三角形中位线

三角形中位线（共9篇）

三角形中位线 篇1

一、理解三角形中位线的定义

联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

三角形的中位线和三角形的中线要区别开:三角形的中位线的两个端点是三角形两条边的中点,三角形的中线的端点一个是顶点,一个是对边的中点;三角形的三条中位线围成了一个三角形,三角形的三条中线相交于三角形内一点.相同点:都有三条,都在三角形的内部,都是线段.

如图1所示,点D、E、F分别为△ABC三边的中点,则线段DE、EF、DF是△ABC的中位线;线段AE、CD、BF是△ABC的中线.

二、明确三角形中位线定理

三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.这既有位置关系“平行于第三边”,又有数量关系“等于第三边的一半”.

三、做好典型问题的训练与巩固

1. 计算角度

例1如图2,四边形ABCD中,AB∥CD,AD=CD,E、F分别是AB、BC的中点,若∠1=35°,则∠D=＿＿＿＿＿.

分析:根据E、F分别是AB、BC的中点,可知EF是ABC的中位线,根据中位线性质可知EF//AC,这样可得∠CAB=∠1=35°,再根据CD∥AB,可得∠DCA=∠CAB=35°,由此可求到∠D的度数.

解:因为E、F分别是AB、BC的中点,所以EF//CA,所以∠CAB=∠1=35°,

又CD∥AB,所以∠DAC=∠CAB=35º,

又因为DC=DA,所以∠DAC=35°,所以∠D=110º.

点评:本题主要借助三角形中位线的性质以及等腰三角形的性质,找到∠1的度数与∠D的度数之间的关系.

2. 求线段的长度

例2 (2012年四川省德阳市中考)如图3,点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点,连接DE,若DE=5,则BC=＿＿＿＿＿＿.

分析:根据三角形的中位线等于第三边的一半可求得BC.

解:因为D、E是AB和AC的中点,所以,即BC=2DE=1 0. 故答案是:1 0.

点评:此题主要是考察学生对三角形中位线的理解和掌握.

3.说明线段相等

例3已知,如图4,在△ABC中,AE=EC,AD⊥BC,E⊥BC,BE=2EF,AD与BE相等吗?说明理由.

分析:根据AD⊥BC,EF⊥BC,可知AD∥EF,再根据AE=CE可知EF是△ACD的中位线,根据中位线的性质可知EF等于AD的一半,又知EF等于BE的一半,所以可以说明AD=BE.

解:BE=AD.理由:因为AD⊥BC,EF⊥BC,所以AD∥EF,

因为AE=CE,所以EF是△ACD的中位线,所以,

又,所以BE=AD.

点评:本题主要根据三角形的中位线的性质,找到AD与EF的关系,再根据BE与EF的关系,进而得到AD=BE.

4.判断四边形的形状

例4如图5,点E、F、G、H分别为四边形ABCD的边的中点,试判断四边形的形状,并说明理由.

分析:因为点E、F、G、H分别是四边形AB-CD的各边中点,中点联想中位线,所以连接AC,可利用三角形的中位线的性质,说明HG∥EF,HG=EF,根据一组对边平行且相等的四边形是平行三边形说明四边形HEFG是平行四边形.

解:四边形EFGH是平行四边形

理由:连结AC,如图4.

因为E、F分别是AB、BC的中点,

所以EF是△ABC的中位线,

所以EF∥AC,且

同理:GH//AC,且,所以

所以四边形是平行四边形.

点评:当已知四边形各边的中点时,一般需要连接四边形的对角线,将四边形转化为两个三角形,然后利用三角形中位线的性质解决问题.

5.求三角形的周长

例5 (2012年浙江省湖州市中考)△ABC的三条中位线围成的三角形的周长为15cm,则△ABC的周长为().

解析:根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,然后进行判断.选:C.

点评:本题考查了三角形中位线的性质,三角形的中位线是指连接三角形两边中点的线段,中位线的特征是平行于第三边且等于第三边的一半,所以三条中位线围成的三角形的周长为原三角形周长的一半.

三角形中位线 篇2

1、.理解三角形中位线的概念，掌握它的性质定理。2.初步运用三角形的中位线定理进行求解与推理。

3、经历探索、猜想、证明过程，发展推理论证能力。培养分析问题和解决问题的能力以及思维的灵活性。

4、通过自主探究、猜想、验证，获得亲自参与研究的情感体验，增强学习热情。

重点：三角形中位线性质定理；

难点：定理证明中添加辅助线的思想方法。教学方式：启发、引导、探究 教学过程：

一、情景引入

生活实例。如图：A，B两地被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小明通过下面的方法估测出了A，B间的距离：先在A，B外选了一点C，然后步测出AC，BC的中点M，N，并测出MN的长，由此他就知道了A，B间的距离。谁能说出其中的道理吗？我们就能解开这个疑团。大家有没有信心？

画一画，观察与思考：

1.画△ABC边AC上的中线BE，取边AB上的中点D,连结DE，线段DE是中线吗？

2.尝试定义

以上线段DE叫做△ABC的中位线，请同学们尝试定义什么叫做三角形的中位线？并比较三角形的中位线和中线的区别。

三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段。问题：（1）三角形有几条中位线？

（2）三角形的中位线与中线有什么区别？ 启发学生得出：三角形的中位线的两端点都是三角形边的中点，而三角形的中线只有一个端点是边的中点，另一个端点是三角形的一个顶点。

3.实践与猜想

度量DE和BC的长度。猜想：DE和BC的关系 通过实践体会和感知出：DE∥BC，DE= BC。问题：你凭什么猜出：DE∥BC？（看出来的）

二、自主探究：

1.你能猜出三角形的中位线与第三边有怎样的关系吗？试证明你的猜想引导学生写出已知、求证。

（已知：△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点。求证：DE∥BC；DE= BC）

启发1：证明直线平行的方法有那些？

启发学生联想由角的相等或互补得出平行、由平行四边形得出平行等。

启发2：证明线段倍分的方法有那些？（截长补短）学生分小组讨论，教师巡回指导，经过分析后，师生共同完成推理过程，板书证明过程。强调还有其他证法。

证明：延长中位线DE到F，使EF=DE，连结CF。易证△ADE≌△CFE（或证四边形ADCF为平行四边）得AD∥ FC，又∵AD=DB，∴DB∥FC，∴四边形DBCF是平行四边形，DF∥BC。∵DE= DF，∴DE ∥ BC

2.启发学生归纳定理，并用文字语言表述： 中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

【点评】上述教学过程通过学生亲自动手画、量，猜想发现了三角形中位线定理，教师引导，启发学生思维，讨论找到了证明中位线定理的方法。并由学生自己完成了证明过程，充

分发挥了学生主动学习，合作学习和探究性学习的功能，培养了学生发现问题、探究问题的能力，以及用数学语言表述数学问题的能力等良好的数学品质。

三、合作交流： 2.做一做

求证：顺次连结任意四边形中点所得的四边形是平行四边形。

已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。

求证：四边形EFGH是平行四边形。

你能证明它是平行四边形吗？当学生不会添辅助线时，教师再作启发，这么多的中点我们会想到什么呢？四边形的问题又可以转化成什么图形的问题呢？使学生能够连结对角线。

学生议论后口述证明，教师板书证题过程（估计学生可能添两条对角线或一条对角线来证明）。

证明：连结BD。

∵E、F分别为AB、DA的中点，∴EF∥BD同理 GH∥BD

∴EF∥GH∴四边形EFGH是平行四边形。变式：顺次连结上题中，所得到的四边形EFGH四边的中点得到一个四边形，继续作下去，所得到的四边形依次是什么特殊四边形，请填空，由此得到的结论是。

要求学生动手画图，猜想结论，再在小组内相互讨论、交流。

【点评】通过例2变式题的形容讨论不仅培养了学生应用数学知识，解决数学问题的能力，而且还培养了学生的归纳推理，猜测论证能力，（循环重复上述四种特殊四边形），亲身体验数学活动充满着探索性、创造性和趣味性。

四、巩固拓展： 1.练一练：

已知三角形三边长分别为6，8，10，顺次连结各边中点所得的三角形周长是多少？由本题的图形你能否联想到一般性的结论？（如果△ABC的三边的长分别为a、b、c，那么△DGE的周长是多少？）

已知：△ABC中，D、F是AB边的三等分点，E、G是AC边的三等分点，是否能够求证出：DE∥BC，且DE=1/3BC

【点评】该问题的设置具有一定的挑战性，有助于学生利用已有知识经验指导解决新问题。对发展学生的想象能力，推理猜测能力有所脾益。

五、检测小结 1.基础知识：⑴三角线的中位线、以及它与三角形中线的区别；⑵三角线中位线的性质及其应用；

2．基本技能：

证明 “中点四边形”的辅助线的方法，连结对角线。

六、作业布置： P93习题2，3； 试一试1（学有余力的同学课后思考）教师反思：

梯形中位线构造的动态数学问题 篇3

1. 动线构造的梯形中位线长问题

如图1和图2所示，已知AB 是⊙O的直径，AD，BE分别是l的垂线，D，E分别是垂足，引OC⊥直线l，垂足是点C，在直线l自下而上平移的过程中，探究OC与AD，BE的数量关系，移动过程中这层关系是否发生变化？揭示变化或者不变的原因，如果变化，揭示变化的规律.

分情况讨论：①如果直径AB与直线l没有交点，三条线段的关系是OC=，证明过程是运用平行线等分线段定理与梯形的中位线性质进行求证. ②如果直径AB与直线l相交，此时OC的长度并不等于，此时三者的关系是OC=.

如图3所示，已知AB是⊙O的直径，点D，E是直线l上的两点，且AD∥BE，引OC与AD平行交直线l于点C，在直线l自下而上平移的过程中，探究OC与AD，BE的数量关系，移动过程中这层关系是否发生变化？揭示变化或者不变的原因，如果变化，揭示变化的规律.

问题的证明过程与上面例1的方法大致相同，所用的方法仍是平行线等分线段性质与梯形的中位线性质，结论同上.

我们知道，动点、动线、动图往往是构造中考数学探究型问题的组成材料之一，把直线型，圆，函数中的一次函数、二次函数等组合起来，加之动图、分类讨论等，确实能够很好地考查同学们运用数学知识、创造性地解决问题的能力.

2. 半径不变的动圆构造的梯形中位线与梯形面积问题

如图4所示，已知AB 是⊙M 的直径，AB=2，点M的坐标是（-6，8），⊙M沿与x轴平行的方向自左向右平移，平移速度是0.5个单位/秒，坐标系内一条直线的关系式是y=x＋1，过直径AB 的两个端点A，B与圆心M分别引x轴的平行线，与直线y=x＋1分别交于点D，E，C，点A到达直线上的点D位置时，圆的平移终止，在这一过程中，探究点M与点C的距离d与运动时间t的关系，设以A，B，E，D为顶点的图形的面积为S，这个面积与运动时间t的函数关系式如何？

由于圆的半径是1，圆心坐标是（-6，8），因此点B的坐标是（-6，7），点A的坐标是（-6，9），计算出点E，D，C的坐标分别是（6，7），（8，9）与（7，8），因此平移前线段BE=12，AD=14，MC=13，平移时间为t秒时，BE=12-0.5t，AD=14-0.5t，MC=13-0.5t.

（1）当12－0.5t>0，即t<24时，d=13－0.5t，S=2×（13－0.5t）=26－t（其中0≤t<24）.

（2）当12－0.5t=0，即t=24时，d=1，S=2.

（3）当12－0.5t<0， 14－0.5t≥0， 即24

①若AD＞BE，即14-0.5t＞0.5t-12时，解得t＜26，d=13－0.5t，S=×2=×2=2.

②若AD=BE，即14-0.5t=0.5t-12时，解得t=26，d=0，S=×2=×2=2.

③若AD＜BE，即14-0.5t＜0.5t-12时，解得t＞26. 由于24

3. 半径、位置同时变化的动圆构造的梯形中位线与梯形面积问题

如图5所示，已知AB是⊙M 的直径，AB=2，点M的坐标是（-6，8），⊙M沿与x轴平行的方向自左向右平移，平移速度是0.5个单位/秒，同时圆的半径以0.5个单位/秒的速度在不断扩大着，坐标系内一条直线的关系式是y=x＋1，过直径AB的两个端点A，B与圆心M分别引x轴的平行线，与直线y=x＋1分别交于点D，E，C，点A到达直线上的点D位置时，圆的平移与半径的扩大同时终止，在这一过程中，探究点M与点C的距离d与运动时间t的关系，以A，B，E，D为顶点的图形的面积设为S，这个面积与运动时间t的函数关系如何？

由于圆的半径是1，圆心M的坐标是（-6，8），因此点B的坐标是（-6，7），点A的坐标是（-6，9）. 计算可得点E，D，C的坐标分别是（6，7），（8，9）与（7，8），因此平移前线段BE=12，AD=14，MC=13，平移时间为t s时，点A的坐标是（0.5t-6，9+0.5t），点M的坐标是（0.5t-6，8），点B的坐标是（0.5t-6，7-0.5t），因此点D的坐标是（8+0.5t，9+0.5t），点C的坐标是（7，8），点E的坐标是（6-0.5t，7-0.5t）.

（1）点B与点E重合前，6-0.5t＞0.5t-6，即当t＜12时，如图5，d=7-（0.5t-6）=13-0.5t，此时所求图形的面积S=（13-0.5t）×AB=（13-0.5t）×［9＋0.5t-（7-0.5t）］ =（13-0.5t）×（2＋t），化简得S=－0.5t2+12t+26.

（2）当点B与点E重合时，即t=12时，d=7，S=98.

（3）点B与点E重合后且点A与点D 重合前.

①AD＞BE时，如图6，8＋0.5t-（0.5t-6）＞0.5t-6-（6-0.5t），解得t＜26，由于0.5t-6＞0，所以t＞12，即12＜t＜26时，d===13－0.5t，S=×AB=×（t+2）=（t+2）2.

②AD=BE时，8＋0.5t-（0.5t-6）=0.5t-6-（6-0.5t），解得t=26，此时d=0，S=×AB=×（26+2）=392.

③AD＜BE时，8＋0.5t-（0.5t-6）＜0.5t-6-（6-0.5t），解得t＞26，如图7，但x－x=8＋0.5t-（0.5t-6）=14≥0的解集是所有实数，即是当动圆半径每秒扩大0.5单位长，平移速度是每秒0.5单位长时，总有点D在点A的右侧14个单位长度处，即是点A始终不能到达点D 的位置，因此此种情况不等式的解集是t＞26. d= =，即d=0.5t－13，S=×AB=×（t+2）=×（t+2）2.

综上可知，点M与点C的距离d=13-0.5t（026），以A，B，E，D为顶点的图形的面积S=-0.5t2+12t+26（012）.

三角形中位线的教学分析 篇4

三角形中位线定理是初中几何的一个重要知识内容, 中考试题中经常出现与其它知识组合构成各种类型的几何证明题.落实三角形中位线定理的教学, 培养学生灵活运用三角形中位线的思维能力十分重要.下面笔者谈一下个人的一些想法, 供参考.

1 落实教学目标中考要求

教材对三角形中位线的教学目标是:1) 了解基本知识及基本技能;2) 能通过观察、猜测、实验等活动探索三角形中位线在新情境中的实际应用.显然三角形中位线的应用才是教学重点, 在实际教学中学生对三角形中位线的“双基”是很容易理解和掌握的, 只是在应用过程中相对灵活, 由于学生间几何应用能力的差异, 会显示出解题策略选择的优劣.

中考对三角形中位线的要求 (根据宁波市的考纲要求) 要达到:能探索并掌握三角形中位线的性质;能在理解的基础上, 把三角形中位线运用到新的情境中, 能综合运用知识、灵活合理地选择与运用三角形中位线定理及有关的知识方法, 通过观察、实验、推理等活动完成特定的数学任务.

显然不论是教学目标还是中考要求, 对三角形中位线应用的要求是非常高的, 也是具体教学过程中必须重视的, 需要研究的.

2 关注生成突出数学思想

1) 选择最有效率的生成过程.新课标指出课堂教学要重视知识的形成过程, 包括渗透知识的文化背景、实际应用背景等, 这些能大大激发学生对知识的好奇性, 并积极主动地参与数学活动;要重视学生的合作交流过程, 教师课堂教学设计中的预设要达到自然生成, 必须要通过师生、生生间的有效交流活动.前者能加深知识学习印象, 给学生的知识网络建立坚固的“桩基”, 是知识的再生点;后者是激化思维、开拓思维视野、探索知识内涵外延的一个重要过程.在三角形中位线的教学中, 笔者认为要考虑中位线定理生成的多种途征、多种思想方法, 让学生有比较, 有选择, 重点突出某种生成过程, 加强中位线知识形成印象.

2) 例题教学应突出数学思想.三角形中位线定理的应用主要是中位线的直接应用和转化应用.对那些直接告诉中位线的题型, 学生能直接应用中位线定理, 没有什么困难;而有些题型只告诉中点或只告诉部分中点, 没有指出中位线的题目, 有些同学有时不会往中位线定理应用的角度去思考, 需提示转化思想在解题中的作用, 把中点转化为中位线, 再把中位线转化构成三角形或其它图形解决.如例1就是一个利用现有中点, 通过转化思想构造新图形的一个题例.

例1 (2007年湖南省株洲市) 如图1, 在四边形ABCD中, AB=CD, M, N, P, Q分别是AD, BC, BD, AC的中点.求证:MN与PQ互相垂直平分.

分析与说明 已有4条线段的中点, 因此第一思维应考虑应用三角形中位线定理, 探求中位线间关系, 再探4条中位线构成的图形与MN, PQ间的关系, 只要能说明四边形PNQM是菱形即可说明MN与PQ互相垂直平分.

本题通过现有中点, 通过转化思想构造相应四边形, 这是比较常规的思想方法.

3 注重应用中的思维开拓

在很多几何综合题中三角形中位线定理的应用具有一定的隐蔽性, 其主要原因是题目中不但没有中位线, 而且已知的中点也极少, 有时很难想到可以用三角形中位线定理作为桥梁, 结合其它知识解决问题, 这类题目需要开拓思维, 把隐藏的中位线重新显示出来, 把各知识点的联结网展现出来, 通过构造图形、运用转化等数学思想, 让学生的思维活起来、飞起来, 从中找到解决问题的方法.如例2, 条件中只有一个中点, 如何利用这个中点的价值是思维开拓的一个重要体现.

例2 (2007年广州市) 已知Rt△ABC中, AB=BC, 在Rt△ADE中, AD=DE, 连结EC, 取EC中点M, 连结DM和BM.

(Ⅰ) 若点D在边AC上, 点E在边AB上且与点B不重合, 如图2, 求证:BM=DM且BM⊥DM;

(Ⅱ) 如图2中的△ADE绕点A逆时针转小于45°的角, 如图3, 那么 (Ⅰ) 中的结论是否仍成立?如果不成立, 请举出反例;如果成立, 请给予证明.

分析 由特殊情形第 (Ⅰ) 问的引导可知BM, DM之间关系;对第 (Ⅱ) 问可考虑构造全等三角形方法解决, 利用三角形中位线构造三角形, 因现有中点不足, 故可以选择新中点G, F, 如图3, 构造2个全等△DGM与△MFB.再考虑这2个三角形对应边的夹角关系即可.

证明 如图3, 取线段AC, AE的中点F, G, 连结DG, GM, BF, FM.

因为在Rt△ABC, Rt△ADE中, AB=BC, AD=DE,

DG⊥AE, BF⊥AC, 且$\text{D}\text{G}=\frac{1}{2}$AE, $\text{B}\text{F}=\frac{1}{2}\text{A}\text{C}.$

由点M为EC中点, 得

GM//AC, MF//AE, 且$\text{G}\text{Μ}=\frac{1}{2}$AC, $\text{F}\text{Μ}=\frac{1}{2}$AE.

所以GM=BF, DG=MF,

∠EGM=∠EAC, ∠CFM=∠EAC.

所以∠DGM=90°-∠EGM=90°-∠EAC=90°-∠CFM=∠MFB,

故 △DGM≌△MFB.

所以DM=BM, ∠DMG=∠MBF.

由GM//AC, BF⊥AC, 得GM⊥BF.∠DMB=∠DMG+∠BMG=∠MBF+∠BMG=90°,

所以BM=DM, 且BM⊥DM.

说明 本题最大特点是三角形中位线定理的应用具有隐蔽性.题目中中点数量不足, 如何利用一个有效中点展开题目分析, 这是对学生思维开拓的一个锻炼;若对三角形中位线定理有过一定的研究, 有一定发散思维的学生, 就会考虑与中点有关的知识, 如中线、中位线, 就会考虑如何使中线、中位线在具体的证明过程通过“转化”, 搭建桥梁, 把各知识点、已知条件与所要求的结论之间的关系联系起来。就如本题可以采用中位线、中线作用构造2个全等三角形解决, 把问题转化为二个全等三角形之间的问题, 可以说, 三角形中位线的这种“桥梁”作用是三角形中位线定理运用的灵魂.

4 中位线定理教后的感悟

1) 不以三角形中位线定理内容的简洁, 而淡化其基本生成过程.很多学生在中考前复习时, 因很长时间没接触三角形中位线, 个别学生只能画出三角形中位线的基本图形、写出结论, 对中位线定理生成的证明思想方法却一时无法展开.显然这与三角形中位线定理内容浅显易懂, 大家只重视其应用, 对中位线知识的形成教学没有落实到位而引起的.

2) 注重三角形中位线在实际问题中的运用.三角形中位线定理的一个重要作用就是解决实际问题, 如解决测河宽、建筑物高宽等难题, 通过实际问题让学生认识中位线定理的现实意义, 加深对中位线定理的理解, 让数学模型与生活实例挂钩, 促进学生主动为解决问题而探索三角形中位线运用原理.

3) 数学思想、数学方法在例题中的渗透, 是学生进一步运用三角形中位线定理的一个关键因素.数学教学的最终目的就是培养学生良好的数学品质和数学综合能力, 知识是死的, 而应用知识的思想方法是活的, 现实生活中极少有与书本一模一样的数学模型, 因此要培养灵活应用数学思想, 合适选择解题方法解决问题, 要做到这一点, 平时的习题训练中应加强数学思想方法的渗透, 让学生的数学视野更开阔, 思维更有创新活力.

三角形的中位线的 篇5

2、三角形中位线定义

3、三角形中位线定理证明

4、做一做

5、练习

6、小结

四、课后反思

三角形中位线 篇6

关键词：合作学习,数学意境,创设

一、知识情景

三角形中位线定理非常重要。它是由平行四边形知识引申得来, 是对三角形性质的深化与延伸, 是学习梯形中位线的基础。它也为证明两直线平行及线段的数量关系做了铺垫。三角形中位线定理是:三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。在平行四边形转化为三角形的研究中, 渗透的化归思想、数形结合思想, 对后续学习和拓展学生思维有着积极的意义。

二、教学流程

心理学研究指出:思维活跃于疑路的交点。富有启发性的问题, 会激发学生积极思考, 从而顺利地进入教与学的最佳状态。所以本课思路为:“探究活动—动手操作—合作探究—发现规律—获得新知—分析问题—解决问题—深入探究”。结合新课标, 本着数学教育体现基础性、普及性和发展性的原则, 进行探究式的学习活动, 突出图形与论证的转换, 注重探索与证明。

(一) 不识庐山真面目, 只缘身在此山中

抛砖引玉, 追根溯源。新课是学生学习新知识的起点, 又是激发学生学习兴趣的出发点, 为学生创设一个“心求通而未得, 口欲言而不能”的情境, 激发起学生强烈的求知欲望, 为学生学习新知识既奠定必要的知识基础, 又奠定动力基础, 使其“思”有方向, “求”有目标, “跃”有新知, “用”有创造。

(二) 横看成岭侧成峰, 远近高低各不同

初三学生正处在感性认识向理性认识逐步过渡的阶段, 我运用“几何画板”创新教学手段, 给学生提供动手参与、发现问题、探讨问题的机会, 学生在动态中观察猜想验证, 把“听数学”改变为“做数学”。依据“情境—问题—探究—反思—提高”模式, 沿着知识脉络, 把具体形象思维与抽象逻辑思维有机结合, 激发学生学习热情。“授人以鱼, 不如授之以渔”说的就是教育教学的真正目的。

由情境教学进入概念学习:什么叫三角形的中位线?一个三角形有几条中位线?三角形的中位线与三角形的中线有什么区别与联系?

(三) 山重水复疑无路, 柳暗花明又一村

几何论证环节, 抓住突破难点的关键———添加辅助线, 构造平行四边形。结论:三角形的中位线平行于第三边, 并且等于它的一半。学生展示证明过程, 书写规范解决问题, 以培养学生养成良好的推理习惯。

(四) 随风潜入夜, 润物细无声

猜想三角形中位线的性质, 总结成三角形中位线定理。定理的条件是什么?结论是什么, 有几个?它提供了证明直线平行和线段数量关系的新方法, 应用的关键是构造出定理的条件。定理的用途: (1) 证明平行问题; (2) 证明一条线段是另一条线段的2倍或1/2。定理的数学语言表达:如果DE是△ABC的中位线, 那么: (1) DE∥BC; (2) DE=1/2BC。把它改成“如果, 那么”的形式说一说。

总结添加辅助线的方法:涉及中点的时候通常利用三角形中位线定理来解决。这样既严谨又顺理成章, 学生的认知能力得到提升。在实践与合作学习中体验成功的喜悦, 拥有自信, 从而鼓起风帆, 勇于实践探索新知。

(五) 会当凌绝顶, 一览众山小

学生获得感性知识的同时, 为掌握理性知识创造条件, 遵循知识的可持续性原则, 我设计了一组有梯度的反馈练习题: (1) 中位线定理的正向应用。 (2) 课本上定理运用的生活实践题, 由特殊到一般。 (3) 书上的做一做, 对原题进行变式训练。这样举一反三, 以提高识图能力, 这样循序渐进, 又设置悬念, 给学生施展智慧的机会。增强了数学来源于实践, 又反作用于实践的应用意识。

采用师生互动的教学, 它符合辩证唯物主义中内因和外因相互作用的观点, 符合教学论中的自觉性和积极性、巩固性、可接受性, 教学与发展相结合, 教师的主导作用与学生的主体地位相统一等原则。

(六) 欲穷千里目, 更上一层楼

俗话说:“他山之石, 可以攻玉。”讲解例题后进行变式训练, 渗透分类讨论思想, 若例题中四边形的对角线相等或垂直时, 结论会怎样?学生分类讨论, 求异思维与发散思维相结合。使学生的思维向纵深方面发展。

(七) 乘风破浪会有时, 直挂云帆济沧海

按照学生水平, 设计分层作业, 分层评价机制, 分层教学、分层达标, 体现因材施教原则, 让不同程度的学生都能在原有认知水平的基础上得到提高。

三、教学诠释

在实验观察中, 学生分析、探究、归纳、总结、推理、论证。在应用中, 对比转化, 呈现思维的广度与深度。激发了学习数学的兴趣, 体验了做数学的快乐, 形成了用数学的意识。

采用“自主学习+小组结合, 学生互动+实验操作, 观察发现+老师点拨, 探究讨论+展示结果”的学习方式, 精心设计问题, 学生创造性地学习, 对所学内容全面加深理解, 符合了素质教育的全体性和全面性的要求, 学生团结合作, 经历了学习的过程, 获得了成功。

庄子说过一句话:“一尺之锤, 日取其半, 万世不竭。”学生的数学感受体验也是如此, 让我们一起成长, 一起享受其中的数学意境吧。

参考文献

[1]张顺燕.数学的思想、方法和应用[M].北京:北京大学出版社, 2001.

三角形中位线 篇7

传统的教育理念把教师看成“传道、授业、解惑”的万能者, 学生只是被动地接受知识.2009年教育进展国际评估组织对全球21个国家进行了调查, 认为“中国孩子的计算能力排名第一, 想象力排名倒数第一, 创造力排名倒数第五”, 虽然有点片面夸大, 但也暴露了一定的问题.

如何进行高效教学, 让学生成为学习过程中的主导者, 这是摆在新课程改革参与者面前的一道坎.笔者在进行三角形的中位线的教学设计过程中, 注重对教材的分析, 结合学生的特点, 优化了问题的设计, 在教学中取得了较好实效.那么到底该如何设置问题呢?笔者认为应注意以下几个方面.

问题设计首先要注重情景创设.我们知道一堂课能否吸引学生, 顺利完成教学任务, 一开始的教学情景创设非常重要, 对提出的问题提供一个熟悉新颖独特的情景, 可以激发学生的思维兴趣, 帮助学生更好地进入思维角色进行思维活动.因此在三角形中位线的引入时采用了如下的教学设计:国王将一块三角形土地分给了四位大臣, 可这几位大臣无论怎么分也不能使大家都满意, 只能去请教阿凡提, 阿凡提沉思了一下, 便将这块土地分成了形状和大小完全一样的四份, 你知道他是如何做到的?这个情景创设既把以前所了解的三角形的面积等分串联起来, 更巧妙地与古代智慧代表者阿凡提结合在一起, 让学生既能解决问题又能感觉到自己可与阿凡提相当, 自信心也有所提高, 尤其是学生直接在白板上画出正确的分割线时体会到成功, 接下去的活动过程中始终保持高度的热情.

问题设计要有较强的针对性.首先问题设计应针对一节课的主题进行, 紧扣教学内容和中心环节, 选题恰当, 要把握问题的内在联系以及知识的前后衔接.

例 已知△ABC中, D是AB上一点, AD=AC, AE⊥CD, 垂足是E, F是BC的中点, 试说明BD=2EF.

在教学中, 提问学生从要证的结论BD=2EF会想到什么?中等学生能很快找到只要说明EF是△CDB的中位线.继续提问:那如何能判断一条线段是一个三角形的中位线呢?学生自然就能说出只要说明E, F是CD, CB的中点, 结合本题, F是CB的中点, 只要找出E为CD的中点即可.这样的问题既是对本题的分析, 也是对本节知识的运用, 更能提高学生的证明能力和书写能力.

同时, 在问题设计过程中还要关注到不同层次的学生.在教学中, 根据学生的数学基础、学习能力、学习态度、学习成绩的差异和提高学习效率的要求, 结合教材和学生的学习可能性水平, 再结合初中阶段学生的生理、心理特点及性格特征, 按教学大纲所要达到的基本目标、中层目标、发展目标这三个层次的教学要求, 设计出不同层次的问题.

问题的设计要有一定的梯度.设置的问题应引导学生在认识过程中经历所学数学知识的形成和发展的浓缩过程.要抓住“最近发展区”, 不能过易更不能太难, 要让学生跳一跳就能摘到, 通过努力, 可以品尝到成功的喜悦.在本节教学过程中, 引出三角形的中位线定义后, 首先寻问学生有关中位线的条数及含义, 让学生理解三角形的中位线定义的两层含义:①如果D, E分别为AB, AC的中点, 那么DE为△ABC的中位线;②如果DE为△ABC的中位线, 那么D, E分别为AB, AC的中点.在解决例题时, 本人设计了如下的对话:

师:刚才我们学习了三角形的知识, 而现在出现了四边形, 同学们想想看怎么办?

生:老师讲过用对角线将四边形分割成三角形的方法处理, 这题肯定也是的.

师:好的, 就用这名同学的方法, 我们连上AC, 那么这里有中位线吗?

生:有的, EF, GH都是相应三角形的中位线.

这样通过层层设问, 逐步提高, 把问题引向深入, 在解决问题中不断提高思维能力.

问题设计要注重数学思想方法的贯穿.设置问题通过学生的思考, 分析最终得出解决问题的方法, 在问题解决的过程中培养人的思维能力, 这也是我们学习数学的最终目的.问题可以是灵活多样的, 而解决问题的方法却是有限的, 有规律可循的.在本课程教学设计中, 笔者首先将情景问题化归为数学问题, 同时在探索三角线性质时, 让学生进行大胆猜想和科学论证, 具体指导学生在解决猜想问题时, 应观察图形的特征, 根据题设, 进行大胆的具有正确方向的推理性猜想, 一般可以从形状、大小和相互位置关系三个方面进行思考, 猜想其特殊性质, 必要时可用三角板等工具进行测量, 以帮助猜想.这样的设计让学生在掌握数学知识的的同时, 也能理解数学思想方法的运用.

问题设计要注重能力的培养.数学中的例题可以帮助学生能提高对所学知识的理解和运用, 在平时教学过程中充分运用例题进行教学的同时, 还要注重对学生能力的培养, 尤其是发散性能力的培养, 因此本人在例题“在四边形ABCD中, E, F, G, H分别是AB, BC, CD, DA的中点, 四边形EFGH是平行四边形吗?为什么?”和思考题“①顺次连接平行四边形四边中点所得的四边形是____.②顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形是____.③顺次连接矩形四边中点所得的四边形是____.④顺次连接菱形四边中点所得的四边形是____.⑤顺次连接正方形四边中点所得的四边形是____.”之间还设计了“如果AC=BD, 猜想四边形EFGH是什么图形?如果AC⊥BD呢?”通过师生活动, 归纳了判断此类四边形的最直接有效的方法:根据原有四边形的对角线AC和BD的位置和数量关系去判别, 只要AC=BD, 四边形EFGH即为菱形, 如果AC⊥BD, 则四边形EFGH为矩形.有这个铺垫, 不仅让学生能迅速地解决了思考题的问题, 更重要地让学生得到了方法, 学生的能力也得到了发展.

问题设计要注重培养学生主动学习的积极性.波利亚的“主动学习原则”认为, 学习的最好途径是自己去发现, 即学生在特定的条件下, 尽量自己去发现, 自己去发现要学习的东西.美国当代教育家布鲁纳也极力提倡在数学中广泛使用“发现法”, 激发学生的主动精神, 启发和引导学生在主动学习的实践活动中独立思考, 感受和理解知识产生和发展的过程, 培养科学精神和创新思维习惯.教学过程中, 学生首次接触到白板的功能, 再加上参与了三角形中位线的性质的猜想、求证、灵活运用的过程, 学生的兴趣很浓, 积极性也大为增强.

课堂教学中若能认真贯彻执行以上原则, 首先接触到生动有趣的问题而不是抽象难懂的数学概念、性质、定理、法则, 将大大提高学生的学习积极性和学习数学的兴趣, 从而收到较好的教学效益.

当然, 优化问题设计必定要求广大教学工作者更深入地钻研教材, 不断拓展自己的知识面, 设计出行之有效的问题, 虽然是增加了相应的工作, 但最终取得的成绩必定是巨大的.

摘要：数学教学过程中如何进行问题优化, 本文作者结合自身对教材中三角形中位线的分析处理, 提出了在教学中问题设计要注意的多个方面, 从而大大提高了学生的学习积极性和学习数学的兴趣, 使教学效益得到最大优化.

三角形中位线 篇8

《三角形中位线》是华师大版数学九年级 (上) 第2 4章《相似三角形》中的第5节。在学习本节课前, 学生已经学习了相似三角形的性质和相似三角形的判定。本节课的内容正是相似三角形性质和判定的延伸与应用。电子白板的教学特征是使教师对教育媒体的操作行为逐渐变为学生全方位参与的认知行为。基于此, 我把这节课设计成“以教师为主导、以学生为主体”的自主学习模式, 突出体现学生的主体性, 培养学生的思维品质和对知识的构建, 促进学生综合能力的发展。从这个意义上来说, 电子白板不失为促进学生发展的理想选择之一。

一、学生板演, 实现生生互动

数学新课程标准指出, 要让学生经历数学知识的形成与应用的过程, 从而更好地理解数学知识, 更好地应用数学知识。电子白板具有丰富多彩的互动功能。学生可以在电子白板上板演、平移、旋转、画线, 实现与白板、与教师的互动, 培养积极探索、主动建构的意识和能力。此外, 在学生板演后通过其他同学的观察、修改, 学生彼此间碰撞出思维的火花, 激发起进一步参与数学活动的愿望, 实现学生与学生间的互动。

在证明三角形中位线定理时, 我先让学生独立思考, 再请一名学生到电子白板上书写证明过程, 随后请其他同学观察、检查, 让找出错误的学生到电子白板上给予改正, 最后我进行适当的点评。在整个活动中, 学生热情高涨, 参与很积极, 许多原本需要教师讲解、修改的地方已被学生修改好了。这样的活动不仅促成了白板与学生、白板与教师、教师与学生、学生与学生之间的互动, 而且突出体现了学生的主体地位。

二、一图多变, 培养思维品质

数学新课程标准要求学生初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会, 具有初步的创新精神和实践能力。这就要求学生具备良好的思维品质。思维品质包括思维的广阔性、深刻性、独创性、灵活性和批判性。利用电子白板可以创设问题情境, 通过一题多变、一题多解、辨析区别、鼓励质疑、巧思妙解、练习开放题等活动, 学生在认知冲突中逐渐调整认知结构, 构建新的认知体系, 培养良好的思维品质。

图1是本节课的基本图, D E是△A B C的中位线, 则D E//B C, 且D E=B C, 这是三角形中位线定理的内容。从图1开始, 我利用电子白板中图片前置功能不断地对图1进行变形, 相继得到图2、图3, 同时对相应的题目也进行相应的变形, 得到一系列的新题, 但每道新题都要应用三角形中位线定理, 且问题的难度逐渐加大。在这个活动中, 由于题目的难度有梯度, 每个学生都有挑战自我的可能性。通过这样的活动, 学生对三角形中位线定理的理解逐步加深, 认识了数学知识结构, 形成了正确的推理, 培养了思维的灵活性和深刻性。

三、引入画板, 促进整合升华

电子白板在各门学科中都有广泛的应用, 但从数学学科的角度来看, 电子白板定性不定量, 即不能准确地表示图形之间的相互关系, 不能进行准确的度量。要想实现定量, 需要引入几何画板。几何画板能对线段的长度、角的大小等进行准确的量度, 对于图形之间的相互关系也能进行准确的表示。若将几何画板合理地融入到电子白板中, 能同时发挥几何画板和电子白板的教学优势, 促进信息技术与数学学科整合的升华。

三角形中位线教学中, 需要研究中点四边形 (即四边形四条边的中点组成的四边形) 的形状与原四边形形状的关系, 当改变原四边形的形状, 则中点四边形的形状也会发生相应改变。要让学生观察到这种变化仅靠电子白板是很难实现的, 使用几何画板就可以轻松完成。在几何画板中, 我先让学生证明矩形的中点四边形的形状 (即菱形) , 再找出规律 (即菱形的形状与矩形的对角线有关) , 再将原四边形的对角线变为垂直但不相等, 让学生证明中点四边形的形状 (即矩形) 。原四边形的形状不断发生变化, 而相应的中点四边形的形状也跟着变化, 学生觉得很有意思, 从而激发学习的兴趣, 提高课堂教学效率。

四、巧借生成, 优化课堂教学

课堂教学是动态的, 是千变万化的, 生成与预设一般是不同的, 教师需要根据生成随时修改预设, 以满足课堂教学的需要。电子白板是师生交流的信息化平台, 它的预设不是线性的, 而是能从容捕捉课堂上的进展情况即时生成, 调整预设, 在丰富多彩的呈现方式上进行精彩的互动。

在三角形中位线教学中, 我让学生思考练习题:如图4, △A B C中, A D是B C的中线, E为A D的中点, 求证F C=2 A F。我预设的方法是:如图5, 过D作D G//A C交B F于G, 先利用△A E F≌△D E G得到A F=D G, 再利用三角形中位线定理得到F C=2 D G, 从而得到F C=2 A F。然而, 大多数学生的做法却是如图6, 过D作D G//B F交A C于G, 利用平行线性质分别得到A F=F G、F G=G C, 从而得到F C=2 A F。我先利用电子白板中的直尺和钢笔功能在图4上添加平行线D G, 得到图6进行分析;再按照图5的方法进行分析。通过这样的调整, 不仅没有打击学生学习的积极性, 还让他们多学了一种解法, 平添了成就感。

五、妙用白板, 提高教学效率

电子白板还有许多其他功能, 比如聚光灯、拉幕、标注、资源库等等。在每节课中要想最大程度地发挥电子白板的优势, 需要找准最佳作用点和最佳作用时机。最佳作用点是指在实现课堂教学目标的过程中, 最适合发挥电子白板优势的教学环节;最佳作用时机是指能够较好地发挥电子白板的优势, 以帮助学生保持良好的学习心理状态, 或将不良的学习心理状态转化为良好的心理状态, 以保证教学目标实现的时间与机会。抓住了最佳作用点与最佳作用时机, 电子白板的应用就会事半功倍。

教学中, 在证明了三角形中位线定理后, 需要学生认识、熟悉三角形中位线定理内容, 这也是本节课的教学目标之一。我使用聚光灯“聚光”到三角形中位线定理上, 让学生的注意力都集中到定理的内容上, 从而提高了教学效率, 实现了教学目标。又如, 在分析中点四边形形状与原四边形形状的关系时, 我就使用了不用颜色的笔进行标注, 既辅助了我讲得更清楚, 又帮助学生听得更明白, 使他们保持一种良好的学习状态。

参考文献

[1]鲍寅初.行走在教育信息化前[M].南京:江苏教育出版社.2009.

三角形中位线 篇9

1.“中位线” (第2课时) 教学常见设计

(1) 问题情境:

在任意四边形ABCD中, E, F, G, H分别是AB, BC, CD, DA的中点, 顺次连接EF, FG, GH, HE.请判断四边形EFGH的形状, 并给予证明;

(2) 数学活动:

活动1:在上述问题中, 如果把“任意四边形”改为“平行四边形”, 四边形EFGH又是什么形状呢?先猜一猜, 再证一证;

师:刚才的问题, 大家解决得非常好!利用该问题背景, 你还能提出什么问题?

生1:如果把“任意四边形”改成“矩形”, 此时四边形EFGH是什么形状?

师:你是如何想到提出这个问题的呢?

生1:前面提到的是任意四边形, 所以我就想假如是特殊四边形, 结论又是什么呢?然后我在特殊四边形里随便挑了个矩形.

师:把“任意四边形”改为“矩形”、“菱形”、“正方形”、“一般梯形”、“直角梯形”、“等腰梯形”呢?

生2:如果把“任意四边形”改成“菱形”, 此时四边形EFGH是什么形状?

生3:如果把“任意四边形”改成“正方形”, 此时四边形EFGH是什么形状?

生4:如果把“任意四边形”改成“一般梯形”, 此时四边形EFGH是什么形状?

生5:如果把“任意四边形”改成“等腰梯形”, 此时四边形EFGH是什么形状?

生6:如果把“任意四边形”改成“直角梯形”, 此时四边形EFGH是什么形状?

活动2:从上面由连接任意四边形各边中点到连接各种特殊四边形各边中点, 所得到的图形形状的猜想与证明中, 你有何发现?

活动3:如果依次连接一个四边形的各边中点得到菱形, 那么原来的四边形一定是矩形吗?为什么?

活动4:如何证明“依次连接对角线相等的四边形各边中点得到的四边形是菱形”?

2. 问题思考

从教学设计来看, 在问题情境的背景下, 数学活动中设计的4个活动是顺理成章的, 教师如此设计也是环环相扣、因势利导的, 但对于学生而言, 是否过于包办, 如果教师不设计这些问题, 学生能想到吗?除了这些问题, 学生还会不会想到其他问题?于是在课堂实践中, 我舍掉了问题情境之后的所有活动设计, 给学生留了个“白”.

二、教后反思

这节课上完之后, 比预期的教学任务少讲了几道练习, 但我却感觉到它比以往任何一节课都“丰满”, 也带给我一些思考.

1. 教师的理念, 使课堂“留白”成为可能

教师的教育教学理念决定了教学行为.《数学课程标准 (实验版) 》第三阶段 (7~9年级) 目标“解决问题”第一条“能结合具体情境发现并提出数学问题”.《数学课程标准解读》 (实验版) 明确提出:学生是学习的主体, 所有的数学知识只有通过学生的“再创造”活动, 才能纳入认知结构中, 才能成为有效的和用得上的知识.如果我们教师平时不善于学习, 不研究新课程标准, 不把握新的教学理念, 始终抱着“讲到底”、“问到底”的习惯, 忽视学生的主体性, 那么培养学生的问题意识又从何谈起.如:在上面课例中, 如果教师没有让学生提问的意识, 就不会给课堂“留白”, 学生自然就没有提问的机会, 从而也就错失了很多有意义的课堂生成.除了更新理念外, 教师的思维深度与广度会直接影响自己的提问质量, 同时也给学生以耳濡目染的影响, 从而间接影响学生的提问质量.因此教师应不断学习, 以求与学生教学相长.

2. 和谐的师生关系是课堂“留白”必不可少的背景

心理学家罗杰斯认为:“成功的教学依赖于一种真诚的理解和信任的师生关系, 依赖于一种和谐安全的课堂气氛.”而建立和形成主动、探究、合作的新型学习方式又正是新课程所倡导的.愉悦、和谐的课堂环境, 民主、平等的师生关系, 有利于保护学生的自信, 激发学生的学习热情, 唤醒学生的主体意识, 充分发展学生的问题意识.所以, 对待学生留白之后的短暂沉默, 我们教师应多一些信任, 多一些等待, 多一些鼓励.对待学生别样的问题更应该保护, 因为在“别样”问题的背后往往有漂亮的课堂生成, 也正是学生创新意识的起点.例如, 在上面的课例中, 当教师预计的问题都一一“浮出水面”, 就要大功告成之时, 却有学生提出了个不一样的问题“中点四边形的周长与面积和原四边形是否存在某种关系?”此时, 教师可以独断专行, 不予处理, 让学生留作课后思考.但如果这样处理, 势必会影响提问题的学生的积极性, 他会认为自己的问题没有价值, 教师不屑于帮他解决, 这样就让他以后不敢有不一样的想法.相反, 我舍弃了讲练习的时间, 与大家共同分享他的问题, 不仅帮他解决了问题, 保护了这名学生的学习积极性, 增强了他的自信心, 同时又让其他学生加深了对中点四边形的本质认识, 也学会了多角度思考问题的方法.

3. 问题意识的培养, 是课堂“留白”的意义所在