初二数学全等三角形证明

初二数学全等三角形证明（精选8篇）

初二数学全等三角形证明篇1

初二数学全等三角形证明

班别_______姓名_______学号_______2007-5-1

51.如图,AB=CD,AD、BC相交于点O，(1)要使△ABO≌△DCO,应添加的条件为.(添加一个条件即可)

(2)添加条件后,证明△

ABO≌△DCO

2.已知：如图，AB//DE，且AB=DE.(l）请你只添加一个条件，使△ABC≌△DEF,你添加的条件是.(2）添加条件后，证明△ABC≌△DEF.3、如图，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明。

所添条件为，你得到的一对全等三角形是

证明：ABOCD(第12题)

4、如图，在△ABC中，D为BC边的中点，过D点分别作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F.（1）证明：△BDF≌△DCE ；AFE

BC D

(第4 题图)

5．如图9，已知∠1 = ∠2，AB = AC．求证：BD = CDBDA

图 9

6．如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：AC＝BD．

B7、如图，在ABCD中，BEAC于点E，DFAC于点Ｆ．

求证：AECF；AD

BC8、如图,已知点M、N分别是平行四边形ABCD的边AB、、DC的中点,求证: ∠DAN=∠BCM.9．如图，AC和BD相交于点E，AB∥CD，BE=DE。求证：AB=CD

B E

第9题图

10、已知：如图10，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．

求证：AD=AE．

_ M

图10

C12、如图（4），在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：○

1AB=AC○2AD=AE○31=∠2○4BD=CE.请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）

初二数学全等三角形证明篇2

情形一简单组合“SAS”条件进行判定

例1已知:如图1,E是BC的中点, ∠1=∠2,AE=DE.

求证:AB=DC.

【分析】就本题图形与已知条件来看, 要证得AB=DC,只要证得两个三角形全等即可. 从所给的条件来看,已知中直接给定了一组角与一组边对应相等,好像少一组边对应相等,实际上∠1=∠2的另一组夹边以“E是BC的中点”的形式给出了,这三个条件基本上是以比较直接的形式给出的,具体证明只要简单组合一下这三个条件就可以了.

证明:∵E是BC的中点,

∴BE=CE.

在△ABE 和△DCE 中,

∵BE=CE,∠1=∠2,AE=DE,

∴△ABE≌△DCE.

∴AB=DC.

【反思】这种只要直接组合已知条件证明三角形全等的题主要考查基础知识,给出证明时注意几何语句的书写规范.

情形二探寻“夹角”相等实现“SAS” 判定

例2已知:如图2,OP是∠AOC和∠BOD的平分线,OA=OC,OB=OD.

求证:AB=CD.

【分析】由题意,我们只要证得△AOB≌ △COD即可得到结论.这两个三角形全等的条件已直接给出了两组边对应相等,是不是能找到它们的夹角呢?显然,题目已知条件给了“OP是∠AOC和∠BOD的平分线”,能给我们以帮助,可以得到∠AOP= ∠COP,∠BOP=∠DOP,进而由角的差可以得到两个三角形的∠AOB=∠COD,从而获得三角形全等的必要条件.

证明:∵OP是∠AOC和∠BOD的平分线,

∴ ∠AOP=∠COP,∠BOP=∠DOP.

∴∠AOB=∠COD.

在△AOB 和△COD 中,

∴△AOB≌△COD. ∴AB=CD.

【反思】本题也是比较典型的考查全等三角形的基础问题,只要经过简单的探究就能得到一个间接给出的有效条件从而实现问题的解决,解题时注意题目中一些间接信息的转译,一些间接信息是发现有效条件的来源.

情形三探寻一组“有效的边”相等应用“SAS”判定

例3如图,点C,E,B,F在同一直线上,∠C=∠F,AC=DF,EC=BF.求证:△ABC≌ △DEF.

【分析】由题意,题中直接给出一组对应角、一组对应边相等,还差一组对应边 (BC=EF)就可以应用“SAS”判定两个三角形全等了.观察所给的条件EC=BF,我们可以利用线段的和得到有效的一组对应边BC=EF,于是问题获得解决.

证明:∵EC=BF,

∴EC+BE=BF+BE,即 BC=EF.

在△ABC 与△DEF 中,

∴△ABC≌△DEF(SAS).

【反思】本题寻找另一组“有效的对应边”也是通过题目中间接信息得出的,这种给出一组非对应边的线段相等,从而根据线段的和及等式性质得到对应边相等的解题思路(或意识)是非常重要的,同学们要注意积累.

最后链接一道新考题,帮助同学们巩固本文所讲内容.

小试牛刀

试析证明三角形全等的技巧篇3

【关键词】三角形全等证明两大关键三类图形两种方法

一般来说，证明三角形全等就是证明三角形的角和线段相等，这也是初中平面几何的基础理论。所以说，以多角度学习证明三角形全等的方法就是学好初中平面几何的关键，对后续更复杂的几何知识学习也很有帮助。

一、证明三角形全等的两大关键

三角形全等的基本理念就是找准角与角、边与边之间的对应关系，所以本文针对三角形全等证明归纳两大关键要点：

第一，全等三角形的公共边一定要是对应边，而其公共角即对顶角也必须全是对应角。

第二，在全等三角形中，相等的边边关系所对应的角也必须为对应角；反之，相等的角其所对应的边也一定是对应边，如此才能成立三角形全等这一结论[1]。

二、证明三角形全等的三类图形

在初中平面几何教学中，通常认为的全等三角形图形形态应该包括三种：

（一）平移型全等三角形

图1 平移型全等三角形

如图1中所示的即为平移型全等三角形，两个三角形在平移后依然是保持全等关系不变的，以下举例来说。

例1：如图2，在两个三角形△DEF与△ABC中，如果边EF∥BC，且有 ∠EDF=∠BAC，已知边DE=AB=8，AC=12，BC=10，那么边EF的长度为多少？

图2 平移三角形DEF和ABC

因为△DEF与△ABC符合ASA判定定理，∠EDF=∠BAC且AB=DE=8，那么BC=10，所以就有EF=BC=10.

（二）对称型全等三角形

图3 对称型全等三角形

例2：如图4，已知∠DBA=∠CAB，边DB=CA，DA与CB的相交点为O，而E为AB边的中点，试证明OE与AB的位置关系.

图4 对称三角形CAB和DBA

首先，根据ASA判定定理可以得知，因为∠DAB=∠DBA，所以△DBA与△CAB应该为全等三角形，E为AB边的中点，所以OB=OA，∠OBA=∠OAB，所以边OE与边AB应该呈垂直关系，即OE⊥AB.

（三）旋转型全等三角形

图5 旋转型全等三角形

例3：如图6，在平行四边形ABCD中，E、F两点位于对角边AC之上，如果AF=CE，求问DF与BE边的关系.

图6 旋转三角形ADF与CBE

该题求解的是DF与BE两边的关系，从经验来看，两边应该属于平行关系，若想证明DF∥BE，就必须先证明△ADF与△CBE为全等三角形。因为AD∥BF，且AD=BC，∠DAC=∠BCA，AF=CE，所以根据SAS判定定理，可以证明△ADF与△CBE为全等三角形。在证明两三角形全等后，就可以得出结论，边DF=BE，且两边也是平行关系，DF∥BE.

以上三种图形就是在对称、平移和旋转状态下的三种全等三角形，对它们的判定还是要基于四大判定定理，并通过变换图形的角度、位置、垂直平行关系来证明它们可能存在的全等关系。对于初中生来说，它的难点就在于要用角度变换的思维来看待对三角形全等的证明，并学会灵活运用三角形全等的四个判定定理进行证明[2]。

三、证明三角形全等的两种方法

在初中平面几何学习中，对三角形全等的证明存在顺推和逆推两种方法，本文将做出一一解析。

（一）顺推分析法

所谓顺推分析自然是从已知条件出发，利用上述提到的四种判定定理或其他平面几何知识进行推导，再联系结合题目中的已知条件来发展推理过程，最后得出结论。

例4：如图7，线段AB中点为C，其中DC边平分∠ACE，有∠1=∠2，EC边平分∠BCD，有∠2=∠3，且EC=DC，证明△DAC与△EBC为全等三角形.

图7

该题目中所给出的已知条件十分充分，因为C点为线段AB的中点，所以CA=CB。因为DC、EC边平分∠ACE与∠BCD，所以∠1=∠2=∠3。又因为DC=EC，根据SAS判定定理，至此可以说明△DAC≌△EBC.

（二）逆推分析法

逆推分析法是从结论入手的解题方法，它所分析的是到达结论的可行性路径，并且根据结合所给出的已知条件和结论来寻找到正确的证明方法。在三角形全等的求解过程中，逆推分析法是十分常见的。

例5：如图8，已知BA=CA，DA=EA，请求证BD=CE.

∵DA=EA，BA=CA

∴∠C=∠B，∠1=∠2

根据SAS，∵∠B+∠3=∠1，∠C+∠4=∠2

∴∠3=∠4

DA=EA，BA=CA，∴可得△BAD≌△CAE，∴BD=CE.

以上为顺推分析和逆推分析的例题求证，如果能够娴熟掌握上述两种方法技巧，学生还可以结合顺推与逆推，用两种技巧共同解决习题，求证三角形的全等关系[3]。

四、总结

除上述解题方法外，利用公共边、公共角、对顶角等方法也能证明三角形的全等关系。因此可以说，初中平面几何中三角形全等的求解方法是丰富多样的，教师在教学过程中应该在扎实掌握四大判定定理、边角关系的基础理论的基础上，充分打开学生的思路，开阔学生的视野，从不同角度、不同层面来启迪和开发学生的解题能力。而三角形全等证明问题作为初中平面几何的基础知识，也应该被学生所熟悉运用，这对他们未来面对和解决更复杂的几何题型很有帮助。

【参考文献】

[1]娄菊红.浅谈证明三角形全等的一些技巧[J].中学生数理化（八年级数学人教版），2012（07）：6-7.

[2]钱燕群.三角形全等的证明及应用举例[J].读写算（教育教学研究），2011（08）：118-119.

全等三角形证明专题篇4

垂足，过B作BD⊥BC交CF的延长线于点D.（1）求证：AE=CD；（2）AC=12cm,求BD的长.F2、（10分）如图，AB=CD,AE⊥BC于E,DF⊥BC于F，CE=BF,连接AD交EF于点O，猜想O为

那些线段的中点？请选择其中一种结论证明.EO3、（12分）如图，在梯形ABCD中，AB//CD, ∠A=90°,AB=2,BC=3,CD=1,E是AD的中点，求

证：CE⊥BE.D C

BA4、如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，求△PMN的周长。（7分）

5．在△ABC中,∠ACB＝90o,AC＝BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于

E.（10分）

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证: DE＝AD＋BE

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系.6、如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF交AB于点E，连接EG。（10分）（1）求证：BG=CF；

（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明。

A C

B7、（本题10分）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长为。

B8、（本题10分）如图:△ABC和△ADE是等边三角形.证明：BD=CE.A

9.（本题满分7分）如图16，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，CF、BE相交于点D，且BD＝CD.求证：AD平分∠BAC.F

图16 10.（本题满分7分）数学课上，张老师画出图17，并写下了四个等式：

①

AB=DC，②BE=CE，③∠B

=∠C，④∠

BAE =∠CDE．要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形．请你试着完成．．．．．．张老师提出的问题，并说明理由．（写出一种即可）已知：＿＿＿＿＿＿＿＿（填番号）．求证：△AED是等腰三角形．证明：

图17 11．（6分）如图：FG是OA上两点，MN是OB上两点，且FG=MN，△PFG的面积＝△PMN的面积

试问，点P是否在∠AOB

12.（本题满分7分）

（1）如图18 ①，点C在线段AB上，△ACM，△CBN都是等边三角形，求证：∠1=∠2；（2）△CBN固定不动，将△ACM绕点C按逆时针方向旋转（△CBN和△ACM不重叠），如图18 ②，AN、BM交点E,其它条件不变，求∠BEN的大小.N

C 图18 ①

图18 ②

13．（本题满分8分）如图19在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且BE=CD，BD=CF.（1）求证：△BED≌△CDF；（2）当∠A=50°时，求∠EDF的度数；（3）试判断△EDF可能是等腰直角三角形吗？(写出结果不证明)

图19

14.如图，A、B两点是湖两岸上的两点，为测A、B两点距离，由于不能直接测量，请你设计一种方案，测出A、B两点的距离，并说明你的方案的可行性。

15．八（1）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B

（Ⅰ）如图1，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；

（Ⅱ）如图2，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点使BC=CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离.16．（8分）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，求证：△ABC≌△DEF．

全等三角形证明题(含角平分线) 篇5

1．如图，在四边形ABCD中，AC平分DAB,若AB>AD,DC=BC.求证：BD180.图2－

12．如图:已知在ABC中，AC=BC,ACB90,BD平分ABC.DE⊥AB。求证：AB＝BC＋CD.图2－2

3．如图，在ABC中，C2B,12,试证明AB=AC+CD.图2－3

4．如图，已知在ABC中，AD平分BAC，AB+BD=AC.求B︰C的值

5．如图，在ACB中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥GF交AB于点E，连结EG.求证：BG=CF.请你判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论.B

图

3－1 C

图3－2

6．如图所示，ABAD,BCDE,12,求证：(1)ACAE;(2)2CAE.1题

7．如图所示，CEAB,BFAC,BF交CE于D,且BD=CD,求证：点D在BACB

CA2题

8．如图所示，已知12,ACBD.说出ABCBAD成立的理由.AB

3题

9．如图所示，在ABC中，AB=AC,AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE.求证：AH=2BD.4题

10．如图，ABC和ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M,BD交AC于点N，求证：（1）BD=CE；（2）BDCE.D6题当ABC绕A点沿顺时针方向旋转到（1）（2）（3）位置时，上述结论是否成立？请说明。

11．如图所示，已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且BAE2DAM.求证：AE=BC＋CE.ME

初二数学全等三角形证明篇6

1、如图△ABC中，F是BC上的一点，且CF2那么△ABF与△ACF的面积比是＿＿＿＿＿

O2、如图17所示，在∠AOB的两边上截取AO＝BO，OC＝OD，连接

D CAD、BC交于点P，连接OP，则下列结论正确的是

()

①△APC≌△BPD②△ADO≌△BCO③△AOP≌△BOP④

△OCP≌△ODP

A．①②③④B．①②③C．②③④D．①③④

3、如图，CE平分∠ACB，且CE⊥DB，∠DAB＝∠DBA，AC＝18cm，A

△CBD的周长为28 cm，则DB＝。

4、如图在△ABC中,AB=AC,点D为AB的中点,DE⊥AB,交AC于E,已知△BCE的周长为10cm,且AC-BC=2cm ,求△ABC的周长。

5、已知：如图，四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB 于E，且B+D=180，求证：AE=AD+BE

E B

C6、在△ABC中, AB = AC, AD和CE是高,它们所在的直线相交于H.⑴若∠BAC = 45°（如图①）,求证：AH = 2BD;⑵若∠BAC = 135°（如图②）,⑴中的结论是否依然成立？请在图②中画出图形并证明你的结论.B

H D

图①

图②

7、在△ABC中，AC＝BC,∠C＝90°，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕P点旋转，三角板的两直角边分别交AC、CB于D、E两点，如图（1）、（2）所示。

ADC

(2)

(3)

E(1)

问PD与PE有何大小关系？在旋转过程中，还会存在与图⑴、⑵不同的情形吗？若存在，请在图⑶中画出，并选择图⑵或图⑶为例加以证明，若不存在请选择图⑵加以证明．

8、如图已知： △ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于D，DE∥BC交AB于E，交AC于F。求证：BE=EF+CF9、在△ABC中∠BAC是锐角，AB=AC，AD和BE是高，它们交于点H，且AE=BE；（1）求证：AH=2BD；

（2）若将∠BAC改为钝角，其余条件不变，上述的结论还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

10、已知：在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，CE垂直于BD交BD的1延长线于E，求证：CE= BD.总结：如何做几何证明题

知识归纳：

1.几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。2.掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；

（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；

（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

3.掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。

一、证明线段相等或角相等

两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

二、证明直线平行或垂直

在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。

三、证明一线段和的问题

1、在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法）

2、延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法）

初中几何证明技巧（分类）

证明两线段相等

1.两全等三角形中对应边相等。2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

*9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。*12.两圆的内（外）公切线的长相等。13.等于同一线段的两条线段相等。

证明两个角相等

1.两全等三角形的对应角相等。2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

*6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。8.相似三角形的对应角相等。

*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。10.等于同一角的两个角相等。

证明两条直线互相垂直

1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。4.邻补角的平分线互相垂直。

5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。8.利用勾股定理的逆定理。9.利用菱形的对角线互相垂直。

*10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。*11.利用半圆上的圆周角是直角。

证明两直线平行

1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。3.平行四边形的对边平行。

4.三角形的中位线平行于第三边。5.梯形的中位线平行于两底。6.平行于同一直线的两直线平行。7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。证明线段的和差倍分

1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。

2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。

5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。

证明角的和差倍分

1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。2.利用角平分线的定义。3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

证明线段不等

1.同一三角形中，大角对大边。2.垂线段最短。

3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。*5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。6.全量大于它的任何一部分。

证明两角的不等

1.同一三角形中，大边对大角。

2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。

3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。5.全量大于它的任何一部分。

证明比例式或等积式

1.利用相似三角形对应线段成比例。2.利用内外角平分线定理。3.平行线截线段成比例。

4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。

中考数学全等三角形模拟题篇7

临近中考，学生要有一定的自主性，光跟着老师跑没用。因为每位学生对知识点的掌握程度不同，复习进度也不同。数学网初中频道为大家提供了中考数学备考模拟题，希望能够切实的帮助到大家。

一、选择题

1. (山东东营,第4题3分)下列命题中是真命题的是

A. 如果a2=b2，那么a=b

B. 对角线互相垂直的四边形是菱形

C. 旋转前后的两个图形，对应点所连线段相等

D. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等

考点：命题与定理.

分析：利用菱形的判定、旋转的`性质及垂直平分线的性质对每个选项进行判断后即可得到正确的选项.

解答：解：A、错误，如3与﹣3;

B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，是假命题;

C、旋转前后的两个图形，对应点所连线段不一定相等，故错误，是假命题;

2.(四川遂宁，第9题，4分)如图，AD是△ABC中BAC的角平分线，DEAB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是()

A. 3 B. 4 C. 6 D. 5

考点：角平分线的性质.

分析：过点D作DFAC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可.

解答：解：如图，过点D作DFAC于F，

∵AD是△ABC中BAC的角平分线，DEAB，

DE=DF，

由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，

3.(2014四川南充，第5题，3分)如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为(1， )，则点C的坐标为()

A.(﹣ ，1) B. (﹣1， ) C. ( ，1) D. (﹣ ，﹣1)

分析：过点A作ADx轴于D，过点C作CEx轴于E，根据同角的余角相等求出OAD=COE，再利用角角边证明△AOD和△OCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD，CE=OD，然后根据点C在第二象限写出坐标即可.

解：如图，过点A作ADx轴于D，过点C作CEx轴于E，

∵四边形OABC是正方形，OA=OC，AOC=90，COE+AOD=90，

又∵OAD+AOD=90，OAD=COE，

在△AOD和△OCE中，，△AOD≌△OCE(AAS)，

4. (2014益阳，第7题，4分)如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件是()

(第1题图)

A. AE=CF B. BE=FD C. BF=DE D. 2

考点：平行四边形的性质;全等三角形的判定.

分析：利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别分得出即可.

解答：解：A、当AE=CF无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意;

B、当BE=FD，

∵平行四边形ABCD中，

AB=CD，ABE=CDF，

在△ABE和△CDF中

，

△ABE≌△CDF(SAS)，故此选项错误;

C、当BF=ED，

BE=DF，

∵平行四边形ABCD中，

AB=CD，ABE=CDF，

在△ABE和△CDF中

，

△ABE≌△CDF(SAS)，故此选项错误;

D、当2，

∵平行四边形ABCD中，

AB=CD，ABE=CDF，

在△ABE和△CDF中

，

5. (20江苏南京，第6题，2分)如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是(﹣2，1)，点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是()

(第2题图)

A.( ，3)、(﹣ ，4) B. ( ，3)、(﹣ ，4)

C.( ， )、(﹣ ，4) D.( ， )、(﹣ ，4)

考点：矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质。

分析：首先过点A作ADx轴于点D，过点B作BEx轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，易得△CAF≌△BOE，△AOD∽△OBE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案.

解答：过点A作ADx轴于点D，过点B作BEx轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，

∵四边形AOBC是矩形，AC∥OB，AC=OB，CAF=BOE，

在△ACF和△OBE中，，△CAF≌△BOE(AAS)，

BE=CF=4﹣1=3，∵AOD+BOE=BOE+OBE=90，

AOD=OBE，∵ADO=OEB=90，△AOD∽△OBE，，即，

OE= ，即点B( ，3)，AF=OE= ，

6.(2014扬州，第8题，3分)如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，ABBC，ADCD，BAD=60，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tanMCN=()

(第3题图)

A. B. C. D. ﹣2

考点：全等三角形的判定与性质;三角形的面积;角平分线的性质;含30度角的直角三角形;勾股定理

专题：计算题.

分析：连接AC，通过三角形全等，求得BAC=30，从而求得BC的长，然后根据勾股定理求得CM的长，

连接MN，过M点作MEON于E，则△MNA是等边三角形求得MN=2，设NF=x，表示出CF，根据勾股定理即可求得MF，然后求得tanMCN.

解答：解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，

AM=AN=2，BM=DN=4，

连接MN，连接AC，

∵ABBC，ADCD，BAD=60

在Rt△ABC与Rt△ADC中，

，

Rt△ABC≌Rt△ADC(LH)

BAC=DAC= BAD=30，MC=NC，

BC= AC，

AC2=BC2+AB2，即(2BC)2=BC2+AB2，

3BC2=AB2，

BC=2 ，

在Rt△BMC中，CM= = =2 .

∵AN=AM，MAN=60，

△MAN是等边三角形，

MN=AM=AN=2，

过M点作MEON于E，设NE=x，则CE=2 ﹣x，

MN2﹣NE2=MC2﹣EC2，即4﹣x2=(2 )2﹣(2 ﹣x)2，

解得：x= ，

EC=2 ﹣ = ，

7.(2014年山东泰安，第16题3分)将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中ACB=CED=90，A=45，D=30.把△DCE绕点C顺时针旋转15得到△D1CE1，如图②，连接D1B，则E1D1B的度数为()

A.10 B. 20 C. 7.5 D. 15

分析：根据直角三角形两锐角互余求出DCE=60，旋转的性质可得BCE1=15，然后求出BCD1=45，从而得到BCD1=A，利用边角边证明△ABC和△D1CB全等，根据全等三角形对应角相等可得BD1C=ABC=45，再根据E1D1B=BD1C﹣CD1E1计算即可得解.

解：∵CED=90，D=30，DCE=60，

∵△DCE绕点C顺时针旋转15，BCE1=15，

BCD1=60﹣15=45，BCD1=A，

在△ABC和△D1CB中，，△ABC≌△D1CB(SAS)，

8.(2014年四川资阳，第6题3分)下列命题中，真命题是()

A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

B. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形

C. 对角线垂直的梯形是等腰梯形

D. 对角线相等的菱形是正方形

考点：命题与定理.

分析：利用特殊四边形的判定定理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项.

解答：解：A、有可能是等腰梯形，故错误;

B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误;

C、对角线相等的梯形是等腰梯形，故错误;

初二数学全等三角形证明篇8

本科生毕业论文

论文题目: 全等三角形的证明在初中数学中的应用

作者、学号：李发蝌 2011111233 学院、年级：数学与信息科学学院 2011级学科、专业：数学

数学与应用数学指导教师：罗红英

完成日期：2015年5月20日

曲靖师范学院教务处全等三角形的证明在初中数学中的应用

摘要

“全等三角形的证明”是在初中数学平面几何中占重要内容之一，是研究图形性质的基础，而且在近几年的中考中都有出现，新课标的要求是“探索并掌握两个三角形全等的条件”，因此掌握三角形全等的证明及运用方法对初中生来说至关重要。其证明方法繁多，技巧性强，有一定的通法，所以研究范围极广，难度极大．论文整理和归纳了全等三角形证明的步骤及其注意事项，分别列举了几种常用的全等三角形的证明方法，让每一种方法兼有理论与实践性．旨在使学生对全等三角形证明及其应用问题有一个较为深入的了解，进而在解决相关全等三角形问题时能融会贯通、举一反三，达到事半功倍的效果，同时为从事教育的工作者提供参考．

关键词：全等三角形；初中数学；方法；应用

Prove congruent triangles used in in junior high school

mathematics

Abstract：“Entire and so on the triangle proofs” are account for one of important contents in the junior middle school mathematics plane geometry, is studies the graph nature the foundation, moreover tests in recent years all has the appearance, the new class sign request is “explores and grasps two triangles entire and so on the condition”, therefore the grasping triangle entire and so on the proof and said since birth using the method to the junior middle school very important.Its proof method is many, skillful, has certainly certainly passes the law, therefore the research scope is extremely broad, the difficulty is enormous.The paper reorganized and has induced entire and so on the triangle proof steps and the matters needing attention, has enumerated several kinds separately commonly used entire and so on the triangle proof methods, let each method have at the same time the theory and the practicality.Is for the purpose of making the student to entire and so on the triangles to prove and the application question has a more thorough understanding, then is connected entire when the solution and so on the triangle questions can achieve mastery through a comprehensive study of a subject, extrapolate, achieved the twice the result with half the effort effect, simultaneously for the worker who is engaged in the education provides the reference.Key word: Entire and so on triangles;Junior middle school mathematics;Method;Using

1引言 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1 2文献综述 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1 2.1国内研究现状 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1 2.2国内研究现状评价 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2 2.3提出问题 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2 3证明全等三角形的知识梳理及注意事项 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„2 3.1全等三角形的知识梳理 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2 3.2证明全等三角形的步骤及注意事项„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4 4证明全等三角形的构造法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4 4.1构造全等三角形的常用方法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5 4.1.1截长补短法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5 4.1.2平行线法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6 4.1.3旋转法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6 4.1.4倍长中线法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7 4.1.5翻折法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8 4.2由角平分线构造全等三角形„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8 4.3添加辅助线构造全等三角形„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9 4.3.1直接证明线段（角）相等„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9 4.3.2转移线段到一个三角形中证明线段相等„„„„„„„„„„„„„„„„„10 4.3.3转移线段到一个三角形中证明线段不等关系„„„„„„„„„„„„„„„13 5全等三角形的证明在初中数学中的应用„„„„„„„„„„„„„„„„„„„14 6总结„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„18 6.1主要发现„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„19 6.2启示„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„19 6.3局限性„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„19 6.4努力方向„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„19 参考文献 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„20

1引言

“全等三角形”是初中数学阶段的“图形与几何”中的重要内容之一，它不仅是研究平面几何相关问题的重要工具,而且还是中学数学的基础知识.然而，全等三角形的性质是推理线段相等和角相等的重要手段之一.每年各地的中考题中都会有“全等三角形”的内容,考试题目常以直角三角形、等腰三角形、等边三角形、特殊四边形为背景,主要考查线段相等、角相等的证明、线段长度的计算、面积的计算等.常考的题型有填空题、选择题和解答题.这部分试题的难度通常不大,多以中低档题为主，约占总分值的4%至11%.《数学课程标准》对全等三角形的要求是让学生掌握基本的推理技能，从图形变换中建立空间观念，尝试用不同角度的方法来解决问题，发展几何直觉，通过观察、实践、归纳、类比、推断、验证获得数学思想，体验数学活动的探索性和创造性，感受证明的抽象性和严谨性.对于全等三角形的研究，实际是平面几何中对封闭的两个图形之间联系研究的第一步，它是两三角形间最简单、最常见的关系.“全等三角形的证明”条件是学生在认识三角形的基础上，在了解全等图形和全等三角形以后进行学习的.它既是前面所学知识的延伸与拓展，又是后继学习探索相似三角形的条件的基础，并且是用以说明线段相等、两角相等的重要依据.因此，它具有承上启下的作用,同时，人教版教材里叙述了证明全等三角形的四种方法，分别是“边边边”、“边角边”、“角边角”、“角角边”，还有一种特殊的方法是在直角三角形中“斜边和一条直角边”，它们用特定的字母表示为“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”,主要将“边角边”这一识别方法作为五个基本判定之一，对全等三角形证明的学习有基础作用.2 文献综述

2．1国内研究现状

国内许多专家、学者研究过全等三角形的证明方法.全等三角形的证明一直在初中数学平面几何中占重要位置，然而，近几年它获得了广大人民群众的关注.刘建东在文[1]中编著了以构造全等三角形来探究不等式的证明，形象的写出了全等三角形的作用及其应用.同年，好未来研发中心在文[2]研发了添加了辅助线的添加方法，全等三角形的用处多，并配合人教社教材八年级数学叙述了不仅要让学生学会“边角边”这一全等三角形的识别方法，更主要地是要让学生掌握研究问题的方法，初步领悟分类讨论的数

学思想.同时，还要让学生感受到数学来源于生活，又服务于生活的基本事实，从而激发学生学习数学的兴趣.杨晓军在文[3]中精选了有关全等三角形的中考题进行解析，让同学们找到中考复习方向，引领学生成功中考.林伟杰在文[4]全析了全等三角形的性质、判定及其应用.刘申强在文[5]中编著了全等三角形在生活中的应用，从生活中的不同角度研究了全等三角形，发现数学在现实生活中的美.黎强在文[6]提出了《全等三角形》的教学构想，指出了如何确定教学目标，教学重难点.喻俊鹏在文[7]中，编著了全等三角形的易错题，并结合实例列举了初中数学中全等三角形的若干案例，分析出了学生在有关全等三角形的证明解题过程中存在的各种问题.刘玉东、董云霞、查贵宾在文[8]、[9]、[10]中探讨了构造全等三角形的方法与技巧.张文国在文[11]中总结了全等三角形的创新题，让读者以创新思维思考全等三角形的证明.保明华在文[12]中讨论了全等三角形中考探索题，让学生感受证明全等三角形的探索性和创新性，并且辅导学生掌握全等三角形的证明的方法.李怀奎在文[13]中指出如何对基本图形的认识来找全等三角形，从基本的图形认识开始发现全等三角形.解广义在文[14]中进行了全等三角形的教学设计，生动形象的设计了全等三角形证明的教学过程.姜彰全,吴颖二人在文[15]中讲解了如何巧证全等三角形，淋漓尽致地写出了全等三角形的证明技巧.2．2国内研究评价

从查到的国内文献来看，国内研究者对全等三角形的证明方法介绍了很多，文献[1-15]分别全等三角形的性质、不同证明方法及应用作了论述，文献中阐述一种或几种全等三角形的证明方法，一些文献写理论较多，一些文献写例子较多，理论很少，而且许多方法有名称不一而本质一样的情形，如构造法在形式上都是根据三角形的性质来进行分解求解的，但不同的图形有不同的构造方法，所以，有必要重新整理和归纳全等三角形证明方法，让每一种方法兼具理论与实践性.2．3提出问题

全等三角形的证明问题，就其方法而言，没有定法可套，有较大的灵活性和技巧性，而且全等三角形的证明历来是中学特别是初中数学教学的一个重点和难点.因此，在前人研究全等三角形的证明方法的基础上，试图完整地整理出常用的几类方法，使之系统化，并在此基础上探寻新的证明方法.证明全等三角形的知识梳理及注意事项

3．1全等三角形知识梳理

定义：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形（注：相似三角形的特殊情况是全等三角形）.当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角.所以，可以得出：全等三角形的对应角相等，对应边相等.(1)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；(2)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；(3)有公共边的，公共边一定是对应边；(4)有公共角的，公共角一定是对应角；(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角；三角形全等的判定公理及推论

1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称“边边边”或“SSS”)，这一条说明了三角形具有稳定性.2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(“边角边” 或“SAS”).3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(“角边角” 或“ASA”).4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(“角角边” 或“AAS”).5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(“斜边，直角边” 或“HL”).所以SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理.注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状.【A是英文角的缩写(angle)，S是英文边的缩写(side)】

全等三角形的性质

1、全等三角形的对应角相等、对应边相等.2、全等三角形的对应边上的高对应相等.3、全等三角形的对应角平分线相等.4、全等三角形的对应中线相等.5、全等三角形面积相等.6、全等三角形周长相等 [1].3．2证明全等三角形的步骤及注意事项

如何学好全等三角形的证明呢？这就要小步走，勤思考，进行由易到难的训练，实现由实（题目已有现成图形）到虚（要自己画图形或需要添加辅助线）、由模仿证明到独立推理的升华.具体可分为三步走：第一步，学会解决只证一次全等的简单问题，重在模仿.这期间要注意课本例题证明的模仿，使自己的证明语言准确，格式标准，过程简练.证明两个三角形全等，一定要写出在哪两个三角形，这既为以后在复杂图形中有意识去寻找需要的全等三角形打下基础，更方便批阅者；同时要注意顶点的对应，以防对应关系出错；证全等所需的三个条件，条件不明显的要先证明，最后用大括号括起来；每一步要填注理由，训练思维的严密性.通过训练一段时间，对证明方向明确、内容变化少的题目，要能熟练地独立思考证明，切实迈出坚实的第一步.第二步，能在一个题目中用两次全等证明过渡性结论和最终结论，学会分析.在学习等腰三角形全等、直角三角形时逐步加深难度，学会一个题目中证两次全等，特别要学会用分析法有条不紊地寻找证题途径，分析法目的性强，条理清楚，结合综合法，能有效解决较复杂的题目.同时，这时的题目一般都不只一种解法，要求一题多解，比较优劣，总结规律.第三步，学会命题的证明，掌握添加辅助线的常用方法.命题的证明可全面培养数学语言（包括图形语言）的运用能力，则在已知和未知间架起一座沟通的桥梁就要用到辅助线，这都有一定的难度，切勿前功尽弃，放松努力.同时要熟悉一些基本图形的性质，如“角平分线＋垂直＝全等三角形”.证明全等不外乎要边等、角等的条件，因此在平时学习中就要积累存在或可推出边等（或线段等）、角等的情况.应用起来自然会得心应手.4 证明全等三角形的构造法

所谓构造法，就是指通过分析条件和结论充分细致，抓住问题的特征，恰当地构造辅助元素，联想熟知的数学模型，然后变换命题，以此架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决的数学思考方法.构造法本质上是化归思想的运用，但它常常表现出精巧、简捷、明快、新颖等特点，使数学解题突破常规，具有很强的创造性.4．1构造全等三角形的常用方法

截长补短法、平行线法（或平移法）、旋转法、倍长中线法、翻折法.4．1．1 截长补短法（通常用来证明线段和差相等）

“截长法”即根据已知条件把结论中最大的线段分成两段，使其中一段与较短线段相等，然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法．“补短法”为把两条线段中的一条接长成为一条长线段，然后证明接成的线段与较长的线段相等，或是把一条较短的线段加长，使它等于较长的一段，然后证明加长的那部分与另一较短的线段相等.例1 如图（1）已知：正方形ABCD中，BAC的平分线交BC于E，求证：

ABBEAC.简析：图中没有直接给出与问题有关的全等三角形，所以要延长一条直线，构造出全等三角形，根据角相等证明出三角形是等腰三角形，然后利用转换思想BEBF，就可以证明出结果.证明:延长AB至F使AFAC ∵AE是CAB的平分线 ∴FAECAE 在FAE和CAE中 ∵AFAC ∵FAECAE ∵AEAE

∴FAECAE(SAS)

∴EFAECA45 ∴BFE是等腰直角三角形 ∴BEBF

∴AFABBFABBE ∴ABBEAC

小结：线段的和差问题常常借助于全等三角形的对应边相等，将不在一条直线的两 5

条（或几条）线段转化到同一直线上．证明一条线段等于另两条线段之和（差）常见的方法是：延长其中一条短线段，在上面上截取另一条短线段，再证明它们与长线段相等，这种方法叫“补短法”．在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下的线段等于另一条短线段，这种方法叫“截长法”．证明两条线段的和（差）等于另一条线段的常用方法就是这两种．

4．1．2平行线法（或平移法）

若题目中含有中点可以试过中点作平行线或中位线（平行且等于第三边的一半），对直角三角形,有时可作出斜边的中线．

例2 如图，在ABC中，BAC60，C40,AP平分BAC交BC于点P，BQ平分ABC交AC于Q，求证:ABBPBQAQ

图（3）

说明:(1)本题可以在AB截取ADAQ，连OD，构造全等三角形，即“截长补短法"．

(2)本题利用“平行线法”的解法较多，举例如下：

① 如图（2），过O作OD//BC交AC于D，则证明ADOABO解决． ② 如图（3），过O作DE//BC交AB于D，交AC于E，则证明ADOAQO和ABOAEO解决．

③ 如图（4），过P作PD//BQ交AB的延长线于D，则需证明APDAPC解决． ④ 如图（5），过P作PD//BQ交AC于点D，则只需证明ABPADP解决． 4．1．3旋转法

对题目中出现相等的线段有一个公共端点时，可尝试用旋转法来构造全等三角形例3 如图，设点P为等边三角形ABC内任一点，试比较线段PA与PBPC的大小．

图（6）

简析：题目虽然短，但涉及到的知识点很多．由于ABC是等边三角形，所以可以将ABP绕点A旋转60到ACP的位置（用到等量代换），连结PP，则ACPABP(SAS)，所以APAP，CPBP，则APP是等边三角形，即PPPA，在CPP中，因为PPPCPC，所以PAPBPC．

说明：由于图形旋转的前后，只是变化了位置，而大小和形状都没有改变，所以对于等边三角形、正方形等特殊的图形我们可以利用旋转的方法构造全等三角形解题． 4．1．4倍长中线法

题目中若条件有中线，可将其延长一倍，以构造新的全等三角形，从而使分散条件集中在一个三角形内．

例4 如图，在ABC中，AD是它的中线，作BE交AD于点F，使AEEF．说明线段AC与BF相等的理由．

图（7）

简析：由于AD是ABC中线，于是可延长中线AD到G，使DGAD，连结BG，则在ACD和GBD中，ADGD，ADCGDB，所以ACDGBD(SAS)，则ACGB，BFGG，而AEEF，所以CADAFE，又因为AFEBFG，所以BFGG，BFBG，即ACBF．

说明：要说明线段或角相等，通常的思路是说明它们所在的两个三角形全等，而 7

遇到中线时又通常通过延长中线来构造全等三角形． 4．1．5翻折法

若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形．

例5 如图，已知：在ABC中，A45，ADBC，如果BD4，DC3，求ABC的面积．

图（8）

解：以AB为轴将ABD翻转180º，得到与它全等的ABE，以AC为轴将ADC翻转180º，得到与它全等的AFC，EB、FC延长线交于G，易证四边形AEGF是正方

tBGC形，设它的边长为，则BG4，CG3，在R中，(4)2(3)252,解得8，则AD6，所以SABC5820． 2说明：当从题目已知中不能直接明确的求出问题时，我们可以从一般图形通过翻转转变为特殊的图形，用简便的方法求解，变换可以有一步或几步．

4．2由角平分线构造全等三角形

不管是两个图形轴对称还是轴对称图形，我们都不难发现轴上一点（此点作为顶点）与对应点组成的角被轴平分，方便我们在做题中如果遇到角平分线我们就会联想到，以角平分线为轴构造对称（全等），从而把线段、角转移达到解题目的．

例6 如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，DBC45，翻折梯形ABCD，使点B与点D重合，折痕分别交AB、BC于点F、E．若AD4，BC10．求BE的长．

图（9）

图（10）

解：由题意得

根据翻折重合，得BFEDFE，∴ DEBE

在BDE中，DEEB，且EBD45∴ EDBEBD45

∴ BED90，即BCDE，在等腰梯形中，AD=4，BC=10，过A作BCAG，交BC于G，如图（10），四边形AGED是矩形∴ GEAD

4在RtABG和RtRtDCE中，DCAB，DEAG

∴RtABGRtDCE(HL)，∴ BGCG∴CE∴BE6．

说明：由角平分线构造全等三角形，这类题是很简单的，可以根据角平分线上的点到两边的距离相等，就构造出直角三角形，进而对称轴就是公共边，就可以用HL证明全等三角形.1BCAD4 24．3添加辅助线构造全等三角形

在证明几何图形题目的过程中，通常需要先通过证明全等三角形来研究转移线段或角，或者两条线段或角的相等关系。但有些时候，这样要证明的全等三角形在题设中，并不是十分明显。针对这样的题型我们需要通过添加辅助线，构造出全等三角形，进而就可以证明所需的结论.在这里，我尝试通过几个典型例题让大家了解添加辅助线构造全等三角形的方法.当然这些例题体现了添加辅助线的方法是从简单到复杂，从特殊到一般，研究线段的长短关系是体现了从不相等到相等的递进关系[2].注意：添加的辅助线都是用虚线表示.4．3．1直接证明线段（角）相等

例7 如图，已知ABAD，CBCD，(1)求证：BD；(2)若AEAF，试猜想CE与CF的大小关系.如图（11）

简析：第（1）小问考虑到在没有学习等腰三角形的时候，要证明两个角相等，经常需要证明它们所在的两个三角形全等。本题要证明BD．在题目的已知条件中明显缺少全等的三角形，我们就要想到添加辅助线连结AC后，以AC作为公共边，根据题目的已知条件可以看出ABCADC，进而就证明BD.如果在学习等腰三角形的知识后还可以连结BD，通过说明等边对等角，再用角的等量代换关系得到BD更加简单.第（2）小问猜想CFCE，在连结AC证明ABCADC后，得到CAECAF，再证明CAECAF，进而证明ECFC.如何添加辅助线：方法1添加辅助线，连结AC，证明ABCADC，进而BD.BDCDB方法2添加辅助线连接BD，因为ABAD，所以，ABDADB．即C，ABDCBDADBCDB，即BD.又因为BEDF，CBCD,故BCECDF，进而CECF.小结：通过例7我们初步体会添加辅助线的必要性，例7的两个小问的简析，从添加辅助线证明一次全等三角形得角相等，然后到添加辅助线证明二次全等三角形得线段相等，我们可以感觉到问题层次的递进.特别是例7(1)中如果B、C、D共线的时候可以得到等边对等角的结论，为第（2）问做铺垫.4．3．2转移线段到一个三角形中证明线段相等

例8 如图，已知AD是ABC的中线，且BE交AC于点E，交AD于点F，且EAEF.求证：ACBF.图（12）

简析：要证ACBF，我们可以把线段AC、BF转移到它们所在的三角形中，然后证明这两个三角形全等，显然图中没有直观的给出含有AC、BF的两个全等三角形图形，但我们可以根据题目条件的去构造两个含有AC、BF的全等三角形也并不是太容易，这时我们就要重新思考一条出路，想到在同一个三角形中等角对等边，这时能够把两条线段转移到同一个三角形中，我们只要说明转移在同一个三角形后的这两条线段

所对的角相等就可以了.BF，简析：思路1 以ACD为基础三角形，来转移线段AC、使这两条线段在BFH中.法一：延长AD到H，使HDAD，连结BH，再证明ACD和HBD全等，可得ACBH.通过证明DHBHFB，就可得到BFBH.图（13）

证明：添加辅助线延长AD到H，使HDAD，连结BH

∵ D是BC中点

∴ BDCD

在△ACD和BDH中

DHADB DH

ADCBDCD

∴ ACDBDH(SAS)

∴ ACBH，DHBHFB

∵ AEEF

∴ EAHEFA

又∵BFHAFE

∴ BHBF

∴ ACBF

法二：可以过点B作BH平行AC与AD的延长线相交于点H，证明ACD和BDH全等.小结：对于含有中线的全等三角形问题，可以通过“倍长中线”法得到两个全等三 11

角形.但是过一点作己知直线的平行线，可起到转移角的作用，也起到构造全等三角形的作用.思路2 以BFD为基础三角形，转移线段AC，使AC、BF在两个全等三角形中.法三：添加辅助线延长FD至H，使HDFD，然后连结HC，证明HDC和FDB全等.图（14）

证明：延长FD至H，使HDFD，连结HC

∵D是BC中点

∴ BDCD

在HDC和FDB中

FDHDADBHDC BDCD

∴ HDCCHD(SAS)

∴ HCAH

∵ AEFE

∴ HACAFE

又∵AFEBFH

∴ HHAC

∴ CHCA

∴ ACBF

法四：过点C作CH平行FB与AD的延长线相交于点H，证明△HDC和△FDB全等.小结：通过添加辅助线的方法一题多解，我们可以体会到添加辅助线目的在于构造 12

全等三角形.而从不同途径来可以有不同的添加方法，实际是实现线段的转移体会构造全等三角形在线段转移中的地位.从变换的观念可以看到，不论是作平行线法还是倍长中线法，实质都是一个以中点为旋转中心的三角形旋转变换构造了全等.熟悉法

一、法三“倍长中线”法的辅助线所用到的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本添加辅助线方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段的证明全等三角形的方法有技巧可寻.图（15）

4．3．3转移线段到一个三角形中证明线段不等关系

例9如图，已知AD是ABC的中线，求证：ABAC2AD.简析：用例8的辅助线的添加方法，学会识别基本图形，并利用它们去解决不等关系的问题.AB、AC、2AD不在同一个三角形中，如果能将中线倍长，转移AC就可在同一个三角形找出与AB、AC、2AD相关的线段，再利用三角形两边之和大于第三边可以很简单的解决。

图（16）

证明：添加辅助线延长AD至E，使EDAD，连接BE．

∵ AD是ABC的中线，在ACD和EBD中，ADED

∵ADCEDB

CDBD 13

∴ ACDEBD（SAS）

∴ ACBE

在ABE中，ABBEAE，∴ ABAC2AD.5全等三角形的证明在初中数学中的应用

例10（2014年云南省中考题）如图，在ABC和ABD中，AC与BD相交于点E，ADBC，BADABC，求证：ACBD．

图（17）

简析:可以根据“SAS”证明三角形ABD和三角形BCA全等，这里要用到化归思想，要证明线段相等可以化归为证明三角形全等，由全等三角形的性质可证明ACBD．证明：在ABD和BCA中，ADBCBADABC ABBA∴ADBBAC（SAS）∴ACBD

说明：本题考查了证线段相等化归为证全等三角形，而全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

例 11（2014年曲靖市中考题)如图，ACD90，ACBC，ADCE于点D，BECE于点E.（1）求证：ACDCBE；（2）已知AD6，DE2，求EF的长.图（18）

简析：第（1）问在ACD和CBE中，已知有ACBC，还有一组直角相等，现在我们可以找一条对应边用“SAS”证明全等三角形或者是找一个对应角用“AAS”证明，这时就要根据已知条件去找，哪个方便就用哪个，由已知条件可以根据同角的余角相等来证明.证明：如图，∵ADCE

∴2390

又∵1290

∴13

又∵ADCE，BECE

∴EADC90

在ACD和CBE中

EADC 13

ACBC ∴ACDCBE（AAS）

简析：第（2）问本题求的长，从直观上看不能用简便的方法求，可以把放到两个相似的三角形中，可以通过证两个相似三角形来求.解：∵ACDCBE

∴CEAD6

∴CDCEED62

4∵EADF，BFEAFD

∴BEF~ADF

∴BEEF ADDF 设EF，则DF2

∴4 624 515 ∴

即EF4 5说明：这个题把全等三角形和相似三角形有机的结合在一起考学生，对学生有意识的进行选拔，也对学生高要求，它着重强调全等三角形和相似三角形的相同点和不同点，让学生能区分开，这类题型在中考中也算是中难度的题了.例 12（2013年上海市中考题）如图，在△ABC中，ACD90，BA，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．求证：

ADEEF.B

DEFC图（19）

简析：要证DEEF，从题目中我们不能直观的证明它们相等，要先转化证明平行四边形再证全等三角形，通过两对边分别平行的性质证明四边形BCFD是平行四边形BCFD，然后把边DE和EF放在CED和CEF中，证明这两个三角形全等，进而就可以证明DEEF.证明：∵DE∥BC，CF∥AB

∴四边形BCFD是平行四边形BCFD ∴BDCF,DFAC ∴CED和CEF是直角三角形

又∵ABC是直角三角形，且D为AB的中点 ∴CDBD ∴CDCF

在RtCED和RtCEF中

CECE CFCD 16

∴RtCEDRtCEF(HL)∴DEEF

说明：几何图形之间线段与角的关系是有联系的，但是要对每个图形的性质掌握，才能搭起桥梁，建立关系.例13(2012年云南省中考题)如图，在ABC中，C90，点D是AB边上的一点，DMAB，且DMAC，过点M作ME//BC交AB于点E.求证ABCMED.图（20）

简析：题目中给得每个已知条件都是关键，有直角三角形就想到用“HL”,但是已知条件中没有明确给出斜边ABME，所以我们要另谋出路，根据ME//BC，MEDABC，用“AAS”来证明ABCMED.证明：∵DMAB

∴MDEC90 又∵ME//BC ∴CBADEM 在ABC和MED中

CMDEABCMED MDAC∴ABCMED(AAS)说明：证明全等三角形的方法有多种，关键是要根据已知条件去找边与边、角与角之间的对应关系.例 14（2011福建福州中考题）如图，ABBD于点B,EDBD于点D,AE交BD

于点C,且BCDC.求证ABED.ABCD

图（21）

简析：题目中给得每个已知条件都是关键，有直角三角形就想到用“HL”,但是已知条件中没有明确给出斜边ACEC，题目中还有一个隐含的条件对顶角ACBECD,所以我们可以选择用“ASA”来证明ABC和EDC全等.证明:∵ADBD，EDBD

∴ABCD90 在ABC和EDC中

ABCD BCDCACBECD∴ABCEDB(ASA)∴ABED

说明：在做几何图形的题目时，即要抓住它给的每个已知条件，又要从题目或图形中挖掘出隐含的条件，这锻炼我们的发现思维和综合应用能力.6 结论

6．1主要发现

全等三角形的证明问题，就其方法而言，没有定法可套，有较大的灵活性和技巧性．而且全等三角形证明历来是中学、特别是初中数学教学的一个重点和难点．本文系统地归纳整理了几类全等三角形的证明方法．如若学生在掌握全等三角形的基础知识以后，能够灵活应用文中几类方法和思想，以其为指导，全等三角形问题将能够迎刃而解，使得解决全等三角形问题时思路清晰，运算简便．尤其是应用构造法，架起一座连接条件和结论的桥梁，在解决一些全等三角形问题时作用很大．

6．2 启示

从文中可以看出在处理全等三角形问题时，若能灵活运用这些思想与方法，则会取得事半功倍的效果．教师在讲解具体数学内容和方法时，应该高度重视全等三角形方法的挖掘和渗透，重视理论和实践的结合，让学生切实领悟其价值，滋生应用的意识．同时学生在解题和学习的过程中也应认真思考，发现和归纳证明全等三角形的数学思想方法．

6．3局限性

本文把理论和实践相结合，归纳了几类全等三角形证明的方法在解题中的应用，其中主要工作属归结概括，在一些方面存在局限性，一是在不同知识体系间寻求“交汇”跨度大、难度高，不易发现其中的本质联系；二是由于本文整理归纳了较多全等三角形的证明方法和数学思想，多则不精，广而不深．

6．4努力方向

全等三角形的证明方法种类繁多，不同知识体系间的跨度大、难度高．在教学实践中，并不是短时间可以全部学习掌握的，需要长期学习并积累，而对于全等三角形的证明方法新的研究与发展，则要在大量的实践中不断摸索．

参考文献

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致

谢

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