等. 如△ABC≌△DEF与△ABC和△DEF全等是有区别的. 前者规定了A、D,B、E,C、F的对应,而后者就有好多种对应情况了.

三、全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等;

全等三角形的对应角相等.

注意:全等三角形对应边上的高相等,对应边上的中线相等,周长相等,面积相等. 全等三角形的性质是今后研究其他全等图形的重要工具.

例3如图△ABC≌△DEF,AB=8,BC=6,求DF的取值范围.

【答案】2<DF<14.

【解析】由△ABC≌△DEF,得到对应边相等. 即DE=AB=8,EF=BC=6.

根据△DEF三边关系,2<DF<14.

【变式】在此题目中,如果△ABC的面积为20,其他条件不变,那么△DEF的面积是多少?周长的范围是什么?

【答案】根据全等三角形面积、周长分别相等,△DEF的面积也为20. 又2<AC<14,所以2+14<AC+AB+BC<14+14.

故16<△ABC的周长<28.

即16<△DEF的周长<28.

四、全等三角形的条件

基本事实:

两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(SAS).

两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(ASA).

三边分别相等的两个三角形全等(SSS).

推论:

两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS).

定理:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(HL).

这5种判定方法中两个三角形都具备3对元素(边或角)分别相等的条件.

用几何画板验证“全等三角形” 篇8

一、三边对应相等

已知△ABC的三边AB=c, BC=a, CA=b, 求作△ABC.

过程:先作线段AB=c, 然后分别以A、B为圆心, b、a为半径画圆, 如果两圆不能相交, 则说明给定的三边不能组成三角形, 这验证“三角形的两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边”.如图1, 我们看到, 两圆相交于两点C、D, 连接AC、AD、BC、BD, 则得到△ABC和△ABD, 度量三对角, 发现它们分别相等, 则说明这两个三角形全等.从这里可以看出, 有了三边的长度, 不用考虑角的大小, 就能把三角形唯一确定下来.这说明若三角形的三边相等, 则两三角形全等.

二、两边对应相等

(1) 无角相等:已知△ABC的两边AB=c, CA=b, 求作△ABC.

过程:先作线段AB=c, 再以A点为圆心, b为半径画圆, 在圆上任取一点C与A、B连接, 所形成的三角形均满足两边AB=c, CA=b的条件, 如图2, 拖动点C, 可以看到, 这样的三角形有无数, 这说明两边对应相等的两个三角形不全等.

(2) 两边的夹角相等:已知△ABC的两边AB=c, AC=b和它们的夹角∠BAC=∠α, 求作△ABC.

过程:先作∠BAC=∠α, 然后以点A为圆心, 分别以c, b为半径画圆, 交∠A的两边于B、C两点, 连BC, 则图3中有一个确定的△ABC, 满足条件AB=c, AC=b, ∠BAC=∠α.这说明若三角形的两边及两边的夹角对应相等, 则两三角形全等.

(3) 一边的对角相等:已知△ABC的两边AB=c, BC=a和边BC的对角∠BAC=∠α, 求作△ABC.

过程:先作∠BAC=∠α, 然后以点A为圆心, 以c为半径画圆, 交∠A的一边于B点, 再以B点为圆心, a为半径画圆, 可以看到, 这个圆与∠BAC的另一边有两个交点, 如图4 (也可能是一个交点, 也可能没有交点) , 即满足条件的三角形不能唯一确定, 这说明若三角形的两边及一边的对角对应相等, 则两三角形不一定全等.

由上面的三点讨论知:当已知三角形的两边对应相等时, 必须再知道它们的夹角相等, 才能确定这两个三角形全等, 而SSA不能判定两个三角形全等.

三、有一边相等

两个三角形全等的条件探析 篇9

1. 知识目标

(1) 经历探索三角形全等条件的过程, 体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。 (2) 掌握三角形的“边边边”条件, 了解三角形的稳定性。 (3) 在探索三角形全等条件及其运用的过程中, 能够进行有条理的思考并进行简单的推理。

2. 能力目标

(1) 在活动中培养学生动手能力。 (2) 培养学生观察、分析归纳能力。 (3) 培养学生自主探究和合作交流能力。

3. 情感目标

(1) 利用现代信息技术激发学生学习的热情, 培养学生学习数学的兴趣。 (2) 学生在动手实践、自主探索、合作交流中获得成功的体验。 (3) 在合作学习及相互交流中, 培养学生的团结协作的精神。

二、教学重点、难点

重点:掌握三角形的“边边边”条件。难点:探索三角形全等条件的过程及其运用。

三、教学方法

自主探究———提出问题———归纳总结。分组讨论 (自主探究、合作交流) ———师生交流———形成共识———解决问题。

四、教学准备

剪刀、三角板、圆规、硬纸片。

五、教学过程

1. 课前复习

(1) 全等三角形的___相等, ___相等。

(2) 如图1, 已知△AOC≌△BOD, 则∠A=∠B, ∠C=____, ____=∠2, 对应边有AC=____, ____=OB, ____=OD。

(3) 判定两个三角形全等, 依定义必须满足 () 。A.三边对应相等、B.三角对应相等、C.三边对应相等和三角对应相等、D.不能确定

2. 引入课题

我们知道, 三条边、三个角对应相等交给学生, 让他们自己去寻找题目巩固今天所学的知识, 或者把自己在这单元没有弄明白的知识点进行整理, 或者是把自己的疑问拿出来大家共同探讨。把主动权交给学生, 能培养他们自主学习的习惯。

生1 (在班级成绩中等) 拿出一题:

如图3, 一块绿地的两边AD、BC平行, 绿地中间开辟两条道路, 每条道路的宽处相等, 且EF=GH=PQ=MN, 请问两条道路的面积是否相等?并说明理由。

的两个三角形能够完全重合, 所以, 这样的两个三角形是全等三角形。今天, 我们就来学习《两个三角形全等的条件》。

3. 合作学习, 领悟新知

让学生打开书144页~145页, 进行观察与思考?然后回答后面的问题。先独自填表, 然后小组讨论。

找生回答:一个条件 (一条边对应相等, 一组角对应相等) 的两个三角形不全等。两个条件 (两条边对应相等, 一条边或一组角对应相等) 的两个三角形不全等。三个条件 (三个角对应相等) 的两个三角形不全等。我们发现这几种情况都不能说明两个三角形全等。那么究竟什么样的条件才能判断两个三角形全等呢?

一起探究:教师拿出课下准备好的边长分别为7cm、8cm、9cm的三角形硬纸片, 同桌之间比较一下, 然后观察两个三角形是否能重合? (找生演示)

教师再拿出课下准备好的边长分别为6cm、8cm、10cm的三角形硬纸片, 小组内比较一下, 然后观察两个三角形是否能重合? (找某一小组进行演示)

最后, 教师让某一小组拿出边长分别为7cm、8cm、9cm的三角形硬纸片, 同另一小组拿出边长分别为6cm、8cm、10cm的三角形硬纸片, 组与组之间比较一下, 然后观察两个三角形是否能重合? (找某两个小组进行演示)

小组讨论:具备什么样的条件才能判断两个三角形全等呢?

通过实践探究, 得出结论: (找生回答) 如果两个三角形的三边对应相等, 那么这两个三角形全等。这时教师板演, 并告诉同学这个事实可以简写成“边边边”或“SSS”。

接下来, 教师在黑板画出两个三角形, 用符号语言表示两个三角形全等, 如何书写。 (这一点很关键)

4. 应用新知, 拓展提高

虽然本题与例题在理论上是一致的, 但是教师也给予此生充分的肯定。此生能拿出题目, 说明他在这个过程中已进入独立思考的境界。

总之, 例题是学习的范例, 学生要通过

试一试:导学案1、2、3题, 简单就过去, 有疑难可让学生展示。

考考你的眼力:

问:为什么这些建筑和物品都用三角形结构?答:三角形具有稳定性。 (可以用学具模型进行展示, 使学生更加记忆深刻。) 然后板书第二个学习目标:三角形的稳定性。找生口答:思考1、2、3题。

(1) 四边形不具有稳定性, 你能想出什么办法让它们的形状不发生变化?把四边形的问题转化为 () 的问题来解决。

(2) 一扇窗户打开后, 可用窗钩将其固定, 这样做所运用的数学原理是____。

(3) 在建筑工地我们常可看见用木条固定长方形门框的情形。这种做法根据 () 。A.两点之间线段最短、B.两点确定一条直线、C.三角形的稳定性、D.长方形的四个角都是直角

六、反思体验, 完善认识

本节课的学习, 同学们一定学有所得, 学有所悟吧! (1) 哪位同学愿意把自己的体会和感受和同学们谈一谈? (2) 你还有什么问题要向同学和老师请教吗?

七、总结评价, 布置作业

教师赠言:愿我们像大雁一样, 在知识的海洋中自由的展翅翱翔。作业:P147习题1、2。

经过精心的教学设计, 本节课的实际效果较好, 成功之处主要在于: (1) 整个教学流程设计环环相扣, 层层递进, 本来枯燥的课堂变得生动了, 学生的积极性得到了极大提高。 (2) 在几个环节的设计上适时引入丰富的内容, 如动手实践、演示等, 使学生耳目一新, 从而极大地激发了学生的学习兴趣以及参与课堂学习的热情。不足之处在于还没有更深入、更全面地了解学情。

(河北省宽城县第二中学)

例题的学习, 了解例题所代表的一类知识的规律和理解方法。但这并不是说只要学生学会了例题就可以自然而然地解决与之相似的问题, 要能举一反三, 他们还需要有一个深入思考的过程, 甚至要经过若干次错误与不完善的思考, 这样才能达到一定的熟练程度, 把知识内化为自己的知识, 从而提升能力, 增长才干。

利用全等三角形解决实际问题 篇10

例1如图1所示,线段AB是一个池塘的长度,现在想测量这个池塘的长度,在水上测量不方便,你有什么好的方法较方便地把池塘的长度测量出来吗?想想看.

思路:将实际问题转化为数学问题.因为要测量线段AB的长,而线段AB不好直接测量,就要找一条与AB相等的好测量的线段,由此想到建立三角形全等的模型.

解:在平地上取一个可以直接到达A、B两点的点C,连接AC并延长到点D,使DC=AC,连接BC并延长BC到点E,使CE=CB,这样在△ABC与△DEC中,有CA=CD,CB=CE,且∠ACB=∠DCE,则依据“SAS”可得△ABC≌△DEC,从而DE=AB,因为DE是可直接测得的,这样即可得到AB的距离.

类似的问题还有:

例2如图2所示,要检验一个圆柱形容器的内径是否符合要求. 由于瓶颈较小,无法直接测量,你能想出一种测量方案吗?

分析:为了测量内径,我们可以设计如图所示的卡钳AB、CD. O为卡钳两柄的交点,且有OA=OB=OC=OD,若此工件恰好能通过卡钳CD,则此工件的内径必是AB之长了.

解:在△AOB和△DOC中,

∴△DOC≌△AOB(SAS).

∴CD=AB(全等三角形对应边相等).

例3 1805年,拿破仑率法军与德军在莱茵河畔激战,德军的碉堡在莱茵河北岸A处,如图所示,因不知河宽,法军大炮很难瞄准敌军碉堡,拿破仑面向碉堡的方向站好,然后调整帽子,使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部,然后,他转过一个角度,保持刚才的姿势,这时视线落在了自己所在岸的某一点B处,接着他让士兵丈量他脚站的O处和B点间的距离,并下令按照这个距离炮轰敌军碉堡,法军能击中目标么?试说明理由.

分析:可以击中目标. 拿破仑实际上是运用了三角形全等的知识. 要说明其中的道理,首先要根据实际情景建立数学模型,将情景抽象为几何图形. 如图3所示,法军阵地与德军碉堡之间的距离无法测量,即AO不可测量,但线段BO的长度可以测得,又因为拿破仑与地面是垂直的,也就是∠BOC=∠AOC=90°,另外他的身高与姿态是不变的,所以OC=OC,根据视线可知∠BCO = ∠ACO. 依据“ASA”可知△AOC≌△BOC,所以AO=BO,所以只要测得BO的距离,就可得到AO的距离.

解:如图3,在△AOC和△BOC中,

∴△AOC≌△BOC(ASA).

∴AO=BO(全等三角形对应边相等).

例4如图4所示,有一块不规则土地ABDC,分别被甲、乙二人承包,一条公路GEFH穿过这块土地,EF左边是甲,右边是乙,AB//CD,为方便通行,决定将这条公路尽量修直,但要求甲、乙二人的土地面积不变,请你设计一种方案解决这个问题,并说明方案正确的理由.

分析:要解决这个问题,先转化为等积问题. 而三角形全等是比较好的数学模型.

解:取EF的中点O,连接GO并延长交FH于点M,设GM分别交AB、CD于点P、Q,由AB//CD,可得∠PEO=∠QFO,又因为EO=FO,∠EOP=∠FOQ,故△EOP≌△FOQ,所以这个方案能保持甲、乙二人的土地面积不变,GM就是修直后的公路.

例5小明同学不慎将一块三角形玻璃打碎成两块,他只带其中的一块可以配一块与原来一样的三角形玻璃吗?

分析:若想配一块和原来三角形全等的三角形玻璃,根据三角形全等的条件,图中的第2部分符合与原来三角形全等的条件“ASA”,所以应带第二部分去配玻璃.

解:他带其中的第2块去配就可以配一块与原来一样的玻璃.

以上例题,都是将实际问题转化为数学问题,通过创建三角形全等数学模型来解决的.

全等三角形创新题赏析 篇11

例1 （2010年福建省泉州市）如图1，已知点E、C在线段BF上，BE=CF，请在下列四个等式中，

①AB＝DE，②∠ACB＝∠F，③∠A＝∠D，④AC＝DF。选出两个作为条件，推出△ABC≌△DEF，并予以证明。（写出一种即可）

已知：____________，____________。

求证：△ABC≌△DEF。

解析 已知：①④（或②③、或②④），

证明：因为BE=CF，所以BE+EC=CF+EC，即BC=EF。

在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF。

所以△ABC≌△DEF。

點评 本题考查了全等三角形识别的方法，解答时要求吃透全等三角形每一个识别方法的涵义，结合图形来证明。

例2 （2010年辽宁省阜新市）如图2①所示，已知AE⊥FE，垂足为E，且E是DC的中点。

（1）如图2①，如果FC⊥DC，AD⊥DC，垂足分别为C、D，且AD=DC，试判断AE是∠FAD的角平分线吗？（不必说明理由）

（2）如图2②，如果(1)中的条件去掉“AD=DC”，其余条件不变，（1）中的结论仍成立吗?请说明理由。

（3）如图2③，如果(1)的条件改为AD∥FC，（1）中的结论仍成立吗？请说明理由。

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解析 （1）AE是∠FAD的角平分线，

（2）成立，延长FE交AD延长线于点B，因为E是DC的中点，

所以EC=ED。∠FEC=∠DEB，∠FCE=∠EDB＝90°，

所以△FCE≌△BDE，所以FE=EB。

在△AFB中，点E是FB的中点，AE⊥FB，

所以AE是∠FAD的角平分线。

（3）成立，延长FE交AD的延长线于点B，∠FEC=∠DEB，EC=ED。

因为FC∥AD，所以∠FCE=∠EDB。

所以△FCE≌△BDE，所以FE＝EB。

所以在△AFB中，AE是∠FAD的角平分线。

点评 本题不断改变条件，探索在不同的条件下结论是否成立，再通过推理论证的思维方法分别进行论证。

例3 （2010年四川省内江市）如图3，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE＝90°，AE交CD于点F，BD交CE、AE于点G、H，试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由。

解析 猜测AE=BD，AE⊥BD。

理由如下：

因为∠ACD=∠BCE=90°，

所以∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB。

因为△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，

所以AC=CD，CE=CB。

所以△ACE≌△DCB，所以AE=DB，∠CAE=∠CDB。

因为∠AFC=∠DFH，所以∠DHF=∠ACD=90°。

所以AE⊥BD。

“三缺一”时如何判定三角形全等 篇12

一、已知两角对应相等

思路1找已知两角的夹边对应相等,利用“ASA”说明.

思路2找其中一角的对边相等,利用“AAS”说明.

例1如图1,点D、E分别在线段AB,AC上,BE,CD相交于点O,且∠B = ∠C,要使△ABE≌△ACD,需添加一个条件是_______ ( 只要写一个条件) .

分析: 本题的关键是抓住题 中的∠B =∠C,以及∠A = ∠A这一隐含条件,再去根据两个思路寻找需添加的条件. 如: AB = AC( ASA) ,或AE = AD( AAS) ,或EB = DC( ASA) ,均可说明△ABE≌△ACD.

解: 添加AB = AC或AE = AD或EB = DC中的一个即可.

二、已知两边对应相等

思路1找已知两边的夹角对应相等,利用“SAS”说明.

思路2找第三边对应相等,利用“SSS”说明.

例2如图2,A、E、B、D在同一直线上,AB = DE,AC = DF,要使△ABC≌△DEF,需添加的一个条件是 ______,并说明理由.

分析: 本题的突破口是题中已经具备的两个条件,即AB = DE,AC = DF,这时只缺夹角对应相等 ( ∠A = ∠D) 或第三边对应相等( BC = EF) .

简解: 当填∠A = ∠D时,可根据“SAS”说明△ABC≌△DEF.

当填BC = EF时,可根据“SSS”说明△ABC≌△DEF.

三、已知一边和一角对应相等

1. 若已知的一边是已知角的对边,则找任一组角对应相等,利用“AAS”说明.

例3如图3,点B在AE上,∠C = ∠D,要使△ABC≌△ABD,可补充的一个条件是:______ ( 写一个即可) .

分析: 要使△ABC≌△ABD,看上去只具备∠C = ∠D一个条件,实质上还有一隐含条件AB = AB,可根据“AAS”补充∠CAB = ∠DAB或AE平分∠CAD或∠CBA = ∠DBA等. 因此本题的关键是寻找到隐含条件AB = AB.

解: 补充∠CAB = ∠DAB、AE平分∠CAD、∠CBA = ∠DBA中的任一个即可.

2. 若已知的一边与已知的一角相邻.

思路1找这个角的另一邻边对应相等,利用“SAS”说明.

思路2找这条边的另一邻角对应相等,利用“ASA”说明.

思路3找这条边所对的角对应相等,利用“AAS”说明.

例4如图4,已知AB⊥CF,DE⊥CF,垂足分别为B,E,AB = DE. 请添加一个适当条件______ ,使△ABC≌△DEF, 并说明理由.

分析: 本题的着眼点是要使△ABC≌△DEF,已经具备的条件是∠ABC = ∠DEF = 90°,AB = DE,需再添加一个角或一条边.

简解: 当填BC = EF( 或BF = CE) 时,可根据“SAS”说明△ABC≌△DEF;

当填∠A = ∠D时,可根据“ASA”说明△ABC≌△DEF;

当填∠C = ∠F,可根据“AAS”说明△ABC≌△DEF;

当填AC = DF,可根据“HL”说明△ABC≌△DEF.