三角形的性质定理

三角形的性质定理（共17篇）

三角形的性质定理 篇1

等腰三角形：

定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。性质：

1.等腰三角形的两条腰相等； 2.等腰三角形的两个底角相等； 3.4.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。判定：

1.有两条边相等的三角形是等腰三角形；

2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

等边三角形：

定义：三边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三 角形。性质：

1.的垂直平分线都是它的对称轴；

2.60°。判定：

1.三条边都相等的三角形是等边三角形； 2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； 3.有两个角是60°的三角形是等边三角形。

直角三角形：

定义：有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形。其中，构成直角的两边叫做直角边，直角边所对的边叫做斜边。性质：

1.直角三角形的两个余角互余；

2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

3.直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；4.a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 判定：

1．有一个角是直角的三角形是直角三角形； 2..有两个角互余的三角形是直角三角形；

3.如果一个三角形一条边上的中线等于这条边的的一半，那么这个三角形是直角三角形；

4.如果三角形的三边长a、b、c满足于a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。

角平分线定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

逆定理：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

中垂线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个

端点的距离相等

逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这

条线段的垂直平分线上定理三角形两边的和大于第三边2 推论三角形两边的差小于第三边

5外角2三角形的一个外角大于任何一个和它不相

邻的内角三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 4外角1三角形的一个外角等于和它不相邻的两个

内角的和

全等的判定：

6边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

7角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

8推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

9边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形

全等

10斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应

相等的两个直角三角形全等

三角形的性质定理 篇2

教学目标:1.掌握“三角形的内角和定理”的证明及其简单的应用;2.掌握三角形的内角和定理, 并初步学会利用辅助线解决几何问题;3.感悟一题多解的数学思维, 并给予学生充分的肯定和表扬.

教学重点:理解三角形的内角和定理的证明.

教学难点:三角形的内角和定理的证明.

教学流程:

1. 课题导入

师生沟通, 猜谜语引入课题.

师:形状似座山, 稳定性能坚, 三竿首尾连, 学问不简单 (打一几何图形) .

生 (思考后回答) :三角形.

师:三角形的内角和是多少度?

生:180°.

师:有什么办法可以验证呢?这个结论对任意的三角形都成立吗?

师 (操作课件, 板书) :三角形内角和定理的证明.

2. 证明定理

活动一:剪剪拼拼

生:如图1, 用剪刀任意剪下一个三角形, 再把三角形中的任意两个角剪下拼在第三角处, 观察后得出结论;换一个形状不同的三角形再试一试, 观察后再和同学交流.

师:参与学生活动, 并适时进行操作指导.

活动二:小组讨论

师: (操作课件, 提出问题) :1.从刚才拼角的过程同学们能想出证明的办法吗?2.根据前面给出的公理和定理, 你能用自己的语言简要地说一说这一结论的证明思路吗?3.你能用比较规范的几何语言写出这一证明过程吗?

师:组织学生小组交流讨论, 并交代要求 (互相交流然后推举一个代表书写, 一个代表解释) , 讲评并给予鼓励.

生:小组讨论交流, 并推举一个代表在纸上书写, 并作解释.

师 (操作课件) :如图2, 为了证明的需要, 在原来图形上添画的线叫做辅助线;在平面几何里, 辅助线通常画成虚线.在写证明过程时重要的推理步骤要注明所依据的定理或公理.

师 (板书) :三角形内角和定理:三角形的内角和等于180°.

生:认真听讲, 记笔记.

活动三:总结归纳

师 (操作课件) :议一议:如图3, 在证明三角形的内角和定理时, 小明的想法是把三个内角“拼”到A点, 他过A点作直线EF∥BC, 他的想法是否可行?你还有其他的证明方法吗?

师:组织讨论交流, 参与思考, 讲评并给予鼓励.

生:小组讨论, 并总结归纳书写结论.

活动四:课堂练习

(1) 在△ABC中, ∠A=80°, ∠B=∠C, 求∠C的度数?

(2) 已知三角形三个内角的度数之比为1:3:5, 求这三个内角的度数?

3. 课堂小结

组织学生进行课堂小结:本节学习了三角形内角和定理的证明, 其证明的本质就是在三角形某部位组成一个平角, 进而证明三角形的三个内角恰好是这个平角的组成部分即可.证明的方法是多种多样的, 在证明的过程中需要添加辅助线.

在证明开始前应写明辅助线的作法。在平面几何中辅助线应画成虚线, 重要的推理步骤要注明所依据的公理和定理.

三角形内角和定理的应用 篇3

一、求三角形中角的度数

例1已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4，求各内角的度数.

分析：这个比例式是以后学习中经常遇到的.我们知道，三角形的内角和是180°，如果将角的比例式转化为每一个角的度数，问题就可解决.设参数是个好方法.

解：设∠A、∠B、∠C的度数分别为2x、3x、4x.

根据三角形内角和定理，得2x+3x+4x=180°.

解得x=20°.

∴∠A=2×20°=40°，∠B=3×20°=60°，∠C=4×20°=80°.

二、求特殊图形中某些角的度数之和

例2如图1，求五角星的五个顶角的度数之和.

分析：观察图1可发现，∠2=∠B+∠D，∠1=∠E+∠C，这样将五个角的度数集中到一个三角形中.

解： 由三角形内角和定理的推论，得

∠B+∠D=∠2，∠C+∠E=∠1.

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E

=∠A+∠2+∠1

=180°.

三、确定角与角之间的关系

例3如图2，AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线，它们交于O点，则∠DOC与∠ABE的关系是（）.

A. 相等 B. 互余C. 互补D. 无法判断

分析：观察图2，∠1+∠2+∠ABE是△ABC内角和的一半，即90°.又∠DOC是△OAC的一个外角，所以∠DOC=∠1+∠2，那么∠DOC+∠ABE=90°.

解： ∵∠DOC=∠1+∠2

=∠BAC+∠BCA

=（180°－∠ABC）

= 90°-∠ABC

=90°-∠ABE，

∴∠DOC+∠ABE=90°， 即两角互余.故应选B.

切线的性质、切线长定理作业 篇4

学之导教育中心作业

———————————————————————————————学生: 卢慧欣

授课时间:_____年级: 初三

教师: 廖

1．直线和圆_________时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做____________．

直线和圆_________时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做____________，这个公共点

叫做_________．

直线和圆____________时，叫做直线和圆相离． 2．设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，_________ 直线l和圆O相离； _________ 直线l和圆O相切； _________ 直线l和圆O相交．

3．圆的切线的性质定理是__________________________________________． 4．圆的切线的判定定理是__________________________________________．

5．如图，P是∠AOB的角平分线OC上一点．PE⊥OA于E．以P点为圆心，PE长为半径作⊙P．

求证：⊙P与OB相切．

6．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的半圆O交AB于F，E是BC的中点．

求证：直线EF是半圆O的切线．

7．已知：如图，PA切⊙O于A点，PO交⊙O于B点．PA=15cm，PB=9cm．求⊙O的半径长．

8．经过圆外一点可以做圆的______条切线，_______________________叫做这点到圆的切线长． 9．如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB．

A

PO

B

10.从圆外一点可以引圆的______条切线，它们的____________相等．这一点和____________ 平分____________ ．

11．已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．求证：OP垂直平分线段AB．

12．如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，•已知PA=7cm，则△PCD的周长等于_________．

A D

OP

CB

13．已知：如图，从两个同心圆O的大圆上一点A，作大圆的弦AB切小圆于C点，大圆的弦AD切小圆于E点．求证：(1)AB=AD；(2)DE=BC．

14．已知：如图，PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点．

三角形的性质定理 篇5

一、说教材

1、教材的地位和作用

众览本章教材。在前面，学生已经了解图形并且掌握了一定的图形知识。学过图形的全等和全等三角形的有关知识，也研究了几种图形的变换。全等是相似的一种特殊情况，从这个意义上讲，研究相似比研究全等更具有一般性，所以这一章研究的问题实际上是在前面研究图形的全等和一些全等变换的基础上拓广展的。在后面，学生还要学习“锐角三角函数”和“投影与视图”的知识，学习这些内容，都要用到相似的知识，不仅在数学中，在物理中，学习力学、光学等，也要用到相似的知识。因此这些内容也是今后学习所必具备的基础知识。另外，本节内容相似三角形的判定定理2还应用在实际生活中的建筑设计、测量、绘图等许多方面。因此这一节乃至整章内容对于学生今后从事各种实际工作也具有重要作用。

2、教学目标：

根据数学课程标准和本节课的教学内容特点，针对学生已有的认知水平，我们将从知识、能力、情感态度与价值观三个方面来确定本节课的教学目标为：

（1）知识目标 ： 掌握判定两个三角形相似的方法：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

（2）能力目标 ： 渗透数学中普遍存在着相互联系、相互转化，经历探索两个三角形相似条件的过程，分析归纳结论的过程；在定理论证中，体会转化思想的应用。

（3）情感价值目标 ： 从认识上培养学生从特殊到一般的方法认 识事物，从思维上培养学生用类比的方法展开思维；通过画图、观察猜想、度量验证等实践活动，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣。

3、教学重难点： 教学重点：

两个三角形相似的判定方法2及其应用。教学难点： 探究三角形相似的条件；运用三角形相似的判定定理解决问题。

二、说学情分析

在课堂教学中，作为学生学习的组织者引导着与合作者。注意突出学生的数学实践活动，变“教学”为“导学”提高课堂效率。在教学中我们尽量引导学生成为知识的发现者，把教师的点播和解决学生的实际问题结合起来，为学生创设情境，鼓励学生亲自动动手实践，在实践中发现知识，培养学生的创新精神和实践能力。

三、说教法、学法： 〈一〉 教法：

教学有法但教无定法，在教学过程中，我们充分运用启发式教学方法和现代化教学手段，把传授知识和培养学生的教学素养结合起来，为创造人才的成长打下坚实的基础。

〈二〉 学法：

我们常说：“现代的文盲不是不识字的人，而是没有掌握学习方法的人。”因而教师要特别注重对学生学法方式的指导。由于学生都渴望与他人交流，合作探究可使学生感受到合作的重要和团队的精神力量，增强集体意识，所以本课采用小组合作的学习方式，让学生遵循“观察——猜想——验证——归纳——反馈——实践”的主线进行学习。

四、说教学理念

1本节课的基本理念是本着义务教育的基础性普遍性和发展性联系学生生活实际面向全体学生。

2从现实生活中发现问题并提出问题，让学生亲身参与活动，进行探索和发现。

五、说教学流程

本节课按照“知识回顾”——“情景导入、激发兴趣”——“类比联想、探索交流” “应用新知”—— “运用提高”——“归纳小结”的流程展开．

本节课主要是探究相似三角形的判定方法2，由于上两节课已经学习了探究两个三角形相似的判定引例﹑预备定理﹑判定方法1，因此本课教学力求使探究途径多元化，通过欣赏图片的形式把数学与现实生活紧密联系，学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究与应用“几何画板”等计算机软件作动态探究有机结合起来，让学生充分感受探究的全面性，丰富探究的内涵。协同式小组合作学习的开展不仅提高了数学实验的效率，而且培养了学生的合作能力。

习题设置由浅到深，即考察了学生的动手能力，又考察了学生对知识的灵活运用。

六、说课件设计

我们所用的课件是以POWERPOINT为模板插入相应的图片设计简单易操作，充分体现了教学手段是为教学内容服务的原则。

七、说板书设计

八、自我评价在提高

三角形的性质定理 篇6

活动2:直角三角形的三边的数量关系满足勾股定理, 那么锐角三角形与钝角三角形呢?

两组学生实验, 他们都将自己的圆规的两脚所成的角设置成90度, 用橡皮筋将两脚尖拉紧.其中一组量出构成三角形的三边长度分别为8 cm、7.8 cm、12.4 cm;将夹角变小时, 量得三边长度分别是8 cm、7.8 cm、8.9 cm;将夹角变大时, 量得三边长度分别是8 cm、7.8 cm、14 cm.

三边分别用a、b、c表示, 计算可得:直角三角形时, a2+b2=c2;锐角三角形时, a2+b2>c2;钝角三角形时, a2+b2

通过上述活动, 学生得出结论:锐角三角形, 两短边的平方和大于第三边的平方;钝角三角形, 两短边的平方和小于第三边的平方.

学生发现:勾股定理确实是直角三角形的“专利”.

活动3:勾股定理有逆定理, 刚才的结论有无逆命题?写出上述结论的逆命题.

逆命题:

若两短边的平方和大于第三边的平方, 则这个三角形是锐角三角形;

若两短边的平方和小于第三边的平方, 则这个三角形是钝角三角形.

三角形垂顶径定理的发现与证明 篇7

为方便读者对比阅读，仍沿用文[1]的字母.

三角形垂顶径定理如图1或2，设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，三条高线分别为AE、BF、CG，又R、H分别为外接圆半径及垂心，三个垂顶距HA=u，HB=v，HC=w，则R是一元三次方程4x3-（u2+v2+w2）x±uvw=0的一个正实数根（对钝角和锐角三角形ABC，uvw前分别取正负号，直角三角形正负均可）.

证明

如图1或2，连接BO交外接圆O于M，再连

接AM和MC，则有MA⊥AB，MC⊥BC，又因CH⊥AB，AH⊥BC（垂心性质），所以AM∥HC，AH∥MC，所以四边形AMCH为平行四边形，故有MC=AH=u，AM=HC=w.又在Rt△ABM和Rt△BMC中，

AB=BM2-AM2，BC=BM2-MC2即c=4R2-w2，a=4R2-u2，同理可证AC=b=4R2-v2.在圆内接四边形ABCM中，由托勒密定理得，

AM·BC+MC·AB=BM·AC，即w4R2-u2

+u4R2-w2=2R4R2-v2，移项得w4R2-u2=2R4R2-v2-u4R2-w2

化简整理得，

R2[4R2-（u2+v2+w2）]2=（uvw）2. ①

以下分三种情况：

（1）如图1，对于锐角三角形ABC及其外接圆O，在Rt△BHE中，∠BEH=90°，∠BHE为锐角，故其补角∠AHB必为钝角，所以cos∠AHB<0，又在△AHB中，由余弦定理得，c2-u2-v2=-2uvcos∠AHB>0，又c2=4R2-w2，故4R2-（u2+v2+w2）>0，此时，由①得R[4R2-（u2+v2+w2）]=uvw，于是4R3-（u2+v2+w2）R-uvw=0. ②

（2）同理，如图2，对于钝角三角形ABC及其外接圆O，在Rt△BHE中，∠BHE为锐角，故cos∠BHA>0，在△AHB中，仿上由余弦定理得，4R2-（u2+v2+w2）=-2uvcos∠BHA<0.

故由①得R[4R2-（u2+v2+w2）]=-uvw，

于是4R3-（u2+v2+w2）R+uvw=0.③

（3）如图3，对于直角△ABC，其直角顶点B与其垂心H重合.

所以HA=u，HB=v=0，HC=w，斜边AC=2R.

将它们代入②或③，②、③均成立，（注意到勾股定理u2+w2=AC2=4R2）

综合②、③得，4R3-（u2+v2+w2）R±uvw=0（△ABC为钝角和锐角三角形时，uvw前分别取正负号），直角三角形正负均可）.

垂顶径定理获证.由于定理涉及的三次方程求解较为复杂，留给读者解决，若求出此根，将重新改写文[1]的三角形面积公式.

参考文献

三角形的性质定理 篇8

九数

许国祥

我的教学宗旨是: 一般情况下，按照教材上的教学设计进行教学，以学生为主体，教师做学生的组织者、引导者、合作者，只在关键处点拨，补充，尤其是在几何教学中，以培养学生的合情推理能力，发展学生逻辑推理能力，靠近中考。

我的教学设计

一、知识回顾。(小黑板出示)1．我们已学过了哪些判定三角形相似的方法? 2.在△ABC与△DEF中因为∠A=∠D=45°，∠B=26,°∠E=109°.则这两个三角形是否相似?

二、动脑筋

鼓励学生动手画图，认真思考书中问题，引导同学们讨论得出判定定理3:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

指名说一说:这个定理的条件和结论各是什么?关键处是什么? 同桌完成课本上的做一做。然后指名在班上说。教师及时给予表扬和肯定。

三、出示例题2.要求学生尝试完成。不会做的自己看书，然后再做。教师行巡回辅导，适时指点练习中容易出现的问题。最后指名板演，集体订正。

四、出示课本78页中的B组2题作为典例分析。

要求学生凭眼睛看这两个三角形相似吗?再通过计算他们的对应边是否成比例。有一个角对应相等吗?他们相似吗?同桌讨论各自的心得。从这个例子你能得出什么结论？指名说。

教师示范：规范写出两个三角形对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似已知，求证及证明过程

五、出示B组1题作为典例分析。要求学生先自学，再试着做一做。最后师规范板书全过程。

六、启迪学生除这种解法外,你还能用别的方法来证明吗?鼓励学生用多种方法解题。

七、引导学生归纳解题所得。

八、总结整堂课内容。

九、巩固练习。完成教材第78--79页练习1、2题

十、作业:基本训练78--79页A组1-2题。教师巡回辅导

我的反思: 成功之处:.1、课前对旧知识的回顾，以防止负迁移现象，特别是做一做的设计注重了相似三角形中对应元素的训练，为潜能生设置了一个障碍，以培养学生的合理想象力。

2、整堂课体现了以学生为主体的教学理念。教师的点拨很到位，对定理的剖 析突彻，在教学过程中注重了规范板书，为学生起到了示范作用。

3、巡回辅导对提高潜能生有很大帮助，同时充分利用有利资源，以优帮劣，及让优生巩固了所学知识又提高了潜能生，何乐而不为?

4、作业的设计具有层次性。做到了突出重点，突破难点。不足之处:

1、巡回辅导时未顾及到全局，关键是时间太紧。

2、时间分配不够合理，运用定理解题时间花的太多，导致作业不能当堂完成。

面面垂直性质定理 篇9

【学习目标】

1．掌握平面与平面垂直的性质定理；平面与平面垂直的性质编辑：

2.能运用平面垂直的性质定理解决一些简单问题；

3.了解平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。

【学习重点】掌握平面与平面垂直的性质定理并能运用解决一些简单问题

【数学思想】转化的思想

【知识回顾】

1.两个平面互相垂直的定义：

2.两个平面互相垂直的判定定理：符号表示：

【新知导航】

线面平行面面平行线面垂直面面垂直（面面垂直判定定理）

面面垂直线面垂直 ？

【探究1】黑板所在平面与地面垂直，你能否在黑板上画几条与地面垂直的直线？你为什么这么画？你能归纳总结出这些直线有什么共同点吗？

【探究2】下图正方体中，平面ADD1A1与平面ABCD垂直，直线A1A垂直于其交线AD，平面ADD1A1内的直线A1A与平面ABCD垂直吗？

A1B

1探究结论：（）

【新知学习】两个平面互相垂直的性质定理

定理的证明：（由文字语言转化为符号语言证明）已知： 求证： 证明：

【探究3】过平面外一点作已知平面的垂线，你能做出几条来？

探究结论（）【尝试练习1】如图，已知平面,,，直线a满足a,a，试判断直线a与平面的位置关系.【尝试练习2】如图，已知平面平面，平面平面，a，求证：

a.【课堂小结】

1、请归纳一下本节课你学习了什么性质定理，其内容各是什么？

2、类比两个性质定理，你发现它们之间有何联系？

【达标检测】

1、下列命题中，正确的是（）

A、过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直 B、过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直 C、若a,b异面，过a一定可作一个平面与b垂直

D、a,b异面，过不在a,b上的点M，一定可以作一个平面和a,b都垂直.2、已知直线l,m，平面,，且l,m，给出下列命题：（1）//lm（2）lm//（3）l//m（4）l//m其中正确的命题是

BCAB

3、在三棱锥P—ABC中，平面PAB平面PBC，求证：PA面ABC，4、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上的一点，N是A1C的中点，MN面A1DC，求证：（1）MN//AD1

三角形的性质 篇10

■ （2011江西）如图1，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB=______.

■ 90°.

■ 本题主要考查三角形内角和定理和内心的基本性质. 因为三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，所以PA，PB，PC是△ABC的内角平分线，即∠PBC+∠PCA+∠PAB=■（∠ABC+∠ACB+∠BAC）=180°×■=90°.

■ （2011山东菏泽）将一副三角板按图2所示叠放，则角α等于（ ）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°

■ D.

■ 本题主要考查三角形的外角性质以及三角板的特殊角． 根据三角板的特殊性容易求得∠1的度数为45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可求得角α为75°．

■ （2011广东茂名）如图3，两条笔直的公路l1，l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建了三个加工厂A，B，D，已知AB=BC=CD=DA=5 km，村庄C到公路l1的距离为4 km，则村庄C到公路l2的距离是（ ）

A. 3 km B. 4 km

C. 5 km D. 6 km

■ B.

■ 本题主要考查角平分线的性质. 由已知能够注意到四边形ABCD是菱形，而菱形的对角线平分对角则成了解题的关键． 根据菱形的对角线平分对角，作出辅助线，即可证得CE=CF=4 km．

■ （2011广西河池）如图4，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，下述结论错误的是（ ）

A. BD平分∠ABC

B. △BCD的周长等于AB+BC

C. AD=BD=BC

D. 点D是线段AC的中点

■ D.

■ 在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC与∠C的度数. 又由AB的垂直平分线是DE，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD=BD，继而可求得∠ABD的度数，于是可知BD平分∠ABC. 可得△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=AB+BC. 可求得∠BDC的度数，进而求得AD=BD=BC．

■ （2011黑龙江）在△ABC中，BC ∶ AC ∶ AB=1 ∶ 1 ∶ ■ ，则△ABC是（ ）

A. 等腰三角形

B. 钝角三角形

C. 直角三角形

D. 等腰直角三角形

■ D.

三角形的性质定理 篇11

结论1.△ABC中, D、E分别是边BC和AC的中点, AD与BP交于P, 则点P叫三角形的重心, 且AP/AD=BP/BE=2/3

证明:设AP=λAD, BP=μBE

∵D为BC中点

变式一:△ABC中, D是边BC中点, E是AC靠近点C的三等分点, 则AP/AD=BP/BE=4/5

证明:为证明结论, 先证明结论:在△ABC中, D、E分别是边BC的三等分点, 其中E靠近点C, 则

∵在△ABE中, D为BE中点, 则在△ADC中, E为中点, 则

下证变式一结论:

设AP=λAD, BP=μBE

∵D为BC中点∴AD=12AB+12AC

变式二:△ABC中, D是边BC中点, E是AC靠近点C的四等分点, 则AP/AD=BP/BE=6/7

证明:为证明结论, 先证明结论:在△ABC中, D、E分别是边BC的四等分点, 其中E靠近点C, 则

∵在△ABE中, D为中点, 则

在△ADC中, E为中点, 则

下证变式二结论:

设AP=λAD, BP=μBE

∵D为BC中点

推广:△ABC中, D是边BC中点, E是AC靠近点C的n等分点, 则AP/AD=BP/BE=2n-2/2n-1

证明:为证明结论, 先证明结论:在△ABC中, D、E分别是边BC的n等分点其中E靠近点C, 则

余弦定理对于任意三角形 篇12

对于任意三角形，若三边为a，b，c 三角为A，B，C—，则满足性质—

a^2 = b^2 + c^22〃a〃c〃cosB

c^2 = a^2 + b^2c^2)/(2〃a〃b)

cosB =(a^2 + c^2a^2)/(2〃b〃c)

（物理力学方面的平行四边形定则以及电学方面正弦电路向量分析也会用到）第一余弦定理（任意三角形射影定理）

设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有

a=b〃cos C+c〃cos B，b=c〃cos A+a〃cos C，c=a〃cos B+b〃cos A。编辑本段证明方法

平面向量证法(此方法简洁有力，充分体现了向量运算的威力和魅力。不能因为向量比余弦定理晚出现就觉得这个方法不妥当，因为向量的定义中不存在余弦定理，也就是说：向量的正确性不立足于在余弦定理，所以用向量证明余弦定理不存在逻辑问题。况且指数也比对数晚出现，可是如今定义对数用的就是指数方法。只要方法更优，逻辑上没有问题，我们尽可能追求简洁。）

∵如图，有c=a-b，c^2=(a-b)〃(a-b)=a^2+b^2-2a〃b=|a|^2+|b|^2-2|a||b|cos

=> c^2=a^2+b^2-2abcosC 粗体为向量，正常字体指的是边长

平面几何证法

在任意△ABC中

做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根据勾股定理可得：

AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2

b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

作用

(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角

(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边。

(3)已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。(见解三角形公式，推导过程略。)

判定定理一(两根判别法)：

若记m(c1,c2)为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取

减号的值

①若m(c1,c2)=2,则有两解

②若m(c1,c2)=1,则有一解

③若m(c1,c2)=0,则有零解(即无解)。

注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。判定定理二(角边判别法):

一当a>bsinA时

①当b>a且cosA>0(即A为锐角)时，则有两解

②当b>a且cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)

③当b=a且cosA>0(即A为锐角)时，则有一解

④当b=a且cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)

⑤当b

二当a=bsinA时

①当cosA>0(即A为锐角)时,则有一解

②当cosA<=0(即A为直角或钝角)时，则有零解(即无解)

三当a

解三角形公式

例如：已知△ABC的三边之比为5：4：3，求最大的内角。

解 设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=5:4:3.由三角形中大边对大角可知：∠A为最大的角。由余弦定理

cos A=0

所以∠A=90°.再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=60度，求BC之长。

解 由余弦定理可知

BC2=AB2+AC2-2AB×AC〃cos A

=4+9-2×2×3×cos60

=13-12x0.5

=13-6

=7

所以BC=√7.(注：cos60=0.5,可以用计算器算）

以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用。

其他

从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角。即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。

解三角形时，除了用到余弦定理外还常用正弦定理。

30° 45° 60° 75°

Sin 1/2 √2/2 √3/2（√6+√2)/4

Cos √3/2 √2/2 1/2(√6-√2)/4

Tan √3/3 1 √3 2+√3

先考虑怎样计算三角形第三边的长

实际应用

在实际生活中，余弦定理是在计算机应有技术中的智能推荐系统，新闻分类中的基本算法之一。从吴军的《数学之美》那本书上知道余弦公式是可以对新闻进行分类的，当然就可以用来对用户进行分类了。引用《数学之美》文章中的话：“向量实际上是多维空间中有方向的线段。如果两个向量的方向一致，即夹角接近零，那么这两个向量就相近。而要确定两个向量方向是否一致，这就要用到余弦定理计算向量的夹角了。” “当两条新闻向量夹角的余弦等于一时，这两条新闻完全重复（用这个办法可以删除重复的网页）；当夹角的余弦接近于一时，两条新闻相似，从而可以归成一类；夹角的余弦越小，两条新闻越不相关。”同理，可以在推荐系统中用来计算用户或者商品的相似性。

余弦定理的前世

如果要算起最古老的数学定理，那自是勾股定理——远在几千年前的巴比伦时期就已经存在；要算起证明方法最多的数学定理，那也是勾股定理——有四五百种方法，爱因斯坦，美国总统这些人都参与进来。今日让我们简单回味一下勾股定理的前世今生，对这伟大的数学定理重新瞻仰。

勾股定理的最早记录，来自美索不达米亚时期的数学泥版。在一块泥版上，刻着“构成直角三角形的各边长”，比如（3,4,5），（5,12,13）等，这大概是最早的毕达哥拉斯数组的最早记录，虽然其远在毕达哥拉斯之前。不过，巴比伦人并没有将之写成统一的数学形式，他们只是将这些数组列成表格，方便计算。很显然，这个时期的数学都是为了解决实际问题。而且严格来说，巴比伦人也没有发现真正的勾股定理，但这作为勾股定理的雏形是绝对有道理的，因为毕达哥拉斯本人都很有可能是从巴比伦人那里学到了勾股定理。

这事一下子就得跳到古希腊时期，正如我们所知道的，由毕氏学派发现了勾股定理的一般形式。勾股定理在西方也就被冠以“毕达哥拉斯定理”的称号，在中国，最早记录勾股定理的文献，应该是《周髀算经》。不管怎么说，勾股定理的形式也就完全确定下来，至此以后就再也没有变过。但对其不断的证明和探索却没有停止，直到现在依然如此——爱因斯坦就是因为他独立证明出了勾股定理，产生出了对数学的兴趣，由此走上科学之路，有不明真相的童鞋据此写下这样一个等式：E=Mc=M(a+b)。

与我们知道的不同，古时的勾股定理并非如我们现在的形式——两直角边平方和等于斜边的平方。古希腊人对几何的崇拜，使得勾股定理的描述形式在很长一段时间里都是几何语言——两直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积。所以有后人对其表述形式作出了推广，比如将正方形改成三个相似图形。由于勾股定理作用在直角三角形中如此有效，人们自然会想到一般的三角形会不会由此类似的结论，对余弦定理的探讨由此展开。当然，由于在古代尚未发展处“三角函数”，甚至于连角度的概念都没有完全形成，所以所出现的余弦定理都只是现代余弦定理的几何等价形式。比如古希腊时期欧几里得，在其《几何原本》里就阐述了几条余弦定理的等价命题：

1：在钝角三角形中，钝角对边上的正方形，比钝角两夹边上的正方形之和大一个矩形的两倍，这个矩形就是由一锐角向对边的延长线做垂线，垂足到钝角之间一段与另一边所构成的矩形。

八年级数学三角形内角和定理 篇13

主备：崔友丽 王维玉 审核：崔兴泉

课本内容：p126—p127

课前准备：

刻度尺、三角板 学习目标：

（1）知识与技能 ：

掌握“三角形内角和定理”的证明过程，并能根据这个定理解决实际问题。（2）过程与方法 ：

通过学生猜想动手实验，互相交流，师生合作等活动探索三角形内角和为180度，发展学生的推理能力和语言表达能力。对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。逐渐由实验过渡到论证。

通过一题多解、一题多变等，初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展。（3）情感态度与价值观：

通过猜想、推理等数学活动，感受数学活动充满着探索以及数学结论的确定性，提高学生的学习数学的兴趣。使学生主动探索，敢于实验，勇于发现，合作交流。

一．自主预习课本p126—p127内容，独立完成课后练习1、2后，与小组同学交流（课前完成）

二． 回顾课本p126—p127思考下列问题：

1、三角形的内角和是多少度？你是怎样知道的？

2、那么如何证明此命题是真命题呢？你能用学过的知识说一说这一结论的证明思路吗？你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗？与同伴进行交流。

3、回忆证明一个命题的步骤 ①画图

②分析命题的题设和结论，写出已知求证，把文字语言转化为几何语言。③分析、探究证明方法。

4、要证三角形三个内角和是180°，观察图形，三个角间没什么关系，能不能象前面那样，把这三个角拼在一起呢？拼成什么样的角呢？

①平角，②两平行线间的同旁内角。

5、要把三角形三个内角转化为上述两种角，就要在原图形上添加一些线，这些线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线常画成虚线，添辅助线是解决问题的重要思想方法。如何把三个角转化为平角或两平行线间的同旁内角呢？

① 如图1，延长BC得到一平角∠BCD，然后以CA为一边，在△ABC的外部画∠1=∠A。

② 如图1，延长BC，过C作CE∥AB③ 如图2，过A作DE∥AB

④ 如图3，在BC边上任取一点P，作PR∥AB，PQ∥AC。

三、巩固练习

四、学习小结：（回顾一下这一节所学的，看看你学会了吗？）

五、达标检测： 1.、2、六、布置作业

三角形内角和定理导学案（第二课时）

课本内容：P127-P65例

1、例2 课前准备：三角板 学习目标

1、三角形的外角的概念和三角形的内角和定理的两个推论。

2、.经历探索三角形内角和定理的推论的过程，进一步培养学生的推理能力，理解掌握三角形内角和定理的推论及其应用。

3、通过探索三角形内角和定理的推论的活动，来培养学生的论证能力，拓宽他们的解题思路，从而使他们灵活应用所学知识。学习重点：三角形内角和定理的推论。

学习难点：三角形的外角、三角形内角和定理的推论的应用。

一：自主预习课本P127-P65例

1、例2，完成课后练习题后，与小组同学交流（课前完成）

二、回顾课本思考下列问题：

1、复习旧知

上节课我们证明了三角形内角和定理，大家来回忆一下：它的证明思路是什么？

2、尝试发现、探索新知 那什么叫三角形的外角呢？

三角形的一边与（）组成的角，叫做三角形的外角。

3、动手操作，合作探究，发现新知：

教师活动：∠1是△ABC的一个外角，∠1与图中的其他角有什么关系呢？能证明你的结论吗？

引导学生通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理： 三角形的外角的性质

三角形的一个外角等于（）。三角形的一个外角大于任何一个（）。

在这里，我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理，像这样，由一个公理或定理直接推导出的定理叫做这个公理或定理的推论（corollary）。

因此这两个结论称为三角形内角和定理的推论.它可以当做定理直接使用。注意：应用三角形内角和定理的推论时，一定要理解其意思.即：“和它不相邻”的意义。

4、练习

B

已知：如图，求∠C的度数。

C 75A

E5、例题分析，拓展思维

D例1：已知，如图，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C，求证： AAD∥BC

CB2、证明：三角形的三个外角和360。

三、巩固练习：

四边形的四个外角和是（），并说明理由。

1、已知：如图，五角星形的顶角分别是，，C

求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180

DB

EA

议一议：

有的 同学想连结CD，把五个角“凑”到内，他的想法可行吗？ 小组讨论，尝试证明

2、如图：已知，在⊿ABC中，1是它的一个外角，E为边 AC上的一点，延长BC到点D，连接DE,证明： 1﹥ 2

点拨：看到要证两个角的不等关系，会让我们想到三角形内角和定理的推论2，但此题中的∠1和∠2却不是一个三角形的内角和外角，所以我们应找到一个间接量来牵线搭桥，那么可以找谁呢？

A1BD⌒⌒2EC

四、学习小结：（回顾一下这一节所学的，看看你学会了吗？）

五、达标检测

1、课本P94 随堂练习1

2、三角形的三个外角中最多有_______个锐角。

3、如图：求 A＋ B＋ C＋ D＋ E＋ F？

4、△ ABC中，BE为∠ABC的平分线，CE为∠ACD的平分线，两线交BA于E点。你能找出∠E与∠A有什么关系吗？

六、布置作业

三角形的性质定理 篇14

义务教育课程标准教科书数学 (人教版) 八年级上册150页第12题:等腰三角形两底角的平分线相等吗?两腰上的中线呢?两腰上的高呢?证明其中的一个结论.显然, 等腰三角形两底角的平分线相等, 两腰上的中线相等, 两腰上的高也相等。它们都很容易用全等三角形证明.由此我们很自然地思考与它们相反的问题:有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形吗?有两条中线相等的三角形是等腰三角形吗?有两条高相等的三角形是等腰三角形吗?经过探究会得到结论:有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形, 有两条中线相等的三角形是等腰三角形, 有两条高相等的三角形也是等腰三角形.但是证明上述命题, 有难有易.我们很容易用全等三角形证明“有两条高相等的三角形是等腰三角形”, 但是用全等三角形证明“有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形, 有两条中线相等的三角形是等腰三角形”却比较困难.令我欣喜的是有学生还根据“三角形的面积等于底乘高的一半”, 很方便地用等式性质证明了“有两条高相等的三角形是等腰三角形, 等腰三角形两腰上的高相等”。这就启发我们, 也可以用等式的性质证明“有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形, 有两条中线相等的三角形是等腰三角形.等腰三角形的两底角的平分线相等, 等腰三角形两腰上的中线相等”。

上面的命题的题设和结论都很简单, 分别是三角形角平分线的关系、中线的关系、边之间的关系.如果能得到三角形的中线、角平分线与三角形的三边关系式, 就有可能用等式的性质证明上述命题。

二、三角形的中线、角平分线与三角形三边的关系的公式推导

1、证明余弦定理.

如图1, 在△A BC中, A B=c, BC=a, CA=b, 过点B作BD⊥A C, 垂足为D。在△A BD中, BD=A Bsin A=csin A, A D=A Bcos A=ccos A, CD=A C-A D=b-ccos A。在△BCD中, 用勾股定理得, BC2=BD 2+D C2= (csin A) 2+ (b-ccos A) 2=b2+c2-2bccos A, 即a2=b2+c2-2bccos A.如果垂线段BD不在三角形内部, 同样可以得到结论。

2、证明三角形中线与三边的关系.

如图2, 在△A BC中, A M是中线, 三边BC=a, A C=b, A B=c.由余弦定理得:AM2=AB2+BM2—2AB×BM×cos B=c2+ (2—1a) 2-2*21a*c*2aca2+c2-b2=c2+41a2-21 (a2+c2-b2) =41 (2b2+2c2-a2) 。即得中线A M=Ma=21

3、证明角平分线与三边的关系.

三、等腰三角形的有关性质与判定的证明

1、等腰三角形两腰上的中线相等

如图3, 在△A BC中, AB=AC, BD和CE是两腰上的中线.根据公式得:。又b=c, 所以BD=CE。

2、有两边上的中线相等的三角形是等腰三角形

如图3, 在△A BC中, BD和CE分别是两边A C、A B上的中线, 且BD=CE.根据公式得:

即AB=AC。

3、等腰三角形两底角的平分线相等

如图4在△A BC中, A B=A C, BD和CE是两底角的平分线。根据公式得, 又b=c, 所以, BD=CE。

4、有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形

如图4, 在△A BC中, BD和CE分别是∠A BC和∠A CB的角平分线, 且BD=CE.根据公式得

三角形的性质定理 篇15

关键词：高中物理；三角函数

中图分类号：G633 文献标识码：A 文章编号：1671-864X（2016）07-0257-01

高中物理对数学的应用模型可以简单地概括为函数模型、三角模型、图像模型、不等式模型等。三角及余弦函数普遍应用于解决物理问题。

一、三角函数的基本应用

例题1 如图1所示，质量为m的小球静止于斜面与竖直挡板之间，斜面倾角为θ，求小球对挡板和对斜面的压力大小分别是多少？[2]

解析：小球受到的重力产生的效果是压紧挡板和使球压紧斜面，重力的分解如图2所示。

二、三角函数求物理极值

（一）利用辅助角三角函数公式求物理极值。

小结

物理试题的求解过程就是一个将物理问题转化为数学问题经过求解还原为物理结论的过程。因此在进行高考物理复习的同时，要特别注意数学模型在物理问题中的应用。

初中三角形内角和定理教学设计 篇16

一、教材分析

(一)教材的地位和作用《三角形的内角》内容选自人教实验版九年义务教育七年级下册第七章第二节第一课时。 “三角形的内角和等于180°”是三角形的一个重要性质，它揭示了组成三角形的三个角的数量关系，学好它有助于学生理解三角形内角之间的关系，也是进一步学习《多边形内角和》及其它几何知识的基础。此外，“三角形的内角和等于180°”在前两个学段已经知道了，但这个结论在当时是通过实验得出的，本节要用平行线的性质来说明它，说理中引入了辅助线，这些都为后继学习奠定了基础，三角形的内角和定理也是几何问题代数化的体现。

(二)教学目标

基于对教材以上的认识及课程标准的要求，我拟定本节课的教学目标为：

1、知识技能：发现“三角形内角和等于180°”，并能进行简单应用;体会方程的思想;寻求解决问题的方法，获得解决问题的经验。

2、数学思考：通过拼图实践、合作探索、交流，培养学生的逻辑推理、大胆猜想、动手实践等能力。

3、解决问题：会用三角形内角和解决一些实际问题。

4、情感、态度、价值观：在良好的师生关系下，建立轻松的学习氛围，使学生乐于学数学，在数学活动中获得成功的体验，增强自信心，在合作学习中增强集体责任感。通过添置辅助线教学，渗透美的思想和方法教育。

(三)重难点的确立：

1、重点：“三角形的内角和等于180°”结论的探究与应用。

2、难点：三角形的内角和定理的证明方法(添加辅助线)的讨论

二、学情分析

处于这个年龄阶段的学生有能力自己动手，他们乐于尝试、探索、思考、交流与合作，具有分析、归纳、总结的能力，他们渴望体验成功感和自豪感。因而老师有必要给学生充分的自由和空间，同时注意问题的开放性与可扩展性。

基于以上的情况，我确立了本节课的`教法和学法：

三、教法、学法

(一)教法

基于本节课内容的特点和七年级学生的心理特征，我采用了“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的模式展开教学。本节课采用多媒体辅助教学，旨在呈现更直观的形象，提高学生的积极性和主动性，并提高课堂效率。

(二)学法

通过学生分组拼图得出结论，小组分析寻求说理思路，从不同角度去分析、解决新问题，通过基础练习、提高练习和拓展练习发掘不同层次学生的不同能力，从而达到发展学生思维能力和自学能力的目的，发掘学生的创新精神。

四、教学过程

我是以6个活动的形式展开教学的，活动1是为了创设情境引入课题，激发学生的学习兴趣，活动2是探讨三角形内角和定理的证明，证明的思路与方法是本节的难点，活动3到5是新知识的应用，活动6是整节课的小结提高。

具体过程如下：活动1：首先用多媒体展示情境提出问题1，设计意图是：创设情境，引起学生注意，调动学生学习的积极性，激发学生的学习兴趣，导入新课。在此基础上由学生分组，用事先准备好的三角形拼图发现三角形的内角和等于180°。设计意图是：从丰富的拼图活动中发展学生思维的灵活性，创造性，从活动中获得成功的体验，增强自信心，通过小组合作培养学生合作、交流能力。在合作学习中增强集体责任感。再用多媒体演示两个动画拼图的过程。设计意图：让学生更加形象直观的理解拼图实际上只有两种，一种是折叠，一种是角的拼合，这为下一环节说理中添加辅助线打好基础，从而达到突破难点的目的。

前面通过动手大家都知道了三角形的内角和等于180°这个结论，那么你们是否能利用我们前面所学的有关知识来说明一下道理呢?请看问题2，请各小组互相讨论一下，讨论完后请派一个代表上来说明你们小组的思路[学生的说理方法可能有四种(板书添辅助线的四种可能并用多媒体演示证明方法)]设计的目的：通过添置辅助线教学，渗透美的思想和方法教育，突破本节的难点，了解辅助线也为后继学习打下基础。在说理过程中，更加深刻地理解多种拼图方法。同时让学生上板分析说理过程是为了培养学生的语言表达能力，逻辑思维能力，多种思路的分析是为了培养学生的发散性思维。

通过活动3中问题的解决加深学生对三角形内角和的理解，初步应用新知识，解决一些简单的问题，培养学生运用方程思想解几何问题的能力。

活动4向学生展示分析问题的基本方法，培养学生思维的广阔性、数学语言的表达能力。把问题中的条件进一步简化为学生用辅助线解决问题作好铺垫。同时培养学生建模能力。

活动5通过两上实际问题的解决加深学生对所学知识的理解、应用。培养学生建模的思想及能力。

活动6的设计目的发挥学生主体意识，培养学生语言概括能力。

【教学设计说明】

1、《数学课程标准》指出：“本学段(7～9年级)的数学应结合具体的数学内容，采用?问题情境——建立模型——解释、应用与拓展?的模式展开，让学生经历知识的形成与应用的过程…… ”因此，在本节课的教学中，我不断的创造自主探究与合作交流的学习环境，让学生有充分的时间和空间去动手操作，去观察分析，去得出结论，并体验成功，共享成功、

2、体现自主学习、合作交流的新课程理念、无论是例题还是习题的教学均采用“尝试—交流—讨论”的方式，充分发挥学生的主体性，教师起引导、点拨的作用、

三角形的性质定理 篇17

蕲春一中高三数学组邓旋

几何证明是培养学生逻辑推理能力的最好载体，迄今为止还没有其他课程能够代替几何的这种地位，几何证明过程包含着大量的直观、想象、探究和发现的因素，这对培养学生的创新意识也非常有利.本讲主要证明一些反映圆与直线关系的重要定理，提高学生几何直观能力和综合运用几何方法解决问题的能力.研究近几年的新课标高考试卷，不难发现，高考对本部分内容的考查大多集中在与圆相关的性质定理和相

根据新课程改革考纲的要求，这一讲我们计划安排4 课时复习，具体安排如下：

第一节：圆周角定理一课时.这节课的重点是帮助学生复习圆周角定理，会用圆周角定理，并会借助圆周角定理证明角相等，三角形相似等问题.第二节：圆内接四边形的性质与判定定理一课时.这节课的重点是帮助学生复习圆内接四边形的性质与判定定理，会灵活运用定理、证明四点共圆问题及解决角相等的问题.第三节：圆的切线的性质及判定定理、弦切角的性质一课时.这节课主要帮助学生通过复习圆的切线的性质及判定定理、弦切角的性质,熟练掌握判定切线的方法.已知圆的切线时，第一要考虑过切点和圆心连线成直角，第二应考虑弦切角定理，第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理.第四节：与圆有关的比例线段一课时.这节课主要帮助学生复习相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理，会结合三角形及其相似等知识来证明线段相等或等比例线段问题.复习时,我们主要是通过知识梳理→开心自测→金题精讲→知能演练→课堂小结→能力锤炼等几个环节进行的.由于湖北高考数学试题选考几何证明专题,从近几年新课标高考试题中不难看出,以圆为载体的证明题或计算题出现的频率较高,所以我们认为:对直线与圆的位置关系复习是重中之重,而圆内接四边形的性质与判定定理是该讲的核内知识,它起到了承前启后的作用，它之前有圆周角定理，它之后还有圆的切线的性质及判定定理、弦切角的性质、相交弦定理、切割线定理、切线长定理等.另外,认真落实教材所讲的知识,重视教材中的例题和习题,深研教材,发掘教材中的内涵是提高几何专题复习效率的一种有效途径.第 1 页

第二节《圆内接四边形的性质与判定定理》说课稿

一、说教材

（一）教材分析

圆内接四边形的性质与判定定理是选修4-1第二讲的核心内容,也是新课标高考试题中的常见考点.以圆为载体的相关问题是新高考命题的潜规则,这是因为:1.根据四点共圆这个条件,可以构造出直角三角形,容易设置高考题.2.四点共圆时,可充分利用外角等于它的内对角、对角互补、相交弦、切割线、割线定理等证明等式.所以应高度重视对这一节教材中的三个定理和一个推论的复习,关键是要让学生懂得定理的应用.（二）教学目标

知识目标

1.了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念；掌握圆内接四边形的概念及其性质定理；

2.掌握圆内接四边形判定定理及其推论;熟练运用圆内接四边形的性质与判定定理进行计算和证明． 能力目标

1.通过对圆内接四边形的概念及其性质定理的复习,培养学生应用定理解决问题的能力;2.通过复习圆内接四边形判定定理及其推论,促使学生会用定理判定四点共圆； 3.通过定理的应用，培养学生逻辑推理能力． 情感目标

1.开心自测引入复习，激发学生观察、分析、探求的学习激情，强化学生参与意识及主体作用.2.通过证明方法的探求，培养学生勤于思考的习惯，并促进学生辩证思维的能力和严谨的治学精神和态度，渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点.（三）教学重难点

1.重 点圆内接四边形的性质与判定定理.2.难 点定理的灵活应用.二、说教法

在课堂教学过程中，要充分调动学生学习的主动性.通过学生自己动手操作、探索，获得对知识的深刻理解，这符合中学生好动厌静的心理特点，能更好地吸引学生的注意力.要把课堂还给学生，多注意倾听，理顺学生思维过程，引导学生合作探究.借助学生的嘴来说，借助学生的脑来想.自己要注意选用示范性强、有一定梯度的2—3道例题进行重点分析、讲评，要善于把自己对于问题的理解转化为学生的理解，而不是直接强加给学生.要培养学生自己“找路”的能力，在学生迷路时及时给予点拨，让学生在主动参与学习的过程中真正的理解.针对本节课的复习目标，主要以下面几个环节进行：知识梳理→开心自测→金题精讲→知能演练→课堂小结→能力锤炼.三、说学法

因为这节课的内容学生在初中已经接触过，内容也比较熟悉，但是定理如何灵活地在解题中运用还有一些欠缺，遇到题目时往往无从下手，所以在复习过程中要善于引导学生运用目标分析意识来解决问题.这节课以解决问题为主线展开，主要采用“探究式学习法”，引导学生发挥主观能动性，主动探索新知.四、说教学过程

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能力锤炼:

1.如图7,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,以BC为直径的⊙O交AB于E点,D为AC的中点,连结BD交⊙O

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