解三角形总

解三角形总（共13篇）

解三角形总 篇1

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http:// 2010高考数学总复习解三角形练习题

一、选择题1.在△ABC中，若C90,a6,B30，则cb等于（）A.B.1

C.2D.23002.若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A.sinA

B.cosA

C.tanA

D.1tanA3.在△ABC中，角A,B均为锐角，且cosAsinB,则△ABC的形状是（）A.直角三角形

B.锐角三角形 C.钝角三角形

D.等腰三角形

04.等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为60，则底边长为（）A.B.3

C.3

D.2325.在△ABC中，若b2asinB，则A等于（）000000A.30或60

B.45或60

C.120或60

D.30或150 6.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A.90

B.120

C.13D.150 000000

二、填空题

1.在Rt△ABC中，C90，则sinAsinB的最大值是_______________.2.在△ABC中，若abbcc,则A_________.3.在△ABC中，若b2,B30,C135,则a_________.4.在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，则C_____________.5.在△ABC中，AB00222062,C300，则ACBC的最大值是________.三、解答题

1． 在△ABC中，若acosAbcosBccosC,则△ABC的形状是什么？

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2.在△ABC中，求证：

3.在锐角△ABC中，求证：sinAsinBsinCcosAcosBcosC.4.在△ABC中，设ac2b,AC

abcosBcosAc()baba3,求sinB的值.亿库教育网

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参考答案

一、选择题

b1.C tan300,batan30023,c2b44,cb23 a2.A 0A,sinA0 3.C cosAsin(4.D 作出图形

5.D b2asinB,sinB2sinAsinB,sinA2A)sinB,2A,B都是锐角，则

2AB,AB2,C2

1,A300或1500 252827216.B 设中间角为，则cos,600,18006001200为所求

258

2二、填空题

1111.sinAsinBsinAcosAsin2A

222b2c2a212.120

cosAA,2bc20 01023.62 A150,0abbsinA62,a4sinA4sin1504 sinAsinBsinB44.120

a∶b∶csinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，a2b2c21,C1200 令a7k,b8k,c13k cosC2ab2ACBCABACBCAB ,,ACBCsinBsinAsinCsinBsinAsinCABAB 2(62)(sinAsinB)4(62)sincos22AB4cos4,(ACBC)max4

2三、解答题

5.4

1.解：acosAbcosBccosC,sinAcosAsinBcosBsinCcosC

sin2Asin2Bsin2C,2sin(AB)cos(AB)2sinCcosC cos(AB)cos(AB),2cosAcosB0

cosA0或cosB0，得A2或B2

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http:// 所以△ABC是直角三角形.a2c2b2b2c2a22.证明：将cosB，cosA代入右边

2ac2bca2c2b2b2c2a22a22b2

得右边c()2abc2abc2aba2b2ab左边，abba

∴abcosBcosAc()baba3.证明：∵△ABC是锐角三角形，∴AB

∴sinAsin(2,即

2A2B0

B)，即sinAcosB；同理sinBcosC；sinCcosA

2∴sinAsinBsinCcosAcosBcosC

ACACBB4.解：∵ac2b,∴sinAsinC2sinB，即2，nsicos4nsicos2222∴sinB1AC3B13Bcos，而0,∴cos，22242422BB313cos22244∴sinB2sin

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解三角形总 篇2

以上是两定理的内容和推广, 它揭示了任意三角形边角之间的规律。利用两定理可求三角函数的值, 可求三角形的内角和边, 判定三角形的形状, 综合考查三角变换以及深化三角形和平面向量等多种知识的运用能力, 当然这也是高中数学的主要精髓之一。

二、举例分析

解法三:延长BD至M, 使DM=BD, 连接AM, CM, 则ABCM为平行四边形。

三、简评

1.所有三角形的边角变换, 其实就是有条件限制的三角关系式的计算与证明, 在三角形的三角变换中, 正余弦定理、勾股定理和直角三角形中的边角关系都是解题的关键, 通过本例可以看出。

2.解三角形的有关问题, 常常需作一些辅助线。如解法一中的中位线, 解法二和解法三中的延长线都是解三角形中常作的辅助线, 应引起学生学习的足够重视。如果不作辅助线, 解题方法就受局限, 甚至造成解不出的可能。

3.通过建立适当直角坐标系, 利用向量或点坐标的工具解答有关边角的问题, 这也是解三角形中常用的方法。本例解法四就是用解析几何知识解决纯平面几何问题的典例, 希望对学生有所启迪。

4.当然, 解三角形有时还要用到两角和公式、倍角公式、半角公式、和差化积、积化和差公式、推导公式、两点间距离公式等诸多公式, 希望学生灵活运用, 以不变应万变。

5.解三角形其主要作用是解决在实际生活中的一些应用。常见有距离、高度、角度及平面图形的面积等计算与测量问题, 希望学生学习时要有应用意识与动手能力, 做到学有所用。

另外, 本题还可继续探讨, 例如, 作△ABC的外接圆或利用点坐标法是否可解。感兴趣的学生可以试试。总之, 解一般三角形万变不离其宗, 其要领都是平面几何与正余弦定理两方面知识的结合。

摘要：解三角形是高中数学重点内容之一。解题主要依据是正弦及余弦定理, 但解题方法灵活多样, 仅以一道例题四种解法进行简要分析。

由一题四解浅析解三角形 篇3

关键词：解三角形；正余弦定理；多种分析方法

一、正弦定理和余弦定理是解三角形的关键

1.正弦定理■=■=■=2R（R为△ABC外接圆半径），推广：

（1）a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC（边化角）

（2）sinA=■ sinB=■ sinC=■（角化边）

2.余弦定理c2=a2+b2-2abcosC（求边，另两个略），推广：cosC=■（求角）

以上是两定理的内容和推广，它揭示了任意三角形边角之间的规律。利用两定理可求三角函数的值，可求三角形的内角和边，判定三角形的形状，综合考查三角变换以及深化三角形和平面向量等多种知识的运用能力，当然这也是高中数学的主要精髓之一。

二、举例分析

说明：由于篇幅有限，例子中图形已省略，个别步骤作了简化。

例子：在△ABC中，AB=4，cosB=■，AC边上的中线BD=■，求sinA的值.

解法一：设M为BC的中点，则DM∥AB，且DM=2。在△BDM中，cos∠BMD=cos（180°-∠ABC）=-■，由余弦定理，得：（■）2=BM2+22-2×2×（-■）.BM解得BM=3，BM=-5（舍去）。

则BC=6，由AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=28

得AC=2■，又由正弦定理■=■，得：sinA=■

解法二：作AE⊥BC，垂足为E，延长BD到M，使DM=BD，再作MF⊥BC，垂足为F，则BE=AB·cosB=2，并且AE=2■·BF=■=8，而CF=BE=2，所以BC=BF-CF=6又EC=4，所以AC=■=2■

在△ABC中，由正弦定理，得：sinA=■

解法三：延长BD至M，使DM=BD，连接AM，CM，则ABCM为平行四边形。

于是∠BAM=180°-∠ABC，在△ABM中，由余弦定理，得： （2■）2=42+BC2-2×4·BC·（-■）

解得BC=6。再根据解法一求出AC，最后得：sinA=■

解法四：以B为原点，向量■为x轴建立直角坐标系，由sinB=■，得：向量■=（4·cosB，4·sinB）=（2，2■）.设■=（x，0），则向量■=（■，■），从而向量■的模=■=■解得x=6，于是向量■=（-4，2■），所以根据两向量夹角公式，有：■·■=■·■·cosA，得cosA=■，故sinA=■=■（负值舍去，需讨论）

三、简评

1.所有三角形的边角变换，其实就是有条件限制的三角关系式的计算与证明，在三角形的三角变换中，正余弦定理、勾股定理和直角三角形中的边角关系都是解题的关键，通过本例可以看出。

2.解三角形的有关问题，常常需作一些辅助线。如解法一中的中位线，解法二和解法三中的延长线都是解三角形中常作的辅助线，应引起学生学习的足够重视。如果不作辅助线，解题方法就受局限，甚至造成解不出的可能。

3.通过建立适当直角坐标系，利用向量或点坐标的工具解答有关边角的问题，这也是解三角形中常用的方法。本例解法四就是用解析几何知识解决纯平面几何问题的典例，希望对学生有所启迪。

4.当然，解三角形有时还要用到两角和公式、倍角公式、半角公式、和差化积、积化和差公式、推导公式、两点间距离公式等诸多公式，希望学生灵活运用，以不变应万变。

5.解三角形其主要作用是解决在实际生活中的一些应用。常见有距离、高度、角度及平面图形的面积等计算与测量问题，希望学生学习时要有应用意识与动手能力，做到学有所用。

另外，本题还可继续探讨，例如，作△ABC的外接圆或利用点坐标法是否可解。感兴趣的学生可以试试。总之，解一般三角形万变不离其宗，其要领都是平面几何与正余弦定理两方面知识的结合。

（作者单位 辽宁省本溪市机电工程学校）

解三角形应用举例教案（推荐） 篇4

●教学目标

知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语

过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正

情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 ●教学重点

实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解 ●教学难点

根据题意建立数学模型，画出示意图 ●教学过程 Ⅰ.课题导入

1、[复习旧知] 复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？

2、[设置情境]

请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。Ⅱ.讲授新课

（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解

[例题讲解]

(2)例

1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=51，ACB=75。求A、B两点的距离(精确到0.1m)

启发提问1：ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？

启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。解：根据正弦定理，得

ABsinACB =

ACsinABC

AB = ACsinACB

sinABC = 55sinACB

sinABC =

55sin75 sin(1805175)= 55sin75

sin54 ≈ 65.7(m)答:A、B两点间的距离为65.7米

变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？

老师指导学生画图，建立数学模型。解略：2a km 例

2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。

分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。

解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得BCA=， ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中，应用正弦定理得

AC = BC =

asin()= asin()

sin[180()]sin()asin = asin sin[180()]sin()计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离 AB =

AC2BC22ACBCcos

分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。

变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA =60

略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20

评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。Ⅲ.课堂练习

课本第13页练习第1、2题 Ⅳ.课时小结

解斜三角形应用题的一般步骤：

（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图

（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解

（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 Ⅴ.课后作业

解三角形总 篇5

学

学习目标

1、回顾已有的三角形边角知识；

2、通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”、“向量法”等多种方法证明正弦定理；

3、学会运用正弦定理解任意三角形的两类基本问题。

*知识点清单*

正弦定理：在△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，则

1、正弦定理可解决两类问题：（1）2）abck2、在△ABC中，sinAsinBsinC，研究k的几何意义。(k=2R,R为三角形外接圆半径)

1113、SABCah=r(abc)=absinC(其中r

是内切圆半径)22

2*基础巩固训练* 例题讲解 例

1、在ABC中，已知A30，B45，跟踪练习1 在ABC中，已知A300，B600，c

6cm，解三角形。2 在ABC中，若a=1cm，C30,ccm，解三角形。a6cm，解三角形。

例

2、在ABC中，已知

a

bA45，解三角形。当b，b并解三角形，观察解的情况并解释出现一解，两解，无解的原因。*创新提高*

1、在ABC中，已知bc8，B30，C45，则b，c．

2、在ABC中，如果A30，B120，b12，那么a，ABC的面积是．

3、在△ABC中，若sinA>sinB,则A与B的大小关系为。

4、在△ABC中，a=12，A=60，要使三角形有两解，求对应b的取值范围。5．在△ABC中，若b2asinB，则A等于（）00000000A．30或60B．45或60C．120或60D．30或150 06、在ABC中，已知A120，a7，c5，求b的值。

高中数学必修五——第一章解三角形

1*高考体验*

1.（2007年重庆卷文13）在△ABC中，AB=1，BC=2，A=60°，则AC＝。

c2．（2007年湖南卷文12）．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a

1，C60，则A．

*学习总结*

在SSA类型中，解有三种情况：

1、无解，①sinB>1②钝角对小边

2、一解，①sinB=1（B为直角）②已知角为直角或钝角③根据大边对大角或等边对等角

3、二解：0

学习目标

1、回顾已有的三角形边角知识；

2、通过“勾股定理”，“向量法”等方法证明余弦定理，熟记余弦定理。

3、理解余弦定理与勾股定理的关系，应用余弦定理解三角形。

学

*知识点清单*

余弦定理：在△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，则

1、余弦定理可解决两类问题：（1）2）

2、余弦公式的变形：

*基础巩固训练*

跟踪练习例题讲解

00

1在 ABC中：已知b=8,c=3,A=60,求a。60例

1、在△ABC中，已知b=3,c=1,A=,求a。

2在ABC中，已知a=9,b=10,c=15 ,求A。例

2、在△ABC中，已知a＝4，b＝5，c＝6，求

A(精确到0.1°)

*创新提高*

1、在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于________

2、在△ABC中，已知AB=3，AC=4，则边AC上的高为 _________

3、在△ABC中，已知a=2，b=4，C=600，则△ABC是_________A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形

4、在△ABC中，已知b

c=3，B=30°，则边长a=_____________

5、在△ABC中，（a+b+c）（a+b-c）=3ab，则

C=__________________

6、在△ABC中，已知a=2，b=3，C=60°，试证明此三角形为锐角三角形

.*高考体验*

1.在ΔABC中，已知 a2b2bcc

2，则角A为（）

A

3B 

6C23D3或2

32．已知：在⊿ABC中，ccosbCcosB，则此三角形为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形

3、在ABC中，acosAbcosBc

cosC,试用余弦定理证明：ABC为正三角形.4、在锐角△ABC中，求证：sinAsinBsinCcosAcosBcosC。

5、在△ABC中，求证：a=bcosC+ccosB, b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosC

学

学习目标

1、熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式；

2、充分运用数形结合的思想，熟悉实际问题向数学问题的转化的方法；

3、学会运用正余弦定理解决距离问题，高度问题，角度问题等实际问题。

*知识点清单*

解三角形的应用可大体上把它分成以下三类： I、距离问题

（1）一点可到达另一点不可到达（课本1.2例1）（2）两点都不可到达（课本1.2例2）II、高度问题（最后都转化为解直角三角形）III、角度问题

*基础巩固训练*

例题讲解

例

1、如图，C、D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄，CD= 6 km，且D位于C的北偏东30°方向上，求AB为多少km。

例

2、如图，一游人由山脚A沿坡角为30的山坡AB行走600m，到达一个景点B，再由B沿山坡BC行走200m到达山顶C，若在山顶C处观测到景点B的俯角为45，则山高CD为多少





跟踪练习

1、B与C为江边两景点，在岸上选取A和D两个测量点，测得ADCD，AD10km，BDA60，BCD135，AB

1

4km，求两景点B与C的距离（假设A,B,C,D在同一平面内，测量结果保留整数）

2、用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α和β,已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度.*创新提高*

1、同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α（精确到1），坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)。

2、如图，天空中有一静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°。已知AB=20m，点C和直线AB在同一铅锤平面上，求气球离地面的高度？（精确到1m）

3、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航67.5 mile后到达海岛B。然后从B出发，沿北偏东32的方向航行54 mile后到达海岛C。如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，要要航行的距离是多少？（角度精确到1）

/

*高考体验*

1、(2007·山东)如图4-4-12，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B

2处，此时两船相距





海里，问乙船每小时航行多少海里？

2、（2009汕头）为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架，三角形支架形状如图，要求

ACB600，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了广告牌稳固，要求AC的长度越短

《解直角三角形》说课稿 篇6

一、教材分析：

《解直角三角形》是人教版九年级（下）第二十八章《锐角三角函数》中的内容。教学内容是能利用直角三角形的边角关系（勾股定理、两锐角互余、锐角三角函数）解直角三角形。通过学习，学生理解直角三角形的概念，学会解直角三角形，从而进一步把形和数结合起来，提高分析和解决问题的能力。它既是前面所学知识的运用，也是高中继续解斜三角形的重要预备知识，它的学习还蕴涵着深刻的数学思想方法，在本节教学中有针对性的对学生进行这方面的能力培养。

二、教学目标：

知识与技能

1、理解解直角三角形的概念。

2、理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。

过程与方法

综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，培养学生分析问题解决问题的能力。

情感态度与价值观

渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯。

三、教学重点、难点：

重点：理解解直角三角形的概念，学会解直角三角形 难点：三角函数在解直角三角形中的应用。

四、教法、学法分析：

教师通过精心设计问题，引导学生进行教学，并不断地制造思维兴奋点，让学生脑、嘴、手动起来，充分调动了学生的学习积极性，达到事半功倍的教学效果，而学生在教师的鼓励下引导下总结解题方

法，清晰自己解题的思路，并通过小组讨论、组际竞赛等多种方式增强学习的成就感及自信心，从而培养浓厚的学习兴趣。

五、教学过程：

⑴、上节课的知识回顾

首先引导学生复习上节课所讲的解直角三角形的意义及直角三角形中的边角关系。（为下面的新课作准备）

⑵、新知识的探究

讲授新知识这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．

解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演。

⑶、解直角三角形的应用实例

为了能培养学生数形结合的审题意识，安排了例

1、例2，完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？” 先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底。在实际应用练习：将平时实际生活中的问题抽象成解直角三角形的问题，进而解决实际问题，强调解直角三角形的应用非常广泛，应牢牢掌握。[4]、本节课小结

请同学回答本节课学了哪些知识？ [5]、作业布置

从三个方面把握解三角形问题 篇7

在解三角形时, 首先要能根据题目的条件准确选择用正弦定理还是余弦定理解题, 迅速找到解题的入口, 从而避免繁琐的运算, 优化解题过程;其次, 解题时还要有分析验证的意识, 能够准确把握解题的结果, 既避免增解, 又避免失解;另外, 还应注意运算的合理性, 分清是要单个求值还是整体运算.

一、用正弦定理还是余弦定理

例1 在△ABC中, 已知 b=3, c=1, B=60°, 求 a.

解法1:因为$\frac{b}{\text{s}\text{i}\text{n}B}=\frac{c}{\text{s}\text{i}\text{n}C}$,

所以$\sin C=\frac{c\text{s}\text{i}\text{n}B}{b}=\frac{\sqrt{3}}{6}.$

因为 b>c, 所以B>C, 所以C为锐角,

所以$\cos C=\sqrt{1-\sin {}^{2}C}=\frac{\sqrt{33}}{6}.$

$\begin{array}{l}\text{所}\text{以}\sin A=\sin (B+C)\\ =\sin B\cos C+\cos B\sin C\\ =\frac{3\sqrt{11}+\sqrt{3}}{12}.\end{array}$

因为$\frac{a}{\text{s}\text{i}\text{n}A}=\frac{b}{\text{s}\text{i}\text{n}B}$,

所以$a=\frac{b\text{s}\text{i}\text{n}A}{\text{s}\text{i}\text{n}B}=\frac{\sqrt{33}+1}{2}.$

解法2:因为 b2=a2+c2-2accosB,

所以 a2-a-8=0,

解得$a=\frac{1+\sqrt{33}}{2}$或$a=\frac{1-\sqrt{33}}{2}$ (舍去) .

评注: (1) 正弦定理能够解决的解三角形问题有两类:一是已知“两边及其中一边的对角”;二是已知“两角与一边”.

(2) 余弦定理能够解决的斜三角形问题也有两类:一是已知“两边夹一角”;二是已知“三边”.

(3) 已知“两边及其中一边的对角”的问题是一类特别的问题, 对于该类问题, 既可以运用正弦定理, 又可以运用余弦定理, 而且有时运用余弦定理使得问题的解决变得更简捷, 可以避免繁琐的变形推理.

(4) 解斜三角形的问题时, 要能够结合三角函数知识灵活地解决问题, 注意运用“大边对大角”确定解的个数.

二、两解还是一解或是无解

例2 (1) 在△ABC中, $a=4‚c=6‚\cos A=\frac{3}{4}$, 求 b;

(2) 在△ABC中, $C=2A‚a+c=10‚\cos A=\frac{3}{4}$, 求 b.

解: (1) 因为$\cos A=\frac{b{}^2+c{}^2-a{}^2}{2bc}$, 且$a=4‚c=6‚\cos A=\frac{3}{4}$,

所以 b2-9b+20=0,

解得 b=4或 b=5.

(2) 因为$\frac{a}{\text{s}\text{i}\text{n}A}=\frac{c}{\text{s}\text{i}\text{n}C}$,

所以$\frac{c}{a}=\frac{\text{s}\text{i}\text{n}C}{\text{s}\text{i}\text{n}A}=\frac{\sin 2A}{\text{s}\text{i}\text{n}A}=2\cos A=\frac{3}{2}.$

又因为 a+c=10, 所以 a=4, c=6.

因为$\cos A=\frac{b{}^2+c{}^2-a{}^2}{2bc}$, 且$a=4‚c=6‚\cos A=\frac{3}{4}$,

所以 b2-9b+20=0,

解得 b=4或 b=5.

当 b=4时, 又因为 a=4, 所以A=B.

又因为C=2A, 所以C=2A=2B,

所以 A=B=45°,

这时$\cos A=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 与$\cos A=\frac{3}{4}$矛盾, 故 b=4不成立.

当 b=5时, 经验证, 满足题意.

综上, b=5.

评注:第 (1) 小题是典型的“两边及一角”问题, 因为已知A为锐角, 且 csinA<a<c, 符合条件的三角形有两个, 所以本题有两解.第 (2) 小题化到一定程度好象就是第 (1) 小题, 照理也应该有两解, 但由$\cos A=\frac{3}{4}$及C=2A知, A, C为定值, 那么从而该三角形三个角都为定值, 再加之 a, c 都为定值, 那么符合条件的三角形只有一个, 所以本题只有一解, 另外一解为增解, 需要通过验证舍去.

第 (2) 小题另解:

因为$\cos A=\frac{3}{4}$,

$\begin{array}{l}\text{所}\text{以}\sin A=\sqrt{1-\cos {}^{2}A}=\frac{\sqrt{7}}{4}‚\\ \sin C=\sin 2A=2\sin A\cos A=\frac{3\sqrt{7}}{8}‚\\ \cos C=\cos 2A=2\cos {}^{2}A-1=\frac{1}{8}.\end{array}$

所以$\sin B=\sin (A+C)=\sin A\cos C+\cos A\sin C=\frac{5\sqrt{7}}{16}.$

又$\frac{b}{\text{s}\text{i}\text{n}B}=\frac{a}{\text{s}\text{i}\text{n}A}=\frac{c}{\text{s}\text{i}\text{n}C}=\frac{a+c}{\text{s}\text{i}\text{n}A+\text{s}\text{i}\text{n}C}$,

即$\frac{b}{\frac{5\sqrt{7}}{16}}=\frac{10}{\frac{\sqrt{7}}{4}+\frac{3\sqrt{7}}{8}}$, 得 b=5.

三、单个求值还是整体运算

例3 已知在△ABC中, $a=\sqrt{7}‚A=60°‚\sin B\sin C=\frac{9}{28}$, 求 b, c 的值.

解:因为$\frac{a}{\text{s}\text{i}\text{n}A}=\frac{b}{\text{s}\text{i}\text{n}B}=\frac{c}{\text{s}\text{i}\text{n}C}$,

$\begin{array}{l}\text{所}\text{以}\sin B=\frac{b\text{s}\text{i}\text{n}A}{a}=\frac{b\text{s}\text{i}\text{n}60°}{\sqrt{7}}‚\\ \sin C=\frac{c\text{s}\text{i}\text{n}A}{a}=\frac{c\text{s}\text{i}\text{n}60°}{\sqrt{7}}‚\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{所}\text{以}\sin B\cdot \sin C=\frac{b\text{s}\text{i}\text{n}60°}{\sqrt{7}}\cdot \frac{c\text{s}\text{i}\text{n}60°}{\sqrt{7}}\\ =\frac{3bc}{28}=\frac{9}{28}‚\end{array}$

所以 bc=3.

因为 a2=b2+c2-2bccosA

= (b+c) 2-2bc-2bccos60°

= (b+c) 2-3bc,

即7= (b+c) 2-3×3, (b+c) 2=16, 得 b+c=4.

由$\{\begin{array}{l}b+c=4‚\\ bc=3‚\end{array}$解得$\{\begin{array}{l}b=3‚\\ c=1‚\end{array}$或$\{\begin{array}{l}b=1‚\\ c=3.\end{array}$

评注:解三角形是“知三求三”, 即由三个已知的基本量 (至少有一条边) 求另外的三个基本量, 但有些问题需要先成对求出两条边的和与积, 再进一步求出相应的基本量, 如本题中的 b+c 与 bc, 显然, 若先单个求 b, c 是不适宜的.

江苏省海州高级中学

《解三角形》学习导引 篇8

1．两个基本定理

正弦定理：

[asinA=bsinB=csinC=2R(R]为[△ABC]外接圆的半径）.

余弦定理：

[b2+c2-a2=2ac cosA] [cosA=b2+c2-a22bc]

[c2+a2-b2=2ac cosB][cosB=c2+a2-b22ca]

[a2+b2-c2=2abcosC][cosC=a2+b2-c22ab]

2．三角形的面积

设[△ABC]的面积为[S]，则：

（1）[S=12aha=12bhb=12chc]

[=12acsinB=12bcsinA=12absinC．]

（2）[S=abc4R=2R2sinAsinBsinC]

[=pr=p(p-a)(p-b)(p-c)]

（其中[p]为[△ABC]的周长的一半，[r]为[△ABC]内切圆半径）[．]

3．几个常用的结论

（1）在[△ABC]中，[sinA>sinB⇔a>b⇔A>B⇔][cosA

（2）在[△ABC]中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

（3）在[△ABC]中，三边[a、b、c]成等差数列，则 [a+c=2b．] [sinA+sinC=2sinB．]

二、易错点提醒

1．在运用正弦定理解决“已知两边和其中一边的对角，解三角形”问题时，要注意对解的个数的判断.这是同学们学习这部分内容的最大难点和易错点．

2．在处理三角形中的三角函数的求值、证明问题时，要注意角的范围对三角函数值的影响，避免造成增解或漏解. 如在[△ABC]中，[sinA=12]，[A=π6]或[π-π6].

3．恰当选用正、余弦定理解决问题，简化运算过程，提高解题速度，用方程的观点去认识余弦定理，一般地，凡能用正弦定理解决的问题也可用余弦定理解决，但有时要复杂些．

4．在解三角形时，要注意把平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，挖掘题目中的隐含条件，并结合三角形的有关性质，注意数形结合，灵活地进行边角互化从而使问题顺利解决．

5．向量也是解三角形的武器之一．

三、典型例题

例1 在[△ABC]中，[bcosA=acosB]，试判断[△ABC]的形状．

解法一：（利用余弦定理的推论将角转化为边）

∵[bcosA=acosB]，

∴[b⋅b2+c2-a22bc=a⋅a2+c2-b22ac]，

∴[b2+c2-a2=a2+c2-b2]，∴[a2=b2].

∵[a>0,b>0]，∴[a=b]，

∴[△ABC]是等腰三角形.

解法二：（利用正弦定理的推论将角转化为边）

∵[bcosA=acosB]，又由正弦定理，

[b=2RsinB,a=2RsinA]，

∴[2RsinBcosA=2RsinAcosB]，

∴[sinBcosA-sinAcosB=0]，

∴[sin(A-B)=0].

又[0

∴[-π

∴[A-B=0]，即[A=B]，

∴[△ABC]是等腰三角形.

方法总结若已知条件既含有边，又含有角，一般用正、余弦定理完成边角转化，化为只含有边或只含有角的式子，然后再求解.

例2在某点[B]处测得建筑物[AE]的顶端[A]的仰角为[θ]，沿[BE]方向前进[30m]，至点[C]处测得顶端[A]的仰角为2[θ]，再继续前进[103m]至[D]点，测得顶端[A]的仰角为4[θ]，求[θ]的大小和建筑物的高[AE]．

解法一：（用正弦定理求解）

由已知可得在[△ACD]中，[AC=BC=30，][AD=DC=103]，[∠ADC=180°][-4θ,]

[∴][103sin2θ]=[30sin(180°-4θ)]，

[sin4θ=2sin2θcos2θ,]

故[cos2θ][=32],得[2θ=30°],[θ=15°]，

[∴]在Rt[△ADE]中，[AE=ADsin60°=15,]故所求角[θ]为[15°]，建筑物高度为15m.

解法二：（设方程来求解）

设[DE=x,AE=h，]

在 Rt[△ACE]中,(10[3+x)2+h2=302.]

在 Rt[△ADE]中,[x2+h2=(103)2]，

两式相减，得[x=53],[h=15]，

故在 Rt[△ACE]中,[tan2θ]=[h103+x]=[33]，

[∴][2θ]=30°,[θ]=15°，

故所求角[θ]为15°，建筑物高度为15m.

解法三：（用倍角公式求解）

设建筑物高为[AE=x，]

由题意，得[∠BAC=θ]，[∠CAD=2θ]，

[AC=BC=30m,][AD=CD=103m]，

在Rt[△ACE]中，[sin2θ]=[x30]，①

在Rt[△ADE]中，[sin4θ]=[x103],②

②÷①，得cos2[θ]=[32],[2θ]=30°,

[θ]=15°，AE=ADsin60°=15.

例3在[△ABC]中，[a]、[b]、[c]分别为内角[A]、[B]、[C]的对边，[2asinA=(2b+c)sinB+(2c+][b)sinC].

（1）求[A]的大小；

（2）求[sinB+sinC]的最大值.

解（1）由已知，根据正弦定理得

[2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,]即[a2=b2+c2+bc]，

由余弦定理得[a2=b2+c2-2bc cosA,]

故[cosA=-12]，[A=120∘].

（2）由（1）得[sinB+sinC=sinB+sin(60∘-B)]

[=32cosB+12sinB][=sin(60∘+B)]，

故当[B=30∘]时，[sinB+sinC]取得最大值1.

解三角形总 篇9

一、两角和与差的三角函数

1、两角和与差的正弦： sin()sincoscossin；

2、两角和与差的余弦：cos()coscossinsin；

3、两角和与差的正切：tan()tantan。1tantan

2tan 21tan224、二倍角公式：①sin22sincos，②cos2cossin，③tan2

※

5、用赋值法求三角函数值的步骤：（1）作图赋值（2）求边算角（3）确定符合 ※

6、三角函数化简变换：

22（1）同角变换：①sincos1，②tancot1，③tansin cos

）tan（2）负角变换：①sin()sin，②cos()cos，③tan（（3）余角变换：①sin(

2)cos，②cos(

2)sin，③tan(

2)cot

)tan（4）平角变换：①sin()sin，②cos()cos，③tan（)tan（5）周期变换：①sin(2)sin，②cos(2)cos，③tan（※

7、三角函数计算或证明技巧：（1）切割化弦（2）异名化同（3）升次降次 ※

8、解和差倍角题型步骤：（1）明确角范围（2）求出中间值（3）凑出要求角（4）灵活用公式 ※

9、三角函数象限符合口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。

二、解斜三角形：（ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c）

1、三角关系：A+B+C=1802、三边关系：abcab3、边角关系：（1）正弦定理：0abc2R，（R是ΔABC外接圆的半径）sinAsinBsinC

b2c2a2

（2）余弦定理：abc2bccosA，cosA 2bc222

（3）大小定理：大边对大角，小边对小角，等边对等角。

4、面积公式： SABC111absinCbcsinAacsinB 222

※

4、题目类型：

（1）常规题型：①已知SSS②已知SAS③已知AAS【④】已知SSA

（2）实际应用：①仰俯角问题②方位角问题③多边形问题

※

5、解斜三角形步骤：

（1）作图标图（2）条件联想（3）结论分析（4）思路步骤（5）板书设计 ※

6、解题十二要诀：

（1）解前准备充分，理解记住知识； 掌握方法技能，熟悉基本题型。

（2）解时联想经验，思想方法探寻； 设计思路步骤，板书条理工整。

28.2.1解直角三角形教案 篇10

西湖中学 黄 勇

一、内容和内容解析

1、内容：解直角三角形的意义，直角三角形的解法。

2、内容解析：本节是学习锐角三角函数之后，结合已学过的勾股定理和三角形内角和定理，研究解直角三角形的问题。本课内容既能加深对锐角三角函数的理解，又能为后续解决与其相关的实际问题打下基础，在本章起到承上启下的作用。

二、目标和目标解析

1．了解解直角三角形的意义和条件．

2．能根据直角三角形中的角角关系、边边关系、边角关系解直角三角形，能运用解直角三角形的知识解决有关的实际问题．

目标解析：达成目标1的标志是，知道解直角三角形的内涵，能根据直角三角形中已知元素，明确所有要求的未知元素。达成目标2的标志是根据元素的关系，选择适当关系式，求出未知元素。

三、学情分析

在直角三角形的边角关系中，三边之间的关系、两锐角之间的关系比较直接，而两边的比与一个锐角的关系，学生通过学习锐角三角函数，有了一定的基础，但在具体的直角三角形中，根据已知条件选择恰当的锐角三角函数，还是有些困难，且解直角三角形往往需要综合运用勾股定理及三角函数的知识，具有一定的综合性。

CB

四、教学过程

1、实例引入，初步体验

本章引言提出的比萨斜塔倾斜程度的问题。设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A，过点B向垂直中心线引 垂线，垂足为点C，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m，求∠A的度数。

sinA=BC5.2≈0.0954 AB54.5A一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个角，由已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．

解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如下图：

角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B＝90°；

222边边关系：勾股定理，即abc；

边角关系：锐角三角函数，即：

a,cosAcbsinB,cosBcsinAb,tanAca,tanBca,cotAbb,cotBabaab

解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；

(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．

用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：

把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．

借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．

例1 在△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形． AC2,BC6解这个直角三角形。

思路与技巧

求解直角三角形的方法多种多样，可以先求AB，也可以先求∠A，依据都是直角三角形中的各元素间的关系，但求解时为了使计算简便、准确，一般尽量选择正、余弦，尽量使用乘法，尽量选用含有已知量的关系式，尽量避免使用中间数据． 解答

tanABC63AC2

A60o

B90oA90o60o30o AB2AC22A

C B 例2 如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，BC23，CD22,求AC，AB，∠A，∠B(精确到1′)．

思路与技巧 在Rt△ABC中，仅已知一条直角边BC的长，不能直接求解．注意到BC和CD在同一个Rt△BCD中，因此可先解这个直角三角形．

解答 在Rt△BCD中

BDBC2CD21282

sinBcosBCD226BC323BD23BC323

用计算器求得 ∠B＝54°44′ 于是∠A＝90°-∠B＝35°16′ 在Rt△ABC中，ABBC3236cosB36263 ACABsinB6

五、课堂小结

1、直角三角形中，除直角外，五个元素之间的关系。

2、什么是解直角三角形。

六、课堂练习

在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形。

解三角形的方法和技巧 篇11

一、直接法

例1在[△ABC]中，[A=600,b=1,SΔABC=3,] 求[a+b+csinA+sinB+sinC]的值.

分析 直接由公式可求[c],进而求[a],由正弦定理得所求．

解 [∵S△ABC=12bcsinA=12×1×csin600=3, ]

∴[c=4].

故[a2=b2+c2-2bc cosA=13,  a=13].

∴[a+b+csinA+sinB+sinC]=[asinA=13sin60°=2393.]

点拨若把角A、B、C都算出来再代入求解则太繁.

例2 半圆O的直径为2，O为圆心，A为直径延长线一点，且OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为边向外作等边[△ABC]，则B点在什么位置时，四边形OACB的面积S最大？求出最大值.

分析 四边形OACB可分割成两个三角形，分别求两个三角形面积即可．要计算三角形面积，引入一个辅助角作为变量．

解设[∠AOB=θ]，

则由余弦定理得[AB2=5-4cosθ]，

[S=S△AOB+S△ABC=sinθ+34AB2]

[=sinθ-3cosθ+534][=2sin(θ-π3)+534]，

当[θ-π3=π2]即[θ=5π6]时，S最大值为[8+534]．

点拨 本题的难点在于构造辅助角，之所以引入[∠AOB=θ]，是因为它与两个三角形面积公式都有联系．

二、化边为角、化角为边

例3 在[△ABC]中，[a2tanB=b2tanA]，试判断[△ABC]的形状．分析 已知等式既有边，又有角，既可考虑化边为角，又可考虑化角为边．

解法一 （化边为角）由正弦定理得

[sin2AsinBcosB=sin2BsinAcosA] ，

即[sinAcosA=sinBcosB]，

∴[sin2A-sin2B=0]，

∴[2A=2B]或[2A=π-2B]，

∴[A=B]或[A+B=π2]，

∴[△ABC]是等腰三角形或直角三角形.

解法二（化角为边）由[a2tanB=b2tanA]切化弦得

[a2sinBcosA=b2sinAcosB]，

由正弦、余弦定理得

[a2⋅b⋅b2+c2-a22bc=b2⋅a⋅a2+c2-b22ac,]

∴[a2-b2a2+b2-c2=0]，

∴[a=b]或[a2+b2=c2]，

∴[△ABC]是等腰三角形或直角三角形．

点拨 本题即可化边为角，又可化角为边来做．但显然解法一比解法二简单，所以要灵活地选择，找到简洁的方法．

例4 已知[△ABC]是半径为R的圆内接三角形，且[2R(sin2A-sin2C)=(2a-b)sinB].

（1）求角C；（2）求[△ABC]面积S最大值.

分析题设条件中有角、边、外接圆半径，可化角为边．

解（1）由[2R(sin2A-sin2C)=(2a-b)sinB]，

得[2RsinA2-2RsinC2=2a-b2RsinB,]

∴[a2-c2=2a-bb]，

即[a2+b2-c2=2ab]，

∴[cosC=a2+b2-c22ab=22]，∴[C=π4]．

（2）∵[C=π4]，∴[A+B=3π4] ，

∴ [S=12absinC=2R2sinAsinB]

[=-22R2cos(A+B)-cos(A-B)]

[=22R222+cos(A-B)] ，

当[A=B=3π8]时，S取最大值[1+22R2]．

点拨 第（1）问若化边为角则很困难，所以并非所有类似的题目均既可化边为角，又可化角为边．同时形如[a2+b2-c2]、[a2+c2-b2、][c2+b2-a2]的式子要联想到余弦定理. 第（2）问求[S]时，也可不用积化和差公式，而采取消角[(B=3π4-A)]的方法．

三、向量法

例5如图，[△ABC]中，[AD⊥AB,BC=3BD,][AD=1,∠BAC=1200]，求[CD]．

分析 题设条件在两个三角形中，若用直接法，则太繁，而用向量法则可使问题简化．

解 以[AB、AD]为基底，∵[AD⊥AB]，

∴[AD⋅AB=0]，[∠CAD=300]．

[AC⋅AD=AB+BC⋅AD]

[=AB+3BD⋅AD=3BD⋅AD]

[=3BA+AD⋅AD=3AD2=3].

又[AC⋅AD=ACADcos∠CAD]

[=AC×1×cos300=3]，

∴ [AC=2]，

∴[CD=12+22-2×1×2×cos300=5-23.]

点拨 此题难点在于想到求[AC⋅AD]；基底尽量选择与题设关系密切的向量，特别是垂直的向量；图中有多个三角形问题时，若用直接法比较困难，可考虑借助向量作为工具．

四、解析法

例6 台风中心在海上[O]点形成，沿北偏西[600]方向移动，速度是25千米/小时. 台风影响范围是130千米,在[O]点的正西240千米处有城市[A]，台风是否会对A市有影响？如果有影响, 影响时间多长？

分析 画图建立数学模型，转化为解直角三角形问题．

解 （1）设台风的方向为[OB]，建立如图所示的直角坐标系，则[A-240,0]，

直线[OB]方程[y=-33x] ， 点[A]到直线[OB]的距离[AD]为120千米．

∵120千米＜130千米，∴台风会对[A]市有影响．

（2）以[A]为圆心、130千米为半径画圆，交[OB]于[E、F]两点．

∵[AE]=130，[AD] =120，

由勾股定理可得[ED]=50，

∴[EF=100,][10025=4]．

故城市[A]会受影响4个小时.

例7 在[△ABC]中，已知[AB=463,cosB=66], AC边上的中线[BD=5]，求[sinA]的值.

分析本题解法较多，其中解析法是较简单的方法.

解建立如图所示的直角坐标系，则

[BA=463cosB,463sinB=43,453]．

设[BC=x,0]， 则[BD=4+3x6,253] ，

[BD=4+3x62+2532=5]，

得[x=2,x=-143](舍去)．

故[CA=-23,453].

[cosA=BA⋅CABACA=31414 ]，

∴[sinA=1-cos2A=7014].

解三角形总 篇12

一、建立方程，解决多边形的边角问题

例1.如图所示，已知梯形ABCD中，CD=2, AC=姨%19，∠BAD=60°，求梯形的高。

思维分析：如图，作DE⊥AB于E，则DE为梯形的高h, DE=AD sin∠BAD，所以问题的关键是求AD。

解法一：∠BAD=60°，∴∠ADC=120°。

设∠DCA=θ，则∠DAC=60°-θ。

在△ACD中，由正弦定理，得。

二、充分挖掘隐含条件，发挥余弦定理建立方程的功能

例2.在一块直径为30cm的圆形铁板上，截去直径分别为20cm、10cm的圆形铁板各一块，现要求在所剩余的铁板中再截出同样大小的圆形铁板两块，求这两块圆形铁板的最大半径。

解：假设⊙O，⊙O1，⊙O2分别是题中直径为30cm, 20cm, 10cm的圆，截出的最大圆形铁板为⊙C1，⊙C2，它们的半径设为rcm。

由题意，⊙O与⊙O1，⊙O2相内切，⊙O1与⊙O2相外切，⊙O1，⊙O2与⊙O1，⊙O2相外切，且内切于⊙O。

所以O, O1, O2三点共线。

因此在所剩余的铁板中截出的最大圆形铁板⊙C1，⊙C2的半径是。

三、利用函数知识求最值

例3.如图, 在等边三角形ABC中, AB=a, O为△ABC的中心, 过O点的直线交AB边于点N, 求的最大值和最小值。

解三角形总 篇13

课题: §1.2.2解三角形应用举例

知识改变命运，学习成就未来

AB = AE + h = ACsin+ h

=

asinsin + h sin()例

2、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=5440，在塔底C处测得A处的俯角=501。已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)

师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给时间给学生讨论思考）若在ABD中求CD，则关键需要求出哪条边呢？ 生：需求出BD边。师：那如何求BD边呢？

生：可首先求出AB边，再根据BAD=求得。

解:在ABC中, BCA=90+,ABC =90-,BAC=-,BAD =.根据正弦定理，BCAB =

sin()sin(90)BCsin(90)BCcos 所以 AB ==

sin()sin()解RtABD中,得 BD =ABsinBAD=将测量数据代入上式,得

BCcossin

sin()27.3cos501sin5440 BD =

sin(5440501)27.3cos501sin5440 =

sin439欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com

知识改变命运，学习成就未来

≈177(m)

CD =BD-BC≈177-27.3=150(m)答:山的高度约为150米.师：有没有别的解法呢？

生：若在ACD中求CD，可先求出AC。

师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC？ 生：同理，在ABC中，根据正弦定理求得。（解题过程略）

例

3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角为8,求此山的高度CD.师：欲求出CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？ 生：在BCD中

师：在BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根据条件,易计算出哪条边的长？ 生：BC边

解:在ABC中, A=15,C= 25-15=10,根据正弦定理，BCAB = , sinAsinCABsinA5sin15 BC == sin10sinC ≈ 7.4524(km)

CD=BCtanDBC≈BCtan8≈1047(m)答:山的高度约为1047米

Ⅲ.课堂练习

课本

知识改变命运，学习成就未来

测得塔基B的俯角为45，则塔AB的高度为多少m？