三角恒等变形

三角恒等变形（精选8篇）

三角恒等变形 篇1

对于三角恒等变形, 公式繁多, 技巧性强, 如能掌握恒等变换的常见解题方法与技巧, 学习起来并不困难.下面介绍三角恒等变换的几种常见解题技巧.

1.切弦互化

在三角恒等变形中, 当三角函数的种类比较多时, 常常把正切化为正弦、余弦, 这有利于沟通等式两边或条件与结论之间的联系.辩证的, 有时也将正弦、余弦化为正切来进行恒等变形.

例1 求证:$\frac{\cos {}^2\alpha }{\frac{1}{\tan \frac{\alpha }{2}}-\tan \frac{\alpha }{2}}=\frac{1}{4}\sin 2\alpha .$

分析 等式左边有正切函数和余弦函数, 而等式右边只有正弦, 故可以采用切化弦来化简等式左边.

解 左边$=\frac{\cos {}^2\alpha }{\frac{\cos \frac{\alpha }{2}}{\sin \frac{\alpha }{2}}-\frac{\sin \frac{\alpha }{2}}{\cos \frac{\alpha }{2}}}=\frac{\cos {}^2\alpha }{\frac{\cos {}^2\frac{\alpha }{2}-\sin {}^2\frac{\alpha }{2}}{\sin \frac{\alpha }{2}\cdot \cos \frac{\alpha }{2}}}=\frac{\cos {}^2\alpha }{\frac{2\cos \alpha }{\sin \alpha }}=\frac{1}{2}\sin \alpha \cdot \cos \alpha ‚$

右边$=\frac{1}{4}\times 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha =\frac{1}{2}\sin \alpha \cdot \cos \alpha$,

即左边=右边, 所以原等式成立.

评注 要实现切化弦, 除了利用同角商数关系外, 还可以利用半角公式$\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }=\frac{1-\cos \alpha }{\sin \alpha }$来化简.

2.化 角

将题中的倍角、半角、和 (差) 角化为单角, 或者确定某一种角作为基本量, 将其他形式的角化为这种形式的角, 从而使问题得以解决.

例2 已知$\cos \left(\frac{\text{π}}{4}+x\right)=\frac{3}{5}$, 求sin2x的值.

分析 本题不能直接求出角2x, 故需要凑角, 即$\frac{\text{π}}{2}+2x=2\times \left(\frac{\text{π}}{4}+x\right)$, 利用二倍角公式求出$\cos \left(\frac{\text{π}}{2}+2x\right)$, 再利用诱导公式求出sin2x即可.

$\begin{array}{l}\text{解}\because \cos \left(\frac{\text{π}}{2}+2x\right)=2\cos {}^2\left(\frac{\text{π}}{4}+x\right)-1\\ =2\times \left(\frac{3}{5}\right){}^2-1=-\frac{7}{25}‚\\ \therefore \sin 2x=-\cos \left(\frac{\text{π}}{2}+2x\right)=\frac{7}{25}.\end{array}$

评注 解三角函数问题, 变角是一种常用手段.常用方法有:将所求角拆 (合) 成已知角、特殊角.如2α= (α-β) + (α+β) , 或与已知角有互余、互补关系的角.又如所求角为2x, 已知角$\frac{\text{π}}{4}+x$的2倍为$\frac{\text{π}}{2}+2x$, 由诱导公式得$\sin 2x=$

.

3.幂的升降

在三角恒等变形中, 常根据三角式的次数的差异, 运用公式$\sin {}^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}‚\cos {}^2\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}$进行幂的升降.

例3 求sin220°+cos250°+sin20°·cos50°的值.

分析 前两项降幂, 后一项利用积化和差公式, 这样可以出现特殊角, 便于求值.

$\begin{array}{l}\text{解}\text{原}\text{式}=\frac{1-\cos 40°}{2}+\frac{1+\cos 100°}{2}+\\ \frac{1}{2}[\sin 70°+\sin (-30°)]\\ =\frac{3}{4}+\frac{1}{2}(\cos 100°-\cos 40°)+\frac{1}{2}\sin 70°\\ =\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\times (-2)\sin 70°\cdot \sin 30°+\frac{1}{2}\sin 70°\\ =\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\times \sin 70°+\frac{1}{2}\sin 70°=\frac{3}{4}.\end{array}$

评注 这里还可以先把第一项降幂, 后两项的公因子cos50°提出来, 再作化简也可以出现特殊角.

4.“1”的妙用

在三角恒等变形中, 巧妙地进行1的代换常能起到化难为易、化隐为显的作用.

例4 已知$\tan \theta =\frac{1}{2}$, 求$\frac{\sin \theta \cdot \cos \theta -1}{2-\sin {}^2\theta }$的值.

分析 利用“1=sin2θ+cos2θ”, 可以将待求式变为sinθ, cosθ的二次齐次式, 将该式同除以cos2θ后, 可变为关于tanθ的分式.

解 ∵sin2θ+cos2θ=1,

$\begin{array}{l}\therefore \text{原}\text{式}=\frac{\sin \theta \cdot \cos \theta -\sin {}^2\theta -\cos {}^2\theta }{2\sin {}^2\theta +2\cos {}^2\theta -\sin {}^2\theta }\\ =\frac{\sin \theta \cdot \cos \theta -\sin {}^2\theta -\cos {}^2\theta }{\sin {}^2\theta +2\cos {}^2\theta }\\ =\frac{\tan \theta -\tan {}^2\theta -1}{\tan {}^2\theta +2}(\text{分}\text{子}\text{分}\text{母}\text{同}\text{除}\text{以}\cos {}^2\theta ).\end{array}$

$\because \tan \theta =\frac{1}{2}‚\therefore$上式$=\frac{\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{2}\right){}^2-1}{\left(\frac{1}{2}\right){}^2+2}=-\frac{1}{3}.$

评注 当分子分母都是关于sinθ, cosθ的齐次式或可化为齐次式时, 可把原式化为只含有tanθ的表达式, 然后可求其值.

以上是三角恒等变形中几种常见的解题方法与技巧, 如能熟练掌握, 可使问题解决起来更具有方向性, 更易于解决实际问题.

三角函数·恒等变换 篇2

1. [cos23°sin53°-sin23°cos53°]=（ ）

A. [12] B.[-32]

C.[-12] D. [32]

2. 已知[α∈（π2，π），cosα=-45，]则[tan（α+π4）]的值为（ ）

A. [17] B. [7]

C. [-17] D. [-7]

3.[tan20°+tan40°+3tan20°tan40°]=（ ）

A. [-3] B. [3]

C. 3 D. [33]

4. 若[270°<α<360°]，则三角函数式[12+1212+12cos2α]的化简结果为（ ）

A. [sinα2] B. [-sinα2]

C. [cosα2] D. [-cosα2]

5. 若[A]是[△ABC]的内角，当[cosA=725]，则[cosA2=]（ ）

A. [±35] B. [35]

C. [±45] D. [45]

6. 化简[1-sin20°]的结果是（ ）

A. [cos10°] B. [cos10°-sin10°]

C. [sin10°-cos10°] D. [±（cos10°-sin10°）]

7. 设[（2cosx-sinx）（sinx+cosx+3）=0]，则[2cos2x+sin2x1+tanx]的值为（ ）

A. [25] B. [58]

C. [85] D. [52]

8. 已知[cos2x2cos（x+π4）=][15]，[0

A. [-43] B. [-34]

C. [2] D. [-2]

9. 若函数[y=3sin2x+sinx?cosx-32]的图象关于直线[x=φ]对称，则[x=φ]可以为（ ）

A. [π4] B. [π3]

C. [5π12] D. [π2]

10. 设[α，β]都是锐角，且[cosα=55]，[sin（α+β）=35]，则[cosβ]=（ ）

A. [2525] B. [255]

C. [2525]或[255] D. [15]或[2525]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 若[cosα=-45，α]是第三象限的角，则[sin（α-π4）=] .

12. 已知对任意的[α，β]有[cosα+βcosα-β=][cos2β-sin2α]恒成立，则[sin210°+cos70°cos50°]的值等于 .

13. 已知[θ]是三角形的一个内角，且[sinθ]，[cosθ]是关于[x]的方程[2x2+px-1=0]的两根，则[θ]等于 .

14. 若[0<α<π4]，[β]为[fx=cos（2x+π8）]的最小正周期，[a=（tan（α+β4），-1）][b=cosα，2]，且[a?b=m]，则[2cos2α+sin2α+βcosα-sinα=] .

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）已知[cosα=35，cosβ=255]，且[α，β]为锐角，求：

（1）[sin（α-β）]的值；

（2）[tan（2α+β）]的值.

16. （10分）已知向量[a=cosα+2π，1，b=][-2，cosπ2-α]，[α∈π，3π2]，且[a⊥b.]

（1）求[sinα]的值；

（2）求[tan2α+π4]的值.

17. （12分）在平面直角坐标系[xOy]中，以[Ox]轴为始边作两个锐角[α]，[β]，它们的终边分别与单位圆相交于[A，B]两点，已知点[A]的横坐标为[210]，点[B]的纵坐标为[55].

（1）求[tan（α+β）]的值；

（2）求[α+2β]的值.

18. （12分）求证：

（1）[1-sin2α2sinα-π4=sinα-cosα]；

（2）已知[1-tanα2+tanα=1]，求证[3sin2α=-4cos2α].

三角恒等变形 篇3

关键词：三角函数,易错,成因分析

三角函数恒等变形是三角函数的重要内容, 它的学习情况决定了学生对三角函数知识的掌握程度。对高中生来说, 这部分内容虽然公式多, 但规律性较强, 掌握起来较容易。但在利用三角函数恒等变形知识解决问题时, 学生容易出现答案不完整等错误。本文主要对三角函数恒等变形中几种常见错误成因进行分析, 以提高学生学习效率。

一、忽视换元前后命题的等价性

换元法是解决复合函数以及某些方程问题的有效方法, 运用得当则能够极大地提高学生解决问题的能力。但是, 在三角函数的恒等变形中, 经常会出现忽视换元前后命题的等价性的错误情况。因此, 运用换元法解题时必须注意换元前后命题的等价性。

例1:已知方程cos2x+2sinx+2k-3=0在[0, 2π]内恰有两个实根, 求实数k的取值范围。

【错解】原方程可化为sin2x-sinx+1-k=0. (1) 要使方程 (1) 在[0, 2π]内恰有两个解, 令t=sinx, 则原方程化为t2-t+1-k=0. (2) 令△=1-4 (1-k) >0, 得k>, 所以所求k的取值范围为 (+∞) .

通过换元法, 把原方程转化为关于t的二次方程, 其方向正确, 但把方程 (1) 在[0, 2π]的两解问题, 转化为方程 (2) 的两解的问题, 这一过程并非等价, 其一是忽视了定义域的限制, 其二是忽视了方程sinx=t, -1≤t≤1解的多值性。

【正解】令t=sinx, 得f (t) =t2-t+1-k=0. (2) 由于f (t) 是开口向上, 对称轴t=的抛物线, 所以要使得原方程在[0, 2π]内恰有两个解, 须且只须方程 (2) 在 (-1, 0) ∪ (0, 1) 上有且只有一个实根。所以, 只须或△=0, 解得1

二、忽视定义域的改变而导致错误

三角函数问题中的给值求角问题, 必须关注已知角的取值范围和所求角的取值范围, 角的范围的扩大或缩小, 均可能导致解题失误。

例2:已知求f (x) 的最小正周期.福建莆田●刘明珠

【错解】原函数化简, 得f (x) =sin4x, 因此

研究复杂函数的周期性与单调性等问题, 首先需对所给函数进行必要化简, 但在化简过程中, 应关注函数的定义域是否发生改变。

【正解】原函数化简得f (x) =sin4x, 其中x≠, k缀Z, 所以T=π.

三、忽视角的关系导致失误

例3:已知, 求sinα的值.

学生容易及sin2α+cos2α=1, 通过解方程组得, 但其计算量过大, 容易出错。究其原因, 是对三角恒等变换公式的本质理解不透彻。三角函数的恒等变换过程的选择, 首先应考察角的和差倍半关系, 再考察其他特点。

四、忽视三角函数的有界性导致失误

例4:已知sinaαcosβ=, 求cosαsinβ的取值范围。

【错解】因为sin (α+β) =sinαcosβ+cosαsinβ=43+cosαsinβ, 结合-1荞sin (α+β) 荞1, 得-1荞43+cosαsinβ荞1, 所以-47荞cosαsinβ荞41.

实际上, , 因此所确定的范围是错误的, 原因是考虑问题不周到。题目中同时出现sinαcosβ和cosαcosβ, 学生易想到从考察sin (α+β) 和sin (α-β) 的关系入手, 但由于只使用部分公式已得出结论, 导致学生放松警惕而失误。

【正解】由以上分析可得, 同理由sin (α-β) =sinαcosβ-cosαsinβ, 可得.综上, cosαsinβ的取值范围是

五、忽视角的取值范围的作用而导致失误

例5:已知tanα=m, 其中m≠0, α, 求sinα的值.

通过同角关系, 消去cosα, 得到sinα的方程, 进而解方程回答问题, 其思路是正确的。但由于条件α不能确定sinα的符号, 但能确定cosα<0, 因此, 应根据角的范围选择公式和解题途径。

【正解】由tanα=m, 得sinα=mcosα, 代入sin2α+cos2α=1, 得cos2α=又因为α, 所以cosα=, 从而sinα=tanαcosα=

三角函数的恒等变形是三角函数的重要组成部分。由于三角函数的丰富性质, 以及运用公式进行恒等变形容易导致定义域发生变化, 所以导致解题失误。在三角函数的恒等变形中, 要做到真正恒等, 即保证变换前后的值的意义和范围都是一致的, 同时还需考虑公式的选择使用, 分析特殊情况, 做到化简为易。这要求学生深入探讨三角函数中的易错点、科学的思维方向, 切实提高自身数学学习能力。

参考文献

[1]李保炎.三角函数错解分析[J].中学数学, 2012 (1) .

“三角恒等变换”问题探析 篇4

变角优先，这是三角变换的基本原则.

但我还是意犹未尽：探索角之间的关系，是一般的方法，还是巧合？解题时我们能否容易想到？我们回头再思考上述解法考虑所求的角与它的关系吗？既如此，可以用换元的方法进行更为简捷的表述：对你来说可能是小菜一碟了，化归，举重若轻；转化，多么有力！

我的感言是：已知和（差）角的三角函数，一般不要轻易展开，要考虑角的变换，用换元的方法，将问题转化为容易解决的问题.贸然展开，将像潘多拉的盒子，会有一些令人讨厌的“捣蛋鬼”出现.

观察所证等式的特点.记住，观察代数式的要素组成与结构特征，任何时候都是非常重要的！母要变化为“只含”cos2B的式子.怎么变？这么简单的问题，我就不多哕嗦了.

可否从条件出发呢？那就要更加关注条件与所证结论之间的差异，

变角优先，我们还是看角的差异：条件中的角是A，B，所证结论中的角是A-B，B.故“变角”的大方向是消A，留B，出现A-B.根据条件特点，我们可以一步到位：A=（A—B）+B.即把条件改写为2tan[（A-B）+B]=3tan B，展开可得，

注意，等式中只含有角A，A-B了，达到了变角的目标.

下面该怎么变化呢？还是要抬头看路，结论的形式是怎样的？tan（A-B）用含角B的三角函数式来表示.上式能达到这一目标吗？把tan（A-B）看作一个未知数，对了，解关于tan（A-B）的方程……我建议你亲自试下去吧，一定会有成功的喜悦，意外发现的惊喜.

三角恒等变换的“八遇八想” 篇5

一、遇切 (割) 想到与弦的互化

1. 切 (割) 化弦

在同一问题中, 既有正 (余) 弦函数又有正 (余) 切、正 (余) 割函数, 常用切 (割) 化弦的方法, 统一成正 (余) 弦函数来解决.

例1 (四川卷) (tanx+cotx) cos2x等于 ()

2. 弦化切 (割)

有时根据题目的实际需要, 要将正 (余) 弦函数化为正 (余) 切、正 (余) 割函数, 这样有利于问题的解决.

说明:例1与例2主要考查同角三角函数的基本关系式, 三角恒等式及齐次式的化简, 注意三角代换常用整体考虑的方法求解.

二、遇复角想到角的变化

在解决三角变换问题时, 一定要注意已知角与所求角之间的关系, 恰当地运用拆角, 拼角技巧, 如等.

说明已知某些角的三角函数值求另外一些角的三角函数值, 应认真分析已知式中角与未知式中角的关系, 避免盲目处理, 要认真考虑角的整体运用.

三、遇高次想到降次

例4 (重庆卷) 设函数f (x) = (sinωx+cosωx) 2+2cos2ωx (ω>0) 的最小正周期为, 求ω的值.

说明:本题主要考查三角函数的图象和性质等基础知识, 要求学生熟记有关三角公式, 能够运用公式进行灵活变形.

四、遇多元想到消元

对于三角变换的多元问题, 不少题目的结论往往比条件少一些元, 这时尽量将多元向单元 (或二元) 转化, 防止多元变量对我们解题的干扰.

说明:对于已知sinα±sinβ=m, cosa±cosβ=n, 其中m、n为常数, 求α±β的三角函数, 常用平方相加的方法来解决.

五、遇异名函数想到化为同名函数

在三角函数的化简、求值、证明中, 常常要对条件和结论进行合理变换, 转化沟通和求关系, 一般可以从变化函数名称入手, 尽量将异名函数化为同名函数.

说明:本题运用二倍角公式, 诱导公式等将异名三角函数化为同名三角函数, 将非统一的问题转化为统一的问题来解答.

六、遇一般 (角) 想到特殊 (角)

在三角函数的问题中, 所给出的角都是非特殊角, 但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的联系, 通过对角和函数名称合理转化为特殊角来解答.

说明:该题中注意到10°, 20°与特殊角30°的关系, 30°-20°=10°, 考虑利用拆分角的方法求解.

七、遇“1”想到恒等式的运用

说明:这里对1的代换很灵活, 分子部分的1用tan45°代换, 而分母部分的1并没有代换, 为使用公式的方便, 将系数1用tan45°代换, 可巧妙地化简.

八、遇特殊结构想到构造法

在解题中利用已知条件和数学知识, 通过观察, 联想, 构造出满足条件的数学对象, 使问题转化, 巧妙地获得解决.

由高考谈三角恒等变换及应用 篇6

(1) 常用方法:

①直接应用公式进行降次、消项;②切割化弦, 齐次弦化切, 异名化同名, 异角化同角;③三角公式的逆用;④常数的变换等.

(2) 化简要求:

①能求出值的应求出值;②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数.

例1 (1995年全国理) 求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值.

undefined

例2 化简:

undefined

分析 若注意到化简式是开平方根, 2α是α的二倍, α是undefined的二倍以及其范围, 不难找到解题的突破口.

undefined

undefined

点评 在二倍角公式中, 两个角的倍数关系, 不仅限于2α是α的二倍, 要熟悉多种形式的两个角的倍数关系, 同时还要注意undefined三个角的内在联系和作用, undefined是常用的三角变换.

二、三角函数的求值类型有三类

(1) 给角求值:

一般所给出的角都是非特殊角, 要观察所给角与特殊角间的关系, 利用三角变换消去非特殊角, 转化为求特殊角的三角函数值问题.

(2) 给值求值:

给出某些角的三角函数式的值, 求另外一些角的三角函数值, 解题的关键在于“变角”, 把所求角用含已知角的式子表示, 求解时要注意角的范围的讨论.

(3) 给值求角:

实质上转化为“给值求值”问题, 由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角.

三、三角等式的证明

(1) 三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征, 通过三角恒等变换, 应用化繁为简、左右同一等方法, 使等式两端化“异”为“同”.

(2) 三角条件等式的证题思路是通过观察, 发现已知条件和待证等式间的关系, 采用代入法、消参法或分析法进行证明.

例3 已知tanα, tanβ是方程x2-5x+6=0的两个实根, 求2sin2 (α+β) -3sin (α+β) cos (α+β) +cos2 (α+β) 的值.

分析 由韦达定理可得到tanα+tanβ及tanα·tanβ的值, 进而可以求出tan (α+β) 的值, 再将所求值的三角函数式用tan (α+β) 表示便可知其值.

undefined

于是有undefined,

undefined

点评 好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构, 从而寻找解答本题的知识“最近发展区”.

参考文献

[1]数学课程标准[S].北京:人民教育出版社, 2003.

三角恒等变形 篇7

一、角的和与差的公式运用

例1 设undefined, 求sin (α+β) 的值。

专家把脉:

变形思路:一角二名三结构

即首先观察角与角之间的关系, 注意角的一些常用变式。

第二看函数名称之间的关系, 通常“切化弦”;

第三观察代数式的结构特点。

针对此题:构造undefined

对症下药:

undefined

undefined

二、公式变形的运用

例2 求证:undefined

专家把脉:

根据所求式子的结构特征及要求, 把已知式子变成公式的形式, 再进行变形的方法叫公式的变形及逆用法。比如对于两角和与差正切公式undefined, 可以变形为undefined, 即显示了两角正切乘积与正切和与差的关系, 若α±β 是特殊角, 可以直接找它们的关系。

对症下药:

undefined

故原等式成立。

三、公式的升幂与降幂

例3 (2004年浙江) 在△ABC中, 角A、B、C所对的边分别为a、b、c, 且undefined。

求undefined的值

专家把脉:

在三角变换中, 为了达到化繁就简的目的, 降幂、升幂是常用的手段, 如:undefined是两个最常见的降幂公式, 如:undefined是常见的升幂公式。

对症下药:

undefined

延伸训练: (2004天津) 已知undefined;

(1) 求tanα的值; (2) 求undefined的值。

四、向量作为载体的运用

例4 (2004福建) 设函数undefined, 其中undefined

(1) 若undefined, 且undefined, 求x ;

专家把脉:

以向量为平台考查平面向量的数量积及三角基本关系式, 考查运算能力和推理能力。这是高考中的一个热点。

对症下药:

解: (1) 依题意, undefined

undefined

五、函数综合的运用

例5 设函数undefined (其中ω>0, a∈R ) , 且f (x) 的图像在y轴右侧的第一个最低点的横坐标为undefined。

(1) 求ω的值

(2) f (x) 在区间undefined上的最小值为undefined, 求a的值。

专家把脉:

以三角函数式的化简为基础的函数综合题是高考题的热点, 每年必考, 一般是中档题, 题型既有选择、填空题, 也有解答题。主要解题方法是充分运用“异角化同角”、“同角三角函数关系”、“诱导公式”及“和、差、倍角”的三角函数公式解决问题。

对症下药:

undefined

依题意undefined

(2) 由 (1) 知undefined

又当undefined时, undefined

故undefined从而f (x) 在undefined上取最小值undefined

因此undefined, 解得undefined

三角恒等变换创新题剖析 篇8

一、信息迁移型

信息迁移题指的是不便于直接运用所学数学知识解决问题，而需要从所给材料中获取信息，并用于新问题解决的一类问题.这一类问题，往往出现在一个较新的背景之下，题型新颖，形式多样，融综合性、应用性、开放性、创新性于一体.信息迁移型题可分为定义信息型、图表信息型、图形图象信息型等.

例1（2014·福建模拟）定义一种运算S=ab，在框图所表达的算法中揭示了这种运算“”的含义.那么，按照运算“”的含义，计算tan15°tan30°+tan30°tan15°=.

分析：先由tan45°=tan（15°+30°），利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正切函数公式化简，整理后得到tan15°+tan30°=1-tan15°tan30°，然后根据题中的选择结构将所求式子的新定义运算转化为普通运算，整理后将tan15°+tan30°=1-tan15°tan30°代入，即可求出值.

解析：∵tan45°=tan（15°+30°）=tan15°+tan30°1-tan15°·tan30°=1，∴tan15°+tan30°=1-tan15°tan30°，

根据题意得：tan15°tan30°+tan30°tan15°

=tan15°tan30°+tan15°+tan30°

=tan15°tan30°+1-tan15°tan30°

=1.故答案为：1

点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，利用了整体代入的思想，属于新定义的题型，理解本题的选择结构是解本题的关键.

例2常数e=2.71828…，定义函数f（x）=ex-e-x2为双曲正弦函数，记为sinhx，定义函数g（x）=ex+e-x2为双曲余弦函数，记为coshx.则以下三个命题正确的是.（只需填正确命题序号）.

（1）cosh（x+y）=coshx·coshy-sinhx·sinhy；

（2）sinh（x+y）=sinhx·coshy+coshx·sinhy；

（3）（sinhx）2-（coshx）2=1.

分析：根据题中的新定义分别表示出题目所求式子，利用同底数幂的乘法法则及多项式的乘法则即可作出判断.

解析：（1）cosh（x+y）=ex+y+e-（x+y）2，

coshx·coshy-sinhx·sinhy=ex+e-x2·ey+e-y2-ex-e-x2·ey-e-y2=ex-y+ey-x2，

∴cosh（x+y）≠coshx·coshy-sinhx·sinhy，故本选项错误；

（2）sinh（x+y）=ex+y-e-（y+x）2，

sinhx·coshy+coshx·sinhy=ex-e-x2·ey+e-y2+ex+e-x2·ey-e-y2=ex+y-e-（y+x）2，故本选项正确；

（3）（sinhx）2-（coshx）2=（ex-e-x2）2-（ex+e-x2）2=-1≠1，

故本选项错误，则三个命题正确的是（2）.故答案为：（2）

点评：此题考查了新定义的理解，解答此类题要切实对题中的新定义加以正确的理解，这样才能对新定义下的运算熟练运用，注意新定义下对普通运算不一定成立，比如本题（1）对于两角和与差的余弦函数公式不成立，灵活运用题中的新定义是解本题的关键.

二、入手基础，深挖概念内涵

例3如图，直线与圆x2+y2=1分别在第一和第二象限内交于P1，P2两点，若点P1的横坐标为35，∠P1OP2=π3，则点P2的横坐标为.

分析：利用圆的方程与点P1的横坐标，求出∠xOP1的正弦值与余弦值，通过两角和的三角函数公式求出P2的横坐标即可.

解析：因为直线与圆x2+y2=1分别在第一和第二象限内交于P1，P2两点，若点P1的横坐标为35，所以cos∠xOP1=35，sin∠xOP1=45，又∠P1OP2=π3，

所以cos（∠xOP1+π3）=cos∠xOP1cosπ3-sin∠xOP1sinπ3

=35×12-45×32

=3-4310.

所以P2的横坐标为：3-4310.

故答案为：3-4310.

点评：本题考查任意角的三角函数的定义，两角和与差的余弦函数公式，考查计算能力.

三、综合交汇

高考三角函数的考题在高考中常考常新，是既考知识又考能力的好题型，在高考备考中有较高的训练价值，同时这类问题在高考中频频出现，是历年高考试题中不容忽视的一个考点.

例4已知m=（2sinx，2cosx），n=（3cosx，cosx），f（x）=m·n-1.

（1）求函数y=f（x）的最小正周期和单调递增区间；

（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的13，把所得到的图象再向右平移π12单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[0，π12]上的最大值.

分析：利用两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用函数的性质求解.

解析：（1）因为f（x）=23sinx·cosx+2cos2x-1=3sin2x+cos2x=2sin（2x+π6），∴函数f（x）的最小正周期为T=π.又由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2（k∈Z），可得kπ-π3≤x≤kπ+π6（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为每一个[kπ-π3，kπ+π6]（k∈Z）.

（2）根据条件得g（x）=2sin[6（x-π12）+π6]=2sin（6x-π3），当x∈[0，π12]时，6x-π3∈[-π3，π6]，-32≤sin（6x-π3）≤12，所以当x=π12时，g（x）max=1.

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性的求法，正弦函数的单调性、定义域和值域，函数y=Asin（ωx+θ）的图象变换规律，属于中档题.

四、探索性问题

给出了题目的结论，但没有给出满足结论的条件，并且这类条件常常是不唯一的，一般是从结论出发去判断，并通过推理予以确认.

例5已知函数f（x）=sin（2x+θ）+3cos（2x+θ）（x∈R）满足2014f（-x）=12014f（x），且f（x）在[0，π4]上是减函数，则θ的一个可能值是.

分析：利用三角恒等变换可求得f（x）=2sin（2x+θ+π3），2014f（-x）=12014f（x）f（-x）=-f（x），于是可得θ=kπ-π3（k∈Z），再由f（x）在[0，π4]上是减函数，即可求得答案.

解析：∵f（x）=sin（2x+θ）+3cos（2x+θ）=2sin（2x+θ+π3），又2014f（-x）=12014f（x），∴f（-x）=-f（x），∴f（x）=2sin（2x+θ+π3）为奇函数，∴θ+π3=kπ（k∈Z），∴θ=kπ-π3（k∈Z）.又f（x）在[0，π4]上是减函数，∴k为奇数，当k=1时，θ=π-π3=2π3，符合题意.本题答案不唯一.

点评：本题考查两角和与差的正弦函数公式，着重考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于中档题.endprint

以三角函数为背景的创新题，试题情境新颖、构思精巧、解法灵活，显示了数学的活力和魅力.下面剖析这类三角函数问题的创新题.

一、信息迁移型

信息迁移题指的是不便于直接运用所学数学知识解决问题，而需要从所给材料中获取信息，并用于新问题解决的一类问题.这一类问题，往往出现在一个较新的背景之下，题型新颖，形式多样，融综合性、应用性、开放性、创新性于一体.信息迁移型题可分为定义信息型、图表信息型、图形图象信息型等.

例1（2014·福建模拟）定义一种运算S=ab，在框图所表达的算法中揭示了这种运算“”的含义.那么，按照运算“”的含义，计算tan15°tan30°+tan30°tan15°=.

分析：先由tan45°=tan（15°+30°），利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正切函数公式化简，整理后得到tan15°+tan30°=1-tan15°tan30°，然后根据题中的选择结构将所求式子的新定义运算转化为普通运算，整理后将tan15°+tan30°=1-tan15°tan30°代入，即可求出值.

解析：∵tan45°=tan（15°+30°）=tan15°+tan30°1-tan15°·tan30°=1，∴tan15°+tan30°=1-tan15°tan30°，

根据题意得：tan15°tan30°+tan30°tan15°

=tan15°tan30°+tan15°+tan30°

=tan15°tan30°+1-tan15°tan30°

=1.故答案为：1

点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，利用了整体代入的思想，属于新定义的题型，理解本题的选择结构是解本题的关键.

例2常数e=2.71828…，定义函数f（x）=ex-e-x2为双曲正弦函数，记为sinhx，定义函数g（x）=ex+e-x2为双曲余弦函数，记为coshx.则以下三个命题正确的是.（只需填正确命题序号）.

（1）cosh（x+y）=coshx·coshy-sinhx·sinhy；

（2）sinh（x+y）=sinhx·coshy+coshx·sinhy；

（3）（sinhx）2-（coshx）2=1.

分析：根据题中的新定义分别表示出题目所求式子，利用同底数幂的乘法法则及多项式的乘法则即可作出判断.

解析：（1）cosh（x+y）=ex+y+e-（x+y）2，

coshx·coshy-sinhx·sinhy=ex+e-x2·ey+e-y2-ex-e-x2·ey-e-y2=ex-y+ey-x2，

∴cosh（x+y）≠coshx·coshy-sinhx·sinhy，故本选项错误；

（2）sinh（x+y）=ex+y-e-（y+x）2，

sinhx·coshy+coshx·sinhy=ex-e-x2·ey+e-y2+ex+e-x2·ey-e-y2=ex+y-e-（y+x）2，故本选项正确；

（3）（sinhx）2-（coshx）2=（ex-e-x2）2-（ex+e-x2）2=-1≠1，

故本选项错误，则三个命题正确的是（2）.故答案为：（2）

点评：此题考查了新定义的理解，解答此类题要切实对题中的新定义加以正确的理解，这样才能对新定义下的运算熟练运用，注意新定义下对普通运算不一定成立，比如本题（1）对于两角和与差的余弦函数公式不成立，灵活运用题中的新定义是解本题的关键.

二、入手基础，深挖概念内涵

例3如图，直线与圆x2+y2=1分别在第一和第二象限内交于P1，P2两点，若点P1的横坐标为35，∠P1OP2=π3，则点P2的横坐标为.

分析：利用圆的方程与点P1的横坐标，求出∠xOP1的正弦值与余弦值，通过两角和的三角函数公式求出P2的横坐标即可.

解析：因为直线与圆x2+y2=1分别在第一和第二象限内交于P1，P2两点，若点P1的横坐标为35，所以cos∠xOP1=35，sin∠xOP1=45，又∠P1OP2=π3，

所以cos（∠xOP1+π3）=cos∠xOP1cosπ3-sin∠xOP1sinπ3

=35×12-45×32

=3-4310.

所以P2的横坐标为：3-4310.

故答案为：3-4310.

点评：本题考查任意角的三角函数的定义，两角和与差的余弦函数公式，考查计算能力.

三、综合交汇

高考三角函数的考题在高考中常考常新，是既考知识又考能力的好题型，在高考备考中有较高的训练价值，同时这类问题在高考中频频出现，是历年高考试题中不容忽视的一个考点.

例4已知m=（2sinx，2cosx），n=（3cosx，cosx），f（x）=m·n-1.

（1）求函数y=f（x）的最小正周期和单调递增区间；

（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的13，把所得到的图象再向右平移π12单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[0，π12]上的最大值.

分析：利用两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用函数的性质求解.

解析：（1）因为f（x）=23sinx·cosx+2cos2x-1=3sin2x+cos2x=2sin（2x+π6），∴函数f（x）的最小正周期为T=π.又由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2（k∈Z），可得kπ-π3≤x≤kπ+π6（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为每一个[kπ-π3，kπ+π6]（k∈Z）.

（2）根据条件得g（x）=2sin[6（x-π12）+π6]=2sin（6x-π3），当x∈[0，π12]时，6x-π3∈[-π3，π6]，-32≤sin（6x-π3）≤12，所以当x=π12时，g（x）max=1.

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性的求法，正弦函数的单调性、定义域和值域，函数y=Asin（ωx+θ）的图象变换规律，属于中档题.

四、探索性问题

给出了题目的结论，但没有给出满足结论的条件，并且这类条件常常是不唯一的，一般是从结论出发去判断，并通过推理予以确认.

例5已知函数f（x）=sin（2x+θ）+3cos（2x+θ）（x∈R）满足2014f（-x）=12014f（x），且f（x）在[0，π4]上是减函数，则θ的一个可能值是.

分析：利用三角恒等变换可求得f（x）=2sin（2x+θ+π3），2014f（-x）=12014f（x）f（-x）=-f（x），于是可得θ=kπ-π3（k∈Z），再由f（x）在[0，π4]上是减函数，即可求得答案.

解析：∵f（x）=sin（2x+θ）+3cos（2x+θ）=2sin（2x+θ+π3），又2014f（-x）=12014f（x），∴f（-x）=-f（x），∴f（x）=2sin（2x+θ+π3）为奇函数，∴θ+π3=kπ（k∈Z），∴θ=kπ-π3（k∈Z）.又f（x）在[0，π4]上是减函数，∴k为奇数，当k=1时，θ=π-π3=2π3，符合题意.本题答案不唯一.

点评：本题考查两角和与差的正弦函数公式，着重考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于中档题.endprint

以三角函数为背景的创新题，试题情境新颖、构思精巧、解法灵活，显示了数学的活力和魅力.下面剖析这类三角函数问题的创新题.

一、信息迁移型

信息迁移题指的是不便于直接运用所学数学知识解决问题，而需要从所给材料中获取信息，并用于新问题解决的一类问题.这一类问题，往往出现在一个较新的背景之下，题型新颖，形式多样，融综合性、应用性、开放性、创新性于一体.信息迁移型题可分为定义信息型、图表信息型、图形图象信息型等.

例1（2014·福建模拟）定义一种运算S=ab，在框图所表达的算法中揭示了这种运算“”的含义.那么，按照运算“”的含义，计算tan15°tan30°+tan30°tan15°=.

分析：先由tan45°=tan（15°+30°），利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正切函数公式化简，整理后得到tan15°+tan30°=1-tan15°tan30°，然后根据题中的选择结构将所求式子的新定义运算转化为普通运算，整理后将tan15°+tan30°=1-tan15°tan30°代入，即可求出值.

解析：∵tan45°=tan（15°+30°）=tan15°+tan30°1-tan15°·tan30°=1，∴tan15°+tan30°=1-tan15°tan30°，

根据题意得：tan15°tan30°+tan30°tan15°

=tan15°tan30°+tan15°+tan30°

=tan15°tan30°+1-tan15°tan30°

=1.故答案为：1

点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，利用了整体代入的思想，属于新定义的题型，理解本题的选择结构是解本题的关键.

例2常数e=2.71828…，定义函数f（x）=ex-e-x2为双曲正弦函数，记为sinhx，定义函数g（x）=ex+e-x2为双曲余弦函数，记为coshx.则以下三个命题正确的是.（只需填正确命题序号）.

（1）cosh（x+y）=coshx·coshy-sinhx·sinhy；

（2）sinh（x+y）=sinhx·coshy+coshx·sinhy；

（3）（sinhx）2-（coshx）2=1.

分析：根据题中的新定义分别表示出题目所求式子，利用同底数幂的乘法法则及多项式的乘法则即可作出判断.

解析：（1）cosh（x+y）=ex+y+e-（x+y）2，

coshx·coshy-sinhx·sinhy=ex+e-x2·ey+e-y2-ex-e-x2·ey-e-y2=ex-y+ey-x2，

∴cosh（x+y）≠coshx·coshy-sinhx·sinhy，故本选项错误；

（2）sinh（x+y）=ex+y-e-（y+x）2，

sinhx·coshy+coshx·sinhy=ex-e-x2·ey+e-y2+ex+e-x2·ey-e-y2=ex+y-e-（y+x）2，故本选项正确；

（3）（sinhx）2-（coshx）2=（ex-e-x2）2-（ex+e-x2）2=-1≠1，

故本选项错误，则三个命题正确的是（2）.故答案为：（2）

点评：此题考查了新定义的理解，解答此类题要切实对题中的新定义加以正确的理解，这样才能对新定义下的运算熟练运用，注意新定义下对普通运算不一定成立，比如本题（1）对于两角和与差的余弦函数公式不成立，灵活运用题中的新定义是解本题的关键.

二、入手基础，深挖概念内涵

例3如图，直线与圆x2+y2=1分别在第一和第二象限内交于P1，P2两点，若点P1的横坐标为35，∠P1OP2=π3，则点P2的横坐标为.

分析：利用圆的方程与点P1的横坐标，求出∠xOP1的正弦值与余弦值，通过两角和的三角函数公式求出P2的横坐标即可.

解析：因为直线与圆x2+y2=1分别在第一和第二象限内交于P1，P2两点，若点P1的横坐标为35，所以cos∠xOP1=35，sin∠xOP1=45，又∠P1OP2=π3，

所以cos（∠xOP1+π3）=cos∠xOP1cosπ3-sin∠xOP1sinπ3

=35×12-45×32

=3-4310.

所以P2的横坐标为：3-4310.

故答案为：3-4310.

点评：本题考查任意角的三角函数的定义，两角和与差的余弦函数公式，考查计算能力.

三、综合交汇

高考三角函数的考题在高考中常考常新，是既考知识又考能力的好题型，在高考备考中有较高的训练价值，同时这类问题在高考中频频出现，是历年高考试题中不容忽视的一个考点.

例4已知m=（2sinx，2cosx），n=（3cosx，cosx），f（x）=m·n-1.

（1）求函数y=f（x）的最小正周期和单调递增区间；

（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的13，把所得到的图象再向右平移π12单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[0，π12]上的最大值.

分析：利用两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用函数的性质求解.

解析：（1）因为f（x）=23sinx·cosx+2cos2x-1=3sin2x+cos2x=2sin（2x+π6），∴函数f（x）的最小正周期为T=π.又由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2（k∈Z），可得kπ-π3≤x≤kπ+π6（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为每一个[kπ-π3，kπ+π6]（k∈Z）.

（2）根据条件得g（x）=2sin[6（x-π12）+π6]=2sin（6x-π3），当x∈[0，π12]时，6x-π3∈[-π3，π6]，-32≤sin（6x-π3）≤12，所以当x=π12时，g（x）max=1.

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性的求法，正弦函数的单调性、定义域和值域，函数y=Asin（ωx+θ）的图象变换规律，属于中档题.

四、探索性问题

给出了题目的结论，但没有给出满足结论的条件，并且这类条件常常是不唯一的，一般是从结论出发去判断，并通过推理予以确认.

例5已知函数f（x）=sin（2x+θ）+3cos（2x+θ）（x∈R）满足2014f（-x）=12014f（x），且f（x）在[0，π4]上是减函数，则θ的一个可能值是.

分析：利用三角恒等变换可求得f（x）=2sin（2x+θ+π3），2014f（-x）=12014f（x）f（-x）=-f（x），于是可得θ=kπ-π3（k∈Z），再由f（x）在[0，π4]上是减函数，即可求得答案.

解析：∵f（x）=sin（2x+θ）+3cos（2x+θ）=2sin（2x+θ+π3），又2014f（-x）=12014f（x），∴f（-x）=-f（x），∴f（x）=2sin（2x+θ+π3）为奇函数，∴θ+π3=kπ（k∈Z），∴θ=kπ-π3（k∈Z）.又f（x）在[0，π4]上是减函数，∴k为奇数，当k=1时，θ=π-π3=2π3，符合题意.本题答案不唯一.