全等三角形的证明

全等三角形的证明（通用12篇）

全等三角形的证明 篇1

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全等三角形的证明

1、已知：（如图）AD∥BC，AD=CB，求证：△ADC≌△CBA。

B C2、已知：如图AD∥BC，AD=CB，AE=CF。求证：△AFD≌△CEB。AC3、已知，如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。求证：△ABD≌△ACE。

A

C

ED4、已知，如图，点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD。求证：AB=DE，AC=DF。

E

B F C5、已知，D是△ABC的边AB上的一点，DE交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。求证：AE=CE。

E

D

B

C

6、已知，如图，AB=AD，DC=CB，求证：∠B=∠D。

B

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A 全等三角形的证明

2、已知：（如图）AD∥BC，AD=CB，求证：△ADC≌△CBA。

B C2、已知：如图AD∥BC，AD=CB，AE=CF。求证：△AFD≌△CEB。AC3、已知，如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。求证：△ABD≌△ACE。

C 1

B

ED4、已知，如图，点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD。求证：AB=DE，AC=DF。

E

B F C5、已知，D是△ABC的边AB上的一点，DE交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。求证：AE=CE。

E

D

B C

6、已知，如图，AB=AD，DC=CB，求证：∠B=∠D。

B

A

全等三角形的证明 篇2

情形一简单组合“SAS”条件进行判定

例1已知:如图1,E是BC的中点, ∠1=∠2,AE=DE.

求证:AB=DC.

【分析】就本题图形与已知条件来看, 要证得AB=DC,只要证得两个三角形全等即可. 从所给的条件来看,已知中直接给定了一组角与一组边对应相等,好像少一组边对应相等,实际上∠1=∠2的另一组夹边以“E是BC的中点”的形式给出了,这三个条件基本上是以比较直接的形式给出的,具体证明只要简单组合一下这三个条件就可以了.

证明:∵E是BC的中点,

∴BE=CE.

在△ABE 和△DCE 中,

∵BE=CE,∠1=∠2,AE=DE,

∴△ABE≌△DCE.

∴AB=DC.

【反思】这种只要直接组合已知条件证明三角形全等的题主要考查基础知识,给出证明时注意几何语句的书写规范.

情形二探寻“夹角”相等实现“SAS” 判定

例2已知:如图2,OP是∠AOC和∠BOD的平分线,OA=OC,OB=OD.

求证:AB=CD.

【分析】由题意,我们只要证得△AOB≌ △COD即可得到结论.这两个三角形全等的条件已直接给出了两组边对应相等,是不是能找到它们的夹角呢?显然,题目已知条件给了“OP是∠AOC和∠BOD的平分线”,能给我们以帮助,可以得到∠AOP= ∠COP,∠BOP=∠DOP,进而由角的差可以得到两个三角形的∠AOB=∠COD,从而获得三角形全等的必要条件.

证明:∵OP是∠AOC和∠BOD的平分线,

∴ ∠AOP=∠COP,∠BOP=∠DOP.

∴∠AOB=∠COD.

在△AOB 和△COD 中,

∴△AOB≌△COD. ∴AB=CD.

【反思】本题也是比较典型的考查全等三角形的基础问题,只要经过简单的探究就能得到一个间接给出的有效条件从而实现问题的解决,解题时注意题目中一些间接信息的转译,一些间接信息是发现有效条件的来源.

情形三探寻一组“有效的边”相等应用“SAS”判定

例3如图,点C,E,B,F在同一直线上,∠C=∠F,AC=DF,EC=BF.求证:△ABC≌ △DEF.

【分析】由题意,题中直接给出一组对应角、一组对应边相等,还差一组对应边 (BC=EF)就可以应用“SAS”判定两个三角形全等了.观察所给的条件EC=BF,我们可以利用线段的和得到有效的一组对应边BC=EF,于是问题获得解决.

证明:∵EC=BF,

∴EC+BE=BF+BE,即 BC=EF.

在△ABC 与△DEF 中,

∴△ABC≌△DEF(SAS).

【反思】本题寻找另一组“有效的对应边”也是通过题目中间接信息得出的,这种给出一组非对应边的线段相等,从而根据线段的和及等式性质得到对应边相等的解题思路(或意识)是非常重要的,同学们要注意积累.

最后链接一道新考题,帮助同学们巩固本文所讲内容.

小试牛刀

试析证明三角形全等的技巧 篇3

【关键词】三角形全等 证明 两大关键 三类图形 两种方法

一般来说，证明三角形全等就是证明三角形的角和线段相等，这也是初中平面几何的基础理论。所以说，以多角度学习证明三角形全等的方法就是学好初中平面几何的关键，对后续更复杂的几何知识学习也很有帮助。

一、证明三角形全等的两大关键

三角形全等的基本理念就是找准角与角、边与边之间的对应关系，所以本文针对三角形全等证明归纳两大关键要点：

第一，全等三角形的公共边一定要是对应边，而其公共角即对顶角也必须全是对应角。

第二，在全等三角形中，相等的边边关系所对应的角也必须为对应角；反之，相等的角其所对应的边也一定是对应边，如此才能成立三角形全等这一结论[1]。

二、证明三角形全等的三类图形

在初中平面几何教学中，通常认为的全等三角形图形形态应该包括三种：

（一）平移型全等三角形

图1 平移型全等三角形

如图1中所示的即为平移型全等三角形，两个三角形在平移后依然是保持全等关系不变的，以下举例来说。

例1：如图2，在两个三角形△DEF与△ABC中，如果边EF∥BC，且有 ∠EDF=∠BAC，已知边DE=AB=8，AC=12，BC=10，那么边EF的长度为多少？

图2 平移三角形DEF和ABC

因为△DEF与△ABC符合ASA判定定理，∠EDF=∠BAC且AB=DE=8，那么BC=10，所以就有EF=BC=10.

（二）对称型全等三角形

图3 对称型全等三角形

例2：如图4，已知∠DBA=∠CAB，边DB=CA，DA与CB的相交点为O，而E为AB边的中点，试证明OE与AB的位置关系.

图4 对称三角形CAB和DBA

首先，根据ASA判定定理可以得知，因为∠DAB=∠DBA，所以△DBA与△CAB应该为全等三角形，E为AB边的中点，所以OB=OA，∠OBA=∠OAB，所以边OE与边AB应该呈垂直关系，即OE⊥AB.

（三）旋转型全等三角形

图5 旋转型全等三角形

例3：如图6，在平行四边形ABCD中，E、F两点位于对角边AC之上，如果AF=CE，求问DF与BE边的关系.

图6 旋转三角形ADF与CBE

该题求解的是DF与BE两边的关系，从经验来看，两边应该属于平行关系，若想证明DF∥BE，就必须先证明△ADF与△CBE为全等三角形。因为AD∥BF，且AD=BC，∠DAC=∠BCA，AF=CE，所以根据SAS判定定理，可以证明△ADF与△CBE为全等三角形。在证明两三角形全等后，就可以得出结论，边DF=BE，且两边也是平行关系，DF∥BE.

以上三种图形就是在对称、平移和旋转状态下的三种全等三角形，对它们的判定还是要基于四大判定定理，并通过变换图形的角度、位置、垂直平行关系来证明它们可能存在的全等关系。对于初中生来说，它的难点就在于要用角度变换的思维来看待对三角形全等的证明，并学会灵活运用三角形全等的四个判定定理进行证明[2]。

三、证明三角形全等的两种方法

在初中平面几何学习中，对三角形全等的证明存在顺推和逆推两种方法，本文将做出一一解析。

（一）顺推分析法

所谓顺推分析自然是从已知条件出发，利用上述提到的四种判定定理或其他平面几何知识进行推导，再联系结合题目中的已知条件来发展推理过程，最后得出结论。

例4：如图7，线段AB中点为C，其中DC边平分∠ACE，有∠1=∠2，EC边平分∠BCD，有∠2=∠3，且EC=DC，证明△DAC与△EBC为全等三角形.

图7

该题目中所给出的已知条件十分充分，因为C点为线段AB的中点，所以CA=CB。因为DC、EC边平分∠ACE与∠BCD，所以∠1=∠2=∠3。又因为DC=EC，根据SAS判定定理，至此可以说明△DAC≌△EBC.

（二）逆推分析法

逆推分析法是从结论入手的解题方法，它所分析的是到达结论的可行性路径，并且根据结合所给出的已知条件和结论来寻找到正确的证明方法。在三角形全等的求解过程中，逆推分析法是十分常见的。

例5：如图8，已知BA=CA，DA=EA，请求证BD=CE.

∵DA=EA，BA=CA

∴∠C=∠B，∠1=∠2

根据SAS，∵∠B+∠3=∠1，∠C+∠4=∠2

∴∠3=∠4

DA=EA，BA=CA，∴可得△BAD≌△CAE，∴BD=CE.

以上为顺推分析和逆推分析的例题求证，如果能够娴熟掌握上述两种方法技巧，学生还可以结合顺推与逆推，用两种技巧共同解决习题，求证三角形的全等关系[3]。

四、总结

除上述解题方法外，利用公共边、公共角、对顶角等方法也能证明三角形的全等关系。因此可以说，初中平面几何中三角形全等的求解方法是丰富多样的，教师在教学过程中应该在扎实掌握四大判定定理、边角关系的基础理论的基础上，充分打开学生的思路，开阔学生的视野，从不同角度、不同层面来启迪和开发学生的解题能力。而三角形全等证明问题作为初中平面几何的基础知识，也应该被学生所熟悉运用，这对他们未来面对和解决更复杂的几何题型很有帮助。

【参考文献】

[1]娄菊红.浅谈证明三角形全等的一些技巧[J].中学生数理化（八年级数学人教版），2012（07）：6-7.

[2]钱燕群.三角形全等的证明及应用举例[J].读写算（教育教学研究），2011（08）：118-119.

全等三角形证明题 篇4

关于圆点对称的),将直角坐标系关于Y轴翻折,得A1,B1,然后分别

连接A,A1和B,B1后,证AA1O和BB1O两三角行全等!

2有一个正方形,分别连接它的对角,求其中的全等三角形?

3一个等腰三角形,做这个三角形的高线后,求其中的全等三角形?

4在直角坐标系中,有一个直角三角形,将此三角形向左平移6格,求平移后的三角形和原料的三角形是否全等?

5有两个直三角形,其一个三角形三边的长为3,4,5,另一个三角形的直角边长为3和4.求证两三角形全等.(注:SAS)

6一个等边三角形的边长为5cm,另一个等边三角形边长也是5cm,求两个等边三角形全等.(注:SAS或SSS)

7.已知平行四边形ABCD，连接点AC，求三角形ABC和三

角形CDA全等.8等腰梯形ABCD对角相连求全等的三角形?

9在一个圆上，在圆内做两个三角形，圆心是公共的两个三角形的端点，且这两个角度数都为30度，求两三角形全等.(由

于圆半径相等，且两边夹角相等，所以SAS)

10.已知：三角形中AB=AC，求证：(1)∠B=∠C

11三角形ABC和三角形FDE,AB=FD,AC=FE,BC=DE,求全等(SSS)

12三角形ABC和三角形FDE,∠C=∠E,AC=FE,∠A=∠F,求全等

(ASA)

三角形ADF是直角三角形

所以角EAD=90度-角BDA

三角形ADB是直角三角形

所以角BAD=90度-角BDA

所以角EAD=角BAD

CE平行AB

所以同旁内角互补

所以角BAD+角ACE=180度

角BAD=90度

所以角ACE=90度

所以角BAD=角ACE

所以三角形BAD和三角形ACE中

角EAD=角BAD

角BAD=角ACE

AB=AC

由ASA

三角形BAD≌三角形ACE

所以AD=CE

因为D是AC中点，且AB=AC

所以AB=2AD

所以AB=2CE

只要证明直角三角形BAD全等ACE就可以了

AE垂直BD，所以角EAC=角DBA(为什么?因为角EAC+角BAE=90度，而角BAE+角DBA=90度，所以角EAC=角DBA)

然后因为CE平行AB，所以角ACE=90度

看三角形BAD和ACE

角EAC=角DBA

角BAD=角ACE=90

又因为AB=AC

所以两个直角三角形全等

所以AD=CE

又因为BD是中线，所以AC=2AD

所以AB=2CE

∵∠DEC=∠AEB(对顶角相等)

∠A=∠D

AE=ED

∴△ABE全等于△DEC(ASA)

∴EB=EC

∵∠DEC=50°

∴∠BEC=180°—∠EDC=180°—50°=130°

∵BE=EC

∴△BEC是等腰三角形

全等三角形证明写理由 篇5

１．已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

证明：延长AB到，使AE＝，连接DE

∵AD平分∠BAC

∴∠EAD＝∠CAD（）

∵AE＝AC，AD＝AD

∴△AED≌△ACD（）

∴∠E＝∠C（）

∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD（）

∵AE＝AB+BE∴BD＝BE（）

∴∠BDE＝∠E

∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E

∴∠ABC＝2∠C

2． 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE

证明： 在AE上取F，使EF＝EB，连接CF

∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°（）

∵EB＝EF，CE＝CE，∴△CEB≌△CEF（）

∴∠B＝∠CFE

∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°

∴∠D＝∠CFA（）

∵AC平分∠BAD∴∠DAC＝∠FAC

∵AC＝AC

∴△ADC≌△AFC（）∴AD＝AF

∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE

3．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。证明：在BC上截取BF=AB，连接EF

∵BE平分∠ABC

∴∠ABE=∠FBE

又∵BE=BE

∴⊿ABE≌⊿FBE（）

∴∠A=∠BFE

∵AB//CD

∴∠A+∠D=180º（）

∵∠BFE+∠CFE=180º∴∠D=∠CFE（）

又∵∠DCE=∠FCE，CE平分∠BCCE，CE=CE

∴⊿DCE≌⊿FCE（）

∴CD=CF∴BC=BF+CF=AB+CD

４．已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C

证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当ADBC时，E点是射线AB,DC的交点）．∵∠A=∠D，∴ ∠＝∠（）∴△AED是等腰三角形（）

∴AE=DE而AB=CD∴BE=CE（）

∴△BEC是等腰三角形∴∠B=∠C.（）

５． 如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC． 证明：延长AD至BC于点E,∵BD=DC∴△BDC是等腰三角形（）

∴∠DBC=∠DCB（）

又∵∠1=∠2∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2（）

即∠ABC=∠ACB∴△ABC是等腰三角形（）

∴AB=AC

在△ABD和△ACD中

∵ AB=AC（），∠1=∠2（），BD=DC（）

∴△ABD≌△ACD（）∴∠BAD=∠CAD

∵ AB=AC∴AE是BC边上的）

∴AE⊥BC即AD⊥BC

６． 如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF

证明：（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE=∠CAF=90°（）

∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC（）

即∠EAC=∠BAF，E 在△ABF和△AEC中，∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC，∴△ABF≌△AEC（）∴EC=BF；

C（2）如图，根据（1），△ABF≌△AEC，∴∠AEC=∠ABF，∵AE⊥AB，∴∠BAE=90°，∴∠AEC+∠ADE=90°，∵∠ADE=∠BDM（）∴∠ABF+∠BDM=90°（）在△BDM中，∵∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，∴EC⊥BF．

７．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。

证明：（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB ∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90° ∴∠ABM=∠CAN（）∵BM=AC，CN=AB

∴△ABM≌△NAC（）∴AM=AN（2）∵△ABM≌△NAC（）∴∠BAM=∠N

∵∠N+∠４=90°∴∠３+∠４=90°即∠MAN=90°∴AM⊥AN

８．△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE． 证明：作CG⊥AB于Ｇ，交AD于H, ∵ △ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°

∴∠ACH=45º,∠BCH=45º ∵∠CAH=90º-∠CDA, ∠BCE=90º-∠CDA ∴∠CAH=∠BCE（）

又∵AC=CB, ∠ACH=∠B=45º ∴△ACH≌△CBE（）∴CH=BE又∵∠DCH=∠B=45º, CD=DB

全等三角形判定的几点应用 篇6

1. 条件充足时直接应用

证明两个三角形全等的条件比较充分时,只要同学们认真观察图形,结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等.

例1已知:如图,CE⊥AB于点E,BD⊥AC于点D,BD、CE交于点O,且AO平分∠BAC.那么图中全等的三角形有_____对.

【解析】由CE⊥AB,BD⊥AC,得∠AEO=∠ADO=90°. 由AO平分∠BAC,得∠EAO=∠DAO. 又AO为公共边,所以△AEO≌△ADO. 所以EO=DO,AE=AD. 又∠BEO=∠CDO=90°,∠BOE=∠COD,所以△BOE≌△COD. 由AE=AD,∠AEO=∠ADO=90°,∠BAC为公共角,所以△EAC≌DAB. 所以AB=AC. 又∠BAO=∠CAO,AO为公共边,所以△ABO≌△ACO. 所以图中全等的三角形一共有4对.

2. 条件不足时增加条件应用

此类问题实际是指条件开放题,即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分,需要补充使三角形全等的条件. 解这类问题的基本思路是:执果索因,逆向思维,逐步分析,探索结论成立的条件,从而得出答案.

例2如图,已知AB=AE,∠1=∠2,要使△ABC≌△AEF,还需添加的条件是(只需填一个)______.

【解析】要使△ABC≌△AEF,已知AB =AE,∠1=∠2,所以∠1+∠EAC=∠2+∠EAC,即∠BAC=∠EAF.

要使△ABC≌△AEF,根据SAS可知,只需AC=AF即可;根据ASA可知,只需∠B=∠E;根据AAS可知,只需∠C=∠F. 故可添加的条件是AC=AF,或∠B=∠E,或∠C=∠F.

3. 条件隐蔽时添加辅助线应用

在证明两个三角形全等时,当边或角的关系不明显或条件不满足正确的判定方法时,可通过添加辅助线作为桥梁,沟通边或角的关系,从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等.

例3已知:如图,AB=CD,AC=BD.

求证:OB=OC.

【解析】要证OB=OC,即证△ABO≌△DCO,而这两个三角形中只有两对元素对应相等,且条件AC=BD难以运用. 通过连接BC,可以证明△ABC≌△DCB. 从中获取△ABO与△DCO的第三对对应元素∠A=∠D.

证明:连接BC.

因为AB=DC,AC=DB,BC=BC,

所以△ABC≌△DCB.

所以∠A=∠D.

又因为∠AOB=∠DOC,AB=DC,

所以△ABO≌△DCO.

所以OB=OC.

4. 条件中无现成的全等三角形时,构造全等三角形应用

有些几何问题,往往不能直接证明一对三角形全等,一般需要作辅助线来构造全等三角形.

例4已知:如图,DC//AB,∠BAD和∠ADC的平分线相交于E,过点E的直线分别交DC、AB于点C、B.

求证:AD=AB+CD.

方法一:

证明:延长DE、AB交于点F.

因为DC∥AB,

所以∠CDE=∠F.

因为DE平分∠ADC,

所以∠CDE=∠ADE.

所以∠ADE=∠F.

因为AE平分∠BAD,

所以∠DAE=∠FAE.

因为AE=AE,

所以△ADE≌△AFE.

所以AD=AF=AB+BF,DE=EF.

因为∠CDE=∠F,∠DEC=∠FEB,

所以△DCE≌△FBE.

所以CD=BF.

所以AD=AB+CD.

方法二:

证明:在线段AD上截取DF=DC,连接FE,因为DE平分∠ADC,

所以∠CDE=∠ADE.

因为DF=DC,DE=DE,

所以△DCE≌△DFE.

所以∠C=∠DFE.

因为DC//AB,

所以∠C+∠B=180°.

因为∠DFE+∠AFE=180°,

所以∠B=∠AFE.

因为AE平分∠BAD,

所以∠FAE=∠BAE.

因为AE=AE,

所以△BAE≌△FAE.

所以AF=AB.

因为AD=AF+DF,所以AD=AB+CD.

全等三角形的考点精析 篇7

在实际生活中，存在着许多图形，若将它们叠在一起，能够完全重合，也即它们的形状和大小都相同，我们称这种能够重合的图形为全等图形.

温馨提示：理解全等图形需要明确两点：①若两个图形是全等图形，则它们的形状和大小都相同；②若两个图形的形状和大小都相同，则可将它们重叠在一起，因而也就是两个全等图形.

已知一个等边三角形，你能把这个三角形分割成三个全等的三角形吗？你能把它分割成四个全等的三角形吗？

要使分割后的三部分全等，可沿各角的平分线折叠，分割而得的即为符合条件的三角形. 要使分割后的四部分全等，可沿着各边中点的连线折叠，分割而得的即为符合条件的三角形.

分割成的三部分如图1所示，分割成的四部分如图2所示.

下列各组图形，一定不是全等图形的是（ ）

能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 重合的边、角分别叫做对应边、对应角. 如△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF. 符号“≌”可看做是由“∽”与“=”两部分组成，“∽”表示形状相同，“=”表示大小一样. 既然全等三角形能够完全重合，那么全等三角形的对应边相等；对应角相等. 这两条性质是证明两条线段相等、两个角相等的常用依据，千万要记牢！

温馨提示：两个三角形全等与否，与它们的位置无关！记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 养成这一习惯，对今后证明线段相等、角相等尤为重要.

如图3，若△ABC≌△A1B1C1，且∠A=110°，∠B=40°，A1B1=10 cm，求∠C1的度数及AB的长.

由△ABC≌△ABC→可确定两个三角形的对应角→结合三角形内角和是180°，从而求出∠C1.

因为△ABC≌△A1B1C1，所以点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应. 所以AB=A1B1=10 cm. 因为∠A=110°，∠B=40°，所以∠C1=∠C=180°-110°-40°=30°.

如图4，已知△ABC≌△DEF，∠F=∠C，AD=22 cm，BE=2 cm，求线段AB的长并写出∠D的对应角.

全等三角形的判定方法如表一.

判定三角形全等的一般思路如表二.

温馨提示：判定两个三角形全等必须有三对（直角三角形是两对）对应元素相等，并且其中至少有一对是对应边.

如图5，已知∠AOE=∠AOD，∠B=∠C.

求证：（1）△AOB≌△AOC.

（2）△BOE≌△COD.

（1）根据∠AOE=∠AOD，可以得出∠AOE+∠BOE=∠AOD+∠COD，即∠AOB=∠AOC. 又因为∠B=∠C，AO=AO，利用“AAS”就可以得出△AOB≌△AOC.

（2）由△AOB≌△AOC可得到OB=OC，根据对顶角相等可得∠BOE=∠COD，又由已知条件∠B=∠C，并根据“ASA”就可以得到△BOE≌△COD.

（1）因为∠AOE=∠AOD，∠BOE=∠COD，所以∠AOB=∠AOC. 又∠B=∠C，AO=AO，所以△AOB≌△AOC（AAS）.

（2）由△AOB≌△AOC得OB=OC，又∠B=∠C，∠BOE=∠COD，所以△BOE≌△COD（ASA）.

如图6，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，点F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF.

（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF.

（2）若∠CAE=30°，求∠ACF的度数.

（1）由题意知，△ABE和△CBF都是直角三角形，而AE=CF，AB=BC，根据直角三角形的全等方法即可判定两三角形全等.

（2）利用（1）的结论得出∠BCF=∠BAE=15°，从而求出∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.

（1）因为∠ABC=90°，所以∠CBF=∠ABE=90°. 在Rt△ABE和Rt△CBF中，因为AE=CF，AB=BC，所以Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）.

（2）因为AB=BC，∠ABC=90°，所以∠CAB=∠ACB=45°. 因为∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°，由（1）知?摇Rt△ABE≌Rt△CBF，所以∠BCF=∠BAE=15°. 所以∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°.

如图7，在△ABC中，AD是中线，分别过点B，C作AD及其延长线的垂线BE，CF，垂足分别为点E，F． 求证：BE=CF．

角平分線上的点到角的两边距离相等；角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

温馨提示：应用角平分线的性质及其判定时，一定要具备两个垂直距离（即点到直线的距离），证明过程中要直接运用这两个结论，而不要去寻找全等三角形（这样做实际上是重新证明了一次结论）；证明点在角平分线上的常用方法是证明这个点到角的两边距离相等，这样就把证明“点在线上”的问题转化为了证明“线段相等”的问题，体现了“化难为易，化陌生为熟悉”的转化（化归）思想.

如图8，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE与CD相交于点O，且AO平分∠BAC. 求证：OB=OC.

由角平分线的性质可得OD=OE，要证OB=OC，只需要证明△BOD≌△COE.

因为AO平分∠BAC，OD⊥AB，OE⊥AC，所以∠BDO=∠CEO=90°，OD=OE. 又∠BOD=∠COE，所以△BOD≌△COE（ASA）. 所以OB=OC.

全等三角形证明题(含角平分线) 篇8

1．如图，在四边形ABCD中，AC平分DAB,若AB>AD,DC=BC.求证：BD180.图2－

12．如图:已知在ABC中，AC=BC,ACB90,BD平分ABC.DE⊥AB。求证：AB＝BC＋CD.图2－2

3．如图，在ABC中，C2B,12,试证明AB=AC+CD.图2－3

4．如图，已知在ABC中，AD平分BAC，AB+BD=AC.求B︰C的值

5．如图，在ACB中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥GF交AB于点E，连结EG.求证：BG=CF.请你判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论.B

图

3－1 C

G

图3－2

6．如图所示，ABAD,BCDE,12,求证：(1)ACAE;(2)2CAE.1题

7．如图所示，CEAB,BFAC,BF交CE于D,且BD=CD,求证：点D在BACB

CA2题

8．如图所示，已知12,ACBD.说出ABCBAD成立的理由.AB

3题

9．如图所示，在ABC中，AB=AC,AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE.求证：AH=2BD.4题

10．如图，ABC和ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M,BD交AC于点N，求证：（1）BD=CE；（2）BDCE.D6题当ABC绕A点沿顺时针方向旋转到（1）（2）（3）位置时，上述结论是否成立？请说明。

E

EC

C

B

A3

11．如图所示，已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且BAE2DAM.求证：AE=BC＋CE.ME

全等三角形的证明 篇9

全等三角形的证明专题训练 三角形全等的条件

1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。

2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。

3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。由3可推到

4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)

5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”)

所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。

注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

专题训练

一、选择题：

1.能使两个直角三角形全等的条件是()

A.两直角边对应相等C.两锐角对应相等B.一锐角对应相等 D.斜边相等 B.AB4，BC3，A30 D.C90，AB6 2.根据下列条件，能画出唯一ABC的是()A.AB3，BC4，CA8 C.C60，B45，AB

43.如图，已知12，ACAD，增加下列条件：①ABAE；②BCED；③CD；④BE。其中能使ABCAED的条件有()

A.4个B.3个C.2个D.1个

4.如图，12，CD，AC,BD交于E点，下列不正确的是()

A.DAECBEB.CEDE D.EAB是等腰三角形 C.DEA不全等于CBE

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5.如图，已知ABCD，BCAD，B23，则D等于()

A.67 C.23B.46D.无法确定

二、填空题：

6.如图，在ABC中，C90，ABC的平分线BD交AC于点D，且

CD:AD2:3，AC10cm，则点D到AB的距离等于__________cm；

7.如图，已知ABDC，ADBC，E,F是BD上的两点，且BEDF，若

AEB100，ADB30，则BCF____________；

8.将一张正方形纸片按如图的方式折叠，BC,BD为折痕，则CBD的大小为_________；

9.如图，在等腰RtABC中，C90，ACBC，AD平分BAC交BC于D，

DEAB于E，若AB10，则BDE的周长等于____________；

10.如图，点D,E,F,B在同一条直线上，AB//CD，AE//CF，且AECF，若

BD10，BF2，则EF___________；

三、解答题：

11.如图，在ABC中，ABBC，ABC90。F为AB延长线上一点，点E在BC上，BEBF，连接AE,EF和CF。求证：AECF。

12.如图，D是ABC的边BC上的点，且CDAB，ADBBAD，AE是ABD的中线。求证：AC2AE。

13.如图，在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点。求证：ABACPBPC。

ABC为等边三角形，14.如图，点M,N分别在BC,AC上，且BMCN，AM与BN

交于Q点。求AQN的度数。

15.如图，ACB90，ACBC，D为AB上一点，AECD，BFCD，交CD

变化多端的全等三角形 篇10

一、 平移

例1 （2016·湖北武汉）如图1，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB∥DE.

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据已知条件结合图形选择合适的方法. 要证AB∥DE，需证∠ABC=∠DEF，因此考虑证明它们所在的两个三角形全等.已知有两组边分别相等，再证明另一组边分别相等，利用“SSS”证明即可. 具体步骤：

证明：∵BE=CF，∴BC=EF；

在△ABC和△DEF中，

∵BC=EF，AB=DE，AC=DF，

∴△ABC≌△DEF（SSS），

∴∠ABC=∠DEF，∴AB∥DE.

【点评】纵观本题，图中的△DEF与△ABC是通过平移得到的，平移不改变图形的形状和大小，平移前后对应线段相等且平行（或在同一直线上）. 在有两组对应边分别相等的前提下，可以求第三组对应边相等，或者求两组对应边的夹角相等，注意必须是夹角；若有三组对应边分别相等，则可以直接根据“SSS”求解. 已知两边和其中一边的对角分别相等，不能判定三角形全等，即不存在“SSA”判定三角形全等的方法. 如图2所示，AB=DE，∠B=∠DEF，AC=DF，但是△ABC与△DEF不全等.

二、 轴对称（翻折）

例2 （2016·江西）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将Rt△ABC向下翻折，使点A与点C重合，折痕为DE，求证：DE∥BC.

【分析】本题考查了三角形的折叠和平行线的判定，解题的关键是运用轴对称图形的性质. 要证明DE∥BC，必须考虑到∠AED=∠ACB=90°，而如何得到∠AED=90°，就联想到ED平分一个平角，这可以由折叠得到.

证明：由折叠可知：△ADE≌△CDE，

∴∠AED=∠CED，

又∵点A与点C重合，∴∠AEC为平角，

∴∠AED=∠CED=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠AED=∠ACB，∴DE∥BC.

【点评】图中的△ADE与△CDE是通过折叠得到的，折叠属于轴对称变换，根据轴对称图形的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，进而可以找出位置变化前后相应的角相等，线段相等，进而转化为全等判定的条件.

三、 旋转

例3 （2016·湖北荆门）如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在AB、AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF.

（1） 补充完成图形；

（2） 若EF∥CD，求证：∠BDC=90°.

【分析】本题是一道作图与证明的综合题，其中涉及直角三角形、图形的旋转、全等三角形的判定、平行线的性质等，在解第（2）问时，关键是得到△BCD≌△ECF，结合条件推出∠F=90°，通过全等三角形对应角相等，得到∠CFE=∠BDC=90°. 具体步骤：

解：（1） 解：所补图形，如图5所示；

（2） 证明：∵∠BCA=∠DCF=90°，

∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA，

即∠BCD=∠ECF. 又CB=CE，CD=CF，

∴△BCD≌△ECF（SAS），∴∠BDC=∠CFE，

∵CD∥EF，∴∠DCF+∠CFE=180°，

∵∠DCF=90°，∴∠BDC=∠CFE=90°.

【点评】图中的△CEF是通过旋转△CBD得到的，旋转不改变图形形状和大小，旋转角相等，由此可以得到相应的角相等，为全等三角形的判定和角度的计算提供了条件.

四、 旋转与平移的组合

例4 （2016·河北）如图6，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC.

（1） 求证：△ABC≌△DEF；

（2） 指出图中所有平行的线段，并说明理由.

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是寻找全等三角形判定的条件. 第（1）问中，已知两边分别相等，再根据BF=EC得BC=EF，可根据“SSS”证得△ABC≌△DEF；（2）由△ABC≌△DEF可得∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，再根据“内错角相等两直线平行”可证得AB∥DE，AC∥DF. 具体步骤：

解：（1） 证明：∵BF=EC，∴BF+FC=EC+CF，

即BC=EF；又∵AB=DE，AC=DF，

∴△ABC≌△DEF.

（2） 有AB∥DE，AC∥DF.

理由：∵△ABC≌△DEF，

∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE.

∴AB∥DE，AC∥DF.

【点评】图中的△DEF与△ABC是通过旋转再平移得到的，其中的对应边和对应角并不会因为位置的变化而改变，这也为全等三角形和平行线的判定提供了条件.

用几何画板验证“全等三角形” 篇11

一、三边对应相等

已知△ABC的三边AB=c, BC=a, CA=b, 求作△ABC.

过程:先作线段AB=c, 然后分别以A、B为圆心, b、a为半径画圆, 如果两圆不能相交, 则说明给定的三边不能组成三角形, 这验证“三角形的两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边”.如图1, 我们看到, 两圆相交于两点C、D, 连接AC、AD、BC、BD, 则得到△ABC和△ABD, 度量三对角, 发现它们分别相等, 则说明这两个三角形全等.从这里可以看出, 有了三边的长度, 不用考虑角的大小, 就能把三角形唯一确定下来.这说明若三角形的三边相等, 则两三角形全等.

二、两边对应相等

(1) 无角相等:已知△ABC的两边AB=c, CA=b, 求作△ABC.

过程:先作线段AB=c, 再以A点为圆心, b为半径画圆, 在圆上任取一点C与A、B连接, 所形成的三角形均满足两边AB=c, CA=b的条件, 如图2, 拖动点C, 可以看到, 这样的三角形有无数, 这说明两边对应相等的两个三角形不全等.

(2) 两边的夹角相等:已知△ABC的两边AB=c, AC=b和它们的夹角∠BAC=∠α, 求作△ABC.

过程:先作∠BAC=∠α, 然后以点A为圆心, 分别以c, b为半径画圆, 交∠A的两边于B、C两点, 连BC, 则图3中有一个确定的△ABC, 满足条件AB=c, AC=b, ∠BAC=∠α.这说明若三角形的两边及两边的夹角对应相等, 则两三角形全等.

(3) 一边的对角相等:已知△ABC的两边AB=c, BC=a和边BC的对角∠BAC=∠α, 求作△ABC.

过程:先作∠BAC=∠α, 然后以点A为圆心, 以c为半径画圆, 交∠A的一边于B点, 再以B点为圆心, a为半径画圆, 可以看到, 这个圆与∠BAC的另一边有两个交点, 如图4 (也可能是一个交点, 也可能没有交点) , 即满足条件的三角形不能唯一确定, 这说明若三角形的两边及一边的对角对应相等, 则两三角形不一定全等.

由上面的三点讨论知:当已知三角形的两边对应相等时, 必须再知道它们的夹角相等, 才能确定这两个三角形全等, 而SSA不能判定两个三角形全等.

三、有一边相等

全等三角形的典型例题 篇12

全等三角形（1）

一．全等三角形的判定1：三边对应相等的两个三角形全等.简写成“边边边”或“SSS”

几何符号语言：在ABC和DEF中

ABDE∵BCEF ACDF∴ABC≌DEF（SSS）

三．练习：

1．下列说法正确的是（）

A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的周长和面积分别相等 C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．所有等边三角形都全等.2．如图，在ABC中，ABAC，D为BC的中点，则下列结论中：①ABD≌ACD；②BC；③AD平分BAC；④ADBC，其中正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．如图，若ABAC，DBDC，根据 可得ABD≌ACD.5．如图，点B、E、C、F在同一直线上，BECF，ABDE，ACDF.求证：EGCD

6．在ABC中，C90，D、E分别为AC、AB上的点，且ADBD，AEBC，DEDC.求证：DEAB

7．如图，点A、C、F、D在同一直线上，AFDC，ABDE，BCEF 求证：AB//DE

全等三角形的典型例题

四．强化练习：

1．如图，ABAD，CBCD，B30，BAD46，则AC D的度数是（）A．120° B．125° C．127° D．104°

2．如图，线段AD与BC交于点O，且ACBD，ADBC，则下面的结论中不正确的是（）A．ABC≌BAD B．CABDBA C．OBOC D．CD

3．在ABC和A1B1C1中，已知ABA1B1，BCB1C1，则补充条件____________，可得到ABC≌A1B1C1．

4．如图，ABCD，BFDE，E、F是AC上两点，且AECF．欲证BD，可先运用等式的性质证明AF=________，再用“SSS”证明________≌_________•得到结论．

5．如图，在四边形ABCD中，ABCD，ADBC.求证：①AB//CD；②AD//BC．

6．如图，已知ABCD，ACBD，求证：AD．

7．如图，AC与BD交于点O，ADCB，E、F是BD上两点，且AECF，DEBF． 求证：⑴DB；⑵AE//CF

全等三角形的典型例题

8.如图，已知ABDC，ACDB．求证：12．

全等三角形（2）

一．全等三角形的判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.简写为“边角边”或“SAS”

几何符号语言：在ABC和DEF中

ABDE∵BE BCEF∴ABC≌DEF（SAS）

二．例题：如图，D是ABC中边BC的中点，ABDACD，且ABAC.求证：⑴ABD≌ACD ⑵EBEC

三．练习：

1．如图，下列条件中能使ABD≌ACD的是（）

A．ABAC，BC B．ABAC，ADBADC C．ABAC，BADCAD D．BDCD，BADCAD

2．如图，线段AB、CD互相平分交于点O，则下列结论错误的是（）A．ADBC B．CD C．AD//BC D．OCOB

3．如图，已知AD//BC，ADBC.求证：ADC≌CBA

全等三角形的典型例题

4．点A、D、F、B在同一直线上，ADBF，且AE//BC.求证：⑴AEF≌BCD ⑵EF//CD

5．如图，CDDE于D，ABDB于B，CDBE，ABDE.求证：CEAE

6．如图，ABC和ECD都是等边三角形，连接BE、AD交于O.求证：⑴ADBE ⑵AOB60

四．强化练习：

1.如图，DEBC于点E，且BECE，ABAC15，则ABD的周长为（）A．15 B．20 C．25 D．30

2.已知两边及其中一边的对角，作三角形，下列说法中正确的是（）A．能作唯一的一个三角形 B．最多能作两个三角形 C．不能作出确定的三角形 D．以上说法都不对

3.如图，已知B1，BECF，要使ABC≌DEF，下面所添的条件正确是（）

A．ACDF B．BCEF C．ACEF D．ABDE

4.如图，在ABC中，ABAC，点E、F是中线AD上的两点，则图中可证明为全等的三角形有（A． 3对 B．4对 C．5对 D．6对的）全等三角形的典型例题

5.如图，点A、E、B、D在同一直线上，ABDE，ACDF，AC//DF.⑴求证：ABC≌DEF

⑵你还可以得到的结论是（写出一个即可）

6.如图，OP是AOC和BOD的平分线，OAOC，OBOD.求证：ABCD

7.如图，已知E、F是线段AB上的两点，且AEBF，ADBC，AB.求证：DFCE

8.如图1，DEF的顶点D在ABC的边BC上（不与B、C重合），且BACEDF180，ABDF，ACDE，点Q为EF的中点，直线DQ交直线AB于点P.⑴猜想BPD与FDB的关系，并加以证明；

⑵当DEF绕点D旋转，其他条件不变，⑴中的结论是否始终成立？若成立，请你写出真命题；若不成立请你在图2中画出相应的图形，并给出正确的结论（不需要证明）

全等三角形的典型例题

全等三角形（3）

一．全等三角形的判定3：有两角和其夹边对应相等的两个三角形全等.简写成“角边角”或“ASA”

全等三角形的判定4：有两角和其一角对边对应相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS” 几何符号语言：在ABC和DEF中

AD∵ABDE BE∴ABC≌DEF（ASA）

或：在ABC和DEF中

AD∵BE BCEF∴ABC≌DEF（AAS）

二．例题：如图，AECE，AECE，DB90

求证：CDABDB

三．练习：

1．如图，ABC和DEF中，下列能判定ABC≌DEF的是（）A．ACDF，BCEF，AD B．BE，CF，ACDF C．AD，BE，CF D．BE，CF，ACDE

2．如图为打碎的一块三角形玻璃，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（）A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去

3．如图，ADBC，ACBD，则图中全等三角形有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

4．如图，CDAB于D，BEAC于E，AO平分BAC，则图中全等三角形有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

全等三角形的典型例题

5．如图，12，ABAD，若想使ABC≌ADE，则需增加一个条件，你增加的条件为：.并加以证明.6．如图，已知12，34 求证：BDBE

四．强化练习：

1．已知ABAB，AA，BB，则ABC≌ABC的根据是（）A．SAS B．SSA C．ASA D．AAS

2．ABC和DEF中，ABDE，BE，要使ABC≌DEF，则下列补充的条件中错误的是（）A．ACDF B．BCEF C．AD D．CF

3．如图，AD平分BAC，ABAC，则图中全等三角形的对数是（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对

4．如图，已知AB//CD，欲证明AOB≌COD，可补充条件________．（填写一个适合的条件即可）

5．如图，ABAC，BDCD，12，欲得到BECE，•可先利用_______，证明ABC≌DCB，得到______=______，再根据___________•证明________•≌________，即可得到BECE．

6．如图，AC平分DAB和DCB，欲证明AEBAED，•可先利用___________，证明ABC≌ADC，得到______=_______，再根据________，证明______≌________，即可得到AEBAED.全等三角形的典型例题

7．如图，ACAE，CE，12.求证：ABC≌ADE．

8．已知ABC≌ABC，AD和AD分别是BC和BC边上的高，AD•和AD相等吗？为什么？

9．如图，已知BDCE，12，那么ABAC，你知道这是为什么吗？

10．已知如图，CEAB于点E，BDAC于点D，BD、CE交于点O，且AO平分BAC.⑴图中有多少对全等的三角形？请你一一列举出来（不要求说明理由）

⑵小明说：欲证BECD，可先证明AOE≌AOD得到AEAD，再证明ADB≌AEC得到ABAC，然后利用等式的性质即可得到BECD，请问他的说法正确吗？•如果不正确，请说明理由；如果正确，请按他的思路写出推导过程．

⑶要得到BECD，你还有其他的思路吗？若有，请仿照小明的说法具体说一说你的想法．

全等三角形的典型例题

全等三角形（4）

一．全等三角形的判定5：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写为“斜边、直角边”或“HL” 几何符号语言：∵CF90

∴在RtABC和RtDEF中

∵ABDE

∴ABC≌DEF

ACDF

二．例题：如图，PCOA于C，PDOB于D，且PCPD

求证：CPODPO

三．练习：

1．下列命题中正确的有（）

①两直角边对应相等的两直角三角形全等；②两锐角对应相等的两直角三角形全等； ③斜边和一条直角边对应相等的两直角三角形全等； ④一锐角和斜边对应相等的两直角三角形全等.A．2个 B．3个 C．4个 D．1个

2．如图，ABC和EDF中，BD90，AE，点B、F、C、D在同一条直线上，在增加一个条件，不能判定ABC≌EDF的是（）

A．ABED B．ACEF C．AC//EF D．BFDC

3．如图，ABAC，BDAC于D，CEAB于E，图中全等三角形的组数是（）A．2 B．3 C．4 D．5

4．如图，AEBD于E，CFBD于F，ABCD，AECF.求证：AB//CD

全等三角形的典型例题

5．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，ABCD，EBAD，FCAD，且AEDF 求证：AFDE

6．在ABC中，BAC90，ABAC，AE是过点A的一条直线，且BDAE于D，CEAE于E.⑴当直线AE处于如图1的位置时，猜想BD、DE、CE之间的数量关系，并证明.⑵请你在图2选择与⑴不同位置进行操作，并猜想⑴中的结论是否还成立？加以证明； ⑶归纳⑴、⑵，请你用简洁的语言表达BD、DE、CE之间的数量关系.四．强化练习：

1．在下列所给的四组条件中，不能判定RtABC≌RtABC(其中CC90)的是()A．ACAC，AA B．ACAC，BCBC C.AA，BB D.ACAC，ABAB 2.使两个直角三角形全等的条件是（）A．一组锐角对应相等 B．两组锐角对应相等 C．一条边对应相等 D．两条边对应相等 3.如图，在ABC中，ADBC于点D，CEAB于点E，AD、CE交于点H，已知EHEB3，AE4，则CH的长为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

4.如图，已知ACBADB90，欲说明BCBD，可补充条件.（填写一个即可）

5.如图，A、B、C、D在同一条直线上，EAAD，FDAD，且ABCD，CEBF，则CE与BF的位置关系为.全等三角形的典型例题

6.如图，ABAC，ADBC于D.求证：AD平分BAC，BDCD

7.如图，ABAC，AEAF，AEEC于E，AFFB于F.求证：1

28.如图，在ABC和ABC中，CD、CD分别是高，并且ACAC，CDCD，ACBACB.求证：ABC≌ABC

9.如图，A、E、F、B在同一条直线上，ACCE于C，BDDF于D，AEBF，ACBD.探究CF与DE的关系，并说明理由.全等三角形的典型例题

全等三角形（5）

一．全等三角形的性质：全等三角形的对应角，对应边.二．全等三角形的判定：

1.判定两个三角形全等的方法有：

⑴________________________________________的两个三角形全等(SSS)． ⑵________________________________________的两个三角形全等(SAS)． ⑶________________________________________的两个三角形全等(ASA)． ⑷________________________________________的两个三角形全等(AASAAS)．

2，判定两个直角三角形全等的方法还有：_______________________的两个直角三角形全等(HL)．

三．例题：

1.如图已知ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和ABC全等的图形是()． A.甲和乙 B．乙和丙 C.只有乙 D.只有丙

2.如图，在ABC和DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明． ．．①ABDE，②ACDF，③ABCDEF，④BECF．

3.如图，OAOB，OCOD，AOBCOD90.猜想线段AC、BD的关系，并说明理由.全等三角形的典型例题

4.如图1，正方形通过剪切可以拼成三角形.仿照上面图示的方法，解答下列问题：操作设计（在原图上画出即可）：

⑴如图2，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的长方形； ⑵如图3，对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的长方形．

四．练习：

1．下列给出的四组条件中，能判定ABC≌DEF的是（）

A．ABDE，BCEF, AD B．AD,CF,ACEF

C．AD,BE,CF D．ABDE, BCEF, ABC周长＝DEF周长

2．若ABC≌DEF，且ABC的周长为20，AB5，BC8，则DF长为（）A．５

B．８

C．７ D．５或８

3．如图,D在AB上，E在AC上，且BC，那么补充下列一个条件后，仍无法判定ABE≌ACD的是()A．ADAE B．AEBADC C．BECD D．ABAC

4．如图，将两根钢条AA、BB的中点O连在一起，使AA、BB可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则AB的长等于内槽宽AB，那么判定AOB≌AOB的理由是()A．边角边 B.角边角 C.边边边 D.角角边

5．在ABC和ABC中，A44，B67，C69，B44，且ACAC，那么这两个三角形（）

A．一定不全等 B.一定全等 C.不一定全等 D.以上都不对

6.如图，若ABC≌DEF，则E等于（）

A.30° B.50° C.60° D.100°

全等三角形的典型例题

7.已知AB//DE，ABDE，AFDC，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明.8.如图，给出五个等量关系：①ADBC ②ACBD ③CEDE ④DC ⑤DABCBA．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明．