三角恒等

三角恒等（共9篇）

三角恒等 篇1

三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上, 它包括变换的对象, 变换的目标, 以及变换的依据和方法等要素.因此, 它是高考考查的热点内容之一.三角恒等变换的公式繁多, 技巧性强而令同学们深感困惑, 下面给出几种常用的变换方法.

一、遇切 (割) 想到与弦的互化

1. 切 (割) 化弦

在同一问题中, 既有正 (余) 弦函数又有正 (余) 切、正 (余) 割函数, 常用切 (割) 化弦的方法, 统一成正 (余) 弦函数来解决.

例1 (四川卷) (tanx+cotx) cos2x等于 ()

2. 弦化切 (割)

有时根据题目的实际需要, 要将正 (余) 弦函数化为正 (余) 切、正 (余) 割函数, 这样有利于问题的解决.

说明:例1与例2主要考查同角三角函数的基本关系式, 三角恒等式及齐次式的化简, 注意三角代换常用整体考虑的方法求解.

二、遇复角想到角的变化

在解决三角变换问题时, 一定要注意已知角与所求角之间的关系, 恰当地运用拆角, 拼角技巧, 如等.

说明已知某些角的三角函数值求另外一些角的三角函数值, 应认真分析已知式中角与未知式中角的关系, 避免盲目处理, 要认真考虑角的整体运用.

三、遇高次想到降次

例4 (重庆卷) 设函数f (x) = (sinωx+cosωx) 2+2cos2ωx (ω>0) 的最小正周期为, 求ω的值.

说明:本题主要考查三角函数的图象和性质等基础知识, 要求学生熟记有关三角公式, 能够运用公式进行灵活变形.

四、遇多元想到消元

对于三角变换的多元问题, 不少题目的结论往往比条件少一些元, 这时尽量将多元向单元 (或二元) 转化, 防止多元变量对我们解题的干扰.

说明:对于已知sinα±sinβ=m, cosa±cosβ=n, 其中m、n为常数, 求α±β的三角函数, 常用平方相加的方法来解决.

五、遇异名函数想到化为同名函数

在三角函数的化简、求值、证明中, 常常要对条件和结论进行合理变换, 转化沟通和求关系, 一般可以从变化函数名称入手, 尽量将异名函数化为同名函数.

说明:本题运用二倍角公式, 诱导公式等将异名三角函数化为同名三角函数, 将非统一的问题转化为统一的问题来解答.

六、遇一般 (角) 想到特殊 (角)

在三角函数的问题中, 所给出的角都是非特殊角, 但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的联系, 通过对角和函数名称合理转化为特殊角来解答.

说明:该题中注意到10°, 20°与特殊角30°的关系, 30°-20°=10°, 考虑利用拆分角的方法求解.

七、遇“1”想到恒等式的运用

说明:这里对1的代换很灵活, 分子部分的1用tan45°代换, 而分母部分的1并没有代换, 为使用公式的方便, 将系数1用tan45°代换, 可巧妙地化简.

八、遇特殊结构想到构造法

在解题中利用已知条件和数学知识, 通过观察, 联想, 构造出满足条件的数学对象, 使问题转化, 巧妙地获得解决.

说明:本题解法巧妙、简洁, 但对学生的能力要求较高, 要有过硬扎实的基本功, 此方法学生运用起来有一定困难

三角恒等 篇2

命

题

者

说

考

题

统

计

考

情

点

击

2018·全国卷Ⅱ·T6·解三角形

2018·全国卷Ⅱ·T15·三角恒等变换

2018·全国卷Ⅲ·T4·三角恒等变换

2018·全国卷Ⅲ·T9·解三角形

1.高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现。

2.若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～9题或第13～15题位置上。

3.高考对本部分内容的考查主要从以下方面进行：

(1)利用各种三角函数公式进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点。

(2)利用正、余弦定理进行边和角、面积的计算，三角形形状的判定以及有关范围的计算，常与三角恒等变换综合考查。

考向一

三角恒等变换

微考向1：三角函数的定义

【例1】(2018·北京高考)在平面直角坐标系中，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边。若tanα

A．

B．

C．

D．

解析　设点P的坐标为(x，y)，利用三角函数的定义可得0，所以P所在的圆弧是。故选C。

答案　C

当题设条件中出现直线与单位圆相交问题时，可根据三角函数的定义，求函数的解析式或者判断函数的图象，有时可以简化解题过程。

变|式|训|练

1．已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－，则＋＝________。

解析　因为角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－，所以cosα＝＝－，即x＝。所以P。所以sinα＝－。所以tanα＝＝，则＋＝－＋＝－。

答案　－

2．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝，则|a－b|＝()

A．

B．

C．

D．1

解析　由题意知cosα>0。因为cos2α＝2cos2α－1＝，所以cosα＝，sinα＝±，得|tanα|＝。由题意知|tanα|＝，所以|a－b|＝。故选B。

答案　B

微考向2：三角函数求角

【例2】(1)已知α为锐角，若cos＝，则cos＝________。

(2)已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于()

A．

B．

C．

D．

解析(1)因为α为锐角，cos＝>0，所以α＋为锐角，sin＝，而cos＝cos＝cos＝sin2＝2sincos＝2××＝。所以cos＝。

(2)因为α，β均为锐角，所以－<α－β<。又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝，又sinα＝，所以cosα＝，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝。所以β＝，故选C。

答案(1)(2)C

(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况。

(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解。

变|式|训|练

1．(2018·全国卷Ⅲ)若sina＝，则cos2a＝()

A．

B．

C．－

D．－

解析　cos2α＝1－2sin2α＝1－＝。故选B。

答案　B

2．(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________。

解析　因为sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，所以sin2α＋cos2β＋2sinαcosβ＝1　①，cos2α＋sin2β＋2cosαsinβ＝0　②，①＋②得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝1，所以sin(α＋β)＝－。

答案　－

考向二

解三角形

微考向1：利用正、余弦定理进行边角计算

【例3】(1)(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝()

A．4

B．

C．

D．2

(2)(2018·陕西二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知＝1－，且b＝5，·＝5，则△ABC的面积为________。

解析(1)因为cosC＝2cos2－1＝2×2－1＝－，所以c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋25－2×1×5×＝32，所以c＝4。故选A。

(2)由＝1－及正弦定理可得＝1－化简可得b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理可得cosA＝，故A＝。又·＝5，即bccosA＝5，故bc＝10，所以△ABC的面积为bcsinA＝。

答案(1)A(2)

利用正、余弦定理解三角形的思路

(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到。

(2)关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”。

变|式|训|练

1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B＝()

A．

B．

C．

D．

解析　由＝⇒＝⇒a2＋c2－b2＝ac⇒cosB＝＝。因为0

答案　C

2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c。若bsinA＋acosB＝0，且ac＝4，则△ABC的面积为()

A．

B．3

C．2

D．4

解析　由bsinA＋acosB＝0，得sinBsinA＋sinA·cosB＝0，因为sinA≠0，所以tanB＝－，所以B＝120°，所以△ABC的面积为acsinB＝×4×＝3。故选B。

答案　B

微考向2：几何图形中的边角计算

【例4】如图，在四边形ABCD中，∠ABD＝45°，∠ADB＝30°，BC＝1，DC＝2，cos∠BCD＝，则BD＝________；三角形ABD的面积为________。

解析　在△BCD中，由余弦定理可得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD＝1＋4－2×1×2×＝4，则BD＝2。在△ABD中，∠BAD＝180°－30°－45°＝105°，sin105°＝sin(45°＋60°)＝×＋×＝，由正弦定理可得AD＝＝＝2(－1)，则S△ABD＝×2(－1)×2×sin30°＝－1，故BD＝2，△ABD的面积为－1。

答案　2　－1

几何图形中的边、角计算一般要把几何图形分解为若干三角形，在三角形中利用正、余弦定理解决。

变|式|训|练

(2018·成都诊断)如图，在直角梯形ABDE中，已知∠ABD＝∠EDB＝90°，C是BD上一点，AB＝3－，∠ACB＝15°，∠ECD＝60°，∠EAC＝45°，则线段DE的长度为________。

解析　易知∠ACE＝105°，∠AEC＝30°，在直角三角形ABC中，AC＝，在三角形AEC中，＝⇒CE＝，在直角三角形CED中，DE＝CEsin60°，所以DE＝CEsin60°＝×＝×＝6。

答案　6

微考向3：三角形中的最值与范围问题

【例5】(1)在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若满足(a－b)(sinA＋sinB)＝(c－b)sinC，且a＝，则b2＋c2的取值范围是()

A．(5,6]

B．(3,5)

C．(3,6]

D．[5,6]

(2)已知点O是△ABC的内心，∠BAC＝60°，BC＝1，则△BOC面积的最大值为________。

解析(1)因为(a－b)(sinA＋sinB)＝(c－b)sinC，所以由正弦定理可得(a－b)(a＋b)＝(c－b)c，可化为b2＋c2－a2＝bc，所以由余弦定理可得cosA＝＝＝。因为A∈，所以A＝，又因为a＝，所以由正弦定理可得＝＝＝2，所以b2＋c2＝(2sinB)2＋2＝3＋2sin2B＋sin2B＝4＋2sin。因为B∈，所以2B－∈，所以sin∈，所以b2＋c2∈(5,6]。故选A。

(2)因为O是△ABC的内心，∠BAC＝60°，所以∠BOC＝180°－＝120°，由余弦定理可得BC2＝OC2＋OB2－2OC·OB·cos120°，即OC2＋OB2＝1－OC·OB。又OC2＋OB2≥2OC·OB(当且仅当OC＝OB时，等号成立)，所以OC·OB≤，所以S△BOC＝OC·OB·sin120°≤，则△BOC面积的最大值为。

答案(1)A(2)

解三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围。

变|式|训|练

在△ABC中，M是BC的中点，BM＝2，AM＝AB－AC，则△ABC的面积的最大值为()

A．2

B．2

C．3

D．3

解析　设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c。在△ABM中，由余弦定理得cosB＝，在△ABC中，由余弦定理得cosB＝，所以＝，即b2＋c2＝4bc－8，所以cosA＝，所以sinA＝，所以S△ABC＝bcsinA＝，所以当bc＝8时，S△ABC取得最大值2。故选B。

答案　B

1．(考向一)如图，角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点A(x1，y1)，角β＝α＋的终边与单位圆交于点B(x2，y2)，记f(α)＝y1－y2。若角α为锐角，则f(α)的取值范围是________。

解析　由题意可知y1＝sinα，y2＝sinβ＝sin，所以f(α)＝y1－y2＝sinα－sin＝sinα＋sinα－cosα＝sinα－cosα＝sin。又因为α为锐角，即0<α<，所以－<α－<，所以－

答案

2．(考向一)已知tan(α＋β)＝，tan＝，则的值为()

A．

B．

C．

D．

解析　tan(α＋β)＝，tan＝，则＝＝tan＝tan＝＝＝。故选D。

答案　D

3．(考向二)如图所示，在△ABC中，C＝，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足，若DE＝2，则cosA＝()

A．

B．

C．

D．

解析　因为AD＝DB，所以A＝∠ABD，所以∠BDC＝2A。设AD＝BD＝x。在△BCD中，由＝，可得＝①。在△AED中，由＝，可得＝②。联立①②可得＝，解得cosA＝。故选A。

答案　A

4．(考向二)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则角C的取值范围是________。

解析　因为a2＋b2＝2c2≥2ab(当且仅当a＝b时等号成立)，所以c2≥ab，所以由余弦定理可得cosC＝＝≥＝，又因为C∈(0，π)，所以C∈。

答案

5．(考向二)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若＝sinC，且c＝2，则a＋b的最大值为________。

解析　因为＝sinC，所以＝sinC＝2cosC，可得tanC＝。由C∈(0，π)，得C＝，所以＝＝＝4，所以a＝4sinA，b＝4sinB，则a＋b＝4sinA＋4sin＝4sin。因为A∈，所以A＋∈，所以sin∈，所以a＋b≤4，当A＝时取等号。

三角恒等变换常用技巧 篇3

1. 变换函数名

对于含同角的三角函数式，常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”“切割互化”“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数名的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径.

例1 求值:[sin50°(1+3tan10°).]

解 原式=[sin50°(1+3sin10°cos10°)]

[=sin50°(cos10°+3sin10°)cos10°]

[=2sin50°(cos60°cos10°+sin60°sin10°)cos10°]

[=2sin50°cos50°cos10°=sin100°cos10°=cos10°cos10°=1]．

点拨 本例是“化弦”方法在解有关问题时的具体运用，主要利用切、割、弦之间的基本关系式.

2. 变换角的形式

常包含已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.对于含不同角的三角函数式，常利用各角之间的数值关系，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拼凑．它应用广泛，方式灵活，如：

[α=(α+β)-β=(α-β)+β,]

[2α=(α+β)+(α-β)=(β+α)-(β-α),]

[α+β=2⋅α+β2,]

[α+β2=α-β2-α2-β]等.

例2 化简：[cos2α-sin2α2cotπ4+αcos2π4-α.]

分析 由于分子是一个平方差，分母中的角[π4+α+π4-α=π2]，若注意到这两大特征，不难得到解题的切入点．

解 原式[=cos2α2tan(π4-α)cos2(π4-α)]

[=cos2α2sin(π4-α)cos(π4-α)]

[=cos2αsin(π2-2α)=cos2αcos2α=1]．

点拨 （1）在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于[2α]是[α]的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意[2α、π4+α、π4-α]三个角的内在联系，[cos2α=sin(π2±2α)][=2sin(π4±α)][cos(π4±α)]是常用的三角变换．（2）化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次、消元、异角化同角是常用的化简技巧．当然本题还可化成角[α]处理.

例3 [cosα=17,sinα+β=-1114,][α∈-π2,0,][β∈π,3π2,][则cosβ=] .

分析 因为[β=(α+β)-α]，所以求[cosβ]用余弦两个角差的公式．

解 由[α∈-π2,0,β∈π,3π2]知，

[α+β∈π2,3π2].

故[sinα=-437，cos(α+β)=-5314，]

[∴cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα]

[=39398.]

点拨 很多同学会将[sin(α+β)拆成][sinαcosβ][+cosαsinβ],再运用[sin2β+cos2β=1]去求，这样会给运算带来很大的麻烦，不如拼凑简捷.

3. 以式代值

利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便解决. 这其中以“1”的变换为最常见且最灵活.“1”可以看作是[sin2x+cos2x、][sec2x-tan2x、csc2x-cot2x、][tanxcotx、][secxcosx、][tan45°]等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，能获得较理想的解题方法.

例4 已知[tanα=2]，求[sin2α+sinαcosα-][3cos2α].

分析 这里如果用[tanα=2]去求[sinα]、[cosα]必须考虑象限，还得解方程，太麻烦，但把分母看作是1=[sin2α+cos2α]运算就快捷得多.

解 [∵tanα=2，] [∴cosα≠0.]

[原式=sin2α+sinαcosα-3cos2αsin2α+cos2α=tan2α+tanα-3tan2α+1=22+2-322+1=35.]

点拨 此式之所以能用这种变换，更主要是分式上下均齐次，整理成[tanα]容易.

4. 三角函数次数的升降

根据题目和谐统一的要求对式子进行必要的升幂、降幂，也是三角恒等式的一种必要手段. 常用的降幂公式：[cos2α=1+cos2α2]，[sin2α=1-cos2α2]；升幂公式：[1+cos2α=2cos2α]，[1-cos2α=2sin2α].

例5 化简[12-1212+12cos2α(α∈(3π2,2π))]..

分析 这里要开二次根式，而根号下式子次数为一次只能用缩角升幂公式.

解 [∵3π2<α<2π,]

[∴12-12cos2α=|cosα|=cosα].

又[∵3π4<α2<π,]

[∴12-12cosα=|cosα2|=cosα2].

[∴]原式=[sinα2]．

点拨 公式变形：[1-cosα=2sin2α2、][1+cosα=][2cos2α2、][1±sinα=sinα2±cosα22]. 在1与正余弦同时出现及式中有根号形式经常用到.

例6 已知正实数[a、b]满足[acosπ5+bsinπ5acosπ5-bsinπ5][=tan8π15]，求[ba]的值.

分析 从方程的观点考虑，如果给等式左边的分子、分母同时除以[a]，则已知等式可化为关于[ba]的方程，从而可求出[ba]. 若注意到等式左边的分子、分母都具有[asinθ+bcosθ]的结构，可考虑引入辅助角求解．

解 方法一：由题设得[asinπ5+bacosπ5cosπ5-basinπ5=sin815πcos815π,]则[ba=sin815π⋅cosπ5-cos815π⋅sinπ5cos815π⋅cosπ5+sin815π⋅sinπ5=sin(815π-π5)cos(815π-π5)][=tanπ3=3].

方法二：因为[asinπ5+bcosπ5=a2+b2sin(π5+φ),]

[acosπ5-bsinπ5=a2+b2cos(π5+φ),]其中[tanφ][=ba]，由题设得[tan(π5+φ)=tan][8π15.]

所以[π5+φ=kπ+815π]，即[φ=kπ+π3,]

故[ba=tanφ=tan(kπ+π3)=tanπ3=3.]

方法三：原式可变形为[tanπ5+ba1-batanπ5=tan815π]，

令[tanα=ba]，则有[tanπ5+tanα1-tanα⋅tanπ5=tan(π5+α)]

[=tan815π]，

[∴α+π5=kπ+815π(k∈Z)].

[∴α=kπ+π3,(k∈Z)].

故[tanα=tan(kπ+π3)=tanπ3=3,]即[ba=3].

点拨 以上解法中，方法一用了集中变量的思想，是一种基本解法；解法二通过模式联想，引入辅助角，技巧性较强；解法三利用了换元法，但实质上是综合了解法一和解法二的解法优点．

由高考谈三角恒等变换及应用 篇4

(1) 常用方法:

①直接应用公式进行降次、消项;②切割化弦, 齐次弦化切, 异名化同名, 异角化同角;③三角公式的逆用;④常数的变换等.

(2) 化简要求:

①能求出值的应求出值;②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数.

例1 (1995年全国理) 求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值.

undefined

例2 化简:

undefined

分析 若注意到化简式是开平方根, 2α是α的二倍, α是undefined的二倍以及其范围, 不难找到解题的突破口.

undefined

undefined

点评 在二倍角公式中, 两个角的倍数关系, 不仅限于2α是α的二倍, 要熟悉多种形式的两个角的倍数关系, 同时还要注意undefined三个角的内在联系和作用, undefined是常用的三角变换.

二、三角函数的求值类型有三类

(1) 给角求值:

一般所给出的角都是非特殊角, 要观察所给角与特殊角间的关系, 利用三角变换消去非特殊角, 转化为求特殊角的三角函数值问题.

(2) 给值求值:

给出某些角的三角函数式的值, 求另外一些角的三角函数值, 解题的关键在于“变角”, 把所求角用含已知角的式子表示, 求解时要注意角的范围的讨论.

(3) 给值求角:

实质上转化为“给值求值”问题, 由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角.

三、三角等式的证明

(1) 三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征, 通过三角恒等变换, 应用化繁为简、左右同一等方法, 使等式两端化“异”为“同”.

(2) 三角条件等式的证题思路是通过观察, 发现已知条件和待证等式间的关系, 采用代入法、消参法或分析法进行证明.

例3 已知tanα, tanβ是方程x2-5x+6=0的两个实根, 求2sin2 (α+β) -3sin (α+β) cos (α+β) +cos2 (α+β) 的值.

分析 由韦达定理可得到tanα+tanβ及tanα·tanβ的值, 进而可以求出tan (α+β) 的值, 再将所求值的三角函数式用tan (α+β) 表示便可知其值.

undefined

于是有undefined,

undefined

点评 好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构, 从而寻找解答本题的知识“最近发展区”.

参考文献

[1]数学课程标准[S].北京:人民教育出版社, 2003.

三角恒等 篇5

一、选择题(每小题5分，共40分)

1．cos 300°的值是()

1133A.B．－C.D 222

2π22．已知α∈(0，π)，cosα＝－tan 2α＝()23

33A.B．－3或－ 3

33CD3 3ππ3．下列函数中，周期为π，且在，上为增函数的是()42

ππA．y＝sinxB．y＝cosx－ 22C．y＝－sin(2x－π)D．y＝cos(2x＋π)

π4．将函数y＝sin 2x＋cos 2x的图像向左平移个单位长度，所得图像对应的函数解析式

4可以是()

A．y＝cos 2x＋sin 2xB．y＝cos 2x－sin 2x

C．y＝sin 2x－cos 2xD．y＝sin xcos x

5．如图Z3－1所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)在一个周期内的图像，此函数的解析式是（）

πA．y＝2sin2x＋ 3

2πB．y＝2sin2x 3πC．y＝2sinx－ 23

πD．y＝2sin2x－ 3

π6．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)3cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，其图像相邻的两条对称轴方2

π程为x＝0与x＝()2

A．f(x)的最小正周期为2π，且在(0，π)上为单调递增函数

B．f(x)的最小正周期为2π，且在(0，π)上为单调递减函数

πC．f(x)的最小正周期为π，且在0，上为单调递增函数 2

π

D．f(x)的最小正周期为π，且在0，上为单调递减函数

2

7．函数y＝xsin x在[－π，π]上的图像是（图Z3－2

ππ

8．将函数f(x)＝sin2x＋的图像向右平移个单位长度后得到函数y＝g(x)的图像，则

43g(x)的单调递增区间为()

π

A.2kπ－，2kπ＋k(k∈Z)

63

π5π

B.2kπ，2kπ＋(k∈Z)

36

ππ

C.kπkπ(k∈Z)

63

π5π

D.kπkπ(k∈Z)

66

二、填空题(每小题5分，共20分)

9．设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α＝________．

10．在△ABC中，若2sin A＝sin C，a＝b，则角A＝________．

π

11．在△ABC中，BC＝2，AC＝7，BABC的面积是________．

12．已知函数f(x)3sin 2x－cos 2x，x∈R，给出以下说法：

π

①函数f(x)的图像的对称轴是x＝kπ＋k∈Z；

7π

是函数f(x)的图像的一个对称中心；

12，0

π

1③函数f(x)在区间π

22

②点P

π

④将函数f(x)的图像向右平移g(x)＝sin 2x－3cos 2x的图像．

2其中正确说法的序号是________．

三、解答题(共40分)

13．(13分)在△ABC中，若sin A＝2sin B·cos C且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．

4．(13分)已知函数f(x)＝sin(π－2x)＋2 3cos2x，x∈R.π(1)求f；

6(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．

→→

15．(14分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2S△ABC＝3 BA·BC.(1)求角B；

(2)若b＝2，求a＋c的取值范围．

专题综合训练(三)

1．A [解析] cos 300°＝cos(360°－60°)＝cos 60°＝.π5π11π23

2．C [解析] 由cos(α＋＝－α＝α＝tan 2α＝－.3212123

ππ

3．D [解析] 排除A，B；对于C，y＝sin(π－2x)＝sin 2x，在，上单调递减，排除

42

C.ππ

4．B [解析] y＝sin 2x＋cos 2x→y＝sin 2x＋＋cos 2(x＋)＝cos 2x－sin 2x.442ππ5ππ2

5．B [解析] T＝＋×2＝π，ω＝＝2，当x＝－时，可得A＝2，φ＝.T1231212

22x＋.∴y＝2sin3

π

6．C [解析] 由其图像相邻的两条对称轴方程为x＝0与x＝，知周期T＝π，排除A，2B.ππππ

f(x)＝2sin2x＋φ－，sinφ－＝1，显然φ＝－f(x)＝2sin2x－＝－2cos 2x，6332

π

在0，上为单调递增函数． 2π

7．A [解析] y＝xsin x为偶函数，排除D.当x＝±π时，y＝0，排除C.当x＝y>0，排除B.ππππππ

8．C [解析] g(x)＝sin2x－＋＝sin2x，由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)

262364

ππ

得单调递增区间为kπ－kπ(k∈Z)．

63

9．－ [解析] 因为α是第二象限角，所以x<0.又因为cos α＝x3544

＝－3，所以tan α.x3

πa2）2－a2π2

10.[解析] 因为c＝2a，b＝a，所以cos A＝＝A＝.4242a·2aπ3 311.[解析] 由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·7＝AB2＋4－2AB，23π1

所以AB－2AB－3＝0，解得AB＝3或AB＝－1(舍去)．所以△ABC的面积是S＝·BC·sin

3＝3×2×＝.222

xx＋16，解得x

ππ

12．①②④ [解析] f(x)＝2sin2x－，将x＝kπ∈Z)代入得到y＝2，①正确；

365ππ11π

当x∈，π时，2x－，ymax＝1，③错误．再依次验证②④正确．

6662

a2bc22213．解：由sinA＝sinB＋sinC得2R＝(2＋(2，2R2R

π

则a＝b＋c，即A＝.a2＋b2－c2a

由sin A＝2sin B·cos C2×，则b＝c.综上可知，该三角形为等腰直角三

b2ab

角形．

π

14．解：(1)f(x)＝sin(π－2x)＋2 3cos2x＝sin 2x＋3cos 2x3＝2sin2x＋3，3

πππ3

则f＝2sin＋3＝2×＋3＝2 3.2633

2ππ

(2)f(x)＝2sin2x＋3的最小正周期T＝π，23

πππ5ππ

又由2kπ－2x2kπ＋kπ－≤x≤kπ∈Z)，故函数f(x)的单调递增

23212125ππ

区间为kπ－，kπ＋(k∈Z)．

1212

15．解：(1)由已知得acsin B3accos B，π

则tan B＝3，∵0

(2)方法一，由余弦定理得4＝a＋c－2accos，a＋c2

则4＝(a＋c)－3ac≥(a＋c)－3(当且仅当a＝c时取等号)，22

解得0b，则2

方法二，由正弦定理得a＝sin A，csin C，33

2ππ444

∵A＋C＝，∴a＋c(sin A＋sin C)[sin A＋sin(A＋B)]＝[sin A＋sin(A＋)]

33333π41313

＝＋sin Acos A)＝4(＋＝4sin(A＋．

222622πππ5ππ1

如何学习三角恒等变换 篇6

一、变形成[Asin(ωx+φ)+B]

例1求函数[y=23sinxcosx+2cos2x]的最小正周期．

分析 本题是求三角函数的最小正周期问题．联想与之相关的基础知识——我们会运用公式去求角为[ωx+φ”]的三角函数式的最小正周期，于是希望运用三角恒等变形把该式变形为[y=Asin(ωx+φ)+B]（或[y=Acos(ωx+φ)+B]）的形式．在这一思路引导下，重点观察其结构特点，发现可以用倍角公式及和角公式达到变形目的.

[y=23sinxcosx+2cos2x=3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+π6)+1,]

于是[T=2π2=π.]

例2设[asinx+bcosx=0,Asin2x+Bcos2x=C][(a2+b2≠0)]. 证明：[2abA+(b2-a2)B+(a2+b2)C=0.]

分析 本题要证明的是一个条件等式．已知条件可看成是关于[x]的两个三角方程组成的方程组，理论上可由前式解出[x]后再代入后式得出求证不等式，但[x]不是特殊角，这样做计算量大，显然不可取！若由前式分别求出[sinx]、[cosx]后，再代入后式也可以，但在求解的过程中将会涉及到符号问题，这样处理也会比较麻烦．而如果将[asinx+bcosx]变形为[=a2+b2sin(x+φ)]，则得[x=-φ+kπ(k∈Z)]，然后求出[cos2x]和[sin2x]的值，代入后式即可．

另一方面，如果联想到[sin2x、cos2x]与[tanx]的关系（俗称万能置换公式），可由前式求得[tanx=-ba(a≠0)]（[a=0]时另证），用万能公式求得[sin2x、cos2x]后代入后式也可得证．

对于在[asinx+bcosx=a2+b2sin(x][+φ)]变形中的辅助角[φ]，我们还可以给定它的一般表达方式．

（1）当点[(a,b)∈Ι]（第一象限，下同）时，[φ=arctanba]；

（2）当点[(a,b)∈ΙΙ]时，[φ=π-arctanba]；

（3）当点[(a,b)∈ΙΙΙ]时，[φ=π+arctanba]；

（4）当点[(a,b)∈ΙV]时，[φ=π-arctanba].

二、角的转化

例3计算[cot10∘-4cos10∘]的值．

分析 本题是求具体角的两个三角函数值的差.形式虽然比较简单，但角度不是特殊角，并且其倍、半角也不是特殊角，同时也不能分拆成特殊角的和或差，所以既无法分别求得其值，又不能利用拆分角的方法通过运算（展开、抵消、合并）得出结果. 这种情况下，通常我们需设法将式子中存在的些许信息提炼加工，希望从中分析出“某些特征”与“内在联系”，于是我们想到了切化弦的方法.

[cot10∘-4cos10∘=cos10∘sin10∘-4cos10∘=cos10∘-4cos10∘sin10∘sin10∘]

[=cos10∘-4cos10∘sin10∘sin10∘=cos10∘-2sin20∘sin10∘.]

经过对上式的分析观察，发现式子中出现的两个角度之和恰为特殊角30°，于是我们想到拆角法：20°＝30°－10°，

原式[=cos10∘-2sin(30∘-10∘)sin10∘]

[=cos10∘-2(12cos10∘-32sin10∘)sin10∘=3].

例4设[cos(α-β2)=-19,sin(α2-β)=23,]且[π2<α][<π,][0<β<π2]，求[cos(α+β)]的值.

分析 本题是一道求值题．虽然从理论上说可以从已知的两个等式中解出[α、β]的值，然后代入求值，但实际操作几乎不可能．观察已知角和所求角，可作出[α+β2=(α-β2)-(α2-β)]的配凑角变换，然后利用余弦的差角公式求解．

[∵π2<α<π,0<β<π2]，

[∴π4<α-β2<π,-π4<α2-β<π2].

[∴sin(α-β2)=1-cos2(α-β2)=1-181=459,]

[cos(α2-β)=1-sin2(α2-β)=53.]

[∴cosα+β2=cos[(α-β2)-(α2-β)]]

[=cos(α-β2)cos(α2-β)+sin(α-β2)sin(α2-β)]

[=7527],

故[cos(α+β)=2cos2(α+β)2-1=-239729.]

三、幂的变换

例4化简[sin2α+sin2β+2sinαsinβcos(α+β)]．

分析 这是一道二元三角多项式的化简问题．从式子各项中所含基本三角函数的名称、幂次、角度及其组合关系看式子的结构特点：第三项比前两项角度复杂，组合关系也复杂，而前两项为单角正弦的平方，幂次具有特殊性. 由此可以产生出如下变形方向：从前两项幂次的特殊性入手，先降幂，再把角度朝第三项靠拢.

原式＝[1-12(cos2α+cos2β)+2sinαsinβcos(α+β)]

＝[1-cos(α+β)cos(α-β)+2sinαsinβcos(α+β)]

＝[1-cos(α+β)[cos(α-β)-2sinαsinβ]]

＝[1-cos(α+β)(cosαcosβ-sinαsinβ)]

＝[1-cos2(α+β)=sin2(α+β)].

三角变换中的“升降次”运用其实是很常见的，最典型的操作当数正余弦二倍角公式的灵活运用，[cos2α=1+cos2α2,sin2α=1-cos2α2]是降次，反过来就是升次了．

四、公式的变形应用

例5求值：（1）[tan20∘+tan40∘+3tan20∘tan40∘;]

（2）[cos20∘cos40∘cos60∘cos80∘.]

分析 （1）本题是三角函数式的求值问题. 观察得知[20∘]与[40∘]的和为[60∘]的特殊角，因此可以考虑两角和的正切公式的变形用法：

[tanα+tanβ][=tan(α+β)(1-tanαtanβ)]，

因而可得：

原式[=3(1-tan20∘tan40∘)+3tan20∘tan40∘]

[=3.]

（2）本题是三角函数式的求值问题. 题中[60∘]是特殊角，而[20∘]、[40∘]和[80∘]都不是特殊角，但它们之间存在两倍关系. 可以考虑正弦的二倍角公式的变形用法[cosα=sin2α2sinα]转化的公式形式，利用约分化简达到目的，得：

原式[=12⋅sin40∘2sin20∘⋅sin80∘2sin40∘⋅sin160∘2sin80∘]

[=116⋅sin160∘sin20∘=116.]

推广与延拓1. 其实对于角度之间存在两倍关系的余弦之积的一般形式：

[cosαcos2αcos22α⋯cos2nα]，我们都可以采用相同的办法！

2. 我们其实还可以推导出如下公式：

[4sin60∘-θsinθsin60∘+θ=sin3θ]；

[4cos60∘-θcosθcos60∘+θ=cos3θ].

反过来看就是三倍角公式！

五、和差代换

例6已知[△ABC]的三个内角[A、B、C]满足[A+C][=2B]，且[1cosA+1cosC=-2cosB]，求[cosA-C2]的值.

分析这是一道三角形中的求值题．我们可以对题给式子[1cosA+1cosC=-2cosB]的左边进行变形——通分、积化和差与和差化积，变形为关于([A-C])为整体的式子，然后求解. 但这需要我们对积化和差与和差化积比较熟悉！而我们如果利用推导该公式的过程中的相似方法——和差代换：对于实数[a、A、b,]如果它们满足[a+b=2A，]则可设[a=A－d，][b=A+d.] 许多三角问题，当含有或隐含着上述条件时，利用上述结论来解，往往能减少运算量，简化解题过程，从而提高解题速度，达到水到渠成的效果.

解在[△ABC]中，[A+B+C=π,]又[A+C=2B]，则[B=π3]，[A+C=2π3]，从而已知条件可变为[1cosA+1cosC=-22.] （※）

设[A-C2=x]，即[A-C=2x]，

与[A+C=2π3]联立，得

[A=π3+x]，[C=π3-x]，

代入（※）式并整理，得

[42cos2x+2cosx-32=0,]

于是[cosx=22]，或[cosx=-324.]

而[-π20,]

所以[cosx=22,]

故[cosA-C2=22]．

诚然，三角恒等变形中还会涉及到其它各种方法，在此就不一一举例了. 最后，我们仍然引用教材前言中的观点作为最后的表达——通过对三角变换中所使用的公式的利用，“我们将在怎样预测变换目标，怎么选择变换公式，怎样设计变换途径等方面作出思考，这些都将帮助我们进一步提高推理能力和运算能力．”

巩固练习

1. 求[1+tan7∘+tan8∘-tan7∘tan8∘1-tan7∘-tan8∘-tan7∘tan8∘]的值.

2. 求[tan10∘-3csc40∘]的值．

3. 已知[sinα+sinβ+sinγ=0,][cosα+cosβ+][cosγ=0]，则[cos(β-γ)]的值是．

4. 若[-π2≤x≤π2]，则[f(x)=3sinx+cosx]的取值范围是．

5. [f(x)=cosx+cos(x+π3)]的最小值是.

6. 已知[α、β]均为锐角，[tanα=17,sinβ=1010]，求[α+2β]的值．

7. 已知[sinθ+cosθ=15(θ∈(0，π))]，求[cotA]的值．（要求用和差代换法）

8. 已知函数[f(x)=5sinxcosx-53cos2x+][523]（其中[x∈R]）.

（1）求函数[f(x)]的最小正周期；

（2）求函数[f(x)]的单调区间；

（3）求函数[f(x)]图象的对称轴和对称中心．

参考答案

1. [3]2. -13. [-12]4. [[-3，2]]

5. [-3]6. [π4]7. [-34]

8. （1）[π]

（2）函数的单调递增区间为[kπ-π12，kπ+5π12][(k∈Z)]，函数的单调递减区间为[kπ+5π12，kπ+11π12][(k∈Z)]

（3）对称轴方程为[x=kπ2+5π12(k∈Z)]

三角恒等 篇7

关键词：三角函数,易错,成因分析

三角函数恒等变形是三角函数的重要内容, 它的学习情况决定了学生对三角函数知识的掌握程度。对高中生来说, 这部分内容虽然公式多, 但规律性较强, 掌握起来较容易。但在利用三角函数恒等变形知识解决问题时, 学生容易出现答案不完整等错误。本文主要对三角函数恒等变形中几种常见错误成因进行分析, 以提高学生学习效率。

一、忽视换元前后命题的等价性

换元法是解决复合函数以及某些方程问题的有效方法, 运用得当则能够极大地提高学生解决问题的能力。但是, 在三角函数的恒等变形中, 经常会出现忽视换元前后命题的等价性的错误情况。因此, 运用换元法解题时必须注意换元前后命题的等价性。

例1:已知方程cos2x+2sinx+2k-3=0在[0, 2π]内恰有两个实根, 求实数k的取值范围。

【错解】原方程可化为sin2x-sinx+1-k=0. (1) 要使方程 (1) 在[0, 2π]内恰有两个解, 令t=sinx, 则原方程化为t2-t+1-k=0. (2) 令△=1-4 (1-k) >0, 得k>, 所以所求k的取值范围为 (+∞) .

通过换元法, 把原方程转化为关于t的二次方程, 其方向正确, 但把方程 (1) 在[0, 2π]的两解问题, 转化为方程 (2) 的两解的问题, 这一过程并非等价, 其一是忽视了定义域的限制, 其二是忽视了方程sinx=t, -1≤t≤1解的多值性。

【正解】令t=sinx, 得f (t) =t2-t+1-k=0. (2) 由于f (t) 是开口向上, 对称轴t=的抛物线, 所以要使得原方程在[0, 2π]内恰有两个解, 须且只须方程 (2) 在 (-1, 0) ∪ (0, 1) 上有且只有一个实根。所以, 只须或△=0, 解得1

二、忽视定义域的改变而导致错误

三角函数问题中的给值求角问题, 必须关注已知角的取值范围和所求角的取值范围, 角的范围的扩大或缩小, 均可能导致解题失误。

例2:已知求f (x) 的最小正周期.福建莆田●刘明珠

【错解】原函数化简, 得f (x) =sin4x, 因此

研究复杂函数的周期性与单调性等问题, 首先需对所给函数进行必要化简, 但在化简过程中, 应关注函数的定义域是否发生改变。

【正解】原函数化简得f (x) =sin4x, 其中x≠, k缀Z, 所以T=π.

三、忽视角的关系导致失误

例3:已知, 求sinα的值.

学生容易及sin2α+cos2α=1, 通过解方程组得, 但其计算量过大, 容易出错。究其原因, 是对三角恒等变换公式的本质理解不透彻。三角函数的恒等变换过程的选择, 首先应考察角的和差倍半关系, 再考察其他特点。

四、忽视三角函数的有界性导致失误

例4:已知sinaαcosβ=, 求cosαsinβ的取值范围。

【错解】因为sin (α+β) =sinαcosβ+cosαsinβ=43+cosαsinβ, 结合-1荞sin (α+β) 荞1, 得-1荞43+cosαsinβ荞1, 所以-47荞cosαsinβ荞41.

实际上, , 因此所确定的范围是错误的, 原因是考虑问题不周到。题目中同时出现sinαcosβ和cosαcosβ, 学生易想到从考察sin (α+β) 和sin (α-β) 的关系入手, 但由于只使用部分公式已得出结论, 导致学生放松警惕而失误。

【正解】由以上分析可得, 同理由sin (α-β) =sinαcosβ-cosαsinβ, 可得.综上, cosαsinβ的取值范围是

五、忽视角的取值范围的作用而导致失误

例5:已知tanα=m, 其中m≠0, α, 求sinα的值.

通过同角关系, 消去cosα, 得到sinα的方程, 进而解方程回答问题, 其思路是正确的。但由于条件α不能确定sinα的符号, 但能确定cosα<0, 因此, 应根据角的范围选择公式和解题途径。

【正解】由tanα=m, 得sinα=mcosα, 代入sin2α+cos2α=1, 得cos2α=又因为α, 所以cosα=, 从而sinα=tanαcosα=

三角函数的恒等变形是三角函数的重要组成部分。由于三角函数的丰富性质, 以及运用公式进行恒等变形容易导致定义域发生变化, 所以导致解题失误。在三角函数的恒等变形中, 要做到真正恒等, 即保证变换前后的值的意义和范围都是一致的, 同时还需考虑公式的选择使用, 分析特殊情况, 做到化简为易。这要求学生深入探讨三角函数中的易错点、科学的思维方向, 切实提高自身数学学习能力。

参考文献

[1]李保炎.三角函数错解分析[J].中学数学, 2012 (1) .

三角恒等 篇8

一、角的和与差的公式运用

例1 设undefined, 求sin (α+β) 的值。

专家把脉:

变形思路:一角二名三结构

即首先观察角与角之间的关系, 注意角的一些常用变式。

第二看函数名称之间的关系, 通常“切化弦”;

第三观察代数式的结构特点。

针对此题:构造undefined

对症下药:

undefined

undefined

二、公式变形的运用

例2 求证:undefined

专家把脉:

根据所求式子的结构特征及要求, 把已知式子变成公式的形式, 再进行变形的方法叫公式的变形及逆用法。比如对于两角和与差正切公式undefined, 可以变形为undefined, 即显示了两角正切乘积与正切和与差的关系, 若α±β 是特殊角, 可以直接找它们的关系。

对症下药:

undefined

故原等式成立。

三、公式的升幂与降幂

例3 (2004年浙江) 在△ABC中, 角A、B、C所对的边分别为a、b、c, 且undefined。

求undefined的值

专家把脉:

在三角变换中, 为了达到化繁就简的目的, 降幂、升幂是常用的手段, 如:undefined是两个最常见的降幂公式, 如:undefined是常见的升幂公式。

对症下药:

undefined

延伸训练: (2004天津) 已知undefined;

(1) 求tanα的值; (2) 求undefined的值。

四、向量作为载体的运用

例4 (2004福建) 设函数undefined, 其中undefined

(1) 若undefined, 且undefined, 求x ;

专家把脉:

以向量为平台考查平面向量的数量积及三角基本关系式, 考查运算能力和推理能力。这是高考中的一个热点。

对症下药:

解: (1) 依题意, undefined

undefined

五、函数综合的运用

例5 设函数undefined (其中ω>0, a∈R ) , 且f (x) 的图像在y轴右侧的第一个最低点的横坐标为undefined。

(1) 求ω的值

(2) f (x) 在区间undefined上的最小值为undefined, 求a的值。

专家把脉:

以三角函数式的化简为基础的函数综合题是高考题的热点, 每年必考, 一般是中档题, 题型既有选择、填空题, 也有解答题。主要解题方法是充分运用“异角化同角”、“同角三角函数关系”、“诱导公式”及“和、差、倍角”的三角函数公式解决问题。

对症下药:

undefined

依题意undefined

(2) 由 (1) 知undefined

又当undefined时, undefined

故undefined从而f (x) 在undefined上取最小值undefined

因此undefined, 解得undefined

平面向量与三角恒等变换 篇9

例1 已知向量[a=（cosα，sinα），b=（cosβ，][sinβ），|a-b|=255].

（1）求[cos（α-β）]的值；

（2）若[0<α<π2，-π2<β<0，且sinβ=-513，][求sinα]的值.

分析 本题的关键是[a-b=255].

解 （1）[∵a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），]

[∴a-b=（cosα-cosβ，sinα-sinβ）].

又[|a-b|=255]，

[∴（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2=255]，

[∴2-2cos（α-β）=45，cos（α-β）=35].

（2）[∵0<α<π2，-π2<β<0，0<α-β<π]，

又[cos（α-β）=35]，[∴sin（α-β）=45]，

又[sinβ=-513]，[∴cosβ=1213]，

[∴sinα=sin[（α-β）+β]=6365].

点拨 合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数的和、差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入求值或化简.

二、平面向量与解三角形

例2 已知向量[m= 1 ， 1 ]，向量[n]与向量[m]的夹角为[34π]，且[m?n=-1.]

（1）求向量[n]；

（2）若向量[n]与向量[q= 1 ， 0 ]的夹角为[π2]，向量[p=cosA ， 2cos2C2]，其中[A，B，C]为[ΔABC]的内角，且[A，B，C]依次成等差数列，求[n+p]的取值范围.

分析 本题应先翻译向量语言，这样，问题（1）就转化为解方程组，而问题（2）就化归为三角形中的三角函数了.

解 （1）设[n= x ， y ]，

又[m?n=-1]，有[x+y=-1].①

[∵]向量[n]与向量[m]的夹角为[34π]，

[∴m?n=m?n?cos34π=-1]，

[∴n=1]，则[x2+y2=1].②

由①②解得，[x=-1，y=0， 或 x=0，y=-1.]

[∴ n=-1 ， 0 或 n=0 ， -1].

（2）由[n]与[q]垂直知[n=0 ， -1]，

由[2B=A+C ]知，

[B=π3 ， A+C=2π3 ， 0

若[n=0 ， -1]，

则[n+p=cosA ， 2cos2C2-1=cosA，cosC.]

[∴ n+p2=cos2A+cos2C]

[=1+cos2A2+1+cos2C2=1+12cos2A+π3.]

[∵ 0

[∴ -1cos2A+π3<12].

[∴ 121+12cos2A+π3<54 ， ]

[即 n+p2∈12 ， 54 ， ∴n+p∈22 ， 52].