高考中的三角恒等变换

高考中的三角恒等变换（共7篇）

高考中的三角恒等变换 篇1

一、三角函数式的化简

(1) 常用方法:

①直接应用公式进行降次、消项;②切割化弦, 齐次弦化切, 异名化同名, 异角化同角;③三角公式的逆用;④常数的变换等.

(2) 化简要求:

①能求出值的应求出值;②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数.

例1 (1995年全国理) 求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值.

undefined

例2 化简:

undefined

分析 若注意到化简式是开平方根, 2α是α的二倍, α是undefined的二倍以及其范围, 不难找到解题的突破口.

undefined

undefined

点评 在二倍角公式中, 两个角的倍数关系, 不仅限于2α是α的二倍, 要熟悉多种形式的两个角的倍数关系, 同时还要注意undefined三个角的内在联系和作用, undefined是常用的三角变换.

二、三角函数的求值类型有三类

(1) 给角求值:

一般所给出的角都是非特殊角, 要观察所给角与特殊角间的关系, 利用三角变换消去非特殊角, 转化为求特殊角的三角函数值问题.

(2) 给值求值:

给出某些角的三角函数式的值, 求另外一些角的三角函数值, 解题的关键在于“变角”, 把所求角用含已知角的式子表示, 求解时要注意角的范围的讨论.

(3) 给值求角:

实质上转化为“给值求值”问题, 由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角.

三、三角等式的证明

(1) 三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征, 通过三角恒等变换, 应用化繁为简、左右同一等方法, 使等式两端化“异”为“同”.

(2) 三角条件等式的证题思路是通过观察, 发现已知条件和待证等式间的关系, 采用代入法、消参法或分析法进行证明.

例3 已知tanα, tanβ是方程x2-5x+6=0的两个实根, 求2sin2 (α+β) -3sin (α+β) cos (α+β) +cos2 (α+β) 的值.

分析 由韦达定理可得到tanα+tanβ及tanα·tanβ的值, 进而可以求出tan (α+β) 的值, 再将所求值的三角函数式用tan (α+β) 表示便可知其值.

undefined

于是有undefined,

undefined

点评 好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构, 从而寻找解答本题的知识“最近发展区”.

参考文献

[1]数学课程标准[S].北京:人民教育出版社, 2003.

[2]王毅明.全国数学高考试题汇编.北京:机械工业出版社.

高考中的三角恒等变换 篇2

[第8讲 三角恒等变换与解三角形]

(时间：45分钟)

π31．已知α∈π，sin αtan 2α＝()52

24242424A.B.C．－D．－ 725257

312.＝()cos 10°sin 170°

A．4B．2C．－2D．－4

1π3．已知sin αα∈0，则sin 2α＝()3222 24 24 2A.B．－C.D．－3399

4．若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶7，则△ABC()

A．一定是锐角三角形

B．一定是直角三角形

C．一定是钝角三角形

D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若C＝120°，c，则()

A．a>bB．a

C．a＝bD．a与b的大小关系不能确定

6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝7，b＝5，c＝8，则△ABC的面积等于()

A．10B．10 3

C．20D．20 3

7．在△ABC中，内角A，B，Cb，c，若a6，b＝2，且1＋2cos(B＋C)＝0，则△ABC的BC边上的高等于()

6A.22

6＋23＋1 22

8．已知△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tan C等于()

34A.B.43

43CD．－ 34

29．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若b＝1，c3，C＝π，3

则S△ABC＝________．

3510．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且cos Acos Bb＝3，513C.则c＝________．

11．△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若(2a＋c)·cos B＋b·cos C＝0，则B的值为________．

π

12．在△ABC中，已知内角A＝，边BC＝2 3.设内角B＝x，周长为y，则y＝f(x)的最大值是________．

π

13．已知函数f(x)＝2 3sin xcos x＋2cos2x＋m在区间0，上的最大值为2.3

(1)求常数m的值；

(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)＝1，sin B＝3sin C，△3

ABC的面积为a.AA

π－＋14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f(A)＝2cos 22

AAsin2cos2.22

(1)求函数f(A)的最大值；

5π

(2)若f(A)＝0，C＝a＝6，求b的值．

15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos B5

(1)求cos(A＋C)的值；

π

(2)求sinB的值；

6→→

(3)若BA·BC＝20，求△ABC的面积．

专题限时集训(八)

π343

1．D [解析] 因为α∈，π，sin α＝cos α＝－，tan α＝－.所以tan 2

5542

－32×2tan α424

α22731－tanα1－

4

2．D [解析]

3131

－＝－＝

cos 10°sin 170°cos 10°sin 10°

3sin 10°－cos 10°sin 10°cos 10°

＝

2sin（10°－30°）2sin（－20°）－2sin 20°

4，故选D.1sin 10°cos 10°sin 10°cos 10°°2

π

3．D [解析] ∵α∈(－0)，∴cos α＝sin 2α＝2sin αcos α＝－9

122 1－－3

16k2＋25k2－49k21

4．C [解析] 由正弦定理可设a＝4k，b＝5k，c＝7k，则cos C＝<0，52·4k·5k因此三角形为钝角三角形．

5．C [解析] 因为sin 120°＝3sin A，所以sin A＝，则A＝30°＝B，因此a＝b.249＋25－641

6．B [解析] 因为cos C，sin C72×7×5

＝10 3.314 3＝所以S＝×7×5×49727

π136

7．C [解析] 由1＋2cos(B＋C)＝0得cos A＝sin A，A＝2233

2π5π22ππ2

＝，sin B＝B＝C因此BC边上的高为2×sin C＝2×sin＋＝2(sin B24122466＋221×)＝2222

8．C [解析] 由2S＝(a＋b)2－c2得2S＝a2＋b2＋2ab－c2，即2×absin C＝a2＋b2＋2ab

222a＋b－cabsin C－2absin C2222

－c，则absin C－2ab＝a＋b－c，又因为cos C＝1，所以

2ab2ab2

C2tan

22×2sin CCCCC4

cos C＋1＝，即2cos2＝sin，所以＝2，即tan C＝＝.2222223C1－21－tan

bc119.[解析] 因为b

sin3

ππ2ππ11

＝2，由B是三角形的内角知，B＝，于是A＝π－＝S△ABC＝bcsin A＝×3

663622

13×.24

1435410.[解析] 因为cos A＝cos Bsin A＝，55135

12aba313

sin B＝由正弦定理得＝，即a＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－

13sin Asin B4125

513

16914

2accos B，即9c2－2c，解得c＝(负值舍去)．

2552π

11.[解析] 由正弦定理可将(2a＋c)cos B＋bcos C＝0转化为2sin A·cos B＋sin C·cos

B＋sin Bcos C＝0，即2sin Acos B＋sin(B＋C)＝0，得2sin Acos B＋sin A＝0，又由A为△ABC2π1

内角，可知sin A≠0，则cos B＝－，则B.23

π2π

12．6 3 [解析] △ABC的内角和A＋B＋C＝π，由A＝，B>0，C>0得0

33BC2 3BC2π

用正弦定理知AC＝·sin x＝4sin x，AB＝＝4sinx.因为y＝

sin Asin A3π

sin

3AB＋BC＋AC，所以y＝4sin x＋4sin2π2ππ

＋2 3，即y＝4 3sinx＋＋2 3

3x0

ππππ5ππ



π

13．解：(1)f(x)＝2 3sin x·cos x＋2cos2x＋m＝2sin(2x＋)＋m＋1.6ππ5ππ

因为x∈0，所以2x＋∈，.6663πππ5π

因为函数y＝sin t在区间，上是增函数，在区间，上是减函数，6226

πππππ

所以当2x＋，即x＝时，函数f(x)在区间0，上取到最大值．此时，f(x)max＝f62636＝m＋3＝2，得m＝－1.π

(2)因为f(A)＝1，所以2sin2A＋＝1，6ππ1

即sin2A＋＝，解得A＝0(舍去)或A＝.362abc

因为sin B＝3sin C，＝，所以b＝3c.①

sin Asin Bsin C

π3 33 311

因为△ABC的面积为S△ABCbcsin A＝bcsinbc＝3.②

42234

由①和②解得b＝3，c＝1.π

因为a2＝b2＋c2－2bc·cos A＝32＋12－2×3×1×

所以a＝7.πAAAA

14．解：(1)f(A)＝2cos＋sin2－cos2＝sin A－cos A2sinA.22224ππ3π

因为0

ππ3π

当AA时，f(A)取得最大值，且最大值为2.424ππ

(2)由题意知f(A)＝2sinA＝0，所以sinA＝0.44ππ3πππ

又知－

5π7ππ

因为C＝A＋B＝B＝.12123

π6·sin

3abasin B

由，得ab＝＝＝3.sin Asin Bsin Asin A

15．解：(1)在△ABC中，∵A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.44

∵cos B，∴cos(A＋C)＝cos(π－B)＝－cos B＝－.55

42342(2)在△ABC中，∵cos B＝sin B＝1－cosB1－5

55πππ33143 3＋4

∴sin(B＋＝sin Bcos＋cos Bsin.666522510→→→→

(3)∵BA·BC＝20，即|BA|·|BC|cos B＝20，∴c·a·＝20，即ac＝25.11315

三角函数·恒等变换 篇3

1. [cos23°sin53°-sin23°cos53°]=（ ）

A. [12] B.[-32]

C.[-12] D. [32]

2. 已知[α∈（π2，π），cosα=-45，]则[tan（α+π4）]的值为（ ）

A. [17] B. [7]

C. [-17] D. [-7]

3.[tan20°+tan40°+3tan20°tan40°]=（ ）

A. [-3] B. [3]

C. 3 D. [33]

4. 若[270°<α<360°]，则三角函数式[12+1212+12cos2α]的化简结果为（ ）

A. [sinα2] B. [-sinα2]

C. [cosα2] D. [-cosα2]

5. 若[A]是[△ABC]的内角，当[cosA=725]，则[cosA2=]（ ）

A. [±35] B. [35]

C. [±45] D. [45]

6. 化简[1-sin20°]的结果是（ ）

A. [cos10°] B. [cos10°-sin10°]

C. [sin10°-cos10°] D. [±（cos10°-sin10°）]

7. 设[（2cosx-sinx）（sinx+cosx+3）=0]，则[2cos2x+sin2x1+tanx]的值为（ ）

A. [25] B. [58]

C. [85] D. [52]

8. 已知[cos2x2cos（x+π4）=][15]，[0

A. [-43] B. [-34]

C. [2] D. [-2]

9. 若函数[y=3sin2x+sinx?cosx-32]的图象关于直线[x=φ]对称，则[x=φ]可以为（ ）

A. [π4] B. [π3]

C. [5π12] D. [π2]

10. 设[α，β]都是锐角，且[cosα=55]，[sin（α+β）=35]，则[cosβ]=（ ）

A. [2525] B. [255]

C. [2525]或[255] D. [15]或[2525]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 若[cosα=-45，α]是第三象限的角，则[sin（α-π4）=] .

12. 已知对任意的[α，β]有[cosα+βcosα-β=][cos2β-sin2α]恒成立，则[sin210°+cos70°cos50°]的值等于 .

13. 已知[θ]是三角形的一个内角，且[sinθ]，[cosθ]是关于[x]的方程[2x2+px-1=0]的两根，则[θ]等于 .

14. 若[0<α<π4]，[β]为[fx=cos（2x+π8）]的最小正周期，[a=（tan（α+β4），-1）][b=cosα，2]，且[a?b=m]，则[2cos2α+sin2α+βcosα-sinα=] .

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）已知[cosα=35，cosβ=255]，且[α，β]为锐角，求：

（1）[sin（α-β）]的值；

（2）[tan（2α+β）]的值.

16. （10分）已知向量[a=cosα+2π，1，b=][-2，cosπ2-α]，[α∈π，3π2]，且[a⊥b.]

（1）求[sinα]的值；

（2）求[tan2α+π4]的值.

17. （12分）在平面直角坐标系[xOy]中，以[Ox]轴为始边作两个锐角[α]，[β]，它们的终边分别与单位圆相交于[A，B]两点，已知点[A]的横坐标为[210]，点[B]的纵坐标为[55].

（1）求[tan（α+β）]的值；

（2）求[α+2β]的值.

18. （12分）求证：

（1）[1-sin2α2sinα-π4=sinα-cosα]；

（2）已知[1-tanα2+tanα=1]，求证[3sin2α=-4cos2α].

高考中的三角恒等变换 篇4

一、角的和与差的公式运用

例1 设undefined, 求sin (α+β) 的值。

专家把脉:

变形思路:一角二名三结构

即首先观察角与角之间的关系, 注意角的一些常用变式。

第二看函数名称之间的关系, 通常“切化弦”;

第三观察代数式的结构特点。

针对此题:构造undefined

对症下药:

undefined

undefined

二、公式变形的运用

例2 求证:undefined

专家把脉:

根据所求式子的结构特征及要求, 把已知式子变成公式的形式, 再进行变形的方法叫公式的变形及逆用法。比如对于两角和与差正切公式undefined, 可以变形为undefined, 即显示了两角正切乘积与正切和与差的关系, 若α±β 是特殊角, 可以直接找它们的关系。

对症下药:

undefined

故原等式成立。

三、公式的升幂与降幂

例3 (2004年浙江) 在△ABC中, 角A、B、C所对的边分别为a、b、c, 且undefined。

求undefined的值

专家把脉:

在三角变换中, 为了达到化繁就简的目的, 降幂、升幂是常用的手段, 如:undefined是两个最常见的降幂公式, 如:undefined是常见的升幂公式。

对症下药:

undefined

延伸训练: (2004天津) 已知undefined;

(1) 求tanα的值; (2) 求undefined的值。

四、向量作为载体的运用

例4 (2004福建) 设函数undefined, 其中undefined

(1) 若undefined, 且undefined, 求x ;

专家把脉:

以向量为平台考查平面向量的数量积及三角基本关系式, 考查运算能力和推理能力。这是高考中的一个热点。

对症下药:

解: (1) 依题意, undefined

undefined

五、函数综合的运用

例5 设函数undefined (其中ω>0, a∈R ) , 且f (x) 的图像在y轴右侧的第一个最低点的横坐标为undefined。

(1) 求ω的值

(2) f (x) 在区间undefined上的最小值为undefined, 求a的值。

专家把脉:

以三角函数式的化简为基础的函数综合题是高考题的热点, 每年必考, 一般是中档题, 题型既有选择、填空题, 也有解答题。主要解题方法是充分运用“异角化同角”、“同角三角函数关系”、“诱导公式”及“和、差、倍角”的三角函数公式解决问题。

对症下药:

undefined

依题意undefined

(2) 由 (1) 知undefined

又当undefined时, undefined

故undefined从而f (x) 在undefined上取最小值undefined

因此undefined, 解得undefined

数学史论文三角恒等变换论文 篇5

义

摘 要：数学史对数学教育的积极作用，已经得到国内外的普遍认可，也提出了许多可操作的方法，可以根据不同的教学内容，做出适当的选择。新课改的北师大版高中数学教材中三角恒等变换开始用解析几何的方法推导出三角恒等式，教材安排的非常简练、严密，但是为了更好地帮助学生理解和记忆，可以参考数学史上不同时期的数学家探索三角变换的过程，会对教学提供一些有益的启发。

关键词：数学史；数学教学；三角恒等变换

一、研究的背景

数学是一门高度抽象的学科，不仅数学的概念是抽象的和思辨的，而且数学的思想和方法也是抽象和思辨的（亚历山大洛夫，1988），数学教学不仅要教会学生用数学工具解决问题，更要让学生理解数学中所用到的思想和方法，这是数学的灵魂。

历史上许多大数学家都很重视数学史知识对数学学习所起的积极作用，但真正开始系统地研究他们之间的关系却是在1972年，在第二届国际数学教育大会上，成立了数学史与数学教学关系国际研究小组（international study group on the relations between history and pedagogy of mathematics，简称hpm），该小组成立近30年来，对于如何

将数学史与数学教育作联结，进而对数学教学的改善和数学课程的发展有所帮助，提供数学教师多种可以使用的资源提出了许多建议，受到国界数学教育界的关注。

我国的数学课程改革为我们的hpm研究提供了现实的背景和实践的空间，事实上新课程标准有对数学史知识的要求“数学课程应适当反映数学发展的历史、应用和趋势，„„应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观”，因此，数学史与数学教育的研究应该成为中学数学教师关注并引领实践的重要内容。我国的李俨、钱宝琮、沈康身、汪晓勤、韩祥林几位前辈在数学史的研究过程中著作颇丰，尤其是汪晓琴、韩祥林两位教授在hpm研究方面取得了很多成果。对于怎样在数学教育中融入数学史他们介绍了一种注入历史的教学法——发生教学法（genetic approach to teaching and learning）。该方法需要：（1）数学教师了解所教主题的历史；（2）确定该主题发展的关键步骤；（3）重新构建关键步骤，使之适用于课堂教学；（4）重构步骤按从易到难的系列问题给出，后面的问题建立在前面问题的基础上。（如图1）

二、数学史作用于数学教学的案例

如北师大版高中数学必修4第三章三角恒等变换中的内容，从教材内容来看，主要是两角和与差的正弦、余弦和正切公式以及简单的恒等变换。但是对很多学生来说，三角变

换成了大堆的公式，成了符号和文字的组合，学生对它的理解也是机械的记忆，不利于学生对三角变换的理解。

为了更好地促进学生学习本章的内容，我们可以参照古希腊天文学家托勒密为了制作弦表而提出的托勒密定理：圆内接四边形的对角线乘积等于两对边乘积之和。（如图2）

设abcd是直径为1的圆o的内接四边形，对角线bd为圆的直径，∠abd=α，∠dbc=β，利用托勒密定理即可得和角公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ（证明略），差角公式也可以用类似的证明，但是这个证明的几何推理相对比较繁琐，让学生感觉好像是在学习习近平面几何，有喧宾夺主的感觉，有人参照该证明方法和勾股定理的几何证明给出了如下的几何证明差角公式的方法。（如图3）oa=1，∠aoc=α，∠bod=β，由该图容易证明两角差的余弦公式：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ非常简明直观的给出了和角公式的几何意义，虽然这里的角都是锐角的形式，还没有进行角的推广，如直角、钝角甚至任意角的情况的证明，但是有助于学生运用先前的平面几何的知识迅速的掌握和角公式。而本章后面的公式都可以用类似的方法证明，这里不再赘述。

三、数学史支持数学教学的优势

我们可以将数学史上的类似知识同教材中的内容相互结合，更好地促进教学，让代数与具体的图形连接起来，可

以让代数证明不再是抽象的文字游戏，让代数结论展现在直观的几何图形之上，有助于提升学生的学习动机与抽象公式的具体化。而在数学史上还有大量类似的知识，对教师的数学教学和学生的数学学习提供有力的支持，其中所体现的思想方法对学生也有重要的启发意义。另外，现代的信息技术也可为数学史融入数学教学提供了技术支持，如何在技术的支持下实现数学史融入数学教学效果的最优化，也是一个值得探索的问题。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准：实验［m］．北京：人民教育出版社，2003．

如何学习三角恒等变换 篇6

一、变形成[Asin(ωx+φ)+B]

例1求函数[y=23sinxcosx+2cos2x]的最小正周期．

分析 本题是求三角函数的最小正周期问题．联想与之相关的基础知识——我们会运用公式去求角为[ωx+φ”]的三角函数式的最小正周期，于是希望运用三角恒等变形把该式变形为[y=Asin(ωx+φ)+B]（或[y=Acos(ωx+φ)+B]）的形式．在这一思路引导下，重点观察其结构特点，发现可以用倍角公式及和角公式达到变形目的.

[y=23sinxcosx+2cos2x=3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+π6)+1,]

于是[T=2π2=π.]

例2设[asinx+bcosx=0,Asin2x+Bcos2x=C][(a2+b2≠0)]. 证明：[2abA+(b2-a2)B+(a2+b2)C=0.]

分析 本题要证明的是一个条件等式．已知条件可看成是关于[x]的两个三角方程组成的方程组，理论上可由前式解出[x]后再代入后式得出求证不等式，但[x]不是特殊角，这样做计算量大，显然不可取！若由前式分别求出[sinx]、[cosx]后，再代入后式也可以，但在求解的过程中将会涉及到符号问题，这样处理也会比较麻烦．而如果将[asinx+bcosx]变形为[=a2+b2sin(x+φ)]，则得[x=-φ+kπ(k∈Z)]，然后求出[cos2x]和[sin2x]的值，代入后式即可．

另一方面，如果联想到[sin2x、cos2x]与[tanx]的关系（俗称万能置换公式），可由前式求得[tanx=-ba(a≠0)]（[a=0]时另证），用万能公式求得[sin2x、cos2x]后代入后式也可得证．

对于在[asinx+bcosx=a2+b2sin(x][+φ)]变形中的辅助角[φ]，我们还可以给定它的一般表达方式．

（1）当点[(a,b)∈Ι]（第一象限，下同）时，[φ=arctanba]；

（2）当点[(a,b)∈ΙΙ]时，[φ=π-arctanba]；

（3）当点[(a,b)∈ΙΙΙ]时，[φ=π+arctanba]；

（4）当点[(a,b)∈ΙV]时，[φ=π-arctanba].

二、角的转化

例3计算[cot10∘-4cos10∘]的值．

分析 本题是求具体角的两个三角函数值的差.形式虽然比较简单，但角度不是特殊角，并且其倍、半角也不是特殊角，同时也不能分拆成特殊角的和或差，所以既无法分别求得其值，又不能利用拆分角的方法通过运算（展开、抵消、合并）得出结果. 这种情况下，通常我们需设法将式子中存在的些许信息提炼加工，希望从中分析出“某些特征”与“内在联系”，于是我们想到了切化弦的方法.

[cot10∘-4cos10∘=cos10∘sin10∘-4cos10∘=cos10∘-4cos10∘sin10∘sin10∘]

[=cos10∘-4cos10∘sin10∘sin10∘=cos10∘-2sin20∘sin10∘.]

经过对上式的分析观察，发现式子中出现的两个角度之和恰为特殊角30°，于是我们想到拆角法：20°＝30°－10°，

原式[=cos10∘-2sin(30∘-10∘)sin10∘]

[=cos10∘-2(12cos10∘-32sin10∘)sin10∘=3].

例4设[cos(α-β2)=-19,sin(α2-β)=23,]且[π2<α][<π,][0<β<π2]，求[cos(α+β)]的值.

分析 本题是一道求值题．虽然从理论上说可以从已知的两个等式中解出[α、β]的值，然后代入求值，但实际操作几乎不可能．观察已知角和所求角，可作出[α+β2=(α-β2)-(α2-β)]的配凑角变换，然后利用余弦的差角公式求解．

[∵π2<α<π,0<β<π2]，

[∴π4<α-β2<π,-π4<α2-β<π2].

[∴sin(α-β2)=1-cos2(α-β2)=1-181=459,]

[cos(α2-β)=1-sin2(α2-β)=53.]

[∴cosα+β2=cos[(α-β2)-(α2-β)]]

[=cos(α-β2)cos(α2-β)+sin(α-β2)sin(α2-β)]

[=7527],

故[cos(α+β)=2cos2(α+β)2-1=-239729.]

三、幂的变换

例4化简[sin2α+sin2β+2sinαsinβcos(α+β)]．

分析 这是一道二元三角多项式的化简问题．从式子各项中所含基本三角函数的名称、幂次、角度及其组合关系看式子的结构特点：第三项比前两项角度复杂，组合关系也复杂，而前两项为单角正弦的平方，幂次具有特殊性. 由此可以产生出如下变形方向：从前两项幂次的特殊性入手，先降幂，再把角度朝第三项靠拢.

原式＝[1-12(cos2α+cos2β)+2sinαsinβcos(α+β)]

＝[1-cos(α+β)cos(α-β)+2sinαsinβcos(α+β)]

＝[1-cos(α+β)[cos(α-β)-2sinαsinβ]]

＝[1-cos(α+β)(cosαcosβ-sinαsinβ)]

＝[1-cos2(α+β)=sin2(α+β)].

三角变换中的“升降次”运用其实是很常见的，最典型的操作当数正余弦二倍角公式的灵活运用，[cos2α=1+cos2α2,sin2α=1-cos2α2]是降次，反过来就是升次了．

四、公式的变形应用

例5求值：（1）[tan20∘+tan40∘+3tan20∘tan40∘;]

（2）[cos20∘cos40∘cos60∘cos80∘.]

分析 （1）本题是三角函数式的求值问题. 观察得知[20∘]与[40∘]的和为[60∘]的特殊角，因此可以考虑两角和的正切公式的变形用法：

[tanα+tanβ][=tan(α+β)(1-tanαtanβ)]，

因而可得：

原式[=3(1-tan20∘tan40∘)+3tan20∘tan40∘]

[=3.]

（2）本题是三角函数式的求值问题. 题中[60∘]是特殊角，而[20∘]、[40∘]和[80∘]都不是特殊角，但它们之间存在两倍关系. 可以考虑正弦的二倍角公式的变形用法[cosα=sin2α2sinα]转化的公式形式，利用约分化简达到目的，得：

原式[=12⋅sin40∘2sin20∘⋅sin80∘2sin40∘⋅sin160∘2sin80∘]

[=116⋅sin160∘sin20∘=116.]

推广与延拓1. 其实对于角度之间存在两倍关系的余弦之积的一般形式：

[cosαcos2αcos22α⋯cos2nα]，我们都可以采用相同的办法！

2. 我们其实还可以推导出如下公式：

[4sin60∘-θsinθsin60∘+θ=sin3θ]；

[4cos60∘-θcosθcos60∘+θ=cos3θ].

反过来看就是三倍角公式！

五、和差代换

例6已知[△ABC]的三个内角[A、B、C]满足[A+C][=2B]，且[1cosA+1cosC=-2cosB]，求[cosA-C2]的值.

分析这是一道三角形中的求值题．我们可以对题给式子[1cosA+1cosC=-2cosB]的左边进行变形——通分、积化和差与和差化积，变形为关于([A-C])为整体的式子，然后求解. 但这需要我们对积化和差与和差化积比较熟悉！而我们如果利用推导该公式的过程中的相似方法——和差代换：对于实数[a、A、b,]如果它们满足[a+b=2A，]则可设[a=A－d，][b=A+d.] 许多三角问题，当含有或隐含着上述条件时，利用上述结论来解，往往能减少运算量，简化解题过程，从而提高解题速度，达到水到渠成的效果.

解在[△ABC]中，[A+B+C=π,]又[A+C=2B]，则[B=π3]，[A+C=2π3]，从而已知条件可变为[1cosA+1cosC=-22.] （※）

设[A-C2=x]，即[A-C=2x]，

与[A+C=2π3]联立，得

[A=π3+x]，[C=π3-x]，

代入（※）式并整理，得

[42cos2x+2cosx-32=0,]

于是[cosx=22]，或[cosx=-324.]

而[-π20,]

所以[cosx=22,]

故[cosA-C2=22]．

诚然，三角恒等变形中还会涉及到其它各种方法，在此就不一一举例了. 最后，我们仍然引用教材前言中的观点作为最后的表达——通过对三角变换中所使用的公式的利用，“我们将在怎样预测变换目标，怎么选择变换公式，怎样设计变换途径等方面作出思考，这些都将帮助我们进一步提高推理能力和运算能力．”

巩固练习

1. 求[1+tan7∘+tan8∘-tan7∘tan8∘1-tan7∘-tan8∘-tan7∘tan8∘]的值.

2. 求[tan10∘-3csc40∘]的值．

3. 已知[sinα+sinβ+sinγ=0,][cosα+cosβ+][cosγ=0]，则[cos(β-γ)]的值是．

4. 若[-π2≤x≤π2]，则[f(x)=3sinx+cosx]的取值范围是．

5. [f(x)=cosx+cos(x+π3)]的最小值是.

6. 已知[α、β]均为锐角，[tanα=17,sinβ=1010]，求[α+2β]的值．

7. 已知[sinθ+cosθ=15(θ∈(0，π))]，求[cotA]的值．（要求用和差代换法）

8. 已知函数[f(x)=5sinxcosx-53cos2x+][523]（其中[x∈R]）.

（1）求函数[f(x)]的最小正周期；

（2）求函数[f(x)]的单调区间；

（3）求函数[f(x)]图象的对称轴和对称中心．

参考答案

1. [3]2. -13. [-12]4. [[-3，2]]

5. [-3]6. [π4]7. [-34]

8. （1）[π]

（2）函数的单调递增区间为[kπ-π12，kπ+5π12][(k∈Z)]，函数的单调递减区间为[kπ+5π12，kπ+11π12][(k∈Z)]

（3）对称轴方程为[x=kπ2+5π12(k∈Z)]

三角恒等变换易错题剖析 篇7

1. 变异为同，意识不强

例1已知[f(tanx)=1+sin2x]，则[f(cos600)]= ．

错解[tanx=cos600=12]，[∴x=300]，

故[f(cos600)=1+sin2300=54].

分析本题考查函数解析式及函数值的求解，求[f(x)]的解析式是一大难点,本题需要用换元法求解析式. 错误的原因首先是特殊角的三角函数值没有记准，其次考虑问题不到位，因为题目同时出现了[tanx,sinx,1]等信息，肯定要用“切割化弦”、“1”的代换等将问题简化.

正解 [f(tanx)=1+sin2x=2sin2x+cos2xsin2x+cos2x]

[=2tan2x+1tan2x+1]．

[∴]令[t=tanx]，则[f(t)=2t2+1t2+1]，

故[f(cos600)=f(12)=65]．

2．未知化已知，衔接不当

例2已知[sin(x+π6)=14]，则[sin(5π6-x)+][sin2(π3-x)]=．

错解 [∵sin(x+π6)=sinxcosπ6+cosxsinπ6]

[=32sinx+12cosx=14]，

又[∵][sin2x+cos2x=1]，

解方程组，得[sinx=3-158]，[cosx=1+358.]

再将原式展开，把[sinx、cosx]的值代入. （同学们往往做到这里，就做不下去了）

分析上述解法是用常规思路求值，计算过程比较麻烦，计算量大. 本题只须先找准所求式子中的角与已知角的关系，即[5π6-x=π-(x+π6)]，[π3-x=π2-(x+π6)]，再利用诱导公式转化为求已知角的余弦值，采用整体代入思想即可.

正解 [∵][sin(x+π6)=14]，则原式可整理如下：

[sin(5π6-x)+sin2(π3-x)=sin[π-(x+π6)]+sin2[π2-(x+π6)]=sinx+π6+cos2(x+π6)=14+(1-116)=1916.]

3．定义域优先原则，容易忽视

例3分别求函数[f(x)=1-cosx+sinx1+cosx+sinx]的奇偶性和周期.

错解 [f(x)=1-(1-2sin2x2)+2sinx2cosx21+(2cos2x2-1)+2sinx2cosx2]

[=2sinx2(sinx2+cosx2)2cosx2(sinx2+cosx2)=tanx2.]

又[∵][f(-x)=tan(-x2)=-tanx2]，

[∴][f(x)]是奇函数．

又[∵][T=π12=2π]， 故[f(x)]的周期是[2π].

分析利用公式将[f(x)]化简，是本题的突破口，得到的结果是[f(x)=tanx2]. 但在求奇偶性时，忽略了定义域优先的原则，要使函数有意义，[1+cosx+][sinx≠0]，即须满足[{xx≠2kπ-π2]且[x≠2kπ-π,][k∈Z}]，此定义域不关于原点对称，从而[f(x)]是非奇非偶函数.而[f(x)]的周期性需要根据图象来判断.

正解：要使函数有意义，则有[1+cosx+sinx≠0,]

故[x≠2kπ-π2且x≠2kπ-π]，[k∈Z,]

即[f(x)]的定义域是[{xx≠2kπ-π2且x≠2kπ-π,][k∈Z}]，不关于原点对称，

故[f(x)]是非奇非偶函数．

[又f(x)=1-(1-2sin2x2)+2sinx2cosx21+(2cos2x2-1)+2sinx2cosx2=2sinx2(sinx2+cosx2)2cosx2(sinx2+cosx2)=tanx2,]

由其图象特征知，[f(x)]是周期函数，

且[T=π12=2π]．

说明此题若指出函数的定义域为[(-π2,π2)]，则此函数即是奇函数.

4．产生增根，不易排除

例4设[α]是第四象限的角，若[sin3αsinα=135]，则[tan2α]=．

错解 [sin3αsinα=sin(2α+α)sinα=3sinα-4sin3αsinα=135,]

[∴][sinα(10sin2α-1)=0].

又[α]是第四象限的角，

故[sinα=-1010]，[cosα=31010]，

[∴][sin2α=-35].

[∵4kπ+3π<2α<4kπ+4π]，

故[2α]可能在第三、四象限，[cos2α=±45]，

[∴tan2α=±34]．

分析例题利用拆项[3α=2α+α]，所求问题得以求解. 但是[sinα=-1010]，[cosα=31010]时，[cos2α=][cos2α-sin2α=45]，并不是有两个值. [2α]可能在第三、四象限，求[2α]的余弦值可以避开错误,所以灵活选用公式很重要.

正解由[sin3αsinα=135]，

[∴sin2αcosα+cos2αsinαsinα=135]．

[∵2cos2α+cos2α=135]，

[∴1+2cos2α=135,∴cos2α=45]．

[∵4kπ+3π<2α<4kπ+4π]，故[2α]可能在第三、四象限．

[∴sin2α=-35] ，[∴tan2α=-34]．

5. 考虑不周，范围扩大

例5已知[sinαcosβ=34]，求[cosαsinβ]的范围.

错解 [sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ]

[=34+cosαsinβ]．

由[-1≤sin(α+β)≤1]，

得[-1≤34+cosαsinβ≤1]，

故[-74≤cosαsinβ≤14]．

分析本题看似简单但很容易出错，错解选用公式正确，但考虑欠周.题目同时出现了[sinαcosβ,][cosαsinβ]，暗示我们用[sin(α+β),sin(α-β)]. 但由于使用部分公式就可以很快得出结论，我们很容易放松警惕而考虑不全面.

正解：（前面同上）

又[∵sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ]

[=34-cosαsinβ]，

由[-1≤sin(α-β)≤1]，得

[-14≤cosαsinβ≤74]，