教学三角（共12篇）
教学三角 篇1
传统教学中, 三角板的运用主要局限于作特殊值角、画线、配合圆规作图。新课改以来, 教材及中考试题通过三角板的组合、平移、旋转, 拓展了三角板的运用功能, 设计了许多体现课标理念的数学问题。下文就三角板拓展运用的题例进行简要的归纳分析, 以期抛砖引玉。
应用一:三角板与角
请看下列题例:
1. (北师大版七上第四章《平面图形及其位置关系》) 把两个三角尺按如图所示那样拼在一起, 试确定图中∠B、∠E、∠BAD、∠DCE的度数及其大小关系。
2. (北师大版七上第四章《平面图形及其位置关系》) 借助一副三角尺的拼摆, 你能画出75°的角吗?15°呢?你还能画出哪些角?这些角有什么共同特征?
3. (2005衢州) 用一副三角板可以直接得到30°, 45°, 60°, 90°四种角。利用一副三角板可以拼出另外一些特殊角, 如75°, 120°等。请你拼一拼, 使用一副三角板还能拼出哪些小于平角的角, 这些角的度数分别是______________。
解析:通过用三角板拼图, 可以发现:用一副三角板还可以拼出15°, 105°, 1 35°, 1 50°, 1 65°的角。再细心观察不难发现规律:只要是15°的整数倍的角都可以用一副三角板拼出。
4. (2009聊城) 一副三角板如图叠放在一起, 则图中α的度数______。
解析:由三角板的两个角45°和60°, 以及三角形的内角和定理可得, α的度数是105°。
5. (2011遵义) 把一块直尺与一块三角板如图放置, 若∠1=45°, 则∠2的度数为 () 。
A.115° B.120°
C.145° D.135°
解析:由三角形的内角和等于1 80°, 即可求得∠3的度数, 又补角定义, 求得∠4的度数, 然后由两直线平行, 同位角相等, 即可求得∠2的度数为135°。
教学价值分析:
以上题例是对三角板运用的初步拓展。这些题通过三角板各种不同的拼摆、组合, 能得到多种角度, 从而促进了学生对“角”这一重要基础知识的掌握, 进而获得在几何图形中对“角与角的关系”进行“猜想、推导 (验证) ”的能力, 这就在很大程度上为今后的几何学习奠实了基础。
笔者以为教学中我们应该充分认识上述题例的教学价值, 在课堂上放手让学生尝试进行三角板的各种组合, 保证学生充分获得动手的乐趣, 并进一步在思考中得出规律 (如题例3的解析所言:“只要是15°的整数倍的角都可以用一副三角板拼出”) , 这正是“课标”精神的体现。
应用二:三角板拼图与勾股定理的验证
勾股定理是几何学中的明珠, 它充满魅力, 千百年来, 人们对它的证明趋之若骛, 其中有著名的数学家, 有业余数学爱好者, 有普通的老百姓, 有政要权贵, 甚至有国家总统。三角板拼图与验证勾股定理有何关系呢?看下面的题例:
6 (.北师大八上第一章《勾股定理》) 如图是美国总统Garfield于1876年给出的一种验证勾股定理的办法, 你能利用它验证勾股定理吗?说一说这个方法和本节的探索方法的联系。
解析:面积法验证勾股定理的关键是要找到一些特殊图形 (如直角三角形, 正方形, 梯形) 的面积之和等于另一些特殊图形的面积, 从而达到验证的目的。
此图可以这样理解, 有三个直角三角形其面积分别为和。还有一个直角梯形, 其面积为。
由图形可知,
整理得, a2+b2=c2
由此得到勾股定理。
7. (北师大八上第一章《勾股定理》习题1、2联系拓广) 在一张纸上复制四个全等的直角三角形, 通过拼图的方法验证勾股定理。你有哪些方法?并说说你的方法与课堂上方法之间有什么联系与差别。
解析:四个全等的直角三角形用四块完全相同的直角三角板来代替, 设两条直角边的长分别为a、b, 斜边的长为c。利用这四块直角三角板拼成如下图形可验证明勾股定理。此题条件开放让学生有更多的创造发挥余地。
教学价值分析:
用三角板验证勾股定理这个经典数学问题, 是对三角板运用的有趣拓展。教学中, 笔者发现学生对这个验证情趣盎然, 如能善加诱导, 能让学生在动手验证的过程中发现数学的无穷魅力, 甚至产生探索数学奥秘的欲望, 对数学教学意义深远。
应用三:三角板的运动
通过三角板的运用拓展来设计综合性的试题, 是近年中考的一个热点。
8. (2010通化) 如图, 把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上, 按顺时针方向在l上转动两次, 使它转到△A″B″C″的位置。设BC=1, , 则顶点A运动到点A″的位置时, 点A经过的路线与直线l所围成的面积是_____ (计算结果不取近似值) 。
解析:本题考查扇形面积的计算。解决本题的关键是弄清顶点A运动到点A″的位置时, 点A经过的路线与直线l所围成的图形的形状。
在△ABC中, BC=1, , 根据勾股定理得到AB的长为2。顶点A运动到点A″的位置时, 点A经过的路线与直线l所围成的面积是两个扇形的面积与△ABC的面积之和。根据扇形的面积公式可以进行计算。
9. (2011龙岩) 一副直角三角板叠放如图所示, 现将含45°角的三角板ADE固定不动, 把含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转α (α=∠BAD且0°<α<180°) , 使两块三角板至少有一组边平行。
(1) 如图①, α=__°时, BC∥DE;
(2) 请你分别在图②、图③的指定框内, 各画一种符合要求的图形, 标出α, 并完成各项填空:
图②中α=____°时, ____∥____;图③中α=____°时, ____∥____。
解析:本题考查了图形的旋转变化, 学生主要看清是顺时针旋转还是逆时针旋转, 并判断旋转角为多少度, 难度不大, 但易错。
(1) 利用两直线平行同位角相等, 并求得α=∠CAD-∠CAB=45°-30°=15°;
(2) 利用平行线的性质及旋转不变量求得旋转角。
图②中, α=60°时, BC∥DA,
图③中, α=105°时, BC∥EA。
10. (2011包头) 在R t△ABC中, AB=BC=5, ∠ABC=90。一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处, 将三角板绕点O旋转, 三角板的两直角边分别交AB、BC或其延长线于点E、F, 图①、②是旋转三角板所得图形的两种情况。
(1) 三角板绕点O旋转, △COF能否成为等腰直角三角形?若能, 指出所有情况 (即给出△COF是等腰直角三角形时BF的长) ;若不能, 请说明理由。
(2) 三角板绕点O旋转, 线段OE和OF之间有什么数量关系?用图①或图②加以证明。
(3) 若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处 (如图③) , 当AP∶AC=1∶4时, PE和PF有怎样的数量关系?证明你发现的结论。
解析:本题主要考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质, 解题的关键在于作好辅助线, 构建相似三角形和全等的三角形。
(1) 由题意可知, △OFC能成为等腰直角三角形。①当F为BC的中点时, 由AB=BC=5, 可以推出CF和OF的长度, 即可推出BF的长度;②当点B与点F重合时, 根据直角三角形的相关性质, 即可推出OF的长度, 即可推出BF的长度;
(2) 如图①, 连接OB, 由已知条件推出△OEB≌△OFC, 即可推出OE=OF;
(3) 如图③, 过点P做PM⊥AB, PN⊥BC, 可得△APM和△PNC为等腰三角形, 结合图形推出△PNF∽△PME, △APM∽△PNC, 继而推出PM:PN=PE:PF, PM:PN=AP:PC, 根据已知条件即可推出PA:PC=PE:PF=1:3。
教学价值分析:
上述题例近年在不少地区的中考中出现的频率较高, 是对三角板运用的高级拓展。这类拓展运用以三角板为道具, 以学生常见、熟悉的几何图形为载体, 并辅之以运动变换等手段, 为学生提供动手实践操作的空间, 综合地考查了学生观察、实验、比较、联想、类比、归纳的能力以及隐含在运动变化中的分类讨论思想。
教学中, 我们应注意对这类拓展由浅入深地进行归类训练、分析, 以提高学生的数学综合运用能力以及应考能力。
“课标”指出:数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。学生学习要从自身已有的生活经验出发, 让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型, 并进行解释与应用的过程, 倡导学生主动参与、勤于动手、乐于探究。
以学生最熟悉的三角板为道具, 以学生常见、熟悉的几何图形为载体, 并辅之以运动变换等手段对三角板的运用进行拓展, 既切合初中学生的认知发展水平和已有的知识经验基础, 又能为学生提供动手实践操作的空间, 发展学生的合情推理能力, 提高数学的思维水平, 甚至还能激发学生探求数学魅力与奥秘的欲望, 学会研究问题的策略和方法。
总之, 三角板的运用拓展具有多方面的教学价值。
参考文献
[1]义务教育课程标准实验教科书.数学.北师大版
[2]全日制义务教育.数学课程标准
教学三角 篇2
讲课中还存在很多不足之处：
①没有进行折纸实验验证三角形的内角和为180°，虽然有一个女生自己进行了折纸，并且进行了展示，但我忘记让她上讲台前展示给大家，只是让她在自己的位置处站起来展示。
②对全班的学生照顾的面还不够广，只能说照顾了部分。我在八中上课每天只面对一个班22个学生，到四中一下子面对55个学生，一下子有点不适应。我应该充分利用他们分好的小组，每一次提问，问到一个小组，依次进行，这样，效果会更好一些。
③最后的挑战自我题难度有些大，应适当降低难度，更加贴近学生的实际情况，把题目出在学生的最近发展区内。这就说明一节课必须围绕一个重点进行，不能面面俱到，一个题目，不管它有多么好，如果不符合教学重点，也不能采用。
④应更加注重学生们的书写，他们说比较容易会，但是写出来就不如说那样有层次了，这一点做得还应加强。
⑤应留出5分钟，加一个当堂检测，3到4个题都可以，这样更符合“以学为主，当堂达标”的教学理念。
⑥教学语言还应向春化中学的卜玲玲和四中的许佳文老师学习，他们的语言干脆利落。
《认识三角形》教学设计 篇3
教学目标：
1.使学生联系已有知识和经验，通过观察、操作、测量等具体活动，认识三角形的基本特征，初步形成三角形的概念；知道三角形的高与底的含义，会用三角尺画三角形的高。
2.使学生经历探索和发现三角形基本特征的过程，积累一些观察和操作、比较和分析、抽象和概括等活动经验，体验数学抽象的一般过程，发展空间观念。
3.使学生在参与数学活动的过程中，获得一些学习成功的体验，进一步激发数学学习的兴趣，树立学好数学的信心。
教学重点：三角形的概念及其基本特征。
教学难点：画三角形的高。
教具准备：三角板、木条做的三角形和平行四边形。
教学过程：
一、认识三角形
1.教学例1。
出示例1场景图。
师：同学们仔细观察，你能从图中找出三角形吗？
学生指出三角形，师课件演示图中的三角形。
师：日常生活中还在哪些地方见到过三角形？
（板书课题：认识三角形）
师：三角形大家都认识吗？考考你。
下列图形中，哪些是三角形，哪些不是三角形？
学生逐一判断，师生共同评价。
师：老师有一个疑问，图②为什么不是三角形呢？
引导并得出：三角形的三条边必须是线段。（板书：线段）
师：老师又有一个疑问，图④都是线段，为什么不是三角形呢？
引导并得出：三角形必须有三条线段。（板书：三条）
师：那图⑤有三条线段，为什么不是三角形呢？
引导并得出：三条线段必须首尾相接围成。（板书：首尾相接围成）
师：那谁来说说到底什么样的图形是三角形？
得出：三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形。
【设计意图：根据学生的认识发展水平和已有的经验，判断一个图形是否是三角形并不困难，但让学生说出什么样的图形是三角形，有一定的难度，在此，设计一个让学生辨三角形的过程，让学生在认知冲突中逐步呈现出三角形的概念，有助于学生更好的理解三角形的概念。】
师：现在都知道什么样的图形是三角形了，你能画一个三角形吗？（画三角形）
师：三角形的各部分名称叫什么？分别有几个？自学课本75页。
自学后在自画的三角形中标出来各部分名称。
（板书：三角形有3个顶点，3条边和3个角。）
2.教学“试一试”。
出示题目，理解“任选3个点”的意思，再按要求画一画。
汇报交流。
师：都能画出一个三角形吗？你有什么发现？
二、认识三角形的高。
1.教学例2。
出示人字头房屋，找三角形，突出显示三角形。
师：你知道图中这个图形叫什么吗？
师介绍：这个图形叫“人字梁”，人们通常在建筑房屋时会用到“人字梁”，用来支撑整个屋顶。
交流讨论。
【设计意图：从生活中的房屋引出人字梁，进而介绍人字梁，然后通过交流讨论，使学生初步感知三角形的高就是从一个顶点到对边的垂直线段，这样使原本比较抽象的知识变得具体、形象，有利于进一步认识和画三角形的高。】
师：通过刚才的讨论，我们知道了人字梁的高实际上就是从这个三角形上面的顶点到它的对边的垂直线段的长度。如果我们把人字梁所表示的三角形画下来，从三角形的一个顶点向它的对边作一条垂直线段，这条垂直线段就是三角形的高。（师画出三角形，并示范画高。）这条对边是三角形的底。
师：回顾画图过程，说一说什么是三角形的高，什么是三角形的底。
借助课件演示，（完成“试一试”）。
师：如果三角形的底在这儿（如图①），你会画高吗？说一说从哪一个顶点到哪一条边？底在这儿呢？（如图②）
师：画三角形的高，你觉得要提醒同学们注意什么？
可能答案：①要用虚线；②标垂直标记③看清楚底在哪里，画出对应的高……
讨论：画三角形的高和上学期学习的“过直线外一点画已知直线的垂线”有什么相同和不同的地方？
【设计意图：画三角形的高是本节课的难点，我设计了“师示范画高→生借助课件说三角形的高和底→生试画高→变换底试画高→生小结注意点→和画垂线作比较”这样的环节，让学生不仅会画，并能在小结和比较中记住画高的要领。】
三、“你知道吗？”
师：刚才我们一起研究学习了三角形的很多知识，接下来老师还要告诉大家一个三角形的秘密，想听吗？（听“你知道吗？）
师：想不想体验一下三角形具有稳定性？
一名学生分别拉三角形和平行四边形，其余同学仔细观察，用心体会三角形的稳定性。
【设计意图：设计悬念，激发学生的兴趣，但知识直接呈现给学生，往往学生“只知其然而不知其所以然”，这时通过实验操作，让学生看清楚，体会到，学生会理解的更透彻。】
四、课堂总结
师：这节课我们一起学习了什么？你有哪些收获？还有什么问题？
学习三角函数的教学对策 篇4
改革目标之二:改变课程实施过于强调接受学习, 死记硬背、机械训练的现状, 倡导学生主动参与, 乐于研究, 勤于动手, 培养学生搜索和处理信息的能力, 获取新知识的能力, 分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力。
三角函数是高中数学体系中重要的组成部分。它在向量、复数、立体几何、解析几何等中有广泛的应用, 同时三角函数也是历年高考的热点之一。近三年高考中, 比例大致占11%。由于三角函数如此重要, 学生们投入了大量的学习时间。但三角函数中, 公式繁多, 记忆十分困难。再教师在教学公式的过程中, 十分强调公式的结构特点, 有意识引导学生记忆公式, 加重了学生的学习负担。实践表明, 在短时间内, 由于教师的强化记忆公法, 以及学生的强化解题训练, 有一定的教学效果。但随着时间的推移, 学生的记忆产生了混乱, 出现了各种错误, 直至记忆的消失。因此, 我认为这样的结果是由于教师过分地强化学生的记忆, 其目的是应付考试。长此以往, 学生们对三角函数的学习产生困惑害怕。经过多年的探索, 本人对三角函数的教学有了一定的方法。实践表明, 取得了较好的教学效果。
一、教学对策——正确把握理解与记忆的关系
美国著名的教育家布卢姆在《掌握学习》理论中指出:“许多学生之所以未取得优异的成绩, 问题不在于他们的智力方面, 而在于他们未能适合他们各自特点的教学帮助和学习时间。”
针对三角函数学习中, 公式繁多, 记忆十分困难的情况, 教师必须正确处理好记忆与理解的辩证关系。事实上, 强化记忆的公式并不多, 而理解记忆的占大部分。因此, 教学过程中, 推行学生熟练掌握公式的推导——形式快速推导记忆法。
1.同角三角函关系的教学对策。
利用三角函数的定义, 学生都能熟练掌握推导过程, 但要记住这些公式, 并能灵活运用这些公式, 有一定的困难, 针对这样的情况, 引导学生归纳总结, 得出正六边形法则, 形成形象记忆。
评注:
(1) 倒数关系:对角线两个顶点所对应的三角函数乘积等于1。
(2) 平方关系:倒三角形中, 上面两个顶点所对应的三角函数的平方和等于第三个顶点所对应的三角函的平方。
(3) 商数关系:任意一个顶点所对应的三角函数等于与其相邻的两个顶点所对应的三角函数的积。
功能:正六边形法则帮助学生形成形象记忆, 同时帮助学生理清解题思路。
2.诱导公式的教学对策
利用三角函数的定义, 学生都能熟练推导形如2kπ+α, π±α, 2π-α, -α及undefined, undefined与角α的三角函数关系, 但这里有54个公式, 记忆十分困难。针对这种情况, 教师必须引导学生概括总结。
概括的步骤:
(1) 考察尽量多的对象, 寻找它们之间的共同东西。
(2) 从已经概括了的范围出发, 扩大对象的范围, 作进一步的概括, 然后逐步扩大范围, 逐步修正, 最后完成对整类对象的概括。
评注:
(1) 2kπ+α, π±α, 2π-α, -α与角α的三角函数关系:
函数名不变, 符号看象限 (把α看作锐角) 。
undefined, undefined与角α的三角函数关系:奇变偶不变, 符号看象限。
函数名改变, 符号看象限 (把α看作锐角) 。
(2) 倡导学生积极参与, 乐于探究, 形成学生的概括能力。同时顺利完成诱导公式的记忆, 增强发学生学习的兴趣和信心。
3.两角和与差的三角函数的教学对策
这一部分知识是三角函数的重点又是难点, 是学生学好三角函数的关键。教师必须正确处理好理解与记忆的辩证关系, 帮助学生克服难点, 顺利完成教学目标。
为了学生能顺利完成教学目标, 教师应是学生学习过程中的组织者、引导者和创作者。为了学生的需要我想到了探究, 我看了很多特级教师关于三角函数的案例, 也听了很多高中数学教师教三角函数的课。他们的共同特点:注重公式结论特点的分析总结, 有意识地引导学生强化记忆公式, 加重了学生的学习负担, 并且学生的学习效果事倍功半。为了解决这一教学难点, 我改变教学策略, 正确处理好记忆与理解的辩证关系是关键。理解强化记忆公式:
cos (α+β) =cosα·cosβ-sinα·sinβ ①
sin (α+β) =sinα·cosβ+cosα·sinβ ②
其余公式的教学, 倡导学生主动参与, 形成积极主动的学习态度。教师充分展示公式的推导过程, 反复强调推导技巧 (有意回避公式的结论特点分析) 。让学生深刻领会推导的技巧 (角的替换, 1的替代等) , 熟练掌握公式的推导 (用较多的时间) , 使学生充分认识到公式的推导是如此的简便和巧妙, 最后, 学生都乐意用推导公式形成记忆公式, 不愿根据公式的特点去死记硬背公式。事实上, 由于反复地强化推导练习, 学生自然形成公式的记忆。这样做, 学生即使一时忘记了的公式, 也可以快速推导出公式。经过教学实践表明, 学生们都乐意接受教师的这一教学策略的转变, 收到了事半功倍的效果。
二、解题对策——及时暴露问题, 认真归类总结
波利亚说:“掌握数学就意味着善于解题”。问题是数学的心脏, 数学教学当然离不开解题, 关键是教师要在设计和精讲问题上下番功夫。要侧重设计一些带有发现、开放和联系性的问题。在解题教学中, 以观察、判断为基础, 多一点思考、多一点方法探究。
1.多一点类比思想意识
已知α, β都是锐角, undefined, undefined, 求α+β的值。
学生解法:
解法1:由于α, β都是锐角, 所以0<α+β<π
由undefined, undefined
得undefined
∴undefined
∴ α+β=undefined或undefined
解法二:由于α, β都是锐角, 所以0<α+β<π
由undefined, undefined
得undefined
undefined
∴ α+β=undefined
评注:由于学生选用sin (α+β) 与cos (α+β) 的两种解法, 出现了两种结论。
事实上, 解法一是错误的, 问题的原因, 由于学生对于α是锐角且undefined, β是锐角且undefined没有综合考虑, 而是分开运用, 从而得到了错误的结论。实际上, 由于undefined
undefined>undefined, 而余弦函数
y=cosx在undefined上单调递减。∴ 0<β
∴ α+β=undefined
解法二是正确的。由于0<α+β
cos (α+β) <0。由cos (α+β) =undefined, 从而得到结论的唯一值α+β=undefined。
此例教学通过学生两种不同解法的类比, 培养了学生合作与交流能力, 同时, 也使学生获得求角的一些技巧和策略。
2、多一点目标意识
目标就是解题的方向, 当条件信息太多, 看不清方向, 或者对条件实施改造, 显得繁锁或困难时, 请关注目标, 从目标出发, 不断实施转化, 往往可以少走弯路, 成为一条通向彼岸的捷径。
证明:三角恒等式:undefined
证法一:左边=undefined=undefined
分析:分子还缺少因式“2”, 多余因式 (1+sinα+cosα) , 故分子分母同乘以“2”, 并设法产生因式 (1+sinα+cosα) 。
证法二:证明的关键在于左右两边变为同分母:
而 (1+sinα+cosα) 是最简因式。
由undefined, undefined和等比定理, 断定由此可以将左端二式与右端同分母。
undefined①
undefined②
①-②得等式成立。
评注:此例教学通过展示解题过程, 特别是不同解法下的搜索过程, 培养了学生思维的发散性、灵活性, 使学生得到证明三角恒等式的一些技巧和策略。
3、多一点函数思想意识
已知undefined (k∈z) , 并且
(tanα+cosβ) 3+tan3α+5tanα+cosβ=0
求证:5tanα+cosβ=0
解:已知等式可化为: (tanα+cosβ) 3+ (4tanα+cosβ) =- (tan3α+tanα)
观察等式可得, 上式可视为函数f (x) =x3+x在x1=4tanα+cosβ和x2=tanα的两个函数值之间的关系。
而f (x1) =-f (x2)
∵ f (x) =x3+x是奇函数, 又是递增函数, 所以x1=-x2
而x1+x2=0, 亦即 (4tanα+cosβ) +tanα=0
∴ 5tanα+cosβ=0
评注:多一点函数思想, 便多一分希望。
4、多一点公式变用意识
已知n≥2, n∈N, 当x≠kπ (k∈Z)
求证:tanx·tan2x+tan2x·tan3x+……undefined
分析:公式的变形:
undefined
评注:公式的变用是证明恒等式的主要方法。
5、多一点直觉的判断意识
直觉思维是指不受固定的逻辑约束, 直接领悟事物本质的一种思维形式, 任子朝分析道:“逻辑思维与直觉思维是两种基本的思维形式, 直觉思维是思维中最活跃、最积级、最具有创造性的的成份, 逻辑思维与直觉思维形成辩证的互补关系。”
已知:2cos2θ+5cosθ·sinθ-3sin2θ=0, undefined, 则cosθ-sinθ等于 B
(A) undefined (B) undefined (C) undefined (D) undefined
解法一:因式分解, 从条件入手, 由数字的敏感性分解因式。
解法二:从目标入手, 由undefined≤undefined, 排除C、D。
又undefined, 判断cosθ-sinθ为负, 排除A。
6、多一点方程思想意识
求证:undefined= 5
解:设undefined∴undefined①
∵undefined
解得undefined②
又∵undefined
∴undefined③
把②、③代入①得:undefined, 得x2=5
∴undefined= 5
评注:此例的教学, 使学生领会方程思想在解题中的广泛应用, 同时, 培养学生乐于探究精神。
三角形教学反思 篇5
我用四课时完成了青岛出版社版出版的八年级数学下册第八章第三节“怎样判定三角形全等”的学习。我的最大收获就是无论证明何种类型的全等题，学生都很少出现用SSA(假命题)证明全等的情况，而且百分之九十的学生都能比较清楚地表达验证的过程，并准确选择方法进行全等三角形的证明。
所以说，本部分的教学设计是比较成功的，既给学生留下了比较充分地探索空间，又从学生已有的认知基础出发，同时注重了必要的练习巩固。学生在探究活动中，通过观察猜想、操作验证、归纳概括等一系列活动，使学生对问题的本质理解更为深刻。学生不仅知道了全等三角形判定的方法，而且明白为什么可以通过它们证明两个三角形全等，也对“边边角”不能作为判定两个三角形全等的方法有了深刻的理解。
阅读教学中的“三角形”教学法 篇6
一、 在导入新课后，让学生阅读课文，画出不认识的字。
二、 指名读文，要求给不认识的字注音，同时找出他和你“读的不一样的地方”。注意，这里是找出读的不一样的地方，不是找出“读错”的地方。这样就给学生留下了探讨的空间，让学生去讨论究竟谁读得对，大大调动了学生的学习积极性，同时在研究中学习也会给学生留下深刻的印象，有利于学生知识的掌握。学生之间解决不了的，再由教师加以指导。
三、 分段学习课文。指名学生分段读，每读完一段，由学生提出自己不懂的问题。学生提出的问题全是自由的。可能是不懂的词，不理解的句子，不熟悉的写作方法、修辞手法，不理解的深刻含义，不认识的事物，有感情朗读的方法。学生每提出一个问题都要向全体同学征求解答意见。学生之间解决不了的或解答不到位的再由教师加以补充。在这一过程中，对学生产生了很大的触动，对教师提出了更高的要求。要求教师要有足够的知识储备来解答学生的问题，调动学生学习的积极性，学生会争先恐后解答同学提出的问题。要想解答别人的问题，自己就要主动去预习和学习，这有利于学生良好学习习惯的养成。在整个教学过程中，对于学生没有提到或提到深度不够的问题，教师应提出来和学生共同讨论，参与到学生的学习当中，使师生真正融合在一起，形成一种人人是学生、人人是教师的局面。
“全等三角形”教学初探 篇7
一、培养学生的动手能力, 促进知识的消化吸收
俗话说“智慧就在你的手指尖上”, 学生通过动手操作得来的知识总是记忆犹新。为此笔者在教学中特别重视学生动手能力的培养。比如, 初探三角形全等条件“边角边”时, 让学生充分动手折叠、剪拼、度量、作图, 通过学生参与把握三角形全等的条件, 通过多感官的刺激, 增强他们的感性认识, 从而为上升为理性认识做好有力的铺垫。学生们学得轻松, 教学效果斐然。在后来探讨三角形全等其他条件的时候, 笔者一直坚持这样的思路, 收效都特别明显, 全等各种条件的认识自然就水到渠成了。
二、培养语言的转换能力, 促进有条理思考表达
在几何教学中“图形语言、符号语言、文字语言”这三种语言的转换占据着特别重要的地位。笔者在教学中重视培养学生三种语言的切换能力, 要求学生能够自由切换, 以打通学生的思维, 寻找正确的解题通道。在每一种全等三角形条件探索时无不如此, 如教学直角三角形全等的条件“HL”时, 从文字语言“斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等, 简写为‘斜边, 直角边’或‘HL’”。这对于刚接触直角三角形全等的学生来说, 文字语言过于抽象, 学生不能形成深刻的印象, 于是笔者出示下列图形辅助理解, 再用符号语言来表述, 这样学生就能从多个角度理解了“斜边、直角边”这一说明两个直角三角形全等的方法, 为将来运用它来解决实际问题做好了准备。
三、培养正确的解题方法, 努力提高解题技巧
1. 分析法、综合法
在全等三角形的教学中, 如何打开解题思路是一个很重要的问题。在教学中笔者主要渗透的是两种方法:一个执果索因的分析法, 也就是通常所说的由结论想条件;另一个执因索果的综合法即由条件想结论。新课程标准中, 全等的要求没有传统教材的要求高, 一般用一种方法就可以奏效。对于复杂一点的问题两种方法都运用, 这样降低了问题的难度, 同时也能够提高学生学习的兴趣。
2. 分离法
对于难度较小的问题学生解决起来不费吹灰之力, 但是对于图形复杂、条件比较繁杂的问题, 就不能那么轻松了, 就要讲究方式方法了。笔者根据多年的新课程的教学实践中, 努力探索研究发现, 分离图形是一个很好的方法, 就是说要善于从复杂图形中, 分离出重点三角形, 单独对其进行研究, 这样目标明确, 已知条件与缺少的条件一目了然, 从而做到了有的放矢。
四、有机整合多媒体手段, 促进应变能力的提高
随着新课程改革的逐渐深入, 现代化教学手段越来越得到广泛的运用。通过多媒体手段的整合让图形动起来, 利用几何画板等软件编辑动画, 有意识地渗透平移、翻折、旋转变换思想, 极大地提高了学生学习数学的兴趣, 增强了学生的识图能力, 发展了学生的空间观念。教学实践笔者注意渗透下列变换:
1. 平移
例1:已知:如图, A、D、C、F在同一直线上AB∥EF, BC=DE, 且AD=FC。
(1) AB与FE相等吗?请说明理由。
(2) 若△ABC向右平移一定距离, 说明AB与FE相等吗?请说明理由。
通过几何画板演示, 学生从图 (1) 过渡到图 (2) , 清楚地认识到对应边AC、FD的相等关系, 应该根据不同的情况如何进行转换, 从而有效地提高了学生的应变能力。
2. 翻折
江苏省2010年中考数学题中, 对这方面就有一定的考查。所出的问题虽然难度不大, 但是对翻折的重视可见一斑。在教学中我们也进行了相关训练:
例2:已知:如图, AB=AC, AD=AE, ∠BAE=∠CAD, BD与CE相等吗?为什么?
在翻折的变换中, 运用动画的手法, 让学生充分领悟图形变化的规律, 正确应对变化灵活解题。
3. 旋转
近年的中考信息表明, 图形变换的例子到处可见。其中旋转变换也是最有难度的一种变换。而利用多媒体手段旋转变换, 这类问题也就迎刃而解。
例3:如图, 等腰Rt△COD和Rt△AOB有公共端点O, (1) 如图1时, AC与BD数量关系如何?位置关系又如何? (2) 当Rt△AOB绕点旋转到如图位置时, AC与BD数量关系如何?位置关系又如何?
在教学上述例题时, 笔者在学生仔细审题之后得出第 (1) 问的结果, 然后引导学生根据几何画板的动画演示, 猜想线段AC、BD之间的数量及位置是否仍然成立?进而进行验证、推理。学生理解起来很轻松。教学由于旋转变换最能激活学生的思维, 笔者进行了题组教学出示下面一个例题:
例4:两个不全等的△ABC和Rt△ADE叠放在一起, 并且有公共点A, 将图 (1) 中的Rt△ABC绕点A顺时针旋转一个锐角, 连结BD、CE, 得到图 (2) 。
(1) 请判断图 (2) 中线段BD、CE的数量关系, 并说明理由。
(2) 在图 (2) 中, 直线BD、CE所成的锐角是_________度。
当然, 全等变换的形式不是单一的, 有时候是几种变换同时都存在, 比如例4中就是利用旋转构建的翻折。在教学中必须注意正确引导, 从而让学生以静制动, 学会以不变应万变。
简述历史文化,激活三角教学 篇8
历史上三角函数的发展并不是那么一帆风顺的.它经历了从弧到角对弦长再到比值表示的复杂过程.由古希腊、印度、阿拉伯、法国、德国等众多的数学家经历艰苦卓越的探索和辛勤的劳动, 历时近20个世纪才创造出来的.新课标强调, 注意体现数学的文化性, 重视概念的形成过程.文化观下的任意角的三角函数的教学, 从阿尔·哈巴士简单说说三角形制作正切表和余切表、托勒密的圆弧所对的全弦以及阿耶波多的圆弧所对的半弦、德国的雷提库斯的圆弧的弦改为圆心角的弦, 说明三角函数概念形成来之不易.接着, 介绍希腊天文学家阿尔·巴塔尼、阿拉伯人阿布·瓦法、欧拉等先后提出的三角线, 定义三角函数是三角线与圆的半径的比, 最终得到任意角的三角函数概念.这一发展过程说明, “数学文化与数学同在, 只要有数学, 就一定有数学文化”, 数学不是真理的汇编, 也不只是数学知识的汇总;数学有着深刻而又十分丰富的文化内涵, 揭示三角的文化内涵恰好可以实现“数学的文化价值”课程理念.我们不要剥离三角知识与数学文化的内在联系, 应关注包涵数学文化在内的整个数学知识.实现三角本身固有的文化内涵的回归, 还原三角函数肥沃的生长土壤, 承载人类对三角函数浑厚的情怀, 传递着数学家为数学发展前赴后继的科学精神.
本文通过《任意角的三角函数》这一节课的教学实践对文化观下的数学教学作一个初步探索.
1 数学家巧用三角形, 制作正切、余切表
三角形是数学研究中的重要对象, 自数学产生之时起, 数学家就对三角形进行研究.如通过三角形研究三角函数, 制作并利用三角函数表解决许多天文学问题.
具体做法:
利用图1, 2介绍、展示人类很早就利用直角三角形开始制作正、余切表, 显示出人类的聪明才智、三角悠久的历史:公元8—9世纪, 土库曼学者阿尔·哈巴士最早通过直角三角形的两直角边的比制作正切表和余切表.
操作1 如图1, 若把竿与墙面垂直, 竿长a=1, 竿迎着太阳, 仰角为φ, 竿反阴影的长为b, 则
tan φ=b.
当仰角φ依次取1°, 2°, 3°, …时, 得到正切表.
操作2 如图2, 把竿竖立在地面, 竿长a=1, 竿的直阴影为b, 对太阳的仰角为φ, 于是有
cot φ=b.
当仰角φ依次取1°, 2°, 3°, …时, 得到余切表.
于是, 通过直角三角形制作最早的正、余切表.
2 数学家对圆使用特别的方法, 创造地编制弦表
利用图3, 4展示、介绍古希腊、印度、阿拉伯的数学家先后通过对圆的弦、弧的研究, 制作早期的正弦表, 即弦表, 表明三角函数与圆的历史渊源.
希帕恰斯作法:
古希腊天文学家希帕恰斯 (约前190-前125) 把圆周分为360°, 把半径长度分为60等份 (即直径为120等份) , 用弧去度量角, 用直径的若干等份量任一圆心角所对长弦的长度, 并以符号crd α表示圆心角α所对的弦长.如图3, 半径OA为60单位, crd α=弦AB之长, crd 2α=弦AC之长, 即现在的正弦那时表示为弦AC的长/120, 并编制了第1张弦表.托勒密继承帕恰斯的全弦法, 并制作了更精确的弦表.
阿耶波多作法:
公元5-6世纪, 印度的阿耶波多 (476-550) 计算半弦长, 如图4, 把半弦AB与全弦所对弧的一半AD相对应, 即半弧AD所对的半弦AB.“正弦”近似于现在正弦, 当时人们为了应用的方便, 已造出不同于一些早期的弦表.所来, 阿拉伯人也采用了印度人的半弦法, 制作弦表.只不过是加大圆的半径, 制作精确度更高的弦表.
3 雷提库斯的金点子:变弧的弦为角的弦
展示图5, 简述说明雷提库斯具有历史意义的工作.
德国数学家雷提库斯 (1514-1576) , 哥白尼的学生, 具有里程碑式的工作, 针对圆的三角形, 着重考虑∠AOB的正弦是AB而不是弧AD的正弦AB (半弧所对的半弦) 如图5.这样, 弧的弦变为角的弦, Rt△AOB成为基本结构, 而圆O成为无关紧要了.雷提库斯所作正弦概念小小转变, 却使三角函数前进了一大步, 雷提库斯把正弦定义为角的三角函数奠定基础, 对后来的三角函数研究产生了极其深刻的影响.
4 数学家千年的共识
4.1 三角线
展示图6, 在直角坐标系中, 以Rt△AOB为基本结构.设α是一个任意角, 它的终边与圆交于点A (x, y) .简述对三角函数线有贡献的数学家:
1) 公元9世纪, 阿拉伯人阿尔·巴塔尼对三角线进行研究, 编制出0°-90°每隔1°的余切表, 并指出三角形的概念和相互关系.
2) 公元10世纪, 阿拉伯天文学家阿布尔·瓦发认为, 正弦、余弦、正切、余切是线段, 线段BA, OB, DN, QM统称为三角函数线, 并把三角函数线定义在同一个圆上, 如图6.
3) 18世纪, 数学家欧拉认为, 任意一个角的三角函数都与三角函数线有关.如图6, 三角函数线是以这个角的顶点为圆心, 以任意长为半径作圆后, 由角的一边与圆周的交点A向另一边做垂线AB所得的线段BA, OB, DN, 分别是正弦线、余弦线、正切线, 统称为三角函数线.
4.2 有向线段
如图6, 当角α的终边不在x轴上时, 以O为始点, B为终点.坐标轴的方向规定了线段的方向, 当线段OB与x轴同向时, 则称之为正向, 且有正值x;当线段OB与x轴反向时, 则称之为负向, 且有负值x.其中x为点A的横坐标, 则OB=x.
当角α的终边不在y轴上时, 以B为始点, A为终点.当线段BA与y轴同向时, 则称之为正向, 且有正值y;当线段BA与y轴反向时, 则称之为负向, 且有负值y.其中y为点A的纵坐标, 则BA=y.OB, BA这样被看作带有方向的线段, 叫做有向线段.
5 任意角的三角函数——众多数学家的努力
5.1 三角函数与单位圆中的三角线
如图6, 角α的终边与圆交于点A, 过点A作x轴的垂线, 垂足为B, 于是有
由△OAB∽△ODN有
于是有
当圆的半径r=1时, 此时圆O称为单位圆, 则OA=1, OB=x, BA=y.
对于图7, 仍然有上式成立.
因此, y是角α的正弦, x是角α的余弦,
对于给定的角α, 均有唯一确定的值与其对应.正弦、余弦、正切都是以角为自变量, 以单位圆上点的坐标或坐标比值为函数值的函数.它们被统称为三角函数.
由于弧度制的产生, 那么角的集合与实数集一一对应, 三角函数也就是自变量为实数的函数.
5.2 数学家对三角函数的种种解释
数学家欧拉早就这样认为, 三角函数是一种函数线与圆半径的比值.他还认为, 任意一个角的三角函数是以这个角的顶点O为圆心, 以任意长为半径作圆后, 由角的一边与圆周的交点A向另一边做垂线所得的 (有向) 线段 (即三角线) BA, OB, DN与圆半径的比值.所以, 我们经历了欧拉的创新过程.
早在1759年, 德国人卡斯纳把三角函数当做数看待.
数学家西门·斯蒂文 (1548-1620) , [6]最早提倡使用十进制小数的人, 他认为, 角的正弦是长度 (BA) , 而不是一个比值, 是一个角α所张弧的末端作垂直于直径的垂直线段BA的长度.
经过几个世纪研究的努力、积累, 通过欧拉等众多数学家的努力, 彻底地解决三角函数问题, 从而各种三角公式推广到一般情况, 大大地方便了三角运算.欧拉曾自豪地说:正如想像的那样, 最初把角的正弦和正切这样引入了代数领域, 使得我们能像其它的量那样进行处理, 并顺利地进行各种各样的运算. 为纪念欧拉的在数学上的伟大成就, 瑞士、苏联、德国等国家相继发行纪念邮票, 以纪念欧拉对数学发展的卓越贡献.
5.3 思考
当角α的终边在y轴上, 即角α的终边与y轴重合, cos α=?sin α=?, tan α呢?
当角α的终边与x轴重合时, cos α=?sin α=?, tan α呢?
当角α分别在第一、二、三、四象限时, x, y的符号是如何变化的?那么cos α, sin α, tan α值的符号如何变化?
6 三角函数的应用
例1 求
例2 已知角α的终边经过点P (-3, -4) , 求α的正弦、余弦和正切值.
解答:略.
7 教学点评
“体现数学的文化价值”和“让学生去体验新知识的发生过程”是新课标的两个重要理念, 本节课主要围绕这两点来设计, 紧扣课程标准的要求和理念, 重点放在任意角的三角函数的理解上, 打破传统的以直角三角形中三角函数比值的定义直接推广到坐标系中任意角的三角函数的定义这种从数学到数学的教学模式, 通过与学生一起经历三角函数的发展历程, 让学生理解三角函数定义的科学性和实用性, 从而更加深刻理解“数学来源于生活, 应用于生活”这一理念.在三角函数概念的教学中渗透数学文化, 让学生了解三角函数的来龙去脉, 领悟其思想、方法的产生和发展过程, 从而加深对整个知识体系的理解, 进而对数学产生兴趣.同时为后面学习三角函数线做好铺垫.
本节课在教学过程中, 学生被这种新颖的教学模式所吸引, 学生对数学研究的热情高涨, 积极地参与讨论, 并进行探究、观察、归纳, 不仅实现了掌握任意角三角函数的定义这一知识目标, 对提高学生观察、发现、类比及实验探索的能力目标和培养学生勇于发现、勇于探索的精神, 学会交流合作, 实现共同探究的情感目标也得以较好的实现.
在数学教学中渗透数学文化, 是激发数学学习兴趣和培养学生创新能力最有力的途径之一.实践证明, 在数学教学中渗透数学文化, 可以激发学生数学学习动机, 转变学生的数学观;有助于学生了解数学形式化、抽象化、精确化的过程, 更加了解数学的本质, 从而可以促进数学成绩的提高.总之, 在数学教学中渗透数学文化, 有利于学生数学素养的形成, 同时, 也增强数学教师专业化进程.我们应努力探索实施数学文化教学的途径和策略, 促使数学课程目标的实现.
参考文献
[1]沈金兴.数学文化——课堂有你更精彩[J].数学通报, 2009, (4) .
[2]陈美英, 张映姜.利用历史文化, 加强三角教学[J].数学教学研究, 2009, (10) .
[3]数学课程标准研制组.普通高中数学课程标准 (实验) 解读[M].南京:江苏教育出版社, 2004.
[4]人民教育出版社课程教材研究所.普通高中课程标准实验教科书数学 (人民A版必修4) [M].北京:人民教育出版社, 2004.
[5]钱克仁.数学史选讲[M].南京:江苏教育出版社, 1989, 209.
探讨高中数学三角函数教学 篇9
一、三角函数教学困难
1.概念记忆困难
虽说高中生已经具备了学习三角函数的基础, 但很多学生对三角函数的概念还是一知半解, 对各种诱导公式、转换公式的记忆相当模糊.初中的三角函数注重考查学生对有关公式的理解, 而高中的三角函数更多的是考查学生对公式的应用和变形.高中的三角函数教学是从对简单函数的推导和变形开始的, 要求学生有较强的推导能力.如果学生对三角函数的学习仅仅停留在记忆上, 却忽略对三角函数方程式和几何意义的理解, 必然难以学好三角函数.
2.公式推理困难
在高中三角函数教学中, 正弦定理、余弦定理、诱导公式、和差角公式、二倍角公式、三倍角公式、和差 化积公式、积化和差公式等一系列公式的推理给学生带来了巨大的困难.很多学生在做题的过程中, 难以确定具体的公式内容, 自然也就难以学好三角函数.如此众多的公式要求学生准确快速地反应、记忆, 必然是难以实现的, 教师必须寻求高效的公式转换记忆策略.
3.综合运用困难
三角函数的知识已经渗透到高中数学的方方面面, 无论是填空题、计算题还是简答题, 都离不开它的帮助.笔者在长期的三角函数教学中发现, 很多学生难以意识到何时该用三角函数求解, 特别是对于一些隐性的函数问题.此外, 很多学生虽然意识到要用三角函数知识, 却不清楚具体该用哪一类.高中数学对三角函数的考查往往是综合、全面的, 这就要求学生必须熟练掌握各类三角函数的概念、性质、诱导公式等.同时, 三角函数 与向量、几何图形、重要不等式、二次函数等知识也有着密切的联系, 教师必须对学生实施综合的三角函数教学.
二、三角函数教学策略
1.巧施策略, 深化学生记忆
对于三角函数的教学, 首先要保证的是学生对各类三角函数的定义、公 式的记忆.只有学生 记得熟、记得准, 在函数解题中才会更加得心应手.笔者相信, 结合三角形的边角知识对学生进行三角函数定义的教学应该不是问题.笔者在此 将对三角 函数的诱 导公式进 行总结, 为学生提供巧妙的、深刻的记忆方法.
例如, 在三角函数的诱导公式教学 中, 笔者常常 假设一个任意角α, 要求学生掌握这些诱导公式的记忆, 如sin (2kπ) =sinα、tan (2kπ) =tanα等.对于此类公式的记忆, 笔者提出:终边相同的角为同一三角函数.又如, sin (π+α) =-sinα、cos (-α) =cosα、sin (2π-α) = -sinα、sin (π/2+α) =cosα、cos (3π/2+α) =sinα等.因此, 我们得到以下记忆规律.
1奇变偶不变:对于三角函数中的变角kπ/2±α, 当k为奇数时, 需要变换函数类型;当k为偶数时, 函数类型不变.
2符号看象限:诱导公式的正负号是视α为锐角时得到的函数值的正负而定.
3一全正, 二正弦, 三两切, 四余弦:这是用来 记忆各类三角函数在各个象限里的正负号规律.
此外, 对于一系列复杂的三角函数公式 (如:sinα=3sinα-4sin3α、sinαcosβ=1/2[sin (α+β) +sin (α-β) ]等) 、三角函数的半角公式、多倍角公式及和差化积公式等, 我们必须实施推导教学, 将各类三角函数公式的推导过程传授给学生, 使学生在遗忘的情况下, 也可以进行自主推导和验证, 从而达到高效记忆的效果.
2.精选习题, 三角函数解题技巧教学
对于高中三角函 数教学, 大量的训 练是必不 可少的.但是, 教师在对学生进行大量训练的同时, 必须坚持习题精选优化原则.教师在选取三角函数的练习题时, 最好选取一些典 型的高考 真题, 让学生在 练习的过 程中, 体会到高考数学的特点.同时, 注意题目的难度和适用阶段, 实施分段教学, 对学生实施分层布置作业, 切忌一味地追求难度和复杂性.
《三角形内角和》教学设计 篇10
苏教版四年级下册第28~29页。
教学目标
1.通过量一量、算一算、折一折、拼一拼等活动, 发现三角形内角和是180°的规律, 能应用三角形内角和是180°的规律求三角形中未知角的度数。
2.在量一量、算一算、折一折、拼一拼等活动中, 培养学生动手操作能力, 积累数学活动经验, 感悟转化、特殊与一般、归纳等数学思想。
3.在游戏、操作、交流中激发学生学习数学的兴趣, 培养学生自主探索的意识。
学具准备
每个学生准备锐角三角形、直角三角形、钝角三角形纸片各1张, 量角器一个, 三角板一副。
设计理念
数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能, 更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面不可替代的作用。三角形内角和一课旨在通过观察、操作, 了解三角形内角和是180°。显然, 这里的“观察”、“操作”, 不仅有技能目标要求, 更有积累基本活动经验的目标要求, 而在观察、操作基础上了解三角形内角和是180°则还有渗透一般与特殊、量化、变中有不变等基本数学思想的目标要求。因此, 教学设计以三角形内角和知识的探索和应用三角形内角和的技能训练为载体, 让学生通过操作、实验、讨论等活动, 经历知识的探索、发现过程, 积累基本活动经验, 有机渗透抽象、推理、建模、一般与特殊、量化、变中有不变等基本数学思想。
教学过程
一、创设情境, 激发兴趣
1. 同学们喜欢做游戏吗? (生:喜欢) 好!这节课, 我们先来做一个游戏, 不过, 在做游戏之前, 大家得先做一个准备。请每个同学取出自己准备好的一个三角形, 用量角器分别量出三角形三个角的度数, 标在三角形纸片上 (度数取整数) 。注意:不要将自己所度量的结果告诉别人哟!
2. 猜角游戏。教师指名学生报出自己所度量的三角形中2个角的度数, 老师“猜出”第三个角的度数。比如:甲学生报出:∠1是60°, ∠2是50°。老师“猜出”他所度量的∠3是70°。反复猜几次, 让学生为老师每次都能准确“猜”出第三个角的度数而产生探索“猜法”的欲望。
3. 揭示课题。同学们想不想知道老师“猜角”的秘诀!其实, 大家只要留心观察, 就能发现三角形三个角度数之和是有一定规律的。今天, 我们就一起来探索这个规律。
设计说明:上课伊始, 笔者通过“猜角游戏”, 激发学生“猜角”的热情, 引发学生忍不住也想猜一猜的愿望, 继而产生探索三角形内角和规律的欲望, 为新课创设了良好的开端。
二、操作实践, 探索规律
1. 认识内角, 促进认知。
请同学们读一遍课题 (学生读课题) 。教师追问:什么叫“内角”呢?其实 (出示图1) , 像图1中的∠1、∠2, 都是由三角形的两条边所夹的角, 它们叫做三角形的内角, 每个三角形都有几个内角? (三个。)
设计说明:教材中并未出现三角形的“内角”定义, 但毕竟出现了“内角”一词, 如果想当然地让学生“模模糊糊”地意会, 势必给部分学生理解“三角形内角和”造成一定的困难。因此, 此处描述性地揭示内角概念, 既简明扼要, 又为学生学习新知识扫清词语障碍。
2. 研究特例, 初步感知。
大家想一想:刚才, 在“猜角游戏”的过程中, 老师是怎样猜出你们手中三角形第三个内角的度数的呢? (应该会有学生说出:是用180°减去已知两个角的度数。) 换句话说, 三角形的内角和可能是多少度? (可能是180°。) 这只是个猜想, 需要验证, 我们不妨从特例开始。你们认为从哪些三角形开始研究比较好?学生可能的答案:
我们手中都有直角三角板, 先从这两个特例开始研究:
一个等腰直角三角形中, 两个锐角都是45°, 一个直角是90°, 内角和是:45°+45°+90°=180°。
另一个直角三角形中, 一个直角是90°, 两个锐角分别是30°和60°, 内角和是:30°+60°+90°=180°。
所以, 三角形的内角和是180°。
3. 研究一般, 逐步深入。
(1) 刚才, 我们研究了三角形中的两个特例, 等腰直角三角形和一个锐角为60°的直角三角形, 它们的内角和都是180°, 是不是因为有了两个特例就可以说所有三角形的内角和都是180°。 (生否定。) 是啊!其他锐角三角形、直角三角形、钝角三角形呢?怎样进一步验证? (学生能够想到用量角器度量, 再计算验证的方法。)
(2) 请同学们迅速度量手中其余三角形的内角, 并快速计算一下, 看看每个三角形的内角和是多少度, 把度量与计算的结果填进表格。
(3) 指名汇报度量、计算结果。 (有的学生计算的内角和是180°, 有的内角和不是180°。当然, 也有同学度量了两个角后, 直接算出第三个角度数, 内角和刚好是180°。)
引导学生讨论:为什么有的同学度量后计算的内角和不是180°呢? (度量是有误差的。)
设计说明:要验证三角形的内角和是180°, 学生首先会想到三角形中的特例——两个直角三角板, 它们的内角度数分别是90°、45°、45°以及90°、60°、30°, 内角和都是180°, 这符合学生由特殊到一般的认知规律, 学生由计算直角三角形内角和度数自然想到计算一般三角形的内角和加以验证规律。而“是不是因为有了两个特例就可以说所有三角形的内角和都是180°”的反问, 也自然将学生的思维引向进一步度量、计算验证之中。这样, 也让学生不断积累量化、特殊与一般、归纳等基本数学思想。
4. 折叠实验, 再次验证。
刚才, 我们通过度量、计算发现三角形内角和是180°, 但由于度量误差的原因, 也有不是180°的。其实, 我们还可以通过实验来证明:
(1) 安排学生分别拿出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形纸片, 按照教材上所介绍的方法进行“折叠”实验。教师巡回指导, 确保每个学生都能实验成功。
(2) 师生交流反馈:刚才, 通过“折叠”实验, 能证明我们所发现的规律是正确的吗?为什么?
(3) 引导学生总结规律:三角形内角和是180°。
5. 寻求它法, 发散思维。
刚才, 我们用折叠的方法证明了三角形内角和是180°。这种方法不太方便, 我们还能想出别的方法来证明三角形内角和是180°?
(1) 可以撕下两个角, 与三角形中第三个角拼到一起是平角, 也能证明三角形内角和是180°。
(2) 拿三个完全一样的三角形, 把它们相应的三个角拼到一起是平角, 也可以证明三角形内角和是180°。
设计说明:要验证三角形的内角和是180°, 度量、计算是学生容易想到的验证方法。但是, 这种方法因度量误差而难以给学生一个确切的结论, 学生仍然存在一定的怀疑心理, 这势必激发学生寻找更为有效的验证方法加以证明, 而折叠、拼角是一个好方法, 但在实际操作时, 学生虽然能根据教材的提示通过折叠拼成平角验证三角形内角和是180°, 但是, 操作不太方便。教师“还能想出别的方法来证明三角形内角和是180°吗?”的追问, 自然激发学生想到“撕”、“拼”的方法, 这也利于发散学生思维, 培养学生求异思维能力, 也让学生在实际操作与思考中积累了活动经验。
三、自主尝试, 应用规律
根据三角形内角和是180°的规律, 如果知道三角形中两个内角的度数, 不用度量, 你能计算出第3个角的度数吗?
(1) 安排学生自学教材28页的“试一试”, 相互交流、讨论, 教师巡回指导。
(2) 师生交流反馈:你是怎样计算的呢?180°哪来的?你度量的∠3是多少度?与计算结果相同吗?如果不同是什么原因?
设计说明:在已知三角形两个内角度数的情况下, 能应用三角形内角和规律计算出三角形中第三个内角的度数是本节课的教学目标之一, 这一教学目标完全可以也应该让学生通过自学、讨论而实现。
四、练习巩固、深化提高
1. 完成教材29页的“想想做做”第1题。
2. 完成教材29页的“想想做做”第2题。
3. 完成教材29页的“想想做做”第3题。
4. 讨论:一个三角形中最多有几个直角?几个钝角?为什么?
设计说明:第1小题旨在引导学生应用三角形的内角和:根据三角形中已知两个角的度数, 求另一个角的度数, 进一步理解知识、发展技能。第2、3小题通过辨析:一块三角板的内角和180°, 两块同样的三角板拼成的一个大三角形的内角和又是多少度呢?正方形内角和360°, 对折出的三角形内角和180°, 再对折成的小三角形内角和又是多少度呢?解答这两道题时, 学生会在180°和360°以及180°和90°不同答案上碰撞, 碰撞的结果是进一步认识三角形的内角和是一个普遍规律, 不因三角形的大小而改变, 不因拼、折等图形变换而改变。这样, 既深化了认知, 又积累了思维活动经验, 更渗透了“变中有不变”的数学思想。第4小题, 则让学生在讨论中进一步深化三角形内角和是180°的认知, 发展学生语言表达能力和推理能力。
五、归纳总结, 内化新知
1. 这节课, 我们学到哪些知识, 是怎样得到结论的?
2. 数学有趣吗?好玩吗?还讨厌数学吗?正是数学这种内在魅力让我们好多数学家废寝忘食、孜孜不倦地投入到数学研究之中, 愿我们每一位同学都能品尝到数学的乐趣, 在积极的探索中, 不断登上数学高峰, 领略更为灿烂的数学风景。
六、课堂作业, 反馈矫正
完成教材29页的“想想做做”第4、5题。
《三角形的特性》教学设计 篇11
关键词：三角形；教学；探索
中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）24-214-02
教学内容：人教四年级下册教科书第80、81页。
教学目标：
1、通过动手操作和观察比较，使学生认识三角形，知道三角形的特性及三角形高和底的含义，会在三角形内画高。
2、通过实验，使学生知道三角形的稳定性及其在生活中的应用。
3、培养学生观察、操作的能力和应用数学知识解决实际问题的能力。
4、体验数学与生活的联系，培养学生学习数学的兴趣。
教学重点：
理解三角形的特性；在三角形内画高。
教学难点：
理解三角形高和底的含义，会在三角形内画高。
教学准备：
多媒体课件、木条（或硬纸条）钉成的三角形和四边形、小棒、三角板。
教学过程：
一、联系生活，情境导入
1、展示情境图
在这幅图上你发现三角形了吗？它们都在哪里？
2、导入课题
三角形在生活中有这么广泛的运用，究竟它有什么特点？这节课我们将对它进行深入的研究。（板书课题）
【设计意图：从生活入手引入三角形，激发学生兴趣。】
二、操作感知，理解概念
1、发现三角形的特征
（1）请你画出一个三角形。画好后，同桌相互比较，观察思考：这些三角形有什么相同的地方？（都有三个角，三条边，三个顶点）
【设计意图：学生通过动手实践、观察对比，发现三角形的特征。知识的形成顺其自然，避免了教师生硬的说教。】
（2）为了表示的方便，我们用字母ABC分别表示三角形的三个顶点，则这条边表示为AB，这个角表示为角A，角A的对边是BC。这个三角形就可以表示成△ABC。
【设计意图：由文字表示自然过渡到字母表示，这是实际的需要更是数学思想的体现。这里看似无心实则有意，为接下来准确画高做了重要的铺垫。】
2、概括三角形的定义
（1）引导：能不能用自己的话概括一下，什么样的图形叫三角形？
【设计意图：师在这里不要随便否定学生的说法，让他们尽情地说。这些错误都是接下来宝贵的教学资源。】
（2）课件出示，判断这是三角形吗？
这是三角形吗？为什么？
这个图形封闭了，它是三角形吗？为什么？
它是直的，也是封闭图形，它是三角形吗？为什么？
【设计意图：通过反例一一驳回刚才学生的认知错误，进一步矫正学生的认识。因为学习的过程本身就是一个知识延续归正的过程。】
（3）引导总结，形成三角形定义。
师：那三角形的三条线段要如何连接在一起才能形成一个三角形呢？
生初步总结，师引导完善。（板书：由三条线段围成的图形叫做三角形）
你认为三角形的定义中哪些词最重要？
【设计意图：通过引导学生用数学语言规范的说出了三角形的定义，师最后的一句追问是概念的强化。】
三、实验解疑，探索特性
1、提出问题
关于三角形你还知道些什么？（三角形具有稳定性）稳定性是什么意思？
2、实验解疑
拉动活动四边形和活动三角形。感受三角形的大小、形状是不变的，这就是三角形的稳定性。而四边形具有易变性。
【设计意图：通过动手操作，切身对比感受，由实际到理论，理解了三角形的稳定性。这一特性不是教师能告诉他们的，也不是他们能看出来的，而是实实在在感受到的。】
3、说一说生活中还有哪些物体上利用了三角形和它的稳定性。师课件展示生活实例。
4、解决问题
老师遇到了一个小麻烦，相框松动了，请生帮忙解决。有什么办法使它牢固些？
【设计意图：再将理论运用于实际，感受到数学就在身边，它就能解决我们生活中的实际问题。】
四、解决问题，理解底和高
1、出示问题情境
几何图形乘坐和谐号快车去往几何王国，他们都能上车吗？三角形忘了自己的高是多少，你能帮帮它吗？
指出：从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。
【设计意图：通过情境激趣过渡到作高，在情境中三角形的高和平行四边形的高、正方形的边长、长方形的宽作了对比，使学生深刻认识到高的本质，从而突破画高。】
2、辨析高
3、引导总结
那你说说什么是三角形的高？引导理解对边并总结概念。
【设计意图：通过辨析总结，加深理解，为接下来的拓展打好基础。】
4、拓展提升
师：通过测量三角形的高是5.4厘米，它能上车吗？（不能，限高5厘米）那怎么办？（生自然想到了旋转三角形，从而有了作其它两条边上的高。）
生通过旋转三角形，画了另外两条边上的高，通过测量得出将三角形旋转后高小于五厘米，即可上车。师顺势总结：三角形每条边上都能画出一条高来。
【设计意图：通过巧妙的设计使生通过探索努力解决问题，体验成功，同时在不知不觉中突破了三角形每条边上都有一条高的难点。】
5、分别画高
请你在指定的底上画出它的高来。（答题纸上分别是两个锐角三角形，一个直角三角形）
着重引导在直角三角形中，如果其中一条直角边为底的话，另一条直角边就是高。
【设计意图：有层次感的练习是技能掌握的必备条件，通过过渡到给直角三角形的直角边画高，使生进一步加深对三角形高的理解。】
五、总结评价，质疑问难
这节课你学习到了什么？
【设计意图：通过总结梳理本节课知识点，帮助学生构建自己的知识。】
六、作业布置
下课后请同学们想一想钝角三角形的三条高又该如何画？
【设计意图：通过探索作业将学生引向更广阔的数学天地，培养学生的探索精神，为将来更好的学习打好基础。】
任意角三角函数的教学反思 篇12
教育部制订的普通高中《数学课程标准》(人民教育出版社2003年版)第31页关于必修4《三角函数》的内容与要求是:借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.根据这个要求,人民教育出版社《数学必修4》(2007年版)第12页给出的任意角的三角函数定义为(本文称为定义1):
定义1 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么
y叫做α的正弦,记作sin α,即sin α=y;
x叫做α的余弦,记作cos α,即cos α=x;
而把原教材中的三角函数定义,在第13页用注释给出(本文称为定义2),并要求学生证明.
定义2 一般地,设角α终边上任意一点的坐标为(x,y),它与原点的距离为r,则
在实际教学中,定义1的优点是简洁明了,缺点是缺乏一般性,在实际解题中不能直接应用.而定义2不但简洁明了,而且在一般性问题中都可以直接应用.例如教材第12页的例题:已知角α的终边经过点P0(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值.
教材中是先求出r=|OP0|=5,再用相似三角形的比例关系转化成单位圆与终边的交点坐标来得到解.由于涉及到相似比以及符号,结果把这个简单明了的问题搞得复杂化;而且这种相似比及符号问题没有一般性,如果α在其它象限,其比值符号仍是一个困难.在讲解和学习时,学生普遍反映思维别扭、理解不清、难以接爱.
如果利用定义2,其解法就自然、清楚而且不受象限及符号的影响:因为P0(-3,-4)在α的终边上,所以x=-3,y=-4,r=5.据定义2,得
同样,第15页的练习2,第20页的习题1.2的2以及须由定义解答的问题都是利用定义2容易解答,这是因为很少有问题会在已知中给出终边上的点刚好是单位圆上的条件,所以用定义1解答必须涉及相似比以及符号问题等困难,这是没有必要的.
根据以上分析,建议在教学时,把定义2作为任意角三角函数的定义,而把定义1作为简化定义.这一节的主要教学步骤可设计为:
1定义引入
1)学生复习直角三角形中锐角α的正弦sinα,余弦cosα,正切tanα.
提出问题:现在角α是任意角,这种定义应扩展.
2)将角α放在直角坐标系中,先以简单的情况为例研究.
设α是第一象限角,如图1所示,如何定义α的三角函数,要考虑2个因素:
(1)初中用比来定义,现在扩大的定义要包含以前的定义;
(2)sinα,cosα,tanα要由α唯一确定(否则不是函数).
学生经过讨论基本上能认同找一个,教师指出,这个的实质是终边上的点P(x,y).记联想第一个因素,可以用比值定义sinα,cosα,tanα.
进一步讨论这个比值是否由α唯一确定?与P在终边上的位置是否有关系?假如另外取一点学生易知.即比值与P点在终边上的位置无关,由唯一确定.
于是这个定义是合理的,也就是说以α的终边上的一点P(x,y)的坐标x,y和OP=r的比值来定义三角函数是符合函数要求的.
3)进一步可以考虑,以上定义与α所在的象限有否关系(无),α有否大小限制(无).
4)综合以上分析,任意角α的三角函数的定义是:设角α终边上的任意一点的坐标为P(x,y),它与原点O的距离为r,则
5)说明:(1)定义中的P点是α终边上的任一点;(2)因为r>0,所以对任何α,sinα,cosα总有确定值,而x=0即时,tanα没有意义;(3)因为角α可以用弧度(实数)表示,所以三角函数建立了角的集合(弦度表示)与实数集之间的一一对应关系.
6)给出单位圆概念.
7)探讨三角函数的简化定义:角α的终边与单位圆交于点P(x,y),则r=1,此时定义简化为sinα
2定义的应用
1)已知角α终边上一点求三角函数值,讲练课本12页例2,15页练习2.可用一般定义解决(点已知代定义).
2)已知角α的大小求三角函数(课本12页例1),可用单位圆与α终边的交点(点未知,自已取),进而练习特殊角的三角函数值,并记忆.
3三角函数的定义域
由定义知定义域,学生填表(课本13页)并记忆.
4三角函数值的符号
由定义和角α终边上一点P(x,y)在各象限的符号来探讨三角函数值在各象限的符号,学生填表(课本13页).记忆和应用(课本13页例3).
5诱导公式一
学生探讨,由定义知终边相同的同名三角函数值相等.诱导公式一的作用是把任意角化为一周内的角.应用(课本14页例4,例5,15页练习5,6).
6小结
小结.布置课外练习.
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准(实验)[S].北京:北京师范大学出版社,2001.
[2] 张维忠.文化视野中的数学与数学教育[M].北京:人民教育出版社,2005.
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