三角形证明相关定理

三角形证明相关定理（共11篇）

三角形证明相关定理 篇1

三角形的重心定理及其证明

积石中学王有华

同学们在学习几何时，常常用到三角形的重心定理.但很多同学不会证明这个定理？下面给出三种证明方法，你阅读后想一想，哪一种证明方法最好.已知：（如图）设ABC中，L、M、N分

别是BC、CA、AB的中点.求证：AL、BM、CN相交于一点G，且

AG﹕GL= BG﹕GM= CG﹕GN=2﹕1.BC证明1（平面几何法）：（如图1）假设中

线AL与BM交于G，而且假设C与G的连线与AB边交于N，首先来证明N是AB的中点.现在，延长GL，并在延长线上取点D，使GL=LD。因为四边形BDCG的对角线互相平分，所以BDCG是平行四边形.从而，BG∥DC，即GM∥DC.但M是AC的中点，因此，G是AD的中点.另一方面，GC∥BD，即NG∥BD.但G是AD的中点，因此N是AB的中点.另外，G是AD的中点，因此AG﹕GL=2﹕1.同理可证：BG﹕GM=2﹕1，CG﹕GN=2﹕1.这个点G被叫做ABC的重心.证明2（向量法）：（如图2）在ABC中，设AB边上的中

1线为CN，AC边上的中线为BM，其交点为G，边BC的中点为L，连接AG和GL，因为B、G、M三点共线，且M是AC的中点，

所以向量BG∥BM，所以，存在实数

1C

BG1BM，即 AGAB1(AMAB)



所以，AG1AM(11)AB，使得



=1AC(11)AB

同理，因为C、G、N三点共线，且N是AB的中点.所



以存在实数2，使得 AG2AN(12)AC

1= 2AB(12)AC

21所以1AC(11)AB = 2AB(12)AC 22



又因为AB、AC 不共线，所以 

121

2112



21

1

因为L是BC的中点，所以GLGAACCL

211111

=(ABAC)ACCB =ABAC(ABAC)

332332

11

所以 12，所以 AGABAC.33

311

=ABAC，即AG2GL66，所以A、G、L三点共线.故AL、BM、CN相交于一点G，且AG﹕GL= BG﹕GM= CG﹕GN=2﹕

1证明3（向量法）（如图3）在ABC中，BC的中点L

1

对应于OL(OBOC)，中线AL上的任意一点G，有



OGOA(1)OL

11OA2OB

2OC.同理，AB的中线

CN上的任意点

G′，OGOC112A

O2

OB，求中线AL和CN的交点，就是要找一个和一个，使

OGOG.因此，我们令

1

1112，，

.解之

得1

3.所以OGOG111

3OA3OB

3OC.由对称性可知，第三条中线也经过点G.故AL、CN、BM相交于一点G，且易证AG﹕GL= BG﹕GM= CG﹕GN=2﹕1.

三角形证明相关定理 篇2

教学目标:1.掌握“三角形的内角和定理”的证明及其简单的应用;2.掌握三角形的内角和定理, 并初步学会利用辅助线解决几何问题;3.感悟一题多解的数学思维, 并给予学生充分的肯定和表扬.

教学重点:理解三角形的内角和定理的证明.

教学难点:三角形的内角和定理的证明.

教学流程:

1. 课题导入

师生沟通, 猜谜语引入课题.

师:形状似座山, 稳定性能坚, 三竿首尾连, 学问不简单 (打一几何图形) .

生 (思考后回答) :三角形.

师:三角形的内角和是多少度?

生:180°.

师:有什么办法可以验证呢?这个结论对任意的三角形都成立吗?

师 (操作课件, 板书) :三角形内角和定理的证明.

2. 证明定理

活动一:剪剪拼拼

生:如图1, 用剪刀任意剪下一个三角形, 再把三角形中的任意两个角剪下拼在第三角处, 观察后得出结论;换一个形状不同的三角形再试一试, 观察后再和同学交流.

师:参与学生活动, 并适时进行操作指导.

活动二:小组讨论

师: (操作课件, 提出问题) :1.从刚才拼角的过程同学们能想出证明的办法吗?2.根据前面给出的公理和定理, 你能用自己的语言简要地说一说这一结论的证明思路吗?3.你能用比较规范的几何语言写出这一证明过程吗?

师:组织学生小组交流讨论, 并交代要求 (互相交流然后推举一个代表书写, 一个代表解释) , 讲评并给予鼓励.

生:小组讨论交流, 并推举一个代表在纸上书写, 并作解释.

师 (操作课件) :如图2, 为了证明的需要, 在原来图形上添画的线叫做辅助线;在平面几何里, 辅助线通常画成虚线.在写证明过程时重要的推理步骤要注明所依据的定理或公理.

师 (板书) :三角形内角和定理:三角形的内角和等于180°.

生:认真听讲, 记笔记.

活动三:总结归纳

师 (操作课件) :议一议:如图3, 在证明三角形的内角和定理时, 小明的想法是把三个内角“拼”到A点, 他过A点作直线EF∥BC, 他的想法是否可行?你还有其他的证明方法吗?

师:组织讨论交流, 参与思考, 讲评并给予鼓励.

生:小组讨论, 并总结归纳书写结论.

活动四:课堂练习

(1) 在△ABC中, ∠A=80°, ∠B=∠C, 求∠C的度数?

(2) 已知三角形三个内角的度数之比为1:3:5, 求这三个内角的度数?

3. 课堂小结

组织学生进行课堂小结:本节学习了三角形内角和定理的证明, 其证明的本质就是在三角形某部位组成一个平角, 进而证明三角形的三个内角恰好是这个平角的组成部分即可.证明的方法是多种多样的, 在证明的过程中需要添加辅助线.

在证明开始前应写明辅助线的作法。在平面几何中辅助线应画成虚线, 重要的推理步骤要注明所依据的公理和定理.

证明三角形角平分线定理的六法 篇3

定理：在ΔABC中，∠A的平分线AD交BC边于点D，则： 。

证明：

一、构造平行线法

如图，过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E，

∴ ∵ AD平分∠A ∴ ∠BAD=∠CAD

∵AD∥CE ∴ ∠E=∠BAD ∠ACE=∠CAD ∴ ∠E=∠ACE

∴AC=AE ∴

二、构造相似三角形法

如图，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，

过点C作CF⊥AD于F，则BE∥CF，∴ΔBDE∽ΔCDF

∴ ∵ ∠BAD=∠CAD，∠AEB=∠AFC=90°

∴ΔAEB∽ΔAFC ∴ ∴

三、面积法

如图，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，

∵ ∠BAD=∠CAD ∴ DE=DF ∴

∴ 又∵ΔABD和ΔACD同高

∴ ∴

四、构造圆法

如图，作ΔABC的外接圆，延长AD交圆于点E，

连接BE、CE，∵ ∠BAD=∠CAD ∴ BE=CE

∴∠EBD=∠BAE ∠AEB=∠BED ∴ ΔAEB∽ΔBED

∴ 同理ΔAEC∽ΔCED ∴

∴ ∴

五、应用正弦定理

如图，∵ ∠BAD=∠CAD ∴ sin ∠BAD=sin∠CAD

∵∠BDA+∠CDA=180° ∴ sin∠BDA=sin（180°-∠CDA）=sin∠CDA

在ΔABD中， （1）；在ΔACD中， （2）

（1）÷（2） ∴

六、解析法

如图，以点A为坐标原点，AD为x轴建立平面直角坐标系，设AB=m，AC=n，∠BAD=∠CAD=

则点B的坐标为（mcos ，msin ），点C的坐标为（ncos ，-nsin ）

设直线BC为： y=kx+b 则

解之得： b= -

∴ 直线BC为： y= x-- ∴ 点D的坐标为（ ，0）

证明三角形中位线判定定理 篇4

过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。

∵CG∥AD

∴∠A=∠ACG∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG(用大括号)

∴△ADE≌△CGE (A.S.A)

∴AD=CG(全等三角形对应边相等)

∵D为AB中点

∴AD=BD

∴BD=CG

又∵BD∥CG

∴BCGD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)

∴DG∥BC且DG=BC

三角形证明相关定理 篇5

一、教学目标：

知识与技能：正确理解并掌握相似三角形的判定定理的证明方法

过程与态度: 让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。情感态度与价值观：让学生在演绎推理的过程中体验成功的快乐

二、教学重难点：

重点：相似三角形的判定定理的证明过程 难点：相似三角形的判定定理的运用

三、教学过程：

（一）提出问题，导入新课

在上节课中，我们通过类比两个三角形全等的条件，寻找并探究判定两个三角形相似的条件，我们得出的结论是怎样的？您能证明它们一定成立吗？

目的：通过学生回顾复习已得结论入手，激发学生学习兴趣。

（二）合作探究，学习新知：

命题

1、两角分别相等的两个三角形相似。如何对文字命题进行证明？与同伴进行交流.目的：通过学生回顾证明文字命题的步骤入手，引导学生进行画图，写出已知，求证。第一步：引导学生根据文字命题画图，第二步：根据图形和文字命题写出已知，求证。

已知：如图，在△ABC和△A’B’C’中，∠A=∠A’，∠B=∠B’。求证: △ABC∽△A’B’C’。

第三步：写出证明过程。（分析现在能说明两个三角形相似的方法只有相似三角形的定义，我们可以利用这一线索进行探索，已知两角对应相等，根据三角形内角和定理可以推出第三个角也相等，从而可得三角对应相等，下一步，我们只要再证明三边对应成比例即可。根据平行线分线段成比例的推论，我们可以在△ABC内部或外部构造平行线，从而构造出与△A’B’C’全等的三角形。）

证明：在△ABC的边AB（或延长线）上截取AD=A’B’,过点D作BC的平行线，交AC于点E,则∠ADE=∠B,∠AED=∠C,(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例)。

过点D作AC的平行线，交BC于点F,则(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例)。

∴____________

∵DE∥BC，DF∥AC

∴四边形DFCE是平行四边形。

∴DE=CF

∴____________ ∴____________

而∠ADE=∠B, ∠DAE=∠BAC, ∠AED=∠C, ∴____________

∵∠A=∠A’, ∠ADE=∠B’, AD=A’B’，∴△____≌△____

∴△ABC∽△A’B’C’.通过证明，我们可以得到命题1是一个真命题，从而得出相似三角形判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似。现在，我们已经有两种判定三角形相似的方法。

下面我们可以类比前面的证明方法，来继续证明命题2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。能自己试试吗？

鼓励学生积极思考，模仿前面的证明过程进行证明。可让学生板书过程，或老师在学生中寻找资源，通过投影修正过程中存在的问题。

通过证明，学生可以得到相似三角形判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。下面让每个学生独立完成三边成比例的两个三角形相似的证明。从而得到相似三角形判定定理：三边成比例的两个三角形相似。

（三）运用知识解决问题

例1 已知：如图是一束光线射入室内的平面图，•上檐边缘射入的光线照在距窗户2.5m处，已知窗户AB高为2m，B点距地面高为1.2m，求下檐光线的落地点N•与窗户的距离NC．

例2 如图，等腰直角三角形ABC中，顶点为C，∠MCN=45°，试说明△BCM∽△ANC．

例3 在ABCD中，M，N为对角线BD的三等分点，连接AM交BC于E，连接EN并延长交AD于F．（1）试说明△AMD∽△EMB；（2）求

FN的值． NE

相似三角形的判定定理的选择：1.已知有一角相等，可选判定定理1和2；2.已知有两边对应成比例，可选判定定理2和3。

（四）学习小结：

通过本节课的学习，你学会了哪些知识和方法？哪里还有困惑？

（五）布置作业：

三角形证明相关定理 篇6

1.1 假设条件

假设1：无摩擦市场假设

 不考虑税收；

 公司发行证券无交易成本和交易费用，投资者不必为买卖证券支付任何费用；  无关联交易存在；

 不管举债多少，公司和个人均无破产风险；

 产品市场是有效的：市场参与者是绝对理性和自私的；市场机制是完全且完备的；不存在自然垄断、外部性、信息不对称、公共物品等市场失灵状况；不存在帕累托改善；等等；

 资本市场强有效：即任何人利用企业内部信息都无法套利，没有无风险套利机会；  投资者可以以企业借贷资金利率相同的利率借入或贷出任意数量的资金。

假设2：一致预期假设

 所有的投资者都是绝对理性的，均能得到有关宏观、行业、企业的所有信息，并且对其进行完全理性的前瞻性分析，因此大家对证券价格预期都是相同的，且投资者对组合的预期收益率和风险都按照马克维兹的投资组合理论衡量。

1.2 MM定理第一命题及其推论

MM定理第一命题：

有财务杠杆企业的市场价值和无财务杠杆企业的市场价值相等。

第一命题的含义：

即公司的市场价值（即债权的市场价值+股权的市场价值，不含政府的税收价值）与公司的资本结构无关，而只与其盈利水平有关。这说明未来具有完全相同的盈利能力的公司市场价值相同，但由于其负债程度不同等因素，故它们的净资产可能有很大差异。

MM定理第一命题证明过程：证明方法是无套利均衡分析法。

基础假定：我们假定有两家公司—公司A和公司B，它们的资产性质完全相同但资本结构完全不同。A公司没有负债（这是一种极端假设，但作为比较基准更能说明问题）；B公司的负债额度是D，假设该负债具有永久性质，因为可持续盈利的公司总可以用新发行的债券来偿还老债券（这与宏观经济学中的庞兹计划完全不同，那是没有收入来源且信息不对称下导致的终生借债消费计划无效）。

细节假设：

 B公司当前债务利率为r（固定值）；  A、B两公司当前的股本分别是SA和SB（固定值）；

 A、B两公司当前权益资本预期收益率（即市场的资本化率，也就是其股票的预期收益率）分别是rA和rB（固定数值，因为仅指当前的预期收益率）；

 A、B两公司任何年份的息税前利润（EBIT）相同，数额都为EBIT（随机变量，每年的数值都是它的一个数据点）；  A、B两公司当前的市场价值分别记为PVA和PVB（固定值）；

 A、B两公司当前股票的市场价格与其真实价值完全一致，分别为MPA和MPB（固定值）；

 A、B两公司当前的股东权益分别记作SEA和SEB（固定值）。

注：假定中固定值较多是因为静态考察公司当前价值。

考虑一个套利策略：卖出A公司1%的股票；同时买入B公司1%的股票和1%的债券（上述比例可任意假定，但必须均为同一值）。这种套利策略产生的即时现金流和未来每年的现金流见表1。

表1 上述套利策略的现金流

头寸

即时现金流

未来每年现金流

卖出1%A股票

0.01* PVA

-0.01*EBIT

买入1%B股票

-0.01*SB*MPB

0.01*（EBIT-D*r）买入1%B债券

-0.01*D

-0.01* D*r 净现金流

NC

0

首先，任何公司的资产都等于账面的负债加权益，A公司无负债，因此有

PVASEA;PVBDSEB

其次，任何公司的股票价格都等于其股东权益与股本的比值：

MPAPVA/SA;MPB(PVBD)/SB①

再次，市场不应该存在无风险套利机会，故NC=0，也就是

0.01*PVA0.01*SB*MPB0.01*D0 MPB(PVAD)/SB②

由①②推得：PVAPVB③，命题证毕。

MM定理第一命题推论一：

债转股后如果盈利未变，那么企业的股票价格也不变。

证明：假设B公司的债务权益比为k，则：

kD/SEB

1k(SEBD)/SEBPVB/SEBPVA/SEBSA/SB④

将③④代入①得：

MPAPVA/SAPVB/(SB(1k))(DSEB)/(SB(1k))SEB(1k)/(SB(1k))MPB

证毕。

MM定理第一命题推论二：

股东期望收益率会随财务杠杆的上升而上升。

含义：正常情况下B公司在债转股之后会降低其股票的预期收益率，或者说A公司的股票预期收益率小于B公司的股票的预期收益率。

证明：B公司的资产负债率（RDA）和股东权益比率（REA）分别为：

RDABD/PVBD/(DSEB)k/(1k)REABSEB/PVBSEB/(DSE)1/(1k)

由于公司所有税前收益均优先用于分派股息，而且市场有效性保证了股票的价格反映股票价值。则由股票收益现值模型可得A、B两公司的股票预期收益率rA和rB分别满足：

MPAEBIT/SAEBIT jSA*rAj1(1rA)(EBITR*D)/SBEBITR*D j(1rB)SB*rBj1MPB同时EBIT>r*PVB，因为这表示即使公司全部举债经营，公司产生的税息前收益也足够支付利息，也就是说股票的收益率大于债券的收益率，由于系统风险和预期收益相匹配的结果导致这个不等式必然成立。故可推导出：

rBEBITr*DEBITr*DEBITEBITEBITrA，证毕。

SEBPVBDPVBPVASA*MPAMM定理第一命题推论三：

股东每股盈利也会随着财务杠杆的上升而上升。

含义：正常情况下，债券转为股票之后，公司股东的每股盈利也会下降。证明：A、B两公司每股盈利分别为：

EAEBIT(EBITR*D);EB⑤ SASB将④代入⑤的第二式得： EB(EBITR*D)(1k)(EBITR*D)k*EBIT(1k)*R*D⑥ EASBSASA由于EBIT>r*PVB，再将前面RDAB定义式代入，可以推得：

kEBITk*EBIT(1k)*R*D(1k)(EBITR*D)(1k)*D(r)0⑦

1kPVB由⑥⑦得：EBEA，证毕。

注：数学基础非常少的人有可能会觉得上述三个推论感性理解上有相互矛盾的地方，故须深入思考现实过程。

1.3

MM定理第二命题：

公司加权平均资本成本（WACC）与公司的资本结构无关。

证明：由于公司A仅有股权融资，故WACCArA MM定理第二命题及其推论

WACCBrBSEBDEBITEBITrrA①，证毕。PVBPVBPVBPVAMM定理第二命题推论：

有负债的公司的权益资本成本等于同一风险等级的无负债公司的权益资本成本加上风险补偿，风险补偿的比例因子是负债权益比k。

（是不是和CAPM、多因子模型、套利定价和单证券定价模型有点像啊，呵呵）

证明：由①（重新编号）得：

rB2 PVBr*DDrArA(rAr)rAk(rAr)，证毕。SEBSEBSEB有税收条件下的MM定理 2.1

假设条件

考虑税收，其他假设与前面相同。有税收条件下的MM定理仅一个定理，有四个推论。

2.2 MM定理第一命题及其推论

MM定理第一命题：

在考虑税收的情况下，有财务杠杆的企业的市场价值等于无财务杠杆的企业的市场价值加上“税盾”的市场价值。

证明：假定A、B两公司的所得税税率都是T（固定税率制，累进税率制等也一样的），那么两公司的税后收益（EAT）分别为：

EATA(1T)*EBIT

EATB(1T)*(EBITr*D)r*D(1T)*EBITT*r*DEATA，证毕。

其中T*r*D即税盾效应，与A公司税后盈利相比，这是B公司多出来的部分，这是由于B公司的财务杠杆起作用了：公司价值是股权市价加债权市价，A公司每年产生的现金流EBIT都要交所得税，而B公司中EBIT仅有一部分交所得税，故省出一部分价值计入到公司的债权价值中。或者也可以理解为没有负债的公司举债时，政府需要把原来征的税的一部分退给公司的债主，或者说举债成本里T*r是政府买单的（机会成本的角度讲），而公司举债的成本仅是(1T)*r，这是从金融的角度或者说机会成本的角度讲的，就如经济利润和会计利润的差别一样，而证券定价的基准正是从金融的角度给出才能准确。

显然A、B两公司的税前价值仍然一样，相当于不考虑税收。我们用带撇号的字母表示考虑税收的变量，则有税收情况下A、B两公司的市场价值分别为：

PVA/PVA(1T)

(1T)r*PVBr*D)DPVA/D(1)PVA/① EBITEBIT(1T)r*PVB)叫做税盾的市场价值。其中D(1EBITPVB/PVB(1T)(1

MM定理第一命题推论一：

在考虑税收情况下，股东的期望收益率仍然会随着财务杠杆的上升而上升。即在考虑税收的情况下，不考虑税收时MM定理的命题一的推论二仍然成立。

证明：考虑税收，A公司股票预期收益率为：

/rAEBIT(1T)EBIT(1T)EBIT(1T)rA② //SA*MPAPVA(1T)PVA由不考虑税收推论二证明的最后一个公式和①（重新编号）得B公司股票的预期收益率为：

rD(EBITrD)(1T)rD(EBITrD)(1T)rD(EBITrD)(1T)rD1TrB///(1T)*rD*PVBrDSB*MPBPVBDPVA(1)PVA/EBITEBITEBITrD//再由②得：rBrArDrDPVA(1T)(1)EBIT③，由于EBIT>rD（盈利足够付利息，保//证不破产），故rB，证毕。rA

MM定理第一命题推论二：

考虑税收情况下，股东的每股收益也仍然会随着财务杠杆的上升而上升，即在考虑税收情况下，不考虑税收MM定理命题一推论三仍然成立。

证明：A、B两公司每股盈利分别为：

/EA(1T)EBIT/(1T)(EBITrD)rD④;EBSASB将第一部分第一命题推论一下面的④代入④得：

/EB(1k)(1T)(EBITrD)rDSA/EATrDk(1T)(EBITrD)rDSA/EA

因EBIT>rD，故上不等式成立，证毕。

MM定理第一命题推论三：

在考虑税收情况下，WACC与公司资本结构有关。（证略）

根据CAPM模型，有税收后的贝塔系数/和无税收情况下的贝塔系数的关系为/(1(1T)D)（证明从略），由此得出股权预期收益，然后再根据公司计算出SEWACC，显然WACC是受资本结构影响的。MM定理第一命题推论四：

在考虑税收情况下，有负债的公司的权益资本成本仍然大于同一风险等级的无负债公司的权益资本成本，风险补偿的形式也更复杂（证明如③）。

注：一个延伸，PV/PV(1(1Tc)(1Ts))D，Tc表示企业所得税率，Ts表示股票收入的税

1Td率，Td表示利息收入的税率，个人可试着证明一下子。

公司税MM定理命题二

在考虑所得税情况下，负债企业的权益资本成本率(KSL)等于同一风险等级中某一无负债企业的权益资本成本率(KSU)加上一定的风险报酬率。风险报酬率根据无负债企业的权益资本成本率和负债企业的债务资本成本率(KD)之差和债务权益比所确定。其公式为：

《三角形内角和定理》教学设计 篇7

一、教材分析

（一）教学内容的地位

本节课是在研究了三角形的有关概念和学生在对“三角形的内角和等于1800”有感性认识的基础上，对该定理进行推理论证。它是进一步研究三角形及其它图形的重要基础，此外，在它的证明中引入了辅助线，而辅助线又是解决几何问题的一种重要工具，因此本节是本章的一个重点。

（二）教学重点、难点：

三角形内角和等于180度，是三角形的一条重要性质，有着广泛的应用。虽然学生在小学已经知道这一结论，但没有从理论的角度进行推理论证，因此三角形内角和等于180度的证明及应用是本节课的重点。

另外，由于学生还没有正式学习几何证明，而三角形内角和等于180度的证明难度又较大，因此证明三角形内角和等于180度也是本节课的难点。

突破难点的关键：让学生通过动手实践获得感性认识，将实物图形抽象转化为几何图形得出所需辅助线。

二．教学目标

基于以上分析和数学课程标准的要求，我制定了本节课的教学目标，下面我从以下三个方面进行说明。

（一）知识与技能目标：

会用平行线的性质与平角的定义证明三角形的内角和等于1800，并初步学会利用辅助线解决问题，体会转化思想在解决问题中的应用。

（二）过程与方法目标：

经历拼图试验、合作交流、推理论证的过程，发展学生的合情推理能力和逻辑思维能力。

（三）情感、态度价值观目标：

通过操作、交流、探究、表述、推理等活动培养学生的合作精神，体会数学知识内在的联系与严谨性，鼓励学生大胆质疑，敢于提出不同见解，培养学生良好的学习习惯。

三、学情分析

七年级学生的特点是模仿力强，喜欢动手，思维活跃，但思维往往依赖于直观具体的形象，而学生在小学已通过量、拼、折等实验的方法得出了用三角形内角和等于180度这一结论，只是没有从理论的角度去研究它，学生通过前面的学习已经具备了简单说理的能力，同时已学习了平行线的性质和判定及平角的定义，这就为学生自主探究，动手实验，讨论交流，尝试说理做好了准备。

四、教学方法与学法指导：

根据新课程标准的要求，学习活动应体现学生身心发展特点，应有利于引导学生主动探索和发现，因此，我采用了动手操作―观察实验―猜想论证的探究式教学方法，整个探究学习的过程充满了师生之间，生生之间的交流和互动，体现了教师是教学活动的组织者、引导者、合作者，学生才是学习的主体。我将教给学生通过动手实验、观察思考、抽象概括从而获得知识的学习方法，培养他们利用旧知识获取新知识的能力。

五．教学评价：

1、关注学生探索结论、分析思路和方法的过程。

2、关注学生说理的能力和水平。

3、关注学生参与教学活动的程度。

六．教学活动程序：（设计为四个环节：）

1、纠错、巩固

2、探索、交流

3、应用、提高

4、反思、总结

一、学生纠错，复习巩固：

找出下面一道题目证明过程中的错误。

已知：如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，MG平分∠AMN，NH平分∠MND.求证：MG∥NH

证明：∵AB∥CD

∴∠1=∠2

∴MG∥NH

提问：这个证明过程中存在哪些问题？

在纠错中，引导学生回忆证明的一般步骤是什么.【设计意图】：通过对命题证明过程的纠错，起到复习巩固知识的作用，明晰了证明命题的一般步骤及注意点；又调动了学生的积极性，激发他们的兴趣。

二、探索交流：

问题1：我们已经知道了“三角形的内角和等于180°”这个结论，如何证明这个命题呢？

一般步骤是什么？

【设计意图】：文字命题的证明是初中几何教学中的难点，通过问题1可使学生进一步掌握证明的一般步骤。

引导学生根据题意画出图形，写出已知、求证。

问题

2、小学里我们已经通过“测量法”“剪纸法”等实验的方法，得到了“三角形的内角和等于180°”这个结论.通过前面的学习，我们知道实验得到的结论并不一定正确，必须进行数学证明，那么如何证明呢？

这就是我们本节课要研究的主要问题，由此导入新课。

【设计意图】：通过 问题2及追问导入本节课研究的课题，学生进一步明确了证明的必要性，渗透了研究几何图形的一般套路（观察―猜想―验证），帮助学生积累研究问题的基本经验。

1、演示：用课件演示“剪纸法”把三角形的三个角拼在一起形成平角的过程。

提问：同学们能否从刚才的演示的过程中受到启发，用所学的数学知识证明“三角形的内角和等于180°”这个结论。请同学们先独立思考，再各小组交流讨论，看哪个组想的方法多。

2、学生小组交流，教师巡视指导。

【设计意图】：通过直观演示，给学生以直观体验，能够激起学生的求知热情，开阔学生的思维，激发学生的联想，促进学生主动思维。同时以小组合作交流的方式，通过生生互动，激发学生的探究欲望。由于方法较多，故学生讨论中又可以互相借鉴，极大地开阔了学生的视野。

3、小组汇报，教师板演，进一步规范证明的格式。在学生回答过程中，教师适时追问：你解决问题时作辅助线的目的是什么？你是怎么想的？

4、提问：这些方法是把三个角聚在了三角形的哪个位置？还可聚在哪个位置呢？如何证明请同学们课后继续研讨。

【设计意图】：通过追问，充分展示学生的思维过程。促进学生理解辅助线的作用，对证明方法做到“知其然更知其所以然”。正因为学生的激情被点燃，所以学生的思维不断闪光，因此会出现很多证明方法，“一题多解”得到了深化。

5、教师总结：（1）、通过证明，我们知道“三角形的内角和等于180°”是一个真命题，所以我们把这个真命题称为三角形内角和定理。

（2）、通过上面的研究发现，可以把三角形的三个角凑在三角形的边上、三角形的内部或三角形的外部，从而形成平角，来证明内角和定理；也可把三角形凑成一组平行线的同旁内角，形成互补关系。在这期间我们用到了一个非常重要的“工具”――辅助线。那么辅助线是怎么画的、它有什么作用呢？（1）辅助线是为了证明需要在原图上添画的线.（辅助线通常画成虚线）（2）它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用.（3）添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系已知与未知的桥梁，把问题转化，但辅助线的添法没有一定的规律，要根据需要而定,平时做题时要注意总结.【设计意图】：通过教师总结，进一步让学生体会到：不同的添辅助线方法，实质是相同的――就是把一个我们不会解的新问题转化为我们会解的问题，于潜移默化中培养了学生的转化思想

6、小试身手：

（1）、如图，在△ABC中，∠ACD是它的一个外角，请你完成下面的表格。

∠A=35° ∠B=40° ∠ACD=

________________________________________°

∠A+∠B=75° ∠ACD=

________________________________________°

∠A+∠B=

________________________________________° ∠ACD=131°

∠A=37° ∠B=

________________________________________° ∠ACD=125°

（2）、你有什么发现？三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和【设计意图】：通过以上练习，对三角形内角和定理及时巩固，同时通过表格的填写让学生一目了然地发现三角形的外角与它不相邻的两个内角之间的数量关系，为证明该定理作铺垫。还渗透了从“特殊”到“一般”的归纳思想。起到了承上启下的作用。

7、问题1：你会证明这个结论吗？（先请学生板演，再让学生评点。）

【设计意图】：通过学生板演，及时反馈，可充分暴露学生证明过程中存在的问题，及时纠正，通过学生点评，让学生当“小老师”，培养学生的语言表达能力，提高了学生课堂参与的主动性和积极性，活跃了课堂气氛。进一步规范证明的步骤和格式。

问题2：你还有其他证明方法吗？（教师出示图形，学生课后完成证明过程。)

【设计意图】：使学生了解到解决问题时可以从不同的角度思考，有不同的证明方法，通过问题的解决进一步渗透了转化的数学思想。

8、总结：像这样，由一个定理直接推出的正确结论，叫做这个定理的推论。它和定理一样，可以作为进一步证明的依据。三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和就叫做三角形内角和定理的推论。

三角形内角和定理的几何表述：

△ ABC中,∠A+∠B+∠C=180°

三角形内角和定理推论的几何表述：

∠ACD是△ABC的一个外角，∠ACD＝ ∠A+∠B

【设计意图】：通过教师总结，使学生了解定理和推论之间的逻辑关系。对定理运用时的符号语言进行规范。同时将“图形”进行适当变化，在图形的变化中促使学生认识定理的本质。

三：应用、提高

9、刚才，我们一起研究了三角形的内角和定理及推论的证明，发现了很多的证明方法，并且在相互学习、互相合作中加深了理解，得到了提升，那么三角形内角和定理及推论在解决数学问题时有哪些应用呢？

例、已知：如图，AC、BD相交于点O

求证：∠A+∠B=∠C+∠D

①、请同学独立思考、分析。

②、追问：你是怎样想到这种方法的？

③、（小结:这是三角形内角和定理的简单应用，同时这也是一个基本图形：当两个三角形的一组角互为对顶角时，剩余的两个角的和相等。）

【设计意图】：通过学生独立思考、分析、解答，培养学生独立结题的能力，同时教师通过追问。促使学生的思维进一步深化。

练一练：

1、抢答：（1）、三角形的一个内角一定小于180°吗？一定小于90°吗？

（2）、一个三角形中最多有几个直角？最多有几个钝角？最多有几个锐角？

（3）、一个三角形中最大角不会小于60°吗？最小角不会大于多少度？

(4)、直角三角形两锐角之和是多少度？

（5）、一个三角形不在同一个顶点的三个外角中，最多有几个钝角？至少有几个钝角？

【设计意图】：通过抢答这种形式，能充分调动学生的积极性。同时教师在学生抢答的过程中适时追问、总结，如问题（3）你是怎么想到的？渗透说明一个命题是假命题的方法（举反例），为下节课作铺垫。如通过问题（5），引导学生总结出化归思想，即将外角的问题转化为内角的问题来解决。

2、已知：如图，AD是△ABC的角平分线，E是BC延长线上一点，∠EAC=∠B.求证：∠ADE=∠DAE

（1）让学生独立思考。

（2）教师引导，出示问题：你会将要证的相等的两个角

与已知条件中相等的角联系起来吗？

（3）学生板演。

（4）追问：比较这道题目的解题思路与例题的解题思路有什么异同点。

【设计意图】：为体现学生的主体地位，先让学生独立思考。如果学生能够独立解决，教师追问：你是怎么想到的?通过追问帮助学生总结几何证明的一般策略：将未知与已知联系起来思考，积累解题经验；若学生感到困难，教师通过问题：“你会将要证的相等的两个角

与已知条件中相等的角联系起来吗？”启发学生思考。通过将该题的解题思路与例题相比较，进一步优化学生的思维。使学生学会“同中求异，异中求同”的比较策略。

3、延伸与拓展：

求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的和

你能想到几种方法？

【设计意图】：通过拓展题，体现分层，让学有余力的学生进行更深入的学习，尊重学生的个性化发展。同时通过一题多解，培养学生思维的灵活性。

四、总结收获 畅谈体会

反思小结：

通过本节课的学习，你取得了哪些成果，说出来与大家分享。

本节课我们学习了三角形内角和定理及推论的证明和应用，并且在研究证明的过程中掌握了很多的数学思想、方法。而且还提高了一题多解的能力。

【设计意图】：在独立思考和合作交流中，引导学生梳理本节课在知识和数学思想方法等方面的收获，形成知识网络，提升对数学思想方法的理性认识。在总结的同时让学生体验收获知识的快乐，培养敢于展示自我，敢说、敢问、自信的学习品质。

相似三角形的判定定理教学设计 篇8

【知识与技能】

能运用相似三角形边角边的判定定理解决问题。

【过程与方法】

通过借助三角形全等，特殊三角形，比例的应用探究三角形相似，培养学生的对于前后知识的运用能力和知识迁移能力。

【情感态度与价值观】

体会数学的特点，了解数学的价值。

二、教学重难点

【重点】

能运用相似三角形边角边的判定定理解决问题。

【难点】

知道边角边和边边角在判断上的不同。

三、教学过程

(一)复习旧知，导入新课

PPT呈现若干三角形并标注一些边和角(可以出现全等和相似结合一共三个三角形的情形)

问题1：你能找出其中的全等三角形或者相似三角形吗?能告诉老师你判断的理由?

师生总结：回顾了全等三角形的判断方法，其次就是对于相似三角形有了直观的感知。

问题2：你能记得的全等三角形判断方法有多少?

师生总结：SSS，SAS，ASA，AAS

问题3：你觉得如果要判断两个三角形相似，能用上述的方法吗?引入课题。

(二)结合知识，生成原理

问题1：结合相似三角形的特征，全等三角形的判定方法，提出你们认为能够证明三角形相似的方法吗?说明理由。

师生活动：SSS，SAS……从相似三角形的特点，直观上来说都是边的特点。

问题2：SSS能够证明吗?你们试着在练习本上画画看。

师生活动：三边成比例能够实现。

(三)动手尝试，深化原理

问题1：大家能不能结合我们在课堂开始之前从一个三角形出发，在练习本上画一个全等三角形和一个相似三角形，并以前后四人为一小组，相互讨论一下各自的尝试过程，尝试着说明“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”能够证明相似三角形。

师生总结：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

师生活动：让学生以小组为单位，比拼谁更快更准

(五)小结作业

小结：今天你有什么收获?

三角形中位线定理》的教学设计 篇9

三角形中位线 连云港市外国语学校 杨佩

【课题】：义务教育课程标准实验教科书数学（苏科版）八年级上册

第三章第6节（第一课时）

一、教学目标设计：

运用多媒体辅助教学技术创设良好的学习环境，激发学生的学生积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，引导学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想方法，逐步提高自主建构的能力，培养勇于探索的精神，切实提高课堂效率

1、认知目标

（1）知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同。（2）理解三角形中位线定理，并能运用它进行有关的论证和计算。（3）通过对问题的探索及进一步变式，培养学生逆向思维及分解构造基本图形解决较复杂问题的能力．

2、能力目标

引导学生通过观察、实验、联想来发现三角形中位线的性质，培养学生 观察问题、分析问题和解决问题的能力。

3、德育目标

对学生进行事物之间相互转化的辩证的观点的教育。

4、情感目标

利用制作的Powerpoint课件，创设问题情景，激发学生的热情和兴趣，激活学生思维。

二、本课内容的重点、难点分析：

本节课的内容是三角形中位线定理及其应用，这堂课启到了承上启下的作用

【重点】：三角形中位线定理

【难点】：难点是证明三角形中位线性质定理时辅助线的添法和性质的录活应用．

三、学情分析：

初二学生已初步具备一定的分析思维能力，但还远未达到成熟阶段。因 而新授时可在教师适当的引导之下，借助一些现代化教育辅助手段，调动学 生思维的积极性，激发学生内在的思维潜力，从而做到教与学的充分和谐。

四、教学准备： 【策略】

课堂组织策略：组织学生复习旧知识，联系实际，创设问题情景，逐层展开，传授新知识，并精心设计例题、练习、达到巩固知识的目的。

学生学习策略：明确学习目标，了解所需掌握的知识，在教师的组织、引导、点拨下，通过观察、归纳、抽象、概括等手段，获取知识。

辅助策略：借助“Powerpoint”平台，向学生展示动感几何，化抽象为形象，帮助学生解决学习过程中所遇难题，提高学习效率。

【教法学法】

本节课以“问题情境——建立模型——巩固训练——拓展延伸”的模式展开，引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题与学生共同探索、讨论解决问题的方法，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义。

利用制作的多媒体课件，让学生通过课件进行探究活动，使他们直观、具体、形象地感知知识，进而达到化解难点、突破重点的目的。

教给学生良好的学习方法比直接教给学生知识更重要。数学教学是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程，学生的学是中心，会学是目的，因此在要不断指导学生学会学习。本节课先从学生实际出发，创设有助于学生探索思考的问题情景，引导学生自己积极思考探索，经历“观察、发现、归纳”的过程，以此发展学生思维能力的独立性与创造性，使学生真正成为学习的主体。【主要创意思路】：

1、用实例引入新课，培养学生应用数学的意识；

2、鼓励学生大胆猜想，用观察、测量等方法来突破重点、化解难点；

3、以学生为主体，应用启发式教学，调动学生的积极性；

4、利用变式练习和开放型练习代替传统练习，启迪学生的思维、开阔学生 视野；

5、通过多媒体教学，揭示几何知识间的内在联系及概念本质属性。

五、教学过程

一、联想，提出问题．

１．怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？ 操作：（1）剪一个三角形，记为△ABC

（2）分别取AB,AC中点D,E，连接DE

(3)沿DE将△ABC剪成两部分，并将△ABC绕点E旋转180°，得四边形BCFD

2、思考：四边形ABCD是平行四边形吗？

3、探索新结论：若四边形ABCD是平行四边形，那么ＤＥ与ＢＣ有什么位置和数量关系呢？启发学生逆向类比猜想：ＤＥ∥ＢＣ，ＤＥ＝

12ＢＣ．

由此引出课题．

二、引入三角形中位线的定义和性质

1．定义三角形的中位线，强调它与三角形的中线的区别．

2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

三、应用举例

1、A、B两点被池塘隔开，如何才能知道它们之间的距离呢？

在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN = 20m，那么A、B两点的距离是多少？为什么？

2．已知:三角形的各边分别为6cm,8cm, 10cm，则连结各边中点所成三角形的周长为——cm,面积为——cm2,为原三角形面积的——。

3．已知:△ABC三边长分别为a,b,c,它的三条中位线组成△DEF,△DEF的三条中位线又组成△HPN,则△HPN的周长等于——————,为△ABC周长的——, 面积为△ABC面积的——, 4．如图,AF=FD=DB,FG∥DE∥BC,PE=1.5,则DP= ———，BC= ———

例题，如图．

1，顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形有什么特点？ 学生容易发现：四边形ABCD是平行四边形

已知：在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，如图4-94．求证：四边形EFGH是平行四边形．

分析：

(1)已知四条线段的中点，可设法应用三角形中位线定理，找到四边形EFGH的边之间的关系．而四边形ABCD的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连结AC或BD，构造“三角形的中位线”的基本图形．

2,让学生画图观察并思考此题的特殊情况，如图4－95，顺次连结各种特殊四边形中点得到什么图形？

投影显示：

3，练习：

①顺次连结平行四边形四边中点所得的四边形是______________ ②顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是—————— ③顺次连结矩形四边中点所得的四边形是—————— ④顺次连结菱形四边中点所得的四边形是—————— ⑤顺次连结正方形四边中点所得的四边形是—————

四、师生共同小结：

1．教师提问引起学生思考：

（1）这节课学习了哪些具体内容：

（2）用什么思维方法提出猜想的？

（3）应注意哪些概念之间的区别？

2．在学生回答的基础上，教师投影显示以下与三角形一边中点及线段倍分关系有关的基

本图形（如图4－96）．

（1）注意三角形中线与中位线的区别，图4－96（a），（b）．

（2）三角线的中位线的判定方法有两种：定义及判定定理，图4－96（b）（c）．

（3）证明线段倍分关系的方法常有三种，图4－96（b），（d），（e）． 3．添辅助线构造基本图形来使用性质的解题方法．

4．三角形的中位线有这样的性质，那么梯形有中位线吗？它有类似的性质吗？（为下节课作思维上的准备）

五、作业

顺次连接什么样的四边形各边中点连线得到的四边形是矩形？菱形？正方形？

六、教学反思

1、本教学过程设计需1课时完成．

2、本节课的设计，力求让学生通过逆向思维及类比联想自己实践“分析——猜想——证明”的过程．变被动接受知识为主动应用已有知识，探索新知识，获得成功的喜悦．

正弦定理证明 篇10

a/sinA=b/sinB 同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC 步骤2.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R a/SinA=BC/SinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。2.三角形的余弦定理证明：平面几何证法： 在任意△ABC中 做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC^2=AD^2+DC^2 b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2 b^2=c^2+a^2-2ac*cosB cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac 3 在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b 则c^2=a^2+b^2-2ab*cosC a^2=b^2+c^2-2bc*cosA b^2=a^2+c^2-2ac*cosB 下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。过A作AD⊥BC于D，则BD+CD=a 由勾股定理得：

c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2 所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2 =(a-CD)^2-(CD)^2+b^2 =a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2 =a^2+b^2-2a*CD 因为cosC=CD/b 所以CD=b*cosC 所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC 题目中^2表示平方。2 谈正、余弦定理的多种证法 聊城二中 魏清泉

正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法.人教A版教材《数学》(必修5)是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受.本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解正、余弦定理，进一步体会向量的巧妙应用和数学中“数”与“形”的完美结合.定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,则(1)(正弦定理)= =;(2)(余弦定理)c2=a2+b2-2abcos C, b2=a2+c2-2accos B, a2=b2+c2-2bccos A.一、正弦定理的证明

证法一：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的三条高。则有 AD=b•sin∠BCA，BE=c•sin∠CAB，CF=a•sin∠ABC。

所以S△ABC=a•b•csin∠BCA =b•c•sin∠CAB =c•a•sin∠ABC.证法二：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的3条高。则有 AD=b•sin∠BCA=c•sin∠ABC，BE=a•sin∠BCA=c•sin∠CAB。证法三：如图2，设CD=2r是△ABC的外接圆 的直径，则∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。

证法四：如图3，设单位向量j与向量AC垂直。因为AB=AC+CB，所以j•AB=j•(AC+CB)=j•AC+j•CB.因为j•AC=0，j•CB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=a•sinC，j•AB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=c•sinA.二、余弦定理的证明

定理与证明 篇11

一、教学目标

1．了解“证明”的必要性和推理过程中要步步有据．

2．了解综合法证明的格式和步骤．

3．通过一些简单命题的证明，初步训练学生的逻辑推理能力．

4．通过证明步骤中由命题画出图形，写出已知、求证的过程，继续训练学生由几何语句正确画出几何图形的能力．

5．通过举例判定一个命题是假命题，使学生学会反面思考问题的方法．

二、学法引导

1．教师教法：尝试指导，引导发现与讨论相结合．

2．学生学法：在教师的指导下，积极思维，主动发现．

三、重点·难点及解决办法

（－）重点

证明的步骤和格式是本节重点．

（二）难点

理解命题，分清其题设和结论，正确对照命题画出图形，写出已知、求证．

（三）解决办法

通过学生分组讨论，教师归纳得出证明的步骤和格式，再以练习加以巩固，解决重点、难点及疑点．

四、课时安排

l课时

五、教具学具准备

投影仪、三角板、自制胶片．

六、师生互动活动设计

1．通过引例创设情境，点题，引入新课．

2．通过情境教学，学生分组讨论，归纳总结及练习巩固等手段完成新授．

3．通过提问的形式完成小结．

七、教学步骤

（－）明确目标

使学生严密推理过程，掌握推理格式，提高推理能力。

（二）整体感知

以情境设计，引出课题，引导讨论，例题示范讲解新知，以练习巩固新知．

（三）教学过程

创设情境，引出课题

师：上节课我们学习了定理与证明，了解了这两个概念．并以证明“两直线平行，内错角相等”来说明什么是证明．我们再看这一命题的证明（投影出示）．

例1已知：如图1，是截线，求证： ．

证明：∵（已知），∴（两直线平行，同位角相等）．

∵（对项角相等），∴（等量代换）．

这节课我们分析这一命题的证明过程，学习命题证明的步骤和格式．

［板书］2.9定理与证明

探究新知

1．命题证明步骤

学生活动：由学生分组讨论以上命题的证明过程，按自己的理解说出证明一个命题都需要哪几步．

【教法说明】根据上一节“两直线平行，内错角相等”这一命题的证明过程让学生讨论、分析、归纳命题证明的一般步骤，一是可以加深对命题证明的理解，二是培养学生归纳总结能力。在总结步骤时，学生所说的层次不一定有逻辑性，或不太严密，教师要注意引导，使学生分清命题证明几个步骤的先后层次．

根据学生讨论，回答结果．教师归纳小结，师生共同得出证明命题的步骤（出示投影）：第一步，画出命题的图形．

先根据命题的题设即已知条件，画出图形，再把命题的结论即求证的内容在图上标出．还要根据证明的需要，在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达．第二步，结合图形写出已知、求证．

把命题的题设化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中．

第三步，经过分析，找出由已知推得求证的途径，写出推理的过程．

学生活动：结合“两直线平行，内错角相等”这一命题的证明，理解以上命题证明的一般步骤（给学生一定时间理解记忆）．

【教法说明】在以上第二个步骤中，将文字语言转化为符号语言是教学中的难点，要注意在练习中加强辅导，第三步由学生独立完成有困难，要逐步培养训练，现阶段暂不要求学生独立完成．

反馈练习：（1）画出证明命题“两直线平行，同旁内角互补”时的图形，写出已知、求证．

（2）课本第112页A组第5题．

【教法说明】由学生依照例1“两直线平行，内错角相等”这一命题的证明画出图形，写出已知、求证，巩固命题证明的第一、二步．

2．命题的证明

例2证明：邻补角的平分线互相垂直．

【教法说明】此例题完全放手让学生独立完成有一定困难，但教师也不能包办代替，最好通过让学生分步讨论，同桌互相磋商，分步完成的方法，使学生对命题证明的每一步都进一步理解，教师可以给学生指明思考步骤．

（1）分析命题的题设与结论，画出命题证明所需要的图形．

邻补角用图2表示：

图2

添画邻补角的平分线，见图3：

图3

（2）根据命题的题设与结论写出已知、求证．邻补角用几何符号语言提示：，角平分线用几何符号语言表示：，求证邻补角平分钱互相垂直，用符号语言表示： ．

（3）分析由已知谁出求证途径，写出证明过程．

有什么结论后可得（），由已知可以推导 吗？学生讨论思考．

【教法说明】以上步骤的完成教师只提供思路，具体结论的得出与操作要由学生独立完成．找一个学生到黑板上板演，其他同学在练习本上写出完成整过程．

已知：如图，，．

求证：

证明：∵（已知），又∵，（已知），∴ ．

∴（垂直定义）．

证明完成后提醒学生注意以下几点：

①要证明的是一个简单叙述的命题，题设和结论不明显，可以先根据题意画出图形．如例2，结合图形分析命题的题设和结论．

②在写已知、求证的内容时，要将文字语言转化为符号语言来表示，转化时的写法也不是惟一的，要根据使用的方便来写，如： 与 互为邻补角，在已知中写为，角平分线有几种表示方法，如 是 的平分线，，根据此题写成 较好，方便于下面的推理计算．

③对命题的分析、画图，如何推理的思考过程，证明时不必写出来，不属于证明内容．

反馈练习：按证明命题的步骤证明：“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么内错角相等．”

【教法说明】由学生独立完成，找学生板演，发现问题教师及时纠正．

3．判定一个命题是假命题的方法

师：以上我们的推理是说明一个命题是真命题的判定方法．那么如何判定一个命题是假命题呢？如“相等的角是对项角”，同学们都知道这是一个假命题，如何说明它是一个假命题呢？谁能试着说明一下？

【教法说明】教师先不告诉学生判定一个命题是假命题的方法，而是由很明显的“相等角是对顶角”这一假命题，让学生自己尝试着去说明，体验从反面去说明一个问题的方法，然后教师归纳小结．

根据学生说明，教师小结：

判定一个命题是假命题，只要举出一个反例即可，也就是说你所举命题符合命题的题设，但不满足结论．如“同位角相等”可如图，与 是同位角但不相等就说明“同位角相等是假命题”．

反馈练习：课本第111页习题2.3A组第4题．

【教法说明】在做以上练习时一定让学生学会从反面思考问题的方法，再就是要澄清一些错误的概念．

反馈练习

投影出示以下练习：

1．指出下列命题的题设和结论

（1）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．

（2）两个角的和等于直角，这两个角互为余角．

（3）对项角相等．

（4）同角或等角的余角相等．

2．画图，写出已知，求证（不证明）

（1）同垂直于一条直线的两条直线平行．

（2）两条平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行．

3．抄写下题并填空

已知：如图，．

求证： ．

证明：∵（），∴（）．

∴（）．

【教法说明】以上练习让学生独立完成，第1题主要是训练学生分清命题的题设和结论；第2题是训练学生把命题转化为几何语言、几何图形的能力；第3题是让学生进一步体会命题证明的三个步骤．

总结、扩展

以提问的形式归纳出本节课的知识结构：

八、布置作业

（－）必做题

课本第110页习题2.3A组第3（2）、（3）、（4）题．

（二）思考题

课本第112页B组第l、2题．

作业答案

A组（略）

B组1．已知两直线平行，同旁内角互补。

（两直线平行，同旁内角互补）（同角的补角相等）．