三角形面积公式

三角形面积公式（精选9篇）

三角形面积公式 篇1

我们最早接触的图形就是三角形, 它也是最简单的几何图形.关于三角形的研究多种多样, 三角形中边、角关系的转化和应用构成了丰富多彩的数学内容.在三角形的应用中, 求三角形的面积也是经常出现的一个问题, 下面我来重点说说三角形的面积问题.我们知道三角形的面积公式是, 我们把它当口诀一样熟记在心.关于它的由来可以通过割补图形, 用等底等高平行四边形面积的一半来表示.

这个结果, 就是著名的海伦公式, 可以直接由三角形的三边长a、b、c求出三角形的面积.该公式最早出现于古希腊数学家海伦的著作《测地术》中, 公式的形式漂亮, 且便于记忆.

这个公式本质上与海伦公式相同, 只不过形式上不够好看, 不易记忆, 这是我国大数学家秦九韶的“三斜求积”公式.

在引入半周长p和三角形外接圆、内切圆的半径为R、r, 三角形的面积公式还可表示为与S△=p·r.

将a, b坐标代入, 得

因此利用向量知识可求得三角形的面积为

通过以上分析, 我们探讨了几种三角形面积公式之间的相互联系, 灵活运用三角形的面积公式, 能帮助我们解决许多解三角形的问题.

三角形面积公式 篇2

=(1/2)*底*高

s=(1/2)*a*b*sinC (C为a,b的夹角)

底*高/2

底X高除2 二分之一的 (两边的长度X夹角的正弦)

s=1/2的周长*内切圆半径

s=(1/2)*底*高

s=(1/2)*a*b*sinC

两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

大角对大边

周长c=三边之和a+b+c

面积

s=1/2ah(底*高/2)

s=1/2absinC(两边与夹角正弦乘积的一半)

s=1/2acsinB

s=1/2bcsinA

s=根号下：p(p-a)(p-b)(p-c) 其中p=1/2(a+b+c)

这个公式叫海伦公式

正弦定理：

sinA/a=sinB/b=sinc/C

余弦定理：

a^2=b^2+c^2-2bc cosA

b^2=a^2+c^2-2ac cosB

c^2=a^2+b^2-2ab cosA

三角形2条边向加大于第三边.

三角形面积=底*高/2

三角形内角和=180度

求面积吗 (上底+下底)×高÷2

三角形面积=底*高/2

三角形面积公式：

底*高/2

三角形面积公式 篇3

关键词：压轴题；三角形；面积

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）06-139-01

在处理中考压轴题时，很多学生觉得它难以把握。讲练压轴题的目的是为了提高临场的解题能力，同时也是一个发现弱点及时查缺补漏的机会。这样会从内容到方法、到观点的深层次的提高。教师应带领学生精题引路，反复推敲，以点带面，多角度分析，挖掘出压轴题和其他题目的关系，挖掘题目的内涵和外延，抽出具体模型，让学生消除畏惧心理，最大限度提高得分点。这里，我结合近几年河南省中考压轴题的命题形式， 以“三角形面积公式”在压轴题中的应用为例，谈一下在教学中如何建立模型，有效地训练压轴题，提高学生临场的解题能力。

例：（河南2010年压轴题）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点。

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值.

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线 上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.

学生难点分析：

第（2）问标准答案是利用面积的和差关系求得S关于m的函数关系式，但在实际做题中学生想不到连接OM，自然联系不到面积的和差关系，导致失分。同时，在很多压轴题中的三角形的顶点并不在坐标轴上，不能利用面积和差关系求得函数关系式，因此，有必要针对此种类型题进行专题分析。

解决方法：

如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直線，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”a，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”h。我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC= ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

如果在直角坐标系中的三角形任一边与坐标轴都不平行，用这个公式计算面积，面积便唾手可得。

具体步骤：

过点M做MN‖AB交AB于N，因为A ，B ，

所以AB解析式为：y=-x-4.

设M（m， m2+m-4），N（m，-m-4）

则MN=（-m-4）-（ m2+m-4）= - m2-2m

又∵AO=4

∴S△ABM= AO·MN= ×（- m2-2m）×4=-m2-4m

方法延伸：

这种方法适应于在坐标系中任意放置的三角形面积求解。在2011年各省市中考题中此类题目很常见。下面列出一道，以供练习。

（2011茂名市）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线对称轴 与 轴相交于点M.

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）设点P为抛物线（ ）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请直接写出点P的坐标；

（3）连接AC.探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由。

三角形面积公式 篇4

其中公式2,△ABC中,设则其面积|.

以下笔者运用以上面积公式解几道2014年高考题,其解法新颖,令人耳目一新.

例1 ( 2014年全国) 设F为抛物线C: y2= 3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A、B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积( )

例2 ( 2014年山东) 在△ABC中,已知A,当A =π/6时,△ABC的面积为____________.

例3 ( 2014年四川) 已知F为抛物线y2= x的焦点,点A、B在该抛物线上且位于x轴的两侧,( 其中O为坐标原点) ,则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )

例4 ( 2014年徽山一中高考模拟题) 在△ABC所在的平面内有一点P,如果那么△PBC的面积与△ABC的面积之比是( )

( A)3/4( B)1/2( C)1/3( D)2/3

三角形面积公式的推导教案 篇5

三角形面积的计算

教学目标：1．理解三角形面积公式的推导过程，正确运用三角形面积公式进行计算．

2．培养学生观察能力、动手操作能力和类推迁移的能力．

3．培养学生勤于思考，积极探索的学习精神． 教学重点：理解三角形面积计算公式，正确计算三角形的面积． 教学难点：理解三角形面积公式的推导过程．

教学准备：准备三种类型三角形(2个完全一样的)和一个平行四边形。教学过程：

一、复习引入：

1．出示平行四边形，面积公式怎样？

2．面积公式是怎样推导出来的？

3．出示三角形。三角形按角可以分为哪几种? ４．既然平行四边形都可以利用公式计算的方法，求它们的面积，三角形面积可以怎样计算呢?（揭示课题：三角形面积的计算）

今天我们一起研究“三角形的面积”（板书）

二、指导探索：

（一）推导三角形面积计算公式．

1．拿出手里的平行四边形，想办法剪成两个三角形，并比较它们的大小． 2．启发提问：你能否依照平行四边形面积的方法把三角形转化成已学过的图形，再计算面积呢？

3．用两个完全一样的直角三角形拼．

（1）教师参与学生拼摆，个别加以指导

（2）演示课件：拼摆图形

（3）讨论

①两个完全一样的直角三角形拼成一个大三角形能帮助我们推导出三角形面积公式吗？为什么？

②观察拼成的长方形和平行四边形，每个直角三角形的面积与拼成的平行 四边形的面积有什么关系？

4．用两个完全一样的锐角三角形拼．

（1）组织学生利用手里的学具试拼．（指名演示）

（2）演示课件：拼摆图形（突出旋转、平移）

教师提问：每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？

5．用两个完全一样的钝角三角形来拼．

（1）由学生独立完成．

（2）演示课件：拼摆图形

6．讨论：

（1）两个完全相同的三角形都可以转化成什么图形？

（2）每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？

（3）三角形面积的计算公式是什么？

7、引导学生明确：

①两个完全一样的三角形都可以拼成一个平行四边形。

②每个三角形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半。（同时板书）

③这个平行四边形的底等于三角形的底。（同时板书）

④这个平行四边形的高等于三角形的高。（同时板书）

(3)三角形面积的计算公式是怎样推导出来的?为什么要加上“除以2”？（强化理解推导过程）

板书：三角形面积＝底×高÷2

（4）如果用S表示三角形面积，用a和h表示三角形的底和高，那么三角形面积的计算公式可以写成什么？

（二）教学例1

红领巾的底是100cm，高33cm，它的面积是多少平方厘米？

1．由学生独立解答．

2．订正答案（教师板书）

三、质疑调节

１、总结这一节课的收获，并提出自己的问题．

２、教师提问：

（1）要求三角形面积需要知道哪两个已知条件？

（2）求三角形面积为什么要除以2？

《三角形面积》说课教案 篇6

一、说理念

1.把主动权还给学生。新课程强调形成学生积极主动的学习态度，不能只靠模仿、记忆，让学生经历观察、操作、推理、实践活动。

2.改变学生的学习方式，倡导动手操作，独立探究，合作交流的学习方式。使学生在合作中研究，在探究中创新，逐步学会学习并从中获得良好的情感体验。

二、说教材

1.教材内容分析

三角形的面积的教学是在学生掌握了三角形特征及长方形、正方形、平行四边形面积计算的基础上进行的。三角形和平行四边形、梯形面积计算联系比较紧密。根据各图形面积及公式间的内在联系，教材先探究了平行四边形面积公式的推导基础，学生不难想出把三角形转化成已学过的图形的面积计算，从而发展了学生的空间观念，加深学生对图形特征以及三角形与平行四边形之间的内在联系的认识，进一步发展学生的思维能力。

2.教学目标

知识目标：使学生通过动手操作推导出三角形的面积公式。掌握三角形面积公式及推导方法，能正确运用面积公式进行三角形面积的计算。

能力目标：使学生进一步体会转化方法的价值，培养学生初步的推理能力、创新能力和应用已有知识解决新问题的能力，发展学生的空间观念。

情感与态度目标：帮助学生形成积极主动的学习态度，参与知识形成全过程的创新意识，应用数学的意识，培养严谨的科学态度。

3.教学重点

发现理解三角形的面积公式并能正确运用。

4.教学难点

理解三角形面积公式及推导过程。

5.教学准备

多媒体课件一份，自制的三角形若干，方格纸10张。

三、说教学过程

（一）创设情境，揭示课题

师：昨天下午，老师接到了一个任务，现在想请咱们班的同学帮我一起解决，你们愿意吗？我们学校准备吸收100名新生入队，就需要做100条红领巾，那么要买多少布料呢？做一条红领巾时必须知道什么？

生：（可能会说：一条红领巾的大小）

师：红领巾是什么形状的？

生：三角形。

师：怎样计算三角形的面积呢？这节课我们就一起来研究三角形面积的计算方法。（板书课题：三角形的面积）

（二）探究新知

1.复习长方形、正方形、平行四边形的面积计算。（课件出示）请学生分别计算出每个图形的面积，并订正。

2.请生说出平行四边形面积的计算公式的推导方法，再猜想三角形面积计算可以用什么方法？（学生猜测：数方格的方法，转化法）

3.出示三角形方格图。

师：请你用数方格的方法计算出三角形的面积。

学生独立数出每个三角形的面积：12平方厘米。

师：如果用这种方法求一块三角形菜地或三角形的草坪的面积，你觉得可行吗？

学生可能会说出：不方便、不准确等。

师：同学们能否找出一种方便的方法解答这种问题呢？能不能把三角形转化成已学过的图形来求面积呢？（能）

4.分组实验，合作学习。

请学生拿出课前准备的三种类型三角形（各两个），小组合作动手拼一拼，摆一摆。

然后展示汇报，可能用两个完全一样的三角形、长方形、平行四边形、正方形。（教师课件一一展示）。

5.组织讨论，探究算理，归纳公式。

在学生操作之后，提问：通过试验，你们发现了什么？（课件出示）

还有以下问题：认真观察拼成的平行四边形，这些平行四边形的底和高与三角形的底和高分别有什么联系？每个三角形的面积和拼成的平行四边形的面积有什么联系？（学生讨论过程中，教师给予适当指导。）

讨论结束后，引导学生归纳得出三角形的面积公式，根据学生的汇报板书公式：

因为：三角形面积=拼成的平行四边形面积÷2

所以：三角形面积=底×高÷2

（三）反馈应用

1.师：有了公式，现在你们能解决课前提出的问题了吗？

（1）课件出示例2，学生一起读题并理解题意。

（2）学生独立解答，叫两名学生板演。教师进行检查，了解信息反馈，并按反馈信息组织学生讨论和讲解，强调书写格式以及应用三角形面积公式时把底和高相乘不要忘记除以2，否则会计算成长方形或平行四边形的面积，以确保学生系统的掌握知识。（适时课件展示）

2.巩固练习

练习是学生掌握知识，形成技能的必要途径，是检查教学目标落实情况的重要手段。为了提高联系的效率，我合理的设计了以下几道练习题：

第一题：计算课本85页做一做题目。（属单一性练习，用于巩固新知识。）

第二题：口算下面每个三角形的面积。（属基本练习，旨在巩固、熟练公式，也可锻炼学生的口算能力。）

（四）课堂总结

师：通过这节课的学习，你有什么收获？

（五）布置作业

教材第86页练习十六 第2题，第3题。

四、说板书设计

三角形的面积

因为：平行四边形面积=底高

三角形面积=拼成的平行四边形面积的一半

所以：三角形面积=底×高÷2

三角形面积公式 篇7

教材层面:数学知识及知识之间的内在逻辑联系.

学生层面:学生原认知基础.

笔者以“三角形面积计算公式”的课堂观察为例, 对教学前端教师理性解读教材文本进行审视.

一、课堂回放:学生学了什么

下面是一位优秀教师执教的西师版数学五年级上册“三角形面积计算公式”, 从学生的角度观察这位教师的课堂教学内容, 学生实际学到了什么?

1. 导入新课

学生拿出预习时准备好的正方形、长方形、平行四边形后, 教师问:你们能把这些图形分别剪成完全相同的两部分吗?每一部分是什么图形?

学生按老师的要求试着剪图形.五分钟后, 教师组织学生汇报:把图形剪成完全相同的两部分 (90%以上的学生是长方形、梯形、平行四边形) , 结论五花八门, 不符合教师意图.

2. 推导公式

面对如此尴尬局面, 教师说:这些图形沿着对角线都能剪成两个完全相同的三角形.并问:每个三角形的面积与原图形的面积有什么关系?三角形的底与原图形的什么有关?三角形的高与原图形的什么有关?

学生小组讨论后汇报, 情况如下:

第一种:原图形是一个边长为8厘米的正方形, 面积是64平方厘米.沿对角线剪开得到两个完全相同的等腰直角三角形, 每一个等腰直角三角形的面积是32平方厘米, 也就是一个等腰直角三角形的面积等于正方形面积的一半, 即:三角形的面积=正方形的面积÷2.因此, 三角形的面积=边长×边长÷2.等腰直角三角形的底与高等于正方形的边长, 所以:三角形的面积=底×高÷2.

第二种:原图形是一个长25厘米、宽10厘米的长方形, 面积是250平方厘米.沿对角线剪开得到两个完全相同的直角三角形, 每一个直角三角形的面积是125平方厘米, 也就是一个直角三角形的面积等于长方形面积的一半, 即:三角形的面积=长方形的面积÷2.因此, 三角形的面积=长×宽÷2.直角三角形的底与高分别等于长方形的长和宽, 所以:三角形的面积=底×高÷2.

第三种:原图形是一个底为16厘米、高为12厘米的平行四边形, 面积是192平方厘米.沿对角线剪开后得到两个完全相同的三角形, 每一个三角形的面积是96平方厘米, 也就是一个三角形的面积等于平行四边形面积的一半, 即:三角形的面积=平行四边形的面积÷2.因此, 三角形的面积=底×高÷2.三角形的底与高分别等于平行四边形的底和高, 所以:三角形的面积=底×高÷2.

小组汇报后, 教师问:你们发现了什么?

学生回答:三角形的面积=底×高÷2.

3.

深化运用 (略)

二、观后分析:教学缺失什么

1. 教材解读游离文本

纵观案例, 从教学过程看出执教者通过对教材的解读, 设计了三组问题, 从而推导出三角形面积计算公式.第一组问题要求学生对图形进行分割 (剪成完全相同的两部分) , 意图是每个原图形分成两个完全相同的三角形;第二组问题在第一组问题的基础上, 组织学生讨论:每个三角形的面积与原图形的面积有什么关系?三角形的底与原图形的什么有关?三角形的高与原图形的什么有关?这是全课的重点;第三组问题是让学生讨论、分析、归纳、总结出三角形面积计算公式.

教材编写的情况又是如何呢?

推导三角形面积计算公式是教科书92页例1承载的内容, 教科书用“前面是怎样探讨平行四边形面积的计算方法”的提问, 使两部分内容紧密联系起来, 不仅说明平行四边形面积计算公式是推导三角形面积计算公式的基础, 而且应用的数学思想方法及推理形式也是基础, 提示学生主动应用前面探讨面积计算公式的方法探讨三角形面积计算公式, 形成的学习策略.学生原有经验被激活, 帮助学生沟通两种图形的内在联系, 形成整体认知结构.

教学内容重点安排了两个环节, 这两个环节不是截然分开, 而是有机结合在一起.第一环节是图形转化, 教科书提供了两种图形转化形式;第二环节是公式推导.图形转化和公式推导的关键问题用小孩对话作了提示, 但没有把全部推导过程完整呈现, 这样既给学生一定引导, 又给学生的思维留有余地.最后通过“两种方法推导出来的三角形面积计算公式一样吗”、“你还可以用哪些方法推导三角形面积的计算公式”的提问, 加深学生对三角形面积计算公式的理解以及发展学生的思维, 让学生尝试用其他方法推导出三角形面积计算公式.最后总结出三角形面积=底×高÷2.

从以上分析可知:执教者在解读教材时, 另辟蹊径, 将教材束之高阁, 脱离与文本的对话, 游离于文本之外.在教学设计时, 没有深刻理解教材编排的逻辑顺序, 没有分析研究数学知识及数学知识的内在联系, 没有理清平行四边形与三角形两种图形的关系, 没有把握推导平行四边形面积计算公式的数学思想方法及推理形式是推导三角形面积计算公式的基础, 而是在追求新颖的过程中买椟还珠, 摒弃数学知识的本质联系, 另起炉灶, 进行教学.

2. 图形转化, 没有把握中心对称图形的本质

从教学过程中看出, 执教者理解中心对称图形浅尝辄止, 停留在表层, 没有把握中心对称图形的特征.正方形、长方形、平行四边形都是中心对称图形, 中心对称图形的一个重要特征是:过中心对称图形的中心作一条直线, 将图形分成面积相等的两部分.过正方形、长方形、平行四边形的中心作一条直线, 不仅将图形分成面积相等的两部分, 而且是两个完全相同的图形.在教学过程中, 教师提出“你们能把正方形、长方形、平行四边形分别剪成完全相同的两部分吗”的问题, 意图得出两个完全相同的三角形, 殊不知学生经过剪、拼、画得出的结论不尽师意, 表明教师提问不准, 原因在于没有理解正方形、长方形、平行四边形都是中心对称图形, 更没有把握中心对称图形的特征.

3. 忽视学生的思维起点

在推导平行四边形面积计算公式时, 运用转化的思想, 采用割补的方法, 把平行四边形转化成长方形, 再运用等量代换, 得出平行四边形面积计算公式.在这个过程中, 有效地培养了学生的演绎推理能力.紧接着学习推导三角形面积计算公式, 无论是数学知识内在联系, 还是教材编写的特征, 学生思维形式的起点应该是演绎推理.但是, 执教者在教学时, 分三种情况 (等腰直角三角形、直角三角形、锐角三角形) 讨论, 并且给出数据, 让学生经过运算后, 归纳、推导出计算公式.从这个过程得知, 推理形式是不完整的 (课标中的合情推理) .显然, 教师没有分析学生的思维起点, 缺乏培养学生的演绎推理能力.

三、深度思考:教学前端, 如何解读教材文本

1. 解读教材显性知识及本质和知识之间的内在联系

教材是学科教学专家、课程专家和优秀教师经过长期研究精心编排的, 由于篇幅的限制, 往往是“浓缩的精华”.在编排中遵循了数学知识本身的特点和儿童的认知规律, 很好地展现了数学知识的发生、发展顺序, 呈现了数学知识之间应有的逻辑顺序.教材所承载的编者思想和意图, 需要教师智慧地解读文本.教师解读文本时, 一方面要对具体内容进行深入挖掘, 一层一层地追问, 挖出隐藏在背后的数学知识、数学规律, 数学知识的本质属性和统摄具体数学知识与技能的数学思想方法, 从而准确把握数学知识的本质.另一方面要根据数学知识的呈现顺序, 知道学习该内容的基础, 以及学了这部分内容是为将来哪些内容奠基, 弄清数学知识之间的联系.如教学“平行线”时, 教师是这样解读的:教材呈现的主题图是铁轨、跑道、双杠, 通过对图的理解, 找出存在的共性, 抽象概括出平行线;平行的本质是直线的平移运动, 画平行线的本质是使画直线的工具发生平移运动, 画法是“靠、贴、移、画”;学生在会画平行线的基础上, 学习画长方形、平行四边形;让学生在“画一画、量一量、比一比”的过程中, 理解“平行线间距离处处相等”;渗透的数学思想方法是抽象概括.学习这一部分内容的基础是直线相交、点到直线的距离, 其本身是学习平行四边形的基础.

对数学知识本质的理解与把握影响到数学教师的教学观, 正如英国数学教育家斯根普所说:“我先前总认为数学教师都是教同样的学科, 只是一些人比另一些人教得好而已.但我现在认为在‘数学’这同一名词下, 所教的事实上是两个或几个不同的学科.”因此, 教学中教师只有合理解读教材, 理解并把握数学内容的本质及数学知识之间的内在联系, 才能科学合理地进行教学设计, 提高数学课堂教学效率和学生数学素养.

2. 根据教材文本, 解读蕴含的数学思想方法

数学思想是人们对数学知识和方法形成的规律性的理性认识和基本看法, 它是指导学学生习数学、解决数学问题的思维方式、观点、策略的基本原则.数学思想不像数学概念、法则、公式、定律、性质等数学知识那样, 显现在字里行间, 而是隐含在概念的形成过程、规律的揭示过程、结论的推导过程中.在教材中主要有两种表现形式:一是某个知识内容直接反映了某个数学思想;二是某个知识内容隐含某些数学思想.因此, 这就要求教师在解读教材时, 深入钻研, 挖掘隐含在数学知识背后的数学思想, 并在教学中有意识地进行渗透, 丰富和发展学生的数学思想.例如, 教学“分数乘分数的计算方法”时, 经过钻研、解读教材, 发现在推导分数乘分数的计算方法过程中, 渗透了数形结合思想.基于此, 在导学过程中, 首先出示例题“一台拖拉机每小时耕地公顷, 小时耕地多少公顷?”然后引导学生用长方形面积图表示公顷 (图1) , 接着引导学生理解“公顷的”的意义, 并用图形表示 (图2) , 最后计算出 (公顷) .这样, 使抽象的数与直观的形有机结合起来, 理解数学概念, 解决数学问题.

3. 根据教材文本和学生思维起点, 解读思维形式

美国著名数学教育家柯朗在《数学是什么》中用深刻、简洁的语言写道:“数学作为人类智慧的一种表达形式, 反映生动活泼的意念, 深刻细致地思考, 以及完美和谐的愿望.它的基础是逻辑和直觉, 分析和推理, 共性和个性.”这表明研究、学习数学的基础是思维.小学生的思维包括直觉思维、形象思维、逻辑思维;思维过程包括分析与综合, 比较, 分类, 抽象与概括, 猜想与验证, 具体化和系统化;基本形式包括概念、判断和推理, 推理分为归纳推理、演绎推理和类比推理.

在教学中, 学生获取知识的过程就是一个思维过程.思维形式的确定, 不仅依赖学生的数学活动经验, 也依赖于数学知识内部的联系.如教学“一个分数可化成有限小数的判断方法”时, 根据学生数学活动经验和知识的联系, 确定解决问题的思维过程是猜想与验证, 抽象与概括;思维形式是不完全归纳推理.导学过程为: (1) 把化成小数; (2) 这些分数有的能化成有限小数, 有的不能化成有限小数, 能化成有限小数的分数有什么相同的地方? (3) 引导学生分析、归纳、猜想; (4) 列举分数验证猜想是否正确; (5) 分析、抽象、概括得出结论:一个最简分数的分母分解质因数只含有2或5, 这个最简分数能化成有限小数.

灵活运用公式解三角形问题 篇8

解关于三角形问题是高考考查中的一个热点, 需要灵活运用正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式、三角公式和三角函数的性质来解决问题。

例1:在△ABC中, 假若sin2A+sin2B

解:由正弦定理, ∴代入已知条件中, ∴a2+b2

例2:在△ABC中, B=60°, , 则AB+2BC最大值为 () 。

解:设AC=b, BC=a, AB=c, 由正弦定理, 即a=2sinA, c=2sinC, 又∵sin C=sin[180°- (A+B) ]=sin (A+B) , ∴c=2sin (A+60°) =2 (sinAcos60°+cos Asin60°) , 即, 即AB+2BC的最大值是.分析:用正弦定理把所求边的关系转化为角的关系, 注意△ABC中A+B+C=180°这个隐含条件, 从而运用, 求出最大值为.

例3:已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边, . (1) 求A. (2) 若a=2, △ABC的面积为, 求b、c.

解: (1) 由正弦定理, ∴a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC代入已知条件, ∴, 即, 又∵A+B+C=180°, ∴sinB=sin[180°- (A+C) ]=sina (A+C) , 即, 又∵sin (A+C) =sinAcosC+cosAsinC, sinC≠0, 化简得, ∴, ∴, 即, 即.

(2) 由三角形的面积公式S=21bcsinA, ∴, 即bc=4, ∵a=2, 再由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA, ∴, 即, ∴ (b+c) 2-2bc=8, (b+c) 2=16, 即b+c=4, 解得b=c=2.

总之, 在解三角形时, 要交叉运用好正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式将边化为角或将角化为边的关系。

三角形的面积 篇9

三角形的面积计算公式较多。归纳一下, 大致有以下几组:

undefined (三角形的面积等于底与相应高的积的一半)

undefined (三角形的面积等于两边及夹角正弦的乘积的一半) , 这组公式还可变为undefined是三角形的外接圆的半径)

undefined (其中undefined (海伦-秦九韶公式 )

的绝对值 (其中 (x1, y1) , (x2, y2) , (x3, y3) 是三角形三个顶点的坐标) 。

三角形的面积计算方法较灵活。常见的方法有分解法、割补法、等量代换法和通过面积比等于相似比的平方来转换等。

为了避免给人一种空中楼阁式的云里雾里的感觉, 笔者不再纸上谈兵, 而是结合几道例题来具体演练一下:

例1:如图1, 矩形ABCD中, AD=2AB=2, 点E为边BC的中点, 求三角形ADE的面积。

[分析]把AD看做△ADE的底, 点E到AD的距离即BA看做高, 用法一, 无疑是解法中的上上之选;用割补法即用矩形ABCD的面积减去△ABE和△DCE的面积, 使用法二, 自然也能得心应手;注意到△ABE和△DCE是等腰直角三角形, 从而算出AE、DE和∠AED, 在△AED中进行相关的计算, 想必会水到渠成;如果以B为原点、BC为x轴、BA为y轴, 建立直角坐标系, 进而得到A (0, 1) 、D (2, 1) 和E (1, 0) , 死搬硬套地用行列式法求面积, 也用多不了太多时间, 但多少给人一种东施效颦的感觉;至于在等腰直角三角形△ADE中求得undefined, 还去用海伦—秦九韶公式, 也不是不行, 则明显有些画蛇添足了。

[答案]S△AED=1。说明一下, 由于难度较低, 加之篇幅限制, 该例题的解题过程从略。

例2:如图2, 梯形ABCD中, AD//BC, 梯形的面积为9cm2, S△AOD=1cm2, 则△BOC的面积为__。

[分析]这是一道初三数学竞赛试题。据说目的是让考生在三角形的面积的综合处理能力方面进行竞赛。涉及到下列知识点: (1) 同底等高的两个三角形的面积相等; (2) 同高的两个三角形的面积比等于底的比; (3) 两个相似三角形的面积比等于相似比的平方。

[解]因为AD//BC, 所以△AOD∽△COB, 设AO∶OC=1∶x, 则S△COB=x2, 又AD//BC, 所以S△BAD=S△CAD, 所以S△BAO=S△CDO, 又S△BAO∶S△DAO=BO∶OD=x∶1, 注意到S△AOD=1, 就可得到方程1+x+x+x2=9, 解得, 正数x=2, 于是S△BOC=4cm2。

例3:如图3, AB=3, AC=5, BC=7, 求三角形ABC的面积。

[分析]已知三边求面积, 选用海伦—秦九韶公式即法一, 无疑是上策;有了三边, 先用余弦定理求出最大角, 再转为正弦, 然后使用公式undefined, 即法二, 虽然繁了点, 却是高中生司空见惯的解法;把原三角形分成两个直角三角形, 即法三, 即使有点出人意料, 也对培养思维颇有帮助。

[解]法一:因为undefined, 所以undefined

法二:由余弦定理, 可得undefined, 于是∠BAC=120°, 所以undefined。

法三:作AD⊥BC于D, 设BD=x, 则32-x2=52- (7-x) 2, 解得, undefined, 于是undefined, 所以undefined。

例4:如图4, 椭圆的离心率为undefined, 左右焦点分别为F1、F2, 过F1作倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B, 若undefined, 求椭圆的方程和△F2AB的面积。

[分析]视AB为底, 只要设法求出点F2到AB的距离d, 用undefined即可求解, 见法一;把△F2AB分解成共底的两个三角形△AF1F2和△BF1F2, 则所求面积等于undefined, 见法二。

[解]法一:因undefined, 所以undefined, 椭圆方程可设为5x2+9y2=5a2, ①, 又直线AB为undefined, 由①、②消去y, 得32x2+36ax+7a2=0, 设A (x1, y1) 、B (x2, y2) , 则undefined, 所以a=3, 于是椭圆方程为undefined。直线AB为undefined, 所以, F2 (2, 0) 到直线AB的距离为undefined, 从而△F2AB的面积为undefined

法二:因为undefined, 所以undefined, 椭圆方程可设为5x2+9y2=45m2 (m>0) , (1) , 又直线AB为undefined, 由 (1) 、 (2) 消去x, 得32y2-20my-75m2=0, 设A (x1, y1) 、B (x2, y2) , 则undefined, 于是undefined, 所以m=1, 椭圆方程为undefined, 又

undefined

从上面四个例题, 我们可以清楚地看到, 三角形面积的计算名副其实地“解无定法”。正因为其解题的灵活性不可捉摸, 人类一直在探索着三角形面积的计算:秦九韶源于土地测量尝试着;海伦通过图形的变换探讨着;牛顿和莱布尼兹借助于微积分提高着……

三角形面积的计算虽然重要, 但在各类考试中, 一般并不单独命题。因此在考场上, 我们更要根据试题, 灵活地加以应用。

例5:如图5, 在直三棱柱ABC-A′B′C′中, ∠BAC=90°, AB=BB′=1, 直线B′C与平面ABC成30°角, 试求:①点C′到平面AB′C的距离;②二面角B-B′C-A的大小。

[分析]如果你的立体感不强, 这类计算就会选择间接法。本题与三角形的面积, 便出现了某些联系:①会通过等积法转化;②通过面积射影公式来求解。

[解]因为BB′⊥面ABC, 所以undefined

①因为B′A′⊥A′C′, B′A′⊥AA′, 所以B′A′⊥面ACC′。

同理CA⊥面ABB′。设点C′到平面AB′C的距离为h, 因为VC′-AB′C=VB′-ACC′, 所以undefined, 易得, undefined。

②作AD⊥BC于D, 易证AD⊥面BCB′, 则△AB′C在平面BCB′内的射影为△DB′C, 因为undefined (或undefined, 所以undefined。

摘要：三角形的面积是人们的“终身伴侣”;计算公式较多;计算方法较灵活;人类一直在探索着。